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Bondad de Ajuste, MRLC Y MCO
BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚBANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚCURSO DE ACTUALIZACIÓN PARA PROFESORESCURSO DE ACTUALIZACIÓN PARA PROFESORES
ECONOMETRÍAECONOMETRÍA
Profesora: Donita Rodríguez.
Agosto 2011
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1. El MRLCK en Desviaciones Muestrales
2. Descomposición de la Suma de Cuadrados
3. El Coeficiente de Determinación o R2
4. Algunas observaciones sobre el R2
5. Otros criterios de Bondad de Ajuste
6. Aplicaciones
ESQUEMA
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• El MRLK en desviaciones, para la “t-ésima” observación, está
dado por la siguiente expresión (minúsculas son desvíos):
• Dado que desaparece el término constante, este se obtiene
de:
• Para expresar matricialmente el modelo en desviaciones,
utilizamos la matriz de desvíos A:
iktkttt exxxy ˆˆˆ3322
kk XXXY ˆˆˆˆ33221
ii'IAnn
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1. EL MRLCK EN DESVIACIONES MUESTRALES
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• La matriz A es simétrica (A’=A), idempotente (AA=A), Ae=e y
Ai=0. Con A se obtiene el MRLK en desviaciones:
• Para obtener las ecuaciones normales en términos de
desviaciones, multiplicamos el modelo por X*’ y obtenemos:
eβXy
eβXy
AeβAXAy
ˆ
ˆ
ˆ
D
D
yXβXX '2
'**
ˆ)(
1. EL MRLCK EN DESVIACIONES MUESTRALES
eβXy
eβ
AX0y
Aeβ
XiAAy
2*
2
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ][
ˆ
ˆ][
1
1
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Para el caso del modelo de 2 variables:
SCT = SCE + SCR.
donde:
SCT = Suma total de los cuadrados de las desviaciones de la variable Y.
SCE = Suma explicada de los cuadrados a partir de la regresión de Y
sobre X.
SCR = Suma residual o no explicada de los cuadrados a partir de la
regresión de Y sobre X.
n
ii
n
ii
n
ii eeYYYY
1
2
1
2
1
2 )()ˆˆ()(
2. DESCOMPOSICIÓN DE SUMA DE CUADRADOS.
n
ii
n
ii
n
ii eyy
1
2
1
2
1
2 ˆ
6
• Las expresiones alternativas –en términos de desviaciones- para
la descomposición son:
n
ii
n
ii
n
ii exy
1
2
1
22
1
2 ˆ
n
ii
n
iii
n
ii eyxy
1
2
11
2 ˆ
n
ii
n
ii
n
ii eyry
1
2
1
22
1
2
2. DESCOMPOSICIÓN DE SUMA DE CUADRADOS.
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• Para el MRLCK, es posible debido a que X’e=0.
• Se parte de , y se obtiene:
• En términos de desviaciones:
SCRSCESCT
YnYn
ee'βXX''βyy' )ˆˆ( 22
eyy ˆ
SCRSCESCT ee'βXXβy'y ' )ˆˆ( 2
'*2
2. DESCOMPOSICIÓN DE SUMA DE CUADRADOS.
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3. EL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN O R2
• El R2 centrado (alrededor de la media) se define como:
• En términos vectoriales:
– Se demuestra que:
– En el MRLC2:
2
1
1
2
1
2
1
2
2
)(11
)(
)ˆˆ(
n
iii
n
ii
n
iii
n
iii
YY
e
SCTSCR
YY
YY
SCTSCE
R
22 rR
2ˆ,
2
YYrR
Ayy'ee'
Ayy'βXXβ
Ayy'βAXX'β 2
'*
'2 1
ˆˆ)ˆ'ˆ(2
SCTSCE
R
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• El R2 también se denomina coeficiente de determinación o
bondad de ajuste.
• Mide el porcentaje de la variación total observada de la
variable endógena explicada linealmente por la variación de
las variables independientes del modelo estimado.
• Esta interpretación es válida bajo las siguientes condiciones:
– El estimador analizado debe ser MCO.
– La relación tiene que ser lineal.
– La relación lineal estimada debe incluir intercepto.
3. EL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN O R2
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Observaciones Importantes sobre el R2.
(1) Lo único que se puede afirmar a partir del valor del R2 es si el
grado de ajuste de los datos muestrales al modelo estimado
es bueno o malo.
(2) Solamente bajo el supuesto de que la muestra es
representativa de los valores poblacionales (verdaderos), un
buen (mal) ajuste de los datos al modelo será equivalente a
que la relación estimada entre las variables involucradas es
relevante (irrelevante).
4. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL R2
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(3) Si el modelo poblacional tiene intercepto y se estima sin
intercepto, SCE y SCR pueden crecer mucho:
El R2 puede tomar valores mayores que 1: R2 =
SCE/SCT.
El R2 puede tomar valores negativos:
R2=1-(SCR/SCT).
4. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL R2
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X
Y
ii XY ˆˆˆ
ii XY ˆˆ
4. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL R2
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(4) El R2 es sensible al rango de variación de las variables
independientes:
– Un mayor rango de variación generará mayor rango de
variación para la dependiente, afectando el R2.
– No tiene sentido comparar el R2 de dos muestras
diferentes: dos períodos diferentes o dos países.
– Tiene más sentido comparar estimados de varianza de la
perturbación de diferentes muestras.
4. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL R2
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(5) Los econometristas buscan obtener buenos estimados, lo cual
no depende del R2, sino de la metodología y los supuestos
del modelo probabilístico.
(6) Otras advertencias:
• No deben compararse los R2 de dos modelos con
diferentes variables dependientes.
• Las variables dummy pueden “inflar” el R2.
4. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL R2
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• El R2 no es adecuado para comparar la bondad de ajuste de
dos modelos (anidados) con distinto número de regresores.
• Sólo para comparar modelos (con la misma dependiente)
con igual número de regresores.
– Cuando se añade al modelo un regresor, la SCR o la
parte no explicada por el modelo nunca aumenta: se
mantiene igual o disminuye.
• Se necesitan criterios alternativos: R2 ajustado, AIC, SC
6. OTROS CRITERIOS DE BONDAD DE AJUSTE
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El R2 Ajustado
• Se define como:
• Puede expresarse alternativamente como:
• Penaliza la inclusión de regresores adicionales.
• La bondad de ajuste de un modelo será mejor mientras
más alto sea el valor del R2 ajustado.
)1/(
)/(12
nSCT
knSCRR
)1()(
)1(1 22 R
kn
nR
)()(
)1(
)(
)1( 22 Rkn
n
kn
kR
6. OTROS CRITERIOS DE BONDAD DE AJUSTE
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El Criterio de Schwarz (Swarchz Criterion o SC)
• El SC también penaliza el hecho de incluir regresores
adicionales, contrarrestándolo con el nivel de información que
esta variable incluye al modelo.
• Se define como:
• La bondad de ajuste de un modelo será mejor mientras más
bajo sea el valor del SC.
)ln('
ln nn
k
n
eeSC
6. OTROS CRITERIOS DE BONDAD DE AJUSTE
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El Criterio de Información de Akaike (Akaike Information
Criterion o AIC).
• Es similar al SC. La única diferencia es en la manera de
penalizar la inclusión de regresores adicionales al modelo.
• Se define como:
• La bondad de ajuste de un modelo será mejor mientras más
bajo sea el valor del SC.
n
k
n
eeAIC
2'ln
6. OTROS CRITERIOS DE BONDAD DE AJUSTE
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7. APLICACIONES
Dependent Variable: EARNINGSMethod: Least SquaresDate: 07/31/11 Time: 23:27Sample: 1 540Included observations: 540
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -19.79196 3.585928 -5.519341 0.0000S 2.870943 0.255034 11.25710 0.0000
R-squared 0.190639 Mean dependent var 19.93339
Adjusted R-squared 0.189135 S.D. dependent var 16.43569
S.E. of regression 14.80002 Akaike info criterion 8.230831
Sum squared resid 117843.8 Schwarz criterion 8.246725Log likelihood -2220.324 F-statistic 126.7222
Durbin-Watson stat 1.885753 Prob(F-statistic) 0.000000
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7. APLICACIONES
Dependent Variable: EARNINGS
Method: Least Squares
Date: 07/31/11 Time: 23:27
Sample: 1 540
Included observations: 540
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -12.57680 12.03502 -1.045017 0.2965
S 2.878874 0.255490 11.26805 0.0000
AGE -0.179826 0.286313 -0.628074 0.5302
R-squared 0.191233 Mean dependent var 19.93339
Adjusted R-squared 0.188221 S.D. dependent var 16.43569
S.E. of regression 14.80835 Akaike info criterion 8.233800
Sum squared resid 117757.3 Schwarz criterion 8.257642
Log likelihood -2220.126 F-statistic 63.48704
Durbin-Watson stat 1.883935 Prob(F-statistic) 0.000000
Age: edad
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7. APLICACIONES
Dependent Variable: EARNINGS
Method: Least Squares
Date: 07/31/11 Time: 23:27
Sample: 1 540
Included observations: 540
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -17.43225 4.024129 -4.331931 0.0000
S 2.788855 0.262711 10.61567 0.0000
SIBLINGS -0.391983 0.304064 -1.289144 0.1979
R-squared 0.193136 Mean dependent var 19.93339
Adjusted R-squared 0.190131 S.D. dependent var 16.43569
S.E. of regression 14.79092 Akaike info criterion 8.231444
Sum squared resid 117480.2 Schwarz criterion 8.255287
Log likelihood -2219.490 F-statistic 64.27001
Durbin-Watson stat 1.869203 Prob(F-statistic) 0.000000
Siblings: número de hermanos
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• ¿Cuál de los dos modelos elegiría? ¿Por qué?
7. APLICACIONES
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3
R2 0.190639 0.191233 0.1931
R2 Ajustado 0.189135 0.188221 0.1901AIC 8.230831 8.2338 8.2314SC 8.246725 8.257642 8.2553
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1. El MRLCK en Desviaciones Muestrales
2. Descomposición de la Suma de Cuadrados
3. El Coeficiente de Determinación o R2
4. Algunas observaciones sobre el R2
5. Otros criterios de Bondad de Ajuste
6. Aplicaciones
ESQUEMA