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JOS ANTONIO ANZOTEGUI MATEMTICAS PARA INGENIEROS
APLICACIONESDEECUACIONESDIFERENCIALESCOMOMODELOSLINEALESCRECIMIENTOBACTERIANO.
Uncultivotieneunacantidad inicial 0N debacterias.Cuando 1t h= , lacantidadmedidade bacterias es 0
32N . Si la razn de reproduccin es proporcional a la cantidad de
bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de losmicroorganismos.PrimeroseresuelvelaecuacindiferencialdN kNdt
= (2) sujeta a ( ) 00N N= . A continuacin se define la condicin emprica( ) 031 2N N= parahallark, laconstantedeproporcionalidad.Conello, laecuacin (2)es
separableylineal,alavez.Cuandoseescribeenlaforma
0dN kNdt
= ,podemosverporinspeccinqueelfactorintegrantees kte .Multiplicamos
ambosladosdelaecuacinporesefactoryelresultadoinmediatoes 0ktd e Ndt
= .Integramosambosladosdelaltimaecuacinparallegaralasolucingeneral
kte N c = ,osea ( ) ktN t ce= .Cuando 0t = , 00N ce c= = y, por consiguiente, ( ) 0 ktN t N e= Cuando 1t = , entonces
0 032
kN N e= ,obien 32
ke = .Conlaltimaecuacinobtenemos 3ln 0.40552
k = = .As( ) 0.40550 tN t N e= .
Paraestablecerelmomentoenquesetriplica lacantidaddebacterias,despejamostde0.4055
0 03tN N e= ;porconsiguiente,0.4055 ln 3t = yas
ln 3 2.710.4055
t h=
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Nota:Losproblemasdedescribirelcrecimiento(Seadepoblaciones,bacteriasocapitales)se caracterizan con un valor positivo de k, mientras que cuando interviene undecrecimiento(comoladesintegracinradiactiva),setieneunvalornegativodek.Porlotanto, se dice que k es una constante de crecimiento ( 0k > ) o una constante dedescrecimientoodedeclinacin( 0k < ).PERIODO MEDIO. En fsica, el periodomedio es unamedida de la estabilidad de unasustanciaradiactiva.Es,simplemente,eltiempoquetranscurreparaquesedesintegreotransmutelamitaddelostomosenunamuestrainicial, 0A yseconviertanentomosdeotroelemento.Mientrasmayorseasusemivida,msestableesunasustancia.PERIODO MEDIO DEL PLUTONIO. Un reactor de cra convierte al uranio 238,
relativamenteestable,enplutonio239,un istoporadiactivo.Alcabode15aos,seha
desintegradoel0.043%de lacantidad inicial, 0A deunamuestradeplutonio.Calculeel
periodomediodeeseistopo,silarazndedesintegracinesproporcionalalacantidad
presente.
Sea ( )A t la cantidad de plutonio que queda en cualquiermomento t, la solucin delproblemadevalorinicial: dA kA
dt= , ( ) 00A A= ( ) 0 ktA t A e=
Sisehadesintegradoel0.043%de lostomosde 0A ,quedael99.957%.Paracalcularlaconstante k (o declinacin) empleamos ( )00.99957 15A A= , esto es, 150 00.99957 kA A e= Despejamoskytenemos 1 ln 0.99957 0.00002867
15k = = .Enconsecuencia,
( ) 0.000028670 tA t A e= Sielperiodomedioeselvalorquecorrespondea ( ) 0
2AA t = ,despejandoatseobtiene
0.00002867002
tA A e= ,esdecir, 0.0000286712
te= Deacuerdoconestaecuacin,ln 2 24,180
0.00002867t = Aos
LA TEORA DE DATACIN CON RADIOCARBONO. Mtodo que emplea al carbonoradiactivoparadeterminar lasedadesaproximadasdefsiles.Laraznde lacantidaddeC l4al carbonoordinarioen laatmsferaparece ser constantey,en consecuencia, lacantidadproporcionaldel istopopresenteentodos losorganismosvivoses igualque ladelaatmsfera.CuandomuereunorganismolaabsorcindelCl4seaporrespiracino
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alimentacin cesa.As, si se compara la cantidadproporcionaldeC 14presentes,porejemplo en un fsil, con la relacin constante que existe en la atmosfera, es posibleobtenerunaestimacinrazonabledesuantigedad.ANTIGEDADDEUNFSIL.Seanalizunhuesofosilizadoyseencontrquecontena lacentsimapartedelacantidadoriginaldeC14.Determinelaedaddelfsil.
Elpuntodepartidaes,denuevo, ( ) 0 ktA t A e= Paracalcularelvalorde laconstantededecaimiento aplicamos el hecho que ( )0 5600
2A A= , o sea, 56000 02
kA A e= Entonces,
15600 ln ln 22
k = = dedonde ( )ln 2 0.000123785600
k = = ;porconsiguiente
( ) 0.000123780 tA t A e= .Tenemos,para ( ) 01000AA t = ,que 0.000123780 01000
tA A e= ,demodoque10.00012378 ln ln1000
1000t = = .As ln1000 55,800
0.00012378t = aos
LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO/ CALENTAMIENTO (supondremos que mT esconstante)(consultargua#3)ENFRIAMIENTODEUNPASTEL.Alsacarunpasteldelhorno,sutemperaturaes300F.Despusde3minutos,200F.Encuntotiemposeenfriarhastalatemperaturaambientede70F?
( )70dT k Tdt
= , ( ) 300T O = ydeterminarelvalordekdetalmodoque ( )3 200T = . Laecuacineslinealyseparable,alavez.Alsepararlasvariables,
70dT kdt
T=
Vemosque 70mT = .Porconsiguiente,debemosresolverelproblemadevalorinicialcuyoresultadoes 1ln 70T kt c = + ,yas 270 ktT c e= + .Cuando 0t = , 300T = demodoque
2300 70 c= + definea 2 230c = .Entonces, 70 230 ktT e= + Por ultimo, la determinacin ( )3 200T = conduce a 3 13
23ke = , o sea,
1 13ln 0.190183 23
k = = As ( ) 0.1901870 230T t e= + MEZCLAS. Almezclar dos fluidos a veces surgen ecuaciones diferenciales lineales deprimerorden(verguademodelosmatemticos)
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Supusimosquelaraznconquecambialacantidaddesal ( )A r ,eneltanquedemezclaesunaraznneta:Supongamosqueeltanquemezcladorgrande contiene inicialmente300galonesdeunasolucin de salmuera.Otra solucin de salmuera entra al tanque con una razn de 3
galonesporminuto3mingal ;laconcentracindesalqueentraes 2 lb
gal.Cuandolasolucin
eneltanqueestbienmezclada,saleconlamismarapidezconqueentra.
Si ( )A t denota lacantidaddesal(medidaen libras)eneltanquealtiempot,entonces laraznconlaque ( )A t cambiaesunaraznneta:
1 2
razn con que razn con queentra la sustancia sale la sustancia
dA R Rdt
= = Laconcentracindelasolucinentranteera;porconsiguiente,laentradadesalera
1 2 3 6min minlb gal lbRgal
= = ;Ahora,puestoque la solucin saledel tanque con lamisma razn con laqueentra,elnmero de galones de la salmuera en el tanque al tiempo t es una constante de 300galones.Porloquelaconcentracindelasaleneltanqueascomoenelflujodesalida
es.
( )( )300 /
A tc tlb gal
=
Porloquelarazndesalidaes 2 3 min 300 100 mingal A lb A lbR
gal = = .
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Laraznneta 1 2 6 6100 100dA A dA AR Rdt dt
= = + = AhoraSepregunta,sihaba50lbdesaldisueltasenlos300galonesiniciales.Cuntasalhabreneltanquepasadoungrantiempo?
Parahallar ( )A t ,resolvemoselproblemadevalorinicial6
100dA Adt
= , ( )0 50A = .Aquobservamosquelacondicinadjuntaeslacantidadinicialdesal, ( )0 50A = ynolacantidadinicialdelquido.
Comoelfactorintegrantedeestaecuacindiferenciallineales 100t
e ,podemosformularlaecuacinas:
100 1006t td e A e
dt =
Al integrar esta ecuacin y despejar A se obtiene la solucin general 100600t
A ce= + .
Cuando 0t = , 50A = demodoque 550c = .Entonces,lacantidaddesaleneltanqueenelmomentotestdefinidapor ( ) 100600 550 tA t e= Sepuedever,que 600A cuando t .Estoes loquecabraesperarenestecaso;pasado un largo tiempo, la cantidad de libras de sal en la solucin debe ser
( )300 2 600lbgal lbgal
= .Enelcasoquelasalmueramezcladasepuedesacaraunflujomayoromenorqueelflujode entrada de la otra solucin; por ejemplo, si la solucin bienmezclada del ejemplo
anteriorsaleaunflujomenor,digamosde 2mingal ,seacumularlquidoeneltanqueauna
tasa de ( )3 2 1min mingal gal = . Cuando haya transcurrido tminutos, en el tanque habr
300 t+ galonesdesalmuera.Laraznconquesalelasales,entonces,2 2 min 300
gal A lbRt gal
= + .As, la ecuacin (6) se transforma en26
300dA Adt t
= + o sea2 6
300dA Adt t
+ =+ .Debecomprobarquelasolucindelaltimaecuacin,sujetaa ( )0 50A = ,es( ) ( )( ) 27600 2 4.95 10 300A t t x t = + + .
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CIRCUITOENSERIE.(Verteoraenlaguademodelosmatemticos)Unacumuladorde12voltsseconectaauncircuitoenserieLR,conuna inductanciade12Henryyunaresistenciade10Ohm.Determinar lacorriente i,si lacorriente iniciales
cero.
Segn la ecuacin ( )diL Ri E tdt+ = entonces 1 10 12
2di idt+ = sujeta a ( )0 0i = . Primero
multiplicamos laecuacindiferencialpor2,yvemosqueel factor integrantees 20te .A
continuacinlosustituimos20 2024t td e i e
dt = .
Al integrarcada ladodeestaecuacinydespejar iobtenemos 2065
ti ce= + .Si ( )0 0i = ,entonces 60
5c= + ,obien 6
5c = ;porconsiguiente,larespuestaes ( ) 206 6
5 5ti t e= .
Apartirdelaecuacin( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) : ; ( )p x dx p x dx p x dx p x dx p x dx p x dx
c py ce e e f x dx donde y ce y e e f x dx = + = =
Podemosformularunasolucingenerales ( ) ( )R t R RL t t
L Lei t e E t dt ceL
= + Enespecial,cuando ( ) 0E t E= esunaconstante,laecuacinsetransformaen( ) 0 R tLEi t ce
R
= + Observamos que cuando t , el segundo trmino de la ecuacintiendeacero.Aesetrminoselesuelellamartrminotransitorio;losdemsmiembrossellamanpartedeestadoestable(oestadoestacionario)delasolucin.VACIADODETANQUES
Muchosproblemasfsicosdependendealgunamaneradelageometra.Unodeelloseslasalidadelquidodeuntanqueatravsdeunorificiosituadoalfondodelmismo.Laformageomtricadelrecipientedeterminaelcomportamientofsicodelagua.Considereun recipiente llenodeaguahastaunaaltura h .Supongaqueelagua fluyeatravsdeunorificiodeseccintransversala ,elcualestubicadoenlabasedeltanque.Sedeseaestablecer laalturade lquidoeneltanqueencualquier instante t yeltiempoqueestedemoraenvaciarse.
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Sea ( )h t laalturade lquidoeneltanqueencualquier instante t y ( )V t elvolumendeaguadeltanqueeneseinstante.Lavelocidad v delaguaquesaleatravsdelorificioes:
2v gh= (1),donde g es lagravedad.Laecuacin (1)representa lavelocidadqueunagotadeaguaadquiriraalcaerlibrementedesdelasuperficiedelaguahastaelagujero.En condiciones reales,hayque tomaren cuenta la contraccinque sufreun chorrode
agua en un orificio, por lo que se tendr 2v c gh= (2), donde c es el coeficiente dedescargacomprendidoentre0y1 ( )0 1c< < .Nota:Cuandoelvalordelcoeficientededescarga c noseindica,seasumeque 1c = Segn laLeydeTorricelli, la razn con laqueelagua saleporelagujero (variacindelvolumende lquidoenel tanque respectodel tiempo) sepuedeexpresar comoelrea
a del orificio de salida por la velocidad v del agua drenada, esto es dV avdt
= (3)
sustituyendolaecuacin(2)enlaecuacin(3) 2dV ac ghdt
= (4)Si ( )A h denota el rea de la seccin transversal horizontal del tanque a la altura h ,aplicandoelmtododel volumenpor secciones transversales seobtiene ( )
0
h
V A h dh= derivandorespectode t yaplicandoelteoremafundamentaldelclculo ( )dV dhA h
dt dt= (5)
Comparandolasecuaciones(3)y(5) ( ) 2dhA h ac ghdt
= (6)Seanh laalturadelquidoeneltanqueencualquierinstante t ,a elreadelorificiode
salida el cual est ubicado al fondo del tanque, g la gravedad, C el coeficiente de
descarga y ( )A h el rea de la seccin transversal del tanque. La ecuacin diferencialasociadaalproblemadevaciadodeltanquees ( ) 2dhA h ac gh
dt=
Estaesunaecuacindiferencialdevariablesseparables, lacualalresolversesujetaa la
condicindeconocer laaltura inicial 0h paraeltiempo 0t = ,permiteobtener la leydevariacindelaalturadelquidoeneltanqueenfuncindeltiempo.
Si,adems,hayaportedelquidoaltanque,laecuacindiferenciales:
( ) 2dhA h Q ac ghdt
=
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Uncilindrorectocircularde10piesderadioy20piesdealtura,estllenoconagua.TieneunpequeoorificioenelfondodeunapulgadadedimetroCundosevaciartodoeltanque?
LaecuacindiferencialasociadaalosproblemasdeVaciadodetanqueses:
( ) 2A h dh ac ghdt= (1)Eldimetrodelorificiopordondefluyeelaguafueradeltanqueesde1pulgada,por lo tantoel radioespulgada.Como lasdimensionesdel tanque
estndadasenpie,utilizandolaequivalenciade1pulgada= 112
piesypuestoqueelrea
delorificiodesalidaeselreadeunacircunferencia ( )( )2radio ,resultaqueelreaa delorificiodesalidaes
221
24 576a pie = = .Elcoeficientededescargac noestdado
porlotantoseasume 1c = ylagravedades232
piesgseg
=
UNIDADESYNOTACIONES
Elemento Notacin Unidades
Altura ( )h t cm mt pies Volumen ( )V t 3cm 3mt 3pies Tiempo t seg seg seg
Gravedad g2981
cmseg
29,81mtseg
232piesseg
readelorificiodesalida a 2cm 2cm 2pies
readelaseccinTransversal ( )A h 2cm 2cm 2pies Coef.dedescarga c SinUnidades
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Paradeterminar ( )A h ,queeselreadelaseccintransversaldeltanqueenfuncindelaaltura h , obsrvese en la Fig. 1 que las secciones transversales del tanque soncircunferencias de radio constante 10r pies= . Por lo tanto, el rea de la seccintransversaleslamisma,independientementedelaaltura h alacualseefecteelcorte.As, ( ) ( )2 210 100A h pies = = Sustituyendo a, c, g, y ( )A h en la ecuacin (1) 8100 64
576 576dh hdt h = =
multiplicandopor 1 ysimplificando110072
dh hdt= (2)Laecuacin(2)eslaecuacindiferencialasociadaalproblema;lamismadeberesolversesujetaalacondicinqueparaeltiempo 0 0t seg= ,laalturainiciales 0 20h pies= ,puesenelenunciadosedicequeeltanqueesttotalmentelleno.La ecuacin diferencial (2) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para
separarlasvariables,laecuacin(2),semultiplicaporelfactor 72h
7200 dh dth
= Integrando 17200 dh dth
= (3)Ambasintegralessoninmediatas1 12 2
1 21 2 2dh h dh h h k dt t kh
= = = + = + Sustituyendo los resultados de lasintegralesenlaecuacin(3) 14400 h t k = + (4)Paradeterminarelvalordelaconstante k deintegracin,seusalacondicininicial,esto
es,sesustituyeen laecuacin(4) 0t seg= y 20h pies= ,resultando 14400 20k = .Estevalor obtenido para k se sustituye en la ecuacin (4) 14400 14400 20h t =
multiplicandopor 114400
yelevandoalcuadrado ( ) 22014400
th t = + (5)
Laecuacin (5)es la leyde variacinde la alturade lquidoenel tanqueen cualquier
instante t .
Paradeterminareltiempoquedemoraenvaciarseeltanque,esdecir,eltiempoparael
cualdejadehaberlquidoeneltanque,sedebesustituir 0h = enlaecuacin(5)14400 20 64398,75t = =
Luegoeltanquesevacaenuntiempo 64398,75t seg= ,esdecir,17 53min19h seg
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GravitacinUniversalSegn la leyde lagravitacinuniversaldeNewton laaceleracinadecada libredeuncuerpo, como el satlite que aparece en la figura de abajo, que cae desde una grandistanciahasta la superficie terrestrenoes la constanteg.Adems, laaceleracinaes
inversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciadesdeelcentrodelaTierra 2kar
= dondekeslaconstantedeproporcionalidad.UtiliceelhechodequeenlasuperficiedelaTierra r R= y a g= paradeterminark.Si ladireccinpositivaeshaciaarriba,utilice lasegundaleyparadeducirlaecuacindiferencialparaladistanciar.
Loprimeroaconoceraqu,esaqueesiguallafuerzagravitacionalenm: 2TmF kMr
= Sin
embargoMdelatierrapodemosescribirlacomo: 3 3tMM rR
= Sustituyendoyreduciendo
enlaecuacindelafuerzagravitacional:
33
2 2 3r
mr MM m mMRF k k k rr r R
= = = LaLeydela Gravitacin Universal de Newton establece que la fuerza que ejerce una partculapuntualconmasa 1m sobreotraconmasa 2m esdirectamenteproporcionalalproductodelasmasas,einversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciaquelassepara:Segn lasegunda leydeNewton tenemosque, la fuerzaeselproductode lamasay laaceleracin, donde esta ltima tambin puede expresarse como la derivada de lavelocidad con respecto al tiempo, o la segunda derivada de la posicin respecto del
tiempo:2 2
2 2 3
d r d r mMF ma F m m k rdt dt R
= = = Eliminandolamasadeambosladosde
laecuacin.2
2 3
d r kM rdt R
=
MODELODECRECIMIENTOPOBLACIONAL.
Ciertoingenierodecideconstruirunaedificacinenunazonaurbanaconunadinmicade
crecimientodictadaporlasiguienteecuacindiferencial: ( )cosdP k t Pdt
= dondekesuna
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constantepositivade la funcinP(t)de lazonaescogidaparaelestudio.Eldeseasaberqu tipodecrecimiento tiene lapoblacin.Grafiqueelcomportamientode laecuacin.Analiceuna interpretacinpara la solucindeestaecuacin,ydeterminequ clasedepoblacinconsideraquedescribelagrfica.
LaEDpuederesolverseporelmtododelaseparacindevariables: ( )cosdP k t Pdt
=
cos cos ln ksent CdP dPk tdt k tdt P ksent C P edt P
+= = = + =
DINMICADECADACuandouncuerpo,comoelparacaidistaqueapareceenlafigura,descendiendoantesdequeseabraelparacadassemuevecongranrapidezenelaire,laresistenciadelmismoesms cerca a a una cierta potencia de la velocidad instantnea v(t). Determine unaecuacin diferencial para la velocidad v(t) de un cuerpo de masa m, que cae, si laresistenciadelaireesproporcionalalcuadradodelavelocidadinstantnea.
La segunda ley deNewton podra describirmuy bien este principio. Ya dijimos que lafuerzapodrallevarseaunadiferencialsimpleF ma=
dvF mdt
= y aplicando lamisma ley a la fuerzaqueprovee la sustentacin tendramos:2dvm kv mg
dt= + . En condiciones normales del viento, es decir k, proporcional a la
condicindelaecuacin,asdeberafluctuarlacadaparaunosvaloresdev(t)de0a140m/s.
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EJERCICIOSRESUELTOS.
1.Unatazadecafcalientequeinicialmenteseencuentraa95C,seenfrayllegaa80Cen5minutosmientraspermanece servidaenun cuarto cuya temperaturaesta21C.Determineenqumomentoelcafestaralatemperaturaidealde50C.
( ) ( ) ( )ln kta a aa
dT dTk T T kdt T T kt C T t Ce Tdt T T
= = = + = + Sabemosquelatemperaturadelcuartoes21C( ) 21ktT t Ce= +
En 0t = elcafesta95C
( ) ( )( )
00 21 95 95 21 74
74 21
k
kt
T Ce C
T t e
= + = = == +
En 5mint = elcafesta80C
( ) ( )5 0.045359ln
745 74 21 80 0.0453 74 215 min
k tCT e k T t e = + = = = = +
En 1 mint t= elcafesta50C
( ) 10.04531 129ln7474 21 50 20.67 min
0.0453tT t e t
= + = = =
2.Elsbado24defebrerodel2007alas07h00A.M.unconserjedelbsicoencuentraelcuerpodeunestudiantedeecuacionesdiferencialesenelauladonderindisuexamenelda anterior, que se conserva a temperatura constante de 26C. En ese momento latemperaturadelcuerpoesde28Cypasadahoraymedia latemperaturaesde27.5C.Considere la temperaturadelcuerpoenelmomentode lamuertede37CyquesehaenfriadosegnlaLeydeEnfriamientodeNewton,culfuelahoradelamuerte?
LeydeenfriamientodeNewton:
( )c adT K T Tdt =
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dTdt
:(Variacindelatemperaturaconrespectoaltiempo)
cT :(Temperaturadelcuerpo)
aT :(Temperaturadelaula)
t :Tiempoenhoras
26aT C= Latemperaturadelcuerpocuandoeshalladoes 28C
Eltiempoenquelatemperaturaesde28C es 1t . ( )1 28T t C = Despusdeunahoraymedialatemperaturadelcuerpodesciendea27.5C .
Eltiempoenquelatemperaturaesde27.5C serentonces: 1 1.5t +
( )( )
( ) ( )( )
1
ln 26
1.5 27.5
26 ;
ln 2626 26
26 26c
c
cc c
T Kt C Kt C Ktc c
T t CdT K TdtdT dTKdt Kdt T Kt C
T T
e e T Ce T t Ce + +
+ ==
= = = + = = = +
Silatemperaturaantesdemorirerade37C entonces:
( ) ( )0 37 37 26 11 11 26ktcT C C C T t e= = + = = + Si ( ) ( ) 1 1 11 1 228 11 26 28 11 2 11Kt Kt KtT t C T t e e e = = + = = =
1 11
2 1.7047ln 1.704711
kt kt kt
= = = (Ecuacin1);
Si ( )1 1.5 27.5T t C+ = ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11.5 1.5 1.51 1.51.5 11 26 27.5 11 1.5 ;11K t K t K tT t e e e + + + + = + = = =
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( ) ( )1 11
1.5 1.99241.5 ln 1.5 1.992411 1.5
K t k t kt
+ = + = = + (Ecuacin2);
Siseigualaecuacin1y2:
( )1 1 1 11 1
1 1 1
1.7047 1.9924 1.5 1.7047 1.9924 1.7047 2.55705 1.99241.5
2.557051.9924 1.7047 2.55705 8.891.9924 1.7047
t t t tt t
t t t horas
= + = + =+ = = =
Porlotantoelestudiantemuri8.89horasantesdeserencontradoesdecir,alas22h06.
3.Supongamosqueunalumnode laUNIVERSIDADesportadordelvirusde lagripeyapesardeellavaalaescueladondehay5000estudiantes.Sisesuponequelaraznconlaquesepropagaelvirusesproporcionalnosoloalacantidaddeinfectadossinotambinala cantidaddeno infectados.Determine lacantidaddealumnos infectadosa los6dasdespus,siseobservaquealos4daslacantidaddeinfectadoserade50.
: #x deinfectados
5000 : #x desanos
( ) ( )( ) 50005000
15000 ln5000 5000 5000
5000ln 50005000 1
kt
kt
dx dx xkx x kdt kt Cdt x x x
x Cekt C x tx Ce
= = = + = + =
En 0, 1t x= =
( ) ( ) ( )0 5000 500005000 10 11 4999 1kt
ktCe ex C x t x t eCe
= = = = =
En 4, 50t x= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
0.25 ln 5020000 0.25
0.25*6 1.5
ln 504 50 50
200006 50 50 353infectados
tk tx e k x t e x t
x
= = = = = = = =
4.Enuncultivodelevaduralarapidezdecambioesproporcionalalacantidadexistente.Silacantidaddecultivoseduplicaen4horas,Qucantidadpuedeesperarsealcabode16horas,conlamismarapidezdecrecimiento?x:cantidadexistente.
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( ) ( )ln ktdx dxkx kdt x kt C x t Cedt x
= = = + = en 00,t x x= = ( ) 0 0 00x Ce x C x= = =
en 04, 2t x x= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
ln 24 4 4
0 0 0 0
1644
0 0 0
ln 24 2 2
4
16 2 2 32
t tkx x e x k x t x e x t x
x x x x
= = = = =
= = =
5.Unobjetoquepesa30Kgsedejacaerdesdeunaalturade40m,conunavelocidadde3m/s.supngaseque laresistenciadelaireesproporcionala lavelocidaddelcuerpo.Sesabequelavelocidadlmitedebeser40m/s.Encontrarlaexpresindelavelocidadenuntiempot.Laexpresinparalaposicindelcuerpoenuntiempotcualquiera.
( ) ( )( ) ( ) 30
ln ln
1 1 300
x
k kt tm
dv dvmg f m mg kv mdt dt
dv m km dt kv mg t C kv mg t Ckv mg k m
v t Ce mg v t Cek k
= =
= = + = + = + = +
en 0, 3mt vs
= =
( ) 010 300 3 3 300v Ce C kk = + = =
en , 40 mt vs
= =
( )( )( ) ( ) ( )( )( )
0.25
0.25 0.25
0.25
1 300300 40 40 7.5 277.5
37 40
37 40 148 40
148 40
t
t t
t
v Ce k Ck k
v t edxv t x t v t dt Cdt
x t e dt C e t C
x t e t C
= + = = = = += = +
= + + = + + = + +
en 0, 0t x m= = ( ) ( )( )
0
0.25
0 148 40 0 0 148
148 40 148tx e C C
x t e t= + + = = = +
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6.La fuerzaresistentedelaguaqueoperasobreunboteesproporcionalasuvelocidadinstantnea y es tal que cuando la velocidad es de 20m/seg la resistencia es de 40Newton. Se conoce que elmotor ejerce una fuerza constantes de 50 Newton. En ladireccindelmovimiento.Elbotetieneunamasade420Kg.yelpasajerode80Kg.a)Determineladistanciarecorridaylavelocidadenlcualquierinstantesuponiendoqueelbotepartedelreposo.b)Determinelamximavelocidadalaquepuedeviajarelbote.AplicandolasegundaleydeNewtonseobtiene:
xF ma= Partea) Fm :FuerzadelmotorFr :FuerzaderesistenciadelaguaFm :50NewtonFr kv= Comolavelocidadesde20m/segylafuerzaderesistenciade40Newton.
Entonces 40 2 220
Newtonsk kmseg
= = =
50xdvF ma Fm Fr ma kv mdt
= = = uur m :masatotaldelsistema 420 80 500 50 500 , 2dvm kg kg kg kv k
dt= + = = =
500 2 50dv vdt
+ = Ecuacindiferencialseparable
( )( )
ln 25 250 250 250
500 50 250 2 500 2 25 500
ln 2525 250 250
25 25t t tCv
dv dv dt dv dtvdt v vdv dt tC v C
v
e e v ke v ke+
= = = = + = +
= = = +
Silvelocidadiniciales0porpartirdelreposoentonces ( )0 0v = ;0 25 25k k= + = Laecuacindelavelocidad: 25025 25
t
v e= Como dxv
dt=
Entonces:
( ) ( ) ( ) ( )
250
250 250 250
25 25
25 25 25 25 250 25 25 250
t
t t t
dx edt
x t e dt t e C x t t e C
= = = + + = + +
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Sipartedelreposo ( )0 0x = ; ( ) ( )0 25 250 25 250C C= + = Laecuacindelmovimientoes: ( ) ( ) ( )25025 25 250 25 250tx t t e = + b)Lavelocidadlmiteomximaes: 250max lim 25 25 25
t
t
piesv eseg
= =
7. Un circuito RL tiene una f.e.m. de 9 voltios, una resistencia de 30 ohmios, una
inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inicial. Hallar la corriente para 15
t = segundos.
( )( ) 30
19 30 ln 30 930 9 30
130 9 30 930
t
di di div iR L i dt i t Cdt dt i
i t C i t Ce
= + = + = = + = + = +
en 0, 0t i= = ( )( ) ( )
0
30 30
10 9 21301 21 9 0.7 0.330
t t
i Ce c
i t e i t e
= + = = + = +
en 15
t =
( ) 6 10.7 0.3 0.3015
i t e i amp = + =
8.UnaF.e.m.de 5200 te voltiosseconectaenserieconunaresistenciade20Ohmiosyunacapacitanciade0.01Faradios.Asumiendoque lacarga inicialdelcapacitorescero.Encuentrelacargaylacorrienteencualquierinstantedetiempo.dq qR femdt C
+ = EcuacindiferencialparaelcircuitoRC .R :Resistencia 20R ohmios = q :CargaC :Capacitancia 0.01e C F =
5200 tfem e=
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5 520 20 20 100 200.01
t tdq q dqe q edt dt
+ = + = 55 tdq q e
dt + = Ecuacindiferenciallineal
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
5 5 5 5 5 5 5
5 5 5
1dt t t t t t t
t t t
u t e e q t u t e dt q t e e e dt dt e t cu t
q t e t c e t e c
= = = = = = + = + = +
Siinicialmentenohaycargaenelcapacitor,entonces:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
5 5
5 5
5 5 5 5 5
0 0;0
1;5
1 1 15 5 5 25
t t
t t
t t t t t
q c q t e i t q t dt e tdt
u t du dt dv e dt v e
ti t e tdt e e dt i t e e C
= = = = == = = =
= = + = +
Silacargainicialescero,entonceslacorrienteinicialescero:
( ) ( ) 5 510 05 25
t tti i t e e = =
9.Sesabequelapoblacindeciertacomunidadaumentaconunaraznproporcionalalacantidaddepersonasquetieneencualquiermomento.Silapoblacinseduplicencincoaos,encuntotiemposetriplicarycuadruplicar?
Dejar ( )P P t= ser la poblacin en el tiempo t , y 0P la poblacin inicial. De dP kPdt = obtenemos 0
ktP P e= . Usando ( ) 05 2P P= encontramos 1 ln 25k = y( )ln 2
50
t
P P e= .
Ajustando ( ) 03P t P= tenemos( ) ( )ln 25 ln 2 5ln 33 ln 3 7.9aos
5 ln 2
t te t= = =
Ajustando ( ) 04P t P= tenemos:( ) ( )ln 25 ln 24 ln 4 10aos.
5
t te t= = =
10.Supongaque lapoblacinde lacomunidaddelproblema1esde10000despusdetresaos.Culeralapoblacininicial?Culseren10aos?Ajustando 10000P = y 3t = enelproblemaanteriorseobtuvo
( )ln 2 30.6ln 25
0 010,000 10,000 6597.5P P e= = Entonces ( ) 2ln 20 010 4 26,390.P Pe P= =
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11. Lapoblacindeuna comunidad crece conuna tasaproporcional a lapoblacinencualquiermomento.Supoblacininiciales500yaumentael15%en10aos.Culserlapoblacinpasados30aos?
Dejar ( )P P t= serlapoblacineltiempo t .De dP ktdt
= y ( ) 00 500P P= = obtenemos
500 ktP e= .Usando ( )10 575P = encontramos 1 ln1.1510
k = .Entonces ( ) 3ln1.1530 500 760P e= aos.12.Encualquiermomentodado lacantidaddebacteriasenuncultivocreceauna tasaproporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especmenes. Cul era la cantidad inicial debacterias?Dejar ( )N N t= serelnmerodebacteriasenelmomento t y 0N elnmero inicial.DedN kNdt
= obtenemos 0 ktN N e= . Usando ( )3 400N = y ( )10 2000N = encontramos
0400ktN e= o
13
0
400keN
= .De ( )10 2000N = tenemosentonces
310
77310 3
0 0 0 010 100 3 3
400 2000 20002000 201400 400
kN e N N NN
= = =
13.Cuandopasaunhazverticaldeluzporunasustanciatransparente,larapidezconquedecrecesu intensidad I esproporcionala ( )I t ,donde,trepresentaelespesor,enpies,delmedio.Enaguademar clara, la intensidada3piesbajo la superficiees25%de laintensidad inicial I del haz incidente, cul es la intensidad del haz a 15 pies bajo lasuperficie?Dejar ( )I I t= serlaintensidad, t elespesor,y ( ) 00I I= .Si dI kI
dt= y ( ) 03 0.25I I= entonces 1, ln 0.253ktoI I e k= = ,y ( ) 015 0.00098I I= .
14.Cuandoelinterssecapitaliza(ocompone)continuamente,encualquiermomentola
cantidaddedinero,S,aumentaaunatasaproporcionala lacantidadpresente: dS rSdt
= dondereslatasadeintersanual.
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a)Calculelacantidadreunidaaltrminodecincoaos,cuandosedepositan$5000enuna
cuentadeahorroquerindeel 35 %4
deintersanualcompuestocontinuamente.
b)Encuntosaossehabrduplicadoelcapitalinicial?c) Con una calculadora compare la cantidad obtenida en la parte a) con el valor de
( )5 40.05755000 14
S = + Este valor representa la cantidad reunida cuando el inters secapitalizacadatrimestre.
De dS rSdt
= obtenemos 0 rtS S e= donde ( ) 00S S= .a)Si 0 $5000S = y 5.75%r = entonces ( )5 $6665.45S = .b)Si ( ) $10,000S t = entonces 12t = aos.c) $6651.82S .15.ElPb209,istoporadiactivodelplomo,sedesintegraconunaraznproporcionalalacantidadpresenteencualquiermomentoytieneunperiodomediodevidade3.3horas.Si al principio haba 1 gramo de plomo, cunto tiempo debe transcurrir para que sedesintegreel90%?
Dejar ( )N N t= ser la cantidad de plomo en elmomento t .De dN kNdt
= y ( )0 1N = obtenemos ktN e= .Usando ( ) 13.3
2N = encontramos 1 1ln
3.3 2k = . Cuando 90% de la
iniciativahadecado,0.1 gramospermanecer.Ajustando ( ) 0.1N t = tenemos1 1ln
3.3 2 1 3.3ln 0.10.1 ln ln 0.1 10.9613.3 2 ln2
t te t = = = Horas.
16.Cuando 0t = ,haba100miligramosdeunasustanciaradiactiva.Alcabode6horas,esa cantidaddisminuyel3%.Si la razndedesintegracin,en cualquiermomento,esproporcionalalacantidaddelasustanciapresente,calculelacantidadquequedadespusde24horas.
Dejar ( )N N t= ser la cantidaden el tiempo t .De dN ktdt
= y ( )0 100N = obtenemos100 ktN e= .Usando ( )6 97N = encontramos 1 ln 0.97
6k = .
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Entonces ( ) ( ) ( )1 ln 0.97 24 4624 100 100 0.97 88.5N e = = mg.17.Calculeelperiodomediodevidadelasustanciaradiactivadelproblema6.Ajustando ( ) 50N t = enelproblema8seobtiene
1ln1 250 100 ln 136.512 ln 0.976
kte kt t= = = Horas
18.a)Elproblemadevalorinicial dA kAdt
= , ( ) 00A A= eselmodelodedesintegracindeunasustancia radiactiva.Demuestreque,engeneral,elperiodomediodevida,T,de la
sustanciaes( )ln 2Tk
= .b)Demuestrequelasolucindelproblemadevalorinicialenlapartea)sepuedeescribir
( ) 0 2iTA t A
= c)SiunasustanciaradioactivatienelavidamediaTdescritaenlaparte(a)cuntodurar
unacantidadinicial 0A deellaparadecaerhasta 018A ?
a) La solucin de dA kAdt
= es ( ) 0 ktA t A e= .Dejando 012A A= y resolviendo para t seobtienelavidamedia
( )ln 2Tk
= .
b)Desde( )ln 2kT
= tenemos ( ) ( )ln 20 0 2t t
T TA t A e A = =
c)Escribiendo 0 01 28
tTA A
= como 32 2tT
= yresolviendopara t obtenemos 3t T= .As,
comocantidadinicial 0A decaera 018A entresvidasmedias.
19.Enuntrozodemaderaquemadaocarbnvegetalsedeterminqueel85.5%desuCl4 se haba desintegrado. Con la informacin del ejemplo 3 determine la edadaproximadade lamadera.stossonprecisamente losdatosqueusaron losarquelogosparafecharlosmuralesprehistricosdeunacavernaenLascaux,FranciaSupongamos que 0
ktA A e= y 0.00012378k = . Si ( ) 00.145A t A= entonces 15,600t aos.
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20.ElsudariodeTurnmuestraelnegativode la imagendelcuerpodeunhombrequeparecequefuecrucificado,muchaspersonascreenqueeselsudariodelentierrodeJessdeNazaret. En1988elVaticanootorgautorizacinparadatarconcarbonoelsudario.Tres laboratorios cientficos independientes analizaron el pao y concluyeron que elsudario tena una antigedad de 660. Una antigedad consistente con su aparicinhistrica.Usandoestaantigedad,determinequporcentajede la cantidadoriginaldec14quedabaenelpaoen1988.De ejemplo anterior, la cantidad de carbono presente en el momento t es( ) 0.000123780 tA t A e= . Dejando 660t = y resolviendo para 0A tenemos( ) ( )0.0001237 6600 0660 0.921553A A e A= = .
As,aproximadamente 92% de lacantidadoriginaldeC14semantuvoen latelacomodel1988 .21.Untermmetrosesacadeunrecintodondelatemperaturadelairees70Fyselleva
alexterior,donde latemperaturaes10F.Pasado 12minutoeltermmetro indica50F.
Culeslalecturacuando 1t = min?Cuntotiemposenecesitaparaqueeltermmetrolleguea15F?
Supongamosque ( )10dT k Tdt
= demodoque 10 ktT ce= + .Si ( )0 70T = y 1 502
T =
entonces 60c = y 22ln3
k = de modo que ( )1 36.67T = . Si ( ) 15T t = entonces3.06t = minutos.
22.Un termmetro se llevadeun recinto interiorhastaelambienteexterior,donde latemperaturadelairees5F.Despusdeunminuto,eltermmetroindica55F,ydespusdecincomarca30F.Culeralatemperaturadelrecintointerior?
Supongamos que ( )5dT k Tdt
= demodo que 5 ktT ce= + . Si ( )1 55T = y ( )5 30T = entonces 1 ln 2
4k = y 59.4611c = demodoque ( )0 64.4611T = .
23.Siunabarrametlicapequea,cuya temperatura iniciales20C sedejacaerenunrecipienteconaguahirviente,cuntotiempotardaraenalcanzar90Csisesabequesutemperaturaaument2Cenunsegundo?Cuntotiempotardarenllegara98C?
Supongamosque ( )100dT k Tdt
= demodoque 100 ktT ce= + Si ( )0 20T = y ( )1 22T =
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Entonces 80c = y 39ln40
k = demodoque ( ) 90T t = implica 82.1t = segundos.Si ( ) 98T t = entonces 145.7t = segundos.24.Un termmetroque indica 70Fsecolocaenunhornoa temperaturaconstante.Atravsdeunaventanadevidriodelhorno,unobservadorregistraque latemperaturaes
de110F.Pasado 12minutoeltermmetroindica145F.Culeslalecturacuando 1t =
min?Cuntotiemposenecesitaparaqueeltermmetrolleguea15F?
Uso de la separacin de variables para resolver ( )mdT k T Tdt = obtenemos( ) ktmT t T ce= + Usando ( )0 70T = encontramos 70 mc T= , as ( ) ( )70 ktm mT t T T e= + .
Usandolasobservacionesdadas,seobtiene
( )( ) ( )
21 70 1102
1 70 145
k
m m
km m
T T T e
T T T e
= + = = + =
Entonces ( )( )211070
km
m
Te
T= y
( )2 2 22 22 2
110110 145 14570 70 70
12100 220 10150 250 390
k kmm m
mm m m
m m m m m
TT Te e TT T T
T T T T T
= = = = + = + =
LaTemperaturaenelhornoes390 .
25.Un tanque contiene 200 1de agua enque sehandisuelto 30 gde sal y leentran
4minL
desolucincon1gdesalporlitro;estbienmezclado,ydelsalelquidoconel
mismoflujo 4minL .Calcule lacantidadA(t)degramosdesalquehayeneltanqueen
cualquiermomentot.
De 450
dA Adt
= obtenemos 50200t
A ce= + . Si ( )0 30A = entonces 170c = y
50200 170t
A e= .
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26.Resuelvaelproblemaanteriorsuponiendoqueentraaguapura
De 050
dA Adt
= obtenemos 50t
A ce= .Si ( )0 30A = entonces 30c = y 5030 tA e= .
27.Untanquetiene500galdeaguapurayleentrasalmueracon2Ib.desalporgalna
unflujode 5mingal .Eltanqueestbienmezclado,ysaledelelmismoflujodesolucin
Calcule lacantidadA(t)de librasdesalquehayeneltanqueencualquiermomentot.Culeslaconcentracindelasolucineneltanquealos5minutos?
De 10100
dA Adt
= obtenemos 1001000t
A ce= + . Si ( )0 0A = entonces 1000c = y
1001000 1000t
A e= .
En ( )5, 5 48.77t A= puntos.28.Resuelvaelproblemaanteriorsuponiendoque lasolucinsaleaunflujode10
mingal ,
permaneciendoiguallodems.Cundosevacaeltanque?
De ( )10 210 10
500 10 5 100dA A Adt t t
= = obtenemos ( )21000 10 100A t c t= + . Si
( )0 0A = entonces 110
c = .Acontinuacin,eltanqueestvacoen100 minutos.
29.Un tanque est parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 Ib de sal
disuelta.Leentrasalmueracon 12lb desalporgalnaunflujode6
mingal .Elcontenidodel
tanqueestbienmezcladoydelsaleunflujode 4mingal
desolucin.Calculelacantidad
delibrasdesalquehayeneltanquealos30minutos.
De ( )4 23 3
100 6 4 50dA A Adt t t
= = + + obtenemos ( )250 50A t c t = + + + . Si ( )0 10A =
entonces 100,000c = y ( )30 64.38A = libras.30.Enelejemplo terico (dadoalprincipiodeestegua),el tamaodel tanque con lasolucinsalinanoaparecientrelosdatos.Comosedescribienlapgina78elflujocon
que entra la solucin al tanquees igual,pero la salmuera sale conun flujode 2mingal .
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Puestoque la salmuera seacumulaenel tanqueauna rapidezde 4mingal ,encualquier
tanquefinitoterminaraderramndose.Supongaqueeltanqueestabiertoporarribayquesucapacidadtotalesde400galones.a)Cundosederramareltanque?b)Cuntaslibrasdesalhabreneltanquecuandosecomienzaaderramar?c) Suponga que el tanque se derrama, que la salmuera contina entrando al flujo de
3mingal ,queelcontenidoestbienmezcladoyquelasolucinsiguesaliendoaunflujode
2mingal .Determine unmtodo para calcular la cantidad de libras de sal que hay en el
tanquecuandot=150min.d)Calculelaslibrasdesaleneltanquecuando t .Surespuestacoincideconloquecabraesperar?a) Inicialmenteel tanquecontiene 300 galonesdesolucin.Lasalmuerasebombeaen
unaproporcinde gal3min
y lasolucinsebombeaaunavelocidadde gal2min
,elcambio
netoesunaumentode gal1min
.As,en100 minutoseltanquecontendrsucapacidadde
400 galones.b) La ecuacin diferencial que describe la cantidad de sal en el tanque es
( ) ( )26
300AA tt
= + consolucin ( ) ( )( )7 2600 2 4.95 10 300A t t t= + + 0 100t As,lacantidaddesaleneldepsitocuandosedesbordaes:
( ) ( )( ) 27100 800 4.95 10 400 490.625lbsA = = c)Cuando eldepsito estdesbordando la cantidadde sal en el tanque se rigepor laecuacindiferencial
gal lb lb gal 33 2 3 6min gal 400 gal min 400
dA A Adt
= = ( )100 490.625A = Resolviendo la ecuacin obtenemos ( ) 3400800 tA t ce= + . Los rendimientos de lascondicionesiniciales 654.947c = ,demodoque( ) 3400800 654.947 tA t e= Cuando ( )150, 150 587.37 lbst A= = .
d)como t ,lacantidaddesales800lbs ,queesdeesperar( ) lbs400gal 2 800lbs
gal = .
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31. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 v aun circuito en serie LR con 0.1 h deinductanciay50deresistencia.Determinelacorrientei(t),si ( ) 0i O = .Hallelacorrientecuando i Asumir ( ) , 0.1, 50diL Ri E t L R
dt+ = = = y ( ) 50E t = de modo que 5003
5ti ce= + . Si
( )0 0i = entonces 35
c = y ( ) 3lim5t
i t = .
32. Resuelva la ecuacin ( )diL Ri E tdt+ = suponiendo que ( ) 0E t E senwf= y que
( ) 00i i= .Asumir ( ) ( ) 0,diL Ri E t E t E sen tdt + = = y ( ) 00i i= demodoque
0 02 2 2 2 2 2 cos
RtLE R E Li sen t t ce
L R L R
= ++ + .
Desde ( ) 00i i= obtenemos 00 2 2 2E Lc i L R
= + + .
33. Se aplicauna fuerzaelectromotrizde100 volts aun circuitoen serieRC,donde laresistenciaes200y lacapacitanciaes 410 f .Determine lacargaq(t)delcapacitar,si
( )0 0q = .Hallelacorriente ( )i t Asumir ( ) 41 , 200, 10dqR q E t R C
dt c + = = = y ( ) 100E t = demodoque
501100
tq ce= + .
Si ( )0 0q = entonces 1100
c = y 5012
ti e= .
34. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 v a un circuito en serie RC, en que laresistenciaes1000ylacapacitanciaes 5 10x f .Determinelacarga ( )q t delcapacitar,si ( ) 0.4i O = amp.Hallelacargacuando t Asumir ( ) 61 , 1000, 5 10dqR q E t R C
dt c + = = = y ( ) 200E t = . Entonces
20011000
tq ce= + y 200200 ti ce= . Si ( )0 0.4i = Entonces( )1 , 0.005 0.003coulombs
500c q= = y ( )0.005 0.1472ampsi = .As 1
1000t q
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35.Seaplicaunafuerzaelectromotriz ( ) 1: 20,0 200, 20
tE t
t = > auncircuitoenserieLR,en
quelainductanciaes20hylaresistenciaes2.Determinelacorriente,i(r),si ( )0 0i = .Para0 20t laecuacindiferenciales 20 2 120di i
dt+ = .Unfactordeintegracines 10
t
e ,
as 10 106t td e i e
dt =
y 10160t
c e+ . Si ( )0 0i = entonces 1 60c = y 1060 60
t
i e= . Para
20t > laecuacindiferenciales20 2 0di idt+ = y 102
t
i c e= .
En 20t = queremos 2 22 60 60c e e = demodoque ( )22 60 1c e= .As
( ) ( )10
2 10
60 60 , 0 20;
60 1 , 20.
t
t
e ti t
e e t
= >
36. Supongaqueun circuitoen serieRC tieneun resistor variable. Si la resistencia,encualquiermomento t es 1 2R k k t= + , donde 1k y 2 0k > son constantes conocidas, la
ecuacin ( ) ( )
R t R RL t tL Lei t e E t dt ce
L
= + setransformaen ( ) ( )1 2 1dqk k t q E tdt C+ + = .Demuestrequesi ( ) 0E t E= y ( ) 00q q= ,entonces ( ) ( ) 2
1
10 0 0
1 2
Ckkq t E C q E Ck k t
= + + Separacindelasvariablesqueobtenemos
( ) 20
0 1 2 1 211 2 2
0 1 2
1ln ln
C
k
qEdq dt q CC E k k t c cq k k t C kE k k t
C
= = + + =+ +.
Ajustando ( ) 00q q= encontramos2
00
1
1
C
k
qEC
k
,as
( )2
2 2
1
1000
0 10 01 1
21 2
CC
CC k
k k
qq EEq kqCC E E
C C k k tk k t k
= = + +
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( )2 21 1
0 1 10 0 0 0 0
2 2
Ck Ckq k kqE E q E C q E CC C k k t k k t
= = + + + 37.Unaecuacindiferencialquedescribelavelocidadvdeunamasamencadasujetaa
unaresistenciadelaireproporcionalalavelocidadinstantneaes dvm mg kwdt
= ,enquekesunaconstantedeproporcionalidadpositiva.a)Resuelvalaecuacin,sujetaalacondicininicial ( ) 0v O v= .b)Calculelavelocidadlmite(oterminal)delamasa.
c) Si la distancia s se relaciona con la velocidad por medio de ds vdt
= , deduzca unaecuacinexplcitaparas,sitambinsesabequ ( ) 00s s= .a)De dvm mg kv
dt= obtenemos
ktmgmv ce
k= + .Si ( ) 00v v= entonces 0 gmc v k= y la
solucindelProblemadevaloriniciales 0ktmgm gmv v e
k k = +
b)Como t lavelocidadlmitees gmk
.
c)De ds vdt
= y ( )0 0s = obtenemos 0 0ktmgm m gm m gms t v e v
k k k k k = +
38.Qutanalto?(Sinresistenciadelaire)Supongaqueunapequeabaladecanquepesa16librassedisparaverticalmentehaciaarriba,comosemuestraenlafiguraconunavelocidadinicialdev0=300pies/s.Larespuestaalapregunta"Qutantosubelabaladecan?"dependedesiseconsideralaresistenciadelaire.a)Supongaquesedesprecialaresistenciadelaire.Siladireccinespositivahaciaarriba
entoncesunmodeloparalabaladelcanestdadopor2
2
d s gdt
= .Puestoque ( ) dsv tdt
=
la ltima ecuacin diferencial es la misma que la ecuacin dv gdt
= donde se toma
232piesgs
= g.Encuentrelavelocidad ( )v t delabaladecanaltiempot.b)Utiliceelresultadoqueseobtuvoenel incisoa)paradeterminar laaltura ( )s t de labaladecanmedidadesdeelniveldelsuelo.Determinelaalturamximaquealcanzalabala.
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a)La integracinde2
2
d s gdt
= seobtiene ( ) dsv t gt cdt
= = + .De ( )0 300v = encontramos300c = ,porloquelavelocidades ( ) 32 300v t t= + .
b) La integracindeuna yotrautilizando ( )0 0s = obtenemos ( ) 216 300s t t t= + . Laalturamxima se alcanza cuando 0v = , es decir, a 9.375at = . La altura mxima ser( )9.375 1406.25fts = .
39.Qutanrpido? (Resistencia linealdelaire)Repitaelproblemaanterior,peroestavezsupongaquelaresistenciadelaireesproporcionalalavelocidadinstantnea.Estaeslaraznporlaquelaalturamximaquealcanzalabaladelcandebesermenorqueladel inciso b) del problema anterior. Demuestre esto suponiendo que la constante deproporcionalidadesk=0.0025.Cuandolaresistenciadelaireesproporcionalalavelocidad,elmodelodelavelocidades
dvm mg kvdt
= (utilizando el hecho de que la direccin positiva es hacia arriba).Resolviendo la ecuacin diferencial mediante separacin de variables obtenemos
( ) ktmmgv t cek
= + .De ( )0 300v = obtenemos ( ) 300 ktmmg mgv t ek k
= + + .
Laintegracinyelusode ( )0 0s = encontramos ( ) 300 1 ktmmg m mgs t t ek k k
= + +
Ajustando 160.0025, 0.532
k m= = = y 32g = tenemos( ) 0.0051,340,000 6,400 1,340,000 ts t t e= y ( ) 0.0056,400 6,700 tv t e= +
Laalturamximasealcanzacuando 0v = ,esdecir,a 9.162at = .Laalturamximaser( )9.162 1363.79fts = ,queesmenorquelaalturamximaenlapartea).
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40.Una paracaidista pesa 125 libras y su paracadas y equipo juntos pesan juntos 35libras.Despusdesaltardelavindesdeunaalturade15OOOpies,laparacaidistaespera15 segundos y abre su paracadas. Suponga que la constante de proporcionalidad delmodelodelproblema35tieneelvalork=05durante lacada libreyk=10despusdequeseabrielparacadas.Supongaquesuvelocidad inicialalsaltardelavines igualacero.Cules lavelocidadde laparacaidistayqudistanciaharecorridodespusde20segundos de que salt del avin? Vea la figura. Cmo se compara la velocidad de laparacaidista a los20 segundos con su velocidad terminal? Cunto tardaren llegar alsuelo?[Sugerencia:Piense.enfuncindedosdiferentesPVI]
De ( )0 0v = obtenemos ( ) 1 ktmmgv t ek = .Dejarque
1600.5, 532
k m= = = y 32g =
tenemos ( ) ( )0.1320 1 tv t e= . La integracin, nos encontramos con( ) 0.1320 3200 ts t t e= + . En 15t = , cuando el paracadas se abre, ( )15 248.598v = y( )15 5514.02s = .Enestepuntoelvalorde k cambiaa 10k = ylanuevavelocidadinicial
es 0 248.598v = .Suvelocidadconelparacadasabierto (conel tiempomedidodesdeelinstantede laapertura)es ( ) 216 232.598 tpv t e= + .La integracin,nosencontramoscon( ) 216 116.299 tps t t e= . Veinte segundos despus de salir del avin cinco segundos
despus de que el paracadas se abre. Su velocidad en este momento es
( )5 16.0106secpftv = y ha cado ( ) ( )15 5 5514.02 79.9947 5594.01ftps s+ = + = . Su
velocidadmximaes ( )lim 16pt v t = ,por loque casihaalcanzado suvelocidad terminalcinco segundosdespusdequeelparacadas seabre.Cuando seabreelparacadas, ladistanciaalsueloes15,000 5514.02 9485.98ft = .
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Resolviendo ( ) 9485.98ps t = obtenemos 592.874 9.88mint s= = .Por lotanto, la llevaraproximadamente 9.88 minutospara llegaralsuelodespusdequesuparacadasseha
abiertoyuntotalde( )592.874 15 10.13
60+ = minutosdespusdequeellasaledelplano.
41.Evaporacindeunagotade lluvia.Cuandocaeunagotade lluvia,sta seevaporamientrasconservasuformaesfricaSisehacensuposicionesadicionalesdequelarapideza la que se evapora la gota de lluvia es proporcional a su rea superficial y que sedesprecia laresistenciadelaire,entoncesunmodelopara lavelocidadv(t)de lagotade
lluviaes( )
( ) 03 k
k
dv v gdt t r
+ =+ Aqu es ladensidaddelagua, 0r eselradiode lagotade
lluvia en 0, 0t k= < es la constante de proporcionalidad y la direccin hacia abajo seconsiderapositiva.a)Determinev(t)silagotadelluviacaeapartirdelreposo.
b)Demuestrequeelradiodelagotadelluviaeneltiempotes ( ) 0( ) kr t t r= + e)Si 0 0.01 ; 0.007r pie r pies= = 10segundosdespusdeque lagotacaedesdeunanube,determineeltiempoenelquelagotadelluviasehaevaporadoporcompleto.
a)Laecuacindiferencialesdeprimerorden,lineal.Dejarquekb = ,elfactorintegrante
es ( ) ( )03
30
bdtbt re r bt+
= + .Entonces( ) ( )3 30 0d r bt v g r btdt + = + y ( ) ( )
3 40 04
gr bt v r bt cb
+ = + + .
La solucin de la ecuacin diferencial es ( ) ( ) ( ) 30 04gv t r bt c r btb
= + + + . Usando
( )0 0v = encontramos 404grcb
= ,demodoque
( ) ( ) ( )4 4
0 00 03 3
00
4 444
gr g rg g kv t r bt r tb kb r bt ktk r
= + = + + +
.
b) Integrandodr kdt = obtenemos
ktrc= + . Usando ( ) 00r r= tenemos 0c r= , as
( )0
ktr tr= + .
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c)Si 0.007 ftr = cuando 10t s= ,a continuacin, la solucinde ( )10 0.007r = para k ,obtenemos 0.0003k = y ( ) 0.01 0.0003r t t= . Resolviendo ( ) 0r t = obtenemos
33.3t = ,porloquelagotadeaguasehanevaporadoporcompletoa33.3 segundos.
42.Laecuacindiferencial ( )cosdP k t Pdt
= ,enquekesunaconstantepositiva,seusaconfrecuencia para modelar una poblacin que sufre fluctuaciones estacionales anuales.DetermineP(t)ygrafiquelasolucin.Supongaque ( ) 00P P= Separandolasvariablesobtenemos 1cos ln
k sentdP k t dt P k sent c P c eP
= = + =
Si ( ) 00P P= entonces 1 0c P= y 0 k sentP P e= .
43.EnunmodelodemogrficodelapoblacinP(t)deunacomunidad,sesuponequedP dB dDdt dt dt
= , en donde dBdt
y dDdt
son las tasas de natalidad y mortalidad,
respectivamente.
a)DetermineP(t)si 1dB k Pdt
= y 2dD k Pdt = .b)Analiceloscasos 1 2k k> , 1 2k k= y 1 2k k<
a)Para ( )1 2dP k k Pdt = obtenemos( )1 2
0k k tP Pe = donde ( )0 0P P= .
b)Si 1 2k k> entonces P como t .Si 1 2k k= entonces 0P P= paracada t .Si 1 2k k< entonces 0P como t .44.Enelsiguientesistemadeecuacionesdiferencialesaparecealestudiarunaseriede
elementosquesedesintegranporsuradioactividad 1 1 2;dx dyx x ydt dt
= =
Determine ( ); ( )x t y t sujetasa ( ) 00x x= ( ) 00y y= Laprimeraecuacinsepuederesolverporseparacindevariables.Obtenemos 11
tx c e = .
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Para ( ) 00x x= obtenemos 1 0c x= y as 10 tx x e = . La segunda ecuacin se convierteentonces
10 1 2
tdy x e ydt
= o 12 0 1 tdy y x edt + =
queeslineal.Unfactordeintegracines 2te .As( ) ( )2 1 2 12 1 2 2
1 2
0 10 1 0 1 2
2 1
0 12
2 1
t tt t t t
t t
xd e y x e e x e e y e cdt
xy e c e
= = = + = +
De ( ) 00y y= obtenemos ( )( )0 2 0 1 0 12 2 1y y x
c
= .Lasolucines
1 20 1 0 2 0 1 0 1
2 1 2 1
t tx y y xy e ey
= + 45.Cuandosetieneencuentaloolvidadizodeunindividuo,larapidezconquememoriza
est definida por ( )1 2dA k M A k Adt = , enque 1 0k > , 2 0k > ( )A t es la cantidaddematerialmemorizadoenel tiempo t,Mes lacantidad totalpormemorizaryMAes lacantidad que resta por memorizar. Halle A(t) y grafique la solucin. Suponga que
( )0 0A = .DetermineelvalorlmitedeAcuando t einterpreteelresultadoa)Resolviendo ( )1 2 0k M A k A = para A nosencontramosconlasolucindeequilibrio
( )11 2k MAk k
= + .Desdelafaseretratovemosque ( ) ( )11 2limtk MA tk k
= + .
Desde 2 0k > ,elmaterialnuncasercompletamentememorizadoymayorseael 2k es,menorserlacantidaddematerialsememorizaeneltiempo.
b)Escribir laecuacindiferencialen la forma ( )1 2 1dA k k A k Mdt + + = .Acontinuacin,unfactordeintegracines ( )1 2k k te + ,y
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 11
1 2 1 2
k k t k k t k k t k k t k k tk M k Md e A k Me e A e c A cedt k k k k
+ + + + + = = + = + + +
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Usando ( )0 0A = obtenemos 11 2
k Mck k
= + y( )( )1 21
1 2
1 k k tk MA ek k
+= + . Como
1
1 2
, k Mt Ak k
+ .
46.Laraznconquesediseminaunamedicinaeneltorrentesanguneosedescribeconla
ecuacindiferencial dx r kxdt
= ,ryksonconstantespositivas.Lafuncinx(t)describelaconcentracindelfrmacoensangreenelmomentot.Determineelvalorlmitede ( )x t cundo t .Encuntotiempolaconcentracineslamitaddelvalorlmite?Supongaque ( )0 0x = a)Resolviendo 0r kx = para x nosencontramos con la solucindeequilibrio rx
k= .
Cuando , 0r dxxk dt
< > y donde , 0r dxxk dt
> < . Desde la fase retrato vemos que
( )limt
rx tk
= .
b)De dx r kxdt
= y ( )0 0x = obtenemos ktr rx ek k
= asquerxk
como t .Si
( )2rx Tk
= entonces ( )ln 2Tk
= .
47.Supongaqueunforensequellegaalaescenadeuncrimenvequelatemperaturadelcadveres82F.Propongadatosadicionales,peroverosmiles,necesariosparaestableceruna hora aproximada de la muerte de la vctima, aplicando la ley de Newton delenfriamiento.Esnecesarioconocer latemperaturadelairedesdeelmomentode lamuertehastaquellegueelmdicoforense.Vamosasuponerquelatemperaturadelaireesunaconstante65 F .PorlaleydeNewtondeenfriarentoncestenemos
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( ) ( )65 , 0 82dT k T Tdt
= = Usodelalinealidadolaseparacindevariablesobtenemos65 ktT ce= + .De ( )0 82T = obtenemos 17c = ,asque 65 17 ktT e= + .Paraencontrar k
necesitamosmsinformacinporloqueasumimosquelatemperaturadelcuerpoen2t = horaera75 F .Entonces 275 65 17 ke= + y 0.2653k = y ( ) 0.265365 17 tT t e= + .
En el momento de la muerte, a ( )0 98.6 FT t = , as 0.265398.6 65 17 te= + , que da2.568t = . Por lo tanto, el asesinato tuvo lugar alrededor de 2.568 horas previas al
descubrimientodelcuerpo.
48.ElSr.Prezcolocaalmismotiempodostazasdecafenlamesadeldesayunador.Deinmediatoviertecremaen su taza,conuna jarraqueestabadesdehacemuchoenesamesa.Leeeldiariodurantecincominutosytomasuprimersorbo.LlegalaSra.Prezcincominutosdespusdeque las tazas fueron colocadasen lamesa, vierte crema la suya ytomaunsorbo.Supongaque laparejaagregaexactamente lamismacantidaddecrema.Quin y por qu toma su caf ms caliente? Base su aseveracin en ecuacionesmatemticas.Vamos a suponer que la temperatura de la habitacin y la crema es 72 F , y que latemperatura del caf cuando se ponga primero en la tabla es 175 F . Si dejamos que( )1T t representanlatemperaturadelcafentazaSr.Jone`senelmomento t ,entonces
( )1 1 72dT k Tdt = ,loqueimplica 1 172 ktT c e= + .Enelmomentode 0t = ElSr.Jonesagregacremaparaelcafqueinmediatamentereducesutemperaturaenunacantidad ,asque ( )1 0 175T = .As ( )1 1175 0 72T c = = + ,loqueimplica 1 103c = ,asque( ) ( )1 72 103 ktT t e= + .En ( ) ( ) 515, 5 72 103 kt T e= = + .Ahoradejamosque ( )2T t
representanlatemperaturadelcafentazaseoraJone.De 2 272ktT c e= + y ( )2 0 175T =
obtenemos 2 103c = ,asque ( )2 72 103 ktT t e= + .Ent ( ) 525, 5 72 103 kt T e= = + .CuandolacremaseagregaalcafLaseoraJone`s,latemperaturasereducirenunimporte .Utilizandoelhechodeque 0k < tenemos( ) ( ) ( )5 5 5 52 15 72 103 72 103 72 103 5k k k kT e e e e T = + < + = + =
As,latemperaturadelcafenelSr.Jonecopaesmscaliente.VACIADODETANQUES
49.Un tanque tiene la forma de un cubo de 12 pies de arista.Debido a un pequeoorificio situado en el fondo del tanque, de 2pulgadas cuadradas de rea, presenta un
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escape.Sieltanqueestinicialmentellenohastalastrescuartaspartesdesucapacidad,determine:a)Cundoestaralamitaddesucapacidad?b)Cundoestarvaco?
a)Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses
( ) 2A h dh ac ghdt= (1)Como lasdimensionesdeltanqueestndadasenpie,ypuestoque1pulg=1/12pies,entonceshaciendolaconversin,elreaorificiodesalidaser
2 2 21 12pulg 2144 72
a pies pies = = =
Elcoeficientededescargaes 1c = ylagravedad 232 piesg seg= Como puede observarse en la Figura, las secciones transversales del tanque van a sercuadradosde ladosconstantese igualesa12pies, independientementede laalturaa lacual se efecta el corte, por lo tanto, el rea de las seccin transversal ser
( ) 2144A h pies= Ya que las secciones transversales son de rea constante y puesto que el tanque estinicialmente llenohasta3/4desucapacidad,resultaque laaltura inicialser iguala3/4de laalturatotal.As,como laaltura totaldeltanquees 12th pies= ,entonces laalturainiciales 0
3 94 t
h h pies= = .Sustituyendo ( ) , ,A h a c y g enlaecuacin(1)1 8144 6472 72
dh h dt h dt= = simplificando 11449
dh h dt= (2)La ecuacin (2) es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado de tanqueplanteadoydeberesolversesujetaalacondicin ( )0 9h pies= .La ecuacin (2) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las
variablessemultiplicalaecuacin(2)porelfactor 9 1296 dh dth h
= integrando
1296 dh dth
= (3)
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Ambas integrales son inmediatas12
1 22dh h dh h k dt t kh
= = + = + sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(3) 2592 h t k = + (4)Para determinar el valor de la constante k de integracin se usa la condicin inicial( )0 9h = , esto es, se sustituye en la ecuacin (4) 0t seg= y 9h pies= , resultando
7776k = . Este valor obtenido para k se sustituye en la ecuacin (4)2592 7776h t = multiplicando por 1
2592 y elevando al cuadrado
( ) 232592th t = + (5)Laecuacin(5)eslaleydevariacindelaalturadellquidoenel
tanqueencualquierinstante t .Sequieredeterminareltiempoparaelcualelvolumendelquidoeneltanqueesigualalamitaddesucapacidad;esdecir,cuando laalturade lquidoenel tanquees iguala6
pies.Paraello,sesustituye 6h pies= en laecuacin(5)2
6 32592t = + elevandoa la
12 entonces, 6 3
2592t= + Multiplicando por ( )1 3 6
2592t = sumando 3 y
multiplicandopor 2592 ( )2592 3 6 7776 6350,4 1425,6t = = = Deaquque,debetranscurriruntiempo 1425,6 23min 45t seg seg= = ,paraqueeltanquesevacehastalamitaddesucapacidad.Paradeterminareltiempoquedemoraenvaciarseeltanque,esdecir,eltiempoparaquelaalturadelquidoeneltanqueseacero,sesustituye 0h = enlaecuacin(5)ysebuscat ;
2
3 02592t + = elevandoa
12entonces; 3 0
2592t + = multiplicandopor ( )2592
7776 0t = despejando t 7776t seg= Luego,debentranscurrir 7776seg ,esdecir,2horas9min36seg,paraqueeltanquesevacetotalmente.50.Untanqueenformadeconocircularrecto,dealturaHradioR,vrticepordebajodela base, est totalmente lleno con agua. Determine el tiempo de vaciado total si
212 , 5 , 1pulgH pies R pies a= = = y 0,6c =
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195http://www.damasorojas.com.veDr.DMASOROJAS
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Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanquees
( ) 2A h dh ac gh dt= (1)Elreadeorificiode salidaes 21pulga = pero como lasdimensionesdel tanqueestndadasenpies,hayquerealizarlaconversin.
Puestoque 11pulg12
pies= ,entonces2
2 21 11pulg12 144
a pies pies = = =
Elcoeficientededescargaes 0,6c = ylagravedades 232 piesg seg= .Segn puede observarse en la Figura, las secciones transversales del tanque soncircunferencias cuyo radio vara dependiendo de la altura a cual se efecte la seccintransversal.Sea h laalturaalacualseefectaelcortey r elradiodelacircunferencia.Elreadelaseccintransversalesvariableyestdadapor ( ) 2A h r= (2)
Para expresar r en funcin de h , debe hacerse una abstraccin, en el sentido devisualizareltanque,nocomounslido,sinocomounafiguraplana.ObservandoeltanquedefrentecomounafiguraplanasevetalycomosemuestraFigura.Si seubican los ejes coordenadosde tal formaque el vrticedel cono coincida con elorigendelsistemadecoordenadas,entoncessetieneunafigurasimtricarespectodelejey ,talycomosemuestraenlaFigura.Porsimetra,sersuficientetrabajarconunodelostringulos.
Por semejanza de tringulos (ver Figura) se tiene entonces la siguiente relacin de
proporcin 512
rh= despejando 5
12r h= (3)sustituyendolaecuacin(3)enlaecuacin(2)
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196http://www.damasorojas.com.veDr.DMASOROJAS
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( ) 2 25 2512 144
A h h h = = Sustituyendo ( ) , ,A h a c y g enlaecuacin(1)225 1 6 64
144 144 10h dh h dt = Multiplicandopor144
2 24255
h dh h dt = (4)Laecuacin(4)eslaecuacindiferencialasociadaalvaciadodetanqueplanteadoenesteproblemaydeberesolversesujetaa lacondicin inicialqueparaeltiempo 0t = seg, laalturaes 12h = pies,estoes ( )0 12h = .La ecuacin (4) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las
variablessemultiplicaporelfactor 524 h
,entonces2125
24h dh dth
= integrando2125
24h dh dth
= (5)Ambasintegralessoninmediatas1 3 52
2 2 2 21 2
25
h dh h h dh h dh h k dt t kh
= = = + = + Sustituyendo los resultadosde lasintegralesenlaecuacin(5)
52125 2
24 5h t k = + efectuandooperaciones
5225
12h t k = + (6)
Paradeterminarelvalordelaconstante k deintegracinseusalacondicininicial( )0 12h = ,estoes,sesustituyeenlaecuacin(6) 0t = seg.y 12h = pies,resultando
( )5225 1212
k = .Estevalorobtenidopara k sesustituyeenlaecuacin(6)
( )5 52 225 25 1212 12
h t = (7)multiplicandopor 1225
yelevandoala25
( ) ( )2
5 52
12 1225
h t t = + (8)Laecuacin(8)es la leydevariacinde laalturadel lquido
eneltanqueencualquierinstante t .El tiempodevaciado totalseobtienecuando laalturade lquidoenel tanquees 0h = pies.Sustituyendoestevalorenlaecuacin(7) ( )52250 12
12t = despejando t
( )5225 12 3264,8312
t seg= = Deaquque,eltanquedemoraenvaciarse3264,83seg ,esdecir,54min25seg
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51.UnatazahemisfricaderadioRestllenadeagua.Sihayunpequeoorificioderadiorenelfondodelasuperficieconvexa,determineeltiempodevaciado
Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses:
( ) 2A h dh ac gh dt= (1) Como el radio de la taza hemisfrica es R y el tanque seencuentrallenoentonceslaalturainicialdelquidoeneltanquees R ,talycomopuedeobservarseenlaFig.1,esdecir, ( )0h R= Elorificiodesalidatieneradio r ,porlotanto,elreadelorificiodesalidaes 2a r= .Seac elcoeficientededescargay g lagravedad.Lasseccionestransversalesdeltanquehemisfrico,soncircunferenciasderadiovariable,segn la altura donde se realice la seccin transversal. Sea x el radio variable de laseccintransversal.Porsercircunferencia,elreaes ( ) 2A h x= (2)Sedebeestablecerunarelacinentreelradio x ylaaltura h ,detalformaqueelreadelaseccintransversalquedeexpresadaenfuncindelaalturah .
Observandoel tanquede frente comouna figuraplana yubicndoloenun sistemadecoordenadas cartesianas rectangulares como se muestra en la Figura. Puesto que laresultante es simtrica respecto del eje y , ser suficiente trabajar con lamitad de lafigura.
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198http://www.damasorojas.com.veDr.DMASOROJAS
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Eltringuloqueseforma,tienecomobaseelradio .x ,altura. ( )R h .e .HipotenusaR .Aplicando el Teorema de Pitgoras al tringulo de la Figura ( )22 2R x R h= + desarrollando 2 2 2 22R x R Rh h= + + simplificando 2 22x Rh h= (3) sustituyendo laecuacin(3)enlaecuacin(2) ( ) ( )22A h Rh h= (4)Ahorasesustituyen ( )A h yaenlaecuacin(1) ( )2 22 2Rh h dh r c gh dt = (5)La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las
variablessemultiplicalaecuacin(5)porelfactor2
12r c gh ,entonces:
( )22 1 22 Rh h dh dtr c gh = (6)A partir de la ecuacin diferencial (5) y sabiendo queparaeltiempo 0t = laalturaes h R= ,sedebedeterminareltiempodevaciado vt ,estoeseltiempoparaelcuallaalturadelquidoeneltanqueescero.Seplanteaas,elproblemadevalordefrontera
( )( )
2
2
22
0
0v
Rh h dh dtr c gh
h R
h t
= = =
Integrando la ecuacin diferencial (6) de forma definida: el tiempo vara entre 0t = yvt t= ( vt tiempoadeterminar)laalturavaraentreh R= y 0h =
0 2
20
1 22
vt
R
Rh h dh dtr c g h
= (7)Resolviendolasintegralesdefinidas
3 50 1 32 2 2 2
2 2
0 0 00 0
5 5 52 2 2
00
2 2 4 223 5
4 2 143 5 15
vv
R RR R R
R
tt
v
Rh h Rh h Rh hdh dh R h dh h dhh h
R R R dt t t
= = + = + =
= + = = =
sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(7)52
2
1 14152 vR t
r c g
=
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Porlotanto,eltiempoquedemoraenvaciarseeltanquees2
2
1415 2
R Rtr c g
=
52. Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al hacer girar la curva43y x=
alrededordel eje y . Siendo las 11:27de lamaana se retiraun tapnque esten elfondoyenesemomentolaprofundidaddelaguaeneltanquees12pies.Unahoramstardelaprofundidaddelaguahadescendidoalamitad.Determinea)Aquhoraestarvacoeltanque?b)Aquhoraquedaraeneltanque25%delvolumendelquidoinicial?
a)Lacurva43y x= quesehacegiraralrededordeleje y paragenerareltanquetienesu
vrtice en el origen. Cuando la variable y toma el valor de lamxima profundidad delquidoeneltanque,estoes, 12y = lavariable x querepresentaelradiodegirotomaelvalor ( )3412 6, 45x = = .EnlaFig.1semuestralaformaaproximadadeltanque.Laecuacindiferencialasociadaaunproblemadevaciadodetanquees
( ) 2A h dh ac gh dt= (1)Elcoeficientededescargaes 1c = y lagravedades 232 piesg seg= .Elreaadelorificiodesalidadebedeterminarse.Lasseccionestransversalessoncircunferenciasderadiovariable r .Por lotanto,elreadelasseccionestransversaleses ( ) 2A h r= (2)Elradio r debeexpresarseenfuncindelaaltura h .Paraellodebeobservarseeltanque
comounafiguraplana,vistadesdeelfrente.LaFiguramuestralacurvaplana43y x=
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200http://www.damasorojas.com.veDr.DMASOROJAS
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Observeen laFig.2queelpunto ( ),P r h pertenecea lacurva 43y x= ;estoquieredecirquelascoordenadasdelpunto P satisfacenlaecuacindelacurva.
Sustituyendo ,x r y h= = entonces43h r= Despejando r
34r h= (3) sustituyendo la
ecuacin(3)enlaecuacin(2) ( ) 32A h h= Unavezqueelreadelaseccintransversaldeltanquehaquedadoexpresadaenfuncin
delaaltura,sesustituyen ( ) ,A h c y g enlaecuacin(1) 32 64h dh a h dt = (4)Laecuacin (4)es laecuacindiferencial asociada alproblemade vaciadoplanteado ydeberesolversesujetaadoscondiciones:laprimeracondicinesqueparaeltiempo 0t = seg, la altura es 12h = pies; la segunda condicin es que luego de una de iniciado elproceso de vaciado, es decir, para 3600t = seg, la altura de lquido en el tanque hadescendidoalamitad,estoes, 6h = pies.Porlotanto,loquedeberesolverseeselproblemadevalordefrontera
( )( )
32 80 12
3600 6
h dh a h dth
h
= = =
La ecuacin (4) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las
variablessemultiplicalaecuacin(4)porelfactor 1 164 8h h
= 32
8h dh a dth
= (5) integrando definidamente; el tiempo vara entre 0t = seg y
3600t = seg;laalturavaraentre 12h = piesy 6h = pies3
6 36002
12 08h dh a dth
= (6)Resolviendolasintegrales
( ) ( )3 12 2 26 12 360022 36000
12 6 06
12 672 18 54 3600
2 2 2h hdh hdh dt th
= = = + = + = = =
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (6) ( )54 36008
a =
multiplicandopor 13600
,entonces 1 273600 4
a = simplificando 3600a=
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201http://www.damasorojas.com.veDr.DMASOROJAS
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Estevalorqueseobtuvoparaa(readelorificiodesalida)sesustituyeenlaecuacin(5)
1600
32 3
8 1600h dh dth
= multiplicandopor1600
3 ysimplificando200
3hdh dt = (7)
Sepidedeterminarel tiempo vt quedemoraenvaciarseel tanque,esdecir,el tiempoparaelcual laalturade lquidoenel tanquesehacecero.Paraellosedeberesolverelproblemadevalordefrontera
( )( )
2003
0 12
0v
h dh dt
h
h t
= = =
Laecuacindiferencial(7)se integradeformadefinida:eltiempovaraentre 0t = segyvt t= ;laalturavaraentre 12h = piesy 0h = pies
0
12 0
2003
vt
h dh dt = (8)Resolviendolasintegralesdefinidas120 12 2
012 0 00
722
vv
tt
vhh dh hdh dt t t= = = = = sustituyendo los resultados de las
integralesenlaecuacin(8) ( )200 72 48003v
t = = Deaqusetieneque,eltanquedemoraenvaciarse 4800t = seg,loqueequivalea1horay20min.Sielprocesodevaciadoseinicioalas11:27am,entoncesparasaberaquhoraeltanqueestarvaco,debesumarseeltiempodevaciado vt alas11:27.Luego,eltanqueestarvacoalas12:47pm.b)Parasaberaquhoraquedaeneltanqueel25%desucapacidad,sedebecomenzarpor establecer cul es la altura de lquido en el tanque cuando resta el 25% de sucapacidad.Comoseconocelaalturainicialdelquidoeneltanque,elvolumentotalsedeterminaporelmtododelvolumenporseccionestransversales
( ) ( )0125 5
12 3 2 22
0 00
2 1225 5
h hV A h dh h dh= = = = luegoel25%delvolumentotales
( ) ( )5 52 22 12 122525%100 5 10
V = =
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202http://www.damasorojas.com.veDr.DMASOROJAS
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Conocidoelvolumen cuando restael25%de lquidoenel tanque,utilizandoelmismomtodoporseccionestransversales,sepodrdeterminarculeslaalturadelquidoenel
tanqueenestecaso ( )25%0
25%h
V A h dh= sustituyendo ( )A h y25%V ( ) 25%5
322
0
1210
h
h dh = (9)
Resolviendo la integral definida( ) ( )
25%
25%5
3 522 2
25%0
0
2 12 25 5
hh
h dh h = = sustituyendo el
resultadodelaintegralenlaecuacin(9)( ) ( )
5522
25%
12 210 5
h = multiplicandopor 5
2
( ) ( )5
5 22
25%
124
h = elevandoa 25entonces
( )25% 2512 6,894
h = =
Unavezconseguida laalturade lquidoeneltanquecuandoquedael25%delvolumentotal, seprocedeabuscarel tiempoquedemoraen llegaraesaaltura.Paraellodeberesolverseelproblemadevalordefrontera
( )( ) ( )25% 25
2003
0 1212
4
hdh dt
h
h t
= = =
Laecuacindiferencial(7)se integradeformadefinida:eltiempovaraentre 0t = segy25%t t= ;laalturavaraentre 12h = piesy ( )25
12
4h =
( )25 25%12
4
12 0
2003
t
h dh dt = (10)Resolviendolasintegralesdefinidas( )
( ) ( )( )
25 25%
25%
2255
122
124 12 2
25%2 0121212 0544
1 1272 72 23,75 48, 252 2 4
tthh dh hdh dt t t
= = = + = + = = =
sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(8)
( )25% 200 48,25 3216,663t = =
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Deaqu se tieneque,el tanquedemora 3216,66t = segenvaciarsehastael25%de sucapacidadinicial,loqueequivalea53miny36seg.Sielprocesodevaciadoseinicioalas11:27am,entoncesparasaberaquhoraeltanquetendrsloel25%desucapacidad,hayqueagregaralas11:27los53miny36seg.Luegotendrel25%desucapacidadalas12:20:36pm.
53.El tanqueque semuestraen la figuraest totalmente llenode lquido. Se iniciaelprocesodevaciado,porunaperforacincircularderea 21cm ubicadaenlabaseinferiordeldepsito.Sisehaestablecidoelcoeficientededescarga 0,447c = y lagravedades
210mg
seg=
Determine:a)Tiempoquedebetranscurrirparaquequedeeneltanqueuncontenidoequivalenteal18,75%desucapacidadb)TiempodevaciadototaldeltanqueSOLUCIN:Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses
( ) 2A h dh ac gh dt= = (1)Elreadelorificiodesalidaes 21a cm= ,perocomolasdimensionesdeltanqueestnenmetros debe efectuarse la conversin. Puesto que 21 0,01 10cm mt mt= = , entonces
( ) ( )222 2 4 21 1 10 10a cm cm mt mt = = = = .Enelenunciadodelproblemadanelcoeficientededescarga 3447.10c = ylagravedad 210 mtg seg= Segnpuedeobservarseen laFigura, lasseccionestransversalessonrectngulos,dosdelos lados paralelos de longitud constante e igual a 8 y los otros dos lados de longitudvariable r .Elreadelaseccintransversalesentonces ( ) 8A h r= (2)Debeexpresarselalongitud r enfuncindelaaltura h .Paraellosiseobservaeltanquede frente, como una figura en una plana, ubicada en un sistema de coordenadascartesianasrectangulares,severcomolomuestralasiguienteFigura
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Obsrveseque el punto ( ),P r h pertenece a la recta que pasa por los puntos ( )1,0 y( )2, 4 . La pendiente la recta es 4 0 4
2 1m = = La ecuacin de la recta que pasa por el
punto ( ) ( )( )1,0 2, 4o ytienependiente4es ( ): 4 1L y x= Yaqueelpunto ( ),P r h pertenecea larecta L entoncessatisface laecuacindedicharecta, por lo tanto sustituyendo ,x r y h= = entonces ( )4 1h r= despejando r
14hr = + (3)Sustituyendolaecuacin(3)enlaecuacin(2),setieneelreadelasecciones
transversales en funcinde la altura h ( ) ( )8 1 2 44hA h h = + = + Ahora se sustituyen
( ) , ,A h a c y g enlaecuacin(1) ( ) 4 32 4 10 .447.10 20h dh h dt + = simplificando( ) 17 22 4 447.10 20h dh h dt+ = (4)
La ecuacin diferencial (4) es una ecuacin diferencial de variables separables y deberesolversesujetaalacondicindequelaalturainicialdelquidoeneltanquees 4mt ,esdecir, ( )0 4h = .Parasepararlasvariables,laecuacin(4)debemultiplicarseporelfactor
7
12
10
447 20h entonces
7
12
2.10 4447 20
h dh dth
+ = integrando
7
12
2.10 4447 20
h dh dth
+ =
(5)Ambasintegralessoninmediatas
1 1 3 12 2 2 2
1 212
4 24 83
h dh h dh h dh h h k dt t kh
+ = + = + + = + sustituyendolosresultadosdelasintegralesenlaecuacin(5)
3 172 22.10 2 8
3447 20h h t k
+ = + (6)
Para determinar el valor de la constante k de integracin se usa la condicin inicial( )0 4h = ,estoes,sesustituyeenlaecuacin(6) 0t = segy 4h = mt,
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3 1 17 7 7 72 2 22.10 2 2.10 2 4.10 32 128.104 8 4 4 4 8
3 3 3447 20 447 20 447 20 1341 20k
= + = + = =
estevalorobtenidopara k sesustituyeenlaecuacin(6)3 17 72 22.10 2 128.108
3447 20 1341 20h h t
+ = despejando t
3 172 22.10 64 2 8
3 3447 20t h h
= (7)
Laecuacin(7)representalarelacinfuncionalentrealturaytiempo.Yaquesedebedeterminareltiempoquedebetranscurrirparaqueeneltanquequedesolo el 18,75% del volumen total de lquido, para usar la ecuacin (7) ser necesarioconocer laalturade lquidoenel tanque,cuandoenestequedael18,75%delvolumentotal.Secomienzapordeterminarelvolumentotaldelquidoeneltanque.Comoeltanqueseencuentra lleno, la altura total de lquido en el tanque coincide con la altura inicial.Aplicandoelmtododelasseccionestransversalesparahallarelvolumentotal
( ) ( )0 4 4 4 4 42 000 0 0 0
2 4 2 8 8 16 32 48h
V A h dh h dh hdh dh h h= = + = + = + = + = As,elvolumentotaldelquidoeneltanquees 348V mt= .Luego,el18,75%delvolumentotales
( )( )18,75 48 90018,75% 9100 100
V = = = Ahora, usando lamisma ecuacin anterior para calcular volumen, se puede establecercul ser la altura 1h del lquido en el tanque, si se sabe que el volumen es
319,75% 9V mt= entonces ( )10
18,75%h
V A h dh= sustituyendolosdatos( ) ( ) ( )1 1 22 1 10
0
9 2 4 8 8h
hh dh h h h h= + = + = + se tiene entonces una ecuacin de segundo
gradoen 1h ( )21 18 9 0h h+ = Resolviendolaecuacindesegundogrado( ) ( )( )
( )2
1
8 8 4 1 9 8 100 8 102 1 2 2
h = = = dedonderesulta 9h = y 1h =
Yaque h debeserpositivo,puesrepresentaunaaltura,elvalor 9h = sedescarta,porlotanto,laalturadelquidoeneltanquecuandoelvolumenesde18,75%delvolumentotales 1h = m. Luego, para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque hasta18,75%delvolumentotal,sersuficienteconsustituir 1h = menlaecuacin(7)
72.10 64 2 8 126727,19343 3447 20
t = = As,eltanquedemoraenvaciarsehastael18,75%delvolumentotal
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206http://www.damasorojas.com.veDr.DMASOROJAS
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126727,1934t = seg=35horas12min7seg=1da11horas12min7seg.b)Paradeterminarel tiempodevaciado totaldel tanque,esdecir,cuando laalturadelquidoeneltanqueescero,sesustituye 0h = enlaecuacin(7)
7 72.10 64 128.10 213435, 2733447 20 1341 20v
t = = = As, el tanque demora en vaciarsetotalmente 213435,273t = seg=59hora17min15seg=2das11horas17min15seg
54.Eltanquequesemuestraenlafiguraseencuentrallenoenun100%:Ellquidoescapaporunorificiode 25cm rea,situadoenelfondodeltanque.Determinea)Tiempodevaciadototalb)Tiempoparaqueelvolumendelquidoeneltanquedescienda5m
Laecuacindiferencialasociadaalosproblemasdevaciadodetanqueses
( ) 2A h dh ac gh dt= (1)Elcoeficientededescargaes 1c = ;lagravedades 29,81 mtg seg= El readelorificiode salida estdado en cm2,pero como lasdimensionesdel tanqueestn dadas en m, debe realizrsela conversin a una sola unidad, As
2 4 25 5.10a cm mt= = Segn semuestra en la Figura, las secciones transversalesdel tanque son rectngulos,cuyoladosvaranenfuncindelaalturaalacualseefectelaseccintransversal,seanLy M las longitudes de los lados. Entonces el rea de la seccin transversal es
( )A h LM= (2)Sedebenexpresaramboslados(LyM)enfuncindelaaltura.Siseobservaeltanqueporunadesuscarasyseconsideraunafiguraplana,ubicndolaenunsistemadecoordenadascartesianasrectangulares,seobtieneloquesemuestraenlaFigura.
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Comopuedeobservarse laFiguraes simtrica respectoaleje y ,por lo tanto,a findeestablecerlarelacinentreLyhsetrabajaconlamitaddeltrapecioqueseforma,comosemuestraenlaFigura
Sepuedeobtener la relacinentre L yh, a travsde la rectaquepasapor lospuntos
3 ,02
y ( )4,12 ,rectaalacualperteneceelpunto ,2L h .Sinembargo,semostrarotro
procedimiento,elcualnosconducealamismarelacin.ObservequelaFiguraseformaconunrectnguloyuntringulo.Considreseeltringulo.EnlaFig.4seindicanlasdimensionesdelosladosdedichotringulo.SiseaplicasemejanzadetringulosalosdostringulosdelaFig.4
3 5
2 2 212
L
h
= Simplificando 3 512
Lh = despejandoL 5 3
12L h= + (3)
Ahora debe visualizarse el tanque respecto de una de las dos caras no paralelas a laanterior.Lafiguraplanaqueseobserva,resultaigualaladelaFiguraanterior,loquevarasonlasdimensionesdelasaristas,talycomosemuestraenlasiguienteFigura.
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Comopuedeobservarseessimtricarespectoalejey,porlotanto,afindeestablecerlarelacinentreMyhsetrabajaconlamitaddeltrapecioqueseforma
Sepuedeobtener la relacinentremyh,a travsde la rectaquepasapor lospuntos
3 ,02
y ( )4,12 ,rectaalacualperteneceelpunto ,2L h .Sinembargo,semostrarotro
procedimiento,elcualnosconducealamismarelacin.ObservequelaFiguraanteriorseformaconunrectnguloyuntringulo.Considreseeltringulo.EnlaFigurasiguienteseindicanlasdimensionesdelosladosdedichotringulo.Siseaplicasemejanzadetringulosalosdostringulos
112
12
M
h
= Simplificando 2 12 12
Mh = despejandoM 1 2
6M h= + (4)
Las ecuaciones (3) y (4) se sustituyen en la ecuacin (2), resultando que el rea de laseccintransversaldeltanqueenfuncindelaalturaes
( ) ( )( ) 25 36 125 1 5 96 4323 212 6 72 72
h h h hA h h h+ + + + = + + = =
Sustituyendo ( ) , ,A h a c y g enlaecuacin(1) 2 45 96 432 5.10 19,6272
h h dh h dt + + =
(5)
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Laecuacin(5)eslaecuacindiferencialasociadaalproblemaydeberesolversesujetaalacondicin ( )0 12h = ,esdecir,paraeltiempo 0t = seglaalturaes 12h = mLa ecuacin (5) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las
variablessedebemultiplicardichaecuacinporelfactor4
15.10 19,62h
2
4
1 5 96 432725.10 19,62
h h dh dth + + =
Efectuandolasoperaciones
3 1 132 2 210 5 96 432
36 19,62h h h dh dt
+ + = (6)
Apartirde laecuacin (6)debedeterminarseel tiempodevaciado totaldel tanque,esdecir, el tiempo para el cual la altura de lquido en el tanque es 0h = m. Para ello seintegrade formadefinida laecuacin (6):el tiempovarade 0t = sega