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Artículo Revista de Tecnología e Innovación Marzo 2015 Vol.2 No.2 115-131
Concentración de esfuerzos en una placa con dos barrenos centrados sometida a
carga axial
ORTEGA-Francisco†, PALACIOS-Francisco, GARCIA-Diego & GARCIA-José
Instituto Tecnológico Superior de Irapuato. Carretera Irapuato Silao km 12.5 C. P. 36821 Irapuato, Gto.
Recibido 14 de Enero, 2015; Aceptado12 de Marzo, 2015 ___________________________________________________________________________________________________
Resumen
En el presente trabajo se analiza la concentración de
esfuerzos en una placa plana sometida a carga axial.
Para realizar dicho análisis se determina el factor de
concentración de esfuerzos mediante la ayuda del
software Ansys, el cual utiliza la teoría del elemento
finito para realizar sus análisis. Se realizan un total
de 125 simulaciones obteniendo los esfuerzos
máximos que soportan la pieza, los cuales son
utilizados para determinar el factor de concentración
de esfuerzos. Los factores de concentración de
esfuerzos son graficados en función de S/D
(distancia entre el centro de los barrenos/diámetro
de los barrenos) para las relaciones W/D (espesor de
la pieza/diámetro del barreno) de 1.2, 1.5, 2, 2.5, 3.
A los resultados graficados se les realiza una
regresión mediante el método de mínimos
cuadrados para obtener ecuaciones que se puedan
utilizar en predecir el factor de concentración de
esfuerzos de este tipo de piezas mecánicas. Las
ecuaciones que se obtienen son conjuntos de
ecuaciones lineales, exponenciales y polinómicas
con valores del coeficiente de correlación que varía
de 0.8835 a 0.9997.
Concentración, esfuerzos, factor
Abstract
In this paper the stress concentration on a flat plate
subjected to axial load is analyzed. To perform this
analysis the stress concentration factor are calculate
by wing of Ansys software, this software uses the
theory of finite element to carry out their analysis.
125 simulations are performed to obtain the
maximum stress in the piece, these stresses are used
to determine the stress concentration factor. The
stress concentration factor are plotted as a function
of s/D (distance between the center of the holes /
diameter of holes) to the relationship W/D (blank
thickness / hole diameter) of 1.2, 1.5, 2, 2.5, 3. The
ploted results are used to apply a regression by the
method of least squares to obtain equations that can
be used predicting the stress concentration factor of
this type of mechanical parts. The equations
obtained are sets of linear, exponential and
polynomial equations with correlation coefficient
values ranging from 0.8835 to 0.9997. The
polynomial equations obtained are strongly
consistent with the compute data, these equations
can be used in a reliable way therefore to predict the
stress concentration factor.
Concentration, stress, factor
___________________________________________________________________________________________________
Citación: ORTEGA-Francisco, PALACIOS-Francisco, GARCIA-Diego & GARCIA-José. Concentración de esfuerzos en
una placa con dos barrenos centrados sometida a carga axial. Revista de Tecnología e Innovación 2015, 2-2:115-131
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† Investigadorcontribuyendo como primer autor.
© ECORFAN-Bolivia www.ecorfan.org/bolivia
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ORTEGA-Francisco, PALACIOS-Francisco, GARCIA-Diego
& GARCIA-José. Concentración de esfuerzos en una placa con
dos barrenos centrados sometida a carga axial. Revista de
Tecnología e Innovación 2015
Nomenclatura
La nomenclatura utilizada durante el desarrollo
del presente trabajo se muestra a continuación.
A Área transversal de la placa
B Matriz de deformación
D Diámetro del barreno
F Fuerza aplicada a la pieza
H1,2 Coeficientes de peso de la cuadratura
gaussiana
J Jacobiano
Ke
Matriz de rigidez
Kt Factor de concentración de esfuerzos
L Longitud de la placa
N Matriz de las funciones de forma
Ni…p Función de forma del nodo i, j, k, l,
m, n, o, p perteneciente al elemento
cuadrado
R2
Coeficiente de correlación
s Separación entre los centros de los
barrenos
W Ancho de la placa
x Coordenada global del elemento
y Coordenada global del elemento
η Coordenada local del elemento
ξ Coordenada local del elemento
σmax Esfuerzo máximo
σteórico Esfuerzo teórico
Introducción
La concentración de esfuerzos es uno de
principales problemas por los cuales tienen que
preocuparse los diseñadores al momento de
diseñar cualquier tipo de maquinaria o equipo,
debido a que los concentradores de esfuerzos
pueden ocasionar que las distintas piezas
mecánicas se fracturen y la máquina o equipo
pierda sus condiciones de funcionamiento. Por
tal motivo, los diseñadores deben de tratar de
eliminar en la medida de lo posible los
concentradores de esfuerzos en las piezas
mecánicas.
Se debe prestar especial atención para
analizar de la mejor forma posible los
concentradores de esfuerzo para que los diseños
que se realicen funcionen de forma adecuada y
sean lo más confiables que se pueda.
Muchos investigadores han realizado
estudios de diferentes tipos de concentradores
de esfuerzo y el efecto que estos tienen en
distintos materiales. Zheng & Niemi (1997)
investiga la relación entre el esfuerzo y la
deformación local, así como el esfuerzo
nominal propuesto por Moski y Glinka los
autores comentan que dicho esfuerzo es bueno
para amplitudes de esfuerzo bajos, sin embargo
tanto la regla de Neuber y los métodos de
Moski y Glinka no producen buenos resultados
para amplitudes de esfuerzos grandes. Por su
parte Roldan & Bastidas (2002) presentan un
estudio el cual analiza la concentración de
esfuerzos sobre una placa plana de espesor
constante sometida a esfuerzo en sus extremos,
realizando una comparación de los resultados
obtenidos mediante la teoría de la elasticidad,
experimentalmente y por el método de
elementos finitos.
Maíz, Rossi, Laura & Bambill (2004)
comentan que los esfuerzos normales aumentan
en valor absoluto con el tamaño del orificio
para todos los materiales ortótropos. Por su
parte Bambill, Susca, Laura & Maíz (2005)
mencionan que las tensiones que se generan en
el entorno de un barreno circular de una placa
ortotrópica cuando está sometida a tensiones
hidrostáticas en un plano, son fuertemente
afectadas por las características elásticas del
material de la placa en consideración.
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En una placa plana con dos agujeros
cargada en sus extremos, la interacción de la
concentración de esfuerzos depende de la
distancia y de la relación de tamaño entre ellos
(Monroy & Godoy, 2006). Martínez, Carrera &
Ferrer (2006) presenta el estudio de una placa
plana con un barreno en el centro, bajo los
efectos de un gradiente de carga lineal,
establecen un modelo computacional
aproximado que reduce el tipo de carga
requerida y sustentan los resultados obtenidos
experimentalmente mediante fotoelasticidad y
numéricamente mediante el uso del software
ANSYS®.
Noda & Takase (2006) analizan la
concentración de esfuerzos en una barra
redonda con un arco circular o muesca en forma
de V que soporta carga a torsión, tensión y
flexión, obteniendo ecuaciones que permiten
determinar la concentración de esfuerzos en
estas piezas con un error de menos del 1%.
Susca, Bambill, Laura & Rossi (2006) analizan
la concentración de esfuerzos que genera un
pequeño orificio rectangular de bordes
redondeados en una placa ortótropa observando
que los mayores factores de concentración de
esfuerzos se encuentran en el eje principal 1 el
cual se encuentra a un ángulo de 67.5º respecto
al eje x.
El factor teórico de concentración de
esfuerzos para piezas de materiales ortotrópicos
se ve influenciado significativamente por el tipo
de carga aplicada, al igual que por parámetros
ya conocidos como el tamaño relativo del
barreno; además la carga que produce los
mayores efectos sobre los factores teóricos de
concentración de esfuerzos es la carga biaxial
tensión-tensión cuyos efectos son poco notorios
(Méndez & Torres, 2006). Por su parte Sánchez
(2006) analiza la concentración de esfuerzos en
una placa ortotrópica con una abertura elíptica
sujeta a una carga axial para un material de
hueso tomado de la diáfisis de la tibia humana.
La razón de analizar la abertura elíptica y
no la circular es porque la abertura elíptica
conduce a un análisis generalizado y en el
límite, cuando la razón del semieje menor al
semieje mayor de la elipse es muy grande, el
orificio tiende a ser una ranura muy delgada
(grieta) y por tanto su concentrador de esfuerzo
aumenta.
El factor de concentración de esfuerzos en
materiales compuestos depende estrechamente
de la geometría de la pieza, además que el
factor de concentración de esfuerzos no es un
valor suficiente, por sí solo, para la predicción
de falla en materiales laminados (Domínguez,
Santos, Robles & Ortega, 2006).
Es difícil establecer parámetros de
comportamiento en los materiales ortotrópicos,
pero existe una marcada influencia entre las
relaciones de las constantes elásticas y los
factores de concentración de esfuerzos (Susca,
Bambill & Rossit, 2007). Peñaranda, Pedroza &
Méndez (2007) analizan la concentración de
esfuerzos en una placa de longitud infinita con
dos barrenos de radios iguales, utilizando un
software de elemento finito, variando la
distancia entre los centros de los dos barrenos y
el diámetro de estos. Por su parte Gómez,
Elices, Berto & Lazzarin (2008) estudian el
factor de concentración de esfuerzos para
muescas en U los cuales soportan cargas mixtas
utilizan el concepto basado en el criterio de la
deformación promedio de la densidad de
energía.
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Sonmez (2009) realiza un estudio para
optimizar la forma de los filetes y disminuir la
concentración de esfuerzos en barras planas y
redondas sujetas a cargas axial, flexión, torsión
o cargas combinadas. Mientras que Osorio,
Rodríguez, Gámez & Ojeda (2010) estudia la
distribución de esfuerzos producidas por el
efecto de diversas condiciones de carga, en
dicho estudio se realiza una evaluación
numérica para analizar una placa para fijación
interna de fracturas ocurridas en radio distal, los
resultados muestran una concentración de
esfuerzos en las regiones adyacentes a los
orificios de la placa y en los tornillos ubicados
a los extremos de la placa de fijación.
Balankin, Susarrey, Mora Santos, Patiño,
Yoguez, & García (2011) estudian teórica y
experimentalmente el efecto de correlaciones de
largo alcance en la microestructura del material
en la concentración de tensión en las
proximidades de la punta de muesca. Según los
resultados obtenidos en pruebas experimentales
que realizan obtienen buena aproximación del
efecto del tamaño de la muesca en la resistencia
a la fractura de hojas de diferentes tipos de
papel.
Louhghalam, Igusa, Park, Choi & Kim
(2011) presentan un modelo que se acopla
numéricamente al método del elemento finito
para determinar los esfuerzos en las esquinas de
aberturas rectangulares en placas sometidas a
flexión. Por otro lado Sharma, Panchal & Patel
(2011) analizan una placa ortotrópica infinita
con un orificio circular sometido a una presión
interna utilizando el método de Mushkhelisvili,
encontrando que la orientación de las fibras y la
secuencia de apilado tienen un efecto
significativo sobre la distribución de esfuerzos
alrededor del orificio.
Mientras que Sharma (2011) determina la
concentración de esfuerzos utilizando el método
de Mushkhelisvili alrededor de recortes
circulares, elípticos y triangulares en placas
infinitas de materiales compuestos laminados
que soportan cargas biaxiales arbitrarias.
La concentración de esfuerzos es uno de
los factores que contribuyen a reducir la vida de
un componente mecánico sometido a fatiga
(Khalil Abada, Pasinia & Cecereb, 2012).
Dharmin, Khushbu & Chetan (2012) presentan
una revisión de las investigaciones que se han
realizado sobre el tema de análisis de esfuerzos
en placas infinitas con recortes. Un gran
número de técnicas analíticas, numéricas y
experimentales están disponibles para reducir el
factor de concentración de esfuerzos alrededor
de distintas discontinuidades. Se han reportado
diferentes formas para determinar el factor de
concentración de esfuerzos en placas planas
compuestas de diferentes materiales bajo
distintas condiciones de carga (Nagpal, Jain &
Sanyal, 2012).
En general, la concentración máxima de
esfuerzos para placas de anchura finita con
barreno central bajo carga axial estática siempre
se produce en la periferia del barreno, además,
el factor de concentración de esfuerzos es
máximo en la punta del barreno es decir,
perpendicular a la carga (Nagpal, Sanyal &
Jain, 2013). Mohan Kumar, Rajest, Yogesh &
Yeshaswini (2013) analizan la concentración de
esfuerzos en placas planas con agujeros
circulares, triangulares y rectangulares,
estudiando la variación de la concentración de
esfuerzos debido al cambio de geometría del
agujero. Por su parte, Henrique, Tácito &
Moreno (2013) realizan un análisis por
elementos finitos para predecir el factor de
concentración de esfuerzos elasto-plastico para
una aleación de acero 1020.
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Se sugiere el uso de muescas de forma
elíptica modificada debido a que ocasiona una
menor concentración de esfuerzos en
comparación con muescas semicirculares y
ranuras, la relación de los ejes menor y mayor
de la elipse debe estar entre 0,3 y 0,4 (Ahsan,
Prachurja, Ali & Mamun, 2013). Por otro lado,
Momcilovic, Motok & Maneski (2013) realizan
un análisis del factor de concentración de
esfuerzos en la esquina de una abertura en una
placa rectangular con pequeños radios de
curvatura, utilizando métodos analíticos,
experimentales y de elementos finitos,
realizando una comparación entre los tres
métodos.
Ortega, Garcia, Rocha & Guzmán (2013)
muestran la forma de obtener las curvas de
concentración de esfuerzos con la ayuda del
software ANSYS®. Los factores de
concentración de esfuerzos determinados son
graficados en forma adimensional, obteniendo
curvas de concentradores de esfuerzos. El
método de mínimos cuadrados es utilizado para
ajustar los datos de éstas curvas a ecuaciones
polinómicas de sexto grado con un valor de R2
entre 0.9987 y 1.
Darwisha, Tashtoushb & Gharaibehb
(2013) estudian el factor de concentración de
esfuerzos en el plano (SCF) en agujeros de los
remaches avellanados en placas laminadas
ortotrópicos bajo carga de tensión uniaxial. El
análisis de elementos finitos se realiza
utilizando el software ANSYS®. El efecto de
varios parámetros geométricos y materiales
como el espesor de la placa, el radio de vástago
recto, ángulo de avellanado, profundidad
avellanado, ancho de placa, y los ángulos de
capas de laminado de SCF son investigados.
Basándose en los resultados, se encontró que
los valores de la SCF obtenidos por medio de la
ecuación formulada son dentro de 7% de la de
los elementos finitos (FE) resultados para 96%
de las carreras y que el error global máximo es
menos de 14%.
Ou, Lu, Cui & Lin (2013) muestran un
enfoque de optimización de forma para
minimizar la concentración de esfuerzos y los
picos ocasionados por la presión de contacto. El
enfoque que realizan se centra en modificar
directamente la forma de las capas cercanas a la
región donde la concentración de esfuerzos es
medida mediante los esfuerzos de Von Mises y
la superficie de contacto mide la presión de
contacto. Para evaluar el enfoque propuesto, se
presentan tres casos de estudio, los resultados
obtenidos muestran que la optimización de
forma desarrollada es especialmente aplicable
al diseño y análisis de sistemas multi-cuerpo
donde la concentración de esfuerzos límite y
distribución de la presión de contacto son una
consideración importante.
Liu & Tang (2015) presentan un análisis
detallado sobre la concentración de esfuerzos
en materiales compuestos reforzados con fibras
unidireccionales con muescas. Debido a la
formación de la división longitudinal en las
puntas de muesca a lo largo de la dirección de
la fibra, las concentraciones extremadamente
altas de estrés por delante de la punta de
muesca podrían reducirse drásticamente para
materiales compuestos bajo tensión remota. Se
examina la incapacidad del método de
degradación propiedad del material
ampliamente utilizado para redistribuir con
precisión las tensiones locales en las puntas de
muesca.
El objetivo del presente trabajo es
analizar la concentración de esfuerzos en una
placa plana con dos barrenos centrados y
sometida a una carga de tensión axial.
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Se realizan un total de 125 simulaciones
en un software de elemento finito con el
objetivo de encontrar el esfuerzo máximo que
soporta la placa y posteriormente determinar el
factor de concentración de esfuerzos, los
resultados obtenidos son graficados para las
relaciones de W/D de 1.2, 1.5, 2, 2.5 y 3 en
función de la relación s/D, finalmente a los
valores obtenidos se les aplica el método de
mínimos cuadrados para obtener ecuaciones
que permitan predecir el factor de
concentración de esfuerzos para el caso de
estudio analizado.
Método del elemento finito
Son muchas las facetas de la ingeniería en las
que se precisa determinar la distribución de
esfuerzos y deformaciones en un continuo
elástico (Zienkiewicz, 1982). En general, se
acepta que los métodos de análisis numérico en
ingeniería y ciencias aplicadas se clasifican en
tres grandes categorías: diferencias finitas,
elementos finitos y elementos de contorno
(Cerrolaza, 2006).
El análisis mediante Elementos Finitos
(Finite Element Analysis, FEA) ha tenido un
gran impulso desde el advenimiento de la era de
las computadoras. Esto ha permitido la creación
de múltiples plataformas para implementar la
teoría de los elementos finitos, de los cuales
Ansys es un ejemplo particular (Roa Garzón &
Garzón Alvarado, 2002)
El elemento finito es un método numérico
que se utiliza para la modelación y simulación
de problemas en muchos campos de la
ingeniería, tales como: análisis estructural,
transferencia de calor, mecánica de fluidos,
electricidad y magnetismo o la combinación de
los mismos.
El término "elemento finito", expresa la
idea de que el objeto de estudio puede dividirse
en un determinado número de elementos, con
un modelo matemático definido que puede
representarse en un arreglo matricial cuya
solución se obtiene aplicando las reglas básicas
del álgebra lineal a través de un programa de
computación (Córdova Aquino & De Dios
Domínguez, 2007)
Existen dos acercamientos generales
asociados al entendimiento y aplicación del
método de elemento finito. El primer
acercamiento, es llamado el método de fuerza o
flexibilidad, el cual se basa en el uso de fuerzas
internas como las incógnitas del problema. Para
la obtención de las ecuaciones gobernantes,
tienen que emplearse primero las ecuaciones de
equilibrio. Después es necesario introducir
ecuaciones adicionales generadas por las
ecuaciones de compatibilidad. El resultado es el
arreglo de ecuaciones algebraicas redundantes
que determinan las fuerzas internas
desconocidas. El segundo acercamiento del
método, es el método de desplazamiento, o
método de rigidez, el cual asume el
desplazamiento de nodos como las incógnitas
del problema (Pérez Mitre, 2004).
Fonseca Lopes (2011) menciona que
independientemente de la naturaleza física del
problema, el análisis del mismo mediante el
Método del Elemento Finito sigue los
siguientes pasos:
Definición del problema y su dominio.
Discretización del dominio.
Identificación de la(s) variable(s) de
estado.
Formulación del problema.
Establecimiento de los sistemas de
referencia.
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Construcción de las funciones de
aproximación de los elementos.
Determinación de las ecuaciones a
nivel de cada elemento.
Transformación de coordenadas.
Ensamblaje de las ecuaciones de los
elementos.
Introducción de las condiciones de
contorno.
Solución del conjunto de ecuaciones
simultáneas resultante.
Interpretación de los resultados.
En el presente trabajo para realizar los
análisis en ANSYS® se utiliza un elemento
cuadrilátero de ocho nodos. La Figura 1
muestra un esquema del elemento cuadrilátero
de ocho nodos.
Figura 1 Esquema del elemento cuadrilátero de 8 modos
Las Ecuaciones (1) a (8) son las funciones
de forma de los nodos del elemento de la Figura
1 en término de las coordenadas locales.
1
1 1 14
iN (1)
1
1 1 14
jN (2)
1
1 1 14
kN (3)
1
1 1 14
lN (4)
211 1
2mN (5)
211 1
2nN (6)
211 1
2oN (7)
211 1
2pN (8)
Las derivadas parciales de las
coordenadas globales en términos de las
coordenadas locales se presentan en las
Ecuaciones (9) a (12).
ji k li j k l
pm n om n o p
NN N Nxx x x x
NN N Nx x x x
(9)
ji k li j k l
pm n om n o p
NN N Nxx x x x
NN N Nx x x x
(10)
ji k li j k l
pm n om n o p
NN N Nyy y y y
NN N Ny y y y
(11)
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ji k li j k l
pm n om n o p
NN N Nyy y y y
NN N Ny y y y
(12)
Las derivadas parciales de las funciones
de forma (Ecuaciones 1 a 8) con respecto a las
coordenadas locales se presentan en las
Ecuaciones (13) a (28).
1
1 24
iN
(13)
1
1 24
iN
(14)
1
1 24
jN
(15)
1
1 24
jN
(16)
1
1 24
kN
(17)
1
1 24
kN
(18)
1
1 24
lN
(19)
1
1 24
lN
(20)
1mN
(21)
211
4
mN
(22)
211
2
nN
(23)
1nN
(24)
1oN
(25)
211
2
oN
(26)
211
2
pN
(27)
1pN
(28)
Las Ecuaciones (29) y (30) son las
derivadas parciales de las funciones de forma
con respecto a las coordenadas globales.
... ...... 1 i p i pi pN NN y y
x J
(29)
... ... ...1i p i p i pN N Nx x
y J
(30)
El jacobiano J está definido por la
Ecuación (31).
x y x yJ
(31)
La matriz de deformación es definida por
la Ecuación (32), mientras que la matriz de
función de forma se define por la Ecuación
(33).
0 0 ... 0
0 0 ... 0
...
j pi
j pi
j j p pi i
N NN
x x x
N NNB
x x x
N N N NN N
x x x x x x
(32)
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0 0 ... 0
0 0 ... 0
i j p
i j p
N N NN
N N N
(33)
Para determinar la matriz de rigidez se
utiliza la cuadratura de Gauss-Legendre. La
matriz de rigidez de cada elemento está definida
por la Ecuación (34).
11 12 21 22
e e e e eK K K K K (34)
Donde
2
11 1 1 1 1 1 1 1, , ,e TK tH J B DB
(35)
12 1 2 1 2 1 2 1 2, , ,e TK tH H J B DB (36)
21 2 1 2 1 2 1 2 1, , ,e TK tH H J B DB (37)
2
22 2 2 2 2 2 2 2, , ,e TK tH J B DB (38)
Las Ecuaciones (1) a (38) definen a un
elemento cuadrado con ocho nodos.
Concentración de esfuerzos
La mayor parte de las piezas de maquinaria
reales tendrán secciones transversales variables.
Por ejemplo, las flechas a menudo se escalonan
en diámetros distintos, a fin de aceptar
cojinetes, engranes, poleas, etc. Una flecha
puede tener ranuras para chavetas circulares, o
para anillos, o tener cuñeros u orificios para la
sujeción de otras piezas. Los pernos están
roscados con cabezas mayores que su vástago.
Cualquier de estos cambios en la geometría de
la sección transversal puede causar
concentraciones de esfuerzos localizados
(Norton, 1999).
El análisis de las formas geométricas para
determinar los factores de concentración de
esfuerzos se convierte en un problema difícil y
no se encuentran muchas soluciones.
La mayoría de los concentradores de
esfuerzos se determina por medio de técnicas
experimentales. Aunque se ha manejado el
método del elemento finito, el hecho de que los
elementos son, en efecto, finitos, impide
encontrar el esfuerzo máximo real. Por lo
general, en las aproximaciones experimentales
se incluye la fotoelasticidad, métodos de malla,
métodos de recubrimiento frágil y métodos
eléctricos con medidores de deformación
(Budynas & Keith Nisbett, 2008).
Mott (2006) menciona que hay que usar
siempre factores de concentracion de esfuerzos
al analizar elementos bajo carga de fatiga,
porque las grietas de fatiga suelen iniciarse
cerca de los puntos de gran esfuerzo local de
tensión.
Metodología
El caso de estudio planteado consistente en
estudiar la concentración de esfuerzos en una
placa plana con dos barrenos alineados y
centrados la cual soporta carga axial, se utiliza
el software de elemento finito ANSYS®, para
realizar el modelado en dicho software se
utiliza un elemento de cuadrado de ocho nodos,
de los cuales cuatro nodos corresponden a cada
una de las esquinas del cuadrilátero y los otros
cuatro nodos son nodos intermedios. El
elemento más adecuado para realizar dicho
análisis es por tanto el elemento Solid 8 node
183. Se utiliza este elemento debido a que es un
cuadrilátero con nodos intermedios en las
aristas, por lo que tiende a deformarse y
acoplarse fácilmente durante el mallado en una
sección curva. Éste elemento es configurado
para trabajar como un elemento en esfuerzo
plano con espesor. En la elaboración de las
simulaciones se utiliza un material isotrópico,
al cual se le asignan las propiedades del acero al
bajo carbón, modulo elástico de 210 GPa, razón
de Poisson de 0.28.
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Los modelos desarrollados soportan una
carga a tensión en uno de sus extremos,
mientras en el otro extremo son restringidos en
la dirección de x.
La Figura 2 presenta la placa plana
rectangular con dos barrenos centrados a
analizar, dicha placa tiene las siguientes
características:
Longitud de la placa (L) de 0.3 m
Fuerza aplicada (F) de 100 kN
Espesor de la placa de 0.01 m
El ancho de la placa (W), la distancia
entre centros de los barrenos (s) y el diámetro
de los barrenos (D) son variables y cambian en
cada análisis.
Figura 2 Placa plana con dos barrenos a analizar
La Figura 3 presenta el modelo realizado
en el software para el caso de estudio planteado.
Figura 3 Modelo realizado para analizar el caso de
estudio planteado
Se realizan un total de 125 simulaciones
para obtener σmax y posteriormente obtener el
valor de Kt, las simulaciones son distribuidas de
la siguiente forma:
25 simulaciones para el caso W/D = 3
25 simulaciones para el caso W/D = 2.5
25 simulaciones para el caso W/D = 2
25 simulaciones para el caso W/D = 1.5
25 simulaciones para el caso W/D = 1.2
Las simulaciones se realizan modificando
el valor de W en rangos de 0.004 m, iniciando
en 0.096 m y finalizando en 0.002 m. El valor
de s se determina sumando el valor de D a 0.02,
es decir para todos los casos se supone que la
separación entre las superficies más cercanas de
los barrenos es de 0.02 m. El valor de D se
determina utilizando la Ecuación (39), en dicha
ecuación h toma el valor de 1.2, 1.5, 2, 2.5 y 3
dependiendo del caso analizado.
Wh
D (39)
Para obtener el valor de Kt se divide σmax
entre σteórico (Ecuación 40).
maxt
teórico
K
(40)
El esfuerzo σteórico se obtiene mediante la
Ecuación (41), en dicha ecuación el valor del
área se determina en el lugar donde la sección
transversal de la pieza es mínima.
teorico
F
A (41)
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Resultados
Los valores de Kt obtenidos para las cinco
relaciones de W/D planteadas se grafican en
función de la relación adimensional S/D, la
gráfica obtenida se presenta en la Figura 4.
Figura 4 Gráfica del factor de concentración de
esfuerzos para una placa plana con dos barrenos sometida
a carga axial
A los valores de Kt obtenidos para las
relaciones W/D de 1.2, 1.5, 2, 2.5 y 3 los cuales
se muestran gráficamente en la Figura 4 se les
aplica el método me mínimos cuadrados para
obtener un conjunto de ecuaciones lineales
(Ecuaciones 42 a 46), un conjunto de
ecuaciones exponenciales (Ecuaciones 47 a 51),
un conjunto de ecuaciones polinomiales de
segundo grado (Ecuaciones 52 a 56) y
finalmente un conjunto ecuaciones
polinomiales de sexto grado (Ecuaciones 57 a
58).
La Figura 5 muestra gráficamente las
líneas obtenidas para la regresión lineal
mediante el método de mínimos cuadrados y las
Ecuaciones (42) a (46) representan las
ecuaciones lineales obtenidas para el caso de
estudio analizado.
Figura 5 Gráfica de regresión lineal obtenida mediante el
método de mínimos cuadrados
La Ecuación (42) es la ecuación lineal
para W/D=1.2 y tiene un valor de R² = 0.9354.
0.5136 2.3942t
sK
D
(42)
La Ecuación (43) es la ecuación lineal
para W/D=1.5 y tiene un valor de R² = 0.925.
0.4846 2.3325t
sK
D
(43)
La Ecuación (44) es la ecuación lineal
para W/D=2 y tiene un valor de R² = 0.9183.
0.3691 2.2392t
sK
D
(44)
La Ecuación (45) es la ecuación lineal
para W/D=2.5 y tiene un valor de R² = 0.8835.
0.2241 2.1555t
sK
D
(45)
La Ecuación (46) es la ecuación lineal
para W/D=3 y tiene un valor de R² = 0.8884.
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0.0859 2.0813t
sK
D
(46)
La Figura 6 muestra gráficamente las
líneas obtenidas para la regresión exponencial
mediante el método de mínimos cuadrados, las
Ecuaciones (47) a (51) son las ecuaciones
exponenciales obtenidas para el caso de estudio
analizado.
Figura 6 Gráfica de regresión exponencial obtenida
mediante el método de mínimos cuadrados
La Ecuación (47) es la ecuación
exponencial para W/D = 1.2 y tiene un valor de
R² = 0.9332.
0.233
2.3997
s
D
tK e
(47)
La Ecuación (48) es la ecuación
exponencial para W/D = 1.5 y tiene un valor de
R² = 0.9217.
0.227
2.3388
s
D
tK e
(48)
La Ecuación (49) es la ecuación
exponencial para W/D = 2 y tiene un valor de
R² = 0.9152.
0.178
2.2439
s
D
tK e
(49)
La Ecuación (50) es la ecuación
exponencial para W/D = 2.5 y tiene un valor de
R² = 0.881.
0.11
2.1578
s
D
tK e
(50)
La Ecuación (51) es la ecuación
exponencial para W/D = 3 y tiene un valor de
R² = 0.8874.
0.042
2.0817
s
D
tK e
(51)
La Figura 7 muestra gráficamente las
líneas obtenidas para la regresión polinómica de
segundo grado mediante el método de mínimos
cuadrados, las Ecuaciones (52) a (56) son las
ecuaciones polinómicas de segundo grado
obtenidas para el caso de estudio analizado.
Figura 7 Gráfica de regresión polinómica de segundo
grado obtenida mediante el método de mínimos
cuadrados
La Ecuación (52) es la ecuación
polinómica de segundo grado para W/D = 1.2 y
tiene un valor de R² = 0.9761.
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2
0.7972 0.0207 2.3357t
s sK
D D
(52)
La Ecuación (53) es la ecuación
polinómica de segundo grado para W/D = 1.5 y
tiene un valor de R² = 0.9871.
2
0.8855 0.1596 2.2542t
s sK
D D
(53)
La Ecuación (54) es la ecuación
polinómica de segundo grado para W/D = 2 y
tiene un valor de R² = 0.9918.
2
0.6943 0.1847 2.1633t
s sK
D D
(54)
La Ecuación (55) es la ecuación
polinómica de segundo grado para W/D = 2.5 y
tiene un valor de R² = 0.9949.
2
0.4954 0.2151 2.0858t
s sK
D D
(55)
La Ecuación (56) es la ecuación
polinómica de segundo grado para W/D = 3 y
tiene un valor de R² = 0.9842.
2
0.1679 0.0742 2.0531t
s sK
D D
(56)
La Figura 8 muestra gráficamente las
líneas obtenidas por la regresión polinómica de
sexto grado mediante el método de mínimos
cuadrados, las Ecuaciones (57) a (61) son las
ecuaciones polinómicas de sexto grado
obtenidas para el caso de estudio analizado.
Figura 8 Gráfica de regresión polinómica de sexto grado
obtenida mediante el método de mínimos cuadrados
La Ecuación (57) es la ecuación
polinómica de sexto grado para W/D = 1.2 y
tiene un valor de R² = 0.9964.
6 5 4
3 2
152.39 257.58 146.04
29.371 1.5742 0.0281 2.3236
t
s s sK
D D D
s s s
D D D
(57)
La Ecuación (58) es la ecuación polinómica de
sexto grado para W/D = 1.5 y tiene un valor de
R² = 0.9992.
6 5 4
3 2
36.163 72.68 46.463
9.0564 0.4102 0.0417 2.249
t
s s sK
D D D
s s s
D D D
(58)
La Ecuación (59) es la ecuación
polinómica de sexto grado para W/D = 2 y tiene
un valor de R² = 0.9988.
6 5 4
3 2
58.154 124.53 95.65
31.014 4.3635 0.2469 2.1656
t
s s sK
D D D
s s s
D D D
(59)
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La Ecuación (60) es la ecuación
polinómica de sexto grado para W/D = 2.5 y
tiene un valor de R² = 0.9997.
6 5 4
3 2
22.527 59.696 58.529
25.902 5.4764 0.537 2.0842
t
s s sK
D D D
s s s
D D D
(60)
La Ecuación (61) es la ecuación
polinómica de sexto grado para W/D = 3 y tiene
un valor de R² = 0.9984.
6 5 4
3 2
0.0486 4.7388 9.1404
5.9017 1.5939 0.1628 2.0557
t
s s sK
D D D
s s s
D D D
(61)
Conclusiones
Los resultados obtenidos muestran que el
factor de concentración de esfuerzos disminuye
mientras aumenta la relación s/D, al mismo
tiempo el factor de concentración de esfuerzos
disminuye cuando la relación W/D también
disminuye.
Las ecuaciones lineales obtenidas
mediante el método de mínimos cuadrados no
proporcionan una buena aproximación debido a
que los valores de R2 varian entre 0.9354 y
0.8835 por tanto no se ajustan adecuadamente a
los valores obtenidos, no se recomienda utilizar
estas ecuaciones, solamente si se desea obtener
una rápida aproximación de los valores de
esfuerzos que soporta la pieza.
Por su parte las ecuaciones exponenciales
obtenidas tampoco tienen una buena
aproximación a los valores del factor de
concentración de esfuerzos obtenidos. Los
valores de R2 varian entre 0.9332 y 0.8810, por
tanto tampoco es recomendable la utilización de
estas ecuaciones para predecir el factor de
concentración de esfuerzos.
Las ecuaciones polinómicas de segundo
grado obtenidas se ajuntan bien a los valores
del factor de concentración de esfuerzos
calculados. Los valores de R2 para estas
ecuaciones varian entre 0.9761 y 0.9949, por
tanto, estas ecuaciones proporcionan valores
confiables del factor de concentración de
esfuerzos para la pieza mecánica bajo estudio.
Por su parte las ecuaciones polinómicas
de sexto grado determinadas se ajustan
fuertemente a los valores del factor de
concentración de esfuerzos obtenidos. Dichas
ecuaciones tienen un valor de R2 que varia entre
0.9964 y 0.9997 por tanto los valores del factor
de concentración de esfuerzos para el caso de
estudio analizado pueden ser determinados por
dichas ecuaciones ya que los valores obtenidos
se ajustan fuertemente a los datos calculados
con la ayuda del software de elemento finito.
Referencias
Ahsan R. U., Prachurja P., Ali A. R. M. &
Mamun M. A. H. (2013). Determination of
effect of elliptic notches and grooves on stress
concentration factors on notched bar in tension
and grooved shaft under torsion. Journal of
Naval Architecture and Marine Engineering.
10(1). pp. 25-32.
Balankin A., Susarrey O., Mora Santos C.,
Patiño J., Yoguez A., & García E. (2011).
Stress concentration and size effect in fracture
of notched heterogeneous material. Physical
review E statistical, nonlinear, and soft matter
physics. 83(1).
Bambill D. V., Susca A., Laura P. A. & Maíz S.
(2005). Concentración de tensiones en placa
ortótropa sometida a esfuerzo biaxial, Mecánica
Computacional. 24(1). pp. 2675-2694.
129
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& GARCIA-José. Concentración de esfuerzos en una placa con
dos barrenos centrados sometida a carga axial. Revista de
Tecnología e Innovación 2015
Budynas R. G. & Keith Nisbett G. (2008).
Diseño en ingeniería mecánica de Shigley.
McGrawHill.
Cerrolaza M. (2006). El metodo de los
elementos finitos para ingenieria y ciencias
aplicadas: teoría y programas. Universidad
Central de Venezuela, Consejo de desarrollo
científico y humanístico.
Darwisha F.,Tashtoushb G. & Gharaibehb M.
(2013). Stress concentration analysis for
countersunk rivet holes in orthotropic plates.
European Journal of Mechanics - A/Solids.
37(1). pp. 69-78.
Dharmin P., Khushbu P. & Chetan J. (2012). A
Review on Stress Analysis of an Infinite Plate
with Cut-outs‖, International Journal of
Scientific and Research Publications. 2(11). pp.
1-7.
Da Fonseca Lopes Z. A. (2011) El método de
los elementos finitos: una introducción.
Universidad Rafael Urdaneta, Fondo Editorial
Biblioteca.
Domínguez P. N., Santos R. D., Robles S. I. &
Ortega N. F. (2006). Concentración de
tensiones en piezas de materiales compuestos.
Mecánica Computacional. 25(1). pp. 537-548.
Gómez F. J., Elices M., Berto F. & Lazzarin P.
(2008). A generalised notch stress intensity
factor for U-notched components loaded under
mixed mode. Engineering Fracture
Mechanics. 75(1). pp. 4819–4833.
Henrique S., Tácito A. & Moreno M. E. (2013).
Stress concentration factor calculation for a
notched specimen under elasto-plastic loading.
22nd International Congress of Mechanical
Engineering (COBEM 2013). pp. 7761-7769.
Khalil Abada E. M., Pasinia D. & Cecereb R.
(2012). Shape optimization of stress
concentration-free lattice for self-expandable
Nitinol stent-grafts. Journal of Biomechanics.
45(6). pp. 1028–1035.
Liu G. & Tang K. (2015). Study on stress
concentration in notched cross-ply laminates
under tensile loading. Journal of composite
materials. Journal of Composite Materials.
Louhghalam A., Igusa T., Park C., Choi S. &
Kim K. (2011). Analysis of stress
concentrations in plates with rectangular
openings by a combined conformal mapping –
Finite element approach. International Journal
of Solids and Structures. 48(1). pp 1991-2004.
Maíz S., Rossi R. E., Laura P. A. & Bambill D.
V. (2004). Efectos de la ortotropía sobre el
factor de concentración de tensiones: extensión
del problema de kirsch. Mecánica
Computacional. 23(1). pp. 673-692.
Martínez J. E., Carrera J. & Ferrer L. A. (2006).
Análisis experimental y numérico de esfuerzos
en placas con orificio circular bajo el gradiente
de carga lineal. Ingeniería mecánica, tecnología
y desarrollo. 2(2).
Méndez J. I. & Torres J. I. (2006).
Concentración de esfuerzo en una placa de
material ortotrópico con una abertura elíptica.
Congreso iberoamericano de metalurgia y
materiales, Habana Cuba.
Mohan Kumar M., Rajest S., Yogesh H. &
Yeshaswini B. R. (2013). Study on the effect of
stress concentration on cutout orientation of
plates with various cutouts and bluntness‖,
International Journal of Modern Engineering
Research. 3(3). pp. 1295-1303.
130
Artículo Revista de Tecnología e Innovación Marzo 2015 Vol.2 No.2 115-131
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& GARCIA-José. Concentración de esfuerzos en una placa con
dos barrenos centrados sometida a carga axial. Revista de
Tecnología e Innovación 2015
Momcilovic N., Motok M. & Maneski T.
(2013). Stress concentration on the contour of a
plate opening: analytical, numerical and
experimental approach. Journal of theoretical
and applied mechanics. 51(4). pp. 1003-1012.
Monroy H. A. & Godoy L. A. (2006). Un
sistema computacional para la simulación de
interacción de defectos estructurales. Mecánica
computacional. 25(1), pp. 1-9.
Mott R. L. (2006). Diseño de elementos de
máquinas. Pearson Education.
Nagpal S., Jain N. & Sanyal S. (2012). Stress
Concentration and Its Mitigation Techniques in
Flat Plate with Singularities - A Critical
Review. Engineering journal. 16(1).
Nagpal S., Sanyal S. & Jain N. K. (2013).
Analysis and mitigation of stress concentration
factor of a rectangular isotropic and orthotropic
plate with central circular hole subjected to in-
plane static loading by design optimization.
International Journal of Innovative Research in
Science, Engineering and Technology IJIRSET.
2(6). pp. 2903-2913.
Noda N. A. & Takase Y. (2006). Stress
concentration formula useful for all notch shape
in a round bar (comparison between torsion,
tension and bending). International Journal of
Fatigue. 28(1). pp. 151-163.
Norton R. L. (1999). Diseño de Máquinas.
Prentice Hall.
Osorio A., Rodríguez D., Gámez B. & Ojeda D.
(2010). Análisis numérico de una placa para
fijación de fracturas de radio distal utilizando el
método de elementos finitos, Ingeniería UC.
17(1). pp. 28-36.
Ortega F. J., Garcia J. M., Rocha G. y Guzmán
A. (2013). Análisis de esfuerzos en placas
planas sometidas a carga axial‖, Memorias del
XIX Congreso Internacional Anual de la
SOMIM. pp. 478-487.
Ou H., Lu B., Cui Z. S., Lin C. (2013). A direct
shape optimization approach for contact
problems with boundary stress concentration.
Journal of Mechanical Science and
Technology. 27(9), pp 2751-2759.
Peñaranda M., Pedroza J. B. & Méndez J. I.
(2007). Determinación del factor teórico de
concentración de esfuerzo de una placa infinita
con doble agujero. 8 Congreso Iberoamericano
de Ingeniería Mecánica, Cusco Perú.
Pérez Mitre A. J. (2004). Análisis y
optimización con interacción de Dummy, de la
carrocería del automóvil “Tubolare SAND
CAR” de Tecnoidea SA de CV, en impacto
frontal empleando el método de elementos
finitos en ALGOR FEA, mediante la simulación
de eventos mecánicos. (Tesis de licenciatura,
Universidad de las Américas Puebla).
Recuperado de
http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/document
os/lim/jimenez_p_a/portada.html
Roa Garzón M. A. & Garzón Alvarado D. A.
(2002). Introducción al modelamiento por
elementos finitos con Ansys. Departamento de
Ingeniería Mecánica y Mecatrónica, Facultad
de Ingeniería, Universidad Nacional de
Colombia.
Roldan F. & Bastidas U. (2002). Estudio
experimental y por análisis de elementos finitos
del factor de concentrador de esfuerzo
producido por un agujero en una placa plana.
Dyna. 69(137). pp. 1-8.
Sánchez M. (2006). Factor teórico de
concentración de esfuerzos en placas
anisotrópicas. Departamento de Ingeniería
Mecánica, UNEXPO Vicerrectorado Puerto
Ordaz, Venezuela.
Sharma D. S. (2011). Stress Concentration
around Circular/Elliptical/Triangular Cutouts in
Infinite Composite Plate. Proceedings of the
World Congress on Engineering. 3(1).
131
Artículo Revista de Tecnología e Innovación Marzo 2015 Vol.2 No.2 115-131
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& GARCIA-José. Concentración de esfuerzos en una placa con
dos barrenos centrados sometida a carga axial. Revista de
Tecnología e Innovación 2015
Sharma D. S., Panchal B. & Patel C. (2011). A
General Solution for the Stresses around
Internally Pressurized Circular hole in
Symmetric Laminates. International
Conference on Current Trends in Technology
(NUiCONE–2011). pp. 1-5.
Sonmez F. O. (2009). Optimal shape design of
shoulder fillets for flat and round bars under
various loadings‖, Journal of mechanical
engineering science. 223(1). pp. 1741-1754.
Susca A., Bambill D. V., Laura P. A. & Rossi
R. E. (2006). Factor de concentración de
tensiones en el entorno de un orificio
rectangular presente en una placa ortótropa.
Mecánica computacional. 25(1). pp. 411-427.
Susca A., Bambill D. V. & Rossit C. A. (2007).
Análisis de la concentración de tensiones en
placas ortótropas con orificio circular sometidas
simultáneamente a cargas normales y
tangenciales. Mecánica computacional. 26(1).
pp. 386-405.
Zheng M. & Niemi E. (1997). Analysis of the
stress concentration factor for a shallow notch
by the slip-line field method. International
Journal of Fatigue, Vol. 19, No. 3, pp. 191-
194, 1997.
Zienkiewicz O. C. (1982). El método de los
elementos finitos. Editorial Reverte.