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G -espaciosTipos de acciones
Algunas propiedades de los G -espaciosAlgunas consideraciones desde la topologa fibrada
Topicos en topologa equivariante
Clara M. Neira U.
Enero de 2013
Clara M. Neira U. Topicos en topologa equivariante
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G -espacios
Tipos de acciones
Algunas propiedades de los G -espacios
Algunas consideraciones desde la topologa fibrada
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Accion de un grupo sobre un conjunto
G un grupo topologico, X un espacio topologico. Una accion de Gsobre X es una funcion
: G X Xtal que:
1. (e, x) = x , para cada x X .2. (g1g2, x) = (g1, (g2, x)), para cada g1, g2 G y cada
x X .
(g , x) = gx
1. ex = x , para cada x X .2. g1g2x = g1(g2x), para cada g1, g2 G y cada x X .
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Algunas propiedades de los G -espaciosAlgunas consideraciones desde la topologa fibrada
Si es una accion continua del grupo topologico G sobre elespacio topologico X , (X , ), o simplemente X es un G -espacio.
Sean (X , ) un G -espacio y x X .
Ox = {gx : g G}orbita de x .X/ el espacio de todas las orbitas de elementos de X con latopologa cociente, (X , pi,X/) es un espacio topologico fibrado.
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Ejemplos
En cada uno de los siguientes ejemplos Z tiene topologa discreta.
1. X = R, G = Z
: Z R R(n, x) 7 n + x
(X , ) es un G -espacio y X/ es homeomorfo a S1.
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2. X = R2, G = Z Z
: (Z Z) R2 R2((n,m), (x , y)) 7 (n + x ,m + y)
(X , ) es un G -espacio y X/ es homeomorfo al toro S1S1.
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3. Sean X = Sn, G = Z/2Z = {1}
: Z/2Z Sn Sn(1, x) 7 x
(X , ) es un G -espacio y X/ = Pn(R) es el espacioproyectivo real de dimension n.
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4. X =
{(x , y) R2 : 1
2 y 1
2
}, G = Z
: G X X(n, (x , y)) 7 (n + x , (1)ny)
(X , ) es un G -espacio y X/ es homeomorfo a la banda deMobius.
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Tipos de acciones
Una accion de un grupo topologico G sobre un espacio topologicoX es:
transitiva si para cada x , y X existe g G tal que y = gx .efectiva o fiel si para cada g1, g2 G , con g1 6= g2, existe x X tal
que g1x 6= g2x .Una accion es efectiva si y solo si para cada g G , cong 6= e, existe x X tal que gx 6= x .
libre si para cada x X se tiene que g1x = g2x si y solo si g1 = g2.Una accion es libre si y solo si para todo x X , gx = ximplica que g = e.
regular si es transitiva y libre.Una accion es regular si y solo si para cada x , y X existe ununico g G , tal que y = gx .
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discontinua si cada x X tiene una vecindad abierta V tal que si y y zson puntos distintos de V , entonces gy 6= z , para todo g G .
Sean G un grupo topologico, X un espacio topologico y : G X X una accion de G sobre X .(X , pi,X/) es un haz de conjuntos si y solo si esdiscontinua.
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gV =(g1
)1V
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Sean G un grupo topologico y : G X X una accioncontinua. El espacio topologico fibrado (X , pi,X/) es propio si laaplicacion
: G X X X/ X(g , x) 7 (x , gx)
es propia.
es cerrada y 1(x , y) es compacto, para cada(x , y) X X/ X .
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Sean G un grupo topologico, X un espacio topologico y : G X X una accion continua y libre de G sobre X .Si (X , pi,X/) es propio, la funcion
d : X X/ X G(x , y) 7 g
donde gx = y , es continua.
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: G X X X/ X(g , x) 7 (x , gx)
homeomorfismo.
X X/ X G X
G
QQQsd
-1
+ pi1
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Algunas propiedades de los G -espacios
Sean G un grupo topologico compacto y : G X X unaaccion continua.
1. Cada fibra de (X , pi,X/) es compacta.
pi1 (x) = Ox = (G {x}) .
2. pi : X X/ es cerrada.
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g G (Wg V(g), Vg V(x)) : hy O, (h, y) WgVg .
gV =(g1
)1V .
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Sean G un grupo topologico compacto y : G X X unaaccion continua. Si X es de Hausdorff, o regular, o normal, olocalmente compacto, entonces X/ tiene la misma propiedad (cf.[4]).
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Hausdorff
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Regular, localmente compacto
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Normal
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Algunas consideraciones desde la topologa fibrada
Un espacio topologico fibrado (E , p,T ) es de Hausdorff fibra afibra si para cada t T , y cada par de puntos x , y Et existenvecindades disyuntas Vx y Vy de x y y en E .
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1. El espacio topologico fibrado (E , p,T ) es de Hausdorff fibra afibra si y solo si la inmersion diagonal : E E T Edefinida por (x) = (x , x), es cerrada.
2. Sean (E , p,T ) y (E , p,T ) espacios topologicos fibrados y : E E una funcion fibrada continua. Si (E , p,T ) es deHausdorff fibra a fibra, entonces el grafo : E E T E ,definido por (x) = (x , (x)), es una inmersion cerrada.
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Sean G un grupo topologico compacto y : G X X unaaccion continua. Si (X , pi,X/G ) es de Hausdorff fibra a fibra,tambien es propio.
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: G X X X/ X(g , x) 7 (x , gx)
1(x , gx) = 1G{x} (gx)
: G X G X X/ X(g , x) 7 (g , x , gx)
G X G X X/ X
X X/ X
HHHHHj
-
pi2
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Algunas propiedades de los G -espaciosAlgunas consideraciones desde la topologa fibrada
Si G es un grupo topologico de Hausdorff y (X , pi,X/G ) es unespacio topologico fibrado propio, entonces (X , pi,X/G ) es deHausdorff fibra a fibra.
(x) = (e, x)
X G X
X X/ X
QQQQs
-
+
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Si G es un grupo topologico compacto y de Hausdorff y si X es unG -espacio, entonces (X , pi,X/) es propio si y solo si(X , pi,X/) es de Hausdorff fibra a fibra.
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Un espacio topologico fibrado (E , p,T ) es regular fibra a fibra sipara cada t T , cada x Et y cada vecindad V de x en E ,existen una vecindad W de t en T y una vecindad U de x en EW ,de tal manera que la adherencia U EW de U en EWesta contenida en V .
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Algunas propiedades de los G -espaciosAlgunas consideraciones desde la topologa fibrada
G = Z, topologa discreta, X = Z, topologa complementos finitos.
: G X X(n,m) 7 n + m
X/ = {O0}(X , pi,X/) no es regular fibra a fibra.
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Si G es un grupo topologico y (X , pi,X/G ) es un espaciotopologico fibrado propio, entonces (X , pi,X/G ) es regular fibra afibra.
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Referencias
D. Buhagiar, The category MAP, Mem. Fac. Sci. Eng.Shimane Univ. Series B: Mathematical Science, Vol. 34(2001), pp. 119.
B. Guo, Y. Han, A Brief Introduction to Fibrewise TopologicalSpaces Theory, Journal of Mathematical Research withApplications, Vol. 32, No. 5, (2012), pp. 626-630.
I. M. James, Fibrewise Topology, Cambridge University press,1989.
J. R. Munkres, Topology a first course, Prentice-Hall, Inc.,Englewood Cliffs, New Jersey, 1975.
J. Wu, Lecture Notes on Algebraic Topology, URL:www.math.nus.edu.sg/ matwujie
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