Post on 07-Nov-2014
transcript
Amortiguador de auto
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
Disminución de la amplitud de
oscilación causada por fuerzas
disipadoras:
AMORTIGUACION
Si una campana que oscila se deja de impulsar,
tarde o temprano las fuerzas amortiguadoras
(resistencia del aire y fricción en el punto de
suspensión) harán que deje de oscilar.
2 Lic. Fís. John Cubas Sánchez
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
v
02 2
2
2
xtd
xd
td
xdo
kxvma
xm
kv
ma
xm
k
td
xd
mtd
xd
2
2
Donde:
m
ko 2
m
2
o = Frecuencia natural del sistema
= constante de amortiguamiento
= frecuencia de amortiguación
3 Lic. Fís. John Cubas Sánchez
22 )()( o
m2
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
( <0)
)cos( teAx t
El movimiento es oscilatorio:
= Frecuencia de las oscilaciones
subamortiguadas
02 2
2
2
xtd
xd
td
xdo
4 Lic. Fís. John Cubas Sánchez
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
Subamortiguación
Lenta disminución de la amplitud de oscilación
5 Lic. Fís. John Cubas Sánchez
( =0)
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
x
tetBAx )(
El movimiento no es oscilatorio:
02 2
2
2
xtd
xd
td
xdo
6 Lic. Fís. John Cubas Sánchez
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
Amortiguación Crítica
Retorno más rápido a la posición de equilibrio.
7 Lic. Fís. John Cubas Sánchez
x
( >0)
ttt eeBeAx )( ''
22 )()(' o
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
Retorno lento a la posición de equilibrio
’ = Frecuencia de las oscilaciones
sobreamortiguadas
02 2
2
2
xtd
xd
td
xdo
8 Lic. Fís. John Cubas Sánchez
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
Comparación
x x
9 Lic. Fís. John Cubas Sánchez
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
22
2
1
2
1kxmvE x Energía en las oscilaciones amortiguadas:
Potencia producida por la fuerza amortiguadora:
dt
kxmvd
dt
dEx
22
2
1
2
1
dt
dxxk
dt
dvmv
dt
dE xx
xv
xkmavdt
dExx
kxvma xx
Del DCL de las Oscilaciones amortiguadas:
xx vkxma
Reemplazando:
xx vvdt
dE
2
xvdt
dE
10 Lic. Fís. John Cubas Sánchez
OSCILACIONES FORZADAS
La frecuencia de los
pasos de una compañía
de soldados (al
marchar) fue cercana a
la vibración natural del
puente (Resonancia).
11 Lic. Fís. John Cubas Sánchez
OSCILACIONES FORZADAS
El horno microondas utiliza una
onda electromagnética
(periódica) para excitar las
moléculas del agua y, de esta
forma, calentar los alimentos. La
frecuencia de microondas
concuerda con una de las
frecuencias naturales de
oscilación de la molécula del
agua (resonancia), y por ello es
que la mayor parte de la energía
la absorbe este elemento y no
otro (el tapper no se calienta por
las microondas si no porque está
en contacto con el agua
caliente).
12 Lic. Fís. John Cubas Sánchez
OSCILACIONES FORZADAS
v
)tcos(Ftd
xdxk
td
xdm fo
2
2
m2
m
ko
2
(Ecuación diferencial lineal no homogénea)
)tcos(m
Fx
td
xd
td
xdf
oo
2
2
2
2
13 Lic. Fís. John Cubas Sánchez
SOLUCION = SOLUCION EC. HOMOGENEA ASOCIADA + SOLUCION PARTICULAR
OSCILACIONES FORZADAS
Ecuación homogénea asociada:
022
2
2
xtd
xd
td
xdo
)tcos(eAx t
22 )()( o
14 Lic. Fís. John Cubas Sánchez
OSCILACIONES FORZADAS
SOLUCION = SOLUCION EC. HOMOGENEA ASOCIADA + SOLUCION PARTICULAR
Solución Particular:
cos( )fx B t
2 2
2
f o
f
arc tg
2222)2()(
1
fof
o
m
FB
0 15 Lic. Fís. John Cubas Sánchez
2 2
f o
2 f
2 2 2 2( ) (2 )f o f
)tcos(B)tcos(eAx ft
SOLUCION = SOLUCION EC. HOMOGENEA ASOCIADA + SOLUCION PARTICULAR
OSCILACIONES FORZADAS
0
16 Lic. Fís. John Cubas Sánchez
OSCILACIONES FORZADAS
)tcos(B)tcos(eAx ft
(Estado estacionario)
1t (Tiempo de relajación)
17 Lic. Fís. John Cubas Sánchez
Lic. Fís. John Cubas Sánchez 18
B
F F = B
2222)2()(
1
fof
o
m
FB
Sabemos que la amplitud en la
fase estacionaria está dada por:
Para que existan resonancia en la
amplitud (amplitud máxima):
0F
dB
d
Así:
2 2 2 2
1
( ) ( 2 )0
o
f o f
F
Fd
m
d
12 2 2 2 2( ) ( 2 )
0
of o f
F
Fd
m
d
Lic. Fís. John Cubas Sánchez 19
3
2 2 2 2 2 2 2 221
( ) 4 2( ) 2 8 02
of o f f o f f
F
m
2 2 2
32 2 2 2 2
4 20
2( ) 4
f f oo
f o f
F
m
2 2 22 0f o
De donde, la frecuencia de resonancia de la amplitud es:
2 22f o B O:
2
22B f
k
m m
De manera que cuando no hay amortiguación ( = 0; = 0), la frecuencia de
resonancia es igual la frecuencia natural del oscilador:
B f o
k
m La resonancia se vuelve infinita: B
RESONANCIA DE LA AMPLITUD
20 Lic. Fís. John Cubas Sánchez
1o
f
Resonancia
=
o
f
k
Fo
k
Fo
k
Fo
k
Fo
k
Fo1
2
3
4
5
= 0