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Pizzería (pág. 71)
Béisbol (pág. 87)
2.1 Resolver sistemas lineales usando la sustitución2.2 Resolver sistemas lineales usando la eliminación2.3 Resolver sistemas lineales usando la tecnología2.4 Resolver sistemas de desigualdades lineales
Razonamiento matemático: Los estudiantes que dominan las matemáticas pueden usar las matemáticas que saben para resolver problemas que surgen en la vida real, la sociedad y el lugar de trabajo.
2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
Monedas (pág. 80)
Peces tropicales (pág. 88)
Precios de venta (pág. 65)d ( )
PPeces ttropiic lales ((páág. 8888))
CONSULTAR la Gran Idea
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Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasReescribir ecuaciones literales (A.12.E)
Ejemplo 1 Resuelve la ecuación literal 3x − 9y = 15 por x.
3x − 9y = 15 Escribe la ecuación.
3x − 9y + 9y = 15 + 9y Suma 9y a cada lado.
3x = 15 + 9y Simplifica.
3x —
3 = 15 + 9y
— 3 Divide cada lado entre 3.
x = 5 + 3y Simplifica.
La ecuación literal reescrita es x = 5 + 3y.
Resuelve la ecuación literal para hallar y.
1. 4y − 4x = 16 2. 3y + 12x = 18
3. 2x − 10 = 4y + 6 4. x = 7y − y
5. x = 4y + zy + 6 6. 2y + 6xy = z
Hacer gráficas de desigualdades lineales de dos variables (A.3.D)
Ejemplo 2 Haz una gráfica de x + 2y > 8 en un plano de coordenadas.
Paso 1 Haz una gráfica de x + 2y = 8 o y = − 1 — 2 x + 4.
Usa una línea discontinua porque el símbolo dela desigualdad es >.
Paso 2 Prueba (0, 0).
x + 2y > 8 Escribe la desigualdad.
0 + 2(0) >?
8 Sustituye.
0 ≯ 8 ✗ Simplifica.
Paso 3 Dado que (0, 0) no es una solución, sombrea el semiplano que no contiene (0, 0).
Haz una gráfica de la desigualdad en un plano de coordenadas.
7. x − 2y < 0 8. 2x + 2y > 3
9. 3x + 5y ≥ 8 10. −x − 6y ≤ 12
11. x > −4 12. y ≤ 7
13. RAZONAMIENTO ABSTRACTO ¿Siempre puedes usar (0, 0) como un punto de prueba cuando haces una gráfi ca de una desigualdad lineal de dos variables? Explica tu razonamiento.
x
y
1
3
5
2 4−2
(0, 0)
Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com
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58 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
Usar una calculadora gráfi ca
Usa una calculadora gráfi ca para hallar la solución, si existe, del sistema de desigualdades lineales.
y ≥ 2x − 1 Desigualdad 1
y < 1 — 2 x + 5 Desigualdad 2
SOLUCIÓNLas pendientes de las líneas de límite no son las mismas, entonces sabes que las líneas se intersecan. Introduce las desigualdades en una calculadora gráfi ca. Luego haz una gráfi ca de las desigualdades en una ventana de visualización apropiada.
Halla la intersección de los semiplanos. Nota que cualquier punto en la línea de límite y = 2x − 1 es una solución y cualquier punto en la línea de límite y = 1 —
2 x + 5 no es
una solución. Una solución es (−1, 2).
Razonamiento Razonamiento matemáticomatemático
Los estudiantes que dominan las matemáticas seleccionan herramientas, incluyendo objetos reales, manipulativos, lápiz y papel y la tecnología como es apropiada y técnicas, incluyendo matemática mental, estimación y el sentido de los números como es apropiado, para resolver problemas. (2A.1.C)
Usar una calculadora gráfi ca
Hacer gráfi cas de un sistema de desigualdades lineales.Puedes usar una calculadora gráfi ca para hallar todas las soluciones, si existen, de un sistema de desigualdades lineales.
1. Introduce las desigualdades a una calculadora gráfi ca.
2. Haz una gráfi ca de las desigualdades en una ventana de visualización apropiada, para que la intersección de los semiplanos sea visible.
3. Halla la intersección de los semiplanos, la cual es la gráfi ca de todas las soluciones del sistema.
Concepto Concepto EsencialEsencial
Monitoreo del progresoMonitoreo del progresoUsa una calculadora gráfi ca para hacer la gráfi ca del sistema de desigualdades lineales. Nombra una solución, si la hay, del sistema.
1. y ≤ 3x − 2 2. x + y > −3 3. 2x − 1 — 2 y ≥ 4
y > −x + 4 −6x + y < 1 4x − y ≤ 5
Gráfico1 Gráfico2 Gráfico3
Y3=Y4=Y5=Y6=Y7=
Y1=2X-1Y2=(1/2)X+5
mayor que
menor que
−12
−8
8
12
La solución es la regiónque está sombreada dos veces.
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Sección 2.1 Resolver sistemas lineales usando la sustitución 59
2.1
Pregunta esencialPregunta esencial ¿Cómo puedes determinar el número de
soluciones de un sistema lineal?
Un sistema lineal es consistente cuando tiene por lo menos una solución. Un sistema
lineal es inconsistente cuando no tiene solución.
Reconocer gráfi cas de sistemas lineales
Trabaja con un compañero. Une cada sistema lineal con su gráfi ca correspondiente.
Explica tu razonamiento. Luego clasifi ca el sistema como consistente o inconsistente.
a. 2x − 3y = 3 b. 2x − 3y = 3 c. 2x − 3y = 3
−4x + 6y = 6 x + 2y = 5 −4x + 6y = −6
A.
x
y
2
−2
42−2
B.
x
y
2
−2
42
C.
x
y
2
−2
42−2
Resolver sistemas de ecuaciones lineales
Trabaja con un compañero. Resuelve cada sistema lineal usando la sustitución.
Luego usa la gráfi ca del sistema de abajo para verifi car tu solución.
a. 2x + y = 5 b. x + 3y = 1 c. x + y = 0
x − y = 1 −x + 2y = 4 3x + 2y = 1
x
y
2
42
x
y4
−2
−2−4
x
y
2
−2
2−2
Comunicar tu respuestaComunicar tu respuesta 3. ¿Cómo puedes determinar el número de soluciones de un sistema lineal?
4. Imagina que te dan un sistema de tres ecuaciones lineales de tres variables.
Explica como resolverías este sistema por sustitución.
5. Aplica tu estrategia en la pregunta 4 para resolver el sistema lineal.
x + y + z = 1 Ecuación 1
x − y − z = 3 Ecuación 2
−x − y + z = −1 Ecuación 3
FORMULAR UN PLAN
Para dominar las matemáticas, necesitas formular un plan para resolver el problema.
Resolver sistemas lineales usandola sustitución
2A.3.A2A.3.B
CONOCIMIENTOS Y APTITUDES ESENCIALES TEXAS
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60 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
2.1 Lección Qué aprenderásQué aprenderás Visualizarás soluciones de sistemas de ecuaciones lineales de tres variables.
Resolverás sistemas de ecuaciones lineales de tres variables usando la sustitución.
Resolverás problemas de la vida real.
Visualizar soluciones de sistemasUna ecuación lineal de tres variables x, y y z es una ecuación de la forma
ax + by + cz = d, donde a, b y c no son todos cero.
A continuación hay un ejemplo de un sistema de tres ecuaciones lineales de
de tres variables.
3x + 4y − 8z = −3 Ecuación 1
x + y + 5z = −12 Ecuación 2
4x − 2y + z = 10 Ecuación 3
Una solución de este sistema en un triple ordenado (x, y, z) cuyas coordenadas hacen
que la ecuación sea verdadera.
La gráfi ca de una ecuación lineal de tres variables es un plano en espacio tridimensional.
Las gráfi cas de esas tres ecuaciones que forman un sistema son tres planos cuyas
intersecciones determinan el número de soluciones del sistema, como se demuestra en
los diagramas a continuación.
Exactamente una soluciónLos planos intersecan en un solo punto,
el cual es la solución del sistema.
Infi nitas solucionesLos planos intersecan en una línea. Cada
punto en la línea es una solución del sistema.
Los planos también pueden ser el mismo plano.
Cada punto en el plano es una solución
del sistema.
Sin soluciónNo hay puntos en común entre ninguno de los tres planos.
ecuación lineal de tres variables, pág. 60
sistema de tres ecuaciones lineales, pág. 60
solución de un sistema de tres ecuaciones lineales, pág. 60
triple ordenado, pág. 60
Anteriorsistema de dos ecuaciones
lineales
Vocabulario EsencialVocabulario Eseencial
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Sección 2.1 Resolver sistemas lineales usando la sustitución 61
Resolver un sistema de tres variables (una solución)
Resuelve el sistema usando la sustitución. 3y − 6z = −6 Ecuación 1
x − y + 4z = 10 Ecuación 2
2x + 2y − z = 12 Ecuación 3
SOLUCIÓN
Paso 1 Resuelve la ecuación 1 para hallar y.
y = 2z − 2 Nueva ecuación 1
Paso 2 Sustituye 2z − 2 por y en las ecuaciones 2 y 3 para obtener un sistema de
dos variables.
x − (2z − 2) + 4z = 10 Sustituye 2z − 2 por y en la ecuación 2.
x + 2z = 8 Nueva ecuación 2
2x + 2(2z − 2) − z = 12 Sustituye 2z − 2 por y en la ecuación 3.
2x + 3z = 16 Nueva ecuación 3
Paso 3 Resuelve el nuevo sistema linear para ambas de sus variables.
x = 8 − 2z Resuelve la nueva ecuación 2 por x.
2(8 − 2z) + 3z = 16 Sustituye 8 − 2z por x en la nueva ecuación 3.
z = 0 Resuelve para hallar z.
x = 8 Sustituye en la nueva ecuación 3 para hallar x.
Paso 4 Sustituye x = 8 y z = 0 en la ecuación original y resuelve para hallar y.
3y − 6z = −6 Escribe la ecuación 1 original.
3y − 6(0) = −6 Sustituye 0 por z.
y = −2 Resuelve para hallar y.
La solución es x = 8, y = −2 y z = 0, o el triple ordenado (8, −2, 0).
Verifi ca esta solución en cada una de las ecuaciones originales.
ANALIZAR RELACIONES MATEMÁTICAS
El término x que falta en la ecuación 1 hace que sea más conveniente resolver para hallar y o z.
OTRA MANERAEn el paso 1 también puedes resolver la ecuación 1 para hallar z.
Resolver sistemas de ecuaciones usando la sustituciónEl método de sustitución usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos
variables también puede usarse para resolver sistemas de ecuaciones lineales de tres
variables.
Concepto Concepto EsencialEsencialResolver un sistema de tres variables usando la sustituciónPaso 1 Resuelve una ecuación hallando una de sus variables.
Paso 2 Sustituye la expresión del paso 1 en las otras dos ecuaciones para obtener
un sistema lineal de dos variables.
Paso 3 Resuelve el nuevo sistema lineal para ambas de sus variables.
Paso 4 Sustituye los valores que hallaste en el paso 3 en una de las ecuaciones
originales y resuelve para hallar el variable que falta.
Cuando obtienes una ecuación falsa, como 0 = 1, en cualquiera de los pasos, el
sistema no tiene solución.
Cuando no obtienes una ecuación falsa, pero obtienes una identidad como 0 = 0,
el sistema tiene infi nitas soluciones.
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62 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
Resolver un sistema de tres variables (sin solución)
Resuelve el sistema usando la sustitución. 4x − y + z = 5 Ecuación 1
8x − 2y + 2z = 1 Ecuación 2
x + y + 7z = −3 Ecuación 3
SOLUCIÓN
Paso 1 Resuelve la ecuación 1 para hallar z.
z = −4x + y + 5 Nueva ecuación 1
Paso 2 Sustituye −4x + y + 5 por z en las ecuaciones 2 y 3 para obtener un sistema
de dos variables.
8x − 2y + 2(−4x + y + 5) = 1 Sustituye −4x + y + 5 por z en la ecuación 2.
10 = 1 Nueva ecuación 2
Dado que obtienes una ecuación falsa, puedes concluir que el sistema original no
tiene solución.
Resolver un sistema de tres variables (muchas soluciones)
Resuelve el sistema usando la sustitución. 4x + y − z = 2 Ecuación 1
4x + y + z = 2 Ecuación 2
12x + 3y − 3z = 6 Ecuación 3
SOLUCIÓN
Paso 1 Resuelve la ecuación 1 para hallar y.
y = −4x + z + 2 Nueva ecuación 1
Paso 2 Sustituye −4x + z + 2 por y en las ecuaciones 2 y 3 para obtener un sistema
de dos variables.
4x + (−4x + z + 2) + z = 2 Sustituye −4x + z + 2 por y en la ecuación 2.
z = 0 Nueva ecuación 2
12x + 3(−4x + z + 2) − 3z = 6 Sustituye −4x + z + 2 por y en la ecuación 3.
6 = 6 Nueva ecuación 3
Dado que obtienes la identidad 6 = 6, el sistema tiene infi nitas soluciones.
Paso 3 Describe las soluciones del sistema usando un triple ordenado. Una manera de
hacer esto es sustituyendo 0 por z en la ecuación 1 para obtener y = −4x + 2.
Entonces, cualquier triple ordenado de la forma (x, −4x + 2, 0) es una solución
del sistema.
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
Resuelve el sistema usando la sustitución. Verifi ca tu solución, si es posible.
1. −x + y + 2z = 7 2. x − y + 2z = 4 3. x + y − 6z = 11
x + 3y − z = 5 x − y − 2z = 4 −2x − 2y + 12z = 18
x − 5y + z = −3 −3x + 3y + 2z = −12 5x + 2y + 7z = −1
4. En el ejemplo 3, describe las soluciones del sistema usando un triple ordenado en
términos de y.
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Sección 2.1 Resolver sistemas lineales usando la sustitución 63
Resolver problemas de la vida real
Aplicando matemáticas
Un anfi teatro cobra $75 por cada asiento en la sección A, $55 por cada asiento en
la sección B y $30 por cada asiento en el césped. Hay tres veces más asientos en la
sección B que la sección A. El ingreso de la venta de todos los 23,000 asientos es
$870,000. ¿Cuántos asientos hay en cada sección del anfi teatro?
SOLUCIÓN
Paso 1 Escribe un modelo verbal para la situación.
Número de
asientos en B, y = 3 ⋅
Número de
asientos en A, x
Número de
asientos en A, x + Número de
asientos en B, y +
Número de asientos
en el césped, z = Número total
de asientos
75 ⋅ Número de
asientos en A, x + 55 ⋅
Número de
asientos en B, y + 30 ⋅
Número de asientos
en el césped, z =
Ingreso
total
Paso 2 Escribe un sistema de ecuaciones.
y = 3x Ecuación 1
x + y + z = 23,000 Ecuación 2
75x + 55y + 30z = 870,000 Ecuación 3
Paso 3 Sustituye 3x por y en las ecuaciones 2 y 3 para obtener un sistema de dos
variables.
x + 3x + z = 23,000 Sustituye 3x por y en la ecuación 2.
4x + z = 23,000 Nueva ecuación 2
75x + 55(3x) + 30z = 870,000 Sustituye 3x por y en la ecuación 3.
240x + 30z = 870,000 Nueva Ecuación 3
Paso 4 Resuelve el nuevo sistema lineal para hallar ambas de sus variables.
z = −4x + 23,000 Resuelve la nueva ecuación 2 para hallar z.
240x + 30(−4x + 23,000) = 870,000 Sustituye −4x + 23,000 por z en la nueva ecuación 3.
x = 1500 Resuelve para hallar x.
y = 4500 Sustituye en la ecuación 1 para hallar y.
z = 17,000 Sustituye en la ecuación 2 para hallar z.
La solución es x = 1500, y = 4500 y z = 17,000 o (1500, 4500, 17,000).
Entonces, hay 1500 asientos en la sección A, 4500 asientos en la sección B y
17,000 asientos en el césped.
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5. ¿QUÉ PASA SI? En el primer día, se venden 10,000 entradas, generando un
ingreso de $356,000. El número de asientos vendidos en las secciones A y B son
iguales. ¿Cuántos asientos en el césped siguen disponibles?
CONSEJO DE ESTUDIO
Cuando estés sustituyendo para hallar valores de otras variables, elige las ecuaciones originales o nuevas que sean las más fáciles de usar.
ESCENARIO
A AAB
BBBB
CÉSPED
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64 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
Ejercicios2.1 Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com
1. VOCABULARIO La solución de un sistema de tres ecuaciones lineales se expresa como un _________.
2. DISTINTAS PALABRAS, LA MISMA PREGUNTA Considera el sistema de ecuaciones lineales mostradas.
¿Cuál es diferente? Halla “ambas” respuestas.
Halla el triple ordenado cuyas coordinadas hace que cada ecuación sea verdadera.
Resuelve el sistema de ecuaciones lineales.
Halla el punto de intersección de los planos representados por el sistema lineal.
Resuelve cada ecuación en el sistema por y. x + 3y = 1
−x + y + z = 3
x + 3y − 2z = −7
Verifi cación de vocabulario y concepto esencialVerifi cación de vocabulario y concepto esencial
En los Ejercicios 3 y 4, determina si el triple ordenado es una solución del sistema. Justifi ca tu respuesta.
3. (4, −5, 1) 4. (−2, 3, −6)
2x + y + 5z = 8 −x + 2y + 2z = −4
x + 3y + 2z = −9 4x + y − 3z = 13
−x − 2y + z = −13 x − 5y + z = −23
En los Ejercicios 5–14, resuelve el sistema usando la sustitución. (Consulta el Ejemplo 1).
5. x = 4 6. 2x − 3y + z = 10
x + y = −6 y + 2z = 13
4x − 3y + 2z = 26 z = 5
7. x + 2y = −1 8. 2x − 2y + z = 3
−x + 3y + 2z = −4 5y − z = −31
−x + y − 4z = 10 x + 3y + 2z = −21
9. 12x + 6y + 7z = −35 10. 2x + y + z = 12
7x − 5y − 6z = 200 5x + 5y + 5z = 20
x + y = −10 x − 4y + z = −21
11. x + y + z = 24 12. −3x + y + 2z = −13
5x + 3y + z = 56 7x + 2y − 6z = 37
x + y − z = 0 x − y + 3z = −14
13. −3x − 4y + z = −16 14. x − 3y + 6z = 21
x + 11y − 2z = 30 3x + 2y − 5z = −30
−9x − 4y − z = −4 2x − 5y + 2z = −6
ANÁLISIS DE ERRORES En los Ejercicios 15 y 16, describe y corrige el error cometido en los primeros pasos al resolver el sistema de ecuaciones lineales.
2x + y − 2z = 23
3x + 2y + z = 11
x − y − z = −2
15. z = 11 − 3x − 2y x − y − 11 − 3x − 2y = −2−2x − 3y = 9
✗16.
y = −2 − x + z2x + (−2 − x + z) − 2z = 23x − z = 25
✗En los Ejercicios 17–22, resuelve el sistema usando la sustitución. (Consulta los Ejemplos 2 y 3).
17. y + 3z = 3 18. x = y − z
x + 2y + z = 8 x + y + 2z = 1
2x + 3y − z = 1 3x + 3y + 6z = 4
19. 2x + y − 3z = −2 20. 11x + 11y − 11z = 44
7x + 3y − z = 11 22x − 30y + 15z = −8
−4x − 2y + 6z = 4 x + y − z = 4
21. 2x + 3y − z = 6 22. x − 3y + z = 2
3x − 12y + 6z = 9 2x + y + z = 6
−x + 4y − 2z = −3 3x − 9y + 3z = 10
Monitoreo del progreso y Representar con matemáticasMonitoreo del progreso y Representar con matemáticas
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Sección 2.1 Resolver sistemas lineales usando la sustitución 65
23. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Un almacén
anuncia que por $20 uno puede comprar una libra
de cada uno: maní, anacardos y almendras. Los
anacardos cuestan lo mismo que el maní y las
almendras combinadas. Compras 2 libras de maní,
1 libra de anacardos y tres libras de almendras por
$36. ¿Cuál es el precio por libra de cada tipo de
nuez? (Consulta el Ejemplo 4).
24. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Cada año, el
público vota por el novato del año en una liga de
softbol. Los resultados para los tres fi nalistas se
muestran en la tabla a continuación. ¿Cuántos puntos
se asignan a cada voto?
Jugador1er
puesto2er
puesto3er
puestoPuntos
Jugador 1 23 5 1 131
Jugador 2 5 17 4 80
Jugador 3 1 5 15 35
25. ESCRIBIR Escribe un sistema lineal de tres variables
para el cual te es más fácil resolver por una variable
que resolver por cualquiera de las otras dos variables.
Explica tu razonamiento.
26. RAZONAMIENTO REPETIDO Usando lo que ya
sabes sobre sistemas lineales de dos y tres variables
usando la sustitución, planea una estrategia de cómo
resolverías un sistema con cuatro ecuaciones lineales
de cuatro variables.
27. RESOLVER PROBLEMAS El número de personas
zurdas en el mundo es una décima parte del número
de personas que escriben con la mano derecha. El
porcentaje de personas que escribe con la mano
derecha es nueve veces más que el porcentaje de
personas ambidiestras y zurdas combinadas. ¿Qué
porcentaje de personas es ambidiestra?
28. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Usa un sistema
de ecuaciones lineales para representar los datos en el
artículo de periódico a continuación. Resuelve el sistema
para hallar cuántos atletas terminaron en cada puesto.
Lawrence High prevaleció en la carrera de atletismo del sábado con la ayuda de 20 participantes individuales, que conjuntamente obtuvieron 68 puntos. Un primer puesto gana 5 puntos, un segundo puesto gana 3 puntos y un tercer puesto gana 1 punto. Lawrence tuvo una gran presencia en el segundo puestos, con tantos segundos puestos como primer y tercer puesto combinados.
CONNECCIONES MATEMÁTICAS En los Ejercicios 29 y 30 escribe y usa un sistema lineal para contestar la pregunta.
29. El triángulo tiene un perímetro de 65 pies. ¿Cuál es la
longitud de los lados ℓ, m y n?
m
n = + m − 15= m1
3
30. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos A, B y C?
(5A − C)°
A°
(A + B)°
A
B C
31. FINAL ABIERTO Escribe un sistema de tres ecuaciones
lineales de tres variables que tenga el triple ordenado
(−4, 1, 2) como su única solución. Justifi ca tu
respuesta usando el método de sustitución.
32. ARGUMENTAR Un sistema lineal de tres variables
no tiene solución. Tu amigo concluye que no es
posible que dos de las tres ecuaciones tengan algún
punto en común. ¿Tiene tu amigo razón? Explica tu
razonamiento.
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66 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
33. RESOLVER PROBLEMAS Un contratista es contratado
para construir una urbanización de apartamentos. Cada
unidad de 840 pies cuadrados tiene un dormitorio, una
cocina y un baño. El dormitorio será del mismo tamaño
que la cocina. El dueño encarga 940 pies cuadrados de
losa para cubrir completamente el piso de dos cocinas
y dos baños. Determina cuántos pies cuadrados de
alfombra se necesitan para cada dormitorio.
Área total: 840 pies2
DORMITORIO
BAÑO COCINA
34. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Considera el sistema
mostrado.
x − 3y + z = 6
x + 4y − 2z = 9
a. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?
b. Haz una suposición del mínimo número de
ecuaciones que un sistema lineal de n variables
puede tener cuando hay exactamente una solución.
35. RESOLVER PROBLEMAS Un fl orista tiene que hacer 5
ramos para damas de honor idénticos para una boda.
El presupuesto es $160 y cada ramo tiene que tener
12 fl ores. Las rosas cuestas $2.50 cada una, los lirios
cuestan $4 cada uno y las iris cuestan $2 cada una. El
fl orista quiere dos veces más rosas que los otros dos
tipos de fl ores combinados.
a. Escribe un sistema de ecuaciones para representar
esta situación, asumiendo que el fl orista piensa
usar el presupuesto máximo.
b. Resuelve el sistema para hallar cuántas fl ores de
cada tipo debe haber en cada ramo.
c. Supón que no hay límite en el costo total de los
ramos. ¿El problema todavía tiene exactamente
una solución? Si es así, halla la solución. Si no,
ofrece tres posibles soluciones.
36. ¿CÓMO LO VES? Determina si el sistema de
ecuaciones que representa a los círculos no tiene
solución, una sola solución, o infi nitas soluciones.
Explica tu razonamiento.
a.
x
y b.
x
y
37. RAZONAMIENTO Considera un sistema de tres
ecuaciones lineales de tres variables. Describe el
posible número de soluciones en cada situación.
a. Las gráfi cas de dos de las ecuaciones en el sistema
son planos paralelos.
b. Las gráfi cas de dos de las ecuaciones en el sistema
se intersecan en una línea.
c. Las gráfi cas de dos de las ecuaciones en el sistema
son el mismo plano.
38. ANALIZAR RELACIONES Usa los números −3, 0 y 1
para escribir un sistema lineal que tiene una solución
de (30, 20, 17).
x − 3y + 3z = 21
__ x + __ y + __ z = −30
2x − 5y + 2z = −6
39. RAZONAMIENTO ABSTRACTO Escribe un sistema
lineal para representar las primeras tres fotos a
continuación. Usa el sistema para determinar cuántas
mandarinas se necesitan para balancear la manzana en
la cuarta foto. Nota: la primera foto muestra que una
mandarina y una manzana balancea un pomelo.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 2000 120 130 140 150 160 170 180 190 200 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 2000 120 130 140 150 160 170 180 190 200 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasResuelve el sistema de ecuaciones lineales usando la eliminación. (Manual de revisión de destrezas)
40. x + 3y = 6 41. 2x − y = −3
−x − 2y = −5 −5x + y = 3
42. 4x + 2y = −4 43. 4x − 3y = 9
−2x + 6y = 44 5x − 21y = −6
Repasar lo que aprendiste en grados y lecciones anteriores
hstx_alg2_span_pe_0201.indd 66hstx_alg2_span_pe_0201.indd 66 7/21/15 9:41 AM7/21/15 9:41 AM
Sección 2.2 Resolver sistemas lineales usando la eliminación 67
2.2
Pregunta esencialPregunta esencial ¿Cómo puedes reescribir un sistema lineal que pueda resolverse mediante cálculos mentales?
Un sistema lineal en forma de matriz escalonada tiene un patrón de “escalones” con un coefi ciente principal de 1. Un sistema puede ser escrito en forma de matriz escalonada al producir una serie de sistemas equivalentes. Los sistemas equivalentes tienen la misma solución.
Reconocer gráfi cas de sistemas lineales
Trabaja con un compañero. Une cada sistema lineal en forma de matriz escalonada con su gráfi ca correspondiente. Explica tu razonamiento.
a. x + 2y = 4 b. x − y = 1 c. x + 1 — 2 y = 0
y = 2 y = 2 y = 2
A.
2 x−2
−2
3y B.
2 x−2
−3
1
3y C.
2 x−2
−3
−1
1
3y
Escribir sistemas lineales en forma escalonada por fi las
Trabaja con un compañero. Une cada sistema lineal en forma de matriz escalonada con su gráfi ca correspondiente. Explica tu razonamiento.
a. y = 1 b. x + 2y = 5 c. 2x + 4y = 14
x − 3y = −2 −x − y = −3 −3x − 5y = −18
A. x + 2y = 5 B. x + 2y = 7 C. x − 3y = −2
y = 2 y = 3 y = 1
Comunica tu respuestaComunica tu respuesta 3. ¿Cómo puedes reescribir un sistema lineal para que pueda resolverse mediante
cálculos mentales?
4. Los sistemas equivalentes son producidos usando operaciones de fi las. Describe las operaciones de fi las que usaste en la Exploración 2 para producir sistemas equivalentes.
5. Usa operaciones de fi las para escribir el sistema lineal de tres variables en de matriz escalonada.
2x − 2y + 4z = 6 Ecuación 1
−x + 2y + z = 0 Ecuación 2
−y − 2z = −2 Ecuación 3
RAZONARPara dominar las matemáticas, tienes que analizar las relaciones matemáticas para conectar ideas matemáticas.
Resolver sistemas lineales usandola eliminación
2A.3.B
CONOCIMIENTOS Y APTITUDES ESENCIALES TEXAS
hstx_alg2_span_pe_0202.indd 67hstx_alg2_span_pe_0202.indd 67 7/21/15 9:42 AM7/21/15 9:42 AM
68 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
2.2 Lección Qué aprenderásQué aprenderás Resolverás sistemas de ecuaciones lineales de tres variables usando
la eliminación.
Resolverás sistemas de ecuaciones lineales usando la eliminación Gaussiana.
Resolver sistemas de ecuaciones usando la eliminaciónEl método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos variables puede también ser extendido para resolver un sistema de ecuaciones lineales de tres variables.
Resolver un sistema de tres variables (una solución)
Resuelve el sistema usando 4x + 2y + 3z = 12 Ecuación 1la eliminación. 16x + 5z = −6 Ecuación 2
6x − y + 4z = −3 Ecuación 3
SOLUCIÓN
Paso 1 Reescribe el sistema como un sistema lineal de dos variables.
4x + 2y + 3z = 12 Suma 2 veces la Ecuación 3 a
12x − 2y + 8z = −6 la Ecuación 1 (para eliminar y).
16x + 11z = 6 Nueva ecuación 1
Paso 2 Resuelve el nuevo sistema lineal para hallar ambas de sus variables.
16x + 11z = 6 Suma −1 multiplicado por la Ecuación 2
−16x − 5z = 6 a la nueva Ecuación 1 (para eliminar x).
6z = 12
z = 2 Resuelve para hallar z.
x = −1 Sustituye en la Ecuación 1 nueva para hallar x.
Paso 3 Sustituye x = −1 y z = 2 en una ecuación original y resuelve para hallar y.
6x − y + 4z = −3 Escribe la Ecuación 3 original.
6(−1) − y + 4(2) = −3 Sustituye −1 por x y 2 por z.
y = 5 Resuelve para hallar y.
La solución es x = −1, y = 5 y z =−2, o el triple ordenado (−1, 5, 2). Verifi ca esta solución en cada una de las ecuaciones originales.
ANALIZAR RELACIONES MATEMÁTICAS
El termino y que falta en la Ecuación 2 hace que y sea una variable más conveniente para eliminar.
eliminación Gaussiana, pág. 70
Anteriorecuación lineal de tres variablessistema de tres ecuaciones
linealessolución de un sistema de tres
ecuaciones linealestriple ordenadosistema de dos ecuaciones
linealessustitución
Vocabulario EsencialVocabulario Eseencial
Concepto Concepto EsencialEsencialResolver un sistema de tres variables usando la eliminaciónPaso 1 Elimina una variable para obtener un sistema lineal de dos variables.
Paso 2 Resuelve el nuevo sistema lineal para hallar sus dos variables.
Paso 3 Sustituye los valores hallados en el paso 2 en una de las ecuaciones originales y resuelve para hallar la variable que falta.
Cuando obtienes una ecuación falsa, como 0 = 1, en cualquiera de los pasos, el sistema no tiene solución.
Cuando no obtienes una ecuación falsa pero obtienes una identidad como 0 = 0, el sistema tiene infi nitas soluciones.
hstx_alg2_span_pe_0202.indd 68hstx_alg2_span_pe_0202.indd 68 7/23/15 10:45 AM7/23/15 10:45 AM
Sección 2.2 Resolver sistemas lineales usando la eliminación 69
Resolver un sistema de tres variables (sin solución)
Resuelve el sistema usando x + y + z = 2 Ecuación 1la eliminación. 5x + 5y + 5z = 3 Ecuación 2
4x + y − 3z = −6 Ecuación 3
SOLUCIÓN
Paso 1 Reescribe el sistema como un sistema lineal de dos variables.
−5x − 5y − 5z = −10 Suma −5 veces la Ecuación 1
5x + 5y + 5z = 3 a la Ecuación 2.
0 = −7
Dado que obtienes una ecuación falsa, el sistema original no tiene solución.
Resolver un sistema de tres variables (muchas soluciones)
Resuelve el sistema usando x − y + z = −3 Ecuación 1la eliminación. x − y − z = −3 Ecuación 2
5x − 5y + z = −15 Ecuación 3
SOLUCIÓN
Paso 1 Reescribe el sistema como un sistema lineal de dos variables.
x − y + z = −3 Suma la Ecuación 1 a la
x − y − z = −3 Ecuación 2 (para eliminar z).
2x − 2y = −6 Nueva Ecuación 2
x − y − z = −3 Suma la Ecuación 2 a la
5x − 5y + z = −15 Ecuación 3 (para eliminar z).
6x − 6y = −18 Nueva Ecuación 3
Paso 2 Resuelve el nuevo sistema lineal para ambos variables.
−6x + 6y = 18 Suma −3 veces la Ecuación 2 a la
6x − 6y = −18 nueva Ecuación 3.
0 = 0
Dado que obtienes la identidad 0 = 0, el sistema tiene infi nitas soluciones.
Paso 3 Describe las soluciones del sistema usando un triple ordenado. Una manera de hacer esto es resolviendo la nueva ecuación 2 para hallar y obtener y = x + 3. Luego sustituye x + 3 por y en la ecuación original 1 para obtener z = 0.
Entonces, cualquier triple ordenado de la forma (x, x + 3, 0) es una solución del sistema.
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
Resuelve el sistema usando la eliminación. Verifi ca tu solución si es posible.
1. x − 2y + z = −11 2. x + y − z = −1 3. x + y + z = 8
3x + 2y − z = 7 4x + 4y − 4z = −2 x − y + z = 8
−x + 2y + 4z = −9 3x + 2y + z = 0 2x + y + 2z = 16
4. En el Ejemplo 3, describe las soluciones del sistema usando un triple ordenado en términos de y.
OTRA MANERARestar la ecuación 1 de la Ecuación 2 da z = 0. Después de sustituir 0 por z en cada ecuación, puedes ver que cada una es equivalente a y = x + 3.
hstx_alg2_span_pe_0202.indd 69hstx_alg2_span_pe_0202.indd 69 7/23/15 10:49 AM7/23/15 10:49 AM
70 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
Usar la eliminación Gaussiana para resolver un sistema
Resuelve el sistema usando la x − 2y + 3z = 9 Ecuación 1eliminación Gaussiana. −x + 3y = −4 Ecuación 2
−5y − 14z = −23 Ecuación 3
SOLUCIÓN
Dado que el coefi ciente principal de la primera ecuación es 1, comienza por mantener la x en la posición de la izquierda superior y elimina el otro término x de la primera columna.
x − 2y + 3z = 9 Escribe la Ecuación 1.
−x + 3y = −4 Escribe la Ecuación 2.
y + 3z = 5 Suma la Ecuación 1 a la Ecuación 2.
x − 2y + 3z = 9
y + 3z = 5
−5y − 14z = −23
5y + 15z = 25 Multiplica la nueva Ecuación 2 por 5.
−5y − 14z = −23 Escribe la Ecuación 3.
z = 2 Suma la nueva Ecuación 2 a la Ecuación 3.
x − 2y + 3z = 9
y + 3z = 5
z = 2
Usando la sustitución, puedes concluir que la solución es x = 1, y = −1 y z = 2, o el triple ordenado (1, −1, 2).
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
5. Usa la eliminación Gaussiana para resolver el sistema de ecuaciones lineales en la pregunta 1 de Monitoreo del progreso.
Sumar la primera ecuación a la segunda produce una segunda ecuación nueva.
Sumar 5 veces la segunda ecuación a la tercera ecuación produce una tercera ecuación nueva.
Resolver sistemas usando la eliminación GaussianaLos sistemas escritos en forma de matriz escalonada pueden ser resueltos fácilmente usando la sustitución. Un sistema en forma de matriz escalonada tiene un patrón de “escalones” con coefi cientes principales de 1. Para resolver un sistema que no está en forma de matriz escalonada, usa las operaciones mostradas a continuación para reescribir el sistema en su forma de matriz escalonada equivalente. Este proceso se llama eliminación Gaussiana, por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855).
CONSEJO DE ESTUDIOEl sistema de ecuaciones
x + 2y + z = 5 y − z = −1 z = 2
está en forma de matriz escalonada. Fíjate que su solución (1, 1, 2) se puede hallar fácilmente.
Concepto Concepto EsencialEsencialOperaciones que producen sistemas equivalentesCada una de las próximas operaciones de fi las en un sistema de ecuaciones lineales produce un sistema equivalente de ecuaciones lineales.
1. Intercambia dos ecuaciones.
2. Multiplica una de las ecuaciones por un constante que no sea cero.
3. Suma un múltiplo de una de las ecuaciones con otra ecuación para remplazar la segunda ecuación.
hstx_alg2_span_pe_0202.indd 70hstx_alg2_span_pe_0202.indd 70 7/21/15 9:42 AM7/21/15 9:42 AM
Sección 2.2 Resolver sistemas lineales usando la eliminación 71
Ejercicios2.2 Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com
En los Ejercicios 3–8, resuelve el sistema usando la eliminación. (Consulta los Ejemplos 1, 2 y 3).
3. x + y − 2z = 5 4. x + 4y − 6z = −1
−x + 2y + z = 2 2x − y + 2z = −7
2x + 3y − z = 9 −x + 2y − 4z = 5
5. 3x − y + 2z = 4 6. 5x + y − z = 6
6x − 2y + 4z = −8 x + y + z = 2
2x − y + 3z = 10 12x + 4y = 10
7. x + 3y − z = 2 8. −2x − 3y + z = −6
x + y − z = 0 x + y − z = 5
3x + 2y − 3z = −1 7x + 8y − 6z = 31
ANALISIS DE ERRORES En los Ejercicios 9 y 10, describe y corrige el error cometido en el primer paso para resolver el sistema de ecuaciones lineales usando la eliminación.
4x − y + 2z = −18
−x + 2y + z = 11
3x + 3y − 4z = 44
9. 4x − y + 2z = −18
−4x + 2y + z = 11y + 3z = −7
✗10.
12x − 3y + 6z = −18 3x + 3y − 4z = 44 15x + 2z= 26
✗
En los Ejercicios 11–16 resuelve el sistema usando la eliminación Gaussiana. (Consulta el Ejemplo 4).
11. x + y − z = 4 12. 2x − y − z = 15
3x + 2y + 4z = 17 4x + 5y + 2z = 10
−x + 5y + z = 8 −x − 4y + 3z = −20
13. x + 2y − z = 3 14. x + 2y + 3z = 4
2x + 4y − 2z = 6 −3x + 2y − z = 12
−x − 2y + z = −6 −2x − 2y − 4z = −14
15. x + 2y − z = 3 16. 4x + y + 5z = 5
−2x − y + z = −1 8x + 2y + 10z = 10
6x − 3y − z = −7 x − y − 2z = −2
17. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Se han hecho tres pedidos en una pizzería. Dos pizzas pequeñas, un litro de refresco y una ensalada cuestan $14; una pizza pequeña, un litro de refresco y tres ensaladas cuestan $15; y tres pizzas pequeñas, un litro de refresco y dos ensaladas cuestan $22. ¿Cuánto cuesta cada cosa?
18. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La tienda de muebles de Sam coloca este anuncio en el periódico. Escribe un sistema de ecuaciones para las tres combinaciones de muebles. ¿Cuál es el precio de cada pieza de mueblería? Explica.
Sofá y sillón de dos cuerpos
Sofá y dos sillas
Sofá, sillón de dos cuerpos y una silla
SAM’SFurniture Store
Monitoreo del progreso y Representar con matemáticasMonitoreo del progreso y Representar con matemáticas
1. ESCRIBIR ¿Cómo es semejante resolver un sistema lineal usando la eliminación y resolver un sistema lineal usando la sustitución?
2. ESCRIBIR Explica cómo sabes cuando un sistema lineal de tres variables tiene infi nitas soluciones.
Verifi cación de vocabulario y concepto esencial Verifi cación de vocabulario y concepto esencial
hstx_alg2_span_pe_0202.indd 71hstx_alg2_span_pe_0202.indd 71 7/21/15 9:42 AM7/21/15 9:42 AM
72 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
19. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Se presenta una obra de teatro a un público de 400 personas. Los boletos de adulto cuestan $22 cada uno, los boletos de estudiante cuestan $15 cada uno y los boletos para niños cuestan $13.50 cada uno. Los ingresos la obra de teatro son $7840. Hay 40 niños más en el concierto que estudiantes. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?
teatro
BoletosAdulto: $22Estudiante: $15Niño: $13.50
20. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Un estadio tiene 10,000 asientos, dividido en asientos de palco, asientos de cubierta baja, y asientos de cubierta alta. Los asientos de palco se venden por $10, los asientos de cubierta baja por $8, y los asientos de cubierta alta por $5. Cuando todos los asientos para un partido se han vendido, el ingreso total es de $70,000. El estadio tiene cuatro veces más asientos de cubierta alta que asientos de palco. Halla el número de asientos de cubierta baja en el estadio.
21. COMPARAR MÉTODOS Determina si usarías la eliminación o la eliminación Gaussiana para resolver cada sistema. Explica tu razonamiento.
a. 2x + 2y + 5z = −1 b. 3x + 2y − 3z = −2
2x − y + z = 2 7x − 2y + 5z = −14
2x + 4y − 3z = 14 2x + 4y − 4z = 6
22. ¿CÓMO LO VES? Considera el diagrama a continuación. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de tres variables que represente la situación, donde las variables representen la cantidad de cada tipo de moneda.
23. PENSAMIENTO CRÍTICO Halla los valores de a, b y c de manera que el sistema lineal mostrado tenga (−1, 2, −3) como su única solución. Explica tu razonamiento.
x + 2y − 3z = a
−x − y + z = b
2x + 3y − 2z = c
24. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO ¿El sistema lineal de ecuaciones tiene más de una solución? Justifi ca tu respuesta.
4x + y + z = 0
2x + 1 — 2 y − 3z = 0
−x − 1 — 4 y − z = 0
25. FINAL ABIERTO Considera el sistema de ecuaciones lineales a continuación. Elige valores no ceros para a, b y c de manera que el sistema satisfaga la condición dada. Explica tu razonamiento.
x + y + z = 2
ax + by + cz = 10
x − 2y + z = 4
a. El sistema no tiene solución.
b. El sistema tiene exactamente una solución.
c. El sistema tiene infi nitas soluciones.
26. RESOLVER PROBLEMAS Gastas $24 en 21 libras de manzanas. Compras 2 libras de manzanas doradas por $1.25 cada libra. Las manzanas rojas cuestan $1.00 por libra y las manzana Empire cuesta $1.50 por libra. Escribe un sistema de ecuaciones en forma de matriz escalonada que represente esta situación. ¿Cuántas libras de cada tipo de manzana compraste?
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasUsa una calculadora gráfi ca para resolver el sistema de ecuaciones lineales. (Manual de repaso de destrezas)
27. 3x + y = 7 28. −4x − 3y = −17 29. −x + 8y = −37
−x + 2y = 1 2x + 7y = 47 11x + 4y = 39
Repasar lo que aprendiste en grados y lecciones anteriores
hstx_alg2_span_pe_0202.indd 72hstx_alg2_span_pe_0202.indd 72 7/21/15 9:42 AM7/21/15 9:42 AM
7373
2.1–2.2 ¿Qué aprendiste?
1. En el momento que te entreguen el examen, voltéalo y escribe cualquier fórmula, calculación y regla que todavía te cuesta recordar.
2. Revisa el examen y marca las preguntas que sabes cómo hacer fácilmente. Estos son los problemas que debes hacer primero.
3. Mientras revisas el examen, puede ser que te hayas acordado de otra información. Escríbela atrás del examen.
4. Basado en cuantos puntos vale cada pregunta, decide un programa de progreso. Debes siempre tener más de la mitad del examen listo antes de que haya pasado la mitad del tiempo.
5. Resuelve los problemas que marcaste cuando revisaste el examen.
6. Omite temporalmente los problemas que sabes que te van a dar más difi cultad.
7. Después de resolver los problemas que sabes hacer fácilmente, regresa y vuelve a leer los problemas que omitiste.
8. Da tu mejor esfuerzo a los problemas que faltan. Aunque no puedas resolver un problema, puede ser que te den crédito parcial por algunos pasos ejecutados correctamente.
9. Revisa el examen, busca cualquier error por descuido que pudieras haber cometido.
10. El examen no es una carrera contra otros estudiantes. Usa todo el tiempo designado.
Destrezas de estudio
Vocabulario EsencialVocabulario Esencialecuación lineal de tres variables, pág. 60sistema de tres ecuaciones lineales, pág. 60solución de un sistema de tres ecuaciones lineales, pág. 60
triple ordenado, pág. 60eliminación Gaussiana, pág. 70
Conceptos EsencialesConceptos EsencialesSección 2.1Visualizar soluciones de sistemas, pág. 60 Resolver sistemas de tres variables usando
la sustitución, pág. 61Sección 2.2Resolver sistemas de tres variables usando la eliminación, pág. 69
Operaciones que producen sistemas equivalentes, pág. 70
Razonamiento matemáticoRazonamiento matemático1. ¿Cómo usaste la información del artículo de periódico en el Ejercicio 28 de la página 65 para escribir
un sistema de tres ecuaciones lineales?
2. Explica la estrategia que usaste para elegir los valores para a, b y c en el Ejercicio 25 de la página 72.
10 pasos para tomar examenes`
hstx_alg2_span_pe_02mc.indd 73hstx_alg2_span_pe_02mc.indd 73 7/21/15 9:40 AM7/21/15 9:40 AM
74 Capitulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
1. Determina si cada triple ordenado es una solución al sistema de ecuaciones mostrado. Explica tu razonamiento. (Sección 2.1)
a. (−1, 2, 1) −x + y + z = 4 Ecuación 1
−3x + 2y + 3z = 10 Ecuación 2
x − y − z = −4 Ecuación 3
b. (−3, 0, 5)
c. (0, −1, 4)
d. (4, 2, 6)
Resuelve el sistema usando la sustitución. (Sección 2.1)
2. x + y − 3z = −1 3. x + 4z = 1 4. x − 3y + z = 1y = z x + y + 10z = 10 x − 2y − 3z = 2−x + 2y = 1 2x − y + 2z = −5 x + y − z = −1
Resuelve el sistema usando la eliminación. (Sección 2.2)
5. 2x + 4y − z = 7 6. x − 2y + 3z = 9 7. x + 2y − 7z = −42x − 4y + 2z = −6 −x + 3y = −4 2x + y + z = 13x + 4y + z = 0 2x − 5y + 5z = 17 3x + 9y − 36z = −33
Resuelve el sistema usando la eliminación Gaussiana. (Sección 2.2)
8. x − 11y + 4z = 3 9. 3x − 3y + 6z = 6 10. x + 2z = 52x + 4y − z = 7 x + 2y − z = 5 3x − y − z = −25x − 3y + 2z = 3 5x − 8y + 13z = 7 6x − y + 5z = 13
11. Concursantes participan en un tallado de calabazas. La tabla muestra los resultados de los votos por los medallistas de oro, plata y bronce. El medallista de oro acumuló 38 puntos, el medallista de plata 30 puntos y el medallista de bronce 22 puntos. ¿Cuántos puntos valen cada voto? (Secciones 2.1 y 2.2)
Medalla 1er lugar 2er lugar 3er lugar
Oro 6 2 2
Plata 3 4 3
Bronce 1 4 5
12. En un partido de fútbol americano, se anotaron 45 puntos. Durante el partido, hubo 13 jugadas con puntos ganados. Estas jugadas fueron una combinación de touchdown, pateadas de puntos extra y goles de campo, los cuales valen 6 puntos, 1 punto y 3 puntos respectivamente. El mismo número de pateadas de extra tiempo y touchdowns logrados y hubo 6 veces más touchdowns que goles de campo. ¿Cuántos touchdowns, pateadas y goles de campo hubieron en el partido? (Secciones 2.1 y 2.2)
13. Una corporación pequeña pidió prestado $800,000 para expandir su negocio. Parte del dinero fue prestado al 8%, 9% y parte al 10%. El interés simple cargado fue $67,500 y el monto prestado a 8% fue cuatro veces el monto del préstamo a 10%. ¿Cuánto dinero fue prestado a cada tasa de interés? (Secciones 2.1 y 2.2)
2.1–2.2 Prueba
hstx_alg2_span_pe_02mc.indd 74hstx_alg2_span_pe_02mc.indd 74 7/21/15 9:40 AM7/21/15 9:40 AM
Sección 2.3 Resolver sistemas lineales usando la tecnología 75
2.3
Pregunta esencialPregunta esencial ¿Cómo puedes representar expresiones
algebraicas usando una matriz de coefi cientes?
Una matriz es un arreglo rectangular de números. Las dimensiones de una matriz con
m fi las y n columnas son m × n. Entonces, las dimensiones de la matriz A son 2 × 3.
A = [ 4 0
−1
6
5
3 ] 2 fi las
3 columnas
Escribir matrices de coefi cientes
Trabaja con un compañero. Une cada conjunto de expresiones algebraicas con su
matriz de coefi cientes. Explica tu razonamiento.
Muestra Expresiones 2x + y + 6z Matriz de [ 2
−1
1
0
6
3 ] Algebraicas: −x + 3z coefi cientes:
a. 4x + 3y b. 4x + 3z
5x + y 5x + y
c. 4x − 3z d. 4x + 2y +3z
5x − y 3y − z
4z
A. [ 4 5
0
−1
−3
0 ] B.
[ 4 0
0
2
3
0
3
−1
4
] C.
[ 4 5
3
1 ] D.
[ 4 5
0
1
3
0 ]
Escribir matrices de coefi ciente
Trabaja con un compañero. Escribe e introduce la matriz de coefi cientes para cada
conjunto de expresiones en una calculadora gráfi ca.
a. 2y − 5z b. 5y − z c. −x − 3y
x + 11y 2x + 4z x + z
−x + 2y + 9z
Comunicar tu respuestaComunicar tu respuesta 3. ¿Cómo puedes representar expresiones algebraicas usando una matriz de
coefi cientes?
4. Usa las expresiones algebraicas
mostradas por la matriz de coefi cientes.
ANALIZAR RELACIONES MATEMÁTICAS
Para dominar las matemáticas, necesitas analizar relaciones matemáticas para conectar ideas matemáticas.
Matriz[A] 4 ×4[1 0 -1 4 ][3 5 0 -8][4 3 0 0 ][-9 0 0 0 ]
Resolver sistemas linealesusando la tecnología
2A.3.B
CONOCIMINETOS Y APTITUDES ESENCIALES TEXAS
hstx_alg2_span_pe_0203.indd 75hstx_alg2_span_pe_0203.indd 75 7/21/15 9:43 AM7/21/15 9:43 AM
76 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
2.3 Lección Qué aprenderásQué aprenderás Escribirás matrices aumentadas para sistemas de ecuaciones lineales.
Usarás la tecnología para resolver sistemas de ecuaciones lineales de tres variables.
Escribir matrices aumentadas para sistemasUna matriz es un arreglo rectangular de números. Las dimensiones de una matriz con
m fi las y n columnas son m × n (se lee “m por n”). Entonces, las dimensiones de la
matriz A son 2 × 3. Los números dentro de la matriz son sus elementos.
A = [ 4 0
−1
6
5
3 ] 2 fi las
3 columnas
Una matriz derivada de un sistema de ecuaciones lineales (cada una escrita en forma
estándar con el término constante a la derecha) es la matriz aumentada del sistema. Por
ejemplo, el sistema a continuación puede ser representado por la matriz aumentada dada.
coefi cientes
Sistema: 5x + 3y − 2z = 1 matriz
x + 2y + 3z = −1 aumentada: [ 5 1
3
3
2
−4
−2
3
1
. . .
. . .
. . .
1
−1
10
] 3x − 4y + z = 10
constantes
Antes de que escribas una matriz aumentada, asegúrate de que cada ecuación en el
sistema esté escrita en forma estándar. Incluye ceros para los coefi cientes de cualquier
variable que falte. Esto determina el orden de las constantes y los coefi cientes en la
matriz aumentada.
Escribir una matriz aumentada
Escribe una matriz aumentada para el sistema. Luego indica las dimensiones.
y − 2x = 1
x + 3y = 12
SOLUCIÓN
Empieza por reescribir cada ecuación en el sistema en forma estándar.
−2x + y = 1
x + 3y = 12
Luego, usa los coefi cientes y las constantes como elementos de la matriz aumentada.
[ −2
1
1
3
. . .
. . .
1
12 ]
La matriz aumentada tiene dos fi las y tres columnas, así que las dimensiones
son 2 × 3.
El elemento en la primera fila y la tercera columna es 5.
matriz, pág. 76dimensiones de una matriz,
pág. 76elementos de una matriz,
pág. 76matriz aumentada, pág. 76
Anteriorsistema de tres ecuaciones
linealesforma escalonada por fi las
Vocabulario EsencialVocabulario Eseencial
hstx_alg2_span_pe_0203.indd 76hstx_alg2_span_pe_0203.indd 76 7/21/15 9:44 AM7/21/15 9:44 AM
Sección 2.3 Resolver sistemas lineales usando la tecnología 77
Escribir una matriz aumentada
Escribe una matriz aumentada para el sistema. Luego indica las dimensiones.
3x − 4y = 7 − 2z
9x + 3y = 3
2x + 4y − z = 2
SOLUCIÓN
Comienza por escribir cada ecuación en el sistema en forma estándar.
3x − 4y + 2z = 7
9x + 3y + 0z = 3
2x + 4y − z = 2
Luego, usa los coefi cientes y las constantes como elementos de la matriz aumentada.
[ 3
9
2
−4
3
4
2
0
−1
. . .
. . .
. . .
7
3
2
] La matriz aumentada tiene tres fi las y cuatro columnas, entonces las dimensiones
son 3 × 4.
Monitoreo del progreso Monitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
Escribe una matriz aumentada para el sistema. Luego indica las dimensiones.
1. x − 8y = −4 2. x + y = 1 − z 3. 9x − 8y + 3z = 11
5x + 2y = 9 7x + 9y − z = −2 x − y + 2z = 6
6x + 4y + 8z = 0 −x + 4y = 16
Resolver sistemas de ecuaciones usando la tecnologíaMuchas herramientas tecnológicas tienen características de matrices que puedes usar
para resolver un sistema de ecuaciones lineales. La matriz aumentada en el Ejemplo 2,
reescrita en forma escalonada por fi las, se muestra a continuación. Observa que la
solución para este sistema es (x, y, z) = (−1.4, 5.2, 16). Puedes verifi car esta solución
en el sistema original.
[ 1
0
0
0
1
0
0
0
1
. . .
. . .
. . .
−1.4
5.2
16
]
ERROR COMÚNYa que la segunda ecuación no tiene un término z, el coefi ciente de z es 0.
Concepto Concepto EsencialEsencialResolver un sistema lineal usando la tecnologíaPaso 1 Escribe una matriz aumentada para el sistema lineal.
Paso 2 Introduce la matriz aumentada en tu calculadora gráfi ca.
Paso 3 Usa la forma de matriz escalonada reducida de tu calculadora para
reescribir el sistema.
Paso 4 Interpreta el resultado del paso 3 para resolver el sistema lineal.
hstx_alg2_span_pe_0203.indd 77hstx_alg2_span_pe_0203.indd 77 7/27/15 2:46 PM7/27/15 2:46 PM
78 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
Resolver un sistema usando la tecnología
Usa una calculadora gráfi ca para resolver el sistema. x + y + z = 2
2x + 3y + z = 3
x − y − 2z = −6
SOLUCIÓN
Paso 1 Escribe una matriz aumentada para el sistema lineal
[ 1
2
1
1
3
−1
1
1
−2
. . .
. . .
. . .
2
3
−6
] Paso 2 Introduce las dimensiones y elementos de la matriz aumentada a tu
calculadora gráfi ca.
NOMBRES MATEMÁTICAS
3:[C]4:[D]5:[E]6:[F]7:[G]
2:[B]
EDITAR1:[A]
MATRIZ[A] 3 ×4[1 1 1 2 ][2 3 1 3 ][1 -1 -2 -6]
Paso 3 Usa la función de forma de matriz escalonada reducida para reescribir el sistema.
8:Matr lista(9:Lista matr(0:cumSumA:ref(B:rref(
7:augment6:randM(NOMBRES MATEMÁTICAS EDITAR
rref([A] [[1 0 0 -1] [0 1 0 1 ] [0 0 1 2 ]]
Paso 4 Al convertir la matriz de vuelta a un sistema de ecuaciones lineales, obtienes:
1x = −1
1y = 1
1z = 2
La solución es x = −1, y = 1, y z = 2, o el triple ordenado (−1, 1, 2).
Verifi ca esta solución en cada una de las ecuaciones originales.
Verifi ca
x + y + z = 2 2x + 3y + z = 3 x − y − 2z = −6
−1 + 1 + 2 =?
2 2(−1) + 3(1) + 2 =?
3 −1 − 1 − 2(2) =?
−6
2 = 2 ✓ 3 = 3 ✓ −6 = −6 ✓
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
Usa una calculadora gráfi ca para resolver el sistema.
4. x + 2y − 3z = −2 5. x + 3y − z = 1 6. 3x + 2y − 5z = −10
x − y + z = −1 −2x − 6y + z = −3 6x − z = 8
3x + 4y − 4z = 4 3x + 5y − 2z = 4 −y + 3z = −2
RECUERDAuna matriz m × n tiene m fi las y n columnas.
hstx_alg2_span_pe_0203.indd 78hstx_alg2_span_pe_0203.indd 78 7/21/15 9:44 AM7/21/15 9:44 AM
Sección 2.3 Resolver sistemas lineales usando la tecnología 79
2.3 Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.comEjercicios
En los Ejercicios 3–10, escribe una matriz aumentada para el sistema. Luego indica las dimensiones. (Consulta los Ejemplos 1 y 2).
3. 3x − 4y = 7 4. 5y − 4x = −7
9x + 11y = 10 3x − 7y = 15
5. x + 8y − 7z = 12 6. 4x − 5y + 2z = −3
5x + 9y + 5z = 15 6x + 4y + 9z = 8
6z − 3y − 8x = 1 11x − 2y − z = 7
7. x − y + z = 14 8. 5x + 2z = 9
6x − 5z = 13 3x + 5y − 8z = 15
−3x + 7y + 8z = −5 4x + 2y + 9z = 11
9. 3x + 2y = z + 7 10. −x + 3y = 5z + 9
5x + 4z = 8y 2x − 4y + 15z = 3
21x + 9y − 13z = 6 4y + 3z = 6x
ANALISIS DE ERRORES En los Ejercicios 11 y 12, describe y corrige el error cometido al escribir una matriz aumentada para el sistema a continuación.
3x − 9y + 5z = 8
2x + 11y = 15
6x − 9z + 14y = 4
11. La matriz aumentada es
[ 3
2
6
−9
11
−9
5
0
14
. . .
. . .
. . .
8
15
4
] ✗
12. La matriz aumentada es
[ 3
2
6
−9
11
14
5
15
−9
. . .
. . .
. . .
8
0
4
] ✗
En los Ejercicios 13–22, usa una calculadora gráfi ca para resolver el sistema. (Consulta el Ejemplo 3).
13. 4x + y + 6z = 7 14. x + 4y − z = −7
3x + 3y + 2z = 17 2x − y + 2z = 15
−x − y + z = −9 −3x + y − 3z = −22
15. x + y + z = 9 16. x − 2y + 3z = −9
x + y + z = 3 2x + 5y + z = 10
5x − 2z = −1 3x − 6y + 9z = 12
17. x + 3z = 6 18. 4x + y + 6z = 2
−2x + 3y + z = −11 2x + 2y + 4z = 1
3x − y + 2z = 13 −x − y + z = −5
19. x + y + 4z = 7 20. x + y + 2z = 1
2x − 3y − z = −24 x − y + z = 0
−4x + 2y + 2z = 8 3x + 3y + 6z = 4
21. x + y + 2z = 10 22. −2x + 4y + z = 1
−x + 2y + z = 5 3x − 3y − z = 2
−x + 4y + 3z = 15 5x − y − z = 8
23. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Una compañía
vende tres tipos de cestas de regalo. La cesta básica
tiene dos boletos para el cine y un paquete de
palomitas de maíz de microondas y cuesta $15.50.
La cesta mediana tiene dos boletos para el cine, dos
paquetes de palomitas de maíz de microondas y un
DVD y cuesta $37. La cesta súper tiene cuatro boletos
para el cine, tres paquetes de palomitas de maíz de
microondas y dos DVD y cuesta $72.50.
a. Escribe una matriz
aumentada para representar
esta situación.
b. Usa una calculadora
gráfi ca para hallar el costo
de cada objeto en la cesta.
Numero de ticket -
00A10
nombre de la película
nombre de la película
Numero de ticket -
00A10
Numero de ticket - 00A10
nombre de la película
nombre de la películaNumero de ticket - 00A10
Monitoreo del progreso y representar con matemáticasMonitoreo del progreso y representar con matemáticas
1. COMPLETAR LA ORACIÓN Una matriz derivada de un sistema de ecuaciones lineales es la matriz
______________ del sistema.
2. ESCRIBIR Describe como hallar la solución de un sistema de ecuaciones lineales de tres variables
usando la tecnología.
Verifi cación de vocabulario y concepto esencialVerifi cación de vocabulario y concepto esencial
hstx_alg2_span_pe_0203.indd 79hstx_alg2_span_pe_0203.indd 79 7/21/15 9:44 AM7/21/15 9:44 AM
80 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
24. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Vas de compras
a un almacén local con tu amiga y tu prima. Compras
un par de jeans, cuatro pares de pantalones cortos, y
dos camisas por $84. Tu amiga compra dos pares de
jeans, un par de pantalones cortos y tres camisas por
$76. Tu prima compra un par de jeans, dos pares de
pantalones cortos y una camisa por $52.
a. Escribe una matriz aumentada para representar
la situación.
b. Usa una calculadora gráfi ca para hallar el costo
de cada pieza de ropa.
25. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Tienes 85 monedas
en nickels, dimes y quarters con un valor combinado de
$13.25. Hay dos veces más quarters que dimes.
a. Escribe una matriz aumentada para representar
la situación.
b. Usa una calculadora gráfi ca para hallar el número
de cada tipo de moneda.
26. ¿CÓMO LO VES? Escribe un sistema de ecuaciones
para la matriz aumentada a continuación.
[ 2
1
−2
−1
8
4
3
0
6
. . .
. . .
. . .
4
9
11
]
27. ARGUMENTAR Tu amigo dice que el número de fi las
en una matriz aumentada del sistema siempre será
igual al número de variables en el sistema. ¿Tiene tu
amigo la razón? Explica tu razonamiento.
28. USAR HERRAMIENTAS Usa una calculadora gráfi ca
para resolver el sistema de cuatro ecuaciones lineales
en cuatro variables.
2w + 5x − 4y + 6z = 0
2x + 2y − 7z = 52
4w + 8x − 7y + 14z = −25
3w + 6x − 5y + 10z = −16
29. RAZONAR ¿Es posible escribir más de una matriz
aumentada para un sistema lineal de ecuaciones?
Explica tu razonamiento.
30. CONNECIONES MATEMÁTICAS La suma de las
medidas de los ángulos en △ABC es 180°. La suma
de las medidas del ángulo B y el ángulo C es doble la
medida del ángulo A. La medida del ángulo B es 32° menos que la medida del ángulo C.
a. Escribe una matriz aumentada para representar la
situación.
b. Usa una calculadora gráfi ca para hallar las
medidas de los tres ángulos.
31. RAZONAMIENTO ABSTRACTO Deja que a, b y c
sean números reales. Clasifi ca el sistema lineal
representado por cada matriz como consistente o
inconsistente. Explica tu razonamiento.
a.
[ 1
0
0
0
1
0
0
0
1
. . .
. . .
. . .
a b
c
] b.
[ 1
0
0
0
1
0
0
0
0
. . .
. . .
. . .
a b
0
] c.
[ 1
0
0
0
1
0
0
0
0
. . .
. . .
. . .
a b
1
] 32. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Escribe una matriz
aumentada, no en forma de matriz escalonada
reducida, para un sistema que tiene exactamente una
solución, (x, y, z) = (2, 3, 5). Justifi ca tu respuesta.
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasResuelve la desigualdad. Haz una gráfi ca de la solución. (Manual de revisión de destrezas)
33. 2 − x > 5 34. 5z + 8 ≥ −7
35. −2w + 7 ≥ 3w + 5 36. − 1 —
2 r + 1 <
3 —
2 r + 7
Haz una gráfi ca de la desigualdad en un plano de coordenadas. (Manual de revisión de destrezas)
37. y < 3x 38. y − 4 > 2x + 6 39. 1 — 2 x + y ≤ 5 40. −x − 3y ≥ −9
Repasar lo que aprendiste en grados y lecciones anteriores
hstx_alg2_span_pe_0203.indd 80hstx_alg2_span_pe_0203.indd 80 7/21/15 9:44 AM7/21/15 9:44 AM
Sección 2.4 Resolver sistemas de desigualdades lineales 81
2.4
Pregunta esencialPregunta esencial ¿Cómo puedes hacer una gráfi ca de un sistema de tres desigualdades lineales?
Hacer gráfi cas de desigualdades lineales
Trabaja con un compañero. Une cada desigualdad lineal con su gráfi ca. Explica tu razonamiento.
x + y ≤ 4 Desigualdad 1
x − y ≤ 0 Desigualdad 2
y ≤ 3 Desigualdad 3
A.
2−2 4
x
2
−2
y B.
x
y
2
4
−2
−2
2 4
C.
x2−2 4
2
4
−2
y
Hacer una gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales
Resolver sistemas de desigualdades lineales
1
3
−2−1
−3
2 4 x
y
2A.3.E2A.3.F2A.3.G
CONOCIMIENTOS Y APTITUDES ESENCIALES TEXAS
Trabaja con un compañero. Considera las desigualdades lineales dadas en la Exploración 1.
x + y ≤ 4 Desigualdad 1
x − y ≤ 0 Desigualdad 2
y ≤ 3 Desigualdad 3
a. Usa tres colores diferentes para hacer una gráfi ca de las desigualdades en el mismo plano de coordenadas. ¿Cuál es el resultado?
b. Describe cada una de las regiones sombreadas en la gráfi ca. ¿Qué representada la región sin sombrear?
Comunicar tu respuestaComunicar tu respuesta 3. ¿Cómo puedes hacer una gráfi ca de un sistema de tres desigualdades lineales?
4. Cuando haces una gráfi ca de un sistema de tres desigualdades lineales, ¿Cuál región representa la solución del sistema?
5. ¿Crees que todos los sistemas de tres desigualdades lineales tienen una solución? Explica tu razonamiento.
6. Escribe un sistema de tres desigualdades lineales representadas por la gráfi ca.
USAR LENGUAJEMATEMATICO PRECISO
Para dominar la matemáticas, tienes que explicar ideas matemáticas usando un lenguaje matemático preciso.
hstx_alg2_span_pe_0204.indd 81hstx_alg2_span_pe_0204.indd 81 7/21/15 9:44 AM7/21/15 9:44 AM
82 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
2.4 Qué aprenderásQué aprenderás Verifi carás soluciones de sistemas de desigualdades lineales.
Harás gráfi cas de sistemas de desigualdades lineales.
Escribirás sistemas de desigualdades lineales.
Usarás sistemas de desigualdades lineales para resolver problemas de la vida real.
Sistema de desigualdades linealesUn sistema de desigualdades lineales es un y ≤ x + 2 Desigualdad 1conjunto de dos o más desigualdades lineales en y < −2x + 1 Desigualdad 2las mismas variables. Un ejemplo se muestra aquí. y < −x − 1 Desigualdad 3
Una solución de un sistema de desigualdades lineales es un par ordenado que es una solución de cada desigualdad del sistema.
Verifi car soluciones
Indica si cada par ordenado es una solución del sistema de desigualdades lineales.
y < 4x Desigualdad 1
y ≥ x − 1 Desigualdad 2
y ≤ 2x + 1 Desigualdad 3
a. (1, 0) b. (−2, −8)
SOLUCIÓN
a. Sustituye 1 por x y 0 por y en cada desigualdad.
Desigualdad 1 Desigualdad 2 Desigualdad 3
y < 4x y ≥ x − 1 y ≤ 2x + 1
0 <?
4(1) 0 ≥?
1 − 1 0 ≤?
2(1) + 1
0 < 4 ✓ 0 ≥ 0 ✓ 0 ≤ 3 ✓ Dado que el par ordenado (1, 0) es una solución de cada desigualdad, es una
solución del sistema.
b. Sustituye −2 por x y −8 por y en cada desigualdad.
Desigualdad 1 Desigualdad 2 Desigualdad 3
y < 4x y ≥ x − 1 y ≤ 2x + 1
−8 <?
2(−2) −8 ≥?
−2 − 1 −8 ≤?
2(−2) + 1
−8 < −4 ✓ −8 ≥ −3 ✗ −8 ≤ −3 ✓ Dado que (−2, −8) no es una solución de cada desigualdad, no es una
solución del sistema.
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
Indica si el par ordenado es una solución del sistema de desigualdades lineales.
1. (2, 1);
y < 3
y > −x + 3 y ≥ x − 4
2. (−2, 3);
y ≤ −3x + 2
y ≥ 2x − 5 y < x + 6
Lección
sistema de desigualdades lineales, pág. 82
solución de un sistema de desigualdades lineales, pág. 82
gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales, pág. 83
Anteriordesigualdad lineal de dos
variables
Vocabulario EsencialVocabulario Eseencial
hstx_alg2_span_pe_0204.indd 82hstx_alg2_span_pe_0204.indd 82 7/21/15 9:44 AM7/21/15 9:44 AM
Sección 2.4 Resolver sistemas de desigualdades lineales 83
Hacer gráfi cas de un sistema de desigualdades lineales
Haz una gráfi ca del sistema de desigualdades lineales.
y > −2x − 5 Desigualdad 1
y ≤ x + 3 Desigualdad 2
y ≥ x − 2 Desigualdad 3
SOLUCIÓN
Paso 1 Haz una gráfi ca de cada desigualdad.
Paso 2 Halla la intersección de los semiplanos. Una solución es (2, 3).
Hacer gráfi cas de un sistema de desigualdades lineales (Sin solución)
Haz una gráfi ca del sistema de desigualdades lineales.
2x + 3y < 6 Desigualdad 1
y ≥ − 2 — 3 x + 4 Desigualdad 2
−2x + y < −2 Desigualdad 3
SOLUCIÓN
Paso 1 Haz una gráfi ca de cada desigualdad.
Paso 2 Halla la intersección de los semiplanos. Nota que no hay ninguna región sombreada roja, azul y verde.
Entonces, el sistema no tiene solución.
Hacer gráfi cas de sistemas de desigualdades linealesLa gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales es la gráfi ca de todas las soluciones del sistema.
Concepto Concepto EsencialEsencialHacer gráfi cas de un sistema de desigualdades linealesPaso 1 Haz una gráfi ca de cada desigualdad
en el mismo plano de coordenadas.
Paso 2 Halla la intersección de los semiplanos que son soluciones de las desigualdades. Esta intersección es la gráfi ca del sistema.
Verifi ca
Verifi ca que (2, 3) es una solución de cada desigualdad.
Desigualdad 1
y > −2x − 5
3 >?
−2(2) − 5
3 > −9 ✓Desigualdad 2
y ≤ x + 3
3 ≤?
2 + 3
3 ≤ 5 ✓Desigualdad 3
y ≥ x − 2
3 ≥?
2 − 2
3 ≥ 0 ✓
2−5
2
x
y
−1
−2
(2, 3)
2 5
3
5
1x
y
−2
−2
1
3
−4
−2
2 x
y
−2
y ≤ x + 2
y < −2x + 1 y ≥ −x − 1
hstx_alg2_span_pe_0204.indd 83hstx_alg2_span_pe_0204.indd 83 7/21/15 9:44 AM7/21/15 9:44 AM
84 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
Haz una gráfi ca del sistema de desigualdades lineales.
3. y < 3x − 2 4. x + y > −3 5. 2x − 1 — 2 y ≥ 4
y > −x + 4 −6x + y < 1 4x − y ≤ 5
y ≤ 2 x + y ≥ 8 x + y ≥ 10
Escribir sistemas de desigualdades lineales
Escribir un sistema de desigualdades lineales
Escribe un sistema de desigualdades lineales representado por la gráfi ca.
SOLUCIÓN
Desigualdad 1 La línea de limite vertical pasa por (−3, 0). Entonces, una ecuación de la línea es x = −3. La región sombreada está a la derecha de la línea de limite sólida, entonces la desigualdad es x ≥ −3.
Desigualdad 2 La pendiente de la línea de limite es 1 — 2 y la intersección con eje y
es −2. Entonces, una ecuación de la línea es y = 1 — 2 x − 2. La región
sombreada está por encima de la línea de limite discontinua,
entonces la desigualdad es y > 1 — 2 x − 2.
Desigualdad 3 La pendiente de la línea de limite es − 1 — 2 , y la intersección con eje y
es 1. Entonces, una ecuación de la línea es y = − 1 — 2 x + 1. La región
sombreada esta debajo de la línea de limite discontinua, entonces la
desigualad es y < − 1 — 2 x + 1.
El sistema de desigualdades representado por la gráfi ca es
x ≥ −3 Desigualdad 1
y > 1 — 2 x − 2 Desigualdad 2
y < − 1 — 2 x + 1. Desigualdad 3
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Escribe un sistema de desigualdades representado por la gráfi ca.
6.
−4 −2
−2
4
1
2 4 x
y 7.
−4 −2
−2
−4
4
4 x
y
−4
−4
2
4
4 x
y
hstx_alg2_span_pe_0204.indd 84hstx_alg2_span_pe_0204.indd 84 7/21/15 9:44 AM7/21/15 9:44 AM
Sección 2.4 Resolver sistemas de desigualdades lineales 85
Resolver problemas de la vida real
Aplicar las matemáticas
Una tienda de descuento de zapatos tiene la oferta descrita en el anuncio mostrado. Usa la información del anuncio para escribir y hacer una gráfi ca de un sistema de desigualdades que represente el precio normal y el de oferta disponibles. ¿Cuánto pueden costar unos zapatos a precio normal en oferta?
SOLUCIÓN
1. Entiende el problema Sabes el intervalo de precios normales y el intervalo de descuentos. Tienes que escribir y hacer una gráfi ca del sistema que represente la situación y determinar cuánto cuestan unos zapatos a precio normal en oferta.
2. Haz un plan Usa la información dada para escribir un sistema de desigualdades. Luego haz una gráfi ca del sistema e identifi ca un par ordenado en la región de la solución.
3. Resuelve el problema Escribe un sistema de desigualdades. Deja que x sea el precio regular y y el precio de oferta.
x ≥ 20 Precio normal debe ser por lo menos $20.
x ≤ 80 Precio normal debe ser no más de $80.
y ≥ 0.4x Oferta es por lo menos (100 − 60)% = el 40% del precio normal.
y ≤ 0.9x Oferta es no más que (100 − 10)% = el 90% del precio normal.
Haz una gráfi ca del sistema
Oferta de zapatos
20 40 60 70 800 30 5010 x
10
20
30
40
50
60
70
80
0
y
Prec
io d
e o
fert
a(e
n d
óla
res)
Precio normal (en dólares)
A partir de la gráfi ca puedes ver que un par ordenado en la región de la solución es (50, 30).
Entonces un par de zapatos de $50 costaría $30 en oferta.
4. Verifícalo Verifi ca tu solución sustituyendo x = 50 y y = 30 en cada desigualdad del sistema, como se muestra.
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
8. Identifi ca e interpreta otra solución para el Ejemplo 5.
9. ¿QUÉ PASA SI? Imagina que todos los zapatos se vendieron con la excepción de los que normalmente cuestan de $60 a $80. ¿Cómo cambia esto el sistema? ¿(50, 30) sigue siendo una solución? Explica.
Verifi ca
x ≥ 20
50 ≥ 20 ✓ x ≤ 80
50 ≤ 80 ✓ y ≥ 0.4x
30 ≥?
0.4(50)
30 ≥ 20 ✓ y ≤ 0.9x
30 ≤?
0.9(50)
30 ≤ 45 ✓
i l l i l d
Zapatos adescuento
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Ahorra del 10%-60%en todos los zapatos.(Precio normal $20-$80)
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86 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
2.4
Monitoreo del progreso y Representar con matemáticasMonitoreo del progreso y Representar con matemáticas
1. VOCABULARIO ¿Qué necesita ser verdad para que un par ordenado sea una solución de un sistema de desigualdades lineales?
2. ¿CUÁL NO PERTENECE? Usa la gráfi ca mostrada. ¿Cuál par ordenado no pertenece a al grupo de los otros tres? Explica tu razonamiento.
(−3, 0) (−3, 2)
(0, 1) (−1, 4)
Ejercicios
En los Ejercicios 3–8, indica si el par ordenado es una solución del sistema de desigualdades lineales. (Consulta el Ejemplo 1).
3. (1, 2);
y ≥ 5x − 6
y ≤ 3x + 1 y > −x + 2
4. (8, −2);
y < 2x + 5
y ≥ −4x − 1 y < 2x − 2
5. (0, 0);
y < 3x + 12
x − y < 4
y > − 1 — 2 x
6. (−2, 5); y ≤ x + 3
y ≥ −x 3x − y > −6
7. (2, 1);
x + y ≤ 4x + y > −1
x − y ≥ −2
x − y ≤ 2
8. (1, 3);
2x + y < 5
2x + y ≥ −3
3x − y > −4
3x − y ≤ 3
En los Ejercicios 9–16, haz una gráfi ca del sistema de desigualdades lineales. (Consulta los Ejemplos 2 y 3).
9. y < 4 10. y ≥ 1 x > −3 x ≤ 6 y > x y < 2x − 5
11. y < 2x + 4 12. y < 2x + 1
y ≥ 4x − 3 y < −3x − 1
y < 2x − 3 y > −3x + 2
13. 2x − 3y > −6 14. x − 4y > 0
5x − 3y < 3 x + y ≤ 1 x + 3y > −3 x + 3y > −1
15. y ≥ 0 16. y < 5
x ≤ 9 y > −6
x + y < 15 2x + y ≥ −1
y < x y ≤ x + 3
En los Ejercicios 17–22. Escribe un sistema de desigualdades lineales representado por la gráfi ca. (Consulta el Ejemplo 4).
17.
−2 3
−2
3
1
x
y 18.
−3 2
−3
2
x
y
19.
−2 3−1
3
x
y 20.
−3 2
2
x
y
21.
−1 1 4
−2
3
x
y 22.
−2 2
−2
4
x
y
Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com
−2 2
3
1
5
x
y
Verifi cación de vocabulario y concepto esencialVerifi cación de vocabulario y concepto esencial
hstx_alg2_span_pe_0204.indd 86hstx_alg2_span_pe_0204.indd 86 7/21/15 9:44 AM7/21/15 9:44 AM
Sección 2.4 Resolver sistemas de desigualdades lineales 87
ANALISIS DE ERRORES En los Ejercicios 23 y 24 describe y corrige el error cometido al hacer gráfi cas de sistema de desigualdades lineales.
23.
y ≤ 3 y > 1−y ≥ −2x
✗
24.
y ≤ 3 x + y ≥ 5x > −1
✗
25. REPRESENTAR CON MATEMATICAS Compras boletos de cine y tarjetas de regalo como premios para un evento. Necesitas por lo menos 5 boletos y dos tarjetas. Un boleto cuesta $6 y una tarjeta de regalo $10. El monto máximo que puedes gastar es $70. (Consulta el Ejemplo 5).
a. Escribe y haz una gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales que represente la situación.
b. Identifi ca e interpreta dos posibles soluciones.
26. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS El comité del baile de promoción Junior-Senior consiste de 5 a 8 representantes de las clases junior y senior. El comité tiene que incluir por lo menos dos juniors y por lo menos 3 seniors.
a. Escribe y haz una gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales que represente la situación.
b. Identifi ca e interpreta dos posibles soluciones.
27. RESOLVER PROBLEMAS Una tienda de videojuegos en línea tiene una oferta, como se describe en el anuncio mostrado. Usa la información del anuncio para escribir y hacer una gráfi ca de un sistema de desigualdades para los videojuegos a precio normal y los precios de oferta posibles. Luego usa esa gráfi ca para estimar el intervalo posible de precios de oferta para juegos que normalmente cuestan $20.
28. RESOLVER PROBLEMAS En el béisbol, la zona de strike es un rectángulo con el mismo ancho que el home que se extiende desde las rodillas del bateador a un punto en el medio entre los hombros H y la parte de arriba A de los pantalones del uniforme. El ancho de home es de 17 pulgadas. Las rodillas de un bateador están a 20 pulgadas del suelo y el punto medio entre sus hombros y la parte de arriba de sus pantalones está a 42 pulgadas del suelo. Escribe un sistema de desigualdades que represente la zona de strike.
Sy
x
T
20 pulgadas
42 pulgadas
17pulgadas
No hecho a escala
29. CONEXIONES MATEMÁTICAS Los puntos a continuación son los vértices de un rectángulo.
(−3, 3), (4, −2), (−3, −2), (4, 3)
a. Escribe un sistema de desigualdades lineales que representen los puntos dentro del rectángulo.
b. Halla el área del rectángulo.
30. CONEXIONES MATEMÁTICAS Los puntos a continuación son los vértices de un triángulo.
(0, −2), (4, 6), (4, −2)
a. Escribe un sistema de desigualdades lineales que representen los puntos dentro del triángulo.
b. Halla el área del triángulo.
31. USANDO ECUACIONES ¿Cuál cuadrante del plano de coordinadas no contiene ninguna solución del sistema de desigualdades lineales?
y ≥ 4x + 1
2x + y < 5
y ≥ −3
○A Cuadrante I ○B Cuadrante II
○C Cuadrante III ○D Cuadrante IV
32. FINAL ABIERTO Escribe un sistema de tres desigualdades lineales que tenga (−2, 1) como una solución.
−2 2
2
4
x
y
2 4
4
2
6
x
y
hstx_alg2_span_pe_0204.indd 87hstx_alg2_span_pe_0204.indd 87 7/21/15 9:44 AM7/21/15 9:44 AM
88 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
33. RESOLVER PROBLEMAS Un libro sobre el cuidado de peces tropicales dice que el nivel pH del agua debe estar entre 8.0 y 8.3 y la temperatura del agua debe estar entre 76ºF y 80ºF. Deja que x sea el nivel de pH del agua y y la temperatura. Escribe y haz una gráfi ca de un sistema de desigualdades que describa el nivel de pH apropiado y la temperatura apropiada del agua. Compara esta gráfi ca con la gráfi ca que obtendrías si las temperaturas fuesen dadas en grados centígrados.
34. ¿CÓMO LO VES? Se muestran las gráfi cas de tres ecuaciones lineales.
x
y
2
2−2
A
B
y = x − 1
2
y = −3
y = −2x
Remplaza los signos de igualdad con los de desigualdad para crear un sistema de desigualdades lineales que tiene el punto B como solución pero no el punto A. Explica tu razonamiento.
y x − 1
y −2x
y −3
35. RAZONAR Escribe un sistema de tres desigualdades lineales para el cual el conjunto de soluciones consista de los puntos en la línea y = 5x − 2. Justifi ca tu respuesta.
36. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO ¿Es posible que un sistema de desigualdades lineales tenga una solución que sea un sólo punto en un plano de coordenadas? De ser así da un ejemplo, si no, explica por qué.
37. ARGUMENTAR Tu amigo dice que un sistema de tres desigualdades lineales con tres líneas de límites paralelas no tiene solución. ¿Tu amigo tiene la razón? Justifi ca tu respuesta.
38. REPRESENTACIONES MÚLTIPLES La frecuencia cardiaca máxima teórica de una persona y (en latidos por minuto) es dada por y = 220 − x, donde x es la edad de la persona en años (20 ≤ x ≤ 65). Cuando una persona hace ejercicio, se recomienda que uno se esfuerce a una frecuencia cardiaca de por lo menos 50% del máximo y no más de 75% del máximo.
a. Escribe un sistema de desigualdades lineales que describa la información dada.
b. Haz una gráfi ca del sistema que escribiste en la parte (a).
c. Una persona de 40 años tiene una frecuencia cardiaca de 158 latidos por minuto cuando hace ejercicio. ¿La frecuencia cardiaca de la persona está dentro de la zona de objetivo? Explica.
39. USAR HERRAMIENTAS Usa una calculadora gráfi ca para dibujar una gráfi ca de cada sistema.
a. y ≤ ∣ x ∣ b. y > ∣ 2x ∣ y ≥ − ∣ x ∣ y < − ∣ 2x ∣ + 4
c. y ≤ ∣ x − 2 ∣ d. y < ∣ x − 3 ∣ + 2
y > ∣ x ∣ − 2 y ≥ ∣ x − 3 ∣ − 1
40. PENSAMIENTO CRÍTICO Escribe un sistema de desigualdades lineales que represente la gráfi ca de y > ∣ x − 2 ∣ .
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticasHalla el producto. (Manual de revisión de destrezas)
41. (x − 2)2 42. (3m + 1)2 43. (2z − 5)2 44. (4 − y)2
Escribe una función g descrita por la transformación dada de f (x) = ∣ x ∣ − 5. (Sección 1.3)
45. traslación 2 unidades hacia la izquierda 46. traslación 4 unidades hacia arriba
47. refl exión en el eje x 48. alargamiento vertical por un factor de 3
Repasar lo que aprendiste en grados y lecciones anteriores
hstx_alg2_span_pe_0204.indd 88hstx_alg2_span_pe_0204.indd 88 7/21/15 9:44 AM7/21/15 9:44 AM
89
2.3–2.4 ¿Qué aprendiste?
Vocabulario EsencialVocabulario Esencialmatriz, pág. 76 sistema de desigualdades lineales, pág. 82dimensiones de una matriz, pág. 76 solución de un sistema de desigualdades, pág. 82elementos de una matriz, pág. 76 gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales, pág. 83matriz aumentada, pág. 76
Conceptos EsencialesConceptos EsencialesSección 2.3 Escribir una matriz aumentada para un sistema lineal, pág. 76Resolver un sistema lineal usando la tecnología, pág. 77
Sección 2.4 Hacer una gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales, pág. 83Escribir un sistema de desigualdades lineales, pág. 84
Razonamiento matemáticoRazonamiento matemático1. En el Ejercicio 15 de la página 79 usaste una calculadora gráfi ca para resolver el
sistema de ecuaciones. Explica cómo puedes resolver este sistema usando papel
y lápiz.
2. Describe los dibujos o diagramas que usaste para apoyar tu respuesta en el
Ejercicio 37 de la página 88.
Desarrollas un juego de números para el periódico de tu colegio. Para estimular el interés del lector, comienzas con un problema simple de suma: Halla tres números que sumados sean 10. ¿Cómo procedes para que nada más haya un ganador? ¿Cómo procedes para que todo el mundo gane? ¿Puedes manipular el juego para que no sea posible que alguien gane?
Para explorar las respuestas a esta pregunta y más, visita BigIdeasMath.com.
Diversion y juegos`
8989
Tarea de desempeño
hstx_alg2_span_pe_02ec.indd 89hstx_alg2_span_pe_02ec.indd 89 7/23/15 10:54 AM7/23/15 10:54 AM
90 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
22 Repaso del capítulo
Resolver sistemas lineales usando la sustitución (págs. 59–66)2.1
Resuelve el sistema usando la sustitución.
2x + 6y + z = 1 Ecuación 1
−x − 3y + 2z = 7 Ecuación 2
x − y − 3z = −14 Ecuación 3
Paso 1 Resuelve la Ecuación 3 para hallar x.
x = y + 3z − 14 Nueva ecuación 3
Paso 2 Sustituye y + 3z − 14 por x en las Ecuaciones 1 y 2.
2(y + 3z − 14) + 6y + z = 1 Sustituye y + 3z − 14 por x en la Ecuación 1.
8y + 7z = 29 Nueva Ecuación 1
−(y + 3z − 14) − 3y + 2z = 7 Sustituye y + 3z − 14 por x en la Ecuación 2.
−4y − z = −7 Nueva Ecuación 2
Paso 3 Resuelve el nuevo sistema lineal para hallar ambas de sus variables.
z = −4y + 7 Resuelve la Ecuación 2 nueva para hallar z.
8y + 7(−4y + 7) = 29 Sustituye −4y + 7 por z en la Ecuación nueva 1.
y = 1 Resuelve para hallar y.
z = 3 Sustituye en la Ecuación 2 nueva para hallar z.
Paso 4 Sustituye y = 1 y z = 3 en una ecuación original y resuelve para hallar x.
x − y − 3z = −14 Escribe la Ecuación 3 original.
x − (1) − 3(3) = −14 Sustituye 1 por y y 2 por z.
x = −4 Resuelve para hallar x.
La solución es x = −4, y = 1 y z = 3, o el triple ordenado (−4, 1, 3). Verifi ca esta solución
en cada una de las ecuaciones originales.
Resuelve el sistema usando la sustitución. Verifi ca tu solución si es posible.
1. x + y + z = 3 2. 4x + 5y + 3z = 11 3. −2x + y − 5z = −13
−x + 3y + 2z = −8 x − 3y + z = 6 3x + y = 12
x = 4z −2x + 6y − 2z = −12 x + y − z = 2
4. x − y + z = 6 5. x − y + 3z = 6 6. 3x + 2y + z = 20
−4x + 3y + 2z = 12 x − 2y = 5 −x − y − 2z = −2
2x − 2y + 2z = 8 2x − 2y + 5z = 9 2y + z = −1
7. Una banda de colegio se presenta en un concierto de
primavera para un público de 600 personas. El ingreso del
concierto es $3150. Hay 150 adultos más que estudiantes en
el concierto. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?
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Capítulo 2 Repaso de Capítulo 91
Resolver sistemas lineales usando la eliminación (págs. 67–72)2.2
Resuelve el sistema usando la eliminación.
x − y + z = −3 Ecuación 1
2x − y + 5z = 4 Ecuación 2
4x + 2y − z = 2 Ecuación 3
Paso 1 Reescribe el sistema como un sistema lineal de dos variables.
x − y + z = −3 Suma la ecuación 1 a la
4x + 2y − z = 2 Ecuación 3 (para eliminar z).
5x + y = −1 Ecuación 3 nueva
−5x + 5y − 5z = 15 Suma −5 veces la Ecuación 1 a la
2x − y + 5z = 4 Ecuación 2 (para eliminar z).
−3x + 4y = 19 Ecuación 2 nueva
Paso 2 Resuelve el sistema lineal nuevo para hallar ambas de sus variables.
−20x − 4y = 4 Suma −4 veces la Ecuación 3
−3x + 4y = 19 nueva a la Ecuación 2 nueva.
−23x = 23
x = −1 Resuelve para hallar x.
y = 4 Sustituye en la nueva Ecuación 2 o 3 para hallar y.
Paso 3 Sustituye x = −1 y y = 4 en la ecuación original y resuelve para hallar z.
x − y + z = 23 Escribe la ecuación original 1.
(−1) − 4 + z = 23 Susituye −1 por x y 4 por y.
z = 2 Resuelve para hallar z.
La solución es x = −1, y = 4 y z = 2, o el triple ordenado (−1, 4, 2). Verifi ca esta solución con
cada una de las ecuaciones originales.
Resuelve el sistema usando la eliminación. Verifi ca tu solución si es posible.
8. 2x − 5y − z = 17 9. x + y + z = 2 10. x + 4y − 2z = 3
x + y + 3z = 19 2x − 3y + z = 11 x + 3y + 7z = 1
−4x + 6y + z = −20 −3x + 2y − 2z = −13 2x + 9y − 13z = 2
11. Resuelve el sistema que sigue usando la eliminación Gaussiana.
x − y + 2z = −8
x + y + z = 6
3x + 3y + 4z = 28
12. Una taquilla vende asientos de
balcón, asientos a nivel del piso y
pases VIP para espectáculos en tour.
La tabla muestra el número de cada
tipo de entrada vendida y el ingreso
de los primeros tres espectáculos de
un tour. ¿Cuál es el precio de cada
tipo de entrada?
BalcónNivel del
pisoVIP Ingreso
Espectáculo 1 135 280 29 $37,170
Espectáculo 2 150 270 58 $42,240
Espectáculo 3 130 265 29 $35,570
hstx_alg2_span_pe_02ec.indd 91hstx_alg2_span_pe_02ec.indd 91 7/21/15 9:40 AM7/21/15 9:40 AM
92 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
Resolver sistemas lineales usando la tecnología (págs. 75–80)2.3
Usa una calculadora gráfi ca para resolver el sistema 8x − 5y + 13z = −37 Ecuación 1
−6x + 14y + 3z = 74 Ecuación 2
11x + 4y − 26z = 113 Ecuación 3
Paso 1 Escribe una matriz aumentada para el sistema lineal.
Paso 2 Introduce las dimensiones y elementos de la matriz
aumentada en tu calculadora gráfi ca.
Paso 3 Usa la función forma de matriz escalonada reducida de tu
calculadora para reescribir el sistema.
Paso 4 Al convertir la matriz de vuelta a un sistema de ecuaciones
lineales, obtienes 1x = 3, 1y = 7 y 1z = −2.
La solución del sistema es (3, 7, −2).
Usa una calculadora gráfi ca para resolver el sistema.
13. x − 3y + z = 2 14. 4x − 16y + z = −4 15. x − 3y + 2z = –16
−3x + 2y − 2z = 13 4x + y − 3z = 26 2x + y − z = −3
−2x + 6y − 2z = 30 2x − 8y + z = −2 5x + 4y − 3z = 1
[ 8
−6
11
−5
14
4
13
3
−26
. . .
. . .
. . .
−37
74
113
] MATRIZ[A] 3 ×4[8 -5 13 -37][-6 14 3 74 ] [11 4 -26 113]
rref([A] [[1 0 0 3 ] [0 1 0 7 ] [0 0 1 -2]]
Resolver sistemas de desigualdades lineales (págs. 81–88)2.4
Haz una gráfi ca del sistema de desigualdades lineales.
y ≥ x + 3 Desigualdad 1
y > −2x + 1 Desigualdad 2
y < − 1 —
2 x + 4 Desigualdad 3
Paso 1 Haz una gráfi ca de cada desigualdad.
Paso 2 Halla la intersección de los semiplanos.
Una solución es (−1, 4).
Haz una gráfi ca del sistema de desigualdades lineales.
16. y > 2x + 1 17. 2x + y ≥ −2 18. y < 2x + 4
y < –x + 2 x – y < −3 –2x + y > 5
y ≥ 3x + 4 4x − y < 0 y ≥ 2x + 6
19. Quieres trabajar por lo menos 10 horas, pero menos de 20 horas la semana que viene. Ganas $8
por hora trabajando en una tienda y $6 cortando grama. Necesitar ganar por lo menos $92 para
cubrir tus gastos semanales. Escribe y haz una gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales
para representar esta situación.
1
3
5
−2−1
2 x
y
y > −2x +1
y ≥ x + 3
y < − x + 4 12
hstx_alg2_span_pe_02ec.indd 92hstx_alg2_span_pe_02ec.indd 92 7/21/15 9:40 AM7/21/15 9:40 AM
Capítulo 2 Prueba del capítulo 93
22 Prueba del capítulo
Resuelve el sistema usando cualquier método algebraico. Verifi ca tu solución si es posible.
1. 2x + y − z = 8 2. −2x + z = 6 3. 3x − 4y − z = 6
−4x − y + 2z = −16 −2x + y + 3z = 14 −3x + 6y + 2z = 5
−2x − 4y − 5z = −26 4x − 2z = 3 −6x + 12y + 4z = 10
4. ¿Es posible que el conjunto de soluciónes de un sistema de desigualdades lineales
contenga todos los puntos en un plano de coordenadas? Explica.
5. Determina si cada par ordenado es una solución del sistema de desigualdades mostrado.
Explica tu razonamiento.
a. (3, 1)
b. (1, 2)
c. (2, 3)
d. (3, 0)
Usa una calculadora gráfi ca para resolver el sistema.
6. 3x − 4y + 2z = −9 7. 2x + y + 2z = 11 8. 9x + 27y − 3z = 18
−2x + 2y + 5z = 16 x + z = 6 −3x −9y + z = −9
−x + 2y − 7z = −7 −3y + z = 7 6x + 4y + 18z = 7
9. El puesto de jugos en un club de salud recibe una
entrega de jugo a principios de cada mes. Durante
un periodo de 3 meses, el club de salud recibió
12000 galones de jugo de naranja, 900 galones de
jugo de piña y 1000 galones de jugo de pomelo.
La tabla muestra la composición de cada entrega
de jugo. ¿Cuántos galones de jugo recibió el club
de salud en cada entrega? Justifi ca tu respuesta.
10. Se hacen piñatas para venderlas en una feria de manualidades. Toma 2 horas hacer
una mini piñata y 3 horas hacer una piñata de tamaño normal. El dueño del puesto de
manualidades tiene que hacer por lo menos 7 mini piñatas y 3 piñatas de tamaño normal.
El dueño del puesto de manualidades tiene un máximo de 30 horas disponibles para hacer
las piñatas y quiere tener por lo menos 10 piñatas para vender.
a. Escribe y haz una gráfi ca de un sistema de desigualdades lineales que represente la
situación.
b. Usa la gráfi ca para determinar si el dueño del puesto de manualidades
puede hacer 9 mini piñatas y 4 piñatas de tamaño normal.
11. Una verdurería vende tres cestas de fruta diferentes, como se describe en el
anuncio mostrado. Escribe una matriz aumentada para representar la
situación. Luego usa una calculadora gráfi ca para determinar el precio
por libra de cada fruta.
x
y
2
1 3
jugo 1a entrega 2a entrega 3a entrega
naranja 70% 50% 30%
piña 20% 30% 30%
pomelo 10% 20% 40%
Cesta de frutas
Una libra de cada una por $6.65
1 libra de fresas, 2 libras de peras,y 2 libras de naranjas por $10.15
3 libra de fresas, 2 libras de peras,y 3 libras de naranjas por $17.15
peras
fresas
naranjas
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94 Capítulo 2 Resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades
22 Evaluación de estándares
1. Basándote en los datos de la gráfi ca, ¿Cuál es la conclusión más acertada? (TEKS 2A.8.C)
○A Los datos sobre manchas Solares muestran una correlación
positiva.
○B Los datos sobre manchas Solares muestran una correlación
negative.
○C Los datos sobre manchas Solares no muestran ninguna
correlación aproximada.
○D Los datos sobre manchas Solares muestran una correlación fuerte.
2. ¿Cuál triple ordenado es una solución del sistema? (TEKS 2A.3.B)
○F (7, 1, −3)
○G (7, 1, 3)
○H (7, −1, −3)
○J Ninguna de las anteriores
3. ¿Cuál ecuación produce la gráfi ca más angosta? (TEKS 2A.6.C)
○A y = −1.5 ∣ x ∣ ○B y = − 2 — 3 ∣ x ∣
○C y = 0.5 ∣ x ∣ ○D y = 2 ∣ x ∣
4. RESPUESTA CUADRICULADA La tabla muestra el peso atómico de tres compuestos.
Deja que H, N y O representen el peso atómico del hidrogeno, nitrógeno y oxigeno
respectivamente. ¿Cuál es el peso atómico del nitrógeno? (TEKS 2A.3.B)
5. EL peso indicado en un tubo de pasta de diente es 3.5 onzas. El peso actual varia hasta
0.25 onzas. ¿Cuál desigualdad da el intervalo de peso actual w (en onzas) de un tubo
de pasta de diente? (TEKS 2A.6.F)
○F w ≥ 3.75 ○G w ≤ 3.25
○H −0.25 ≤ w ≤ 0.25 ○J 3.25 ≤ w ≤ 3.75
Promedio de manchas solares mensual
Nú
mer
o d
em
anch
as s
ola
res
Número del mes
10 2 3 4 5 6 7 8 9 m
2
0
4
6
8
10
12
14s
2x + 5y + 3z = 10
3x − y + 4z = 8
5x − 2y + 7z = 12
Compuesto Fórmula Peso atómico
ácido nítrico HNO3 63
óxido nitroso N2O 44
agua H2O 18
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Capítulo 2 Evaluación de estándares 95
6. Una tienda de curiosidades vende cestas de regalo que contienen tres tipos de velas
diferentes: cirios, pilares, y de jarra. Los cirios cuestan $1 cada uno, los pilares $4 cada
uno, y las velas de jarra cuestan $6 cada una. Cada cesta contiene 8 velas con un costo
total de $24, y el número de cirios es igual al número de pilares y jarras combinadas.
¿Cuál sistema de ecuaciones representa esta situación, donde t es el número de cirios,
p pilares, y j de jarras? (TEKS 2A.3.A)
○A t + p + j = 24 ○B t + p + j = 8
t + 4p + 6j = 8 t + 4p + 6j = 24
t − p − j = 0 t − p − j = 0
○C t + p + j = 0 ○D t − p − j = 8
t + 4p + 6j = 24 t − 4p − 6j = 24
t − p − j = 8 t + p + j = 0
7. ¿Cuál ecuación tiene la gráfi ca mostrada? (TEKS 2A.6.C)
○F y = 3 — 2 ∣ x ∣
○G y = 2 — 3 ∣ x ∣
○H y = − 3 — 2 ∣ x ∣
○J y = − 2 — 3 ∣ x ∣
8. Tú y un amigo se van a encontrar en el gimnasio. Ambos están de
acuerdo en encontrarse entre las 9:00 a.m. y 9:30 a.m. y van a esperar por
el otro por no más de 10 minutos. La gráfi ca representa esta situación,
donde x es tu tiempo de llegada y y es el tiempo de llegada de tu amigo
(en minutos después de las 9:00 a.m.). ¿Cuál par ordenado representa los
tiempos de llegada razonables para ti y tu amigo? (TEKS 2A.3.G)
○A (15, 10) ○B (20, 5)
○C (4, 22) ○D (29, 10)
9. ¿Cuál sistema de desigualdades mejor representa la región sombreada? (TEKS 2A.3.E)
○F ○G
○H ○J
−2 2 x
−2
−4
1y
x
y40
10
20
30
10 20 30 40 50
y y − x ≤ 10
x − y ≤ 10
−3
2
4
−4 −2 2 x
y
(−3, 3) (4, 3)
(−3, −2) (4, −2)
x > −3
x < 4
y > −2
y < 3
x ≥ −3
x ≤ 4y ≥ −2
y ≤ 3
x ≤ −3
x ≥ 4
y ≤ −2
y ≥ 3
x < −3
x > 4
y < −2
y > 3
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