Post on 08-Oct-2020
transcript
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
23 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
ภาพท 2-1 สวนประกอบของระบบพกดฉาก
ภาพท 2-2 จตภาคบนระบบพกดฉาก
บทท 2
ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
2.1 ระบบพกดฉาก (Rectangular Coordinate System)
ระบบพกดฉาก หมายถง ระบบทใชบอกต าแหนงของจดดวยระยะหางจากแกนทตดกนเปนมมฉาก
โดยระบบพกดฉากประกอบดวย
1. เสนจ านวนจรงในแนวนอน เรยกวา แกน x
2. เสนจ านวนจรงในแนวตง เรยกวา แกน y
3. จดก าเนด คอ จดทแกน x และ y ตดกน
4. พกดรวม คอ ต าแหนงของจดใดๆ บนระนาบ xy
โดยทวไปเรามกเขยนอยในรป คอนดบ ,x y
x แทน ระยะทจดหางจากจดก าเนดในแนวนอน
y แทน ระยะทจดหางจากจดก าเนดในแนวตง
จะเหนไดวาการบอกต าแหนงบนระบบพกดฉากใช 2 , | ,x y x y ในการบอกต าแหนงนนเอง
เมอพจารณาทระนาบ xy พบวาถกแบงออกเปน 4 สวน โดยแตละสวนจะถกเรยกวา “จตภาค”
(Quadrant) สญลกษณทใชแทนคอ Q แตละจตภาคจะมคา x และ y เปนลบหรอบวกตางกนดงภาพท 2-2
บนทกชวยจ า
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
x
y
1Q : จตภาคท 1 2Q : จตภาคท 2
4Q : จตภาคท 4 3Q : จตภาคท 3
, ,
, ,
, | 0, 0x y x y , | 0, 0x y x y
, | 0, 0x y x y , | 0, 0x y x y
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
24 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
ภาพท 2-3 สวนประกอบของระบบพกดเชงขว
ภาพท 2-4 วงกลม 1 หนวย
ตวอยางท 1 จงบอกพกดของจด 3,3 ในจตภาคท 1
จงบอกพกดของจด 2,4 ในจตภาคท 2
จงบอกพกดของจด 1, 2 ในจตภาคท 3
จงบอกพกดของจด 2, 3 ในจตภาคท 4
จงบอกพกดของจด 2, 4 ในจตภาคท 3
จงบอกพกดของจด 4, 5 ในจตภาคท 4
จงบอกพกดของจด 4,1 ในจตภาคท 1
2.2 ระบบพกดเชงขว (Polar Coordinate System)
ในหวขอท 2.1 เราสามารถบอกต าแหนงของจดใน 2 มตโดยใชระบบพกดฉากได นอกจากนยงมวธการ
บอกต าแหนงของจดใน 2 มต อกหนงระบบนนกคอระบบพกดเชงขว ทงนใชเพอใหเหมาะสมกบการแกปญหาทาง
วทยาศาสตรและวศวกรรมศาสตร โดยระบบพกดเชงขวจะประกอบดวย
1. แกนเชงขว (ลกษณะคลายแกน x ฝงบวก): OX
2. จดก าเนด หรอ ขว: O
โดยทวไปเรามกเขยนบอกต าแหนงของจดบนระบบพกดเชงขวดวย ,r
เมอ r คอ รศมความยาวจากจดก าเนดไปถงจด ,r
คอ มมทวดจากแกนเชงขวไปจนถงเสนรศม
วงกลม 1 หนวย
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
แกนเชงขว
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
25 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
2.2.1 การลงจดบนระบบพกดเชงขว สามารถแบงลกษณะของจดไดเปน 4 แบบ ไดแก
1. ,r : รศมและมม เปนบวกทงค
2. ,r : รศมเปนลบ และมม เปนบวก
3. ,r : รศมเปนบวก และมม เปนลบ
4. ,r : รศมและมม เปนลบทงค
แบบท 1 : รศมและมม เปนบวกทงค ,r
ตวอยางท 1 จงหาพกด o3,30 ตวอยางท 2 จงหาพกด o1,135
ตวอยางท 3 จงหาพกด o5, 210 ตวอยางท 4 จงหาพกด o2,330
ตวอยางท 5 จงหาพกด 1,4
ตวอยางท 6 จงหาพกด 22,
3
มมเปนบวก
หมนทวนเขมนาฬกา
มมเปนบวก
หมนทวนเขมนาฬกา
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
26 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
ตวอยางท 7 จงหาพกด 71,
4
ตวอยางท 8 จงหาพกด 56,
3
ตวอยางท 9 จงหาพกด 142,
3
ตวอยางท 10 จงหาพกด 354,
6
ตวอยางท 11 จงหาพกด 1233,
4
ตวอยางท 12 จงหาพกด 562,
8
ตวอยางท 13 จงหาพกด 97,
2
ตวอยางท 14 จงหาพกด 438,
2
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
27 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
ตวอยางท 15 จงหาพกด 9,121 ตวอยางท 16 จงหาพกด 2,56
แบบท 2 : รศมเปนลบ และมม เปนบวก ,r
ตวอยางท 1 จงหาพกด o3,30 ตวอยางท 2 จงหาพกด o1,135
ตวอยางท 3 จงหาพกด o5, 210 ตวอยางท 4 จงหาพกด o2,330
บนทกชวยจ า
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
28 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
ตวอยางท 5 จงหาพกด 1,4
ตวอยางท 6 จงหาพกด 22,
3
ตวอยางท 7 จงหาพกด 71,
4
ตวอยางท 8 จงหาพกด 56,
3
ตวอยางท 9 จงหาพกด 142,
3
ตวอยางท 10 จงหาพกด 354,
6
ตวอยางท 11 จงหาพกด 1233,
4
ตวอยางท 12 จงหาพกด 562,
8
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
29 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
ตวอยางท 13 จงหาพกด 97,
2
ตวอยางท 14 จงหาพกด 438,
2
ตวอยางท 15 จงหาพกด 9,121 ตวอยางท 16 จงหาพกด 2,56
ตวอยางท 17 จงหาพกด 1211,
3
ตวอยางท 18 จงหาพกด 12342,
6
ตวอยางท 19 จงหาพกด 213,
4
ตวอยางท 20 จงหาพกด 592,
3
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
30 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
แบบท 3 : รศมเปนบวก และมม เปนลบ ,r
ตวอยางท 1 จงหาพกด o3, 30 ตวอยางท 2 จงหาพกด o1, 135
ตวอยางท 3 จงหาพกด o5, 210 ตวอยางท 4 จงหาพกด o2, 330
ตวอยางท 5 จงหาพกด 1,4
ตวอยางท 6 จงหาพกด 2
2,3
ตวอยางท 7 จงหาพกด 71,
4
ตวอยางท 8 จงหาพกด 5
6,3
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
31 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
ตวอยางท 9 จงหาพกด 142,
3
ตวอยางท 10 จงหาพกด 35
4,6
ตวอยางท 11 จงหาพกด 1233,
4
ตวอยางท 12 จงหาพกด 56
2,8
ตวอยางท 13 จงหาพกด 97,
2
ตวอยางท 14 จงหาพกด 43
8,2
ตวอยางท 15 จงหาพกด 9, 121 ตวอยางท 16 จงหาพกด 2, 56
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
32 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
ตวอยางท 17 จงหาพกด 1211,
3
ตวอยางท 18 จงหาพกด 1234
2,6
ตวอยางท 19 จงหาพกด 213,
4
ตวอยางท 20 จงหาพกด 59
2,3
แบบท 4 : รศมและมม เปนลบทงค ,r
ตวอยางท 1 จงหาพกด o3, 30 ตวอยางท 2 จงหาพกด o1, 135
บนทกชวยจ า
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
33 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
ตวอยางท 3 จงหาพกด o5, 210 ตวอยางท 4 จงหาพกด o2, 330
ตวอยางท 5 จงหาพกด 1,4
ตวอยางท 6 จงหาพกด 22,
3
ตวอยางท 7 จงหาพกด 71,
4
ตวอยางท 8 จงหาพกด 56,
3
ตวอยางท 9 จงหาพกด 142,
3
ตวอยางท 10 จงหาพกด 354,
6
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
34 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
ตวอยางท 11 จงหาพกด 1233,
4
ตวอยางท 12 จงหาพกด 562,
8
ตวอยางท 13 จงหาพกด 97,
2
ตวอยางท 14 จงหาพกด 438,
2
ตวอยางท 15 จงหาพกด 9, 121 ตวอยางท 16 จงหาพกด 2, 56
ตวอยางท 17 จงหาพกด 1211,
3
ตวอยางท 18 จงหาพกด 12342,
6
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
35 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
ภาพท 2-5 ต าแหนงของจด o3,30
ภาพท 2-6 ต าแหนงของจด o3,30
ตวอยางท 19 จงหาพกด 213,
4
ตวอยางท 20 จงหาพกด 592,
3
2.2.2 การเขยนพกดในรปแบบอน ในหวขอการลงจดจะท าใหทราบวา จดหนงจด สามารถเขยนบอกพกดได
หลายแบบในหวขอนจงของกลาวถงวธการเขยนพกดในรปแบบอนดงน
กรณทม 0r สงทตองการคอ 0r ใหน า n เมอ 1,3,5,7,n
กรณทม 0r สงทตองการคอ 0r ใหน า n เมอ 1,3,5,7,n
กรณทม 0r สงทตองการคอ 0r ใหน า n เมอ 2,4,6,8,n
กรณทม 0r สงทตองการคอ 0r ใหน า n เมอ 2,4,6,8,n
ตวอยางท 1 จงเขยนพกดของจด o3,30 ส าหรบ 0r
วธท า จากโจทย พกด o3,30 อยในจตภาคท 1 ดงภาพท 2-5
เราตองการ คอ บอกต าแหนงเดม แต 0r
หากเราใสเครองหมายลบลงไปทรศม เปน o3,30
จะไมใชต าแหนงทเราตองการบอก จดดงกลาวจะอยในจตภาคท 3
สงเราตองท าคอ การหามมของจดทอยตรงขามจตภาคใหได
จงจะสามารถเปลยนรศมใหตดลบได ดงนนเราจงน า
จะได o o30 210
หรอ จะได o o 1530 0
ทงนขนอยกบชวงของมม ทโจทยก าหนด หากไมก าหนด
เราจะบวกเพมหรอลบออกกได สรปไดวา
o o o3,30 3,210 3, 150
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
36 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
ตวอยางท 2 ก าหนดใหพกด 22,
3
จงเขยนพกดในรปแบบอนๆ ของพกดดงกลาวโดยมเงอนไขดงน
1. 0r และ 2 4 2. 0r และ 4 2
3. 0r และ 2 4 4. 0r และ 4 2
วธท า กรณท 1 : 0r และ 2 4
จากโจทยก าหนดใหเราม 0r และ 20 2
3
สงทตองการคอ 2 4 จะสงเกตไดวาชวงทตองการนนมากกวาชวงทมอย 2
ดงนน 22 2 4
3
จะได 8
2 43
พกดในรปแบบอนของ 22,
3
ในกรณท 1 คอ 82,
3
กรณท 2 : 0r และ 4 2
จากโจทยก าหนดใหเราม 0r และ 20 2
3
สงทตองการคอ 4 2 จะสงเกตไดวาชวงทตองการนนนอยกวาชวงทมอย 4
ดงนน 24 4 2
3
จะได 10
4 23
พกดในรปแบบอนของ 22,
3
ในกรณท 2 คอ 102,
3
กรณท 3 : 0r และ 2 4
จากโจทยก าหนดใหเราม 0r และ 20 2
3
สงทตองการคอ 2 4 จะสงเกตไดวาชวงทตองการนนมากกวาชวงทมอย 2
แตรศมทโจทยก าหนดกบรศมทโจทยตองการนนตางกนตองน า ค
ดงนน 22 3 4
3
จะได 11
2 43
พกดในรปแบบอนของ 22,
3
ในกรณท 3 คอ 112,
3
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
37 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
ภาพท 2-7 ความสมพนธของระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
กรณท 4 : 0r และ 4 2
จากโจทยก าหนดใหเราม 0r และ 20 2
3
สงทตองการคอ 4 2 จะสงเกตไดวาชวงทตองการนนนอยกวาชวงทมอย 4
แตรศมทโจทยก าหนดกบรศมทโจทยตองการนนตางกนตองน า ค
ดงนน 24 3 2
3
จะได 7
4 23
พกดในรปแบบอนของ 22,
3
ในกรณท 4 คอ 72,
3
2.3 ความสมพนธระหวางพกดเชงขวและพกดฉาก
(Relationships between polar and rectangular coordinates)
หวขอทผานๆ มาหากเราสงเกตจะพบวาระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขวนนมความสมพนธ
ซงกนและกนอย โดยบางปญหาเราอาจจะตองใชทงสองระบบเขามาแกปญหาในหวขอนจงขอกลาวถง การแปลง
จากระบบพกดฉากไประบบพกดเชงขว และจากระบบพกดเชงขวไประบบพกดฉาก
พจารณาภาพท 2-7 เราจะพบความสมพนธดงน
1. cosx
r หรอ cosx r
2. siny
r หรอ siny r
3. 2 2 2r x y
4. tany
x เมอ 0x
บนทกชวยจ า
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
x
y
, ,x y r
0,0 x
y
r
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
38 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
ตวอยางท 1 จงหาพกดฉากของจดทมพกดเชงขวเปน o3,225
วธท า จากโจทยสงก าหนดใหคอ ,r o3,225 สงทตองการคอ ,x y
จากความสมพนธขอท 1. และขอท 2. เราจะได
cos 3x r o 2 3 2cos 225 3
2 2
sin 3y r o 2 3 2
sin 225 32 2
ดงนนพกดฉากของพกดเชงขว o3,225 คอ 3 2 3 2,
2 2
ตวอยางท 2 จงหาพกดฉากของจดทมพกดเชงขวเปน 3452,
4
วธท า จากโจทยสงก าหนดใหคอ ,r 345
2,4
สงทตองการคอ ,x y
จากความสมพนธขอท 1. และขอท 2. เราจะได
cos 2x r 345 2
cos 2 24 2
sin 2y r 345 2
sin 2 24 2
ดงนนพกดฉากของพกดเชงขว 3452,
4
คอ 2, 2
ตวอยางท 3 จงหาพกดเชงขวของจดทมพกดฉากเปน 1, 1
วธท า จากโจทยสงก าหนดใหคอ , 1, 1x y สงทตองการคอ ,r
จากความสมพนธในขอท 3. ท าใหเราทราบวา 2 22 2 2 1 1 2r x y
ดงนน 2, 2r ขนตอนตอไปเราจะหา จากความสมพนธในขอท 4.
1tan 1
1
y
x
ท าใหทราบวา ทเปนไปไดคอ o o45 , 225
พจารณาจากพกดฉากทโจทยก าหนดใหจะทราบวาต าแหนงทแทจรงตองอยทจตภาคท 3
เราจงสามารถสรปไดวาพกดเชงขวของจด 1, 1 คอ o2,225 และ o2,45
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
39 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
ตวอยางท 4 จงหาพกดเชงขวของจดทมพกดฉากเปน 0, 2
วธท า จากโจทยสงก าหนดใหคอ , 0, 2x y สงทตองการคอ ,r
จากความสมพนธในขอท 3. ท าใหเราทราบวา 22 2 2 20 2 4r x y
ดงนน 2, 2r ขนตอนตอไปเราจะหา จากความสมพนธในขอท 4.
2tan
0
y
x
จากสมการดงกลาวท าใหไมสามารถหาคา tan ไดดงนนเราจงพจารณาจากความสมพนธขออนๆ เชน
0cos 0
2
x
r หรอ 2
sin 12
y
r
จากการพจารณาดงกลาวท าใหทราบวา ทเปนไปไดคอ o270
พจารณาจากพกดฉากทโจทยก าหนดใหพบวาต าแหนงตองอยบนแกน y
เราจงสามารถสรปไดวาพกดเชงขวของจด 0, 2 คอ o2, 270 และ o2,90
ตวอยางท 5 จงหาพกดเชงขวในรป , , ,r r ของจดทมพกดฉากเปน 2 3, 2
วธท า จากโจทยสงก าหนดใหคอ , 2 3, 2x y สงทตองการคอ ,r
จากความสมพนธในขอท 3. ท าใหเราทราบวา 2 22 2 2 2 3 2 16r x y
ดงนน 4, 4r ขนตอนตอไปเราจะหา จากความสมพนธในขอท 4.
2 1tan
2 3 3
y
x
ท าใหทราบวา ทเปนไปไดตองอยในจตภาคท 2 หรอ 4 นนคอ 5 11,
6 6
พจารณาจากพกดฉากทโจทยก าหนดใหจะทราบวาต าแหนงทแทจรงตองอยทจตภาคท 4
เราจงสามารถสรปไดวาพกดเชงขวของจด 2 3, 2 คอ 114,
6
และ 54,
6
บนทกชวยจ า
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
เอกสารประกอบการสอนรายวชา คณตศาสตรทวไป | ดร.ธดาพร เสยงวฒนะ
40 ระบบพกดฉากและระบบพกดเชงขว
แบบฝกหดทายบทท 2
1. ก าหนดใหพกดเชงขว 42,
3
จงเขยนพกดในรปแบบอนโดยมเงอนไขดงน
1.1 0r และ 8 10 1.2 0r และ 10 8
1.3 0r และ 4 6 1.4 0r และ 8 6
2. ก าหนดใหพกดเชงขว 52,
6
จงเขยนพกดในรปแบบอนโดยมเงอนไขดงน
2.1 0r และ 8 10 2.2 0r และ 10 8
2.3 0r และ 4 6 2.4 0r และ 8 6
3. จงหาพกดฉากของพกดเชงขวตอไปน
3.1 76,
3
3.2 74,
4
3.3 19872,
6
3.4 7884,
3
4. จงหาพกดเชงขวของพกดฉากตอไปน
4.1 3,1 4.2 2,2 3
4.3 5, 5 4.4 3, 3
เฉลยแบบฝกหดบทท 2
1. 1.1 282,
3
1.2 262,
3
1.3 13
2,3
1.4 232,
3
2. 2.1 372,
6
2.2 592,
6
2.3 31
2,6
2.4 412,
6
3. 3.1 3 3,3 3.2 2 2,2 2 3.3 3,1 3.4 2, 3
4. 4.1 2, 26
n
หรอ 72, 2
6n
, n I
4.2 24, 2
3n
หรอ 5
4, 23
n
, n I
4.3 55 2, 2
4n
หรอ 5 2, 2
4n
, n I
4.4 52 3, 2
3n
หรอ 2
2 3, 23
n
, n I