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Profesor Gonzalo Cuadros
Probabilidades
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Definiciones
Experimento aleatorio Es cualquier experimento cuyo resultado no se puede predecir con certeza
Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio Es el conjunto de los resultados posibles del experimento. Se denota por o S
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Espacio muestral
Discretos finitos: tienen un número finito de elementos
Discretos infinitos: tienen un número infinito numerable de elementos.
Continuos: tienen un número infinito no numerable de elementos.
Eventos
Es cualquier subconjunto de espacio muestral.
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Eventos
Sean A y B dos eventos de
Unión AB es el evento que ocurre en al menos
uno de los dos eventos ocurre
Intersección AB es el evento que ocurre en
ambos eventos ocurren
AC = - A es el evento complementario de A y ocurre en A no ocurre.
Eventos mutuamente excluyentes si AB=.
Los eventos A, B son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno impide la ocurrencia del otro
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Probabilidad de un evento
Definición axiomática Una probabilidad es una transformación P, que asigna a cada evento A de un espacio muestral , un número real P(A) tal que:
P(A) 0 para todo evento A.
P() = 1
P() = 0
P(A) + P(AC) = 1
P(A) 1
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Regla de la suma y multiplicación Si A y B son mutuamente excluyentes:
P(A o B) = P(A) + P(B)
Si A y B no son mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
Si A y B son eventos independientes:P(A y B) = P(A) x P(B)
Si A y B son eventos dependientes: P(A y B) = P(A) x P(B/A)
Los eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta en ninguna forma a las posibilidades de que ocurra el otro
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Variable aleatoria
Sea un espacio muestral. Una variable aleatoria es una función X, que transforma cada resultado w del espacio muestral en un número real X(w)
El rango de la variable aleatoria X es el conjunto RX de todos sus posibles valores.
RX
Reales
x=X(w)
w
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Tipos de variable aleatoria
Discreta si su rango es un conjunto finito o infinito numerable , solo un número limitado de valores.
Continua si su rango es un conjunto
continuo, es aquella que puede tomar
cualquier valor dentro de un intervalo dado
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Distribución de probabilidad
Una distribución de probabilidad describe laforma en que se espera que varíen losresultados.
Se puede pensar en una distribución deprobabilidad como una distribución defrecuencias teóricas.
Valores xi de X x1 x2 ... xn
Probabilidad f(xi)=P[X=xi] f(x1) f(x2) ... f(xn)
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Probabilidad en una v.a. discreta
Sea un espacio muestral y P una asignación
de probabilidades definida sobre sus eventos.
Son aquellas para las cuales las variablesposibles tienen un número limitado devalores.
f(x) 0
f(x) = P(X = x )
La suma de f(xi) = 1
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Función de distribución acumulada
La función de distribución acumulada F(x)
La función distribución acumulada nos indica cual es la probabilidad que cierta variable aleatoria sea menor o igual a un determinado valor.
Esta probabilidad es la suma ( variables discretas) de las probabilidades de todos los valores posibles.
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Valor esperado de una variable
aleatoria discreta
( )i X
i i
x R
E X x f x
E (x) = Sumatoria [(x) * f (x)] f(x)=P(x)
E(x): valor esperado
x: cada valor de la distribución
P(x): probabilidad de ocurrencia de cada x
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Caso 1
Usted con frecuencia invierte en la Bolsa de Valores, estudia
cuidadosamente cualquier inversión potencial. En la actualidad está
analizando la posibilidad de invertir en la Cía. EdelSur. Haciendo un análisis
del comportamiento pasado de la compañía, usted ha dividido los resultados
potenciales de la inversión en cinco resultados posibles, con sus respectivas
probabilidades. Los resultados son los índices anuales de recuperación de un
solo paquete de acciones que actualmente cuestan $150.
Recuperación inversión en $ 0 10 15 25 50
Probabilidad 0.20 0.25 0.30 0.15 0.10
Encuentre el valor esperado de la recuperación de la inversión en un
solo paquete de acciones. (ver base de datos S-2)
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Solución con @Risk
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Distribución Binomial
Un experimento Binomial consiste de una
serie de n pruebas o ensayos fijados antes de
realizar el experimento.
Las pruebas son idénticas y cada una puede resultar en uno de dos resultados: Éxito (E) o Fracaso (F).
Las pruebas son independientes entre si.
La probabilidad de éxito es constante de
una prueba a otra y se denota por p.
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Distribución Binomial
Esperado o media: E[X] = n p
Varianza: V[X] = n p (1-p)
p>0.5 tiene
sesgo izquierdo
p<0.5 tiene
sesgo derecho
p=0.5 la distribución
es simétrica
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Distribución Binomial
La variable aleatoria Binomial se definecomo el número de éxitos obtenidos enlos n intentos.
La función de probabilidad es:
Los parámetros de la distribución Binomial
son n y p.
Se denota por X~ B(n, p)
nxppCxXxfxnxn
x ,,2,1,01P
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Caso 2
Una prueba de opciones múltiples consiste de siete preguntas. Cada pregunta tiene cuatro respuestas posibles, de las cuales sólo una es la correcta. Una persona responde todas las preguntas de la prueba marcando las respuestas al azar. (ver base de datos S-2)
Se define la variable aleatoria X como la cantidad de preguntas contestadas correctamente:
a. Elabore la tabla de distribución de probabilidades de X.
b. Elabore el gráfico de la función de probabilidades
c. Calcule la probabilidad de que responda dos preguntas al azar.
d. Calcule la probabilidad de que responda al menos dos preguntas al azar.
e. Calcule el valor esperado de X.
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Elabore la tabla de distribución de probabilidades
Solución a
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Elabore el gráfico de la función de probabilidades
Solución b con @Risk
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Calcule la probabilidad de que responda dos preguntas al azar
Solución c con Excel
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Calcule la probabilidad de que responda al menos dos preguntas al azar
Solución d con Excel
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Solución d con @Risk
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Solución e con Excel
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Calcule el valor esperado de X.
Solución e con @RISK
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Caso 3
Se ha determinado que el 85% de las personas que compranuna computadora en una tienda por departamento noefectúan algún tipo de reclamo. Se eligen al azar 160personas que compraron la computadora.
(ver base de datos S-2)
a. Defina la variable y elabore la tabla de distribución de probabilidades.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 10 pero como máximo 20 personas efectúen algún reclamo?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 25 personas efectúen algún reclamo?
d. Elabore el gráfico de la función de probabilidades.
INTRODUCCIÓN AL @RISK
Profesor Gonzalo Cuadros
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Cargando el @RISK
Muévase a la ventana o celda o área de interés
Luego haga clic derecho.
Si en tal localización existen capacidades de @RISK, entonces aparecerá un menú tipo “pop-up” sensible
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Preliminares
¡No tenga más de un modelo @RISK abierto al mismo tiempo!
Intente mantener su modelo en un solo libro de trabajo con varias o muchas hojas
Localice las funciones @RISK en celdas individuales y utilice referenciamiento de celdas
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Asuntos de modelación
Las referencias circulares crean una significativa disminución en el desempeño de la simulación. Trate de no incorporarlas en su modelo.
Puede ejecutar sus macros VBA durante una simulación.
Elimine las funciones ALEATORIO() (“RAND()”) DE SU MODELO.
Si se requiere de la Búsqueda de Objetivos y/o del Solver de Excel para ejecutar cada iteración, entonces adicione una macro para cada iteración.
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Ventanas de @RISK
1. Ventana de Modelo @RISK (Risk Model)
2. Ventana de resultados @Risk (Risk Results)
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Ventana de Modelo
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Ventana de Modelo @RISK (Risk Model
Windows)
Examinar la estructura de su modelo @Risk
Revisar el nombre de sus variables de entrada y salida @Risk
Eliminar variables de entrada @Risk.
Adicionar/editar correlaciones entre las variables de entrada @Risk
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Ventana Resumen @RISK
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Ventana de resultados @RISK (@Summary Window)
Tablas estadísticas de resumen de resultados
Gráficos de resumen de resultados
Reportes rápidos de una página para cada una de las celdas designadas como resultado de salida Risk.
Reportes personalizados que usted construya
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Pasos introductorios
Abra su modelo Excel
Decida cuáles celdas contienen variabilidad Seleccione la distribución y especifique sus parámetros
usando el ícono de Definición de Distiribuciones (“Define Distributions”):
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Celdas de salida (“output”)
Seleccione aquellas celdas que son las celdas de salida en su modelo de Excel.
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REALIZANDO UN ANÁLISIS DE
RIESGO Y ESTRUCTURANDO SU
MODELO DE LIBRO DE TRABAJO
@RISK
Esta sección define los pasos que recomendamos para desarrollar su modelo @RISK.
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Pasos en la Ejecución de una Evaluación de Riesgo con @RISK
Desarrolle
un modelo
determinístico
Inserte
distribuciones
@RISK
Defina las
variables de
salida
Presente
los resultados
Ejecute la
simulaciónInterprete los
resultados
Genere gráficos
y reportes
Inserte
correlaciones
Defina la
configuración
de simulación
Creación Configuración Ejecución Resultados
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Una Perspectiva hacia delante
El próximo capítulo le introducirá a la versión integrada de Inserción de distribuciones, la importante herramienta de visualización de distribuciones.
Esta funcionalidad es tan importante como lo es la graficación de los datos antes de utilizarlos.
Especifique y visualice las distribuciones antes de implementarlas en su evaluación.
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Estructurando su Modelo de Libro de
Trabajo @Risk
Cada evaluación de riesgo requiere la identificación de:
1. las variables clave de salida
2. las variables inciertas de entrada primarias
3. la interdependencia entre las variables de entrada inciertas
4. las variables inciertas dependientes del tiempo
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Ensamble del Modelo
Despliegue la estructura del modelo.
Incorpore los componentes de pronóstico
Identifique las variables importantes. Considere realizar pruebas sobre variables importantes usando TopRank.
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Apetito de riesgo
Esta es la cantidad de exposición al riesgo que el tomador de decisiones está dispuesto a tomar previo a considerar .
Esto puede ser visualizado como la cantidad de dinero que una firma tiene ya disponible en el caso de que suceda un evento extraordinario.
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Inserción de distribuciones @RISK
Se transforma el modelo determinístico en un modelo estocástico o probabilístico
@RISK proveerá las herramientas y distribuciones para esta importante tarea
Tema del próximo capítulo
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Definición de variables de salida
Uno o más variables de salida definidas por este ícono
Una variable de salida puede también ser una variable de entrada
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Configuración de la simulación
Define cómo se realizará la simulación:
Número de iteraciones, métodos de números aleatorios, control del proceso de simulación, velocidad, convergencia, etc.
No hay que estar en alguna celda en particular para configurar la simulación
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Ejecución de la simulación
Este es el núcleo de todo el proceso
@RISK toma control del proceso de cálculo de Excel para generar números aleatorios, generar distribuciones de probabilidad (correlacionadas o no) y generar los datos, estadísticos, reportes y gráficos
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Ejecute el Modelo Probado
Hemos encontrado que el mínimo número de iteraciones a utilizar es de 5000.
Utilice la funcionalidad de convergencia para determinar cuántas iteraciones utilizar
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Prueba del Modelo
Trate de estresar el modelo asumiendo un conjunto consistente de valores optimistas, y luego pesimistas sobre las variables clave.
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Generación de gráficos y reportes
Existen al menos 3 formas distintas para generar gráficos y reportes en @RISK:
Ventana resumen (Summary)
Reportes de Excel
Estadísticos @RISK
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