Post on 11-Feb-2018
transcript
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
1/38
Grupos adimensionales y semejanza
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
2/38
Ley de homogeneidad dimensional
Cada grupo de trminos en una ecuacin debe tener lamisma representacin dimensional
Aplicaciones:
Establecer dimensiones de cantidades como densidad,viscosidad, etc.Cuando se conocen las variables que intervienen en un
fenmeno fsico, pero la relacin entre las variables sedesconoce
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
3/38
Sistemas de dimensiones/unidades
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
4/38
Anlisis dimensional
Proceso que permite formula o describir un fenmeno,como una relacin entre un conjunto de gruposadimensionales de las variables involucradas en elfenmeno.
El nmero de grupos adimensionales ser menor que elnmero de variables.
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
5/38
Ej:Se desea estudiar la fuerza de arrastre F sobre la superficiede una esfera de dimetro D que se mueve a una velocidad va travs de un fluido de densidad y viscosidad
,,,vDfF
Determinar experimentalmente esta funcin f, es lento ya que
se requieren muchos experimentos
??????
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
6/38
Por medio de la formulacin de grupos adimensionales, esposible describir el fenmeno y reducir el nmero deexperimentos
vD
DvF
22
Donde es una funcin desconocida, pero la relacin entreambos trminos se puede determinar experimentalmente
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
7/38
vD
22Dv
F
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
8/38
Cmo encontrar grupos adimensionales ????
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
9/38
Teorema de Buckingham (Teorema )
Sea un problema fsico en que intervengan n magnitudes en las quehay j dimensiones fundamentalesLas n magnitudes pueden agruparse en (n-j) grupos adimensionales
Considerar A1, A2, A3, , An las magnitudes que intervienen en unfenmeno
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
10/38
Todas ellas deben cumplir una relacin de la forma
0...,,.........,,
,.....,,,
,,
0,..........,.........,,
321
321
21
321
jn
n
n
f
AAAA
dealesadimensiongruposnrepresentaetcsi
AAAAF
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
11/38
Mtodo de determinacin de grupos adimensionales
1. Fijar las variables dependientes que sern investigadas, y todaslas variables independientes (relevantes) que tengan efecto enlas variables dependientes
2. Fijar el nmero de dimensiones de todas las variables(dependientes + independientes)
3. Sealar el nmero total de variables (dependientes +
independientes) como n. Sealar el numero de dimensionesbsicas (M, L, T, ), que aparecen en el paso 2, por la letra j.Generalmente en problemas de fluidos incompresibles,j= 3
4. Elegir j magnitudes, con diferentes dimensiones, que contengan
entre ellas la j dimensiones, y usarlas como variables repetidastodas ellas junto con otra de las magnitudes restantes paraconstruir un grupo
5. El nmero de grupos adimensionales independientes, utilizados
para describir el fenmeno es igual a n-j
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
12/38
Sean A1, A2, A3, que contienen M, L, T (cada una o en conjunto)entonces
n
zyx
jn
zyx
zyx
AAAA
AAAA
AAAA
jnjnjn
321
53212
43211
222
111
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
13/38
Cmo determinar el nmero de dimensiones bsicas?
Ej:En el anlisis de esfuerzos, pueden existir dimensiones bsicas
(F,L) o (M,L,T), por lo tanto el clculo de j para el teorema deBuckingham puede llevar a errores
Se puede solucionar de la siguiente forma
Sean , , , , etc. y las dimensiones bsicas M,L,T, etc.
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
14/38
M 1 0 3 0
L -1 -2 1 2
T 2 1 1 1
Potencia a la que debe elevarse la dimensin bsica en larepresentacin dimensional de la variable particular
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
15/38
debe tener dimensiones (MT2
/L) debe tener dimensiones (T/L2)
Matriz dimensional del proceso:
11122121
0301
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
16/38
11122121
0301
El rango de esta matriz es 3
El valor correcto de j en el teorema de Buckingham, puedeestablecerse como el rango de la matriz dimensional
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
17/38
Ej: clculo de grupos adimensionales
Considerar una esfera lisa sumergida en un fluido viscoso que
circula lento
Las variables que intervienen son:F: fuerza sobre la esferaD: dimetro de la esfera
v: velocidad del fluido: densidad del fluido: viscosidad del fluido
,,,vDF
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
18/38
F D v
M 1 0 1 0 1
L 1 1 -3 1 -1
T -2 0 0 -1 -1
3,5 jn
Elegir 3 variables a repetir, que contengan M, L, T
D (L), v (T) y se puede elegir (o ) para (M)
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
19/38
Se establecen 2 grupos adimensionales independientes
suponer
vD
F1
Se debe satisfacer que la razn sea adimensional
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
20/38
1
2
31
Mpara
Tpara
Lpara
221
vDF
1
2
2
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
21/38
Para la otra variable que queda
suponer
vD
2
Se debe satisfacer que la razn sea adimensional
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
22/38
Dv
2
1
1
1
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
23/38
Por lo tanto
21
DvvD
F22
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
24/38
Dimensiones bsicas
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
25/38
Grupos adimensionales utilizados en mecnica de fluidos
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
26/38
Nmero de Reynolds
Relacin entre las fuerzas inerciales y las fuerzas de
friccin, usualmente en funcin de parmetros geomtricosy de flujo convenientes.
Nmero de Mach
Relacin entre la raz cuadrada de las fuerzas inerciales y la raz
cuadrada de las fuerzas originadas por la compresibilidad delfluido.
Muy importante en flujos de alta velocidad, donde las variaciones
en la densidad debidas a la presin se vuelven importantes.
Nmero de FroudeRelacin entre las fuerzas inerciales y las fuerzas de gravedad.
Si existe una superficie libre, como es el caso de un ro, el aspecto
de esta superficie al formarse ondas se ver directamente afectado
por la fuerza de gravedad, de manera que en este tipo de problemas
el numero de Froude es importante
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
27/38
Nmero de Weber
Relacin entre las fuerzas inerciales y las fuerzas de tensin
superficial.Este nmero tambin requiere la presencia de una superficie
libre, pero si estn involucrados objetos grandes, como botes
en un fluido como el agua, este efecto es muy pequeo.
Nmero de Euler
Relacin de las fuerzas de presin y las fuerzas inerciales. En
ensayos prcticos suele utilizarse el coeficiente de presin p/(
V2),que es igual al doble del nmero de Euler.
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
28/38
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
29/38
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
30/38
Traslacin de escala y principios de semejanza
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
31/38
El diseo y determinacin de las condiciones de operacinptimas en un proceso industrial es un problema de altsima
complejidad
Recurrir a la experimentacin y extrapolar los resultadosobtenidos a escala laboratorio y piloto al diseo y operacindel equipo industrial
Modificar un proceso existente
Problema general de traslacin de escala
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
32/38
Fenmenos involucrados en el proceso se ven afectados porel tamao
Variables como aireacin, agitacin, disipacin de calor, etc.cambian con el tamao
Variables como temperatura, pH, viscosidad, tamao de
gotas, tamao de burbujas, tamao de granos de arena, etc.permanecen constantes en las diversas escalas
Problema general de traslacin de escala
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
33/38
El problema de la traslacin de escala ha sido estudiadoextensamente en el campo de la Ingeniera, generalmente
para sistemas de materia inanimada, utilizando un enfoqueque consiste en la correlacin de las variables involucradasusando mtodos de anlisis dimensional, para luegodeterminar las nuevas condiciones mediante la aplicacin dediversos principios de similitud o semejanza
Problema general de traslacin de escala
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
34/38
Principios de semejanza
El comportamiento de dos sistemas es equivalente, si
entre ambos existe plena semejanza o similitud.
Constancia que existe entre razones de magnitudesfsicas y/o qumicas, en ambos sistemas.
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
35/38
Semejanza geomtrica
Semejanza cinemtica
Semejanza dinmica
Principios de semejanza
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
36/38
Semejanza geomtrica: Las razones entrelongitudes correspondientes deben ser iguales en
ambos sistemas
Semejanza cinemtica: Las razones entrevelocidades en ambos sistemas, en puntosequivalentes, deben ser iguales
Semejanza dinmica: Las razones entre fuerzas,en puntos equivalentes, deben ser iguales
Principios de semejanza
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
37/38
Idealmente la total semejanza es resultante de la aplicacinsimultnea de todos los criterios enunciados
No es posible, ya que al intentar hacerlo se obtienen resultadoscontradictorios o fuera de rango
Optar por seleccionar (con base en la experiencia y literatura)algunos criterios que definan el sistema
La semejanza geomtrica es la que tiene un mayor rango, ya quees la nica definida de manera autnoma, la definicin de losotros criterios implican la existencia de semejanza geomtrica
Principios de semejanza
7/23/2019 6 anlisis dimensional grupos adimensionales leyes de semejanza
38/38
Ejemplo
Un disco de dimetro D inmerso en un fluido de densidad y viscosidad
tiene una velocidad rotacional constante de . La fuerza requerida
para mover el disco es de P.
a)Muestre que:
b)Un disco de 225mm de dimetro rodando a 144.5 rad/s (23 rev/s) en
agua requiere de una fuerza de torque de 1.1Nm. Calcule la velocidad
correspondiente y el torque requerido para rodar un disco similar de
675mm de dimetro girando en el aire (aire: =1.86E-5Pas;
=1.20kg/m3. Agua: =1.01E-3Pas; =1000kg/m3), de forma a
t l i l t l d R ld t t
2
53 DfDP