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METODO DE LAS DEFORMACIONES (RIGIDEZ) - PORTICOS.
Nudos pueden sufrir rotaciones y desplazamientos lineales.
5 GDL (DOF)= rotaciones de B, C, D y E + desplazamiento B, C y D (igual para los tres).
7 GDL (DOF)= rotaciones de B, C, D, E y F + desplazamientos lineales en cada uno de los 2 pisos.
Ejemplo 1: Resolucin de un portico por el metodo de las deformaciones.
Paso 1: Planteamiento de un portico con continuidad geomtrica.
Momentos de empotramiento Perfecto
Paso 2: Calculo de momentos y fuerzas de desequilibrio.
Calculo de PD
Paso 3: Imposicin de rotaciones y desplazamientos unitarios.
Paso 4: Calculo de rotaciones y desplazamientos reales.
Haciendo EI=1 y simplificando:
Paso 5: Calculo de los momentos correctivos.
Paso 6: Calculo de los momentos finales.
Calculo de las reacciones y diagramas de Cortante y Momento
PLANTEAMIENTO MATRICIAL PARA PORTICOS RIGIDEZ DIRECTA Las mismas ecuaciones que se utilizaron en vigas.
Ejemplo: Resolucin de un Prtico por el Mtodo de las Deformaciones (Rigidez), usando elplanteamiento matricial.
Paso 1: Planteamiento de un prtico con continuidad geomtrica.
Paso 2: Calculo de momentos y fuerzas de desequilibrio.
Paso 3: Imposicin de deformaciones unitarias y clculo de coeficientes de rigidez.
Calculo de K51:
Calculo de K61:
Calculo de K52:
Calculo de K62:
Calculo de K53:
Calculo de K63:
Calculo de K54:
Calculo de K64:
Calculo de K55:
Calculo de K65:
Tambin se puede calcular de la siguiente manera:
Calculo de K66:
Paso 4: Calculo de rotaciones y desplazamientos reales.
Paso 5: Calculo de momentos correctivos.
Paso 6: Calculo de los momentos finales.
PLANTEAMIENTO MATRICIAL ENSAMBLAJEPARA ARMADURASMatriz de Rigidez de una barra
k= matriz de rigidez del elemento
Matriz de Transformacin de desplazamiento
T transforma los cuatro desplazamientos D (globales-x,y) en los desplazamientos d (locales x)T: matriz de transformacin del desplazamiento.
Matriz de Transformacin de fuerza.
T, transforma las dos fuerzas q (locales- x) a las cuatro componentes de la fuerza Q (globales-x,y).T: Matriz de Transformacin de la Fuerza y es la transpuesta de la matriz de transformacin dedesplazamiento.
Matriz de rigidez global del elemento = =
PARA PORTICOSMatriz de Rigidez de elemento de un prtico.
Matriz de Transformacin de desplazamiento
Como z y z coincide:
De manera similar:
T transforma los cuatro desplazamientos D (globales-x, y, z) en los desplazamientos d (locales x, y, z)T: matriz de transformacin del desplazamiento.
Matriz de Transformacin de Fuerzas.
Como z y z coincide:
De manera similar:
T, transforma las seis cargas del elemento q (locales- x) a las cuatro componentes de la fuerza Q(globales-x,y).T: Matriz de Transformacin de la Fuerza y es la transpuesta de la matriz de transformacin dedesplazamiento.
Matriz de Rigidez Global del Elemento-Prtico
Reemplazando:
Entonces:
Donde:
Aplicacin del mtodo de la rigidez para el anlisis de prticos.
Una vez establecido las matrices de rigidez de los elementos (k-en coordenadas globales), estaspueden ensamblarse en la Matriz de Rigidez de la Estructura (K).
Ejemplo: Determine las reaccionesI=180(10^6) [mm4]A= 6000 [mm2]E=200 [Gpa]
Solucin: 2 elementos 3 nodos
Calculamos los trminos comunes de la matriz de rigidez:
Elemento 1:
Elemento 2:
Tomando en cuenta solamente la primera ecuacin, obtenemos las deformaciones D:
Resolviendo:
Utilizando estos valores de deformaciones D obtenemos las reacciones:
Ahora las cargas internas en el Elemento 1:
De igual manera para el Elemento 2: