Post on 23-Jan-2019
transcript
327� MATEMÀTIQUES 4 ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
AD
AP
TAC
IÓ C
UR
RIC
ULA
R
Geometria analítica8INTRODUCCIÓ
Els vectors s’utilitzen en diverses branques de la física que fan servir magnituds vectorials, per això és important que els alumnes en coneguin els elements i les operacions.
En aquesta unitat s’introdueixen també les diferentsequacions de la recta i com identificar el vectordirector, el pendent i l’ordenada a l’origen.
RESUM DE LA UNITAT
• Vector: AB� = (b1 − a1, b2 − a2)
• Mòdul: ⏐AB�⏐ =
• Equacions de la recta:
Vectorial: (x, y) = (a, b) + t ⋅ (v1, v2)
Paramètriques:
Contínua:
Punt-pendent: y − b = m(x − a)
Explícita: y = mx + n
General: Ax + By + C = 0
x a
v
y b
v
−=
−
1 2
x a tvy b tv
= += +
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
1
2
( ) ( )b a b a1 12
2 22− + −
1. Identificar els elementsd’un vector.
2. Efectuar operacions amb vectors.
3. Expressar les rectesmitjançant les sevesdiferents equacions.
4. Posicions relatives de dues rectes.
• Coordenades d’un vector.
• Mòdul, direcció i sentit.
• Vectors equivalents i paral·lels.
• Suma i resta de vectors.
• Multiplicació d’un vector per un nombre.
• Suma d’un punt i un vector.
• Equacions vectorial i paramètriques d’una recta.
• Equacions contínua i punt-pendent.
• Vector director, pendent i ordenada a l’origen de la recta.
• Equacions explícita i general.
• Rectes paral·leles, coincidents i secants.
• Rectes paral·leles als eixos de coordenades.
• Càlcul del mòdul d’un vector a partir de les seves coordenades.
• Identificació de vectors equivalents i paral·lels.
• Operacions amb vectors gràficament i analíticament.
• Operacions amb punts i vectorsgràficament i analíticament.
• Expressió de les diferents equacionsd’una recta: vectorial, paramètriques,contínua, punt-pendent, explícita i general, donats dos dels seus punts.
• Obtenció del vector director, del pendent i de l’ordenada a l’origen d’una recta.
• Estudi de la posició relativa de duesrectes.
• Identificació de rectes paral·leles als eixos de coordenades.
OBJECTIUS CONTINGUTS PROCEDIMENTS
327
830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 327
Quines són les coordenades i el mòdul dels vectors següents?
Donats els punts A(3, 6), B(−3, 0), C (0, −5) i D(−2, 7), representa i calcula les coordenades i el mòdul dels vectors AB�, BC�, CD� i DA�.
2
1
Calcula les coordenades i el mòdul del vector següent:
Origen: A (2, 2)
Extrem: B (−3, −1)
Coordenades: AB�(−3 − 2, −1 − 2) = (−5, −3)
Mòdul: ⏐AB�⏐ = ( ) ( )− + − = + =5 3 25 9 342 2
328 � MATEMÀTIQUES 4 ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
OBJECTIU 1
IDENTIFICAR ELS ELEMENTS D’UN VECTOR8NOM: CURS: DATA:
EXEMPLE
A
1 X
Y
1
1 X
Y
1
1 X
Y
1
B
B AD
CE
F
G
H
I
J
• Vector: segment orientat AB� determinat per dos punts: A (a1, a2), origen del vector, i B (b1, b2), extrem del vector.
• Coordenades del vector: AB� = (b1 − a1, b2 − a2)
• Mòdul: ⏐AB�⏐ = ( ) ( )b a b a1 12
2 22− + −
830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 328
Dibuixa dos vectors equivalents i dos de paral·lels, però que no siguin equivalents, a cadascun dels vectors donats. Demostra’n numèricament l’equivalència.
Dibuixa els vectors AB� i BA�, en què A(4, −1) i B(−5, 0), i contesta les qüestions següents:
a) Són equivalents?
b) I paral·lels?
c) Tenen la mateixa direcció?
d) Com són els seus sentits?
e) Quins són l’origen i l’extrem de cadascun?
f) Calcula’n els mòduls.
4
3
Determina si aquests vectors són equivalents:
AB� = (−2 − (−4), 3 − 2) = (2, 1)
CD� = (2 − 0, 2 − 1 = (2, 1)
EF� = (−1 − 3, −3 − (−1)) = (−4, −2)
AB� i CD� tenen les mateixes coordenades; per tant, són equivalents.
Les coordenades de EF� són proporcionals a les coordenades
de AB� i CD�: .
Els vectors AB�, CD� i EF� són paral·lels.
2
4
1
2−=
−
EXEMPLE
1 X
Y
1
A
BD
C
E
F
AF
D
C
EB
• Direcció d’un vector és la recta sobre la qual està situat el vector.
• Sentit d’un vector és la manera de recórrer el segment AB, és a dir, de fixar l’origen i l’extrem.
• Vectors equivalents són els que tenen el mòdul, la direcció i el sentit iguals; per tant, les seves coordenades també són iguals.
• Vectors paral·lels són els que tenen la mateixa direcció, i les coordenades són proporcionals.
2 X
Y
2
1 X
Y
1
329� MATEMÀTIQUES 4 ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
8
AD
AP
TAC
IÓ C
UR
RIC
ULA
R
830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 329
Les coordenades dels punts A, B, C i D són:
A (−1, 3) B (0, 6) C (4, −7) D (−4, 0)
Calcula el resultat d’aquestes operacions:
a) AB� + CD� b) AB� − CD� c) CD� − AB� d) AB� − AB� e) CD� + CD� f) –AB� − CD�
Troba gràficament el vector suma u�+ v� i el vector diferència u�− v�.2
1
Donats els vectors u� i v�de la figura, calcula gràficament i per coordenades els vectors u�+ v� i u�− v�.
330 � MATEMÀTIQUES 4 ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
8NOM: CURS: DATA:
EXEMPLE
OBJECTIU 2
EFECTUAR OPERACIONS AMB VECTORS
v�
u�
v�
u�
Vector equivalent a v�
Vector equivalent a u�
Vector equivalent a u�
Vector equivalent a v�
u� − v�u� + v�
• Per sumar gràficament dos vectors u� i v�, n’agafem un, u�, i amb origen al seu extrem dibuixem un vector equivalent a v�. La suma u� + v�és un altre vector que té d’origen l’origen de u�, i l’extrem és l’extrem de v�.
• En coordenades, si les coordenades de u� són (u1, u2) i les coordenades de v�són (v1, v2), el vector suma és: u� + v�= (u1 + v1, u2 + v2)
• Per restar gràficament dos vectors u� i v�, agafem vectors que hi siguin equivalents i que tinguin el mateix origen, i la diferència és un altre vector que té com a origen l’extrem de v�, i, com a extrem, l’extrem de u�.
• En coordenades, si les coordenades de u� són (u1, u2) i les coordenades de v�són (v1, v2), el vector diferència és: u� − v�= (u1 − v1, u2 − v2)
u� = (1 − (−1), 2 − (−1)) = (2, 3)v�= (−3 − (−2), 4 − 2) = (−1, 2)u� + v�= (2 + (−1), 3 + 2) = (1, 5)u� − v�= (2 − (−1), 3 − 2) = (3, 1)
2 X
Y
X
Y
X
Y
2
1 X
Y
1
1 X
Y
1
830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 330
Resol els apartats següents:
a) Si A(3, −4) i el vector u�= (−3, 5), calcula les coordenades del punt B = A + u�, i representa el resultat gràficament.
b) Si A' (−3, 0) és el traslladat de A pel vector v�, quines són les coordenades de v�?
a) B = A + u�= (3, −4) + (−3, 5) = (3 + (−3), −4 + 5) = (0, 1)
b) A' = A + v�→ (−3, 0) = (3 + v1, −4 + v2) → v1 = −6 y v2 = 4
Donat el vector u�, d’origen A(2, −1) i extrem B(3, −2), calcula gràficament i analíticament el producte de u� pels nombres 2 i −1.
u�= AB� = (3 −2, −2 − (−1)) = (1, −1)
2u�= 2 ⋅ (1, −1) = (2, −2)
(−1)u�= (−1) ⋅ (1, −1) = (−1, 1)
EXEMPLE
(−1)u�
2u�
u�
EXEMPLE
B
A
• Per multiplicar un vector u�per un nombre real k, multipliquem el mòdul del vector pel nombre real i mantenim la direcció del vector. El sentit serà el mateix si k és positiu, i contrari si k és negatiu.
• En coordenades, si u�= (u1, u2), el producte d’un nombre real k per un vector u� el calculem multiplicantcada coordenada pel nombre k.
• La suma d’un punt A més un vector u� és un altre punt B que resulta de traslladar el punt Asegons el vector u�.
• En coordenades, si A(a1, a2) i u�= (u1, u2), la suma és el punt B(b1, b2) = (a1 + u1, a2 + u2).
Si sabem que A(−3, 3) i B(−1, 5), calcula gràficament i analíticament k ⋅ AB.
a) k = 2
b) k = −4
c) k =
d) k = 3
1
2
3
Si traslladem el punt A pel vector u�per obtenir el punt B, calcula els valors de x i y. Representa els punts traslladats.
a) A(0, −5) u�(x, y ) → B(5, 0)
b) A(−3, x) u�(4, 3) → B(y, 2)
4
1 2
A
B
X
Y
1
1 X
Y
1
2 X
Y
2
331� MATEMÀTIQUES 4 ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
8
AD
AP
TAC
IÓ C
UR
RIC
ULA
R
830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 331
332 � MATEMÀTIQUES 4 ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
OBJECTIU 3
EXPRESSAR LES RECTES MITJANÇANT LES SEVES DIFERENTS EQUACIONS8NOM: CURS: DATA:
Donats els punts A(−2, 5) i B(−1, 1) d’una recta:
a) Calcula l’equació vectorial i les equacions paramètriques.b) Estudia si el punt C(−1, 9) pertany a la recta.
Com que la recta passa pels punts A i B, podem agafar com a vector director de la recta v�= AB� = (−1 − (−2), 1 − 5) = (1, −4).
a) Les equacions que ens demanen són:
• Equació vectorial: (x, y ) = (−2, 5) + t ⋅ (1, −4)
• Equacions paramètriques:
b) En les equacions paramètriques substituïm les coordenades del punt C per x i y: .
Aïllem t en les dues equacions: . Com que en els dos casos obtenim el mateix valor,
determinem que C(−1, 9) pertany a la recta.
t
t
= − + =
= −−
=
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
1 2 19 5
41
− = − += −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
1 29 5 4
tt
x ty t
= − += −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
25 4
EXEMPLE
Donada aquesta equació vectorial d’una recta: (x, y) = (4, 8) + t ⋅ (−3, 5), indica un punt d’aquesta recta i el seu vector director.
Escriu l’equació vectorial i les equacions paramètriques de la recta que passa pels punts A(−5, 2) i B(0, 1).
Estudia si els punts A(7, 4), B(1, 2) i C (0, 0) pertanyen o no a la recta: x ty t
= +=
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3 223
2
1
• Si A(a, b) és un punt de la recta, v�= (v1, v2) és un vector de la recta i t és un nombre real, podem obtenir qualsevol punt P(x, y ) de la recta amb l’equació vectorial:
(x, y) = (a, b) + t ⋅ (v1, v2)
• El vector v�= (v1, v2) s’anomena vector director de la recta.
• Les equacions paramètriques de la recta són: x a t vy b t v
= += +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
⋅⋅
1
2
830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 332
Donada la recta expressada en forma vectorial: (x, y) = (2, 1) + t ⋅ (4, 3)
a) Troba’n les equacions en forma contínua, punt-pendent i explícita.b) Indica’n el pendent i l’ordenada a l’origen.
a) Un punt de la recta és A(2, 1), el seu vector director és v�= (4, 3), i l’equació contínua
és: . Si multipliquem en creu, tenim que 4(y − 1) = 3(x − 2), i obtenim l’equació
punt-pendent de la recta: y − 1 = (x − 2)
Per acabar, aïllem y, i operem per obtenir l’equació explícita de la recta:
y − 1 = →
b) El pendent és i l’ordenada a l’origen és .n = −1
2m =
3
4
y x= −3
4
1
2
3
4
3
2x −
3
4
x y−=
−2
4
1
3
EXEMPLE
Si A(a, b) és un punt concret de la recta, v�= (v1, v2) és el seu vector director i P(x, y) és un punt genèric,tenim les equacions de la recta següents:
• Equació contínua:
• Equació punt-pendent: y − b = m(x − a)
• Equació explícita: y = mx + n
• és el pendent de la recta i és l’ordenada a l’origen.n = bv
va− 1
2
m = v
v1
2
x av
y bv
− = −
1 2
Donada la recta del gràfic, determina’n:
a) Les coordenades de dos punts.
b) El vector director.
c) L’equació contínua.
Expressa l’equació que passa pel punt A(1, −2) i que té de vector director v�= (−1, 1) mitjançant les seves equacions:
a) Punt-pendent.
b) Explícita.
5
4
1 X
Y
1
333� MATEMÀTIQUES 4 ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
8
AD
AP
TAC
IÓ C
UR
RIC
ULA
R
830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 333
334 � MATEMÀTIQUES 4 ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
8NOM: CURS: DATA:
Resol els apartats següents:
a) Troba l’equació general de la recta que passa pels punts P(1, −2) i Q(0, 3).b) Indica’n el pendent i l’ordenada a l’origen.
a) Calculem el vector director: PQ� = (0 − 1, 3 − (−2)) = (−1, 5) = (B, −A)
Per tant, −5x − y + C = 0
Per trobar el valor de C substituïm un dels punts donats, per exemple, Q(0, 3), i aïllem C: −5 ⋅ 0 − 3 + C = 0 → C = −3
L’equació general o implícita de la recta és: −5x − y − 3 = 0
b) El pendent és i l’ordenada a l’origen és .n =−
= −3
13m =
−= −
5
15
EXEMPLE
Calcula l’equació general de la recta que passa pels punts A(2, 2) i B(−2, 3).
A partir de l’equació 2x − 3y + 2 = 0 d’una recta, troba’n el vector director, el pendent i l’ordenada a l’origen.
Quina és l’equació general o implícita de la recta que té com a equació explícita y = 3x + 4?
Donada l’equació −2x + y − 8 = 0 d’una recta, escriu-ne l’equació punt-pendent.9
8
7
6
L’equació general o implícita de la recta és de la forma:
Ax + By + C = 0
en què A, B i C són nombres reals.
El vector director de la recta és v�= (B, −A).
El pendent de la recta és .
L’ordenada a l’origen o punt de tall amb l’eix Y és .nC
B=
−
mA
B=
−
830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 334
OBJECTIU 4
POSICIONS RELATIVES DE DUES RECTES
Estudia la posició relativa dels parells de rectes següents:
a) r : b) r : y = 5x − 2
s: x − 3y − 12 = 0 s: (x, y) = (2, −1) + t (−2, 1)
a) El vector director de r és (3, 1) i el vector director de s és (−3, −1). Els vectors directors
són proporcionals: .
Per comprovar si les rectes són paral·leles o coincidents, agafem el punt (−2, 0) de r i el substituïm a s per veure si es compleix o no la seva equació: −2 − 3 ⋅ 0 − 12 � 0, i deduïm que no pertany a s. Les rectes r i s són paral·leles.
b) El pendent de r és m = 5 i el vector director de s és v�= (−2, 1), per tant, el pendent
de s és . Les rectes r i s són secants.m' =−
= −1
2
1
25�
1
3
1
3=
−−
x y+ =23 1
EXEMPLE
POSICIONS VECTORS DIRECTORS PENDENTS EQUACIÓ GENERAL
Paral·leles (igual direcció i sense punts comuns)
ProporcionalsIguals
m = m'
Coincidents (igual direcció i tots els punts comuns)
ProporcionalsIguals
m = m'
Secants (diferent direcció i un punt en comú)
No proporcionalsDiferents
m � m'
A
A
B
B
C
C' ' '= �
A
A
B
B
C
C' ' '= =
A
A
B
B' '�
Escriu l’equació d’una recta paral·lela a la recta r : y = −x + 5 que passi pel punt (0, 0) de totes les formes indicades:
a) Vectorial. b) Punt-pendent. c) General.
Escriu l’equació d’una recta secant a la recta r : y = −x + 5 que passi pel punt (0, 0) de totes les formes indicades:
a) Vectorial. b) Punt-pendent. c) General.
2
1
=u2�
u1�v2�
v1�
=u2�
u1�v2�
v1�
�u2�
u1�v2�
v1�
NOM: CURS: DATA:
335� MATEMÀTIQUES 4 ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
8
AD
AP
TAC
IÓ C
UR
RIC
ULA
R
830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 335
336 � MATEMÀTIQUES 4 ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
8
Expressa la recta que passa pels punts A(0, 3) i B(4, 3) mitjançant les seves equacions:
a) Vectorial. b) General.
a) El seu vector director és AB� = (4 − 0, 3 − 3) = (4, 0), i passa per qualsevol dels punts donats, per exemple, per A. L’equació vectorial és: (x, y ) = (0, 3) + t ⋅ (4, 0)
b) Com que els dos punts donats tenen com a segona coordenada 3, l’equació general és: y = 3.
EXEMPLE
Estudia la posició relativa dels parells de rectes següents:
a) r : b) r : y = 2x − 1 c) r : −3x − 3y + 3 = 0
s: x + 2y − 1 = 0 s: y − 3 = −(x + 2) s: x + y + 2 = 0
x y+=
−−
1
4
1
2
3
Escriu l’equació general i les paramètriques de les rectes següents:
Expressa les rectes següents mitjançant les equacions vectorial i explícita:
a) Paral·lela a l’eix Y, i que passa pel punt .
b) Paral·lela a l’eix X, i que passa pel punt B(0, 7).
A −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
3
20,
5
4
Donada la recta que passa per un punt A(a, b), que té com a vector director v�= (v1, v2), si una de les sevesdues coordenades és zero, la recta és paral·lela a un dels eixos de coordenades.
• Si v1 � 0 i v2 = 0, l’equació de la recta és y = b. És una recta paral·lela a l’eix X.
• Si v1 = 0 i v2 � 0, l’equació de la recta és x = a. És una recta paral·lela a l’eix Y.
Les rectes paral·leles als eixos no es poden expressar mitjançant una equació en forma contínua, ja que una de les coordenades del seu vector director és zero.
s
r
t X
Y
830970 _ 0319-0360.qxd 26/11/08 15:35 Página 336