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8/10/2019 ADE UNED Matemáticas I, Cap I
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Capítulo I
SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
Extraído de “Temas de Álgebra Lineal para Administración y Dirección de
Empresas”, de Alberto A. Álvarez y Emilio Prieto, editorial UNED. Prohibido
reproducir sin permiso.
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PRESENTACIÓN DEL CAPÍTULO 15
PRESENTACIÓN DEL CAPÍTULO
Muchos modelos del mundo de la Economía y la Empresa (entendiendo por
tales descripciones simplificadas de ciertos aspectos de la realidad econó-
mica o empresarial) son lineales . Básicamente, esto significa que las magni-
tudes estudiadas por el modelo están relacionadas entre sí por ecuaciones
lineales .
Las ecuaciones lineales son las más sencillas de todas. Sin duda, el lec-
tor las ha manejado en su etapa escolar. Estamos hablando de ecuaciones
como 2x + 3 = 5 (con una sola incógnita) o 3x + 2y = 1 (con dos incóg-
nitas). Este es nuestro punto de partida: las ecuaciones lineales —con unao más incógnitas—, o más precisamente: los sistemas de ecuaciones linea-
les , que no son más que listas de varias ecuaciones lineales consideradas
simultáneamente.
La primera sección de este capítulo recuerda al lector los métodos que
nos enseñaron en nuestra Educación Secundaria (o equivalente) para re-
solver sistemas de dos ecuaciones lineales y dos incógnitas; nos referimos a
los métodos de reducción, sustitución e igualación. Estos métodos, en parti-
cular el de reducción, se tratan de generalizar a sistemas de más ecuaciones
y más incógnitas, y ello da lugar a los métodos de eliminación (el de Gauss
y el de Gauss–Jordan). En este punto, surge de forma “natural” el concepto
de matriz como una forma de ganar operatividad y comodidad a la hora dedesarrollar tales métodos. Termina la sección con un “guiño” a sistemas de
infinitas soluciones y a sistemas sin solución, todo dentro del contexto de
los métodos de eliminación. Esta primera sección es introductoria: tan solo
pretende motivar y presentar al lector distintos elementos de los sistemas
de ecuaciones lineales.
La segunda sección, sin dar por sabido nada de la primera, detalla los
conceptos vistos en esta última: ecuación lineal, sistemas de ecuaciones li-
neales, solución, sistemas equivalentes, etc. En particular, incluye todo lo
necesario sobre matrices para poder ofrecer después un método práctico
sencillo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales: básicamente,
transformaciones elementales, matriz escalonada y matriz escalonada re-ducida.
Finalmente, la tercera sección propiamente detalla un método práctico
para discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales (dado un sistema,
se distingue entre discutirlo —averiguar si admite solución o no, y en caso
afirmativo cuántas— y resolverlo —calcular efectivamente las soluciones
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16 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
cuando existen—). El método es esencialmente el de eliminación de Gauss–
Jordan) (introducido en la primera sección), llevado a cabo con ayuda de
las matrices que se definen a partir de un sistema. La sección incluye un
apartado dedicado a los sistemas homogéneos, y termina con ejemplos de
discusión y resolución de sistemas en los que figuran parámetros (es decir,
variables —diferentes de las incógnitas— que pueden tomar distintos valo-
res, según los cuales el sistema puede ser de una clase u otra, o puede tener
una solución u otra).
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I.1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 17
I.1 INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DEECUACIONES LINEALES
1. Repaso de los métodos escolaresA modo de punto de partida, en este apartado recordamos los métodos
escolares para resolver sistemas de dos ecuaciones y dos incógnitas: susti-
tución, reducción e igualación.
1 El lector habrá visto, en Educación Secundaria o en un nivel educa-
tivo similar, sistemas de ecuaciones lineales sencillos. Por ejemplo:Un sistema de ecuaciones
lineales. Repaso de
nomenclatura4x − 2y = 8
3x + y = 1.(1)
Y el lector recordará algunos detalles de nomenclatura relacionados con
los sistemas. Las letras x y y designan las incógnitas del sistema. Los
números que acompañan a las incógnitas (4 y −2 en la primera ecuación,
y 3 y 1 en la segunda) son los coeficientes del sistema. Los números que,
en los segundos miembros, figuran sin acompañar a las incógnitas (8 en la
primera ecuación y 1 en la segunda) son los términos independientes.
El sistema de ecuaciones lineales (1) es un sistema de dos ecuaciones
y dos incógnitas. Nótese que las incógnitas aparecen escritas en el mismoorden en ambas ecuaciones.
2 ¿Qué buscamos a partir de un sistema de ecuaciones lineales como
el (1)? Buscamos números que, escritos en lugar de las incógnitas x y y ,
nos proporcionen igualdades, una por cada ecuación.
¿Qué ocurre si, por ejemplo, sustituimos x por 2 y y por 0? Que obte-
nemos lo siguiente: 4 · 2 − 2 · 0 = 8
3 · 2 + 0 = 6 ≠ 1.
Es decir, una igualdad a partir de la primera ecuación, pero no a partir de
la segunda. Como no hemos obtenido una igualdad a partir de todas ycada una de las ecuaciones, los números 2 y 0, como sustitutos de x y y ,
respectivamente, no nos sirven.
Otro ejemplo: ¿y si sustituimos x y y por 3 y 1, respectivamente? Esta
vez no llegamos a ninguna igualdad: 4 · 3 − 2 · 1 = 10 ≠ 8 y 3 · 3 + 1 = 7 ≠ 1.
Con mayor razón que antes, si cabe, tampoco nos valen estos números.
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18 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
El lector nos permitirá, por el momento, que digamos que los números buscados son x = 1 y y = −2. En efecto, si en el sistema de ecuaciones
lineales (1) sustituimos x y y por 1 y −2, respectivamente, obtenemos:4 · 1 − 2 · (−2) = 8
3 · 1 + (−2) = 1,
que ahora sí son igualdades, una a partir de cada ecuación.
Se dice que los números x = 1 y y = −2 son una solución del sistema deSolución del sistema de
ecuaciones lineales ecuaciones lineales (1). Cuando las incógnitas están dadas en un orden fijo
(aquí están escritas en el orden x , y en ambas ecuaciones), es más cómodo
y compacto llamar solución al par ordenado (1,−
2). El primer elemento
del par ordenado (lo que se llama la primera componente del par) nos da
el número que debemos escribir en el lugar de la primera incógnita (que
es la incógnita x en este caso); el segundo elemento del par (su segunda
componente) nos da el número que debemos escribir en vez de la segunda
incógnita (la incógnita y ).
De acuerdo con los ejemplos vistos, podemos afirmar que los pares or-
denados (2, 0) y (3, 1) no son una solución del sistema de ecuaciones linea-
les (1).
Acontece, de hecho, que el par ordenado (1, −2) es la única solución
del sistema de ecuaciones lineales (1). Veremos inmediatamente un método
sistemático para obtenerla.
3 Hemos afirmado que el par (1, −2) es la solución del sistema de
ecuaciones lineales (1). Pero ¿cómo podemos obtenerla efectivamente? Lo
preguntamos de otra forma: ¿cómo podemos resolver el sistema?
En nuestra época colegial (o quizá del instituto) nos enseñaron tres méto-
dos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: sustitución, igualación y
reducción. Recordemos primero el de sustitución.Método de sustitución
La idea es esta: se despeja en una ecuación una de las incógnitas, y se
sustituye lo obtenido en la otra ecuación, lo que nos lleva a una ecuación con
solo una incógnita. Con el sistema de ecuaciones lineales (1), esto se con-
creta así. En la primera ecuación, por ejemplo, despejamos la incógnita y :
de 4x − 2y = 8 obtenemos: y = 2x − 4.¿Ayuda? Se tiene: 4x −8 = 2y ,
de donde:
y = 4x − 8
2 = 4
2x − 8
2
= 2x − 4.
Sustituimos lo obtenido en la segunda ecuación; es decir, en esta ecuación
escribimos 2x − 4 en lugar de y :
de 3x + y = 1 obtenemos: 3x + (2x − 4) = 1.
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I.1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 19
De la última ecuación obtenida resulta: 5x − 4 = 1, o bien: 5x = 5, dedonde: x = 5/5 = 1. Y ahora que ya sabemos que x es igual a 1, lo sustitui-
mos en la expresión despejada de y :
y = 2x − 4 = 2 · 1 − 4 = −2.
Hemos obtenido la solución que adelantamos en el parágrafo anterior: x = 1
y y = −2; esto es, hemos obtenido como solución el par ordenado (1, −2).
4 Resolvamos ahora el sistema de ecuaciones lineales (1) con el méto-
do de reducción (también llamado de eliminación). La idea es “operar” conMétodo de reducción (o
eliminación) las ecuaciones del sistema de forma que se obtenga como resultado una
ecuación en la que alguna de las incógnitas haya “desaparecido” —con lo
que se “reduce” el número de incógnitas—. Por operar con las ecuaciones se
entiende multiplicarlas por algún número y sumarlas o restarlas miembro
a miembro; por desaparecer o eliminar una incógnita en una ecuación se
entiende propiamente que su coeficiente correspondiente se hace nulo.
En el sistema de ecuaciones lineales (1), podemos eliminar, por ejemplo,
la primera incógnita multiplicando la primera ecuación por −3/4 y sumando
la ecuación obtenida a la segunda ecuación del sistema. Tras la multipli-
cación por −3/4, la primera ecuación se transforma en:
−3
4 · (4x − 2y) = −3
4 · 8, o bien − 3x +3
2 y = −6
(nótese que se multiplican por el número ambos miembros de la ecuación).
Ahora sumamos, miembro a miembro, la ecuación obtenida y la segunda del
sistema:
+−3x + 3
2y = −6
3x + y = 1
52
y = −5.
En esta última ecuación ya no figura la primera incógnita (su coeficiente esHemos hablado de tres mé-
todos escolares: sustitución,igualación y reducción. Pero,
¿no desarrollamos el de igua-
lación? Sí: cf. ejercicio 2.
nulo). Su solución es: y = −
2. Finalmente, sustituimos este valor de y
en cualquiera de las dos ecuaciones originales para obtener el valor de la
primera incógnita; por ejemplo, en la primera: 4x − 2(−2) = 8, lo que nos
lleva a: 4x + 4 = 8, de donde x = 1. Obtenemos, por supuesto, la solución
que ya conocemos: (1, −2).
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20 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2. Métodos de eliminación de Gauss y de Gauss– Jordan
En este apartado mostramos cómo se pueden generalizar a sistemas de tres
ecuaciones y tres incógnitas los métodos de sustitución y reducción repasa-
dos en el apartado anterior. También se introduce el concepto de sistemas
equivalentes.
5 Nuestro interés es resolver sistemas de ecuaciones lineales más
generales, de cualquier número de incógnitas y de cualquier número de
ecuaciones. ¿Habrá alguna forma de generalizar los métodos vistos en el
apartado anterior, que nos han ayudado con un sistema de dos ecuaciones
y dos incógnitas?Veamos. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales, de
tres ecuaciones y tres incógnitas:x + y + z = 0
2x + y − z = 3
−x + 2y + z = −2.
(2)
Resolvámoslo por el método de sustitución. La idea básica sigue siendo laMétodo de sustitución
para un sistema con tres
ecuaciones y tres incógnitasmisma: despejamos una de las incógnitas en una de las tres ecuaciones y
sustituimos lo obtenido en las otras dos.
En la tercera ecuación, por ejemplo, podemos despejar la incógnita x :
de −x + 2y + z = −2 obtenemos: x = 2y + z + 2,
y sustituir esta igualdad en las otras dos ecuaciones: (2y + z + 2) + y + z = 0
2(2y + z + 2) + y − z = 3,o bien
3y + 2z = −2
5y + z = −1.
Hemos llegado así a un sistema de ecuaciones lineales con una ecuación
y una incógnita menos (ahora las incógnitas son y y z), que podemos re-
solver directamente por sustitución como hicimos con el sistema de dos
ecuaciones y dos incógnitas del § 3 (cf. p. 18). Verbigracia, despejamos en
la primera ecuación la incógnita y :
de 3y + 2z = −2 obtenemos: y = − 23
z − 23
,
y sustituimos el resultado en la segunda:
5− 2
3z − 2
3
+ z = −1 o bien − 7
3z = − 7
3,
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de donde: z = −1. Ahora recordamos la igualdad en la que hemos despe- jado y :
y = − 2
3z − 2
3 = − 2
3(−1) − 2
3 = 0,
y finalmente recordamos la igualdad en la que, al principio, hemos despe-
jado x :
x = 2y + z + 2 = 2 · 0 + (−1) + 2 = 1.
La solución que obtenemos para el sistema de ecuaciones lineales (2) es,
pues, esta: (1, 0, −1). Nótese que la escribimos en formato de terna de
números, que es lo análogo, para tres números, del par ordenado. Una terna
tiene tres componentes : primera, segunda y tercera; en la terna (1, 0,−
1) de
este ejemplo se corresponden, respectivamente, con los valores en la solu-
ción de las incógnitas x , y y z .
El método de sustitución es sencillo, pero puede resultar pesado en
cuanto aumenta el número de ecuaciones e incógnitas (salvo que el sistema
esté escrito de alguna forma adecuada). Será más facil desarrollar una teoría
general de los sistemas de ecuaciones lineales a partir de otros métodos,
como el de reducción.
6 Tratemos de resolver el sistema de ecuaciones lineales (2) por re-Método de reducción
para un sistema con tres
ecuaciones y tres incógnitasducción. La idea que subyace es la misma que vimos en el § 4 (cf. p. 19):
operar entre las ecuaciones con el fin de eliminar incógnitas. Pero debe-
mos llevar un orden, con la intención de asegurarnos que obtenemos al-guna ecuación con solo una incógnita; esta incógnita será fácil de despejar,
y permitirá a su vez despejar las dos restantes.
Lo que se hace es lo siguiente:
• en primer lugar, y operando con la primera ecuación, se sustituyen las
ecuaciones segunda y tercera por otras en las que no figure la incóg-
nita x ;
• en segundo lugar, y operando con la nueva segunda ecuación, se susti-
tuye la nueva tercera ecuación por otra en la que tampoco figure la
incógnita y ;
• finalmente, la última ecuación obtenida permite despejar inmediata-
mente la incógnita z , y una sencilla sustitución lleva a obtener el valorde las restantes incógnitas, primero y , y finalmente x .
Veámoslo. ¿Qué significa la frase “operando con la primera ecuación, se
sustituye la segunda ecuación por otra en la que no figure la incógnita x ”?
Significa sumar a la segunda ecuación algún múltiplo de la primera de forma
que el resultado sea una ecuación sin incógnita x; esta ecuación obtenida
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22 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
será la nueva segunda ecuación. Para saber cómo hacer esta operación,debemos fijarnos en los coeficientes de la incógnita x en ambas ecuaciones:
en la primera, tal coeficiente es igual a 1; en la segunda, igual a 2. Si multi-
plicamos la primera ecuación por −2 y sumamos el resultado a la segunda
ecuación, eliminaremos la incógnita x . El cálculo es este:La ecuación x + y +z = 0 mul-
tiplicada por −2 es:
−2x − 2y − 2z = 0. +−2x − 2y − 2z = 0
2x + y − z = 3
−y − 3z = 3.
La ecuación obtenida: −y − 3z = 3, efectivamente no presenta incógnita x .
Llevamos ahora a cabo una operación análoga con la tercera ecuación:operando con la primera, tratamos de sustituirla por otra en la que no figure
la incógnita x . Simplemente sumando ambas ecuaciones lo conseguimos:
+x + y + z = 0
−x + 2y + z = −2
3y + 2z = −2.
Hemos obtenido dos ecuaciones nuevas: −y + 3z = 3 y 3y + 2z = −2.
¿Cuál es el siguiente paso? Según lo dicho al principio, operando con la
primera de estas nuevas ecuaciones, debemos sustituir la segunda por otra
en la que no figure la incógnita y . ¿Se atreve el lector a calcularlo solo?Nosotros lo haremos, por supuesto, pero no inmediatamente. Antes de
proceder, debemos parar un momento a analizar con detalle los cálculos
que hemos efectuado. Pasamos al parágrafo siguiente.
7 De acuerdo con los cálculos llevados a cabo en el parágrafo ante-
rior, podemos decir que hemos obtenido, a partir del sistema de ecuaciones
lineales (2), este otro sistema:
x + y + z = 0
−y − 3z = 3
3y +
2z= −
2.
(3)
La primera ecuación es la misma en ambos sistemas, y las dos restantes
del segundo se han obtenido a partir de las ecuaciones del primero con la
ayuda de una operación especial entre ecuaciones: sumar a una ecuación
un múltiplo de otra. Como estas manipulaciones transforman igualdades
en igualdades, toda combinación de valores de x, y , z que satisfaga las
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ecuaciones del sistema (2) también satisface las ecuaciones del sistema (3).Es decir: toda solución del sistema (2) también es solución del sistema (3).
Por otra parte, la operación de sumar a una ecuación un múltiplo de
otra es reversible: podemos recuperar las ecuaciones del sistema (2) a partir
de las del sistema (3). Por ejemplo, la segunda ecuación del sistema (2) se
puede obtener sumando a la segunda ecuación del sistema (3) su primera
multiplicada por 2. De esta forma, también acontece que toda solución del¿Puede comprobarlo el lector?
sistema (3) es a su vez solución del sistema (2). En consecuencia, ambos
sistemas tienen las mismas soluciones.
Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si todaSistemas equivalentes
solución de uno también es solución del otro. Los sistemas de ecuaciones
lineales (2) y (3) son, pues, equivalentes.1
Además de la operación de sumar a una ecuación un múltiplo de otra,
también haremos uso más adelante de otros dos tipos de operaciones re-
versibles entre ecuaciones: multiplicar una ecuación por un número no nulo
(ambos miembros de la ecuación se multiplican por el número) e intercam-
biar dos ecuaciones. Si un sistema se puede obtener de otro mediante la
aplicación de alguna o algunas de estas operaciones entre ecuaciones, am-
bos sistemas resultan entonces equivalentes.
Nótese que, al considerar el sistema de ecuaciones (3) en vez del sis-
tema (2), estamos considerando un sistema de ecuaciones equivalente —con
las mismas soluciones, por tanto— pero más simple (en tanto en todas susecuaciones, salvo en la primera, no figura la incógnita x ). La idea básica del
método de reducción puede entonces ser formulada así: sustituir el sistema
original por otro equivalente que sea más simple y fácil de resolver.
8 Continuemos con la resolución por reducción del sistema de ecua-Método de reducción
para un sistema con tres
ecuaciones y tres incógnitas
(continuación)
ciones lineales (2). Hemos eliminado la incógnita x en sus dos últimas
ecuaciones, y hemos obtenido con ello el sistema equivalente (3). Bus-
camos ahora (recordemos lo apuntado al principio del § 6) eliminar la incóg-
nita y en la última ecuación del sistema (3), y para conseguirlo sumamos
a esta ecuación algún múltiplo de la segunda. Es decir, sumamos a la
ecuación 3y + 2z = −2 algún múltiplo de la ecuación −y − 3z = 3 de forma
que desaparezca la incógnita y . El múltiplo adecuado se obtiene multipli-
1Nótese que la equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales es transitiva : si un sistema
es equivalente a otro, y este último es a su vez equivalente a un tercero, el primero y el
tercero también son equivalentes.
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24 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
cando por 3. Los cálculos son estos:La ecuación −y − 3z = 3 mul-
tiplicada por 3 es:
−3y − 9z = 9.+
−3y − 9z = 9
3y + 2z = −2
−7z = 7.
Finalmente, si sustituimos en el sistema de ecuaciones (3) su tercera
ecuación por la que acabamos de obtener, tenemos un sistema nuevo:
x + y + z = 0
−y − 3z = 3
−7z = 7,
(4)
el cual resulta entonces equivalente al sistema (3) y por ende al (2). El sis-
tema de ecuaciones (4) está escrito de una forma que facilita su resolu-
ción: cada ecuación tiene menos incógnitas que su precedente. De la tercera
ecuación obtenemos: z = −1, que sustituido en la segunda nos lleva a:
−y − 3 · (−1) = 3, de donde: y = 0;
y al escribir en la primera ecuación estos valores obtenidos de y y z resulta:
x + 0 + (−1) = 0, de donde: x = 1.
El sistema de ecuaciones (4) tiene por solución, pues, la terna (1, 0, −1). En
virtud de ser equivalentes, esta es también la solución de los sistemas (3)
y (2). Por supuesto, vemos confirmado el resultado que obtuvimos al re-solver el sistema (2) por sustitución (cf. § 5, p. 20).
9 En el proceso de resolución por reducción del sistema de ecua-Método de reducción: cuando
se reduce todavía más.. . ciones (2), hemos llegado al sistema (4), equivalente al original y fácil de
resolver. Pero podríamos haber seguido con el proceso de simplificación
hasta otro sistema todavía más sencillo. Lo que podemos hacer a partir del
sistema (4) es lo siguiente: en primer lugar, buscamos que el primer coefi-
ciente no nulo de cada ecuación sea igual a 1; en segundo lugar, eliminamos
todos los restantes coeficientes de cada ecuación.
Lo primero lo conseguimos multiplicando cada ecuación por un número
(no nulo) adecuado: con la primera ecuación no hay que hacer nada; con lasegunda, multiplicamos por −1; con la tercera, multiplicamos por −1/7. El
resultado es este sistema: x + y + z = 0
y + 3z = −3
z = −1,
(5)
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I.1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 25
que efectivamente tiene igual a 1 el primer coeficiente no nulo de cadaecuación.
Para el segundo paso, en el sistema (5) eliminamos la incógnita z de
las dos primeras ecuaciones con la ayuda de la tercera, y eliminamos des-
pués la incógnita y de la primera ecuación con la ayuda de la segunda.
Lo conseguimos haciendo uso de la ya conocida operación de sumar a una
ecuación un múltiplo adecuado de otra. Por ejemplo, sumando a la segunda
ecuación la tercera multiplicada previamente por −3, obtenemos:
+y + 3z = −3
−3z = 3
y = 0,
lo que nos da una nueva segunda ecuación sin la incógnita z. De forma
similar, sumando a la primera ecuación la tercera multiplicada por −1 eli-
minamos la incógnita z también en la primera ecuación: x + y = 1. Y,
finalmente, una última operación entre las nuevas ecuaciones primera y se-
gunda (es decir, entre x + y = 1 y y = 0) nos elimina la incógnita y de la¡Vea el lector cómo!
primera. Llegamos así al siguiente sistema de ecuaciones:
x = 1
y
= 0
z = −1.
(6)
Para obtener el sistema (6), además de la operación de sumar a una
ecuación un múltiplo de otra, hemos hecho uso de otra operación con ecua-
ciones: multiplicar una ecuación por un número no nulo. Ya sabemos
(cf. § 7 , p. 22) que estas operaciones entre ecuaciones nos transforman un
sistema de ecuaciones en otro equivalente. El sistema de ecuaciones (6) es,
pues, equivalente al (4), y por ende al sistema original, el (2). Y la solución
del sistema (6) salta a la vista: por supuesto, es la terna (1, 0, −1).
10 En un sistema de ecuaciones, además de sumar a una ecuación un
múltiplo de otra, o de multiplicar una ecuación por un número no nulo, hayotro tipo de operación entre ecuaciones que permite obtener sistemas de
ecuaciones equivalentes. La hemos citado —en el § 7 (cf. p. 22)—, pero no
la hemos utilizado todavía. Se trata del intercambio de ecuaciones. Veamos
un ejemplo.
Resolvamos por reducción o eliminación el siguiente sistema de tres
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I.1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 27
en la segunda nos lleva a: x2 − (−1/2) = 2, de donde: x2 = 3/2; sustituidotodo a su vez en la primera ecuación nos permite escribir:
x1 + 32
− 12
= 2,
de lo que x1 = 1. La solución del sistema de ecuaciones (8) es entonces la
terna (1, 3/2, −1/2). Y esta es también la solución del sistema original, el (7),
pues las operaciones que nos han permitido obtener un sistema a partir del
otro, incluida la del intercambio de ecuaciones, transforman un sistema de
ecuaciones en otro equivalente.
11 ¿Continuamos con la reducción del sistema (8), de manera análogaContinuación del ejemplo del
parágrafo anterior. . . a como procedimos en el § 9 (cf. p. 24)?
En un primer paso, debemos conseguir que el primer coeficiente no nulo
de cada ecuación sea igual a 1; para ello solo tenemos que multiplicar la
última ecuación por −1/4:x1 + x2 + x3 = 2
x2 − x3 = 2
x3 = −1/2.
A continuación, eliminamos la incógnita x3 de las ecuaciones segunda y
primera, en ambos casos con la ayuda de la tercera ecuación. Lo primero
lo coseguimos sumando directamente a la segunda ecuación la tercera; losegundo lo logramos sumando a la primera ecuación la tercera multiplicada
por −1. El resultado es: x1 + x2 = 5/2
x2 = 3/2
x3 = −1/2.
Finalmente, eliminamos la incógnita x2 de la primera ecuación con ayuda
de la segunda; restamos esta a aquella:
x1 = 1
x2 = 3/2x3 = −1/2.
(9)
Vemos confirmada la solución ya conocida: (1, 3/2, −1/2).
12 El método de reducción que hemos desarrollado para el sistema deAlgo de nomenclatura:
ecuaciones lineales (2) en los § 6, 7 y 8, o para el sistema de ecuaciones
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28 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
lineales (7) en el § 10, se suele denominar método de eliminación de GAUSS.• Método de eliminaciónde GAUSS Requiere, como hemos visto, transformar el sistema de ecuaciones que nos
dan en otro equivalente con la característica de que cada ecuación tiene
menos incógnitas que su precedente; luego, este nuevo sistema se resuelve
por sustitución hacia atrás : primero se calcula el valor de la última incógnita
a partir de la última ecuación, después el de la penúltima incógnita con la
penúltima ecuación, y así sucesivamente (recordemos que se calculaban en
el orden z , y y x , o bien en el orden x3, x2 y x1).
Por otra parte, el método de reducción que “iba más allá”, que lleva el sis-
tema de ecuaciones (2) al (6) o el sistema de ecuaciones (7) al (9) (cf. § 9 y 11,
respectivamente) es habitualmente conocido como método de eliminación
de GAUSS–JORDAN. Empieza como el método de Gauss: llevando el sistema• Método de eliminación
de GAUSS–JORDAN de ecuaciones dado a uno en el que cada ecuación tiene menos incógni-
tas que su precedente; pero, en vez de resolver este sistema, se continúa
manipulando: se busca que el primer coeficiente no nulo de cada ecuación
sea igual a 1, y también que sean nulos todos los coeficientes restantes. El
sistema así obtenido está tan simplificado que su solución salta a la vista.
3. Introducción a las matricesEn este apartado, presentamos las matrices, las cuales nos permitirán es-
cribir de forma cómoda y sintética los sistemas de ecuaciones lineales y
nos facilitarán el desarrollo de su resolución. Nos limitamos a los concep-
tos sobre ellas de que haremos uso para sistemas (básicamente, matriz es-
calonada, matriz escalonada reducida y transformación elemental). En el
Capítulo II, estudiaremos las matrices de nuevo con mayor profundidad y
detalle.
13 Como hemos visto, los métodos de eliminación con los que esta-
mos trabajando requieren llevar a cabo tres tipos de operaciones entre las
ecuaciones de un sistema —intercambiar dos ecuaciones, multiplicar una
ecuación por un número no nulo, o sumar a una ecuación un múltiplo de
otra—, pero estas operaciones entre ecuaciones suponen en definitiva ope-
raciones entre los coeficientes y los términos independientes del sistema.Cuando transformamos un sistema de ecuaciones en otro equivalente (en
virtud de alguna de estas operaciones entre ecuaciones), ¿no sería entonces
más cómodo escribir, de alguna forma, solamente los coeficientes y los tér-
minos independientes, evitando escribir las incógnitas mismas e incluso los
signos de igualdad? Sí. Veamos cómo.
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I.1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 29
Podemos ganar operatividad y comodidad si simplificamos la represen-tación de un sistema escribiendo sus coeficientes y términos independientes
en una suerte de tablas rectangulares. Por ejemplo, para el sistema de ecua-
ciones lineales (2), podemos escribir sus coeficientes tabulados, así:Recordemos el sistema (2):
x + y + z = 0
2x + y − z = 3
−x + 2y + z = −2.
1 1 12 1 −1
−1 2 1
. (10)
(Esta tabla es lo más parecido a lo que queda si, en el sistema (2), nos
quedamos solo con los coeficientes, “borrando” las incógnitas, los signos
de igualdad y los términos independientes —y añadimos unos confortables
paréntesis—.)Una tabla como la escrita en (10) es un ejemplo de un objeto matemático
denominado matriz. Los números que se escriben en una matriz se denomi-Matriz
nan términos de la matriz. Podemos notar, por ejemplo, que los términos de
la primera fila de la matriz (la de arriba), leídos de izquierda a derecha, son
precisamente los coeficientes que acompañan a las incógnitas x , y y z en la
primera ecuación del sistema: 1, 1 y 1, respectivamente. Asimismo, los tér-
minos de la primera columna (la de la izquierda), leídos de arriba abajo, son
los coeficientes que acompañan a la primera incógnita en las ecuaciones pri-
mera, segunda y tercera: 1, 2 y −1, respectivamente. Cada fila de la matriz
se corresponde con una ecuación, y cada columna con una incógnita.
14 La matriz que hemos escrito en (10) es la llamada matriz de coefi-
cientes (o matriz asociada) del sistema de ecuaciones lineales (2). Pero laMatriz de coeficientes (o
matriz asociada) matriz de coeficientes no incluye los términos independientes del sistema
de ecuaciones. Estos se incorporan en la llamada matriz ampliada del sis-Matriz ampliada
tema, resultante de adjuntar a la matriz de coeficientes una columna más
(a la derecha) con los términos independientes. La matriz ampliada del sis-
tema de ecuaciones lineales (2) es: 1 1 1 02 1 −1 3
−1 2 1 −2
.
Podría pensarse que no vale la pena tener registro de la matriz de coe-ficientes de un sistema y que sería suficiente considerar exclusivamente la
matriz ampliada, dado que esta contiene toda la información que sobre el
sistema proporciona aquella. Sin embargo, como veremos, la matriz de coe-
ficientes por sí misma juega un papel muy importante en el estudio de los
sistemas de ecuaciones lineales.
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30 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
15 Las matrices se denotan habitualmente con letras mayúsculas. Lamatriz de coeficientes de un sistema se suele designar con la letra A (si no
está empleada en otra cosa), y la ampliada se puede denotar con la mismaNotación para la matriz de
coeficientes y para la matriz
ampliadaletra que la de coeficientes pero coronada por un acento circunflejo: A.
Asimismo, resulta útil escribir en la matriz ampliada de un sistema una
raya vertical que separe la columna de los términos independientes de las
demás, con el fin de enfatizarla. Por ejemplo, para el sistema de ecuaciones
lineales (2) podemos escribir:
A =
1 1 12 1 −1
−1 2 1
y
A =
1 1 12 1 −1
−1 2 1
03
−2
.
Otro ejemplo. Para el sistema de ecuaciones (7), su matriz de coeficientes
y su matriz ampliada son, respectivamente, estas:Recordemos el sistema (7):
x2 − x3 = 2
x1 + x2 + x3 = 2
x1 − x2 − x3 = 0.
D =
0 1 −11 1 11 −1 −1
y D =
0 1 −11 1 11 −1 −1
220
.
Nótese que hemos elegido la letra D para denotar la matriz de coeficientes,
lo que hace que designemos la ampliada por D.
16 Acabamos de ver cómo representar un sistema de ecuaciones linea-
les con la ayuda de las matrices. En particular, la matriz ampliada de un sis-
tema recoge tanto sus coeficientes como los términos independientes. Pero,
¿qué transformación se ejecuta en la matriz ampliada de un sistema cuando
en este efectuamos una operación entre ecuaciones de las que hemos visto?
Empecemos viendo el efecto de un intercambio de ecuaciones. En el § 10
(cf. p. 25) trabajamos con el sistema de ecuaciones lineales (7), y lo primero
que hacíamos con él era intercambiar sus ecuaciones primera y segunda.
El sistema (7) y su transformado con esta permutación de ecuaciones son,
respectivamente, estos dos:
x2 − x3 = 2
x1
+x2
+x3
=2
x1 − x2 − x3 = 0
y
x1 + x2 + x3 = 2
x2
−x3
=2
x1 − x2 − x3 = 0.
Y sus matrices ampliadas correspondientes son, respectivamente, estas:0 1 −11 1 11 −1 −1
220
y
1 1 10 1 −11 −1 −1
220
.
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I.1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 31
¿Qué ha ocurrido en las matrices? Simplemente se han permutado sus filasIntercambiar dos filas
primera y segunda.
El intercambio de ecuaciones en un sistema toma la forma, pues, de un
intercambio de filas en la matriz ampliada (y por supuesto también en la de
coeficientes, si solo nos fijamos en ella). Aunque veremos estas transforma-
ciones de matrices con detalle más adelante, es instructivo ahora introducir
su notación. La transformación de “permutar entre sí las filas primera y
segunda” se denota así: F 1 ↔ F 2, de forma que se escribe:
0 1 −11 1 11
−1
−1
220
F 1↔F 2 →
1 1 10 1 −11
−1
−1
220
.
Nótese que esta transformación solo afecta a las dos filas que se permu-
tan —la primera y la segunda—; las restantes filas —solo la tercera en este
caso— permanecen inalteradas tras la transformación.
17 Cuando en un sistema de ecuaciones lineales se multiplica una ecua-
ción por un número no nulo, ¿qué acontece en su matriz ampliada? El lector
lo está adivinando: se multiplican por tal número todos los términos de la
fila correspondiente.
Por ejemplo, en el § 11 (cf. p. 27) escribíamos el sistema de ecuaciones
resultante de multiplicar por −1/4 la tercera ecuación del sistema (8); ambos
sistemas, el (8) y el transformado por esta operación, son respectivamente:
x1 + x2 + x3 = 2
x2 − x3 = 2
−4x3 = 2
y
x1 + x2 + x3 = 2
x2 − x3 = 2
x3 = −1/2,
de matrices ampliadas:1 1 10 1 −10 0 −4
222
y
1 1 10 1 −10 0 1
22
−1/2
,
donde apreciamos que, efectivamente, todos los términos de la tercera filaMultiplicar una fila por un
número (no nulo) se han multiplicado por −1/4, o dicho forma más sintética: la tercera fila se
ha multiplicado por −
1/4.
La transformación de “multiplicar la tercera fila por el número −1/4”(esto es, multiplicar cada uno de los términos de la tercera fila por −1/4) se
designa así: F 3 ← (−1/4)F 3, y se escribe:1 1 10 1 −10 0 −4
222
F 3←(−1/4)F 3 →
1 1 10 1 −10 0 1
22
−1/2
.
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I.1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 33
19 Acabamos de ver tres tipos de transformaciones que se ejecutan enmatrices:
• intecambiar dos filas;
• multiplicar una fila por un número no nulo;
• sumar a una fila un múltiplo de otra.
Las llamaremos transformaciones elementales por filas de una matriz, yTransformaciones
elementales por filas diremos que son del tipo i, ii y iii, respectivamente.
Más adelante estudiaremos con mucho detalle las transformaciones ele-
mentales de matrices. (Por cierto, también se definen transformaciones ele-
mentales por columnas , de la forma que el lector puede sospechar. . . ) Pero
es importante observar ahora una caracterísitica de estas transformaciones:
son reversibles —es de esperar, pues al fin y al cabo las operaciones entre
ecuaciones que las motivan son reversibles (cf. § 7, p. 22)—. La palabra
reversible se utiliza aquí en el sentido siguiente: si una matriz sufre una
transformación elemental, es posible aplicar a la nueva matriz otra trans-
formación elemental que nos devuelva a la matriz original. Por ejemplo,
si aplicamos a una matriz la transformación F 1 ↔ F 3 (intercambiar las fi-
las primera y tercera), una nueva aplicación de la misma transformación
nos devuelve a la primera matriz; si aplicamos la transformación F 2 ← 2F 2
(multiplicar la segunda fila por 2), es claro que recuperamos la matriz ori-
ginal con la transformación F 2 ← (1/2)F 2; y, finalmente, si a una matriz
le aplicamos la transformación F 2 ← F 2 +
3F 1 (sumar a la segunda fila la¡Anímese el lector a compro-
bar estas afirmaciones con unejemplo! primera multiplicada por 3), recuperamos la matriz de partida con la trans-
formación F 2 ← F 2 + (−3)F 1 (sumar a la segunda fila la primera mutiplicada
por −3).
20 Unas páginas más atrás hemos estudiado que la idea básica para re-Resolución de un sistema de
ecuaciones lineales con ayuda
de matrices: idea básicasolver un sistema de ecuaciones lineales es la de transformarlo, con ayuda
de las operaciones entre ecuaciones que hemos visto, en otro sistema equi-
valente más sencillo de resolver. De acuerdo con todo lo afirmado en los
últimos parágrafos, podemos llevar a cabo tal tarea con la ayuda de las
matrices. Se trataría, entonces, de escribir la matriz ampliada del sistema
que nos dan; de transformar esta matriz, mediante transformaciones ele-
mentales, en otra “más sencilla”; y, finalmente, de resolver el sistema deecuaciones representado por esta matriz sencilla. Este último sistema de
ecuaciones resultará equivalente al original, y por tanto su solución será la
que buscamos.
¿Cómo debe ser esa matriz “más sencilla” a la que debemos llegar desde
la matriz ampliada del sistema original? Respondemos con otra pregunta:
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34 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
¿de qué manera buscábamos un “sistema equivalente más sencillo de re-solver”? Respuesta: con el método de eliminación, en dos variantes: Gauss
y Gauss–Jordan. ¿Cómo es el sistema al que se llega con estos métodos?
En el caso de la eliminación de Gauss, se trata de un sistema con la carac-
terística de que cada ecuación tiene menos incógnitas que su precedente; en
el caso de la eliminación de Gauss–Jordan, además de esta propiedad se
cumple esta otra: los primeros coeficientes no nulos de cada ecuación son
iguales a 1, y son nulos los restantes coeficientes. Analicemos, entonces,
cómo son las matrices ampliadas que representan los sistemas de ecua-
ciones con estas características.
21 Veamos cómo es la matriz ampliada de un sistema de ecuacioneslineales que se ha obtenido por aplicación del método de eliminación de
Gauss (y que por tanto cumple que cada ecuación tiene menos incógnitas
que su precedente). Son un ejemplo de sistema de este tipo los sistemas (4)
y (8), obtenidos a partir de los sistemas (2) y (7), respectivamente. Sus ma-
trices ampliadas son, respectivamente, estas:1 1 10 −1 −30 0 −7
037
y
1 1 10 1 −10 0 −4
222
.
Se observa que cada fila comienza con más ceros que la precedente. Que-
remos decir: cada fila tiene cierta cantidad de ceros iniciales —ninguno laprimera, uno la segunda, dos la tercera—, y cualquier fila —excepto la pri-
mera, por supuesto— tiene más ceros iniciales que su fila anterior. Ambas
matrices son un ejemplo de lo que se denomina matriz escalonada.Matriz escalonada
En una matriz escalonada, el primer término no nulo de cada fila recibe
el nombre de pivote. Las dos matrices del párrafo anterior, ambas escalo-
nadas, tienen entonces tres pivotes cada una; en la primera, tales son: 1, −1
y −7; en la segunda: 1, 1 y −4.
22 Los sistemas de ecuaciones lineales (6) y (9) fueron obtenidos a par-
tir de los sistemas (2) y (7), respectivamente, por el método de eliminación
de Gauss–Jordan: cada ecuación tiene menos incógnitas que la anterior,el primer coeficiente no nulo de cada ecuación es igual a 1 y los restantes
coeficientes son nulos. Las matrices ampliadas respectivas son estas:1 0 00 1 00 0 1
10
−1
y
1 0 00 1 00 0 1
13/2
−1/2
.
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36 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
aplicando dos transformaciones elementales en un orden que en el otro,pero para estas dos transformaciones concretas sí que se obtiene lo mismo.
Esto es así porque las dos transformaciones son de tipo iii, afectan a filas
distintas —a la segunda y a la tercera, respectivamente— y ambas suponen
sumar un múltiplo de la misma fila —la primera—. Cuando estudiemos más
adelante con detalle las transformaciones elementales, veremos confirmado
que las transformaciones de estas características efectivamente permiten
un cambio de orden entre ellas.
En segundo lugar, hacemos un cero en la segunda columna, debajo de
su segundo término; ello nos lleva ya a una matriz escalonada, en la que
destacamos los pivotes (recordemos: los primeros términos no nulos de
cada fila):La matriz escalonada obtenida
es la ampliada del sistema (4):x + y + z = 0
−y − 3z = 3
−7z = 7.
1 1 10 −1 −30 3 2
03
−2
F 3←F 3+3F 2 →
1 1 10 −1 −30 0 −7
037
.
La matriz escalonada obtenida se denota por A (añadimos una “prima” a la
letra que designa la matriz original). Ahora, podemos resolver el sistema de
ecuaciones lineales que tiene como matriz ampliada la matriz A; tal sistema
es el sistema (4), que fue resuelto en el § 8 (cf. p. 23). Con ello terminaría la
aplicación del método de eliminación de Gauss en este ejemplo.
Pero también podemos continuar con el otro método de eliminación,el de Gauss–Jordan, que requiere seguir aplicando transformaciones ele-
mentales sucesivas a la matriz A a fin de obtener una matriz escalonada
reducida (o como también se dice: obtener la forma escalonada reducida de
la matriz A).2 ¿Nos ponemos con ello?
En primer lugar, transformamos los pivotes en 1:
A =
1 1 10 −1 −30 0 −7
037
F 2←(−1)F 2
F 3←(−1/7)F 3 →
1 1 10 1 30 0 1
0−3−1
;
en segundo lugar, hacemos ceros en la tercera columna, en todos los térmi-
2Nótese que hablamos de obtener la forma escalonada reducida de la matriz A, y que unos
párrafos antes —en este mismo parágrafo— hablamos de obtener una forma escalonada de
la matriz A. Dada una matriz (con algún término no nulo), en general hay infinitas matrices
escalonadas que se pueden obtener a partir de ella mediante la aplicación de transformacio-
nes elementales sucesivas, pero solo hay una que sea escalonada reducida. Esta unicidad de
la forma escalonada reducida de una matriz se demostrará más adelante (cf. § 100, p. 100).
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I.1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 37
nos menos el pivote:1 1 10 1 30 0 1
0−3−1
F 2←F 2−3F 3
F 1←F 1−F 3 →
1 1 00 1 00 0 1
10
−1
;
finalmente, hacemos ceros en todos los términos de la segunda columna
salvo el pivote (para ello solo queda un término no nulo):1 1 00 1 00 0 1
10
−1
F 1←F 1−F 2 →
1 0 00 1 00 0 1
10
−1
.
Esta última matriz ya es escalonada reducida; la denotamos por A (añadi-
endo una “prima” más a la letra). Ya vimos esta matriz (aunque entonces no
la designamos con ninguna letra) en los § 22 y 23 (cf. p. 34), donde comenta-
mos que en su última columna podemos leer directamente la solución única
del sistema de ecuaciones lineales (2): (1, 0, −1).
25 Recapitulemos ahora la resolución completa del sistema de ecua-Recapitulación de la
resolución con matrices del
sistema (7) ciones lineales (7) con la ayuda de las matrices.
La matriz ampliada del sistema es:
Recordamos el sistema (7):
x2
−x3
=2
x1 + x2 + x3 = 2
x1 − x2 − x3 = 0.
D = 0 1 −1
1 1 11 −1 −1
2
20 .
Escalonamos esta matriz:
D =
0 1 −11 1 11 −1 −1
220
F 1↔F 2 →
1 1 10 1 −11 −1 −1
220
F 3←F 3−F 1 →
1 1 10 1 −10 −2 −2
22
−2
F 3←F 3+2F 2 →1 1 10 1 −1
0 0 −4
222
= D.
El sistema de ecuaciones cuya matriz ampliada es la matriz D —el sis-
Esta matriz escalonada
D es
la matriz ampliada del siste-ma (8):
x1 + x2 + x3 = 2
x2 − x3 = 2
−4x3 = 2.tema (8)— se resolvió en el § 10 (cf. p. 25); esta resolución daría por ter-
minada la eliminación de Gauss del sistema de ecuaciones lineales (7).
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38 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Si queremos resolver el sistema de ecuaciones (7) por eliminación deGauss–Jordan, buscamos la forma escalonada reducida de la matriz D:
D =
1 1 10 1 −10 0 −4
222
F 3←(−1/4)F 3 →
1 1 10 1 −10 0 1
22
−1/2
F 2←F 2+F 3
F 1←F 1−F 3 →
1 1 00 1 00 0 1
5/23/2
−1/2
F 1←F 1
−F 2
→1 0 0
0 1 00 0 1
1
3/2−1/2 = D.
La lectura de la matriz escalonada reducida D nos lleva a concluir que
el sistema de ecuaciones lineales (7) tiene solución única y que esta es la
terna (1, 3/2, −1/2) (cf. § 23, p. 35).
4. Sistemas de ecuaciones con infinitas soluciones ysistemas de ecuaciones sin solución
En el apartado anterior solo hemos tratado sistemas de ecuaciones lineales
con una única solución. Pero hay sistemas que admiten infinitas soluciones
y hay también sistemas que no admiten solución.3 Vemos ejemplos de am- bos tipos en este apartado. También veremos algún ejemplo de sistema con
distinto número de ecuaciones que de incógnitas.
26 Consideremos el siguiente sistema de dos ecuaciones y dos incóg-Un sistema con infinitas
soluciones nitas: 3x + y = −3
6x + 2y = −6.(11)
Intentemos aplicar en este sistema el método de eliminación de Gauss–
Jordan con la ayuda de las matrices. Escribimos entonces la matriz am-
pliada:
A = 3 16 2
−3−6 ,
y tratamos de obtener su forma escalonada reducida.
3Comprobaremos más adelante (cf. § 45, p. 55), que no hay más posibilidades en lo que
a las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales se refiere: solución única, infinitas
soluciones o ninguna solución.
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I.1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 39
Una sola transformación elemental nos lleva la matriz A a una formaescalonada:
A =
3 16 2
−3−6
F 2←F 2−2F 1 →
3 10 0
−30
= A.
La matriz escalonada A solo tiene un pivote, pues su segunda fila es nula
(esto es, tiene todos sus términos nulos). En la columna de este pivote —la
primera— ya es nulo el otro término, así que solo nos resta conseguir que
el pivote sea igual a 1:
A =
3 1
0 0
−3
0 F 1←(1/3)F 1
→1 1/3
0 0
−1
0 = A.
La matriz A es la forma escalonada reducida de la matriz A.
Nota bene La matriz A es, en efecto, escalonada, porque cada fila —salvo la
primera— tiene más ceros iniciales que la anterior (como es una matriz de dos
filas, esto se reduce simplemente a comprobar que la segunda fila tiene más
ceros iniciales que la primera). Y la matriz A es efectivamente escalonada
reducida: es escalonada, su único pivote es igual a 1 y el único término que
acompaña a este pivote en su columna es nulo.
Ahora, ¿cuál es el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada
es la matriz escalonada reducida A? Este:Cualesquiera que sean los va-
lores que tomen las incógni-
tas x y y , se va a satisfacer
la ecuación 0x + 0y = 0; si
quitamos o añadimos a un sis-
tema esta ecuación, obtene-
mos otro equivalente.
x − 1
3y = −1
0x + 0y = 0,
o bien
x − 13
y = −1. (12)
Este sistema —ya lo sabemos— es equivalente al original, el (11). ¿Cuál es su
solución (si la hay)? De la única ecuación de este sistema, podemos deducir:
x = −1 + 13
y. (13)
Si sustituimos la letra y por algún número concreto, por ejemplo: y
= 1,
nos queda que x = −2/3, y una rápida comprobación nos confirma que elpar (−2/3, 1) es solución de este sistema, y desde luego también del (11).
Pero hay más soluciones. Si sustituimos y por otro número, digamos y = 0,
lo que obtenemos para x: x = −1, nos configura otra solución: (−1, 0).
De hecho, podemos sustituir la letra y por el número que queramos; el
correspondiente valor de x de acuerdo con la igualdad x = −1 + y/3 nos
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40 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
configura una solución del sistema. Realmente, todas las soluciones delsistema son los pares ordenados (x,y) tales que:
x = −1 + 13
y, donde y puede ser un número cualquiera.
El sistema de ecuaciones lineales (11) es, pues, un sistema con infinitas solu-
ciones.
27 En un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es es-Incógnitas básicas o
incógnitas principales;
incógnitas libres o
parámetros
calonada reducida, las incógnitas que figuran en primer lugar en alguna
ecuación (y que por tanto son tales que su coeficiente es un pivote de la ma-
triz y es igual a 1) se denominan incógnitas básicas o incógnitas principales ;
las restantes se denominan incógnitas libres , o parámetros .
Por ejemplo, en el sistema (12), visto en el § 26, la primera incógnita
en la única ecuación que tiene el sistema es x , luego esta es una incógnita
básica (o principal), y la otra, la y , es una incógnita libre (o un parámetro).
Cuando hemos buscado la solución de este sistema, hemos despejado la
incógnita básica en función de la incógnita libre; es lo que está plasmado en
la igualdad (13).
Cuando un sistema cuya matriz ampliada es escalonada reducida admite
solución y exhibe incógnitas libres o parámetros, en la expresión final de la
solución se suelen sustituir estas incógnitas por otras letras, habitualmente
griegas, para distinguirlas en su notación de las incógnitas principales. Para
el sistema (12), y en definitiva para el (11), si denotamos la incógnita libre y
por λ (léase “lambda”), podemos concluir lo siguiente: todas las soluciones
del sistema (11) son los pares ordenados (x,y) tales que:x = −1 + 1
3λ
y = λ,
donde λ es un número cualquiera;
o también: todas las soluciones del sistema (11) son los pares ordenados de
la forma:
−1+
1
3
λ, λ, donde λ es un número cualquiera.
28 Consideremos ahora el siguiente sistema de tres ecuaciones y cua-Otro sistema con infinitas
soluciones, esta vez con más
ecuaciones que incógnitastro incógnitas:
x1 − x2 + x3 = 2
x2 + x3 + x4 = −1
x1 + 2x3 + x4 = 1.
(14)
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I.1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 41
A diferencia de los sistemas de ecuaciones lineales que hemos visto hastaahora, este sistema tiene un número de ecuaciones distinto del de incógni-
tas. No por ello dejemos de intentar resolverlo con el método de eliminación
de Gauss–Jordan (con la ayuda de las matrices). La matriz ampliada del
sistema tiene tres filas y cinco columnas:
A =
1 −1 1 0 20 1 1 1 −11 0 2 1 1
.
Con dos transformaciones elementales llegamos a una matriz escalonada:
A = 1 −1 1 0 2
0 1 1 1 −11 0 2 1 1 F 3←F 3
−F 1
→1 −1 1 0 2
0 1 1 1 −10 1 1 1 −1F 3←F 3−F 2 →
1 −1 1 0 20 1 1 1 −10 0 0 0 0
= A.
La matriz escalonada A tiene dos pivotes (adviértase que la tercera fila es
nula), y ambos ya son iguales a 1; para obtener a partir de ella una matriz
escalonada reducida solo resta conseguir que sea nulo el término que ocupa
simultáneamente la primera fila y la segunda columna:
A = 1 −1 1 0 20 1 1 1
−1
0 0 0 0 0 F 1←F 1+F 2
→1 0 2 1 10 1 1 1
−1
0 0 0 0 0 = A.
La matriz A es efectivamente escalonada reducida: es escalonada (al pasar
de cada fila a la siguiente crece la cantidad de ceros iniciales), los pivotes
son unitarios y las dos columnas en las que figuran los pivotes presentan
sus restantes términos nulos. La matriz A es, pues, la forma escalonada
reducida de la matriz A.
Escribamos ahora el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz am-
pliada es la matriz A —el cual, bien lo sabemos, será equivalente al inicial,
el (14)—. Como la tercera fila de la matriz A es nula, no escribimos la
ecuación correspondiente. Nos queda este sistema:Si quitamos o añadimos a un
sistema la ecuación
0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0,
obtenemos otro equivalente.
x1 + 2x3 + x4 = 1
x2 + x3 + x4 = −1.(15)
Si en la primera ecuación despejamos la incógnita x1 y en la segunda la
incógnita x2, resulta:
x1 = 1 − 2x3 − x4 y x2 = −1 − x3 − x4. (16)
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42 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ahora, de manera similar a como acontecía en el § 26 (cf. p. 38) con el sis-tema escrito en (12), si damos a las incógnitas x3 y x4 algún valor numérico
concreto, los valores correspondientes de x1 y x2 obtenidos a partir de (16)
nos configuran una solución del sistema. Por ejemplo, si ponemos x3 = 1
y x4 = 2, obtenemos x1 = −3 y x2 = −4, y la cuaterna formada por estosEl lector adivinará que la cua- terna es lo análogo, para cua-
tro números, del par ordenado
o de la terna.
cuatro valores numéricos (en su orden adecuado) es una solución del sis-
tema: (−3, −4, 1, 2). Podemos afirmar que todas las soluciones del sistema
de ecuaciones lineales (15), y por ende todas las del (14), son las cuater-
nas (x1, x2, x3, x4) tales que:
x1 = 1 − 2x3 − x4,
x2 = −
1−
x3 −
x4
,donde x3 y x4 son números cualesquiera.
En particular, el sistema de ecuaciones lineales (14) tiene infinitas solu-
ciones.
De acuerdo con la nomenclatura introducida en el § 27, las incógnitas x1
y x2 son las incógnitas básicas del sistema (15) (pues son las que figuran
en primer lugar en alguna ecuación), y las incógnitas x3 y x4 son las in-
cógnitas libres. En las igualdades de (16), figuran despejadas las incógnitas
básicas en función de las libres. Si, como es usual, sustituimos las letras de
las incógnitas libres por letras griegas —por ejemplo, x3 por λ y x4 por µ
(léase “mi”)—, entonces podemos escribir que todas las soluciones del sis-
tema (15), y por tanto las del (14), son las cuaternas (x1, x2, x3, x4) tales
que:
x1 = 1 − 2λ − µ
x2 = −1 − λ − µ
x3 = λ
x4 = µ,
donde λ y µ son números cualesquiera;
o bien: tales soluciones son todas las cuaternas de la forma:
(1 − 2λ − µ, −1 − λ − µ, λ,µ), donde λ y µ son números cualesquiera.
29 Estudiemos este sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas:Un sistema sin solución
x1 + x2 − x3 = 5
2x1 + x2 = 2x1 + x3 = −1.
(17)
Su matriz ampliada es:
A =
1 1 −1 52 1 0 21 0 1 −1
,
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44 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
la ecuación lineal que correspondería a la fila de este pivote tendría todossus coeficientes nulos y el término independiente no nulo (como la ecuación
lineal escrita en (18)); una ecuación lineal así no admite solución.
Por el contrario, todos los demás sistemas que hemos estudiado en la
sección actual, tanto en este apartado como en los anteriores, son tales que
la matriz escalonada a la que hemos llegado a partir de su matriz ampliada
no presenta un pivote en la última columna. Cuando una matriz escalonada
no tiene pivote en su última columna, es posible encontrar alguna solución
para el sistema correspondiente.
Por otra parte, si tenemos un sistema tal que una forma escalonada de
su matriz ampliada no presenta un pivote en la última columna (un sistema
que, acuerdo con lo afirmado en el párrafo anterior, tiene solución), pode-mos saber si admite solución única o no comparando el número de pivotes
de la forma escalonada con el de incógnitas:
• Si el número de pivotes es igual al de incógnitas, la solución es única.
Esto es lo que acontece en todos los sistemas trabajados antes del
apartado actual.
• Pero si el número de pivotes es menor que el número de incógnitas,
hay más de una solución; de hecho, infinitas. Esto sucede en los sis-
temas (11) y (14) (cf. pp. 38 y 40, respectivamente).
Además, en el caso de infinitas soluciones, el número de parámetros o in-
cógnitas libres a partir de las cuales se expresa la solución es igual a la
diferencia entre el número de incógnitas y el número de pivotes. Animamosal lector a comprobar este hecho con los citados sistemas (11) y (14).
Veremos una justificación de todas estas afirmaciones en la Sección I.3,
que estará dedicada a presentar un método sintético para resolver cualquier
sistema de ecuaciones lineales. Antes, en la Sección I.2, presentaremos
las definiciones y propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales en
general.
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I.1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 45
Ejercicios I.11 Resolver, tanto por sustitución como por reduc-
ción, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x + y = 6
−x + 3y = 2.
2 Un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas
se resuelve por igualación de la siguiente manera: se
despeja en ambas ecuaciones una misma incógnita y
se igualan las dos expresiones obtenidas, lo que lleva a
una ecuación con una sola incógnita, la cual se resuelve;
el resultado se sustituye en cualquiera de las dos expre-siones obtenidas en el primer paso para así determinar
el valor de la incógnita que falta.
Resolver por igualación este sistema:2x + 3y = 8
5x + 2y = −2.
3 Treinta y cinco garrafas de vino, unas de dos
litros y otras de cinco, se llenan al vaciar completa-
mente una tinaja que contiene cien litros. ¿Cuántas
garrafas de cada tipo hay?
4 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones linea-
les: 2x + 3y + 5z = 1
5y − z = 1
2x + 8y + 5z = 2.
5 Considérese el siguiente sistema de ecuaciones
lineales: x1 + ax2 = 1
ax1 + x2 = 1,
donde a designa un número (real).
a) ¿Es el par ordenado (1,1) solución del sistema
para algún valor de a?
b) ¿Hay solución cualquiera que sea el valor de a?
c) Si a es tal que el sistema admite alguna solución,
encontrarlas todas.
6 Considérese el siguiente sistema de ecuaciones
lineales: x1 − x2 = 2
2x1 − 2x2 = 4.
Justificar que es solución de este sistema cualquier par
ordenado de la forma (2 + λ,λ) donde λ es un número
real. Justificar que también es solución cualquier par
ordenado de la forma (2 − 2λ,−2λ) donde λ es un nú-
mero real. ¿Hay alguna contradicción entre ambas afir-
maciones?
7 Si las letras a, b, c y d designan números tales
que a ≠ 0 y ad − bc ≠ 0, resuélvase este sistema de
ecuaciones lineales:ax1 + bx2 = 1
cx1 + dx2 = 1.
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46 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
I.2 DEFINICIONES Y PROPIEDADES
1. Ecuaciones lineales. Sistemas de ecuacioneslineales
En este apartado, presentamos las primeras definiciones necesarias sobre
sistemas de ecuaciones lineales, así como sus propiedades básicas. En par-
ticular, veremos la definición general de algunos conceptos ya citados en la
sección anterior, y analizaremos con detalle la representación matricial de
un sistema de ecuaciones lineales.
Ecuación lineal
31 Sea m un número natural positivo. Una ecuación lineal en las mEcuación lineal. Incógnitas,
coeficientes y término
independienteincógnitas (o variables) x1, x2, . . ., xm es una expresión de la forma:
a1x1 + a2x2 + · · · + amxm = c,
donde a1, a2, . . ., am son números (reales), que llamaremos coeficientes
de la ecuación, y c es otro número (también real), que llamaremos término
independiente de la ecuación.
Por ejemplo, la expresión
1x1 + (−1)x2 + 5x3 + 0x4 + √ 2 x5 = −5,
que escribiremos simplemente así: x1 − x2 + 5x3 +√
2 x5 = −5, es una
ecuación lineal en las incógnitas x1, x2, x3, x4 y x5. Los coeficientes de la
ecuación son 1, −1, 5, 0 y √
2 (en este orden). El término independiente de
la ecuación es −5.
Otro ejemplo: las tres siguientes son ecuaciones lineales en las incógni-
tas x1, x2 y x3:
x1 − x2 − 3x3 = 2, x3 = 1 y − 15
x1 + 4x3 = 0.
Los coeficientes de la primera ecuación son 1,−
1 y−
3; los de la segunda: 0,
0 y 1; y los de la tercera: −1/5, 0 y 4. Los tres términos independientes
son 2, 1 y 0, respectivamente.
Las siguientes también son ecuaciones en las incógnitas x1, x2 y x3, pero
no son lineales:
x1x2 + x3 = 2, x21 + 3x2 − x3 = −1, 2x1 − 1
x3= 1.
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48 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
diremos que es una solución de la ecuación lineal si al sustituir, en la ecua-Obsérvese que una m-upla es
lo análogo, para m números,
de un par ordenado o de una
terna. (De hecho, si m = 2,
una m-upla es justamente un
par ordenado.) Los números
que figuran escritos en una
m-upla son sus componentes :primera, segunda, . . . , m-ési-
ma, en el mismo orden en que
están escritos.
ción, x1 por s1, x2 por s2, . . . , xm por sm se obtiene una igualdad. Es decir,
si se verifica:
a1s1 + a2s2 + · · · + amsm = c.
Por ejemplo, consideremos esta ecuación lineal en las incógnitas x1, x2
y x3:
x1 + x2 + 2x3 = −1.
La terna (0, −3, 1) es una solución de la ecuación, pues si sustituimos x1
por 0, x2 por −3 y x3 por 1, obtenemos una igualdad:
0 + (−3) + 2 · 1 = −1.
Por el contrario, la terna (1, 1, 1) no es una solución de la ecuación, pues
escribir 1, 1 y 1 en vez de x1, x2 y x3, respectivamente, nos lleva a
1 + 1 + 2 · 1 = 4 ≠ −1.
El lector puede comprobar que la terna (0, 0, −1/2) es otra solución de laEn efecto:
0 + 0 + 2 ·− 1
2
= −1.
ecuación. Se trata de una ecuación lineal con más de una solución.
34 Consideremos la ecuación lineal 3x2 = 1, en las incógnitas x1 y x2.Más ejemplos
Más explícitamente, se trata de la ecuación 0x1 + 3x2 = 1. Una solución es
el par ordenado (1, 1/3), pues la sustitución x1 = 1 y x2 = 1/3 nos lleva auna igualdad:
0 · 1 + 3 · 13
= 1.
Si nos fijamos, realmente todo par ordenado de la forma (a, 1/3), siendo a
un número cualquiera, es una solución de la ecuación:Hacemos la sustitución x1 = a
y x2 = 1/3. 0 · a + 3 · 13
= 1.
Examinemos ahora esta otra ecuación lineal: 3x1 = 1. Si no nos dicen
nada más, debemos pensar que es una ecuación solo en la incógnita x1;
como tal, tiene solución única : el número 1/3. Pero podríamos conside-Si m = 1, una m-upla se re-
duce a un solo número.
rar que es una ecuación lineal en las incógnitas (por ejemplo) x1 y x2; másexplícitamente: 3x1 + 0x2 = 0. En este caso, una solución de la ecuación
sería un par ordenado y no simplemente un número. En concreto, podemos
comprobar que todo par ordenado de la forma (1/3, a), con a un número ar-En efecto: 3 · 1
3 + 0 · a = 1.
bitrario, configura una solución de la ecuación así considerada. La ecuación
lineal 3x1 = 1, en las incógnitas x1 y x2, tiene infinitas soluciones.
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52 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ahora, al sumar la primera ecuación y esta última obtenida, conseguimosuna ecuación cuyo coeficiente de x1 es nulo. Esquemáticamente:
+a1x1 + a2x2 + · · · = c
−a1x1 − a1b2
b1x2 − · ·· = − a1d
b1
0x1 +
a2 − a1b2
b1
x2 + · · · = c − a1d
b1.
Tal y como queríamos, la ecuación obtenida tiene nulo su coeficiente de x1.
Si quisiéramos, a partir de las mismas dos ecuaciones, conseguir que
fuera nulo otro coeficiente, digamos el de xj (donde 1 j m y bj ≠ 0), elnúmero por el cual habría que multiplicar la segunda ecuación sería −aj /bj .
41 Si multiplicamos una ecuación lineal por un número, obteniendoSoluciones de una ecuación
lineal tras efectuar
operaciones con ella con ello una segunda ecuación, las soluciones de la primera ecuación, ¿son
también soluciones de la segunda? Sí.
Veamos un ejemplo. Consideremos la ecuación lineal 2x1 − x2 + x4 = 1,
de la cual una solución es la cuaterna (1, 3, 5, 2), pues: 2 · 1 − 3 + 2 = 1.Una cuaterna es una m-upla
con m = 4.
Multipliquemos la ecuación por 2; obtenemos: 4x1 − 2x2 + 2x4 = 2. Acon-
tece que la cuaterna (1, 3, 5, 2) también es solución de esta última ecuación,
pues: 4 · 1 − 2 · 3 + 2 · 2 = 2.
Con la adición de ecuaciones lineales acontece algo similar. Lo que seasolución simultáneamente de las dos ecuaciones lineales que se suman sigue
siendo solución de la ecuación lineal suma. Por ejemplo, la terna (1, 1, 1) es
solución de estas dos ecuaciones lineales:
+x1 − x2 − x3 = −1
x1 + x2 − 2x3 = 0
2x1 − 3x3 = −1
x1 − x2 − x3 = −1 y x1 + x2 − 2x3 = 0; (20)
pero también es solución de la ecuación lineal suma de ambas ecuaciones,
que es: 2x1 − 3x3 = −1. Dejamos al lector la comprobación de los detalles.
Nota bene Cuando decimos que toda solución de dos ecuaciones lineales lo es
también de su suma, se exige que tal solución lo sea de las dos ecuaciones que
se suman.
Como consecuencia de lo dicho en este parágrafo, si sumamos a una
ecuación lineal un múltiplo de otra, cualquier solución común a las dos
ecuaciones originales también será solución de la ecuación lineal obtenida
como resultado.
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I.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES 53
A modo de ejemplo, podemos partir de nuevo de las ecuaciones linea-les escritas en (20). Ya sabemos que la terna (1, 1, 1) es solución de ambas.
Acontece que esta terna también es solución de la ecuación que resulta de
sumar a la primera de las ecuaciones la segunda multiplicada por −1. En
+x1 − x2 − x3 = −1
−x1 − x2 + 2x3 = 0
−2x2 + x3 = −1
efecto, el resultado de tal operación es la ecuación −2x2 + x3 = −1, y clara-
mente la terna (1, 1, 1) es solución de ella.
La justificación en general de todo lo afirmado en este parágrafo se deja
como ejercicio al lector.
Sistemas de ecuaciones lineales
42 Un sistema de ecuaciones lineales es una lista (finita) de ecuaciones¿Qué es un sistema deecuaciones lineales? lineales consideradas simultáneamente, todas en las mismas incógnitas.
Si n y m son dos números naturales positivos, la expresión general de
un sistema de n ecuaciones lineales en las m incógnitas x1, x2, . . ., xm es
esta: a11x1 + a12x2 + · · · + a1mxm = c1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2mxm = c2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + · · · + anmxm = cn.
Nótese que, fijados dos números naturales i y j , con 1 i n y 1 j m,
en la expresión general anterior se designa por aij el coeficiente que, en
la i-ésima ecuación lineal, acompaña a la incógnita xj . Por otra parte, lasletras c1, c2, . . . , cn designan los n términos independientes.
Por ejemplo, el siguiente es un sistema de dos ecuaciones y cuatro in-
cógnitas: 2x1 + 3x3 − x4 = 2
x1 + x2 + 4x3 + x4 = −1.(21)
Nótese que ambas son efectivamente ecuaciones lineales en las mismas
incógnitas: x1, x2, x3 y x4.
Solución de un sistema de ecuaciones lineales. Sistemas equi-valentes
43 Dado un sistema de n ecuaciones lineales y m incógnitas, una solu-Solución de un sistema de
ecuaciones lineales ción del sistema es una m-upla que es solución de todas y cada una de las n
ecuaciones lineales del sistema (cf. § 33, p. 47).
Por ejemplo, la cuaterna (1, −2, 0, 0) es una solución del sistema (21), de
dos ecuaciones y cuatro incógnitas, escrito en el § 42, pues es una solución
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54 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
de cada una de sus dos ecuaciones. En efecto, si escribimos 1, −2, 0 y 0 enRecordamos el sistema (21):2x1 + 3x3 − x4 = 2
x1 + x2 + 4x3 + x4 = −1.
vez de x1, x2, x3 y x4, respectivamente, obtenemos dos igualdades, una a
partir de cada ecuación:2 · 1 + 3 · 0 − 0 = 2
1 + (−2) + 4 · 0 + 0 = −1.
Por el contrario, la cuaterna (1, 0, 1, 3), verbigracia, no es solución de este
sistema citado: aunque es solución de su primera ecuación, no lo es de su
segunda. El lector puede tener a bien comprobar ambas afirmaciones.
44 En una sección posterior (Sección I.3), estudiaremos un métodoEjemplos de solución de
sistemas sistemático para resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales (es decir,
para encontrar todas sus soluciones, lo que incluye determinar que el sis-
tema no tiene solución si es el caso). En los ejemplos de sistemas de este
parágrafo, escribimos para cada uno todas sus soluciones, y nos limitamos
a comprobar que las soluciones escritas efectivamente lo son.
En la sección introductoria de este capítulo (cf. Sección I.1), vimos este
sistema de ecuaciones (el sistema (1), escrito en el § 1, p. 17):4x − 2y = 8
3x + y = 1,
y comentamos que tenía una única solución: el par (1, −2). El lector puede
comprobar que este par es efectivamente solución del sistema.
Este otro sistema: x1 + x2 = 1
2x1 + 2x2 = 2,
admite infinitas soluciones: todas los pares ordenados de la forma (1−a,a)
con a un número cualquiera. Lo comprobamos sustituyendo x1 por a y x2
por 1 − a; obtenemos con ello dos igualdades: a + (1 − a) = 1
2a + 2(1 − a) = 2.
Por otra parte, el sistema (21) admite como solución todas las cuaternas
de la forma:
1− 32
a+ 12
b, −2− 52
a− 32
b,a,b, donde a y b son números cualesquiera.
La comprobación es esta:Recordamos de nuevo el sis-
tema (21):2x1 + 3x3 − x4 = 2
x1 + x2 + 4x3 + x4 = −1.
2
1 − 32
a + 12
b
+ 3a − b = 21 − 3
2a + 1
2b
+−2 − 5
2a − 3
2b
+ 4a + b = −1.
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I.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES 55
Finalmente, salta a la vista que el siguiente sistema de dos ecuacioneslineales no admite solución:
¡Dos números no pueden su-
mar 1 y 2 a la vez! x1 + x2 = 1
x1 + x2 = 2.
Enfatizamos, para tranquilidad del lector, que todavía no estamos en
condiciones, a la luz de lo que hemos visto hasta ahora, de llegar por
nosotros mismos a las soluciones de sistemas aquí consignadas.
45 En el § 44, acabamos de citar varios ejemplos de sistemas de ecua-Posibilidades para las
soluciones de un sistema de
ecuaciones lineales: una,
infinitas o ninguna
ciones lineales: uno de ellos con una única solución, dos con infinitas solu-
ciones y un cuarto sin solución. De acuerdo con lo visto en el § 36 (cf. p. 49),son estas tres las posibilidades para la cantidad de soluciones de un sistema
de ecuaciones lineales.
Dado un sistema de ecuaciones lineales, se satisface una y solo una de las
siguientes afirmaciones: admite una solución, admite infinitas soluciones
o no admite ninguna.
46 De un sistema que admite solución única diremos que es compa-Nomenclatura: sistema
compatible determinado,
sistema compatible
indeterminado y sistema
incompatible
tible determinado; de uno que admite infinitas soluciones diremos que es
compatible indeterminado; y de uno que no admite solución diremos que
es incompatible.De acuerdo con lo afirmado en el § 45, todo sistema de ecuaciones linea-
les es de una, y solo una, de estas tres clases.
Por ejemplo (§ 44), los siguientes sistemas:4x − 2y = 8
3x + y = 1,
x1 + x2 = 1
2x1 + 2x2 = 2 y
x1 + x2 = 1
x1 + x2 = 2,
son, respectivamente, compatible determinado, compatible indeterminado
e incompatible.
47 Sabemos que una ecuación lineal con todos sus coeficientes nulosSistemas que incluyen
ecuaciones con todos los
coeficientes nulos pero con el término independiente no nulo, es decir, una ecuación linealcomo esta:
0x1 + 0x2 + · · · + 0xm = c, con c ≠ 0,
no admite solución (cf. § 35, p. 49). Por tanto, si un sistema incluye tal
ecuación entre las suyas, podemos afirmar que el sistema no admite solu-
ción: se tratará de un sistema de ecuaciones lineales incompatible.
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56 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
También sabemos (del mismo § 35) que, por el contrario, la ecuaciónlineal con todos sus coeficientes nulos y con el término independiente tam-
bién nulo , esto es, la ecuación
0x1 + 0x2 + · · · + 0xm = 0 (22)
(lo que llamaremos una ecuación nula), admite como solución toda m-uplaEcuación nula
de números reales. Si un sistema de ecuaciones lineales incluye esta ecua-
ción, podemos eliminarla, en el sentido de que el sistema resultante tendrá
las mismas soluciones que el original.
En efecto, si una m-upla es solución del sistema que incluye la ecua-
ción (22), será solución de todas y cada una de sus ecuaciones lineales, ypor tanto del sistema formado por cualesquiera de ellas. Recíprocamente,
si el sistema resultante de eliminar la ecuación (22) admite alguna solución,
tal m-upla también será solución de esta ecuación, pues cualquier m-upla
lo es.
48 Diremos que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentesSistemas equivalentes
si tienen las mismas soluciones; es decir, si toda solución del primero tam-
bién es solución del segundo, y si toda solución del segundo también es
solución del primero. Si dos sistemas de ecuaciones lineales en las mismas
incógnitas no admiten solución, también diremos que ambos sistemas son
equivalentes.
De acuerdo con lo visto en el § 47, si un sistema de ecuaciones lineales
tiene alguna ecuación nula, al eliminar esta obtenemos un nuevo sistema
equivalente al original.
En la Sección I.1, ya vimos algunos primeros ejemplos de sistemas equi-
valentes. En estos ejemplos, a partir de un sistema dado obteníamos un sis-
tema equivalente llevando a cabo en el primero ciertas operaciones con sus
ecuaciones. Estudiamos estas operaciones entre ecuaciones en el parágrafo
siguiente.
49 Recordemos, pues, las operaciones entre ecuaciones que llevába-Manipulaciones en sistemas
de ecuaciones lineales mos a cabo en sistemas de ecuaciones lineales en la Sección I.1. Son las
siguientes:• intercambiar dos ecuaciones;
• multiplicar una ecuación por un número no nulo;
• sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
Una manipulación de cualquiera de estos tipos transforma un sistema de
ecuaciones lineales en otro equivalente.
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I.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES 57
Comprobamos esta afirmación para cada uno de los
tres tipos de manipulación señalados.
En primer lugar, si en un sistema de ecuaciones li-
neales intercambiamos dos de ellas, el sistema sigue
teniendo, en definitiva, las mismas ecuaciones: es claro
que toda solución de uno es también solución del otro.
Esta operación efectivamente transforma un sistema de
ecuaciones lineales en otro equivalente.
En segundo lugar, consideremos en un sistema
de ecuaciones lineales la multiplicación de alguna
ecuación por un número no nulo, digamos b. Note-
mos que, si multiplicamos por el número no nulo buna ecuación lineal, a partir de la ecuación obtenida
podemos recuperar la original multiplicando a su vez
por 1/b. Pero ya sabemos que la multiplicación de una
ecuación lineal por un número cualquiera nos lleva a
otra ecuación lineal tal que toda solución de la primera
ecuación sigue siéndolo de la segunda (cf. § 41, p. 52).
Deducimos entonces lo siguiente: al multiplicar una
ecuación lineal por un número no nulo, obtenemos
otra ecuación de modo que ambas tienen las mismas
soluciones. Esto prueba que la operación de multi-
plicar una ecuación por un número no nulo nos lleva
un sistema de ecuaciones lineales a otro equivalente.
Finalmente, analicemos la operación de sumar a
una ecuación un múltiplo de otra. Por fijar ideas,
supongamos que las ecuaciones involucradas son las
dos primeras: a la primera ecuación de un sistema
se le suma la segunda previamente multiplicada por
un número b. Podemos comprobar que, si sumamos
a la nueva primera ecuación la segunda multiplicada
por −b, recuperamos con ello la primera ecuación origi-nal. Como toda solución común a dos ecuaciones tam-
bién lo es de la ecuación que resulta de sumar a una
de las ecuaciones un múltiplo de la otra, deducimos
lo siguiente: antes y después de sumar a la primera
ecuación la segunda multiplicada por b los sistemas co-
rrespondientes tienen las mismas soluciones. Sumar a
una ecuación un múltiplo de otra transforma, pues, un
sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente.
50 A modo de ejemplo ilustrativo de estas manipulaciones, considere-Un ejemplo de aplicación de
las operaciones entre
ecuaciones mos el siguiente sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas:x1 + x2 − 2x3 = 0
x1 + 2x3 = 1
x1 − x2 + 7x3 = 3,
(23)
y tratemos, mediante la aplicación de operaciones entre ecuaciones, de lle-
varlo a otro sistema equivalente que sea sencillo de resolver. Sigamos para
ello la pauta de los ejemplos estudiados en la Sección I.1.
Empezamos buscando un sistema cuya segunda ecuación tenga nulo el
coeficiente de x1; lo conseguimos sumando a la segunda ecuación del sis-
tema original la primera multiplicada por −1:
+−x1 − x2 + 2x3 = 0
x1 + 2x3 = 1
−x2 + 4x3 = 1
x1 + x2 − 2x3 = 0
−x2 + 4x3 = 1
x1 − x2 + 7x3 = 3.
Continuamos tratando de conseguir que la tercera ecuación también tenga
nulo el coeficiente de x1; ello se logra sumando a la tercera ecuación la
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58 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
primera multiplicada por −1:
+−x1 − x2 + 2x3 = 0
x1 − x2 + 7x3 = 3
−2x2 + 9x3 = 3
x1 + x2 − 2x3 = 0
− x2 + 4x3 = 1
−2x2 + 9x3 = 3.
En un siguiente paso, “hacemos nulo” el coeficiente de x2 de la tercera
ecuación recién obtenida; llegamos a ello sumando a esta tercera ecuación
la segunda multiplicada por −2:
+2x2 − 8x3 = −2
−2x2 + 9x3 = 3
x3 = 1
x1 + x2 − 2x3 = 0
−x2 + 4x3 = 1
x3 =
1.
(24)
Este último sistema de ecuaciones lineales es fácil de resolver: la tercera
ecuación ya nos dice que x3 = 1; sustituyendo x3 por 1 en la segunda
ecuación, llegamos a:
−x2 + 4 · 1 = 1, de donde: x2 = 3.
Y sustituyendo x3 y x2 por 1 y 3, respectivamente, en la primera ecuación,
obtenemos:
x1 + 3 − 2 · 1 = 0, de donde: x1 = −1.
La terna (−1, 3, 1) es, pues, solución del sistema (24), y por ende del original:
el (23), pues ambos son equivalentes al haberse obtenido uno de otro con
la aplicación de operaciones entre ecuaciones del tipo descrito en el § 49.Esta solución es de hecho única, pues la resolución del sistema (24) nos ha
llevado obligadamente a ella; el sistema es compatible determinado.
Hemos resuelto el sistema de ecuaciones lineales (24) con un método que
se suele llamar sustitución hacia atrás: se despeja en la última ecuaciónSustitución hacia atrás
la única incógnita que figura, y el resultado se sustituye en las restantes
ecuaciones; con ello, una nueva incógnita queda solitaria en la penúltima
ecuación y se procede de igual manera: tal incógnita se despeja y su valor
se sustituye en las demás ecuaciones; se sigue este proceso hasta tener
todas las incógnitas despejadas. Podemos aplicar este método porque el
sistema (24) está escrito de una forma adecuada: su última ecuación tiene
una única incógnita, y leído el sistema de abajo arriba cada ecuación añadeuna incógnita nueva.
Nota El sistema de ecuaciones lineales (24) es compatible determinado, pero
también puede aplicarse la sustitución hacia atrás a sistemas compatibles inde-
terminados. En el § 92 (cf. p. 93) veremos un ejemplo de ello, pero adelantamos
aquí que la idea es básicamente la misma.
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I.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES 59
51 En el ejemplo del § 50, hemos llegado al sistema (24) y lo hemosContinuación del ejemplo
resuelto (por sustitución hacia atrás), pero podríamos haber seguido apli-
cando a partir de este sistema operaciones entre ecuaciones con el fin de
simplificarlo aún más. Hagámoslo.
En primer lugar, busquemos que sea igual a 1 el coeficiente de la primera
incógnita de cada ecuación; para ello, solo hace falta multiplicar por −1 la
segunda ecuación del sistema (24), lo cual nos lleva a:
x1 + x2 − 2x3 = 0
x2 − 4x3 = −1
x3 = 1.
A continuación, tratemos de llegar a un sistema en el que sea nulo el coe-ficiente de x2 de la primera ecuación; ello se logra sumando a la primera
ecuación la segunda multiplicada por −1:x1 + 2x3 = 1
x2 − 4x3 = −1
x3 = 1.
Finalmente, “anulemos” los coeficientes de la incógnita x3 en las ecuaciones
primera y segunda. Para el de la primera, sumamos a esta ecuación la ter-
cera multiplicada por −2; para el de la segunda, sumamos a esta segunda
ecuación la tercera multiplicada por 4. Llegamos a este sistema:
x1 = −1
x2 = 3
x3 = 1,
que, por supuesto, es equivalente al (24), y por tanto al (23). Su solución
salta a la vista: (−1, 3, 1).
2. Representación matricial de un sistema de ecua-ciones lineales
En este apartado, además de introducir la definición de matriz, vemos las
matrices que se definen a partir de un sistema de ecuaciones lineales con
el fin de representarlo más sintéticamente. También, consideramos ciertostipos de transformaciones ejecutadas en matrices (las llamadas transforma-
ciones elementales), y de matrices (en concreto, las matrices escalonadas y
las matrices escalonadas reducidas), relevantes para el tratamiento de los
sistemas de ecuaciones lineales. En el Capítulo II estudiaremos las matri-
ces con mucho más detalle.
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I.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES 61
Los términos de la segunda fila, verbigracia, son 1, 0 y 2, precisamente loscoeficientes de la segunda ecuación del sistema; y los de la tercera columna
son −2, 2 y 7, justamente los coeficientes que acompañan a la incógnita x3
(tercera incógnita) en el sistema. Nótese que hay tantas filas en la matriz
como ecuaciones en el sistema, y tantas columnas en una como incógnitas
en el otro.
54 La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales noMatriz ampliada de un
sistema de ecuaciones
lineales consigna los términos independientes del sistema; solo sus coeficientes.
Dado el sistema de ecuaciones lineales (25), se denomina matriz ampliada
del sistema la matriz de orden (n,m + 1) siguiente:
a11 a12 . . . a1m
a21 a22 . . . a2m
... ...
. . . ...
an1 an2 . . . anm
c1
c2...
cn
.
Esta matriz se diferencia de la de coeficientes en que tiene una columna más,
cuyos términos son los términos independientes del sistema. Asimismo, se
suele trazar una raya vertical para separar la última columna de las demás
y así enfatizarla.
Por ejemplo, la matriz ampliada del sistema (23) es esta matriz de or-Volvamos a recordar el sis-
tema (23):x1 + x2 − 2x3 = 0
x1 + 2x3 = 1
x1 − x2 + 7x3 = 3.
den (3, 4): 1 1 −2 01 0 2 11 −1 7 3
.
Designaremos la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones li-
neales con la letra A (salvo que esté ya empleada en la notación de otra
cosa), y distinguiremos la matriz ampliada con un acento circunflejo coro-
nando la misma letra que designa la matriz de los coeficientes; habitual-
mente, pues, A. Por ejemplo, para el sistema (23) podemos escribir:
A =
1 1 −21 0 21
−1 7
y
A =
1 1 −2 01 0 2 11
−1 7 3
.
Transformaciones elementales por filas de una matriz
55 Hemos visto (cf. § 49, p. 56) varios tipos de operaciones entre lasIntercambio de filas
ecuaciones de un sistema de ecuaciones lineales que lo transforman en otro
sistema equivalente. A saber: intercambiar dos ecuaciones, multiplicar una
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62 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
ecuación por un número no nulo, y sumar a una ecuación un múltiplo deotra. Estas operaciones entre las ecuaciones de un sistema tienen un corre-
lato como transformaciones entre las filas de las matrices ampliadas (y por
ende también de las matrices de coeficientes) correspondientes.
En primer lugar, al intercambio de ecuaciones en el sistema le corres-
ponde un intercambio de filas en la matriz. Por ejemplo, si en el sistema (23)
intercambiamos las filas primera y segunda, los dos sistemas, antes y des-
pués del intercambio, son respectivamente estos:
x1 + x2 − 2x3 = 0
x1 + 2x3 = 1
x1 − x2 + 7x3 = 3
y
x1 + 2x3 = 1
x1 + x2 − 2x3 = 0
x1 − x2 + 7x3 = 3,
y las matrices ampliadas correspondientes a estos sistemas son, respectiva-
mente, las siguientes:1 1 −2 01 0 2 11 −1 7 3
y
1 0 2 11 1 −2 01 −1 7 3
;
apreciamos que, efectivamente, se ha producido una permutación entre las
filas primera y segunda. Esta transformación: “intercambiar las filas pri-
mera y segunda de la matriz”, se denotará así: F 1 ↔ F 2, y escribiremos:
1 1 −2 01 0 2 11 −1 7 3
F 1↔F 2 →
1 0 2 11 1 −2 01 −1 7 3
.
Recíprocamente, si en la matriz ampliada del sistema (23) ejecutáramos la¿Puede comprobarlo el lector? transformación de permutar las filas primera y segunda, el sistema cuya
matriz ampliada es la matriz obtenida diferiría del original en que tendría
permutadas sus ecuaciones primera y segunda.
En general, podemos afirmar: a la operación de intercambiar las ecua-
ciones i-ésima y j-ésima de un sistema de ecuaciones lineales le corres-
ponde la transformación de intercambiar las filas i-ésima y j-ésima de la
matriz ampliada (con i y j dos números naturales comprendidos entre 1
y el número de ecuaciones del sistema —o de filas de la matriz—). EstaF i ↔ F j
transformación en la matriz se denota así: F i ↔ F j.
56 De manera similar, a la multiplicación de la ecuación (de un sistemaMultiplicar una fila por un
número no nulo de ecuaciones lineales) por un número no nulo le corresponde la multipli-
cación de una fila (de la matriz ampliada correspondiente) por el número
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I.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES 63
no nulo. La transformación, ejecutable en matrices, de multiplicar la filai-ésima por un número no nulo b se denotará así: F i ← bF i (siendo i unF i ← bF i
número natural comprendido entre 1 y el número de filas de la matriz).
Por ejemplo, podemos escribir:1 1 −2 00 −1 4 10 0 1 1
F 2←(−1)F 2 →
1 1 −2 00 1 −4 −10 0 1 1
, (26)
para indicar que hemos multiplicado la segunda fila de la primera matriz
por el número (no nulo) −1. Nótese que todos los términos de la segunda
fila quedan multiplicados por −1, y que los términos de las restantes filas
no se ven alterados.
Nota bene Multiplicar una fila de una matriz por un número significa multiplicar
todos y cada uno de los términos de tal fila por el número.
Continuando con el ejemplo, obsérvese que la primera de las matrices
escritas en (26) es la matriz ampliada del sistema (24) (cf. p. 58), y que la se-
gunda es la matriz ampliada del primer sistema escrito en el § 51 (cf. p. 59).
Recordamos ambos sistemas:
x1 + x2 − 2x3 = 0
−x2 + 4x3 = 1
x3 = 1
y
x1 + x2 − 2x3 = 0
x2 − 4x3 = −1
x3 = 1.
Apreciamos así lo que hicimos al principio del citado § 51: se ha obtenido el
segundo sistema del primero multiplicando la segunda ecuación por −1.
57 Finalmente, la operación (en un sistema de ecuaciones lineales) deSumar a una fila un múltiplo
de otra sumar a una ecuación un múltiplo de otra se corresponde con la transfor-
mación (en la matriz ampliada) de sumar a una fila un múltiplo de otra. La
transformación, en una matriz, de sumar a la fila i-ésima el resultado de
multiplicar por un número b (nulo o no) la fila j -ésima se designará de estaF i ← F i + bF j
forma: F i ← F i + bF j (aquí i y j denotan números naturales comprendidos
entre 1 y el número de filas de la matriz).
A modo de ejemplo, podemos escribir:La transformación
F 2 ← F 2 + (−1)F 1
también se puede denotar de
esta forma: F 2 ← F 2 − F 1.
1 1 −2 01 0 2 11 −1 7 3
F 2←F 2+(−1)F 1 →
1 1 −2 00 −1 4 11 −1 7 3
, (27)
y así señalar que, en la primera matriz escrita, se suma a la segunda fila el
resultado de multiplicar la primera fila por −1. Nótese que las filas primera
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64 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
y tercera no se han alterado, y que a cada término de la segunda fila se le hasumado el término correspondiente de la primera previamente multiplicado
por −1:La primera fila, tras multipli-
carla por −1, queda:
−1 −1 2 0.+
1 0 2 1
−1 −1 2 0
0 −1 4 1.
Nota bene En esta transformación, la fila que se multiplica por el número —la
primera en el ejemplo— queda finalmente inalterada. Al ejecutar en una matriz
la transformación F i ← F i +bF j , solo puede verse cambiada la fila i-ésima; todas
las demás, y en particular la j-ésima, permanecen inalteradas.
Entre las matrices escritas en (27), la primera es la matriz ampliada del
sistema (23), y la segunda es la matriz ampliada del segundo sistema escrito
en el § 50 (cf. p. 57). Los recordamos; respectivamente:x1 + x2 − 2x3 = 0
x1 + 2x3 = 1
x1 − x2 + 7x3 = 3
y
x1 + x2 − 2x3 = 0
−x2 + 4x3 = 1
x1 − x2 + 7x3 = 3.
Como vimos en el citado § 50, el segundo de estos dos sistemas se obtenía
del primero precisamente sumando a la segunda ecuación la primera multi-
plicada por −1.
58 Vemos, pues, tres tipos de transformaciones que se ejecutan enTransformaciones
elementales por filas de una
matrizmatrices:
• intercambiar dos filas;
• multiplicar una fila por un número no nulo;
• sumar a una fila un múltiplo de otra.
Las llamaremos transformaciones elementales por filas de una matriz, de
tipo i, ii y iii , respectivamente.
En los parágrafos anteriores, hemos ido presentando las transformacio-
nes elementales como un correlato en las matrices ampliadas de las opera-
ciones que realizábamos en los sistemas de ecuaciones lineales correspon-dientes (intercambio de ecuaciones, multiplicación de una ecuación por un
número no nulo y suma de una ecuación y un múltiplo de otra). Según lo
visto en el § 49 (cf. p. 56), estas operaciones entre ecuaciones nos llevan
un sistema de ecuaciones lineales a otro equivalente. De acuerdo con ello,
podemos entonces afirmar:
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I.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES 65
Si a la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales se le aplica
una transformación elemental, la matriz resultante es la matriz ampliada
de un sistema de ecuaciones lineales equivalente al original.
59 De esta forma, dado un sistema de ecuaciones lineales, podemosDe nuevo, el sistema de
ecuaciones del ejemplo del
§ 50 (cf. p. 57)escribir su matriz ampliada y aplicarle transformaciones elementales suce-
sivas hasta llegar a la matriz ampliada de algún sistema fácil de resolver (o,
en su caso, del que podamos fácilmente concluir que no admite solución).
El sistema obtenido será equivalente al sistema dado.
Como ilustración de ello, consideremos de nuevo el sistema de ecua-
ciones lineales (23) (cf. p. 57):x1 + x2 − 2x3 = 0
x1 + 2x3 = 1
x1 − x2 + 7x3 = 3,
y apliquemos a su matriz ampliada las transformaciones elementales que se
corresponden con las operaciones entre ecuaciones que llevamos a cabo en
el § 50 (cf. p. 57), y también en el § 51 (cf. p. 59). La matriz ampliada es:
A =
1 1 −2 01 0 2 11 −1 7 3
,
y podemos escribir:
A =
1 1 −2 01 0 2 11 −1 7 3
F 2←F 2−F 1 →
1 1 −2 00 −1 4 11 −1 7 3
F 3←F 3−F 1 →
1 1 −2 00 −1 4 10 −2 9 3
F 3←F 3−2F 2 →
1 1 −2 00 −1 4 10 0 1 1
= A.
La matriz obtenida: A, es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones
El lector puede comparar las
operaciones entre ecuaciones
del § 50 con las realizadas
aquí entre las filas de las ma-
trices ampliadas.
lineales (24) (cf. p. 58), el cual recordamos:x1 + x2 − 2x3 = 0
−x2 + 4x3 = 1
x3 = 1.
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68 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
La primera es escalonada: tiene tres filas no nulas, son las tres primerasde la matriz, y cada una de ellas, salvo la primera, tiene más ceros iniciales
que la anterior (ninguno la primera, dos la segunda y tres la tercera). Pero
la segunda matriz no es escalonada: aunque sus filas no nulas también son
las primeras, sus filas segunda y tercera tienen la misma cantidad de ceros
iniciales.
63 Estas dos matrices no son escalonadas:Más ejemplos
Incidentalmente, note el lector
que la segunda de las matrices
solo presenta una columna.
1 2 20 0 00 1 0
y
1−1
0
.
La primera no cumple que sus filas no nulas sean las primeras; la segundasí lo cumple, pero sus dos primeras filas tienen la misma cantidad de ceros
iniciales (en este caso, ninguno).
Estas cuatro matrices sí son escalonadas:
La tercera de estas matrices
solo tiene una fila. Toda ma-
triz con una sola fila es esca-
lonada. ¿Se da cuenta el lector
de la razón?
100
,
00
,
1 −1 0 2
y
1 2 20 1 00 0 1
.
Obsérvese que la segunda es una matriz nula: las matrices nulas son esca-
lonadas.
64 En una matriz escalonada, el primer término no nulo de cada filaPivote
recibe el nombre de pivote.Si reescribimos las matrices escalonadas que hemos visto en los §s 62
y 63 de forma que destacamos en cada una todos sus pivotes con un re-
cuadro, podemos escribir:
0 1 −2 00 0 0 −10 0 0 0
y
3 5 −1 00 0 1 −20 0 0 30 0 0 0
,
y también:
1
00 , 0
0 , 1 −1 0 2 y 1 2 2
0 1 00 0 1
.
65 Nótese que las filas nulas de una matriz escalonada no tienen pivo-Algunas propiedades de los
pivotes tes; en particular, una matriz nula —que es escalonada— no tiene ningún
pivote. Es de observar también que cada fila en una matriz escalonada tiene
a lo más un pivote; y exactamente un pivote si la fila es no nula.
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I.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES 69
Nota bene En una matriz escalonada, los pivotes figuran exactamente en lasprimeras filas de la matriz, y hay tantos como filas no nulas.
También acontece que cada columna en una matriz escalonada tiene a
lo más un pivote. En efecto: si una columna tuviera dos pivotes, habría dos
filas con su primer término no nulo en la misma posición, lo que sería tanto
como decir que habría dos filas con el mismo número de ceros iniciales: ello
estaría en contradicción con el supuesto de que la matriz es escalonada.
En una matriz escalonada, el número de pivotes es menor o igual que el
número de filas y menor o igual que el número de columnas.
66 Dada una matriz cualquiera, es posible obtener a partir de ella, me-Forma escalonada de una
matriz. Escalonar una matriz diante la aplicación de transformaciones elementales sucesivas, una matriz
escalonada. De la matriz obtenida se dice que es una forma escalonada de
la matriz dada; también se dice que hemos escalonado la matriz original.
Para ver un ejemplo, recordemos el § 59 (cf. p. 65), en el que trabajamos
con la matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales (23) (cf. p. 57):Recordemos el sistema (23):
x1 + x2 − 2x3 = 0
x1 + 2x3 = 1
x1 − x2 + 7x3 = 3.
A =
1 1 −2 01 0 2 11 −1 7 3
.
A esta matriz A le aplicamos varias transformaciones elementales sucesivas
que nos llevaron a esta otra matriz:
A =
1 1 −2 00 −1 4 10 0 1 1
.
El lector puede observar que la matriz A es escalonada (de hecho, nos
hemos permitido señalar ya sus pivotes). La matriz A es, pues, una forma
escalonada de la matriz
A.
Adicionalmente, la matriz Aes la matriz ampliada de un sistema de
Recordemos el sistema (24):x1 + x2 − 2x3 = 0
−x2 + 4x3 = 1
x3 = 1.
ecuaciones lineales: el sistema (24) (cf. p. 58), el cual es un ejemplo desistema compatible determinado que puede resolverse fácilmente por susti-
tución hacia atrás (cf. § 50, p. 57). Cuando la matriz ampliada de un sistema
de ecuaciones lineales es escalonada, el sistema puede resolverse por susti-
tución hacia atrás. Ello también es válido para sistemas compatibles inde-
terminados; remitimos al lector al futuro § 92 (cf. p. 93) para un ejemplo.
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70 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
67 Comprobemos ahora que efectivamente es posible escalonar cual-Un procedimiento para
escalonar una matriz quier matriz. Describimos un procedimiento para ello, y lo ejemplificamos
con esta matriz:
A =
0 1 1 12 4 6 0
−1 0 −1 2
.
En primer lugar , nos vamos a la primera columna que tenga algún tér-Si la matriz de partida tuvie-
ra todas sus columnas nulas
(de forma que no es posible
aplicar este paso), entonces se
trataría de una matriz nula: la
matriz original ya sería escalo-nada.
mino no nulo (la primera columna no nula ), y seleccionamos en ella un tér-
mino no nulo. Mediante una adecuada transformación elemental de tipo i
(intercambiar dos filas), conseguimos que este término no nulo figure como
el primero de su columna. Este término será el pivote de la primera fila; vale
la pena recuadrarlo para enfatizar que será un pivote.
En el caso de la matriz A, su primera columna no nula es la primera
columna, que tiene dos términos no nulos; seleccionamos uno cualquiera de
ellos, verbigracia el último, que es igual a −1. La transformación elemental
(de tipo i) que intercambia las filas primera y tercera nos sitúa este término
como el primero de su columna. No se nos olvida recuadrarlo:
A =
0 1 1 12 4 6 0
−1 0 −1 2
F 1↔F 3 →
−1 0 −1 22 4 6 00 1 1 1
.
En segundo lugar , “anulamos” los términos que están por debajo del pi-
vote en su misma columna; esto se logra con transformaciones elementales
de tipo iii.
En el ejemplo, con una sola transformación elemental lo conseguimos:−1 0 −1 22 4 6 00 1 1 1
F 2←F 2+2F 1 →
−1 0 −1 20 4 4 40 1 1 1
.
En tercer lugar , “ignoramos” la primera fila, y procedemos con el resto
de la matriz como en los pasos anteriores.
En nuestro caso, este tercer paso implica que busquemos un término noSe trata de trabajar con la ma-
triz “como si no estuviera” laprimera fila: · · · ·
0 4 4 4
0 1 1 1
.
Así, ¿cuál es la primera colum-
na no nula? La segunda.
nulo en la segunda columna. Podemos elegir entre el término igual a 4 y eltérmino igual a 1; nos quedamos, por ejemplo, con el primero. Procedemos
a anular el término por debajo de él:
−1 0 −1 20 4 4 40 1 1 1
F 3←F 3+(−1/4)F 2 →
−1 0 −1 20 4 4 40 0 0 0
.
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I.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES 71
Esta matriz que hemos obtenido:
A =
−1 0 −1 20 4 4 40 0 0 0
,
ya es escalonada. Es una forma escalonada de la matriz A. Como acontece
con toda matriz escalonada, tiene tantos pivotes como filas no nulas —dos
en este caso—, y están situados en las primeras filas, uno en cada una.
68 En el procedimiento descrito en el § 67 para escalonar una matrizLa forma escalonada de una
matriz no es única en general —el cual hemos aplicado a la matriz A vista en ese parágrafo—, se nos
pide en su primer paso que busquemos la primera columna no nula —la
primera columna, en el caso de la matriz A—, y que seleccionemos en ellaun término no nulo. Para la matriz A del parágrafo citado, en este primer
paso fue elegido el término igual a −1, pero podríamos haber elegido el
término igual a 2. Es decir:
A =
0 1 1 12 4 6 0
−1 0 −1 2
F 1↔F 2 →
2 4 6 00 1 1 1
−1 0 −1 2
.
De esta forma, el primer paso del proceso para escalonar la matriz A nos
da ahora un pivote para la primera fila igual a 2. Continuemos con el proce-
dimiento a partir de aquí. Anulamos entonces los términos de la columna
del pivote que están por debajo de él: 2 4 6 00 1 1 1
−1 0 −1 2
F 3←F 3+(1/2)F 1 →
2 4 6 00 1 1 10 2 2 2
.
Y seleccionamos un término no nulo de la segunda columna (con la primera
fila ignorada), verbigracia el que es igual a 1, y anulamos el término que
tiene debajo en su misma columna:2 4 6 00 1 1 10 2 2 2
F 3←F 3−2F 2 →
2 4 6 00 1 1 10 0 0 0
.
La matriz recién obtenida es una matriz escalonada. Ha sido obtenida a par-
tir de la matriz A aplicando a esta transformaciones elementales sucesivas.También es, por tanto, una forma escalonada de la matriz A, como lo era la
matriz A deducida en el § 67.
En general, la forma escalonada de una matriz no es única (solo es única
si la matriz es nula). Por eso, dada una matriz, hablamos de una forma
escalonada de la matriz.
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72 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
69 Para la matriz A con la que hemos trabajado en los § 67 y 68, hemosUnicidad en el número de
pivotes de todas las formas
escalonadas de una matrizobtenido, pues, dos formas escalonadas; respectivamente:−1 0 −1 2
0 4 4 40 0 0 0
y
2 4 6 00 1 1 10 0 0 0
.
Si las comparamos, vemos que ambas matrices escalonadas presentan el
mismo número de pivotes —dos en este caso—, y además en las mismas
columnas —primera y segunda.
Realmente, este es un ejemplo de un resultado general importante: todas
las formas escalonadas de una misma matriz tienen el mismo número de
pivotes, y estos pivotes figuran en las mismas columnas.
La justificación de este resultado debe dejarse para más adelante, en este
mismo capítulo (cf. § 99, p. 99).
70 Busquemos, con el procedimiento descrito en el § 67, una formaOtro ejemplo en el que
escalonamos una matriz escalonada de esta matriz:
A =
1 0 0
−1 2 00 −1 11 0 −1
.
En primer lugar , seleccionamos la primera columna no nula de la matriz,la cual es la primera, y en ella elegimos un término no nulo; nos quedamos,
por ejemplo, con el primero, que es igual a 1. Al haber podido elegir el pri-
mero, no hay que aplicar en este paso ninguna transformación elemental de
tipo i. Señalamos el término, en tanto es el futuro pivote de la primera fila:
A =
1 0 0
−1 2 00 −1 11 0 −1
.
En segundo lugar , “anulamos” los términos que están por debajo del
término señalado y en su misma columna. Ello se consigue con transforma-ciones elementales adecuadas de tipo iii :
1 0 0−1 2 0
0 −1 11 0 −1
F 2←F 2+F 1 →
1 0 00 2 00 −1 11 0 −1
F 4←F 4−F 1 →
1 0 00 2 00 −1 10 0 −1
.
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74 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
tener ignorada la primera fila, esto significa que debemos llevar tal términohasta la segunda fila. Lo conseguimos con una transformación elemental de
tipo i: 1 −1 20 0 10 4 −1
F 2↔F 3 →
1 −1 20 4 −10 0 1
.
Finalmente, ignoramos también la segunda fila, lo que nos deja solo una · · ·· · ·0 0 1
columna no nula: la tercera, y solo un término no nulo en ella. Este es
directamente el pivote de la tercera fila. El procedimiento ha terminado y
hemos llegado a:
B = 1 −1 2
0 4 −10 0 1 .
La matriz B es efectivamente escalonada: una forma escalonada de la ma-
triz B . Como vemos, tiene tres pivotes.
Matriz escalonada reducida
72 Una matriz escalonada reducida es una matriz escalonada con es-Matriz escalonada reducida
tas dos propiedades adicionales: todos sus pivotes (si los tiene) son iguales
a 1 (son unitarios ), y en toda columna donde hay un pivote es este el único
término no nulo.
Por ejemplo, estas tres matrices son escalonadas reducidas:
1 0 −2 30 1 1 10 0 0 0
,
1 0 00 1 00 0 1
y
1 2 00 0 10 0 00 0 0
.
Las tres son escalonadas, sus pivotes son iguales a 1, y las columnas en las
que están los pivotes son tales que el único término no nulo de ellas es el
pivote mismo.
Por el contrario, estas otras tres matrices no son escalonadas reducidas:
1 0 −2 3
0 1 1 10 1 0 0 , 1 0 −
1
0 2 0 y 1 0 −1
0 1 00 0 1 .
La primera no es escalonada; la segunda sí lo es, pero presenta al menos un
pivote distinto de 1; la tercera también es escalonada, y sí presenta todos
sus pivotes unitarios, pero en la columna de uno de ellos —la tercera— hay
un término no nulo además del pivote.
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I.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES 75
73 Dada una matriz cualquiera, también es posible obtener a partir deForma escalonada reducida
de una matriz ella, mediante la aplicación de transformaciones elementales sucesivas, una
matriz escalonada reducida. De la matriz obtenida se dice que es la forma
escalonada reducida de la matriz dada.
Para ver un ejemplo, recordemos de nuevo el § 59 (cf. p. 65). Allí traba-
jamos —entre otras— con estas dos matrices:
A =
1 1 −2 01 0 2 11 −1 7 3
y A =
1 0 0 −10 1 0 30 0 1 1
,
y podíamos obtener la segunda a partir de la primera mediante la aplicaciónPara recordar con más preci-
sión, a partir de
A obteníamos
una matriz A, y a partir deesta llegábamos a A.
de transformaciones elementales sucesivas. Acontece que la matriz A es
escalonada reducida: además de ser escalonada, sus pivotes son unitarios
y en la columna de cada uno de ellos el único término no nulo es el propio
pivote. Podemos afirmar, pues, que la matriz A es la forma escalonada
reducida de la matriz A.
Nota Habrá observado el lector que hablamos de la forma escalonada reducida.Unicidad de la forma
escalonada Esto es así porque la forma escalonada reducida de una matriz es única (a di-
ferencia de la forma escalonada sin más). Lo comprobaremos más adelante en
este mismo capítulo (cf. § 100, p. 100).
Por otra parte, en el citado § 59 escribimos el sistema de ecuacionesRecordemos el sistema citado:
x1 = −1
x2 = 3
x3 = 1.
lineales cuya matriz ampliada es la matriz A: un sistema compatible de-terminado cuya solución salta a la vista. Los sistemas de ecuaciones lineales
cuya matriz ampliada es escalonada reducida son muy sencillos de resolver
(y esta afirmación también es válida para los sistemas compatibles indeter-
minados). Lo veremos con detalle en la sección siguiente.
74 ¿Cómo podemos obtener efectivamente la forma escalonada redu-Obtención de la forma
escalonada reducida de una
matrizcida de una matriz dada? En primer lugar , escalonamos la matriz (ya sabe-
mos cómo). En segundo lugar , transformamos en 1 todos los pivotes de
la forma escalonada recién obtenida con la ayuda de transformaciones ele-
mentales de tipo ii: en concreto, multiplicamos cada fila en la que hay un
pivote por el inverso de tal pivote. En tercer lugar , en la columna de cada
pivote, “anulamos” los términos que están por encima del propio pivote.A modo de ejemplo, calculemos la forma escalonada reducida de la ma-
triz B que vimos en el § 71 (cf. p. 73):
B =
1 −1 20 0 11 3 1
.
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78 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
pero el de la segunda fila no está en la segunda columna, sino en la tercera.Podemos conseguir que este pivote sí esté en la segunda columna intercam-
biando las columnas segunda y tercera:1 0 20 1 00 0 00 0 0
.
La matriz resultante es, efectivamente, escalonada reducida, pues el inter-
cambio de columnas ha dejado la misma cantidad de ceros iniciales en todas
las filas excepto en la segunda (que ahora tiene exactamente un cero inicial
más de los que hay en la primera fila), y las columnas de los pivotes siguen
teniendo los mismos términos (unitario el pivote mismo y nulos los demás).
Es decir, a partir de la matriz escalonada reducida A, y con la ayuda de un
intercambio de columnas, hemos conseguido escribir una matriz escalonada
reducida que tiene sus pivotes en las primeras columnas.
Esbocemos una prueba general de este resultado.
Dada una matriz escalonada reducida, supongamos
que no todos sus pivotes están en las primeras colum-
nas.
Por un momento, consideremos ordenados los pi-
votes por la fila que ocupan: el primero es el de la pri-
mera fila, el segundo el de la segunda fila, y así sucesi-
vamente. Consideremos el primer pivote de la matriz
con la siguiente propiedad: el pivote figura en la fila
i-ésima, pero no en la columna i-ésima, sino en otra co-
lumna, digamos la j-ésima, con j > i (en la matriz A del
ejemplo anterior, teníamos i = 2 y j = 3). Para este pi-
vote, permutamos las columnas i-ésima y j -ésima. Con
ello, obtenemos una nueva matriz con esta caracterís-
tica: la fila i-ésima tiene exactamente un cero inicial
más que su fila precedente, y las restantes filas siguen
teniendo el mismo número de ceros iniciales (pues los
términos por debajo de la fila i-ésima son nulos en
las dos columnas permutadas). La matriz nueva sigue
siendo escalonada reducida, y presenta el pivote de la
fila i-ésima en la columna i-ésima.
Continuaríamos el proceso de permutación de co-
lumnas con los siguientes pivotes hasta que todos que-
daran en las primeras columnas.
Nota bene El número de pivotes de la matriz escalonada reducida es el mismo
antes y después del intercambio de columnas explicado.
77 Consideremos una matriz de orden (n, m) que es escalonada re-¿Cómo son las matrices
escalonadas reducidas?(Continuación) ducida, y designemos por r la cantidad de sus pivotes. Distinguimos dos
casos: r = m (tantos pivotes como columnas) y r < m (menos pivotes que
columnas). A su vez, dentro de cada caso, distinguimos dos posibilidades
adicionales: r = n (tantos pivotes como filas) y r < n (menos pivotes que
filas). Como el número de pivotes es menor o igual que el de columnas y
menor o igual que el de filas (cf. § 65, p. 68), no hay más opciones.
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I.2. DEFINICIONES Y PROPIEDADES 79
En el primer caso: r = m, hay un pivote en cada columna. La matrizescalonada reducida presenta una de estas dos formas, según sea r = n
o r < n, respectivamente:
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
... . . .
...0 0 . . . 1
r = m
r = n ,
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
... . . .
...0 0 . . . 10 0 . . . 0...
... . . .
...0 0 . . . 0
r
n − r
r = m
.
La primera de estas matrices tiene un nombre especial: es la llamada matriz
identidad de orden n. Tiene el mismo número de filas que de columnas, yMatriz identidad de orden n
todos sus términos son nulos salvo los que tienen igual número de fila que
de columna, que son iguales a 1. No tiene filas nulas. Por el contrario, la
segunda de las matrices escritas sí presenta filas nulas: tantas como marca
la diferencia n − r .
En el segundo caso: r < m, podemos considerar que los r pivotes de
la matriz ocupan las r primeras columnas (posiblemente tras la aplicación
de intercambios de columnas adecuados, cf. § 76). La matriz escalonada
reducida tiene finalmente uno de estos aspectos, según sea r = n o r < n,respectivamente:
1 0 . . . 0 • . . . •0 1 . . . 0 • . . . •...
... . . .
... ...
. . . ...
0 0 . . . 1 • . . . •
r
m − r
r = n ,
1 0 . . . 0 • . . . •0 1 . . . 0 • . . . •...
... . . .
... ...
. . . ...
0 0 . . . 1 • . . . •0 0 . . . 0 0 . . . 0...
... . . .
... ...
. . . ...
0 0 . . . 0 0 . . . 0
r
n − r
r m − r
.
Las puntos: ‘•’, señalan posiciones que pueden ser ocupadas por cualquier
número, nulo o no, y ambas matrices tienen tantas columnas con términos
de este tipo como señala la diferencia m − r . Por otra parte, como en el caso
anterior, la primera matriz no tiene filas nulas, y la segunda tiene tantas
como indica la diferencia n − r .
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80 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ejercicios I.21 Considérense los siguientes sistemas de ecua-
ciones lineales, el primero de una sola ecuación y el
segundo de dos:
2x1 − x2 + x3 = 1, y
2x1 − x2 + x3 = 1
8x1 − 4x2 + 4x3 = 4.
Justificar (sin resolverlos) que son equivalentes. Por
cierto, ¿de qué tipo son?
2 Si a designa un número, nos dan la ecuación li-
neal ax1 = 0. Se pide:
a) considerando esta ecuación lineal en la incógni-ta x1, calcular su solución (o soluciones) distinguiendo
los casos a = 0 y a ≠ 0;
b) hacer lo mismo, pero considerando la ecuación
dada en las incógnitas x1 y x2;
c) si c también designa un número, calcular las
soluciones de la ecuación lineal ax1 = c, tomada en
las incógnitas x1 y x2, distinguiendo los cuatro casos
que resultan de tomar a y c nulos o no.
3 Determinar qué matrices de las siguientes son es-
calonadas, y señalar los pivotes de las que lo sean:
a)
0 0 00 0 0
y
−100
;
b)
−1 00 00 1
y
0 1 00 2 00 0 0
;
c)
0 1 00 0 10 0 0
y
2 1 00 5 00 0 3
.
4 De cada una de las matrices del ejercicio 3 que
no sea escalonada, encontrar al menos dos formas es-
calonadas.
5 De todas las matrices del ejercicio 3 , ¿cuáles son
escalonadas reducidas? De cada matriz que no lo sea,
escribir su forma escalonada reducida.
6 Considérese el siguiente sistema de ecuaciones
lineales: x + 2y = 0
2x + 2y + z = 1
−x − 2y + z = 2.
Se pide:
a) escribir la matriz de coeficientes y la matriz am-
pliada del sistema;
b) calcular la forma escalonada reducida de la ma-
triz ampliada;
c) escribir el sistema cuya matriz ampliada es la
matriz escalonada reducida obtenida en el apartado an-
terior;
d) calcular la solución del sistema; ¿de qué tipo ha
resultado ser el sistema?
7 Considérese la matriz:
1 2 0 a
2 4 1 b
−1 −2 1 c
,
donde a, b y c designan tres números reales.
a) Escalonar la matriz. ¿Cuántos pivotes tiene la
matriz escalonada obtenida? Escribir también la forma
escalonada reducida de la matriz.
b) Si un sistema de ecuaciones lineales es tal que la
matriz del enunciado es su matriz ampliada, ¿qué se
puede decir del sistema a la luz de lo obtenido en el
apartado anterior?
8 ¿Cómo es una matriz escalonada que tiene una
sola fila? ¿Y la que tiene una sola columna?
9 ¿Cómo es una matriz escalonada reducida que
tiene una sola fila? ¿Y la que tiene una sola columna?
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I.3. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 81
I.3 DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE UNSISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
1. Un método para discutir y resolver un sistema deecuaciones lineales
Dedicamos este apartado a presentar un método general para discutir y
resolver un sistema de ecuaciones lineales. Lo iniciamos indicando qué se
entiende por discutir y por resolver un sistema.
Planteamiento del método
78 Sabemos (cf. § 45 y 46, p. 55) que hay tres tipos de sistemas de ecua-Discutir frente a resolver un
sistema de ecuaciones
linealesciones lineales atendiendo a su solución: incompatibles (no tienen solución),
compatibles determinados (tienen una única solución) y compatibles inde-
terminados (tienen infinitas soluciones). Por discutir un sistema de ecua-
ciones lineales nos referimos a determinar de cuál de estos tres tipos es el
sistema. Por resolver el sistema nos referimos a encontrar efectivamente
todas sus soluciones.
79 Consideremos un sistema de ecuaciones lineales que queremos re-Esquema de trabajo: una
distinción de casos solver, con n ecuaciones y m incógnitas. Designamos por A su matriz decoeficientes (recordemos: la matriz cuyos términos son los coeficientes del
sistema, cf. § 53, p. 60), y por A su matriz ampliada. La primera tendrá or-
den (n, m) (tantas filas como ecuaciones y tantas columnas como incógni-
tas); la segunda, orden (n,m + 1) (tiene una columna más, con los términos
independientes).
Denotemos por A una forma escalonada (no necesariamente reducida)
de la matriz A (también es habitual esta notación para una forma escalo-
nada: se añade una “prima” a la letra de la matriz original). Sabemos que el
sistema cuya matriz ampliada es la matriz A es equivalente al sistema de
partida, con matriz ampliada
A.
Consideraremos tres casos:• La matriz A presenta un pivote en su última columna.
• La matriz A no presenta un pivote en su última columna y la cantidad
de sus pivotes coincide con la cantidad de incógnitas del sistema.
• La matriz A no presenta un pivote en su última columna y la cantidad
de sus pivotes es menor que la cantidad de incógnitas del sistema.
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82 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Como veremos en los siguientes parágrafos, estos tres casos se correspon-den con los tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales (en virtud de su
solución) que ya conocemos: respectivamente, sistema incompatible, sis-
tema compatible determinado y sistema compatible indeterminado.
Nota bene El número de pivotes de una matriz escalonada es menor o igual
que el de columnas (cf. § 65, p. 68), y hay tantas columnas en la matriz de
coeficientes como incógnitas en el sistema, luego todo sistema de ecuaciones
lineales está contemplado en uno (y solo en uno) de los casos anteriores.
Sistemas incompatibles
80 Como en el § 79, consideramos un sistema de n ecuaciones linealesSistema incompatible
y m incógnitas que queremos resolver, con matriz ampliada A, y suponemos
que existe una forma escalonada A de la matriz A con la característica de
presentar un pivote en su última columna.
La fila de la matriz A en la que está el pivote de la última columna tiene
por términos los siguientes:
0 0 . . . 0 a m ceros
,
donde a es un número que es no nulo, y la ecuación lineal que se corres-
ponde con esta fila es
0x1 + 0x2 + · · · + 0xm = a, con a ≠ 0.
Pero un sistema de ecuaciones lineales que incluye una ecuación de este tipo
es incompatible (cf. § 47, p. 55).
Es decir, el sistema cuya matriz ampliada es A es incompatible. El sis-
tema de partida (con matriz ampliada A ), que es equivalente a él, también
lo será.
Si una forma escalonada de la matriz ampliada de un sistema de ecua-
ciones lineales tiene un pivote en su última columna, entonces el sistema
no tiene solución: es un sistema incompatible.
81 Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:Un ejemplo x1 + 2x2 + 4x3 = 1
x2 + 2x3 = −3
x1 + 3x2 + 6x3 = 2.
(29)
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84 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
pivotes), tenemos una matriz de orden (n, m), también escalonada redu-cida, y con tantos pivotes como columnas. En el § 77 (cf. p. 78) vimos cómoSi en una matriz escalonada
eliminamos la última colum-
na (o las últimas columnas),
la matriz que se obtiene sigue
siendo escalonada. Lo mismo
acontece con matrices escalo-
nadas reducidas.
son estas matrices. De acuerdo con ello, y denotando por r el número de pi-
votes, podemos afirmar que la matriz A (volvemos a considerarle la última
columna) será de una de las dos siguientes formas, según sea el número de
pivotes igual que el de filas (r = n) o menor (r < n), respectivamente:
1 0 . . . 0 d1
0 1 . . . 0 d2...
... . . .
... ...
0 0 . . . 1 dm
r = m
r = n ,
1 0 . . . 0 d1
0 1 . . . 0 d2...
... . . .
... ...
0 0 . . . 1 dm
0 0 . . . 0 0...
... . . .
... ...
0 0 . . . 0 0
r
n − r
r = m
, (30)
y donde d1, d2, . . . , dm pueden ser números cualesquiera (nulos o no). La
primera de las matrices escrita en (30) es la matriz ampliada de este sistema
de ecuaciones lineales:
x1 = d1
x2 = d2
. . . ...
xm = dm.
(31)
La segunda de las matrices de (30) difiere de la primera solo en que tiene
filas nulas adicionales; como las filas nulas en la matriz ampliada de un sis-
tema se corresponden con ecuaciones nulas —que eliminadas de un sistema
nos dejan otro equivalente—, se tiene que el sistema cuya matriz ampliada
es la segunda matriz de (30) es equivalente al sistema (31).
En definitiva, el sistema de ecuaciones lineales (31) es el sistema que
tiene por matriz ampliada la matriz escalonada reducida A (o al menos
es equivalente a él). De acuerdo con la construcción de la matriz
A, el
sistema (31) también será equivalente al que tiene por matriz ampliada la
matriz escalonada A, y lo que es más importante: será equivalente al quetiene por matriz ampliada la matriz A. Es decir, el sistema (31) es equiva-
lente al sistema que originalmente queremos resolver.
El sistema de ecuaciones lineales (31) tiene solución única, la cual salta
a la vista: la m-upla (d1, d2, . . . , dm). El sistema de partida es, pues, compa-
tible determinado.
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I.3. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 85
Si una forma escalonada de la matriz ampliada de un sistema de ecua-
ciones lineales tiene tantos pivotes como incógnitas, y ninguno de los
pivotes está en la última columna, entonces el sistema tiene una única
solución: es un sistema compatible determinado.
83 Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:Un ejemplo x1 − 2x2 = 2
2x2 + 3x3 = 0
x1 − 2x2 + 2x3 = 6.
(32)
Escribimos su matriz ampliada, que denotamos por A, y la llevamos a unaforma escalonada; con una sola transformación elemental lo conseguimos:
A =
1 −2 0 20 2 3 01 −2 2 6
F 3←F 3−F 1 →
1 −2 0 20 2 3 00 0 2 4
= A.
La matriz escalonada A tiene tres pivotes, tantos como incógnitas, y ningu-
no de ellos figura en la última columna. De acuerdo con lo visto en el § 82,
el sistema (32) es compatible determinado: admite una única solución.
Acabamos de discutir el sistema (32). Ahora querríamos resolverlo , es
decir, encontrar efectivamente la única solución que ya sabemos tiene. Lo
visto en el mismo § 82
nos sugiere cómo buscar tal solución: calculamos la
forma escalonada reducida de la matriz ampliada del sistema y escribimos
el sistema que la tiene como matriz ampliada; este sistema será inmediato
de resolver, y su solución será la que buscamos.
Para encontrar la forma escalonada reducida de la matriz A, podemos
seguir aplicando transformaciones elementales adecuadas a su forma esca-
lonada A (cf. § 74, p. 75):
A =
1 −2 0 20 2 3 00 0 2 4
F 2←(1/2)F 2
F 3←(1/2)F 3 →
1 −2 0 20 1 3/2 00 0 1 2
F 2←F 2−(3/2)F 3 →1 −2 0 20 1 0 −3
0 0 1 2
F 1←F 1+2F 2 →
1 0 0 −40 1 0 −30 0 1 2
= A.
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86 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ahora, el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es la matrizescalonada reducida A es este:
x1 = −4
x2 = −3
x3 = 2.
Su solución es única, e inmediata: (−4, −3, 2). Esta terna es también la solu-
Nótese que la solución única
(de un sistema compatible de-
terminado) se puede leer, de
arriba abajo, en la última co-
lumna de la forma escalona-
da reducida A (eliminando
antes las filas nulas si las hay). ción única del sistema compatible determinado (32).
84 En el § 83, una vez discutido el sistema de ecuaciones lineales (32),Continuación del ejemplo:
resolución alternativa con
sustitución hacia atrás
lo hemos resuelto a partir de la forma escalonada reducida de su matriz
ampliada. Pero podríamos haberlo resuelto de otra manera: por sustitución
hacia atrás (cf. p. 58) a partir de una forma escalonada (no necesariamente
reducida) de su matriz ampliada.
En el mismo § 83, obtuvimos esta forma escalonada de la matriz am-
pliada del sistema (32):
A =
1 −2 0 20 2 3 00 0 2 4
.
El sistema de ecuaciones linales del cual es matriz ampliada es este:
x1 − 2x2 = 2
2x2 + 3x3 = 0
2x3 = 4.
(33)
De la tercera ecuación se deduce: x3 = 4/2 = 2, que sustituido en la segunda
nos lleva a: 2x2 + 6 = 0, de donde: x3 = −6/2 = −3; y sustuido este valor
en la primera ecuación, obtenemos: x1 + 6 = 2, de donde: x1 = −4. Es decir,
la solución del sistema (33) es la terna (−4, −3, 2).
Como los sistemas (33) y (32) son equivalentes, vemos confirmada la
solución de este último que calculamos en el § 83.
85 Discutamos, y resolvamos en su caso, el siguiente sistema de tresOtro ejemplo
ecuaciones y dos incógnitas: x − 2y = 5
2x + y = 0
x + 3y = −5.
(34)
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I.3. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 87
Para discutir el sistema, escribimos su matriz ampliada:
B =
1 −2 52 1 01 3 −5
,
y buscamos una forma escalonada de esta matriz ampliada:
1 −2 52 1 01 3 −5
F 2←F 2−2F 1
F 3←F 3−F 1 →
1 −2 50 5 −100 5 −10
F 3←F 3−F 2 →
1 −2 50 5 −100 0 0
.
La matriz escalonada obtenida, denotémosla B, tiene dos pivotes, tantos
como incógnitas, y ninguno de ellos figura en la última columna. El sistema
de ecuaciones lineales (34) es, pues, compatible determinado.
Para resolver el sistema, buscamos la forma escalonada reducida de su
matriz ampliada. Lo hacemos a partir de la forma escalonada B recién ob-
tenida en el párrafo anterior:1 −2 50 5 −100 0 0
F 2←(1/5)F 2 →
1 −2 50 1 −20 0 0
F 1←F 1+2F 2 →
1 0 10 1 −20 0 0
= B.
El sistema de ecuaciones cuya matriz ampliada es la matriz escalonada re-
ducida B que acabamos de deducir es este:x = 1
y = −2
0x + 0y = 0,
el cual es equivalente (quitando la ecuación nula) a: x = 1
y = −2,
sistema de solución evidente: (1, −2). En conclusión, el sistema de ecuacio-
Como el sistema es compati-
ble determinado, la solución
única se puede leer en la úl-
tima columna de la matriz
B,
eliminando antes su tercera fi-
la por ser nula.
nes lineales (34) es compatible determinado y su única solución es el par
ordenado (1, −2).Es de observar que, para resolver el sistema (34), podríamos haber es-Si en el sistema de matriz am-
pliada B quitamos la ecuación
nula (que es la tercera), queda:x − 2y = 5
5y = −10.
crito el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es la matriz es-
calonada B, y haber resuelto este sistema por sustitución hacia atrás (tras
eliminar su tercera ecuación, que es nula). Dejamos al lector la tarea de
confirmar que con ello se obtiene la misma solución.
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90 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
88 Antes de pasar a ver algunos ejemplos de resolución de sistemasAlgunas consideraciones
sobre los desarrollos
anteriorescompatibles indeterminados (como suponemos que el lector estará desean-
do que hagamos), debemos aclarar algunos puntos del desarrollo de los § 86
y 87.
En primer lugar, supusimos que el número de pivotes de la matriz A es
menor que el número de filas: r < n, pero podría ser igual: r = n. En este
último caso, la matriz A estaría formada exclusivamente por las r primeras
filas de la matriz escrita en (35) (es decir, A sería la matriz de (35) sin las
filas nulas), pero el sistema de ecuaciones lineales con matriz ampliada la
matriz
A sería justamente el sistema (36). También en este caso, pues,
obtendríamos la conclusión de sistema compatible indeterminado a la que
llegamos en el § 87.
En segundo lugar, admitimos que los r pivotes de la matriz A están
situados en las primeras columnas. Según lo que vimos en el § 76 (cf. p. 77),
con intercambios adecuados de columnas , toda matriz escalonada reducida
se puede escribir de forma que sus pivotes estén en las primeras columnas.
Pero acontece lo siguiente: si una matriz en la que procedemos a intercam-
biar columnas es la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales
—como es el caso de la matriz A—, y ninguna de las columnas intercam-
biadas es la última, tal intercambio de columnas se corresponde con una
reordenación de las incógnitas del sistema. Además, los sistemas antes y
después de la reordenación de incógnitas son de la misma clase en lo que a
su discusión se refiere: si, por ejemplo, uno es incompatible, el otro también
lo es, y lo mismo acontece con las otras dos clases.
Lo vemos mejor con un ejemplo. Fijémonos en esta matriz:
C =
1 2 0 10 0 1 2
(la cual, por cierto, es escalonada reducida, y en su última columna no figura
ningún pivote). La matriz C es la matriz ampliada de este sistema:
x1 + 2x2 = 1
x3 =
2.(38)
Por un lado, si intercambiamos en la matriz C las columnas segunda y ter-
cera (a fin, por ejemplo, de que figuren los dos pivotes en las dos primeras
columnas), nos queda:
D =
1 0 2 10 1 0 2
.
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I.3. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 91
Por otro lado, si reescribimos el sistema (38) considerando que el orden delas incógnitas es x1, x3 y x2 (esto es, invirtiendo el orden original de las
incógnitas segunda y tercera), ponemos:x1 + 2x2 = 1
x3 = 2.(39)
Apreciamos que este último sistema de ecuaciones lineales tiene por matriz
ampliada precisamente la matriz D.
Podemos decir más: si comparamos los sistemas (38) y (39), vemosPor ejemplo, la terna (1, 0, 2)
es solución del sistema (38),
y la terna (1, 2, 0) es solucióndel (39). Otro ejemplo lo tene-
mos con las ternas (−1, 1, 2)
y (−1, 2, 1).
que a partir de una terna que sea solución de uno se escribe una terna (y
exactamente una) que es solución del otro, sin más que intercambiar sus
componentes segunda y tercera; es decir, si una terna (a,b,c) es solución
de uno, la terna (a,c,b) lo es del otro. Finalmente, acontece que ambos
sistemas son efectivamente de la misma clase: ambos son compatibles in-
determinados.
En lo que concierne a la matriz escalonada reducida A del § 86, pode-
mos entonces considerar, sin pérdida de generalidad , que sus pivotes figu-
ran en las primeras columnas (si no es el caso, basta una reordenación ade-
cuada de las incógnitas, con la cual el sistema seguirá siendo de la misma
clase en lo que a su discusión se refiere). La conclusión de sistema compa-
tible indeterminado a la que hemos llegado finalmente en el § 87 es válida,
pues, aunque la forma escalonada reducida A no tenga originalmente to-dos sus pivotes en las primeras columnas.
89 Discutamos y resolvamos el siguiente sistema de tres ecuacionesUn ejemplo
lineales y cuatro incógnitas:x1 + x2 + x3 + 2x4 = 1
x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 = 3
x1 + x2 + 2x3 + 6x4 = 1.
(40)
Para discutir el sistema, escribimos su matriz ampliada y buscamos una
forma escalonada de esta matriz ampliada. Tenemos:
A =1 1 1 2 1
1 2 3 2 31 1 2 6 1
F 2←F 2−F 1
F 3←F 3−F 1 →
1 1 1 2 10 1 2 0 20 0 1 4 0
= A.
La matriz escalonada A tiene menos pivotes que incógnitas (de estas hay
cuatro y de aquellos hay tres), y ninguno de los pivotes figura en la última
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92 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
columna. De acuerdo con el resultado del § 87, el sistema de ecuacioneslineales (40) es compatible indeterminado.
Para resolver el sistema, procedemos como se sugiere en los § 86 y 87:
calculamos la forma escalonada reducida de la matriz A (la ampliada del sis-
tema), y escribimos el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada
es justamente esta forma escalonada reducida. Como ya tenemos una forma
escalonada de la matriz A —la matriz A—, seguimos a partir de ella:
A =
1 1 1 2 10 1 2 0 20 0 1 4 0
F 1←F 1−F 2 →
1 0 −1 2 −10 1 2 0 20 0 1 4 0
F 2←F 2−2F 3
F 1←F 1+F 3 →
1 0 0 6 −10 1 0 −8 20 0 1 4 0
= A.
Ahora, el sistema de ecuaciones lineales de matriz ampliada la matriz esca-Nótese que la matriz escalona-
da reducida A presenta sus
pivotes en las primeras colum-
nas.
lonada reducida A es este:x1 + 6x4 = −1
x2 − 8x4 = 2
x3 + 4x4 = 0.
(41)
Despejando las incógnitas x1, x2 y x3 en función de la incógnita x4, obte-
nemos: x1 = −1 − 6x4,
x2 = 2 + 8x4,
x3 = − 4x4.
(42)
Si damos a la incógnita x4 algún valor numérico concreto, el valor corres-
pondiente de las incógnitas x1, x2 y x3 dado por las tres igualdades de (42)
configura una solución del sistema. Por ejemplo, tomando x4 = 0, nos
queda x1 = −1, x2 = 2 y x3 = 0, y la cuaterna (−1, 2, 0, 0) es una solución
del sistema. Otro ejemplo: tomando x4 = 1, obtenemos como solución la
cuaterna (−7, 10, −4, 1).
Finalmente, podemos afirmar que todas las soluciones del sistema de
A modo de comprobación, enel sistema (40), puede el lector
sustituir x1 por −1 − 6x4, x2
por 2 + 8x4 y x3 por −4x4. . .
ecuaciones lineales (41), y por tanto las del sistema de ecuaciones linea-les (40) (ambos son equivalentes), son todas las cuaternas de la forma:
−1 − 6x4, 2 + 8x4, −4x4, x4
, donde x4 es un número cualquiera.
90 En un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es es-Incógnitas básicas e
incógnitas libres calonada reducida, las incógnitas que figuran en primer lugar en alguna
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I.3. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 93
ecuación (y que por tanto son tales que su coeficiente es un pivote de lamatriz y es igual a 1) se denominan incógnitas básicas o incógnitas princi-
pales; las restantes se denominan incógnitas libres, o parámetros. Cuando
buscamos escribir la solución del sistema, despejamos las incógnitas básicas
en función de las incógnitas libres.
Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones lineales (41), visto en el § 89,
y que tiene por matriz ampliada una matriz escalonada reducida, la incóg-
nita x1 es la primera incógnita de la primera ecuación, con lo que es una
incógnita básica (o principal). También son incógnitas básicas las incógni-
tas x2 y x3, primeras de las ecuaciones segunda y tercera, respectivamente.
La incógnita x4, por el contrario, es una incógnita libre (o un parámetro).
Cuando hemos buscado la solución de este sistema, hemos despejado lasincógnitas básicas en función de la incógnita libre; esto es justamente lo que
está plasmado en las igualdades de (42).
91 Cuando un sistema cuya matriz ampliada es escalonada reducidaNotación habitual para las
incógnitas libres, con letras
griegas. Continuación del
ejemplo del § 89
admite solución y exhibe incógnitas libres o parámetros, en la expresión
final de la solución se suelen sustituir las incógnitas libres por otras letras,
habitualmente griegas, para distinguirlas en su notación de las incógnitas
principales.
Por ejemplo, para el sistema (41), y en definitiva para el (40) —que
es equivalente a él—, si denotamos la incógnita libre x4 por λ, podemosLetra griega λ (léase “lamb-
da”). concluir lo siguiente: todas las soluciones del sistema (40) son las cuater-nas (x1, x2, x3, x4) tales que:
x1 = −1 − 6λ,
x2 = 2 + 8λ,
x3 = − 4λ,
x4 = λ,
donde λ es un número cualquiera;
o también: todas las soluciones del sistema (40) son las cuaternas de la
forma:
−1 − 6λ, 2 + 8λ, −4λ, λ
, donde λ es un número cualquiera.
92 Volvamos al sistema de ecuaciones lineales (40). Una vez hemosSustitución hacia atrás en el
sistema del § 89 llegado a la forma escalonada A de su matriz ampliada —la cual nos ha
permitido deducir que el sistema es compatible indeterminado—, podemos
escribir el sistema cuya matriz ampliada es esta matriz escalonada A: tal
sistema es equivalente al (40) y puede ser resuelto por sustitución hacia
atrás (cf. § 50, p. 57). Veámoslo.
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I.3. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 95
De acuerdo con la nomenclatura introducida en el § 90, en el sistema (44)las incógnitas x1 y x3 son básicas (cada una es la primera de una ecuación),
y las incógnitas x2 y x4 son libres. Despejamos las incógnitas básicas en
función de las libres; obtenemos:x1 = 4 − 2x2 ,
x3 = 1 − x4.
Así vemos que, dando valores numéricos concretos a x2 y x4, los valores
correpondientes de x1 y x3 obtenidos de las igualdades anteriores nos con-
figuran una solución del sistema. Por ejemplo, si x2 = 1 y x4 = 2, se obtiene
que x1 = 2 y x3 = −1, y la cuaterna (2, 1, −1, 2) es una solución del sistema.Finalmente, si —como es usual— sustituimos las letras de las incógnitas
libres por letras griegas —por ejemplo, x2 por λ y x4 por µ—, entoncesLetra griega µ (léase “mi”).
podemos concluir que todas las soluciones del sistema (44), y por tanto las
del (43), son las cuaternas (x1, x2, x3, x4) tales que:
x1 = 4 − 2λ
x2 = λ
x3 = 1 − µ
x4 = µ,
donde λ y µ son números cualesquiera;
o bien: tales soluciones son todas las cuaternas de la forma:
4 − 2λ, λ, 1 − µ, µ
, donde λ y µ son números cualesquiera.
94 La nomenclatura que hemos introducido en el § 90, con la que dis-Más sobre la distinción entre
incógnitas básicas e
incógnitas libres tinguimos entre incógnitas básicas e incógnitas libres, es aplicable también
a sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados. Lo que acon-
tece con estos sistemas es que no presentan incógnitas libres: todas son
básicas.
Dado un sistema de ecuaciones lineales con matriz
ampliada escalonada, acontece lo siguiente: si el sis-tema es compatible determinado, la matriz ampliada
no presenta ningún pivote en su última columna y tiene
tantos pivotes como incógnitas. ¿Por qué? Por un lado,
si hubiera un pivote en la última columna, el sistema
sería incompatible; por otro lado, no puede haber más
pivotes que incógnitas, y si hubiera menos, el sistema
sería compatible indeterminado. Si la matriz ampliadadel sistema, además de escalonada, es escalonada redu-
cida, al haber un pivote por incógnita resulta que cada
incógnita es la primera de alguna ecuación, es decir,
todas las incógnitas son básicas, y no hay incógnitas
libres.
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96 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Por otra parte, surge la pregunta de cuántas incógnitas libres (o paráme-tros) presenta finalmente en su solución un sistema de ecuaciones lineales.
La respuesta es esta: tantas como marca la diferencia entre el número de
incógnitas y el número de pivotes. Esta afirmación es válida para sistemas
tanto compatibles determinados como compatibles indeterminados (en el
primer caso, la citada diferencia es nula). Animamos al lector a comprobar
la afirmación particularmente en los sistemas de ecuaciones lineales com-
patibles indeterminados que hemos ido viendo en los últimas páginas.
2. Sistemas homogéneos
Este apartado está dedicado a un tipo particular de sistema de ecuacioneslineales: los sistemas homogéneos.
95 Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es un sistema en elSistemas homogéneos
cual el término independiente de cada ecuación es nulo.
Por ejemplo, el siguiente es un sistema de ecuaciones lineales homogé-
neo: x1 − 2x2 + x3 = 0
x1 − 2x3 = 0,(45)
pues sus dos términos independientes son nulos. En este sistema vemos alSi hacemos x1 = 0, x2 = 0y x3 = 0 en el sistema, obte-
nemos una igualdad de cadaecuación.
menos una solución obvia: la terna (0, 0, 0) (o terna nula ).
En general, un sistema homogéneo de n ecuaciones en las m incógni-
tas x1, x2, . . . , xm tiene esta forma:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1mxm = 0
a21x1 + a22x2 + · · · + a2mxm = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1x1 + an2x2 + · · · + anmxm = 0.
Es claro que tiene al menos una solución: la llamada solución nula, dada
por x1 = x2 = . . . = xm = 0; es decir, esta m-upla:
0, 0, . . . , 0 m ceros
.
Nótese también que la última columna de la matriz ampliada de un sis-
tema homogéneo es nula; en particular, no puede dar lugar a un pivote al
escalonar la matriz, lo que vuelve a confirmar que el sistema no es incompa-
tible: admite al menos una solución.
8/10/2019 ADE UNED Matemáticas I, Cap I
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I.3. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 97
96 Como todo sistema homogéneo admite al menos una solución: laDiscusión de sistemas
homogéneos nula, la discusión de un sistema homogéneo se reduce a determinar si ad-
mite solamente esta solución nula (compatible determinado) o si admite más
soluciones (compatible indeterminado). Dado que la última columna de la
matriz ampliada de un sistema homogéneo no da lugar a ningún pivote, laRecordemos que esta última
columna es nula.
forma de determinar la clase de sistema se puede reducir a escalonar sola-
mente la matriz de coeficientes del sistema y contar sus pivotes: si tiene tan-
tos como incógnitas, el sistema es compatible determinado; si tiene menos
pivotes que incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
Los sistemas homogéneos, sin embargo, verifican esta propiedad:
Si un sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene más incógnitas queecuaciones, entonces es compatible indeterminado.
¿Por qué? Supongamos que ya tenemos una forma escalonada de la ma-
triz ampliada del sistema. Si hay más incógnitas que ecuaciones, entonces
hay más incógnitas en el sistema que filas en la forma escalonada (pues
hay tantas de estas como ecuaciones). Como en toda matriz escalonada el
número de pivotes es menor o igual que el de filas, en definitiva hay más
incógnitas en el sistema que pivotes en la forma escalonada de su matriz
ampliada, con lo que el sistema es compatible indeterminado.
Por ejemplo, el sistema homogéneo (45) tiene más incógnitas que ecua-
ciones, luego es compatible indeterminado.
97 De acuerdo con lo visto en el § 96, el sistema de ecuaciones linealesUn ejemplo de resolución de
un sistema homogéneo homogéneo (45) es compatible indeterminado. Pero, ¿cuáles son todas sus
soluciones?
En principio, los sistemas homogéneos compatibles indeterminados se
resuelven como hemos visto hasta ahora: de su matriz ampliada, se busca
la forma escalonada reducida, y se plantea el sistema que tiene esta forma
escalonada reducida como matriz ampliada. Pero puede haber una pequeña
salvedad en virtud de que se trata de un sistema homogéneo. La última
columna de la matriz ampliada es nula, y cualquier transformación elemen-
tal (por filas) que se le aplique seguirá dejando nula esta última columna; aComo decíamos en el § 96 pa-
ra la discusión de un sistema
homogéneo: solo la matriz de
coeficientes.
fin de no arrastrar una columna nula a cada cálculo, en la práctica es más
operativo escalonar solamente la matriz de coeficientes del sistema.
Con el sistema (45), empezamos escalonando su matriz de coeficientes:
A =
1 −2 11 0 −2
F 2←F 2−F 1 →
1 −2 10 2 −3
= A.
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98 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Como la matriz escalonada A tiene dos pivotes, menos que incógnitas tieneel sistema, se ve confirmado lo que ya sabemos: que se trata de un sistema
compatible indeterminado. Concluimos el cálculo de la forma escalonada
reducida de la matriz A a partir de esta forma escalonada A:
A =
1 −2 10 2 −3
F 2←(1/2)F 2 →
1 −2 10 1 −3/2
F 1←F 1+2F 2 →
1 0 −20 1 −3/2
= A.
Ahora, el sistema homogéneo cuya matriz de coeficientes es la matriz esca-
lonada reducida A es este:
¡Que no se nos olviden los tér-minos independientes nulos! x1 − 2x3 = 0
x2 − (3/2)x3 = 0.
En este sistema, las incógnitas x1 y x2 son básicas, y la incógnita x3 es libre;
despejamos aquellas en función de esta:
x1 = 2x3 y x2 = 32
x3.
Denotando la incógnita libre por λ, concluimos que todas las soluciones del
sistema homogéneo (45) son las ternas (x1, x2, x3) tales que:
x1 = 2λ,
x2 =
3
2λ,
x3 = λ,
donde λ es un número cualquiera;
o bien: todas las ternas de la forma:2λ,
32
λ, λ
, donde λ es un número cualquiera.
98 El siguiente sistema de ecuaciones lineales es homogéneo:Otro ejemplo 4x1 + 2x2 = 0
2x1 − 3x2 = 0.
Resolvámoslo.
Escalonamos su matriz de coeficientes:
A = 4 22 −3
F 2←F 2−(1/2)F 1 →4 2
0 −4 = A.
Como la matriz escalonada A exhibe dos pivotes, tantos como incógni-
tas tiene el sistema, deducimos que el sistema es compatible determinado.
Sin más cálculos, concluimos que su única solución es el par ordenado nu-
lo: (0, 0).
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I.3. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 99
3. Resultados adicionales importantesEn este apartado probamos dos resultados que hemos citado a lo largo de
las páginas anteriores: todas las formas escalonadas de una misma matriz
tienen idéntico número de pivotes (y tienen estos en las mismas columnas),
y la unicidad de la forma escalonada reducida de una matriz.
Invarianza del número de pivotes al escalonar una matriz
99 Una matriz nula solamente tiene una forma escalonada: ella misma,Todas las formas escalonadas
de una matriz tienen el
mismo número de pivotes pero una matriz no nula admite infinitas formas escalonadas. Todas las
formas escalonadas de una matriz tienen el mismo número de pivotes, y en
todas ellas los pivotes están situados en las mismas columnas.
Consideremos una matriz A no nula (tiene, pues,
un término no nulo al menos).
En primer lugar , comprobamos este resultado: si
encontramos una forma escalonada de la matriz A con
un pivote en la última columna, entonces cualquier otra
forma escalonada de A tiene también un pivote en su
última columna.
Si la matriz A solo tiene una columna (es decir, es
de orden (n, 1) para algún número n), para escalonarla
procedemos así: se selecciona algún término no nulo
de la matriz (de su única columna), se lleva a la pri-
mera posición y se anulan los que están por debajo de
él; cualquier forma escalonada de A es, pues, de esta
forma: a
0...0
, para algún número a no nulo,
y podemos afirmar que todas estas formas escalona-
das tienen un pivote en su última columna. Suponga-
mos ahora que la matriz A tiene dos columnas o más,de forma que puede considerarse la matriz ampliada
de un sistema de ecuaciones lineales. Como hay una
forma escalonada de A con un pivote en su última co-
lumna, tal sistema es incompatible, y cualquier sistema
cuya matriz ampliada sea una forma escalonada de A
será también incompatible. No puede haber, pues, una
forma escalonada de la matriz A que no tenga un pivote
en su última columna (si la hubiera, el sistema con ma-
triz ampliada A sería compatible determinado o com-
patible indeterminado). Todas las formas escalonadas
de la matriz A presentan, pues, un pivote en su última
columna.
De acuerdo con lo probado, podemos afirmar lo si-
guiente: o bien todas las formas escalonadas de la ma-
triz A presentan un pivote en su última columna, o bien
no lo presenta ninguna.En segundo lugar , comprobamos este otro resul-
tado: fijada una columna de la matriz A, digamos la
j-ésima (con j un número natural entre 1 y el número
de columnas de A), si alguna forma escalonada de la
matriz A presenta un pivote en su columna j-ésima, en-
tonces cualquier otra forma escalonada de A presenta
también un pivote en su columna j-ésima.
Si la j -ésima columna es la última, estamos ante el
primer resultado (probado en los párrafos anteriores).
Si tal columna no es la última, podemos eliminar, tanto
de la forma escalonada citada en el enunciado como
de la propia matriz A, las últimas columnas de formaque la j-ésima quede como nueva última. La matriz
obtenida al quitar estas columnas en la forma escalo-
nada de A es, a su vez, una forma escalonada de la ma-
triz que queda al quitar tales columnas en la matriz A.
Aplicando el primer resultado, concluimos el segundo.
De esta forma, podemos afirmar lo siguiente: o bien
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100 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
todas las formas escalonadas de la matriz A presentanun pivote en la columna j -ésima, o bien no lo presenta
ninguna.
Como cada columna de una matriz escalonada tiene
a lo más un pivote, podemos finalmente concluir quetodas las formas escalonadas de la matriz A tienen los
pivotes en las mismas columnas; en particular, todas
tienen el mismo número de pivotes.
Dada una matriz, todas sus formas escalonadas tienen el mismo número
de pivotes, y estos pivotes figuran en las mismas columnas.
Nota bene El resultado anterior también es verificado por una matriz nula.
Unicidad de la forma escalonada reducida
100 La forma escalonada reducida de una matriz es única. Es decir,La forma escalonada reducida
de una matriz es única solo hay una matriz escalonada reducida que pueda obtenerse a partir de la
matriz dada con la aplicación de transformaciones elementales sucesivas.
Consideremos una matriz no nula A de or-
den (n,m). Todas sus formas escalonadas (reducidas
o no) tienen la misma cantidad de pivotes (cf. § 99);
denotemos esta cantidad por r .
Si la cantidad de pivotes es igual a la de colum-
nas: r = m, cualquier posible forma escalonada redu-cida de la matriz A es una matriz de orden (n, m), es-
calonada reducida, y con m pivotes. De acuerdo con
el § 77 (cf. p. 78), una matriz de estas características
debe ser así: o bien es la matriz identidad de orden m,
o bien es la matriz resultante de “añadir filas nulas por
debajo” (tantas como señale la diferencia n−r ) a la ma-
triz identidad de orden m, y tenemos un caso u otro
según sea el número de pivotes igual al de filas (r = n)
o menor (r < n), respectivamente. En cualquiera de los
dos casos, la forma escalonada reducida de la matriz A
resulta ser única.
A partir de ahora, supongamos que el número depivotes es menor que el número de columnas: r < m.
Por comodidad, pongámonos también en el caso en el
que el número de pivotes es igual al de filas: r = n
(si r < n, el desarrollo sería el mismo, solo que con fi-
las nulas o ecuaciones nulas añadidas a las matrices o
a los sistemas, respectivamente, que consideramos).
Supondremos que la matriz A admite dos formas
escalonadas reducidas, que denotaremos B y D, y com-
probaremos que B = D.
Las matrices B y D tienen sus pivotes en las mis-
mas columnas; sin pérdida de generalidad podemos
suponer que ambas los tienen en las primeras colum-nas (si no es el caso, una reordenación adecuada de las
columnas —la misma para ambas matrices— sitúa los
pivotes donde queremos). De nuevo de acuerdo con el
§ 77 (cf. p. 78), la matriz B tiene esta forma:1 0 . . . 0 b1(r +1) . . . b1m
0 1 . . . 0 b2(r +1) . . . b2m
......
. . . ...
... . . .
...0 0 . . . 1 br (r +1) . . . br m
r
m − r
r = n ,
para algunos números bij (1 i r y r + 1 j m);
y la matriz D también tiene la misma forma, pero envez de los números bij tiene eventualmente otros, que
denotamos por dij (1 i r y r + 1 j m).
Ahora observamos que el sistema homogéneo con
matriz de coeficientes B es equivalente al sistema ho-
mogéneo con matriz de coeficientes D; toda solución,
pues, del primero debe serlo del segundo, y viceversa.
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102 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Tratemos de escalonarla con el procedimiento que conocemos:
A =
1 −1 22 a 1
F 2←F 2−2F 1 →
1 −1 20 a + 2 −3
= A.
La matriz obtenida: A, ¿es escalonada? Sí. ¿Qué pivotes tiene? Sabemos
que su primer pivote es igual a 1 y que figura en la primera columna. ¿Y un
segundo pivote? Lo hay, pero no sabemos si figura en la segunda columna
o en la tercera; ello dependerá del valor del parámetro a. La expresión a + 2
puede ser nula o no, según el valor de a. Si es no nula, entonces el segundo
pivote de la matriz está en la segunda columna (sería igual, justamente,
a a+
2); si es nula, está en la tercera columna (sería igual a−
3). Distingamos,
pues, ambos casos. Por un lado: a + 2 ≠ 0, es decir: a ≠ −2; por otro
lado: a + 2 = 0, esto es: a = −2.
Primer caso: a ≠ −2. La forma escalonada de la matriz A toma la forma:
En vez de: A, escribimos: A1.
Añadimos subíndices para se-
ñalar los distintos casos.
A1 =
1 −1 20 a + 2 −3
.
Esta matriz, forma escalonada de la matriz ampliada del sistema (46) para
este caso, no presenta un pivote en su última columna, y el número de sus
pivotes es igual al número de incógnitas del sistema. En este caso, pues, el
sistema (46) es compatible determinado.
Segundo caso: a = −2. La forma escalonada de la matriz A es ahora:
Un nuevo subíndice. A2 =
1 −1 20 0 −3
,
la cual presenta un pivote en su última columna. En este caso, entonces, el
sistema (46) es incompatible.
Una vez tenemos discutido el sistema en función de los valores del pa-
rámetro a, resolvámoslo. Para ello, solamente debemos seguir trabajando
en el primer caso —el de a ≠ −2—, pues el otro nos lleva a un sistema in-
compatible. Calculemos, pues, la forma escalonada reducida de la matriz
A
en el caso en que a ≠
−2. Seguimos el procedimiento general ya conocido,
y partimos de la forma escalonada recién calculada: A1. Primero hacemos
unitarios los pivotes; para ello solo debemos multiplicar la segunda fila por
el inverso de a + 2:
A1 =
1 −1 20 a + 2 −3
F 2←[1/(a+2)]F 2 →
1 −1
0 1
2
− 3a + 2
.
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I.3. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 103
Y ahora anulamos el término que figura en la misma columna del segundopivote:
Otra vez añadimos un subíndi-
ce para señalar los casos; es-
cribimos: A1 , en vez de: A.
1 −1
0 1
2
− 3a + 2
F 1←F 1+F 2 →
1 0
0 1
2 − 3a + 2
− 3a + 2
= A1 .
La matriz A1 obtenida ya es ecalonada reducida. El sistema que la tiene por
matriz ampliada es este:
2 − 3
a + 2 = 2a + 1
a + 2
x = 2a + 1a + 2
y = − 3a + 2
,
y su solución única salta a la vista: el par ordenadoNótese que podemos leer esta
solución única en la última co-
lumna de la matriz A1 .
2a + 1a + 2
, − 3a + 2
.
Es esta la solución del sistema (46) en el caso en que a ≠ −2.
Resumimos lo obtenido tras el análisis del sistema de ecuaciones linea-
les (46):
• si a ≠ −2, el sistema es compatible determinado, y su única solución
es el par ordenado
2 − 3/(a + 2), −3/(a + 2)
;
• si a
= −2, el sistema es incompatible.
102 Discutamos y resolvamos, según los valores del parámetro a, esteOtro ejemplo con dos
incógnitas sistema de ecuaciones lineales: x − y = 2
2x + ay = 4.(47)
Escribimos la matriz ampliada del sistema:
A =
1 −1 22 a 4
,
y buscamos escalonarla:
A =1 −1 2
2 a 4
F 2←F 2−2F 1 →
1 −1 20 a + 2 0
= A.
La matriz A obtenida es escalonada, pero es ambiguo el número de sus
pivotes si no tenemos información sobre el valor del parámero a. Más en
concreto, sabemos que la matriz tiene un primer pivote —igual a 1, y en su
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104 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
primera columna—, pero podría tener otro más —en su segunda columna—,o no tener ninguno más: todo según sea la expresión a + 2 distinta de 0 o
igual a 0, respectivamente.
Si a + 2 ≠ 0, es decir, si a ≠ −2, la matriz A toma la forma:
A1 =
1 −1 20 a + 2 0
.
Se trata de una matriz con dos pivotes, tantos como incógnitas, y ninguno
en la última columna: sistema compatible determinado.
Si a + 2 = 0, es decir, si a = −2, la matriz A resulta ser:
A2 = 1
−1 2
0 0 0 .
Estamos ante un único pivote que no figura en la última columna: sistema
compatible indeterminado.
La discusión del sistema (47) nos ha llevado, pues, a dos posibilidades:
compatible determinado o compatible indeterminado, según sea a ≠ −2
o a = −2, respectivamente. Para la resolución del sistema, en ambos casos
buscamos llegar a la forma escalonada reducida correspondiente.
En el primer caso: a ≠ −2, tenemos:
A
1 =
1 −1 20 a + 2 0
F 2←[1/(a+2)]F 2 →
1 −1 20 1 0
F 1←F 1+F 2 → 1 0 2
0 1 0 = A
1 ,
y podemos leer la solución única correspondiente en la última columna de
La matriz A1 es la matriz am-
pliada de:x = 2
y = 0. esta matriz A1 : el par ordenado (2, 0).
En el segundo caso: a = −2, la matriz escalonada A2 resulta ser ya es-
calonada reducida. En el sistema que la tiene como matriz ampliada, elimi-Podríamos escribir: A2 = A
2.
namos la ecuación nula (correspondiente a la segunda fila de la matriz), y
obtenemos un sistema con una sola ecuación: x − y = 2.
Este sistema presenta una incógnita básica: la x , y una incógnita libre: la y .La incógnita x es la primera dela única ecuación del sistema. Expresamos la primera en función de la segunda: x = 2 + y , y sustitui-
mos la segunda —por ser incógnita libre— por la letra griega λ. Todas las
soluciones del sistema son, pues, los pares ordenados (x,y) de la forma: x = 2 + λ,
y = λ,donde λ es un número cualquiera.
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I.3. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 105
O lo que es lo mismo: las soluciones son todos los pares ordenados (2−λ, λ)
con λ un número cualquiera.
Recapitulamos el estudio del sistema de ecuaciones lineales (47):
• si a ≠ −2, el sistema es compatible determinado, y su única solución
es el par ordenado (2, 0);
• si a = −2, el sistema es compatible indeterminado, y sus soluciones
son los pares ordenados de la forma (2 − λ, λ) con λ un número cual-
quiera.
103 Discutamos, según los valores de los parámetros a y b, el siguienteUn ejemplo de discusión de
un sistema según el valor de
dos parámetrossistema de ecuaciones lineales:
x + az = b + 2
2x + y + 2az = 2b + 3
−2x − y = − 3.
(48)
Como siempre, escribimos la matriz ampliada del sistema y la intenta-
mos escalonar:
A =
1 0 a b + 22 1 2a 2b + 3
−2 −1 0 −3
F 2←F 2−2F 1
F 3←F 3+2F 1 →
1 0 a b + 20 1 0 −10 −1 2a 2b + 1
F 3←F 3+
F 2 →
1 0 a b + 2
0 1 0 −10 0 2a 2b
= A.
La matriz obtenida es escalonada y exhibe al menos dos pivotes —en las
dos primeras columnas—, pero queda ambigua la existencia de un tercero.
Según sean nulos o no los parámetros a y b, podría haber o no un tercer
pivote, y en caso afirmativo estar este pivote en la tercera columna o en la
cuarta. Más en concreto, si a ≠ 0, entonces figura un tercer pivote en la
tercera columna; si a = 0 y b ≠ 0, entonces encontramos el tercer pivote en
la cuarta columna; y si a = b = 0, no hay tal tercer pivote. Examinemos más
detenidamente cada caso.
Si a ≠ 0, la matriz A toma la forma:
A1 =
1 0 a b + 20 1 0 −10 0 2a 2b
,
con tantos pivotes como incógnitas y ninguno en la última columna: sistema
Nótese que, si a ≠ 0, el sis-
tema es compatible determi-
nado independientemente de
que b sea nulo o no. compatible determinado.
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106 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Si a = 0 y b ≠ 0, la matriz A queda así:
A2 =
1 0 0 b + 20 1 0 −10 0 0 2b
,
con un pivote en la última columna: sistema incompatible.
Finalmente, si a = b = 0, la matriz A resulta:
A3 =
1 0 0 20 1 0 −10 0 0 0
,
con menos pivotes que incógnitas, y ninguno en la última columna: sistemacompatible indeterminado.
104 En el § 103, hemos discutido el sistema de ecuaciones (48) segúnContinuación del ejemplo
anterior los valores de los parámetros a y b; ahora, resolvámoslo.
Si a ≠ 0, el sistema es compatible determinado; el cálculo de la forma
escalonada reducida de la matriz ampliada toma esta forma:
A1 =
1 0 a b + 20 1 0 −10 0 2a 2b
F 3←[1/(2a)]F 3 →
1 0 a b + 20 1 0 −10 0 1 b/a
F 1←F 1−aF 3 →1 0 0 2
0 1 0 −10 0 1 b/a
= A1 .
Leyendo la última columna de la matriz A1 , deducimos que la única solución
del sistema (48) en este caso es la terna (2, −1,b/a).
Si a = 0 y b ≠ 0, el sistema (48) es incompatible, y no hay nada más que
hacer.
Finalmente, si a = b = 0, el sistema es compatible indeterminado. La
matriz A3, forma escalonada de la matriz A en este caso, ya es escalonada
reducida. El sistema cuya matriz ampliada es la matriz A3 se reduce a estePodríamos escribir: A
3 = A3.
(eliminando la ecuación nula):Nótese que el sistema, con to-
dos los coeficientes explicita-dos, sería este:
x + 0y + 0z = 2
0x + y + 0z = −1
0x + 0y + 0z = 0.
x = 2
y = −1,
el cual debe ser considerado —no lo olvidemos— un sistema en las tres
incógnitas x , y y z . Las incógnitas x y y son básicas, y en este caso toman
un valor fijo; la incógnita z, aunque no figure, es libre. Haciendo uso de la
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I.3. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 107
letra griega λ para designar la incógnita libre, podemos escribir que todaslas soluciones del sistema son las ternas (x,y, z) tales que:
x = 2 ,
y = −1 ,
z = λ,
donde λ es un número cualquiera;
es decir: las ternas de la forma (2, −1, λ) con λ un número cualquiera.
Recapitulamos la discusión y resolución del sistema de ecuaciones linea-
les (48):
• si a ≠ 0, el sistema es compatible determinado, y su única solución es
la terna (2, −1,b/a);
• si a = 0 y b ≠ 0, el sistema es incompatible;• si a = b = 0, el sistema es compatible indeterminado, y sus soluciones
son las ternas de la forma (2, −1, λ) con λ un número cualquiera.
105 Discutamos y resolvamos, según los valores de los parámetros a, bEjemplo de un sistema en el
que figuran tres parámetros y c , el siguiente sistema de ecuaciones lineales:2x1 − 3x3 + x4 = a
x2 − 6x3 + 2x4 = b
4x1 − x2 = c.
(49)
Empezamos escalonando la matriz ampliada del sistema:
A = 2 0 −3 1 a0 1 −6 2 b
4 −1 0 0 c
F 3←F 3−2F 1 →2 0 −3 1 a0 1 −6 2 b
0 −1 6 −2 c − 2a
F 3←F 3+F 2 →
2 0 −3 1 a
0 1 −6 2 b
0 0 0 0 c − 2a + b
= A.
La matriz escalonada A exhibe al menos dos pivotes, y en sus dos primeras
columnas. Si c − 2a + b ≠ 0, hay un tercer pivote, justamente en la última
columna: el sistema es incompatible en este caso. Si c − 2a + b = 0, no hay
más pivotes, y el sistema resulta ser compatible indeterminado (dos pivotes
frente a cuatro incógnitas).
Resolvamos ahora el sistema en el caso en que hay solución, esto es, en
el caso en que c − 2a + b = 0. La forma escalonada reducida de la matriz Atoma la forma:2 0 −3 1 a
0 1 −6 2 b
0 0 0 0 0
F 1←(1/2)F 1 →
1 0 −3/2 1/2 a/20 1 −6 2 b
0 0 0 0 0
.
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108 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
En el sistema cuya matriz ampliada es la matriz escalonada reducida ante-rior, eliminamos la tercera ecuación (que es nula), y obtenemos:
x1 − 32
x3 + 12
x4 = a
2
x2 − 6x3 + 2x4 = b .
Las incógnitas x1 y x2 son básicas, y las incógnitas x3 y x4 son libres. Despe-
jando aquellas en función de estas, y escribiendo las letras griegas λ y µ en
vez de x3 y x4, respectivamente, podemos concluir que todas las soluciones
del sistema son las cuaternas (x1, x2, x3, x4) tales que:
x1 =a
2 +32 λ −
12 µ,
x2 = b + 6λ − 2µ,
x3 = λ ,
x4 = µ,
donde λ y µ son números cualesquiera;
o bien: todas las soluciones del sistema son las cuaternas de la forma:a
2 + 3
2λ − 1
2µ, b + 6λ − 2µ, λ, µ
, con λ y µ números cualesquiera.
Resumamos el estudio del sistema de ecuaciones lineales (49):Sobre este sistema podemos
afirmar que una condición ne-
cesaria y suficiente (cf. notap. 164) para que admita solu-
ción es: c − 2a + b = 0.
• si c
−2a
+b ≠ 0, el sistema es incompatible;
• si c − 2a + b = 0, el sistema es compatible indeterminado, y sus solu-ciones son todas las cuaternas (a/2 + (3/2)λ − µ/2, b + 6λ − 2µ,λ,µ)
con λ y µ números cualesquiera.
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I.3. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 109
Ejercicios I.31 Resolver este sistema de ecuaciones lineales:
x + y + z = 1
2y − z = 2
x − 3y + 3z = −3.
2 Resolver el sistema de ecuaciones lineales
x1 + x2 − x3 − 2x4 = −1
2x1 − x2 + 2x3 = 4
3x1 + x3 − 2x4 = 3.
3 Resolver el sistema de ecuaciones lineales homo-
géneo cuya matriz de coeficientes es 1 0 1 −1−1 2 1 3
0 1 1 1
.
4 Resolver el sistema de ecuaciones lineales cuya
matriz ampliada es
1 1 0 20 1 1 21 0 1 −11 1 2 2
.
5 Nos dan el siguiente sistema de ecuaciones linea-
les, en el que figuran tres parámetros, a, b y c :x − 3y = a
2x + y = b
3x − 2y = c.
a) ¿Para qué valores de los parámetros a , b y c ad-
mite solución?
b) Resolver el sistema cuando los parámetros a, b
y c son tales que el sistema es compatible determinado.
6 Discutir y resolver, según los valores de los pará-metros a y m, este sistema de ecuaciones lineales: x − y = 2
2x + ay = m.
7 Discutir y resolver, según los valores del paráme-
tro p, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x1 − x2 + x3 = 1
x2 + x3 + x4 = 1
2x1 − 2x2 + px3 = 2.
8 Discutir y resolver, según los valores de los pa-
rámetros a, b y c, el siguiente sistema de ecuaciones
lineales:
x1 + x2 + x4 = a
x2 − x3 − x4 = b
−x1 + x2 − x3 = c.
9 Discutir y resolver, según los valores de los pa-
rámetros a, b, r y s , el sistema de ecuaciones lineales
cuya matriz ampliada es
1 a r
b 1 s
.
10 Discutir y resolver, según los valores de los pará-
metros p y m, el siguiente sistema de ecuaciones linea-
les: x1 + x3 = 2 − p
x1 + mx2 + x3 = p2
x1 + (m + 2)x3 = 2.
11 Siendo a un parámetro, nos dan la matriz:
1 1 −1 32 0 5 −10 2 a 7
.
Si esta matriz es la de coeficientes de cierto sistema de
ecuaciones lineales, ¿para qué valores del parámtro a
podemos afirmar que tal sistema admite solución cua-
lesquiera que sean sus términos independientes?
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110 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
RECAPITULACIÓN IEcuaciones lineales Una ecuación lineal en
las m incógnitas (o variables) x1, x2, . . ., xm es una
expresión de la forma:
a1x1 + a2x2 + · · · + amxm = c, (i )
donde a1, a2, . . ., am son números reales, que se llaman
coeficientes de la ecuación, y c es otro número real,
que se llama término independiente de la ecuación.
Dada una m-upla (s1, s2, . . . , sm) de números, se
dice que es una solución de la ecuación lineal (i ) si al
sustituir, en la ecuación, x1 por s1, x2 por s2 , . . . , xm
por sm, se obtiene una igualdad. Es decir, si se verifica:
a1s1 + a2s2 + · · · + amsm = c.
Las ecuaciones lineales se pueden multiplicar por
un número (decimos en este caso que hemos calculado
un múltiplo de la ecuación lineal) y se pueden sumar
miembro a miembro. Si sumamos a una ecuación li-
neal un múltiplo de otra, cualquier solución común a
las dos ecuaciones originales también será solución de
la ecuación lineal obtenida como resultado.
Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de
ecuaciones lineales es una lista (finita) de ecuaciones
lineales consideradas simultáneamente, todas en las
mismas incógnitas. La expresión general de un sis-
tema de n ecuaciones lineales en las m incógnitas x1 ,
x2, . . ., xm es:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1mxm = c1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2mxm = c2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + · · · + anmxm = cn.
(ii )
Se llama solución de un sistema de n ecuaciones li-
neales y m incógnitas a toda m-upla que sea solución,
simultáneamente, de todas y cada una de las n ecua-
ciones lineales del sistema.
Si un sistema de ecuaciones lineales admite solu-
ción única, se dice que es compatible determinado; si
admite infinitas soluciones, se dice que es compatible
indeterminado; y si no admite solución, se dice que es
incompatible.
Dado un sistema de ecuaciones lineales, o bien es
compatible determinado, o bien es compatible indeter-
minafo, o bien es incompatible.
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalen-
tes si tienen las mismas soluciones; si dos sistemas en
las mismas incógnitas no admiten solución, también di-
remos que ambos son equivalentes.Si en un sistema de ecuaciones lineales intercam-
biamos dos ecuaciones, o multiplicamos una ecuación
por un número no nulo, o sumamos a una ecuación un
múltiplo de otra, obtenemos un sistema equivalente al
original.
Representación matricial de un sistema de ecuacio-
nes lineales Una matriz de orden (n,m) (o de
orden n × m) es una disposición de n · m números
(reales) en forma rectangular en n filas y m columnas.
Los números que se escriben en una matriz se denomi-
nan términos de la matriz.
Se denomina matriz de coeficientes, o matriz aso-
ciada, del sistema de ecuaciones lineales (ii ) a esta ma-
triz de orden (n,m):a11 a12 . . . a1m
a21 a22 . . . a2m
......
. . . ...
an1 an2 . . . anm
.
Los términos de la i-ésima fila son los coeficientes de
la i-ésima ecuación del sistema, y los términos de la j -
ésima columna son los coeficientes que acompañan a la
j-ésima incógnita en las ecuaciones del sistema.
Se denomina matriz ampliada del sistema de ecua-
ciones lineales (ii ) a esta matriz de orden (n,m + 1):a11 a12 . . . a1m
a21 a22 . . . a2m
......
. . . ...
an1 an2 . . . anm
c1
c2
...cn
.
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RECAPITULACIÓN I 111
Esta matriz se diferencia de la de coeficientes en quetiene una columna más, cuyos términos son los térmi-
nos independientes del sistema.
Se denominan transformaciones elementales por
filas de una matriz, de tipo i , ii y iii, respectivamente,
a estos tres tipos de transformaciones que se ejecutan
en matrices:
• intercambiar dos filas;
• multiplicar una fila por un número no nulo;
• sumar a una fila un múltiplo de otra.
Estas transformaciones son un correlato, en las ma-
trices ampliadas, de las operaciones en los sistemas
de intercambio de ecuaciones, multiplicación de una
ecuación por un número no nulo y suma a una ecuación
de un múltiplo de otra, respectivamente.
Si a la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones
lineales se le aplica una transformación elemental, la
matriz resultante es la matriz ampliada de un sistema
de ecuaciones lineales equivalente al original.
En una matriz, una fila nula es una fila con todos
sus términos nulos. Una matriz nula es una matriz con
todos sus términos nulos. Dado un número natural k,
se dice que una fila no nula de una matriz tiene k ceros
iniciales si los k primeros términos de la fila son nulos
y el (k + 1)-ésimo no lo es.
Una matriz escalonada es una matriz que satisface
esta condición: o bien es nula, o bien sus filas no nulas
son las primeras, y cada una de ellas salvo la primera
tiene más ceros iniciales que su precedente.
En una matriz escalonada, se llama pivote al pri-
mer término no nulo de cada fila. En cualquier matriz,
el número de pivotes es menor o igual que el número
de filas y menor o igual que el número de columnas.
Dada una matriz cualquiera, es posible obtener a
partir de ella, mediante la aplicación de transformacio-
nes elementales sucesivas, una matriz escalonada; de lamatriz obtenida se dice que es una forma escalonada
de la matriz dada; también se dice que se ha escalona-
do la matriz original.
Cualquier matriz no nula admite infinitas formas
escalonadas (una matriz nula solo admite una: ella
misma).
Una matriz escalonada reducida es una matriz es-calonada que satisface además estas dos condiciones:
todos sus pivotes (si los tiene) son iguales a 1 (son uni-
tarios ), y en toda columna donde hay un pivote es este
el único término no nulo.
Dada una matriz cualquiera, es posible obtener a
partir de ella, mediante la aplicación de transformacio-
nes elementales sucesivas, una matriz escalonada re-
ducida, de la que se dice que es la forma escalonada
reducida de la matriz original. La forma escalonada
reducida de una matriz es única.
Dada una matriz escalonada reducida de or-
den (n, m), con r pivotes, si suponemos que estosocupan las r primeras columnas (posiblemente tras la
aplicación de intercambios de columnas adecuados), la
matriz tiene esta forma:
1 0 . . . 0 • . . . •0 1 . . . 0 • . . . •...
... . . .
......
. . . ...
0 0 . . . 1 • . . . •0 0 . . . 0 0 . . . 0...
... . . .
......
. . . ...
0 0 . . . 0 0 . . . 0
r
n − r
r
m − r
.
Las puntos: ‘•’, señalan posiciones que pueden ser ocu-
padas por cualquier número, nulo o no, y esta matriz
tiene tantas columnas con términos de este tipo como
señala la diferencia m−r . También, la matriz tiene tan-
tas filas como indica la diferencia n −r . En esta matriz,
puede ocurrir que m − r = 0 o que n − r = 0 (o ambas
igualdades a la vez).
Un método para discutir y resolver un sistema de
ecuaciones lineales Por discutir un sistema de
ecuaciones lineales nos referimos a determinar de qué
tipo es: incompatible, compatible determinado o com-
patible indeterminado. Por resolver un sistema nos
referimos a encontrar efectivamente todas sus solu-
ciones (cuando las admite).
Dado un sistema de ecuaciones lineales (con n
ecuaciones y m incógnitas), designemos por A su ma-
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112 I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
triz de coeficientes y por A su matriz ampliada, y deno-temos por A una forma escalonada (no necesariamente
reducida) de la matriz A. Hay tres posibilidades:
• la matriz A presenta un pivote en su última co-
lumna: sistema incompatible;
• la matriz A no presenta un pivote en su última
columna y la cantidad de sus pivotes coincide con
la cantidad de incógnitas del sistema: sistema
compatible determinado;
• la matriz A no presenta un pivote en su última
columna y la cantidad de sus pivotes es menor
que la cantidad de incógnitas del sistema: sis-
tema compatible indeterminado. Un sistema del cual sabemos que admite solución
puede resolverse de alguna de estas dos formas:
• Una . Se escribe el sistema cuya matriz ampliada
es una forma escalonada de la matriz ampliada
del sistema; este nuevo sistema es equivalente al
original y se puede resolver por sustitución hacia
atrás (se resuelve la última ecuación y el resul-
tado se sustituye en las demás, se resuelve a con-
tinuación la penúltima y se sustituye de nuevo el
resultado en las restantes, y así sucesivamente).
• Dos . Se escribe el sistema cuya matriz anpliada
es la forma escalonada reducida de la matriz am-pliada del sistema; este nuevo sistema también
es equivalente al original, y su resolución es in-
mediata (véase el párrafo siguiente).
En un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz
ampliada es escalonada reducida, las incógnitas que fi-
guran en primer lugar en alguna ecuación se denomi-
nan incógnitas básicas (o incógnitas principales); las
número de incógnitas y el número de pivotes (ello tam- biuén es válido para sistemas compatibles determina-
dos: para tales sistemas, la citada diferencia es nula).
Sistemas homogéneos Un sistema de ecuaciones
lineales homogéneo es un sistema en el que es nulo el
término independiente de cada ecuación. En general,
un sistema homogéneo de n ecuaciones en las m in-
cógnitas x1, x2, . . . , xm tiene esta forma:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1mxm = 0
a21x1 + a22x2 + · · · + a2mxm = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + · · · + anmxm = 0.
Cualquier sistema homogéneo tiene al menos la
solución nula, dada por x1 = x2 = . . . = xm = 0; es
decir, esta m-upla:
0, 0, . . . , 0 m ceros
.
La discusión de un sistema homogéneo se reduce a
determinar si admite solamente la solución nula (com-
patible determinado) o si admite más soluciones (com-
patible indeterminado). Para ello, basta escalonar so-
lamente la matriz de coeficientes del sistema y contar
sus pivotes: si tiene tantos como incógnitas, el sistema
es compatible determinado; si tiene menos pivotes que
incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
Si un sistema de ecuaciones lineales homogéneo
tiene más incógnitas que ecuaciones, entonces es com-
patible indeterminado.
Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones li-
neales en los que figuran parámetros Conside-