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MODULO
ÁLGEBRA LINEAL
CAMILO ZÍÑIGA
A mi padre, JUAN ARTURO ZÚÑIGA R., quien fue el primero en enseñarme el hermoso mundo
de la matemáticas, y quien me ha apoyado incondicionalmente en todas mis empresas.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA � UNAD �
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS
Bogotá D. C., 2008
id16121937 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com
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COMITÉ DIRECTIVO
Jaime Alberto Leal Afanador Rector
Gloria Herrera Vicerrectora Académica
Roberto Salazar Ramos Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedagógicas
Maribel Córdoba Guerrero Secretaria General
MÓDULO
CURSO ÁLGEBRA LINEAL PRIMERA EDICIÓN © Copyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia ISBN 2008 Bogotá, Colombia
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AL ESTUDIANTE
El propósito del curso es que el estudiante apropie de manera significativa los elementos
teóricos fundamentales de Algebra Lineal y desarrolle las competencias pertinentes para
contextualizarlos en su campo de formación disciplinar.
El Algebra Lineal es un área de las matemáticas que en las últimas décadas ha tenido un
significativo desarrollo con el aporte de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad en
diversos campos del saber ha generado la necesidad de articularla al proceso formativo
del profesional de hoy en día como herramienta de apoyo para resolver problemas en las
más diversas disciplinas. En este sentido y por su carácter mismo, el curso hace aportes
significativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante, en
tanto potencia habilidades de pensamiento de orden superior, como la abstracción, el
análisis, la síntesis, la inducción, la deducción, etc.
El curso académico se estructura básicamente en dos unidades didácticas. La primera
contempla los Vectores, Matrices y Determinantes, la segunda Sistemas de Ecuaciones
Lineales, Rectas, Planos e Introducción a los Espacios Vectoriales.
A través del curso académico de Algebra Lineal se dinamizan procesos de resignificación
cognitiva y fortalecimiento del desarrollo de operaciones meta cognitivas mediante la
articulación de los fundamentos teóricos a la identificación de núcleos problémicos en los
diferentes campos de formación disciplinar.
Es importante que desde ahora el estudiante se compenetre con la dinámica del uso de
los recursos informáticos y telemáticos como herramientas de apoyo a los procesos de
aprendizaje. En este sentido, el curso académico de Algebra Lineal articulará a su
desarrollo actividades mediadas por estas tecnologías, como búsquedas de información
en la Web, interactividades sincrónicas o asincrónicas para orientar acciones de
acompañamiento individual o de pequeño grupo colaborativo y acceso a información
disponible en la plataforma virtual de la universidad.
La consulta permanente a diferentes fuentes documentales aportadas por el curso se
tomará como estrategia pedagógica que apunte al fortalecimiento del espíritu
investigativo. En este sentido, se espera que el estudiante amplíe la gama de opciones
documentales que aportan a la resignificación cognitiva. Estas fuentes documentales son
obviamente de diferentes orígenes, a las cuales se tendrá acceso a través de: material
impreso, bibliotecas virtuales, hemerotecas, sitios Web, etc.
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TABLA DE CONTENIDO
UNIDAD I
1. VECTORES EN 2R ��������������������������.9
1.1 NOCION DE
DISTANCIA����������������������������.11
1.2 SEGMENTOS DIRIGIDOS���������������������14
1.3 DEFINICION ALGEBRAICA DE VECTOR�������������.20
1.4 ALGUNAS OPERACIONES CON VECTORES�����������..23
1.4.1 Multiplicación de un vector por un escalar��������.23
1.4.2 Suma de Vectores���������������������35
1.4.3 Diferencia de vectores������������������..39
1.4.4 Producto escalar����������������������43
1.5 PROYECCIONES�������������������������..52
2. VECTORES EN 3R �������������������������..58
2.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS�����������������62
2.2 VECTORES BASE�������������������������..66
2.3 PRODUCTO VECTORIAL���������������������..72
PROBLEMAS�������������������������������. 77
AUTOEVALUACION���������������������������.. 79
3. MATRICES�����������������������������..81
3.1 OPERACIONES CON MATRICES������������������83
3.1.1 Suma de matrices��������������������84
3.1.2 Multiplicación por escalar����������������87
3.1.3 Multiplicación de matrices���������������..88
3.2 OPERACIONES SOBRE MATRICES����������������...92
3.2.1 Forma escalonada y forma escalonada reducida��95
3.2.2 Inversa de una matriz���������������..99
3.2.3 Matrices Elementales����������������105
3.2.4 La Factorización LU����������������..119
4. DETERMINANTES�������������������������131
4.1 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES�������138
4.2 INVERSAS�����������������������������.140
INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CRUZ�.�������147
PROBLEMAS��������������������������������155
AUTOEVALUACION����������������������������.159
UNIDAD II
5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES���������������163
5.1 PRIMER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES
ELIMINACION GAUSSIANA���..�����������������186
5.2 SEGUNDO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES
METODO DE GAUSS � JORDAN������������������.189
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5.3 TERCER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES
REGLA DE CRAMER������������������������..195
5.4 CUARTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EMPLEANDO LA FACTORIZACION LU���������������.198
5.5 QUINTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES
EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA����������������..203
SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS��.�������������.206
6. RECTAS EN 3R ���������������������..�����208
7. PLANOS���������������������..��������220
8. ESPACIOS VECTORIALES������������..��������..228
PROBLEMAS���������������������������������..235
AUTOEVALUACION��������������������������.����239
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UNIDAD 1
VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES
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OBJETIVO GENERAL
Que el estudiante comprenda el conjunto de conocimientos relacionados con los
fundamentos básicos que constituyen el campo teórico y aplicativo de los vectores,
matrices y determinantes a través del estudio y análisis de fuentes documentales y
situaciones particulares en diferentes campos del saber.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el
entendimiento de nociones como la de vector, complementado con un manejo
pertinente de las operaciones con los mismos.
Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de matriz, lo lleve a
espacios mas generales y reconozca su importancia en aplicaciones mas
especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad las distintas
operaciones que con ellas puede realizar y que le permitirán utilizar herramientas
como el determinante y el proceso de obtener la inversa de matrices para resolver
a futuro sistemas lineales.
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- 10 -
1.1 NOCION DE DISTANCIA
Ahora abordemos el problema de dos puntos del plano. Nuestro interés es encontrar la distancia entre
ellos.
Para esto podemos recurrir a un teorema de la geometría elemental, llamado Teorema de Pitágoras, que
nos establece que:
- 11 -
100
100
862
222
a
a
a
Dado que a es una distancia, entonces consideramos únicamente los valores positivos, es decir,
10a unidades.
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- 15 -
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Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL
Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición.
Pag. 251
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Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL
Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición.
Pag. 263
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- 102 -
- 103 -
- 104 -
- 105 -
- 106 -
- 107 -
- 108 -
100
011
001
1E , por lo tanto
100
011
0011
1E
100
06
10
001
2E , por lo tanto
100
060
0011
2E
100
010
021
3E , por lo tanto
100
010
0211
3E
160
010
001
4E , por lo tanto
160
010
0011
4E
3
100
010
001
5E , por lo tanto
300
010
0011
5E
100
010
3
501
6E , por lo tanto
100
010
3
501
16E
100
6
110
001
7E , por lo tanto
100
6
110
001
17E
Ahora realicemos el siguiente producto
17
16
12
11
EEEE
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300
010
001
160
010
001
100
010
021
100
060
001
100
011
001
100
6
110
001
100
010
3
501
Realicemos los productos de izquierda a derecha, tenemos:
100
6
110
001
100
010
3
501
300
010
001
160
010
001
100
010
021
100
061
001
Seguimos
100
6
110
001
100
010
3
501
300
010
001
160
010
001
100
041
021
Seguimos
100
6
110
001
100
010
3
501
300
010
001
160
041
021
Seguimos
100
6
110
001
100
010
3
501
360
041
021
- 110 -
Seguimos
100
6
110
001
360
3
541
3
521
Finalmente
260
141
221
En conclusión, hemos visto que dada una matriz A, si esta es invertible, tanto A como su
inversa pueden ser escritas como el producto de matrices elementales (ya que, las
inversas de las matrices elementales son a su vez matrices elementales.
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UNIDAD 2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS, PLANOS Y
ESPACIOS VECTORIALES
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OBJETIVO GENERAL
Que el estudiante comprenda los fundamentos teóricos que soportan la concepción de
los sistemas lineales, rectas, planos y los principios de espacio vectorial, a través del
complejo ejercicio mental de abstracción, estudio, análisis e interpretación de fuentes
bibliográficas referenciadas y casos específicos de aplicación en diferentes áreas del
conocimiento.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el
entendimiento de nociones como la de un plano o de una recta en el espacio.
Complementado con un manejo pertinente de las diversas formas en que son
obtenidas y empleadas las ecuaciones que las representan.
Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de lo que es un sistema de
ecuaciones lineales, lo lleve a espacios más generales y reconozca su importancia
en aplicaciones mas especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad
los distintos procedimientos que le permiten obtener una solución del mismo (en
el caso en que sea posible)
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- 188 -
- 189 -
- 190 -
- 191 -
- 192 -
- 193 -
- 194 -
5.5 QUINTO METODO PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES
EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA
El objetivo es resolver un sistema de la forma bAX (con A de nn ), donde A es
invertible.
Partiendo del sistema bAX , podemos multiplicar a izquierda por 1A (Que existe,
dado que A es invertible), con lo que nos queda:
bAAXA11
Agrupando obtenemos
bAXAA 11 Simplificando
bAXI 1 Finalmente
bAX1
La ultima afirmación, nos indica que se A es de nn e invertible, entonces la solución
del sistema lineal bAX , la encontramos de la forma bAX1
.
Ejemplo
Dado el sistema lineal
17457
114
211032
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Determine si el sistema tiene solución única o no. De tener solución única, encuentre su
inversa y úsela para resolver el sistema.
Solución
Para determinar si el sistema tiene solución única o no, debemos calcular su
determinante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendrá única
solución y además la inversa de la matriz de coeficientes existirá (y esta será única)
Encontremos el determinante:
- 195 -
225
457
114
1032
DetA
Recordemos que tenemos dos procedimientos para hallar la inversa:
1. Empleando el método de reducción de Gauss- Jordán
2. Empleando determinantes ( AdjAA
A *det
11
)
Voy a emplear el método de reducción de Gauss- Jordán. Se deja al estudiante la
invitación a realizarlo también por el otro método.
12
1f
12 4 ff
13 7 ff 27
1f
21 2
3ff
23 2
11ff 3225
14f
- 196 -
Por lo tanto, dado que la matriz A pudo ser reducida (por medio de operaciones
elementales) a la matriz identidad, se tiene que la matriz del lado derecho es la inversa
de A.
Es decir,
225
14
225
11
25
3225
38
225
62
25
1225
13
225
38
25
1
1A
Finalmente, para obtener la solución del sistema, consideramos la ecuación bAX1
.
Donde,
17
11
21
b
Por tanto,
17
11
21
225
14
225
11
25
3225
38
225
62
25
1225
13
225
38
25
1
X
2
1
2
X
Es decir, la solución es 2;1;2 321 xxx
31 14
13ff
32 7
19ff
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- 198 -
- 199 -
- 200 -
- 201 -
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- 208 -
- 209 -
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