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Análisis de Sistemas Lineales
“Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace”
Ing. Rafael A. Díaz Chacón
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
Representación General
ASL/RAD/2001
Sistema Lineal e Invariante en Tiempo
(LIT)
x(t) L{x(t)}=X(s)
En general
y(t) = (x(t))
Al aplicar Transformada de Laplace L, a esta ecuación queda Y(s)= L{ (x(t))} entonces el objetivo es estudiar
esa ecuación en el plano s
y(t) L{y(t)}=Y(s)
Definición de Transformada de Laplace
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
)()(21
)(
Laplace de l UnilateradaTransforma-anti lay
)()()(
Laplace de l UnilateradaTransforma la define se manera igual De
)()(21
)(
aser Laplace de Bilateral daTransforma-anti la que mientras
)()()(
aser Laplace de Bilateral daTransformasu )(n ofunci una Dada
0
sXdsesXj
tx
dtetxsXtx
sXdsesXj
tx
dtetxsXtx
tx
U
j
j
stU
stU
B
j
j
stB
stB
Propiedades de Interés
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
Se usara el operador para denotar la transformacion
mientras que el operador se usara para denotar la anti - transformacion
Algunas propiedades de interes seran
1) Linealidad
2) Desplazamiento en Tiempo
3) Desplazamiento en Frecuencia
( ) { ( )}
( ) { ( )}
{ * ( ) * ( )} * ( ) * ( )
{ ( ) ( )} ( )
{
L
X s L x t
L
x t L X s
L a x t b x t a X s b X s
L x t u t e X s
L e
U
U
s
at
1
1
1 2 1 2
0
x t X s a
L x ataXs
a
( )} ( )
{ ( )}
4) Escalamiento en Tiempo y Frecuencia
1
Propiedades de Interés
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
5) Diferenciacion en Tiempo
particularmente
( )* ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ...
( )
( )( ) ( ) ( )
( )
Ldx t
dts X s x
Ld x t
dts X s s x s x
d x t
dt
Ld x t
dts X s sx x
Ld x t
dts
n
nn n n
n
n
t
0
0 0
0 0
1 21
1
0
2
22
3
33
X s s x sx x
L x dX s
s
L x dX s
sx d
t
t
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
2
0
0
0 0 0
6) Integracion en Tiempo
Propiedades de Interés
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
7) Diferenciacion en Frecuencia
8) Integracion en Frecuencia
9) Convolucion en Tiempo
10) Convolucion en Frecuencia
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( )
L tx tdX s
ds
L t x td X s
ds
Lx t
tX u du
L x t x t L x x t d X s X s
L x t x tjX s X
n nn
n
s
1
1
2
1 2 1 2 1 2
1 2 1
2 1 2
1
2( )) ( ) ( )s
jX u X s u du
c j
c j
Algunos pares Transformados de Interés
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
1
2
3
4
5
0
2 2
2 2
0) ( )
) ( )
) ( )
) cos( ) ( )
) sen( ) ( )
A t t Ae
Au tA
s
Ae u tA
s
A t u tAs
s
A t u tA
s
st
t
6
7
8
92
2 2
2 2
2
23
) cos( ) ( )( )
( )
) sen( ) ( )( )
) ( )
) ( )( )
Ae t u tA s
s
Ae t u tA
s
Atu tA
s
At e u tA
s
t
t
t
Métodos de Anti-Transformación de Laplace
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
1) Integración en el campo complejo.
2) Identificación en una tabla de Transformadas.
2-A) Expansión en Fracciones Parciales.
2-B) Evaluación de Residuos.
Teoremas de Valor Inicial y Valor Final
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
1) Teorema del Valor Inicial.
Si L{x(t)}=X(s) entonces x(0+) =
2) Teorema del Valor Final.
Si L{x(t)}=X(s) entonces
lim sX ss
( )
lim x t lim sX st s
( ) ( )0
Solución de Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
dy
dtay x t
sY s y aY s X s
Y
Y sX s y
s a
y t LX s y
s aL
X s
s ay L
s a
y t x
( )
[ ( ) ( )] ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( )
aplicando Transformada de Laplace a ambos lados
la ecuacion diferencial se ha convertido en una ecuacion algebraica,
despejando (s)
entonces, al aplicar anti - Transformada
0
0
00
11 1 1
( ) ( )
*t e y eat at 0
igual solucion a la encontrada al resolver la ecuacion diferencial
por metodos analiticos
Solución de Ecuaciones Diferenciales
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
A partir de la solucion en el plano s
si se conoce ( ), por ejemplo =
de donde
( )( ) ( )
( ) { ( )}
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
Y sX s y
s a
X s X ssL u t
y t LX s y
s aL
s s ay L
s a
y t LC
s
D
s ay e u t
C=a
at
0
1
0 10
1
0
1
1 1 1
1
, ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( )) ( )
sustituyendo
D=a
y taL
s s ay e u t
au t e u t y e u t
y ta
ay e u t
at at at
at
1
1 1 10
10
11 1 0
1
Solución de Ecuaciones Diferenciales (ejemplo)
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
La ecuacion diferencial del sistema sera
se puede escribir como
aplicando Transformada de Laplace
ya que (0 ) = 5, se obtiene
aplicando anti - transformada de Laplace
-
. *( )
( ) ( )
( )* ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( * ) ( )
0 2 100
5 500
0 5500
5005
5
100 95 5
dv t
dtv t u t
dv t
dtv t u t
sV s v V ss
v
V s = ss
v(t)= e u tt
+
-100 v
R= 1 M
+
-
C= 0.2 F
5 v
Solución de Ecuaciones Diferenciales (otro ejemplo)
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
La ecuacion diferencial del sistema
en terminos de la corriente ( ) sera
aplicando Transformada de Laplace se obtiene
sustituyendo los datos del problema
aplicando anti - transformada de Laplace
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )( )( )
(
i t
Ldi t
dtRi t
Ci d v t
I sV s Li
vs
R LsCs
I s =s
s s x
s x
s s x
i(t)= e
t
c
t
1
00
1
6000
5000 4 10
6 10
10 4 10
5
3
2
2 6
3
3 3
1000
34000e u tt ) ( )
+
-100 v
R= 50
+
-
C= 25 F
vc(0-)
t=0+
L= 10 mH
i(t)
Condiciones iniciales
vc(0-) = 40 v
i(0-) = 1 A
Solución de Ecuaciones Diferenciales (otro ejemplo)
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
Un sistema, que esta inicialmente en reposo,
se explica por la ecuacion diferencial
se aplica una señal
Hallar la respuesta a esta excitacion.
Aplicando Transformada de Laplace
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )( )(
d y t
dt
d y t
dt
dy t
dty t x t
en t x t e u t
s s s Y ss
Y ss s s s s s
t
3
3
2
2
3
3 2
3 2
8 37 50
0 4
8 37 504
34
3 8 37 50
4
3 2
s s
Y sA
s
B
s
Cs D
s s
2
2
6 25
3 2 6 25
)
( )
Solución de Ecuaciones Diferenciales (otro ejemplo)
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
Resolviendo para conocer estas constantes resulta
aplicando anti - Transformada
A B C D
y t L Y s LA
s
B
s
Cs D
s s
y t Ae u t Be u t LCs
s sL
D
s
y t Ae u
t t
t
1
4
4
17
1
68
7
68
3 2 6 25
6 9 16 3 4
1 12
3 2 12
12 2
3
, , , ,
( ) { ( )} { }
( ) ( ) ( )( )
( ) (t Be u tDe t u t L
C s C
s
y t Ae u t Be u tD C
e t u t Ce t u t
t t
t t t t
) ( ) sen( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) sen( ) ( ) cos( ) ( )
2 3 12 2
3 2 3 3
44
3 3
3 4
3
44 4
ASL/RAD/2001
Sistema Lineal e Invariante en Tiempo
(LIT)
Inicialmente en reposo
(t) h(t)
En general, se puede escribir
h(t) = ((t)) y(t) = x(t) * h(t)
Aplicando Transformada de Laplace a esta última ecuación
Y(s) = X(s)H(s)
Integral de Convolución
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
Función de Transferencia
ASL/RAD/2001
cia.Transferen den oFunci o Sistema deln oFunci
como conoce le sen e tambi)s(Hn ofunci laA
).t(h impulsiva respuesta la
de Laplace de daTransforma la es )s(H donde
)s(X
)s(Y)s(H
tienese )s(H despejando
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
“La Función de Transferencia de un sistema es la relación de las Transformadas de Laplace de la salida y
la entrada, bajo condiciones iniciales iguales a cero”
Función de Transferencia
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
“El conocimiento de la Función de Transferencia de un sistema proporciona un conjunto de informaciones
importantes acerca del sistema que representa”
“El diagrama de polos y ceros de la Función de Transferencia de un sistema proporciona información
acerca de su respuesta natural y de la estabilidad”
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
POLOS: p es un polo de un sistema si H(p)
“El diagrama de polos y ceros de la Función de Transferencia de un sistema es una gráfica en el
plano complejo s donde los ceros se destacan con un símbolo ‘o’ y los polos con un símbolo ‘x’ ”
CEROS: c es un cero de un sistema si H(c) 0
Diagrama de polos y ceros
Diagrama de polos y ceros (ejemplo)
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
Un sistema, que esta inicialmente en reposo,
se explica por la Funcion de Transferencia
los ceros del sistema seran
c c
los polos del sistema seran
p p p p
adicionalmente se puede decir que en
1 2
1 2 3 4
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
,
, , ,
H ss s j
s s s s
H ss s j
s s s j s j
j
j j
5
3 2 6 25
5
3 2 3 4 3 4
5
3 2 3 4 3 4
2
hay un cero doble
Diagrama de polos y ceros (ejemplo)
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
Re(s) =
j Imag(s) =j
1
4
-4
-2-3-5
Sistemas de Primer Orden
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
seránescalón y impulso respuestas las de gráficas las
)t(ue1)t(y )t(ue1
)t(h
1s
1)s(H )t(x)t(y
dt
)t(dy
siguientes ticascaracterís las eorden tienprimer de sistema Un
t
u
t
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
yu(t)
h(t)
= 1
“El parámetro se conoce como
constante de tiempo del sistema”
Sistemas de Segundo Orden
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
1 si )t(uee12
e
1 si )t(ute
10 si )t(ut1sen1
e
)t(h
s2s)s(H )t(x)t(y
dt
)t(dy2
dt
)t(yd
siguientes ticascaracterís las eorden tien segundo de sistema Un
t1t1
2
tn
t-2n
2n2
tn
2nn
2
2n2
n2nn2
2
2n
2n
n
n
n
“El parámetro se conoce como razón de amortiguamiento y el parámetro n como frecuencia natural no amortiguada”
Sistemas de Segundo Orden
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
serán y de valoresparaescalón y impulso respuestas las de gráficas las
1 si )t(ue)1(e)1(12
e1
1 si )t(u tee-1
10 si )t(ut1cos1t1sen1
e1
)t(y
n
t12t12
2
t
t-n
t-
2n
22n2
t
u
2n
2n
n
nn
n
Sistemas de Segundo Orden
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
Respuesta impulsiva del sistema de segundo orden
n = 1
= 0.5
= 1.5
= 1
Sistemas de Segundo Orden
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
Respuesta escalón del sistema de segundo orden
0
0,5
1
1,5
2
n = 1
= 0.2
= 1.7
= 1
ASL/RAD/2001
Consiga la respuesta de los sistemas descritos por las ecuaciones diferenciales siguientes aplicando
Transformada de Laplace
ecuación
y’’(t) + 8y’(t)+25y = 6 sin(2t) p2(t-2)
y’’(t) + 8y’(t)+165y = 6e-2tu(t)
y’’(t) + 8y’(t)+12y = 6u(t)
y’’(t) + 10y’(t)+24y = 50e-2t p2(t-2) y’’(t) + 10y’(t)+24y = q2(t-2)
y’’(t) + 8y’(t)+12y = 6p2(t-4)
y’’(t) + 8y’(t)+25y = q2(t-2)
y’’(t) + 8y’(t)+165y = e-2tq1(t-1)
ecuación
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace
ASL/RAD/2001
Consiga la función de transferencia de los sistemas descritos por las ecuaciones diferenciales siguientes
ecuación
y’’(t) + 8y’(t)+25y = 6 sin(2t) p2(t-2)
y’’(t) + 8y’(t)+165y = 6e-2tu(t)
y’’(t) + 8y’(t)+12y = 6u(t)
y’’(t) + 10y’(t)+24y = 50e-2t p2(t-2) y’’(t) + 10y’(t)+24y = q2(t-2)
y’’(t) + 8y’(t)+12y = 6p2(t-4)
y’’(t) + 8y’(t)+25y = q2(t-2)
y’’(t) + 8y’(t)+165y = e-2tq1(t-1)
ecuación
Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace