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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-1
Capítulo 6: Formulación diferencial del principio de momento lineal
6.1 Introducción
Se ha estudiado previamente la forma integral del principio de conservación de la cantidad demovimiento lineal. Se ha visto también que las tensiones que se producen en un medio continuo
pueden expresarse mediante un tensor de segundo orden conocido como Tensor de Tensiones. En
este capítulo se propondrán relaciones constitutivas que expresen la dependencia de estas tensiones
con las deformaciones a las que se ve sometido un medio continuo de tipo fluido, y se obtendrá una
forma diferencial del balance de cantidad de movimiento lineal. El desarrollo que se seguirá es el
siguiente:
a) se obtendrá una forma diferencial del Balance de Cantidad de Movimiento Lineal a partir dela expresión integral (1-6);
b) se definirá el Tensor de Tensiones Viscosas para el caso de un medio continuo de tipo fluido,
y esta definición se introducirá en la Ecuación Diferencial de Movimiento;
c) se definirán los tensores Tasa de Deformación y de Vorticidad, y se interpretará geométrica y
físicamente su significado;
d) se obtendrá una ecuación constitutiva que relacione el Tensor de Tensiones con las
deformaciones, para el caso de un fluido Newtoniano, y se introducirá esta expresión en el
Balance Diferencial de Movimiento para obtener las ecuaciones de Navier-Stokes;
e) finalmente, se analizarán algunos ejemplos sencillos, correspondientes a los casos conocidos
como Flujo Poiseuille y Flujo Couette.
6.2 El Balance Diferencial de Cantidad de Movimiento
Aplicando algunas de las propiedades del Tensor de Tensiones vistas en el capítulo anterior, vamosa obtener una forma diferencial del Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento
Lineal. Para ello, nuevamente partimos de la ec. (1-6) o (4-6), utilizando la Forma Especial del
Teorema del Transporte y expresando las fuerzas de contacto mediante el Tensor de Tensiones
(t(n) = n⋅T):
∫ ∫ ⋅+=⌡⌠
)()()(
t At V t V mm
m
dAdV Dt
DTng
v ρ ρ (6-1)
Empleando el Teorema de la Divergencia, podemos escribir
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-2
0)(
)()()(
=⌡
⌠
⋅∇−−
⋅∇+=⌡⌠ ∫ ∫
t V
t V t V t V
m
mmm
dV Dt
D
dV dV dV Dt
D
Tgv
Tgv
ρ ρ
ρ ρ
. (6-2)
Dado que el volumen material elegido puede ser tan arbitrario como uno desee, necesariamente el
integrando debe ser cero:
Tgv
Tgv
⋅∇+=
=⋅∇−−
ρ ρ
ρ ρ
Dt
D
Dt
D0
(6-3)
Esta expresión, a primera vista inofensiva, encierra en una notación altamente compacta un sistemade ecuaciones diferenciales no-lineales fuertemente acopladas, la que denominaremos Balance
Diferencial de Cantidad de Movimiento. Básicamente, esta ecuación expresa la segunda Ley de
Newton
masa x aceleración = Σ fuerzas
para un elemento diferencial de cualquier medio continuo, fluido o sólido. A continuación vamos a
estudiar el caso particular de medios continuos fluidos. El análisis de medios sólidos se desarrollaráen capítulos posteriores.
6.3 El Tensor de Tensiones Viscosas
6.3.1 Introducción
En capítulos anteriores hemos visto que en un fluido en reposo sólo existen tensiones normales al
área considerada, originadas por la presión hidrostática: t(n) = – pn. En este caso, podemos verificar
que el tensor de tensiones puede escribirse como
T = – pI (6-4)
Cuando el fluido se encuentra en movimiento, sin embargo, surgen tensiones adicionales a las
hidrostáticas, originadas en las deformaciones que se producen en el medio continuo.
Intuitivamente, es posible imaginar que a medida que las deformaciones son mayores, surgen
tensiones proporcionalmente más grandes. Tradicionalmente, se define un tensor de segundo orden
en el que se incluyen todos estos efectos, denominado Tensor de Tensiones Viscosas:
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-3
ττττ ≡ T + pI (6-5)
Introduciendo esta definición en (6-3) se obtiene
τg
v⋅∇+∇−=
p Dt
D
ρ ρ (6-6)
expresión en la que simplemente se han separado en dos términos los efectos de la presión y de las
fuerzas viscosas determinadas por el movimiento del fluido.
Como hemos dicho, ττττ de alguna forma depende de las deformaciones del medio continuo. La
ecuación que expresa esta dependencia es lo que comúnmente se conoce como Ecuación
Constitutiva, y la rama de la ciencia que se encarga de estos estudios se denomina Reología. En las
secciones subsiguientes nos ocuparemos de estos tópicos, en primer lugar analizando lo queintuitivamente imaginamos como “deformación”, para luego proponer una relación lineal entre las
deformaciones y las tensiones.
6.3.2 Análisis de deformaciones
Los tipos de deformación comúnmente conocidos son extensión y contracción. Otros tipos que
resultan quizás menos familiares son aquellos conocidos como “deformaciones angulares” o
“deformaciones de corte”. A continuación se analizan cualitativamente ambos.
Figura 6-1
( x + dx) + (u + ∂u/∂ x dx) δ t x + u δ t x + dx x
u + ∂u/∂ x dx u
dx + δ (dx)dx
t t + δ t
x
y
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-4
Supóngase en primer término que un líquido fluye a través del canal convergente de la Fig. 6-1.
Resulta fácil imaginar que, debido a la conservación de la masa, el líquido se acelera al avanzar en
el canal, aumentando la velocidad en la dirección de flujo. Por ello, el elemento de fluido cuya
longitud original es dx, cambiará su longitud al avanzar, es decir, sufrirá un estiramiento, de manera
que su longitud será dx + δ (dx) al cabo de un intervalo de tiempo δ t . La Fig. 6-1 permite apreciar
cómo se desplazan a distinta velocidad los puntos extremos de este elemento diferencial, hasta
alcanzar sus nuevas posiciones. De esta manera, puede escribirse que la longitud del elemento de
fluido, luego de estirarse, está dada por
[ ]
t dx
u
dx
t u xt dx x
ut udx xdxdx
δ
δ δ δ δ
∂
∂+=
+−
∂
∂+++=+ )(
(6-7)
expresión de la que puede obtenerse el estiramiento sufrido por el elemento:
t dx x
udx δ δ
∂
∂=)( (6-8)
Dividiendo por la longitud original (dx) se obtiene la deformación del elemento de fluido.
Dividiendo además por δ t y pasando al límite cuando δ t → 0,
u
Dt
dx D
dxt
dx
dx t ∂
∂==
→
)(1)(lím
10 δ
δ
δ (6-9)
se obtiene la velocidad de deformación o tasa de extensión del elemento diferencial de fluido.
Figura 6-2
Obsérvese ahora, la situación mostrada en la Fig. 6-2. Un líquido confinado entre dos placas
paralelas se mueve debido a que una de las superficies sólidas se desplaza a cierta velocidad
respecto de la otra en la dirección x. Esto representa lo que en fluidodinámica típicamente suele
u + ∂u/∂ y dy
u ( x , y)
( x , y + dy)
( x + u δ t , y)
[ x + (u + ∂u/∂ y dy) δ t , y + dy]a
dyγ
t t + δ t
dy y
x
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-5
denominarse flujo de corte. Resulta intuitivo imaginar que las sucesivas capas de líquido deslizan
unas respecto de otras, a medida que la velocidad en la dirección x aumenta al acercarnos a la placa
móvil. Analicemos entonces la deformación que sufre el elemento de fluido dispuesto a lo largo de
la coordenada y, con una longitud inicial dy. De manera similar a lo visto previamente, los puntos
que integran este elemento se desplazan a distinta velocidad. Al cabo de un instante de tiempo δ t ,
los extremos ocupan nuevas posiciones, y el elemento sufre una deformación angular caracterizada
por el ángulo γ . La observación de la Fig. 6-2 nos permite escribir:
( )
t y
u
t dy y
u
dy
t u xt dy y
ut u x
dydy
a
δ
δ
δ δ δ γ γ
∂
∂
∂
∂
+−
∂
∂++==
~
1~
1tg~
(6-10)
La velocidad de deformación angular , o tasa de corte, se obtiene dividiendo por δ t y pasando al
límite cuando δ t → 0:
y
u
Dt
D
t t ∂
∂==
→
γ
δ
γ
δ 0lím (6-11)
Como puede apreciarse en las ecs. (6-9) y (6-11), la velocidad de deformación de un medio fluido
depende de las componentes del gradiente de velocidad (∇v), que constituye un tensor de segundo
orden. Todo tensor de segundo orden puede escribirse como la suma de un tensor simétrico más un
tensor antisimétrico, de la siguiente manera:
∇v = 1/2 (∇v + ∇v) + 1/2 (∇vT – ∇vT )
∇v = 1/2 (∇v + ∇vT ) + 1/2 (∇v – ∇vT )
∇v = D + W (6-12)
donde se han definido los tensores Tasa de Deformación (D ≡ 1/2 (∇v + ∇vT )) y Vorticidad
(W ≡ 1/2 (∇v – ∇vT )). Puede verificarse fácilmente que el tensor D es simétrico, mientras que W es
antisimétrico. Sin demostración se menciona que el tensor D es el que mide las deformaciones
“reales”, mientras que W representa la parte del movimiento del fluido correspondiente a unarotación de cuerpo rígido (y no a una deformación “verdadera”). En particular, puede demostrarse
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-6
que las componentes de la diagonal de D miden velocidades de estiramientos-contracciones
normales (la traza de D, tr(D) = ∇⋅v, es la tasa de expansión volumétrica en un punto), mientras que
las componentes fuera de la diagonal de D miden velocidades de deformación de corte.
6.3.3 Ecuaciones constitutivas para fluidos
6.3.3.1 Introducción
Como se ha mencionado anteriormente, los fluidos en general (a diferencia de los sólidos) se
definen como una clase especial de material que no soporta esfuerzos cortantes sin deformarse en
forma continua. Dicho de otra forma, un fluido es un tipo de sustancia que cuando se encuentra en
movimiento de cuerpo rígido (esta situación incluye el estado de reposo), sólo existen tensiones
normales.Hemos visto además en las secciones previas que la velocidad de deformación de un fluido puede
caracterizarse mediante el Tensor Tasa de Deformación, ya que el Tensor de Vorticidad representa
la componente del movimiento correspondiente a una rotación como cuerpo rígido, y no una
verdadera deformación del medio continuo. Resulta entonces razonable esperar que las tensiones
viscosas dentro del fluido (aquellas que surgen como consecuencia del movimiento) dependan de la
velocidad de deformación del mismo, y que en general aumenten a medida que se incrementa la
tasa de deformación del medio. Por ello, una ecuación constitutiva para el Tensor de TensionesViscosas (ττττ) debería ser una función del Tensor Tasa de Deformación (D). Esto es, en forma
genérica
ττττ = f (D) (6-13)
En las secciones subsiguientes se analiza con mayor detalle esta relación entre tensiones viscosas y
deformaciones.
6.3.3.2 Ley de la viscosidad de Newton
Vamos a restringir nuestra atención a una clase muy particular de fluido, denominada Fluido
Newtoniano. Para ello, analicemos antes la situación que se observa en la Fig. 6-3, donde existe un
“fluido viscoso” confinado entre dos placas planas paralelas. Si uno aplicara una fuerza tangencial a
estas placas, se produciría un movimiento relativo entre las mismas. Es intuitivo afirmar que a
medida que la fuerza aplicada es mayor, la velocidad de desplazamiento relativo aumenta.
Comúnmente decimos que este efecto es consecuencia de fuerzas de “fricción” (o “viscosas”)actuando en el líquido. Nos imaginamos también que para un fluido más viscoso deberíamos aplicar
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-7
una fuerza tangencial mayor que para uno menos viscoso. En la situación particular que estamos
analizando, el perfil de velocidades dentro del canal tiene una forma lineal como la que se muestra,
donde se ha supuesto que una de las placas está fija mientras la otra se mueve. Podemos entonces
caracterizar la deformación en el líquido mediante la pendiente del perfil de velocidades, es decir
∂v x/∂ y (ver sección 6.3.2). A medida que el movimiento relativo (y consecuentemente la velocidad
de deformación) es mayor, el valor de esta derivada se incrementa. La tensión tangencial (fuerza
por unidad de área) necesaria para lograr esa velocidad de deformación debería ser proporcional a la
misma.
Figura 6-3
Denominemos viscosidad (con el símbolo µ ) a esta constante de proporcionalidad, esto es
y
v x
∂
∂= µ τ (6-14)
Esta ecuación, en la cual expresamos una relación de proporcionalidad entre velocidad de
deformación y tensión viscosa, nos sirve de motivación para el análisis más formal y detallado que
se muestra a continuación.
Como se mencionó, un fluido Newtoniano es un tipo idealizado de fluido. Formalmente, es un
fluido que reúne las siguientes características:
• las componentes del Tensor de Tensiones Viscosas dependen linealmente de las componentes
del Tensor Tasa de Deformación,
• el fluido es isotrópico, esto es, sus propiedades son independientes de la orientación con la
que se las examine.
las cuales pueden adoptarse como una definición de fluido Newtoniano.
Puede demostrarse que la relación más general que cumple estos requisitos puede escribirse como
y
x
τ
u( y) y
u
∂
∂∝τ
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-8
ττττ = (κ – 2/3 µ ) tr(D) I + 2 µ D = (κ – 2/3 µ ) (∇⋅v) I + µ [∇v + (∇v)T ] (6-15)
o en forma equivalente
τ ij = (κ – 2/3 µ ) Dkk δ ij + 2 µ Dij = (κ – 2/3 µ ) (∂vk /∂ xk ) δ ij + µ (∂vi/∂ x j + ∂v j/∂ xi) (6-16)
donde κ y µ son conocidas como viscosidad dilatacional y viscosidad de corte (o viscosidad
dinámica o simplemente viscosidad) respectivamente. Introduciendo estas expresiones en la ec. (6-
5) obtenemos
T = [– p + (κ – 2/3 µ ) tr(D)] I + 2 µ D = [– p + (κ – 2/3 µ ) (∇⋅v)] I + µ [∇v + (∇v)T ] (6-17)
τ ij = [– p + (κ – 2/3 µ ) Dkk ] δ ij + 2 µ Dij = [– p + (κ – 2/3 µ ) (∂vk /∂ xk )] δ ij + µ (∂vi/∂ x j + ∂v j/∂ xi)(6-18)
Las ecs. (6-17) y (6-18) se conocen también como Ley de la viscosidad de Newton. Este modelo de
fluido representa en forma aproximada al comportamiento de muchos fluidos reales (entre ellos el
agua y el aire) dentro de determinados rangos de situaciones. Por el contrario, muchos otros fluidos
(entre ellos la sangre y muchas soluciones poliméricas) requieren representaciones o ecuaciones
constitutivas más complejas. Todos los fluidos cuyo comportamiento no concuerda con (6-15) se
conocen como Fluidos No-Newtonianos .
Se define como presión total media ( P ) a:
– P ≡ 1/3 tr(T) (6-19)
– P = 1/3 {3 [– p + (κ – 2/3 µ ) Dkk ] + 2 µ Dkk } = – p + κ Dkk
– P = – p + κ tr(D) = – p + κ ∇⋅v (6-20)
Para el caso particular de un fluido incompresible ( ρ = cte., ∇⋅v = 0) la presión termodinámica ( p)
es igual a la presión total media ( P ) y
T = – p I + 2 µ D = – p I + µ [∇v + (∇v)T ] (6-21)
τ ij = – p δ ij + 2 µ Dij = – p δ ij + µ (∂vi/∂ x j + ∂v j/∂ xi) (6-22)
Mediante la introducción de la ec. (6-15) en (6-6) se obtiene
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-9
( )( ) ( )[ ]
( )( )[ ] ( )[ ]T
T
pt
p Dt
D
vvvgvvv
vvIvgv
∇+∇⋅∇+⋅∇−∇+∇−=
∇⋅+
∂
∂
∇+∇+⋅∇−⋅∇+∇−=
µ µ κ ρ ρ
µ µ κ ρ ρ
32
32
(6-23)
Si los coeficientes de viscosidad (κ y µ ) fueran constantes
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) vvgvvv
vvvgvvv
vvvgvvv
2
2
31
32
32
∇+⋅∇∇++∇−=
∇⋅+
∂
∂
⋅∇∇+∇+⋅∇∇−+∇−=
∇⋅+
∂
∂
∇⋅∇+∇⋅∇+⋅∇∇−+∇−=
∇⋅+
∂
∂
µ µ κ ρ ρ
µ µ κ ρ ρ
µ µ κ ρ ρ
pt
pt
pt
T
(6-24)
Finalmente, si el fluido fuera incompresible
vgvvv 2
∇+∇−=
∇⋅+
∂
∂ µ ρ ρ p
t (6-25)
La ec. (6-25) se conoce como Ecuación de Navier-Stokes, y es una de las ecuaciones fundamentales
de la Mecánica de Fluidos. Resumiendo las hipótesis enunciadas, esta ecuación es válida para un
fluido Newtoniano e incompresible de viscosidad constante. Junto a la ecuación de continuidad paraun fluido incompresible (∇⋅v = 0), forman un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales no-lineales altamente acopladas para las cuatro incógnitas ( p y vi). Aún no se ha
encontrado una solución general a las mismas, y su resolución es aún uno de los problemas más
desafiantes de la Mecánica de Fluidos.
6.3.3.3 Fluidos no Newtonianos
En las secciones anteriores centramos nuestra atención en los fluidos que pueden caracterizarse
mediante el modelo de fluido Newtoniano. Sin embargo, la experiencia indica que la mayor parte de
los fluidos reales no se comporta de esta manera, o bien lo hacen para rangos limitados de las
condiciones experimentales. En general, se los denomina Fluidos no Newtonianos, y la disciplina
que los estudia es la Reología, una de las más activas de la Mecánica del Continuo. La misma busca
obtener relaciones del tipo ττττ = f (D) distintas a la vista anteriormente, que representen en forma más
adecuada el comportamiento de los materiales reales. Ninguna de las relaciones (ecuaciones
constitutivas) obtenidas hasta el momento es completamente general. Por el contrario, suelen ser
específicas para determinadas clases de fluidos en condiciones operativas particulares.
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-10
Imaginemos nuevamente la situación mostrada en la sección 6.3.3.2. Para un fluido Newtoniano, se
observa una relación lineal entre la tensión de corte y la velocidad de deformación: T xy = µ ∂v x/∂ y.
Para los fluidos no Newtonianos esta relación no se verifica. La Fig. 6-4 muestra el comportamiento
típico de algunos de los tipos más importantes de fluidos no Newtonianos. La pendiente de las
curvas se denomina comúnmente viscosidad aparente o efectiva( µ ap o µ ef ) . Los fluidos cuya
viscosidad aparente disminuye con la tasa de deformación se denominan pseudoplásticos (ej.:
pintura, ketchup, leche y sangre), mientras que si µ ap aumenta con la velocidad de deformación el
fluido es dilatante (ej.: mezcla agua + almidón). Un modelo particular que tiene en cuenta este tipo
de comportamiento es el denominado modelo de Ostwald-de Wael o de “Ley de potencia”,
caracterizado por siguiente expresión:
yv
yvmT x
n
x xy
∂
∂
∂
∂=
−1
(6-26)
donde m y n son los parámetros del modelo (el fluido Newtoniano corresponde al caso particular
n = 1 y m = µ ). Los casos n > 1 y n < 1 representan fluidos dilatantes y pseudoplásticos,
respectivamente.
Figura 6-4
Fluido de Bingham
Pseudoplástico
Dilatante
Newtoniano
T xy
τ 0
y
v x
∂
∂
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-11
Existen otros materiales que se comportan como sólidos si no se supera una tensión mínima crítica,
denominada tensión de fluencia (τ 0). La pasta de dientes es un ejemplo de ello; la sangre
(observando su comportamiento a muy bajas velocidades de deformación) también exhibe esta
característica. Un modelo sencillo para este tipo de materiales es el denominado Fluido de Bingham
( )
>−
<=
∂
∂
00
0
si
si 0
τ µ
τ
xy xy
xy x
T τ T
T
y
v(6-27)
6.4 Condiciones de contorno
Una condición de contorno implica una restricción sobre alguna/s de las variables del problema, en
algún punto o porción de la frontera del dominio de flujo. Generalmente introducen información
importante acerca de la “física” del problema. Las condiciones de contorno más comunes son lasque se imponen en la interfase entre dos fases adyacentes. Así, podemos enunciar las siguientes
(referirse a la Fig. 6-5):
Figura 6-5
• Se ha confirmado experimentalmente que las componentes tangenciales de la velocidad en
una interfase fluido-sólido o fluido-fluido son continuas, esto es, son iguales. Esta condiciónse conoce también como condición de no-deslizamiento, y puede expresarse matemáticamente
como:
Fase I Fase II
vnI
vnII
vt I
vt
vI v
II
t(n)I
t(n)II
Fase I
Fase II
n
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-12
vt I = vt
II (6-28)
donde el vector velocidad es v = vt t + vn n y los supraíndices I y II indican la fase fluida
correspondiente.
• Además en ausencia de transferencia de masa entre fases adyacentes, también lascomponentes normales de la velocidad deben ser continuas en la interfase (o sea iguales). Esto
es:
vn I = vn
II (6-29)
Muchas veces nos referiremos como condición de no deslizamiento al hecho de que tanto la
componente normal como tangencial de la velocidad sean continuas en la interfase:
v I = v
II (6-30)
• Cuando los efectos interfaciales son despreciables, es posible asumir que las tensiones en la
interfase son continuas.
II I
II I
TnTn
tt nn
⋅=⋅
= )()( (6-31)
De aquí se desprenden entonces dos condiciones de contorno, típicamente para las
componentes tangencial y normal de la tensión.
En la sección 6.5.2 se verán ejemplos donde se aplican estas condiciones de contorno.
6.5 Flujos unidireccionales
Como se dijo previamente, no se ha encontrado una solución general a la ecuación de Navier-
Stokes. Sin embargo una clase particular de problemas admite soluciones en forma relativamente
sencilla; se trata de los denominados problemas de flujo unidireccional , donde sólo una de las
componentes del vector velocidad es distinta de cero.
En el caso más general, las variables de un problema de mecánica de fluidos dependen de las tres
coordenadas espaciales, además del tiempo. En algunos casos, sin embargo, la dependencia de las
variables respecto a una de las coordenadas espaciales puede despreciarse. Si esto sucediera en un
problema donde se utiliza un sistema coordenado rectangular cartesiano ( x, y, z ), y la dependencia —
por ejemplo— con z fuera despreciable, se dice que se trata de un problema de flujo plano (en el
plano x- y). Si estuviéramos trabajando en un sistema coordenado cilíndrico (r ,θ , z ) y pudiera sumirse
que las variables de flujo no dependen de θ , decimos que se trata de un flujo axisimétrico.
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-13
Vamos a analizar tres ejemplos, todos clasificados como flujos unidireccionales.
6.5.1 Flujo entre placas paralelas
Supóngase que hay dos placas planas paralelas separadas por una distancia h constante, las que, a
los fines prácticos, se extienden infinitamente en el plano x- z (ver Fig. 6-6). Existe un movimiento
relativo constante entre las mismas en la dirección x. Imagine ahora que un líquido Newtoniano de
viscosidad ( µ ) y densidad ( ρ ) constantes se desplaza en el espacio existente entre las placas debido
al movimiento relativo de las mismas y a un gradiente de presión aplicado a lo largo de la
coordenada x. La velocidad del flujo es lo suficientemente lenta como para que el flujo pueda ser
considerado laminar. Puede asumirse que el efecto de la aceleración gravitatoria es completamente
despreciable, debido a la escasa separación entre las placas. Puede pensarse que el proceso ocurre
en estado estacionario, y que el análisis se realiza en una porción del canal donde el flujo estátotalmente desarrollado. Por ello, exceptuando v x, no habría razones para pensar que exista alguna
otra componente de velocidad distinta de cero. Tampoco existen motivos para suponer que las
variables de flujo dependan de z . Nos proponemos calcular las expresiones para la componente de
velocidad v x y la presión p. Antes de ello, presentamos en forma resumida las hipótesis que pueden
adoptarse en la resolución del problema:
Figura 6-6
• Flujo laminar.
• Flujo en estado estacionario (∂/∂t = 0).
• Fluido Newtoniano de viscosidad constante.
V
U
h y
x
x=0
P = P 0
x= L
P=P L
, ρ ρρ ρ
v y
v x
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-14
• Fluido incompresible (densidad constante).
• Flujo unidireccional completamente desarrollado(v = v x i).
• Flujo plano: las variables fluidodinámicas no dependen de z (∂/∂ z = 0).
• Efectos gravitatorios despreciables.
La ecuación de continuidad en este caso nos revela que:
v
z
v
y
v
x
v
x
z y x
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
⋅∇= v0
(6-32)
o sea, que v x = v x( y) solamente. Por otro lado, pueden desarrollarse y simplificarse las componentes
x e y (las únicas relevantes) de la ecuación de Navier-Stokes:
componente x:2
2
0dy
vd
x
p x µ +∂
∂−= (6-33)
componente y: y
p
∂
∂−=0 (6-34)
La ec. (6-34) nos dice que p = p( x) solamente. Por lo tanto, reescribimos la ec. (6-33):
2
2
dy
vd
dx
dp x µ = (6-35)
ecuación que nos dice que en este problema las fuerzas viscosas se equilibran con las de presión. El
miembro izquierdo de (6-35) es función sólo de x, mientras que el derecho es sólo función de y. Por ello, la única manera de que se mantenga la igualdad es si ambos miembros son iguales a una
constante, a la que llamamos G en este problema. Luego, podemos escribir:
Gdx
dp= (6-36)
Integrando ambos miembros entre x = 0 (donde p = p0) y un punto genérico obtenemos:
xG p pdxGdp x p
p+=⇒= ∫ ∫ 000
(6-37)
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-15
Es decir, la presión varía en forma lineal con la coordenada x. En particular, en x = L la presión es
p = p L, lo que nos permite calcular G:
L
p pG LG p p L
L0
0
−=⇒+= (6-38)
Trabajamos ahora con el miembro derecho de (6-35), integrando en forma indefinida dos veces:
D yC yG
vC yG
dy
dvG
dy
vd x
x x++=⇒+=⇒=
22
2
2 µ µ µ (6-39)
obteniendo un perfil de velocidades de tipo parabólico. Como es lógico, al integrar la ecuación de
segundo orden se obtuvo una solución general donde aparecen dos constantes de integración (C y
D). Nótese que en la obtención de (6-39) no fue necesario especificar información alguna acerca de
lo que sucede en los contornos del dominio. Más adelante se verificará que existen otros problemas
de flujo unidireccional donde se arriba a una solución general similar a esta. Para obtener las
constantes C y D es necesario especificar algunas condiciones de contorno. Como se mencionó, en
general las condiciones de contorno contienen información acerca de lo que sucede en la frontera
del dominio. En este caso, nuestra frontera son las placas que se mueven a izquierda y derecha. La
condición de no deslizamiento nos permite escribir aquí
v x = – U en y = 0 , v x = V en y = h (6-40)
De la primer condición se obtiene que D = – U . De la segunda se desprende que µ 2
hG
h
V U C −
+= .
Luego, el perfil de velocidad está dado por:
( ) y
h
V h y
h
U yGv x +−
+=
µ 2
(6-41)
Luego, las ecs. (6-37) y (6-41) constituyen la solución de este problema. Vamos a analizar algunos
casos particulares de esta solución, combinando distintos valores de G, U y V .
• Notamos fácilmente que si el gradiente de presión fuera nulo (G = 0), el perfil de velocidad
deja de ser parabólico y pasa a ser lineal (v x = (U + V ) y/h – U ). El flujo solamente es
producido por el arrastre generado por el movimiento relativo entre las placas. Estos flujos se
denominan en general de tipo Couette plano.
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-16
• En el caso en que ambas placas estuvieran inmóviles (U = V = 0), el perfil de velocidades
posee la siguientes expresión simplificada: ( ) µ 2h y yGv x −= . Si G > 0 ( P 0 < P L) el flujo,
como es lógico, se da de derecha a izquierda. Lo inverso ocurre si G < 0 ( P 0 > P L). Esta clase
de problemas se conocen como flujos de tipo Poiseuille plano.
• En el caso mas general G, U y V no son nulos y esto constituye una combinación de flujos
Poiseuille y Couette planos.
Una vez obtenido el perfil de velocidades, puede calcularse el caudal a través de una sección
transversal a la dirección del flujo:
( )
−
−=
−++
−=
⌡⌠
+−
+=
=⋅=⋅= ∫ ∫ ∫
µ
µ µ
122
22322
2
0
223
GhU V bhQ
Uy yh
V U yh yGbbdy yhV h y
hU yGQ
dAvdAdAQ
h
A
Ax
A Aivnv
(6-42)
donde se reemplazó dA = b dy, siendo b un ancho genérico del canal, en la dirección z
(perpendicular a la página).
6.5.2 Flujo plano con interfase líquido-gas
Analicemos ahora el siguiente problema (ver Fig. 6-7). Imaginemos que un líquido viscoso cae por
efecto de la gravedad sobre una rampa inclinada un cierto ángulo respecto de la horizontal,
formando una película de espesor uniforme. Es posible obtener una solución en forma relativamente
sencilla luego de enunciar una serie de hipótesis simplificadoras. Vamos a asumir, en primer
término, que el líquido se mueve lo suficientemente lento como para considerar un régimen de flujo
laminar. Supongamos además que estamos tratando con un líquido Newtoniano (e incompresible)
de viscosidad constante. Es posible pensar además que estamos observando una situación en la que
el fenómeno ocurre en estado estacionario. Asumimos además que la superficie inclinada por la que
desliza el líquido es perfectamente plana, y que el lugar donde se realiza el análisis está alejado de
cualquier borde, por lo que es admisible pensar que el movimiento del líquido posee una sola
componente de velocidad no nula, paralela a la placa. Además, se acepta que el problema es
independiente de la dirección perpendicular a la página. A continuación se resumen la hipótesis a
emplear:
• Flujo laminar.
• Flujo en estado estacionario (∂/∂t = 0).
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-17
• Fluido Newtoniano de viscosidad constante.
• Fluido incompresible (densidad constante).
• Flujo unidireccional completamente desarrollado(v = v x i).
• Flujo plano: las variables fluidodinámicas no dependen de z (∂/∂ z = 0).
Figura 6-7
Siguiendo un procedimiento similar al de la sección anterior, de la ecuación de continuidad se
obtiene que v x es independiente de x, es decir v x = v x( y). Planteamos a continuación las componentes
x e y de la ecuación de Navier-Stokes:
componente x: x x g
dy
vd
x
p ρ µ ++
∂
∂−=
2
2
0 (6-43)
componente y: y g y
p ρ +
∂
∂−=0 (6-44)
De la Fig. 6-7 es sencillo ver que g x = g senα y g y = – g cosα . Reescribimos las ecs. (6-43) y (6-44):
α ρ µ sen2
2
g dy
vd
x
p x+=
∂
∂(6-45)
h
y
x
x=0
P = P 0
I
, ρ ρρ ρ
v y
v x x= L
P=P L
α
α g y
g x
g
Aire Calmo ( )
p=patm
n
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-18
α ρ cos g y
p−=
∂
∂(6-46)
Como puede observarse, la ec. (6-45) no es directamente integrable. Por ello, recurrimos a un
artificio matemático definiendo una nueva variable, la denominada presión generalizada ( P ):
( )α α ρ sencos x y g p P −+= (6-47)
por lo que ∂ P /∂ y = ∂ p/∂ y + ρ g cosα = 0 según la ec. (6-46) (esto es, P ≠ P ( y)), y ∂ P /∂ x = ∂ p/∂ x –
ρ g senα = dP /dx puesto que P = P ( x). Luego, podemos reescribir la ec. (6-45) utilizando este
cambio de variables.
Gdy
vd
dx
dP x == 2
2
µ (6-48)
puesto que nuevamente notamos que esta igualdad puede mantenerse sólo si ambos miembros son
iguales a una constante, la que denominamos G.
Analizamos en primer término la igualdad dP /dx = G. Esta expresión puede integrarse; vamos a
hacerlo en forma definida, entre dos extremos genéricos x = 0 y x = L.
GL P P GdxdP L
L P
P
L=−⇒= ∫ ∫ 000
(6-49)
Nos detenemos un momento a examinar las expresiones P L y P 0. Utilizando estrictamente la
definición de presión generalizada (ver ec. (6-47)), notamos que a fin de evaluar la presión ( p( x, y))
debe especificarse no sólo un valor para x, sino también para y. En este problema en particular, es
conveniente elegir la superficie libre, ya que es un lugar donde conocemos el valor de la presión,
igual al que posee la atmósfera por encima del líquido. Esto es, elegimos y = h.
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )[ ] [ ]
α ρ
α ρ α α ρ
α α ρ α α ρ
sen
cossencos
sencos,sencos, ,0,0
gL
gh p Lh g p
x y g y x p x y g y x p P P GL
atmatm
h y xh y L x L
−=
+−−+=
−+−−+=−=====
(6-50)
Luego,
α ρ sen g G −= (6-51)
Reemplazando (6-51) en (6-48), se obtiene
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-19
α ρ µ sen2
2
g dy
vd x−= (6-52)
Comparando esta expresión con la ec. (6-45), notamos que esto implica que ∂ p/∂ x = 0. Este hecho
podría haberse deducido en forma más intuitiva. Sabemos que en la superficie libre la presión esconstante (e igual a la atmosférica). Por lo tanto ∂ p/∂ x|sup lib = 0. Además, la ec. (6-46) especifica la
variación de p con y, la cual es independiente de la posición x elegida. Por lo tanto, para cualquier
valor fijo de y, la presión tendrá la misma magnitud sin importar x, con lo cual ∂ p/∂ x = 0.
La ec. (6-52) es integrable; aplicamos este procedimiento dos veces para obtener
DCy y g
v x ++−=2
sen 2
µ
α ρ (6-53)
donde C y D son constantes de integración, las que deberían obtenerse imponiendo condiciones de
contorno apropiadas. Sobre la pared inclinada, puede establecerse la condición de no-deslizamiento.
La condición de contorno restante se impondrá sobre la interfase líquido-aire. Aún cuando podría
pensarse en la condición de no deslizamiento entre el movimiento del líquido y el aire, imponer esta
condición no sería de utilidad en este caso ya que la velocidad de movimiento del aire es
desconocida. Sin embargo, asumiendo que existe continuidad de tensiones en la interfase, es posible
derivar ecuaciones adicionales que sirvan como condición de contorno. Como se vio en la sección
6.4, la continuidad de tensiones en la interfase se expresa de la siguiente manera
II I
II I
TnTn
tt nn
⋅=⋅
= )()( (6-54)
donde I y II indican las fases líquida y gaseosa, respectivamente. En particular, analizando las
componentes de la tensión tangenciales a la interfase:
yv
yv
x
v
y
v
x
v
y
v
T T
II
x II
I
x I
II
y II
x II
I
y I
x I
II
yx
I
yx
II
yx
I
yx
II I
II I
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
=
=
⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅=⋅⋅
µ µ
µ µ
τ τ
iT jiT j
tTntTn
(6-55)
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-20
puesto que la presión sólo aporta a los esfuerzos normales y v y = 0. Luego
0≈∂
∂=
∂
∂
y
v
y
v II
x
I
II I
x
µ
µ (6-56)
dado que la viscosidad del aire es normalmente despreciable frente a la de los líquidos más
comunes, esto es: µ II << µ I . Luego, las condiciones de contorno a utilizar en este problema pueden
resumirse como:
==∂
∂
==
h y y
v
yv
I
x
x
en0
0en0
contornodescondicione (6-57)
Aplicando estas condiciones en (6-53) se obtiene
D=0 (6-58)
µ
α ρ
µ
α ρ sensen0
ghC C
gh=⇒+−= (6-59)
Reemplazando (6-58) y (6-59) en (6-53) se llega finalmente a la siguiente expresión para el perfil de
velocidades
−=
+−=
2
sen
sen
2
sen 2
yh y
g v
y gh y g
v
x
x
µ
α ρ
µ
α ρ
µ
α ρ
(6-60)
La Fig. 6-7 muestra el aspecto cualitativo que tendría el mismo, para una valor genérico (positivo)
del ángulo α . Además, resulta fácil verificar que para α = 0, el fluido está inmóvil.
Habíamos notado que la presión era constante a lo largo de la coordenada x, para un valor de y fijo.
Esto nos permite calcular una expresión para la presión, a partir de la ec. (6-46) que reescribimos a
continuación
α ρ cos g dy
dp−= (6-61)
Integrando en forma definida, teniendo en cuenta que en la superficie libre hay presión atmosférica:
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-21
( )
( ) yh g p p
yh g p pdy g dp
atm
atm
y
h
p
patm
−+=
−=−⇒−= ∫ ∫ α ρ
α ρ α ρ
cos
coscos(6-62)
Es decir, la presión varía sólo a lo largo de la coordenada y debido únicamente al efecto de la
gravedad.
6.5.3 Flujo Poiseuille
Se denomina flujo Poiseuille al flujo completamente desarrollado y en régimen laminar
estacionario, de un fluido Newtoniano e incompresible, dentro de un tubo cilíndrico (ver Fig. 6-8).
Se supone que existe una única componente de velocidad no nula, correspondiente a la dirección
axial y que no existen variaciones de las variables fluidodinámicas alrededor del eje central del
tubo, es decir, el flujo es axisimétrico. Al igual que los casos estudiados en las secciones previas, setrata de una situación altamente idealizada, que sólo puede lograrse en condiciones experimentales
muy controladas. Su estudio, sin embargo, permite conocer características generales de los flujos de
baja velocidad en tuberías. Dada la geometría particular de este problema, resulta conveniente elegir
un sistema coordenado cilíndrico, con la dirección axial a lo largo del eje central del tubo. Además,
aunque en muchas ocasiones es posible despreciar el efecto de la gravedad (por ejemplo, en el caso
de una tubería horizontal de diámetro relativamente pequeño), este efecto no va a ignorarse. A
continuación resumimos las hipótesis de trabajo:
• Flujo laminar.
• Flujo en estado estacionario (∂/∂t = 0).
• Fluido Newtoniano de viscosidad constante.
• Fluido incompresible (densidad constante).
• Flujo unidireccional completamente desarrollado(v = v z e z ).
• Flujo axisimétrico: las variables fluidodinámicas no dependen de θ (∂/∂θ = 0).
De la ecuación de continuidad, teniendo en cuenta que el fluido es incompresible y que el flujo es
unidireccional, se deduce que v z no depende de z :
∇⋅v = 0 ⇒ ∂v z /∂ z = 0 (6-63)
Luego, v z = v z (r ). Debe notarse que los operadores diferenciales espaciales (gradiente, divergencia,
etc.) tienen expresiones diferentes en coordenadas cilíndricas que en rectangulares (remitirse a las
tablas correspondientes). Antes de expresar la ecuación (6-25) por sus componentes, vamos a
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-22
redefinir la variable presión, de manera que incluya el efecto de la aceleración gravitatoria. Aunque
se trata de un procedimiento completamente equivalente al de la sección anterior, en este caso se
realiza de manera más general. Como es sabido, la gravedad es una fuerza conservativa; por ende,
puede expresarse como el gradiente de una función potencial. Realizamos entonces la siguiente
definición:
Figura 6-8
g = – ∇ϕ (6-64)
donde ϕ (r ,θ , z ) es el potencial gravitatorio (el signo “–” se usa por convención, pero su utilización
resulta indistinta respecto de los resultados que se obtienen). Luego, el término de gradiente de
presión en la (6-25) puede agruparse con el gravitatorio, esto es
– ∇ p + ρ g = – ∇( p + ρϕ ) = – ∇ P (6-65)
R
r
z
z =0
P = P 0
, ρ ρρ ρ
vr
v z
z = L
P=P L
α
α
g r
g z
g η
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-23
donde P ≡ p + ρϕ es una “presión modificada” o “presión generalizada”, análoga a la definida en la
sección anterior. Introduciendo este cambio de variables en la ec. de Navier-Stokes (6-25), resulta
una expresión similar, donde desaparece el término correspondiente a la aceleración gravitatoria.
vvvv 2∇+−∇=
∇⋅+∂∂ µ ρ P
t (6-66)
Pueden escribirse las componentes simplificadas de la ec. (6-25) como sigue:
comp. r :r
P
∂
∂−=0 (6-67)
comp. θ : θ ∂
∂
−=
P
r
1
0 (6-68)
comp. z :
+
∂
∂−=
dr
dvr
dr
d
r z
P z 10 µ (6-69)
De las ecs. (6-67) y (6-68) se desprende que P no es función de r ni de θ , por lo que la ec. (6-69)
puede reescribirse como
=
dr
dvr
dr
d
r dz
dP z 1 µ (6-70)
Puesto que el miembro izquierdo de (6-70) depende sólo de z y el derecho sólo de r , ambos
deberían ser iguales a una constante, que denominamos G. Integramos el término correspondiente a
la presión modificada, entre dos secciones de la tubería alejadas una distancia L, en los que la
presión modificada toma valores genéricos.
L
P P GGdz dP L
L P
P
L 0
00
−=⇒= ∫ ∫ (6-71)
Aunque el valor de P L – P 0 se calculará más adelante, el mismo está relacionado a la diferencia de
presiones y de alturas entre las secciones transversales utilizadas. Integramos ahora en forma
indefinida el término de fuerzas viscosas de la ec. (6-70):
Dr C Gr
v z ++= log4
2
µ (6-72)
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-24
A fin de calcular las constantes de integración, deben imponerse algunas condiciones de contorno.
Resulta claro que sobre la pared interna del tubo, el líquido no puede deslizar. La condición faltante
se desprende de una restricción física; la velocidad del líquido no puede ser infinita. Esta última
condición podría violarse en el eje de la tubería, en r = 0 (ver ec. (6-72)). Luego, las condiciones de
contorno se resumen como:
=
==
0enfinitaes
en0contornodescondicione
r v
Rr v
z
z (6-73)
De la segunda condición se deduce que C = 0, y de la primera se obtiene que D = – GR2/4 µ . La
expresión final para el perfil de velocidades es entonces
( )22
4Rr Gv z −=
µ (6-74)
donde se observa la clásica dependencia parabólica de la velocidad con el radio. El caudal que fluye
en la tubería puede calcularse a partir de (6-74).
( ) ( )
µ
π
µ
π
µ
π π
µ
8242
22
44
0
224
0
23
0
22
GR Rr r GQ
dr rRr G
rdr Rr G
Q
dAvdAdAQ
R
R R
Az
Az
A
−=
−=
⌡
⌠ −=
⌡
⌠ −=
=⋅=⋅= ∫ ∫ ∫ evnv
(6-75)
Nótese que el signo “–” no implica que el caudal sea negativo, ya que esto depende del signo de G.
Obsérvese además la dependencia del caudal con el radio del tubo elevado a la cuarta potencia.
Puede calcularse el esfuerzo cortante que el fluido ejerce sobre la pared del tubo (τ ). Como n = er es
un vector normal a la pared del conducto, dirigido hacia fuera del mismo, puede calcularse τ como
τ = – t(n)⋅e z = – t(er )⋅e z = – er ⋅T⋅e z = – T rz = – τ rz (6-76)
ya que la presión sólo contribuye a los esfuerzos normales. La componente rz del tensor de
tensiones viscosas está dada en este problema en particular por
τ = – µ dv z /dr |r = R = – GR/2 (6-77)
Vamos a calcular ahora el valor de G. Normalmente, esta constante involucra un gradiente de
presión aplicado a lo largo de la tubería, el cual constituye la “fuerza impulsora” del movimiento
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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-25
del fluido. En este caso particular, podría involucrar tanto este mecanismo, como también la posible
influencia de la gravedad, que intuitivamente sabemos se va a manifestar si existe una diferencia de
alturas entre las secciones transversales consideradas. Supongamos que en la línea central del tubo
hay una presión p = p0 en z = 0 y p = p L en z = L. Como P depende sólo de z , podemos escribir
P L – P 0 = p L – p0 + ρ [ϕ |r = 0, z = L – ϕ |r = 0, z = 0] (6-78)
donde g = – ∇ϕ . Definamos un eje coordenado η tal que coincida con la dirección del vector g, pero
que esté dirigido (o “crezca”) en sentido contrario (“hacia arriba”), de manera que ϕ = g η es una
definición que permite obtener el vector g al calcular el gradiente de – ϕ . Luego
ϕ |r = 0, z = L – ϕ |r = 0, z = 0 = g [η |r = 0, z = L – η |r = 0, z = 0] (6-79)
Mediante simples relaciones trigonométricas se obtiene que η |r = 0, z = L – η |r = 0, z = 0 = – L cosα , por lo
que
G = ( P L – P 0)/ L = ( p L – p0)/ L – ρ g cosα (6-80)
Si el tubo estuviera dispuesto horizontalmente, G estaría dado simplemente por el gradiente de
presión axial (G = ( p L – p0)/ L). A medida que el tubo se inclina acercándose a la vertical (α se
acerca a 0 o π ), los efectos gravitatorios se vuelven más importantes. En particular, para el caso deun líquido que desciende sólo por gravedad en un tubo vertical, G = – ρ g .