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BANCO DE EJERCICIOSDE LA COLECCIÓN COMPENDIOS
TRIGONOMETRÍA
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ÍNDICE
Sistema de medición angular ........................................................................................................... 4
Razones trigonométricas de un ángulo agudo ................................................................................. 11
Razones trigonométricas de ángulos en posición estándar ............................................................. 23
Circunferencia trigonométrica........................................................................................................... 27
Identidades trigonométricas para un mismo arco............................................................................. 35
Arcos compuestos ............................................................................................................................ 39
Reducción al primer cuadrante......................................................................................................... 44
Identidades de arcos múltiples ......................................................................................................... 49
Transformaciones trigonométricas ................................................................................................... 58
Ecuación trigonométrica ................................................................................................................... 65
Funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas .................................................... 73
Resolución de triángulos oblicuángulos ........................................................................................... 82
BANCO DE EJERCICIOS4
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ÁNGULO TRIGONOMÉTRICOSe genera por la rotación de un rayo (en el mismo plano), alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final.Consideramos un ángulo positivo cuando las rota-ción del rayo sea contraria al movimiento de las manecillas de un reloj (antihorario); cuando la rota-ción sea en el mismo sentido de movimiento (hora-rio) el ángulo se considera negativo.
O θ Oβ
Donde: O: vértice de los ángulos generadosq: ángulo trigonométrico positivob: ángulo trigonométrico negativo
• Cuando a un ángulo trigonométrico se le in-vierte su sentido, su valor cambia de signo.
• Para sumar ángulos trigonométricos en ungráfico estos deben tener el mismo sentido.
MEDICIÓN DE UN ÁNGULOAl medir un ángulo, tratamos de asignarle un nú-mero que indique la magnitud de este. Se debe te-ner presente para un ángulo positivo, que cuando sea mayor la rotación, mayor será el ángulo.
ÁNGULO DE UNA VUELTAEs aquel que se genera, cuando el lado final e ini-cial coinciden por primera vez de cierta rotación. Podríamos asignarle a este ángulo el número 1 y decir que ángulo de una vuelta es: 1 v. La forma más lógica para medir el ángulo es el número de vueltas o llamado también número de revoluciones.
1/4 v 1/2 v
3/4 v
1 v
MEDIDA EN GRADOS SEXAGESIMALESEl sistema más utilizado en aplicaciones de inge-niería, topografía y navegación es el sistema sexa-gesimal.En este sistema definimos el ángulo de una vuelta como aquel ángulo cuya medida es 360° (1°: grado sexagesimal).
Ejemplo:240°
Dibujemos un ángulo de 2/3 de una vuelta y calcu-lemos su medida.La medida en grados sexagesimales de este ángu-lo es
32 (360°) = 240°
Medida de un ángulo en grados sexagesima-les = (Número de revoluciones) (360°)
Tenemos también:
1 v = 360° 1° = 60’ 1’ = 60”
* 1° = 3600”
Donde: 1’: minuto sexagesimal 1”: segundo sexagesimal
MEDIDA EN GRADOS CENTESIMALESDebido a que este sistema no es muy utilizado y carece de aplicaciones prácticas, solo nos limita-remos a mencionar algunas equivalencias. En este sistema definimos el ángulo de una vuelta como aquel cuya medida es 400g (1g: grado centesimal)También tenemos:
1 v = 400g 1g = 100m 1m = 100s
* 1g = 10 000s
Donde: 1m: minuto centesimal 1s: segundo centesimal
MEDIDA EN RADIANESConsideremos un ángulo q y dibujemos una cir-cunferencia de radio r y el vértice del ángulo en su centro O; sea además L la longitud del arco de la circunferencia que se genera. Entonces se define:
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR
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COLECCIÓN EL POSTULANTE10
La medida de un ángulo en radianes (números de radianes) viene expresado por:
rLq =θr
r
L
O
Ejemplo:
θr = 2 cm
L = 8 cm
O
De la definición:
rL
cmcm
28 4q = = =
El número 4 no tiene unidades, así un ángulo de 4 (radianes) significa un ángulo que subtiende un arco cuya longitud es cuatro veces la longitud del radio (L = 4r)
Ahora si consideramos L = r, en-tonces según la definición tene-mos:
rL
rr 1q = = =
Podemos definir un ángulo de un radián (1 rad) como el ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio.
Nota:1 vuelta: 360° = 400g = 2p rad
21 vuelta: 180° = 200g = p rad
41 vuelta: 90° = 100g =
2p rad
• 1 rad 2 1° 2 1g
• 27' = 50m
• 1' 2 1m
• 81" = 250s
• 1" 2 1s
• 27' = 5000s
• 1' 2 1s
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS QUE REPRESEN-TAN LA MEDIDA DE UN ÁNGULOConsideremos ahora un ángulo trigonométrico po-sitivo como se muestra en la figura:
Siendo:S: número de grados sexagesimales del ángulo q.C: número de grados centesimales del ángulo q.R: número de radianes del ángulo q.
θO
S°
Cg
R rad
Se cumple: S C R180 200 p= =
;S R180p= ;C R200
p=S C9 10
=
S = 9kC = 10k
S = 180kC = 200kR = pk
LONGITUD DE ARCO DE CIRCUNFERENCIASi un arco de longitud L en una circunferencia de radio r, subtiende un ángulo central (medida en ra-dianes)
Entonces: L = qr 0 1 q # 2p
L = qr
q = rL
r = Lq
θr
Lr
Aplicaciones1. Número de vueltas que da una rueda sin
resbalar, al desplazarse de una posición a otra
En la figura se muestra una rueda de radio r, que se desplaza de una posición A a otra B, sin resbalar.
r
rA
B
lC
θr
r
L = r
O
BANCO DE EJERCICIOS6
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11TRIGONOMETRÍA
El número de vueltas que da dicha rueda para tal condición se calcula mediante la siguiente
relación: nv = l
r2c
p Donde: nv: número de vueltas que da la rueda. lc: longitud descrita por el centro de la rueda. r: radio de la rueda.
2. Poleas y engranajes• Engranajes en contacto y poleas unidas por
una faja de transmisión
A
rA rB
B
Figura (I)
FT
P
BA
Figura (II)
En la figura (I) se tiene dos engranajes y en la figura (II) se tiene dos poleas unidas por una faja de transmisión. En cada caso, si A gira un ángulo qA entonces B girará otro ángulo qB. Además las longitudes descritas por los pun-tos P, T y F son iguales, es decir:
lP = lT = lF qA rA = qB rB = lF
lp: denota la longitud de la trayectoria descri-ta por el punto P, análogamente para los otros puntos mencionados.
• Poleas unidas por un eje.
A
B
PQEje
Se tienen dos poleas unidas por un eje, si la polea A gira un ángulo qA entonces la polea B, girará un ángulo qB: qA = qB
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULARA la porción sombreada de la figura, se denomina sector circular.Si q es el ángulo central expresado en radianes, de una circunferencia de radio r, y si S denota el área de un sector circular subtendido por q.
Entonces:
θOr
B
Ar
S r2
2q= S Lr
2= S L
22
q=
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar el equivalente en grados, minutos y se-
gundos sexagesimales de un arco de 75p rad:
Resolución: Pasando al sistema sexagesimal:
75p rad ° °
rad180
7900
p=c m
240 72 34 & 34’
# 60
120 71 17 & 17"
900 74 128 & 128°
# 60
75p rad / 128°34'17''
2. Hallar la conversión de 9
32p rad en grados
sexagesimales.
Resolución: Pasando al sistema sexagesimal:
9
32p rad °rad
180pc m = °
932 180# = 640°
7TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE12
3. Si el complemento del arco x es 143p
- radianes,
hallar el valor de x en grados centesimales.
Resolución: Sabemos que el complemento de un arco x
es: x2p
-
Por dato: x2 14
3p p- =-
x12 14
3p p= + & x
75p
= rad
Este valor lo pasamos al sistema centesimal:
75p rad
rad200g
pc m =
71000g
= 142, 8571g
Pasando a minutos y segundos se obtiene:x = 142g 85m 71s
4. Un tramo de una vía férrea curvilínea está for-mado por dos arcos sucesivos. El primer arco corresponde a un ángulo central de 20° con un radio de 2500 pies y el segundo corresponde a un ángulo central de 25° con un radio de 3000 pies. Encontrar la longitud total de la vía.
Resolución Observar de la figura que la longitud total de la
vía es igual a la suma de los arcos L1 y L2.
L1 = 18020 pc m(2500)
2500 20°
L1
300025°
L2
L2 = 18025 pc m(3000)
L1 + L2 = 9
6250p
Considerando: p = 3,1416 se obtiene L1 + L2 = 2181,67 pies
5. Se tiene un sector circular de radio r y ángu-lo central de 36°. ¿Cuánto hay que aumentar al ángulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior?
Resolución: Sector circular (inicialmente):
S = 18036
21 pc mr2 ...(1) 36°
r
(S: área del sector circular)
Sector circular (después):
36° + α
r r4-
Observar que el radio (por dato) del nuevo sector es igual a 3r/4, pero el área no varía.
S = 36180
r21
43 2
α π+^ ch m ...(2)
Como el área es la misma, entonces iguala-mos (1) y (2):
18036 36
180r r
21
21
432 2π α π
= +c ^ cm h m
Simplificando: 36° = (36° + a)169
Operando tenemos: a = 28°
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
1. Calcule el valor de: °
°R
rad
rad
154 8
90207 16g
p
p
=
-
+ +
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Dada la siguiente equivalencia: 11g 1 2 a°b' calcule: b - a
a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49
3. Si: 1a a+^ h 1 2 g
2 0a +^ h calcule (a2 + a)° en radianes.
a) 30p b)
15p c)
9p
d) 6p e)
307p
4. Si 323p rad 1 2 a°b'c'', calcule (a + 2b - c)g en
el sistema sexagesimal.
a) 72° b) 81° c) 90° d) 99° e) 108°
5. Los ángulos internos de un triángulo miden:
(3x)°, (10x)g, y x10pc m rad. Calcule la diferencia
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13TRIGONOMETRÍA
de las medidas del mayor y menor ángulo en radianes.
a) 5p/18 b) p/3 c) 7p/18 d) 4p/8 e) p/2
6. Reducir la expresión:
E = C SS C
C SC S R C17 20
10p-
++
-
++ + -
siendo S y C las medidas sexagesimal y cen-tesimal de un ángulo trigonométrico.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
7. Determine la medida radial del ángulo que cumple: 12S + 5C + 40R/p = 32
a) p/10 rad b) p/40 rad c) p/80 rad d) p/100 rad e) p/90 rad
8. La suma del doble del número de grados sexagesimales con el número de grados cen-tesimales de un ángulo es igual a 140. Deter-minar la medida circular de dicho ángulo.
a) 3p rad b)
4p rad c)
5p rad
d) 2p rad e)
6p rad
9. El número de segundos sexagesimales de un ángulo más el número de minutos centesima-les del mismo ángulo es 66 800. Calcule la medida radial de dicho ángulo.
a) p/20 b) p/18 c) p/10 d) p/9 e) p/6
10. Calcule la medida del ángulo para el cual se cumple que: S + 3C - 10SR = 30 (p = 22/7)
a) 12° b) 15° c) 18° d) 21° e) 24°
11. Si a° y bg son suplementarios que están en la relación de 1 a 4, respectivamente, calcule el valor de: a b+
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
12. Calcule: 500 xx y z2- -c m , siendo:
x: número de segundos centesimales de un ángulo.
y: número de segundos sexagesimales del mismo ángulo.
z: número de minutos centesimales del mis-mo ángulo.
a) 169 b) 170 c) 171 d) 172 e) 173
13. Determine la medida radial del ángulo que cumpla con la igualdad:
S C R9 10
205 5 5
p+ + = 12(S4 + C4 + R4)
a) p/3 rad b) p/2 rad c) p/5 rad d) 2p/5 rad e) 3p/5 rad
14. Determine la medida circular del ángulo que cumpla con la igualdad, siendo S, C y R los números convencionales para un ángulo.
R S S S S C9
1 1 1 11
1 12
1 11
1f
p+ = + +
++
++
+ -c c c cm m m m
a) p/2 rad b) p/4 rad c) p/5 rad d) p/8 rad e) p/10 rad
15. Si: ’’° ’
’’
’’’ ’’
xx x
xx x
xx x
m
g mc c cm m m 1 2 a°b'c''
calcular: b
a c 1- -
a) 10 b) 15 c) 20 d) 24 e) 25
16. Siendo S y C los números de grados sexa-gesimales y centesimales para un mismo án-gulo el cual cumple: S2 + 81 # 18S
convertir (4SC)g a radianes.
a) 9p/5 b) 4p/5 c) 2p/3 d) 3p/5 e) 6p/7
17. Siendo S y C los números que representan la medida de un ángulo en grados sexagesima-les y grados centesimales, respectivamente, cumplen la igualdad:
...S S S C C Cf+ + + = - - -
Calcular la medida radial de dicho ángulo.
a) 1,9p rad b) 2,9p rad c) 3,9p rad d) 4,9p rad e) 0,9p rad
18. Calcular la medida del mayor ángulo en radia-nes, si la suma de la cuarta parte del número de grados sexagesimales de un ángulo y los tres quintos del número de grados centesima-
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COLECCIÓN EL POSTULANTE14
a) 12p m2
120°RR
b) 14p m2
c) 15p m2
d) 16p m2
e) 17p m2
4. En un sector circular se cumple que:
L R L6 4q
+c m = S + 380
donde: R: radio; q: número de radianes del ángulo central; L: longitud de arco, S: área. Hallar S:
a) 14 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20
5. Si S = 5L2, calcular x (S: área).
a) 2L
x S
b) 3L/2 c) L d) L/2 e) L/3
6. Calcular: q2 + q
a) 1
θ rad
b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 1/3
7. Hallar x.
a) 1
2 4
3x + 2
b) 1/2 c) 1/3 d) 2 e) 3
8. Calcular el valor de x.
a) 3
x5
2a a
11 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
9. En un sector circular el radio y el perímetro es-tán en la relación de 1 a 3. Calcular la medida del ángulo central.
a) 21 rad b) 1 rad c)
23 rad
d) 2 rad e) 25 rad
les de otro ángulo es 70, además se sabe que dichos ángulos son suplementarios.
a) p b) 2p/3 c) 2p d) p/2 e) p/4
19. Un ángulo a mide a0b° y también ac0g. Si c 2 b, ¿cuál es el menor valor que puede to-mar a en radianes?
a) 5
12p b) 5
14p c) 5
16p
d) 5p e)
1017p
20. Se tienen dos ángulos positivos y se sabe lo siguiente: la diferencia del número de minutos centesimales de uno de ellos con el número de minutos sexagesimales del otro es 400, además sus números de grados sexagesi-males y centesimales del segundo y primero suman 10. Calcule la diferencia de estos án-gulos en radianes.
a) p/46 b) p/12 c) p/20 d) p/8 e) p/96
1. d 5. e 9. c 13. e 17. a2. a 6. d 10. a 14. e 18. b3. c 7. d 11. d 15. a 19. b4. b 8. b 12. c 16. a 20. eC
laves
EJERCICIOS PROPUESTOS 2
1. Hallar x.
a) 1 x + 1
x + 1
x + 4x rad
b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) 2/3
2. De la figura, calcular: a ba b
-
+
a) 1 a
57
b
b) 3 c) 6 d) 5 e) 4
3. Calcular el área de la región sombreada: R = 6 m
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15TRIGONOMETRÍA
10. Determinar la longitud de la cuerda que cubretodo el sistema.
a) R (3 + p)R R
R
b) 2R (3 + p)c) 3R (3 + p)d) 4R (3 + p)e) 5R (3 + p)
11. Calcular q, si: S1 = S2
θ rad S1
S2
a) p/10 b) p/9 c) p/6d) p/5 e) p/4
12. Si A: área, hallar x.
a) 1
A xAA 24
b) 2c) 4d) 5e) 6
13. Si S1 + S2 = 15p m2, calcular q.
a) p/15
3 m3 m
3 m3 m
S2S1θ rad
b) p/12c) p/3d) p/10e) p/5
14. Calcular el área S de la región sombreada.
a) 48
x - 1 S x + 5
5x
b) 44c) 40d) 46e) 43
15. Calcular: S (área)
S 2a
b
a) 3ab b) 5ab c) 2ab
d) ab e) ab2
16. Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 40g. Si el radio mide 15 m, calcular la longitud de arco que subtiende.
a) p m b) 2p m c) 3p md) 4p m e) 5p m
17. Si L1 + L2 = 3
14p , a + b = 120°; hallar R.
a) 1R R
βα
R R
L1L2b) 3
c) 5d) 7e) 9
18. Calcular x.
a) 1/3
2 3 x
10b) 1c) 4/3d) 5/3e) 2
1. b 5. a 9. b 13. c 17. d2. c 6. a 10. b 14. a 18. d3. a 7. a 11. d 15. d4. e 8. d 12. e 16. cC
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11TRIGONOMETRÍA
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Se llama triángulo rectángulo al que tiene un án-gulo recto, recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos.En la figura, llamamos c a la hipotenusa, para in-dicar que su longitud es de c unidades y, con el mismo fin, llamamos a y b a los catetos, ahora su-pongamos que q es el ángulo agudo.En el triángulo rectángulo mostrado se cumple:
0 1 q 1 90°
θa
bc
a 1 c; b 1 c
Teorema de Pitágoras:
a2 + b2 = c2
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA (RT)La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longi-tudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto al ángulo agudo.Si en el triángulo de la figura anterior nos referimos a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c), cateto opuesto (b) y cate-to adyacente (a) al ángulo q. Podemos definir las razones trigonométricas de q del modo siguiente:
senq = á
hipotenusacateto opuesto al ngulo
cbq
=
cosq = á
hipotenusacateto adyacente al ngulo
caq
=
tanq = á
ácateto adyacente al ngulocateto opuesto al ngulo
ab
=
cotq = áá
cateto opuesto al ngulocateto adyacente al ngulo
ba
=
secq = ácateto adyacente al ngulo
hipotenusaac
q=
cscq = ácateto opuesto al ngulo
hipotenusabc
q=
Ejemplo:Calcule los valores de las seis razones trigono-métricas del menor ángulo agudo q de un trián-gulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 uni-dades.
Resolución:
θ15
8a = 17Teorema de Pitágoras
(8)2 + (15)2 = a2
289 = a2 & a = 17
En el :
senq = 178 cotq =
815
cosq = 1715 secq =
1517
tanq = 158 cscq =
817
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS AGUDOS: 30°, 60°, 45°, 37° Y 53°Las razones trigonométricas (RT) de estos ángu-los se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.
30°
2kk
k
60° 21
3330°
60°
5k 5 3k 3
4k 4 37° 37°
53° 53°
45°k
k45°
k 1
122
45°
45°
Ángulo30° 37° 45° 53° 60°
RT
sen 21
53
22
54
23
cos23
54
22
53
21
tan33
43 1
34 3
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
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17TRIGONOMETRÍA
Ángulo30° 37° 45° 53° 60°
RT
cot 334 1 4
333
sec3
2 345 2 3
5 2
csc 235 2 4
5 33
2
Nota:1.
15°
75°4
6 2-
6 2+
^ h
175° 15°
4
62
-
62+
2 3- ^ h2 3+
2. Los valores de las seis razones trigo-nométricas dependen únicamente de la medida del ángulo y no de las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.
Luego:
θA
B
B’
C C’
ACB tenemos que: sen q = ABBC
AC’B’ tenemos que: sen q = ’
’ ’ABB C
Luego: ’
’ ’ABBC
ABB C
=
Así encontramos el mismo valor para senq sin importar cual sea el triángulo rectángulo que utilicemos para calcular-lo, una idea similar podría servir para las otras razones trigonométricas.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCASSiendo q un ángulo agudo, se cumple:
cscq = sen
1q
& senqcscq = 1
secq = cos
1q
& cosqsecq = 1
cotq = tan
1q
& tanqcotq = 1
Ejemplos:
• senq = 72 & cscq =
27
• tanq = 55 & cotq =
55
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Dos ángulos agudos se lla-man complementarios si su suma es un ángulo recto.En la figura que se muestra:q y a: son ángulos comple-mentarios (q + a = 90°).
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como q y el ángulo opuesto al cateto a como a, en consecuencia:
senq = cb = cosa; cosq = c
a = sena
tanq = ab = cota; cotq =
ba = tana
secq = ac = csca; cscq =
bc = seca
sena = cos(90° - a)tana = cot(90° - a)seca = csc(90° - a)
Debido a estas relaciones, las razones:• Seno y coseno• Tangente y cotangente
RT(a) = CO-RT(b)& a + b = 90°
• Secante y cosecante
se llaman co-razones trigonométricas una de la otra, respectivamente.
a
bc
θ
α
13TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE18
Ejemplos:sen40° = cos50° sec20° = csc70°tan80° = cot10° cot3° = tan87°cos62° = sen28° csc24° = sec66°
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOSLas aplicaciones de la trigonometría en campos como topografía y navegación requieren resolver triángulos rectángulos. La expresión “resolver un triángulo” significa encontrar la longitud de cada lado y la medida de cada ángulo del triángulo.En esta sección veremos que podemos resolver cualquier triángulo rectángulo si se nos da: I. Las longitudes de dos lados.II. La longitud de un lado y la medida de un án-
gulo agudo.
I. Conociendo las longitudes de dos lados Ejemplo: Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo
que sus catetos miden 1 y 2, respectivamente.
Resolución:• Para calcular x, aplicamos el teorema de
Pitágoras:
(1)2 + (2)2 = a2
2
1a
θ
β
& a2 = 5 a = 5
• Para determinar la medida del ángulo q, calculemos una razón trigonométrica con los catetos de longitudes 1 y 2.
Es decir: tanq = 21 & q = 26°30’
Como: q + b = 90° & b = 63°30’
II. Conociendo un lado y la mediada de un án-gulo agudo
A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo.
Incógnitas: x, y
• Cálculo de x:
x
ya
θ
ax = cosq & x = acosq
• Cálculo de y:
ay
= sen q & y = asenq
• En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90° - q
θacosθ
asenθa
B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo.Incógnitas: x, y• Cálculo de x:
x
ay
θ
ax = cotq & x = acotq
• Cálculo de y:
ay
= cscq & y = acscq
• En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90° - q
θacotθ
aacscθ
C. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo.
Análogamente a los triángulos rectángulos anteriores tenemos:
θa
atanθasecθ
ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAREl área de cualquier región triangular esta dado por el semiproducto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados.Así tenemos:
S
B
A Cb
a
θ
S = 21 absenq
BANCO DE EJERCICIOS14
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19TRIGONOMETRÍA
ÁNGULOS VERTICALESSon aquellos ángulos contenidos en un plano verti-cal formados por la línea de mira (o visual) y la línea horizontal, que parten de la vista del observador. • Líneavertical. Vertical de un lugar es la línea
que coincide con la dirección que marca la plomada.
• Línea horizontal. Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical.
• Plano Vertical. Es el que contiene a toda línea vertical.
• Líneavisual. Llamada también línea de mira, es aquella línea recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse.
Los ángulos verticales pueden ser:
Ángulo de elevación. Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.
αβ θ
Plano vertical
Plano horizontal
Linea horizontal
Linea
de m
ira
L. horizontalP
En la figura se muestra la ubicación de los ángulos de elevación y depresión.• a: es la medida del ángulo de elevación, porque
se encuentra contenido en un plano vertical.• q: es la medida del ángulo de depresión, por-
que está contenido en un plano vertical.• b: no es un ángulo de elevación porque está
contenido en un plano inclinado.
Ángulo de depresión. Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.
Linea horizontal
Linea de mira
α
α: ángulo de depresión
Ángulo de observación. Es aquel ángulo for-mado por dos líneas de mira que parten de un mismo punto al observar un objeto de un extremo al otro.
θ
θ: ángulo de observación
Línea de mira
Línea de mira
Ejemplo:El ángulo de elevación de la cúspide de una torre es de 60°, a 72 metros de ella, estando el ojo del observador a 3 metros sobre el suelo, la altura de la torre es aproximadamente:
Resolución:Observar que: MN = 3
60°P
Q
M
H
N
72
723
& QM = H - 3
PMQ: tan60° = H72
3-
H372
3=
- & H = 73 3
EJERCICIOS RESUELTOS
1. En un triángulo rectángulo un cateto mide 4 m y la altura sobre la hipotenusa 2,4 m. ¿Cuál es el área del triángulo?
Resolución:
AHB: sena = ,4
2 4 = 0,6
sena = 53 & a = 37°
α
A
4
2,4H
B Ca
ABC: tana = a4
a4 4
3= & a = 3
ATABC = 2
4 3^ ^h h = 6 m2
2. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338 m. Si la tangente de uno de los án-gulos agudos es 2,4; ¿cuánto mide el cateto menor?
15TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE20
Resolución:
Dato: tana = 2,4 = 5
12 ...(1)
b c
a
α
De la figura: tana = ba ...(2)
De (1) y (2): ba
512
=
Entonces sea: a = 12x y b = 5x
c = a b x x12 52 2 2 2+ = +^ ^h h
c = 169x2 & c = 13x
Dato: a + b + c = 33812x + 5x + 13x = 338 & 30x = 338
& x = 30338
Cateto menor: b = 5x = 530338c m & b = 56,33
3. Se tiene un triángulo rectángulo isóscelesABC de catetos 1 m (ángulo recto en B). PorB se traza una perpendicular a AC; por D unaperpendicular a BC; por E una perpendiculara AC; por F una perpendicular a BC y así su-cesivamente. Calcular el límite de la suma:BD + DE + EF + FG + ...
A
DF
CGEB
Resolución:
α
αα
αA
DF
CGEB
ADB: BD = senaBED: DE = BDsena = sen2aDFE: EF = DEsena = sen3aEGF: FG = EFsena = sen4a
S = BD + DE + EF + FG + ....S = sena + sen2a + sen3a + sen4a + ...S = sena [1 + sena + sen2a + sen3a + ...]S = sena(1 + S) & (1 - sena)S = sena
S = sen
sen1 a
a-
Por dato el ABC es isóscelesEntonces: a = 45°
S = 1 45sen
sen45
121
21
-=
-
S = .2 1
12 12 1
- +
+ & S = 2 + 1
4. Considerando p = 3,1416; ¿cuál es el valor dela secante de un arco de: 1,04720 radianes?
Resolución: Nos piden calcular: sec(1,04720).
Como: 1,04720 = ,3
3 14163p
=
& sec(1,04720) = sec3pa k = 2
5. La cotangente de un ángulo vale 1,5; ¿cuántovale la tangente de su complemento?
Resolución:Dato: cota = 1,5Por RT de ángulos complementarios sabemosque:tan(90°- a) = cota tan(90° - a) = 1,5
6. Hallar el valor numérico de la siguiente expre-sión:
3 cos230°tan60° - 6 sen45°cot30° +2sec45°cos45° -
41
Resolución:Reemplazando los valores indicados:
323 3 6
22 3 2 2
21
412
- + -c ^ c ^ cm h m h m
&49
26 2
41
- + - = 1
7. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 5 y los ángulos agudos B y C cumplen con la
relación: senB = 2senC. Hallar las longitudesde los catetos.
ResoluciónDato: senB = 2senC
C
B
A
c
b
5ab
ac2
= & b = 2c
b2 + c2 = 5 2^ h & (2c)2 + c2 = 5 5c2 = 5 & c2 = 1c = 1 / b = 2
BANCO DE EJERCICIOS16
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21TRIGONOMETRÍA
8. Hallar el valor de la siguiente expresión:sen4x + 3tan3x - 2sec2x -
41
para: x = 45°
Resolución:Sea: E = sen4x +3tan3x - 2sec2x -
41
Para x = 45°:E = sen445° + 3tan345° - 2sec245° -
41
E = 21 4
c m + 3(1)3 - 2 2412
-^ h
E = 41 + 3 - 4 -
41 = -1
9. Hallar el valor de:
A = 30 45 3 45
30 60 60
cot sec tan
csc secsen21
361 /
4 2
2 4 3 1 2
+ +
+ +; E
Resolución:Reemplazando los valores conocidos:
A = 3 2 3 1
21
21
32
361 2
/
4 2
2 4 31 2
+ +
+ +
^ ^ ^
c c ^
h h h
m m h> H
A = 9 2 3
41
98
92 /1 2
+ +
+ +; E=
143649
1467
121
/1 2
= =
; E
10. Hallar los ángulos agudos a y b tales que:tan(3a - 35°) = cot(90° - b) / 2b - a = 15°
Resolución:Como: tan(3a - 35°) = cot(90° - b)Entonces: 3a - 35° + 90° - b = 90°Simplificando: 3a - b = 35° ...(1)Dato: 2b - a = 15° ...(2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) se ob-tiene: a = 17° / b = 16°
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
1. Del gráfico, calcular: senq
a) 0,2
θ5
2b) 0,5c) 2/3d) 2/5e) 3/4
2. Siendo q un ángulo agudo, tal que: tanq = 5/12;calcular el valor de: E = cosq - senq
a) 3/19 b) 4/17 c) 7/13d) 9/16 e) 5/13
3. Siendo x un ángulo agudo para el cual:cscx = 2,5; calcular el valor de:
M = 5cos2x - 3senx
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B),
simplificar: E = sec tan
csc tansenA C A
senA C A2-
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5. Dado el triángulo rectángulo ABC (recto en B). Calcular cscA, sabiendo que:
secC - senA = 3senC
a) 10 b) 2 10 c) 3 10 d) 5 e) 2 5
6. Si el perímetro de un triángulo rectángulo ABC (recto en B) es 168 cm, además: cscA = 25/7,calcular la diferencia entre las longitudes delos dos mayores lados.
a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cmd) 4 cm e) 5 cm
7. Siendo x e y ángulos agudos, calcular x,si: cos(2x + y + 15°)sec(3x + y - 12°) = 1
a) 25° b) 27° c) 29°d) 12° e) 15°
8. Calcular el ángulo agudo x que cumple:sen(5x + 13°) - cos(4x + 14°) = 0
a) 3° b) 5° c) 7°d) 9° e) 11°
9. Calcular el valor de:
E = " " "
" " "csc tan cos
cot secx x
sen x x10 5 65 3 70
20 25 3 80 5+ + - +
+ + + -
^ ^^ ^h h
h h
a) 1 b) 0 c) 2d) 1/2 e) 1/3
17TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE22
10. Siendo a y b ángulos agudos, calcular b, si: sen(7a - 15°) = cos(5a + 21°)
tan(2b - a)cot(3a + 2°) = 1
a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25°
11. Calcular la medida del ángulo agudo x para el cual se cumple:cot(2x - 9°) = tan1°tan2°tan3° ... tan89°
a) 10° b) 18° c) 20° d) 27° e) 30°
12. Siendo x e y ángulos agudos que cumplen: sec(5x + 10°) = csc(2y +20°) tan(20° + y)tan(30° + 3y) = 1 calcular: M = sen(4y + x) + tan(4x + y)
a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 3
13. Siendo a y b ángulos agudos tales que: tana = 7 / cscb = 2 2
calcular: E = tan2 tan3 2
α β α β++
+c cm m
a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3
14. Si a, b y q son ángulos agudos que cumplen:sen(3a + b) = cos(3q + 2b)
calcular: M = cos csccos sec
2 2 2 33 2
α β θ β θ
α β θ α β
+ + +
+ + +
^ ^^ ^
h hh h
a) 1/2 b) 1 c) 2 /2 d) 3 e) 2
15. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C), se sabe que: tan2B = 2; calcular: E = 2tan2A - csc2B
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
16. Siendo x e y ángulos agudos que cumplen:
tan(50° - x) = 10 80
40 20tan cot
cot tanx y+ +^ ^h h
calcular: E = 10"
" 20"cos
cosy x
sen x y y50- -
+ + +
^^ ^
hh h
a) 1/2 b) 3 /2 c) 3/4 d) 2 /2 e) 4/5
17. Se tiene un cubo donde se traza una de sus diagonales y una de las diagonales de su base, de tal manera que tenga un punto en común con la diagonal del cubo. Calcular la tangente del ángulo que forman dichas diagonales.
a) 2 b) 2 /2 c) 3 /2 d) 6 /2 e) 6 /6
18. Del gráfico, calcular: P = tanb + tanq
a) 1/2
A D
E
B F C
βθ
b) 2/3 c) -1 d) 1 e) 3/5
1. c 5. d 9. a 13. b 17. b2. c 6. d 10. c 14. a 18. d3. c 7. a 11. d 15. b4. b 8. c 12. b 16. dC
laves
EJERCICIOS PROPUESTOS 2
1. Calcular el valor de:
A = ° °
° ° °cot
tan sec cossen45 30
60 45 4 602 2
-
+ +
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
2. Si: tanq - sen45°tan60° = 0; q: agudo calcular E = 10sen2q + 6csc2q
a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 e) 20
3. Calcular el valor de x (agudo) en: 4sen(22° + x) cos(68° - x) = tan(30° + x)tan(60° - x) a) 2° b) 4° c) 8°
d) 10° e) 12°
4. Calcular secq del gráfico:
a) 13 /3 θ
37°
b) 13 /4 c) 13 /5 d) 13 /6 e) 13 /7
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23TRIGONOMETRÍA
a) 8 3 b) 7 3 c) 6 3 d) 5 e) 1
11. Hallar x.
a) 3senatanq θ
α
3
x
b) 2senacotq c) 3senasenq d) 3cosatanq e) 3cosacotq
12. De la figura, calcular: ba
37°30°
b
a
a) 3 /5 b) 2 3 /5 c) 3 3 /5 d) 4 3 /5 e) 5 3 /5
13. De la figura, calcular x.
a) asen(q − a)tana
α
a
x
θ b) asen(q − a)cota c) asen(q − a)seca d) asen(a − q)tana e) asen(a − q)cota
14. Del gráfico, calcular: x
a) 2(tana + tanb)
2β
αx
b) 2(cota + cotb) c) 2(cota - tanb) d) 2(cota - cotb) e) 2(tana - tanb)
15. De la figura, calcular x.
R
2θ
x
a) 2R(tanq + 1) b) 2R(cotq + 1) c) R(cotq + 1) d) R(cotq - 1) e) R(tanq + 1)
16. Calcular:
E = (2sen30° + sec60°)tan53° + 3 tan60°
a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
17. Si: senq - tan37° = 0;
calcular: A = tan7 1q+
5. De la figura, calcular: tanq
30°
θ
a) 3 b) 3 /2 c) 1 d) 2 e) 3 /3
6. De la figura, hallar cscq, si AO = OB.
a) 2
37° AO
Bθ b) 2 2
c) 2 3 d) 2 /2 e) 3 /3
7. De la figura, calcular: tana
a) 1/2
53° P
B C
A D
α b) 2 c) 1/4 d) 4 e) 1
8. De la figura, calcular: tana
37° 45° α
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 10/3 e) 10
9. De la figura, calcular: tana
a) 1/2 α
45°
b) 1/3 c) 4/7 d) 3/5 e) 5/7
10. Calcular: A = 10tana + 11tanq
120°8
8
θ
α
19TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE24
a) 2 b) 3 c) 5 d) 2 3 e) 3 2
18. Simplificar:
A = ° ° °tan tan tanx x2 35 55 60
cos18 csc72 sen30
2
-
+ - +^ ^h h
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6
19. Del gráfico, calcular: 6 sen q + 1
a) 2 θ
30°
b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
20. De la figura, calcular tanq.
a) 1/3
θ
45°
3aa
b) 1/4 c) 3/4 d) 2/3 e) 3/2
21. Calcular x del gráfico:
a) 1
37°
2x + 1x + 11 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
22. Del gráfico, calcular:
A = 2sen(q -15°) + sec(q+15°)
a) 1
θ
y
x
xy2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
1. c 6. a 11. a 16. c 21. d2. d 7. b 12. b 17. a 22. c3. d 8. c 13. e 18. a4. a 9. b 14. c 19. b5. b 10. b 15. c 20. dC
laves
EJERCICIOS PROPUESTOS 3
1. Del gráfico, calcular x.
a) 19
x
10
37°30°
a b) 18 c) 17 d) 15 e) 12
2. En un triángulo ABC cuya área es 0,5 m2, determinar a que es igual el producto de las cosecantes de los ángulos del triángulo.
a) abc b) a2b2c2 c) ab2c2
d) a2b2c e) a2bc2
3. Siendo S1 y S2 áreas, calcular: SS
1
2
a) 1 5b
3b
4a
6a
S1
S2
b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. Del gráfico, calcular: x12
1-a k
θaa - 1
x
a + 1
a) 3senq + 2cosq b) 2senq + cosq c) 4cosq + 3senq d) 3cosq + 4cosq e) 3cosq + 2cosq
5. Del gráfico, calcular: SS
2
1
a) sen2q
θθ
S1
S2
b) csc2q c) cos2q d) sec2q e) tan2q
6. Desde un punto en el suelo se observa la par-te más alta de un edificio con una elevación angular de 37°, nos acercamos al edificio a una distancia de 10 m y el nuevo ángulo de elevación para el mismo punto es 45°. Calcu-lar la altura del edificio.
BANCO DE EJERCICIOS20
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25TRIGONOMETRÍA
a) 14 m b) 15 m c) 28 m d) 30 m e) 32 m
7. Desde un punto en el suelo, situado entre 2 muros de 3 m y 4 3 m se observa sus puntos más altos con ángulos de elevación de 30° y 60°, respectivamente. Calcular la distancia entre dichos puntos.
a) 10 m b) 12 m c) 14 m d) 16 m e) 18 m
8. Desde la base de un árbol se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de ele-vación de 45° y desde la parte superior del ár-bol se observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 37°. Si la altura del edificio es de 120 m. Calcular la altura del árbol.
a) 10 m b) 20 m c) 30m d) 40 m e) 50 m
9. Una persona colocada a 36 m de una torre ob-serva su parte más alta con un ángulo de ele-vación a (tana = 7/12). ¿Qué distancia habría que alejarse para que el ángulo de elevación sea q, donde: tanq = 1/4?
a) 36 m b) 40 m c) 42 m d) 46 m e) 48 m
10. Desde la parte superior de un muro de 2 m de altura, se observa un árbol con un ángulo de depresión de 30° su base y con un ángulo de elevación de 60° su parte superior. Hallar la altura del árbol.
a) 4 m b) 6 m c) 8 m d) 10 m e) 12 m
11. Desde un avión, que se encuentra a una al-tura H, se observa en tierra un objetivo con un ángulo de depresión de 60°; luego de un minuto y habiendo pasado por encima del ob-jetivo, se vuelve a observar el mismo con una depresión angular de 30°. Si la velocidad del avión es de 300 km/h, calcular H, además la trayectoria del avión es una línea horizontal.
a) 1350 m b) 2500 m c) 1250 m d) 3500 m e) 2000 m
12. Un cachimbo de la Universidad Villarreal de 1,5 m de altura observa la parte superior de un poste, con un ángulo de elevación Φ. Si el cachimbo se acerca 45 m, hacia el poste y en
línea recta, el nuevo ángulo de elevación sería q, halle la altura del poste, sabiendo que:
cotΦ - cotq = 2
a) 16 m b) 18 m c) 20 m d) 24 m e) 25 m
13. Desde el último piso de un edificio se ob-serva un avión con un ángulo de elevación de 53°. Si la altura del edificio es de 200 m y la altura de vuelo del avión es de 1 km, calcular la distancia del avión al último piso del edificio.
a) 1600 m b) 1200 m c) 600 m d) 800 m e) 1000 m
14. Desde la base A de un camino inclinado, un ángulo a con respecto a la horizontal, se ob-serva la parte superior S, de un poste de 2 m de altura con un ángulo de elevación 2a. Si el poste se encuentra en el camino y AS = 7 m, calcular tana.
a) 2/9 b) 2/7 c)7/2 d) 6 2 e) 4 2
15. Calcular el área de una región triangular don-de 2 de sus lados miden 12 m y 14 m, además la medida del ángulo que forman dichos lados es 30°.
a) 40 m2 b) 41 m2 c) 42 m2
d) 43 m2 e) 44 m2
16. Del gráfico, calcular x.
a) bac senq
θ
ba
c
x
b) abc senq
c) cab senq
d) abcsenq
e) abc
2senq
17. Del gráfico, calcular: A = senq + 2cosq
a) 1
θ b) 1/2 c) 3/2 d) 3 e) 2
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18. Si a + b = ab; calcular x.
a) 3
30°30°xa b
AB P
C
b) 2 3 c) 3 3 d) 4 3 e) 5 3
19. Del gráfico, calcular el área de la región som-breada.
37°15 5 10
22
a) 13,5 b) 14,5 c) 15,5 d) 16,5 e) 17,5
20. A 16 m de la base de un árbol el ángulo de elevación para la parte más alta es 37°. Cal-cular la altura del árbol.
a) 10 m b) 11 m c) 12 m d) 13 m e) 14 m
1. e 5. d 9. e 13. e 17. e2. b 6. d 10. c 14. b 18. a3. c 7. a 11. c 15. c 19. d4. c 8. c 12. d 16. c 20. cC
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ÁNGULO EN POSICIÓN NORMALUn ángulo q está en posición normal, posición es-tándar o canónica si su vértice está en el origen de un sistema coordenado rectangular y su lado inicial coincide con el eje x positivo.
Ladofinal θ
y
xLado inicialVértice
Cuando un ángulo q está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes en cuyo caso se dice que q está en tal cuadrante, o bien encontrarse sobre el eje x o el eje y, entonces se dice que es un ángulo cuadrantal.
Ejemplos:I. y
xα
α 2 0
II. y
xφ
φ 1 0
III. y
xβ
β 2 0
IV. y
x
θ
θ 1 0
• Entonces a, φ / b están en posición normal. a ! IIIC, φ ∈ IIC y b es un ángulo cuadrantal.
• q no está en posición normal.
ÁNGULOS COTERMINALESSon aquellos ángulos que pueden o no estar en posición normal y tienen las siguientes caracterís-ticas:I. El mismo lado inicialII. El mismo vérticeIII. El mismo lado final
Sin considerar el sentido de los ángulos, es decir, que ambos ángulos pueden tener el mismo sentido o sentidos opuestos, se tiene:
Vértice Ladoinicial
Ladofinal
α
θ
x
y
Ladoinicial
α ! III Cθ ! III C
Vértice
Ladofinal
θα
En ambas figuras a y q son ángulos coterminales, en el primer gráfico son ángulos trigonométricos y en el segundo ambos están en posición normal.
Propiedades de ángulos coterminales1. La diferencia de dos ángulos coterminales es
un número que se representa por 360°k (k: entero). Es decir, si a y q son ángulos cotermi-nales, se cumple:
a - q = 360°k
donde: k = !1, !2, !3, ...
2. Siendo a y q ángulos coterminales y en posición normal como se muestra en la figura se tiene:
x
y
r
P(x; y)
θ
α
sena = ry
sena = senq senq = r
y
cosa = rx
cosa = cosq cosq = r
x
tana = xy
tana = tanq
tanq = xy
Análogamente para las demás razones trigo-nométricas. Luego, podemos concluir:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN ESTÁNDAR
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RT(a) = RT(q)
Donde RT: razón trigonométrica
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
θ
rP(x; y)
y
x
senq = ry
radio vectorordenada
=
cosq = rx
radio vectorabscisa
=
tanq = xy
abscisaordenada
=
cotq = yx
ordenadaabscisa
=
secq = xr
abscisaradio vector
=
cscq = yr
ordenadaradio vector
=
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar el valor numérico de la expresión: E = sen180° + 2cos180° + 3sen270° +
4cos270° - 5sec180° - 6csc270°
Resolución: Recordar:
sen cos tan cot sec csc
180° 0 -1 0 b -1 b
270° -1 0 b 0 b -1
Reemplazando en la expresión dada: E = 0 + 2(-1) + 3(-1) + 4(0) - 5(-1) - 6(-1) E = -2 - 3 + 5 + 6 = 6
2. Indicar los signos de las siguientes expresio-nes en el orden F, G, H.
F = csc 215 cot338
sec285 tan 138 sen210 3
3
2
^^
hh
G = csc195 tan336
sen 260 cot115 cos116 3
2
3
^^
hh
H = tan135 sec298
sen195 cot340 csc1283^ h
Resolución: Recordar los signos de las RT en cada cua-
drante.
senocosecante
(+)
cosenosecante
(+)
tangentecotangente
(+)
todas sonpositivas
(+)
En las expresiones dadas solo reemplazamos los signos.
F : 3
- -
+ + -=
+
-
^ ^^ ^ ^
^^
h hh h h
hh6 @
& F = (-)
G: 2
3
- +
- - -=
+
-
^ ^^ ^ ^
^^
h hh h h
hh
66
@@
& G = (-)
H: 3
- +
- - +=
-
+
^ ^^ ^ ^
^^
h hh h h
hh
6 @ & H = (-)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. De la figura siguiente, calcule tanq.
a) -4/3
θ
(3; 4)y
x
b) 4/3 c) -1 d) 3/4 e) -3/4
2. Del gráfico mostrado; calcule tana.
a) 2/3
α
(-3; 2)y
x
b) 1/3 c) 1/2 d) 3/2 e) 1
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29TRIGONOMETRÍA
3. Del gráfico mostrado, calcule tanq.
a) 1/2
θ
A(2; 6)
37°
y
x
b) 1/3 c) 1 d) 2 e) 3
4. Si q es un ángulo positivo, en posición normal y está comprendido entre la segunda y terce-ra vuelta; determine su valor si se cumplen: tanq = cot(p/4) y senq 1 0.
a) 35p/4 b) 75p/4 c) 55p/4 d) 65p/4 e) 45p/4
5. Del gráfico mostrado, calcule tanq.
a) -2/3
θ
(4; 4)y
m2m
(2; 0) x
b) -3/4 c) -4/3 d) -5/4 e) -3/2
6. Del gráfico mostrado; calcule 3tanq + 31 cotq
a) 1 θy
x
OO
b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7. Si q es un ángulo en posición normal tal que tanq = -
54 y q pertenece al segundo cuadran-
te; calcule: 2 + 41(senq + cosq)
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
8. Si se tiene que q es un ángulo en posición nor-mal del cuarto cuadrante, para el cual se tiene
que cosq = 1312 ; calcule: 3 + 13(senq + cosq)
a) 8 b) 10 c) 11 d) 9 e) 6
9. Determine el cuadrante al cual pertenece q si se cumple: (senq + cosq)secq 1 1 y además: tanqsenq 2 0
a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) F. D.
10. Determine el cuadrante al cual pertenece q si se tiene que: |senq| + senq = 0 y además: senqcosq 2 q
a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) F. D.
11. Si q es un ángulo positivo y menor que una vuelta y pertenece al tercer cuadrante; deter-mine el signo de:
I. E = (senq + cosq)tanq
II. F = 2 2
cossen q q-c cm m; Esenq
III. A = (sen2q - cosq)tan(q/2)
a) (-); (-); (+) b) (-); (+); (-) c) (-); (-); (-) d) (+); (-); (-) e) (+); (+); (-)
12. Dadas las relaciones:1 + |senq|tanq 1 0 / tanqsenq 2 0
determine el signo de la expresión:E = (senq - cosq)(tanq + cotq)
a) (+) b) (-) c) (+) o (-) d) 0 e) F.D.
13. Del gráfico mostrado, calcule: 3senq + 2cosq
a) 1
θ
y
xO
(-12; -5)
b) 2 c) 3 d) -2 e) -3
14. De la figura siguiente, calcule: senq - 4cosq
a) 5
θ
(-15; 8) y
x
b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
15. El punto P(-3; 5) pertenece al lado final de un ángulo q en posición normal; calcule:
34 (senq + cosq)
a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 3 e) 1/3
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16. El lado final de un ángulo q en posición normal pasa por el punto (4; -5); calcule:
41(senq - cosq) a)-1 b) -3 c) -5
d) -7 e) -9
17. Del gráfico mostrado, calcule el valor de m, si se tiene que: tanq = 3/2
a) 1
θ
y
x b) -8 c) 4 d) -2 e) -6
18. En la figura mostrada, calcule: tana + tanq
a) -13/12
θ
α
(a; a + 5)
(a - 1; a)
y
x
b) -4/7 c) -5/6 d) -35/12 e) -12/7
19. Del gráfico mostrado, calcule: tanq + tana
a) -3
37° θ
α x
y
b) -2 c) -1 d) -4 e) -5
20. Del gráfico mostrado; calcule tanq.
a) -3
θ
y
x
(-2; 4) b) -2 c) -1 d) -1/2 e) -1/3
1. e 5. a 9. d 13. e 17. b2. d 6. d 10. c 14. b 18. c3. a 7. d 11. c 15. c 19. a4. b 8. b 12. a 16. e 20. bC
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ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIAEn la figura se tiene una circunferencia con centro en C(h; k) y radio r. Si P (x; y) es un punto cual-quiera de la circunferencia, por distancia entre dos puntos se tiene: r = x h y k2 2
- + -^ ^h h , pero esto es equivalente a la ecuación: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 ...(I)A la ecuación (I) se denomina ecuación de la cir-cunferencia con centro en (h; k) y radio r.
P(x; y)r
C(h; k)
y
0 x
A aquella circunferencia que tenga por ecuación: x2 + y2 = 1, se le denomina circunferencia trigo-nométrica o unitaria. Entonces esta circunferencia tendrá centro en el origen y radio igual a una uni-dad. La gráfica de la circunferencia trigonométrica (CT) se observa en la siguiente figura:
CT
y
x
(0; -1)(1; 0)
0
1
(0; 1)
(-1; 0)
ARCO DIRIGIDOEs la trayectoria recorrida por un punto móvil so-bre una curva en un sentido determinado. Así, por ejemplo, en la figura el arco AB se forma por la trayectoria de un punto sobre la curva C, partiendo de A (posición inicial u origen) llegando al punto B (posición final o extremo). Análogamente el origen del arco CD es C y su extremo es D.
D
C A
BC
ARCOS EN POSICIÓN NORMALSon arcos dirigidos formados en una circunferen-cia con centro en el origen del plano cartesiano,
donde la posición inicial de estos arcos es el punto Q punto de intersección del lado positivo del eje x con la circunferencia) ver figura.En adelante discutiremos aquellos arcos dirigidos en posición normal donde la posición inicial sea un punto tal como Q. Aquellos arcos formados en sen-tido antihorario se consideran positivos, y en senti-do horario se les consideran negativos.En la figura, los puntos S y P son los extremos de los arcos γ y b, respectivamente.
y
x0Q
β
P
S γ
r
γ: es un arco positivo (sentido antihorario)
b: es un arco negativo (sentido horario)
Así tenemos un arco dirigido QP en posición nor-mal (figura 1). Del sector circular sombreado, se tiene que por la longitud del arco es LQP = ar. Para una CT (r = 1), se cumplirá: LQP = a (figura 2).
y
Fig. 2
xQ
P
x2 + y2 = 1
α
r α rad
y
xQ
P αr
r α rad
Fig. 1
Es importante trabajar los arcos en posición normal en la CT teniendo en cuenta el extremo del arco, este extremo nos indicará el cuadrante al que per-tenece dicho arco. Así, por ejemplo, en la figura q ! IC y γ ! IIIC.
y
xθrad
γ rad
A
T
θ
γ
CT P
En la figura (a), se tiene una recta numérica verti-cal donde el origen de la recta coincide con el punto A(1; 0) de la CT. Considerando a la CT como una sección de un carrete y la recta numérica como un hilo (espesor despreciable) entonces, en la figura
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE32
(b), la parte positiva de la recta se envuelve en sen-tido antihorario y la parte negativa en sentido horario.
CTy
xA
21
-1-2
CTy
xA
21
-1-2
12
-1-2
Fig. (a) Fig. (b)
Este procedimiento tiene por fin ilustrar al lector que a cada punto de la recta numérica le corres-ponde un único punto de la CT.Como ya se ha enunciado, es importante ubicar el extremo de un arco en la CT, ya sea para la ubica-ción de su cuadrante o para las definiciones que se verán más adelante. Así, por ejemplo el arco 1 en la CT se relaciona a un ángulo en posición normal 1 rad Fig. (a), análogamente el arco p a p rad Fig. (b) y el arco -2 a -2 rad Fig. (c)
y
x1 rad
CT 1
y
x
CT
π π rad
Fig. (a) Fig. (b)
y
x
CT
-2 rad
-2
Fig. (c)
REPRESENTACIONES DE LAS RAZONES TRIGO-NOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNITARIAEn esta parte, al referirnos a un arco, hacemos la suposición de que este es un arco dirigido en la CT en posición normal, es decir, su punto inicial es el origen de arcos A(1; 0). En las representaciones siguientes se han utilizado segmentos dirigidos.
DefiniciónIEl seno de un arco es la ordenada de su extremo.
Ejemplos:y
xAP
Oθ
α
senα
senθCT
Q
y
xA
M
O
sen
sen
CTB’
3π
3π
2π
-
2π
-a k
y
xA
sen
Osen(-1)
CT ED -1
67π
67π
DefiniciónIIEl coseno de un arco es la abscisa de su extremo.
y
xO
CTP
A
Q
cosα
cosβ
α
β
y
xOcos(-π)
CT
AR
A’-π
43π
cos4
3π
y
xO
CT
A
Sπ/3
B’(0; -1)
cos3π
2-
π
cos
20p
- =a k
Teorema 1: 6a ! R, se cumple: -1 # sena # 1 / -1 # cosa # 1
En efecto, si a es cualquier número real, entonces su extremo en la CT podrá ser cualquier punto de la CT. Los intervalos que contienen los valores del sena y cosa, se ilustran en la fig. (a) y fig. (b), res-pectivamente.
CT y
1
–1
x senα
CT y
1-1
x
cosα
Fig. (a) Fig. (b)
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33TRIGONOMETRÍA
Sea la figura siguiente y consideremos que k ! Z, planteamos el siguiente cuadro a manera de resumen.
y
x
CT
A(1; 0)
B’(0; -1)
A’(-1; 0)
B(0; 1)
En el punto
Se ubican los extremos de los arcos de la forma Ejemplos
A 2kp-6p, -4p, -2p, 0, 2p,
4p, 6p, 8p, 10p
B 2kp + 2p 0 (4k + 1)
2p
, , , , ,2 2
52
92
132
17f
p p p p p
, , , ,2
32
72
112
15f
p p p p- - - -
A' 2kp + p 0 (2k + 1)p p, 3p, 5p, 7p, 9p, ... -p, -3p,-5p,-7p,-9p,
B' 2kp + 2
3p 0 (4k + 3)2p
, , , , ,2
32
72
112
152
19f
p p p p p
, , , ,2 2
52
92
13f
p p p p- - - -
Continuando en la figura, tenemos que si el extre-mo de un arco se ubica en el punto:• A o A’, el seno tiene un valor de cero. Ejemplos: sen0 = 0; senp = 0; sen2p = 0 sen(-5p) = 0; sen28p = 0
Se concluye que: sen(kp) = 0 ; 6k ! Z
• B, el seno tiene un valor igual a la unidad. Ejemplos: sen
2pa k = 1; sen
25pc m = 1;
sen23p-c m = 1; sen
241pc m = 1;
sen2
101pc m = 1
Se concluye que: sen k22
p p+a k = 1 ; 6k ! Z
• B’, el seno tiene un valor igual a -1 Ejemplos: sen
23pc m = -1; sen
27pc m = -1
sen2p
-a k = -1; sen2
91pc m = -1
Se concluye que: sen k22
3p p+c m = -1 ; 6k ! Z
• B o B', el coseno tiene un valor de cero Ejemplos: cos
2pa k = 0; cos
23pc m = 0;
cos2
13pc m = 0; cos2
75pc m = 0;
cos2
21p-c m = 0
Se concluye que: cos(2k + 1)2p = 0 ; 6k ! Z
• A, el coseno tiene un valor igual a la unidad. Ejemplos: cos0 = 1; cos2p = 1; cos4p = 1 cos(-6p) = 1; cos 100p = 1 Se concluye que: cos(2kp) = 1 ; 6k ! Z
• A’, el coseno tiene un valor igual a -1 Ejemplos: cosp = -1; cos3p = -1; cos9p = -1 cos(-15p) = -1; cos45p = -1
Se concluye que: cos(2kp + p) = -1 ; 6k ! Z
DefiniciónIIILa tangente de un arco es la ordenada del pun-to de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de arcos y la prolongación del radio o diámetro que pasa por el extremo del arco.
x
y
L
A
tanβ
P
Q
O
CT
tanα
α
β
C
y
x
L
AO
CT
tan(2π/3)
2π3
x
y
L
tan
P
E
OCT tan -
5π4
π4
-5π4
π/4
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DefiniciónIVLa cotangente de un arco es la abscisa del pun-to de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de complementos y la pro-longación del radio o diámetro que pasa por el extremo del arco.
Ejemplos:
x
BLy
cotαα
cotβ
β
O A
CT
π/4
L
π/6
-π/2
x
B(0; 1)y
cotπ/6
O A
CT
L
-3π4
2π3
x
B
ycot2π
3cot
O
R
A
CT
-3π4
cot2
0p- =a k
A la recta L que es la tangente a la CT en B(0; 1) se le suele denominar eje de cotangentes.
Teorema 2• tana ! R; 6a ! R - n2 1
2p
+^ h% /; n ! Z
• cota ! R; 6a ! R - {np}; n ! Z
DefiniciónVLa secante de un arco es la abscisa del pun-to de intersección entre la recta tangente que pasa por el extremo del arco y el eje x.
Ejemplos:
F y G: puntos de tangencia
P y Q: puntos de tangenciaS
β
secβsecα
α
x
y
O
P
Q
R
CT
-π4
-π4
2π3
2π3
Dsec
secx
y
OE
F
GCT
DefiniciónVILa cosecante de un arco es la ordenada del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el extremo del arco y el eje y.
Ejemplos:
π2
-π/4
π/2
cscA
TO
B
G
x
y
CT
csc(-π/4)
β
αcscα
cscβ
A
Q
O
C
D
P
x
y
CT
(P y Q: ptos. de tangencia) (B y T: ptos. de tangencia)
-5π6
-5π6
csc(π/6)
π/6
csc
O
E
CTR
Sx
yF
(S y R: puntos de tangencia)
Teorema 3• seca # -1 0 seca $ 1; 6a ! R - n2 1
2p
+^ h% /; n ! Z
• csca # -1 0 csca $ 1; 6a ! R -{np}; n ! Z
SENOVERSO, COSENOVERSO Y EXSECANTE• El senoverso o verso de un arco q denotado
por versq, se define: versq = 1 - cosq ; 6q ! R
• El cosenoverso o coverso de un arco q deno-tado por covq, se define:
covq = 1 - senq ; 6q ! R
• La exsecante o secante externa de un arco q denotado por exsecq, se define:
exsecq = secq -1 ; 6q ! R - n2 12p
+^ h% /; n ! Z
i. 0 # versq # 2ii. 0 # covq # 2iii. exsecq # -2 0 exsecq $ 0
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35TRIGONOMETRÍA
• Gráficamente el verso de un arco es el seg-mento dirigido en el eje x que parte del punto cuya coordenada es el coseno de dicho arco hacia el origen de arcos.
Ejemplos: y
x
CT
versθA
θ
P
De la figura se cumple:versq = PAYa que PA = A - P& versq = A - P
versq = 1 - cosq
• Gráficamente el coverso de un arco es el seg-mento dirigido en el eje y que parte del punto cuya coordenada es el seno de dicho arco ha-cia el origen de complementos.
Ejemplo: y
xcovθ
B
θQCT
De la figura se cumple: covq = QB
Ya que QB = B - Q & covq = B - Q covq = 1 - senq
• Gráficamente la exsecante de un arco es el segmento dirigido en el eje x que parte del ori-gen de arcos hacia el punto cuya coordenada es la secante de dicho arco.
Ejemplo: De la figura, P es punto de tangencia y se
cumple: y
x
CT
AR
Pθ
exsecθ
exsecq = AR
Ya que: AR = R - A & exsecq = R - A exsecq = secq -1
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Decir si son falsos (F) o verdaderos (V) los si-guiente enunciados:
I. Las funciones seno y coseno son negati-vas en el tercer cuadrante y crecientes en el cuarto cuadrante.
II. No existe función trigonométrica alguna de un ángulo del segundo cuadrante que sea positivo y aumenta a medida que el ángulo crece.
III. Solo existe una función que puede tomar el valor de 3,8 y ser positiva en el tercer cuadrante.
Resolución:Analizamos cada proposición:I. Está proposición es verdadera. Las fun-
ciones seno y coseno son negativas en el IIIC. En el IVC ambas funciones son cre-cientes.
II. Esta proposición es falsa. Ya que la fun-ción secante es positiva y creciente en el segundo cuadrante.
III. Esta proposición es falsa. Ya que las fun-ciones tangentes y cotangentes son positi-vas en el tercer cuadrante y cualesquiera de estas pueden tomar el valor de 3,8.
VFF
2. Cuando el ángulo x aumenta de 90° a 180°, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
a) El seno aumentab) El coseno aumentac) La cosecante aumentad) La secante disminuyee) La cotangente aumenta
Resolución: Si x varía de 90° a 180° estamos en el segun-
do cuadrante, entonces:
a) El seno varía de 1 a 0b) El coseno varía de 0 a -1c) La cosecante varía de 1 a +3d) La secante varía de -3 a -1e) La cotangente varía de 0 a -3
Rpta:. c
3. En la circunferencia trigonométrica se pide indicar el valor de: OC + DB, en función del ángulo a.
αO
D
C
AB
Resolución: Como se trata de la CT, entonces OD = OA = 1
OC = csca y DB = cota
BANCO DE EJERCICIOS32
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COLECCIÓN EL POSTULANTE36
7. Si: senx = a5
2 3- ; hallar la suma de todos los
valores enteros que pueden tomar a.
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
8. Calcular AB, donde A y B representan los va-lores mínimo y máximo de la expresión:
P = 5 - 3cosx
a) -15 b) -6 c) 8 d) 15 e) 16
9. Si: q ! IIIC y cosq = k7
3 2+ , hallar el intervalo
de k.
a) G-5; 3H b) G0; 2/3H c) G-3; 2/3H d) G-2/3; 0H e) G3; 2/3H
10. Si a y q son arcos diferentes, calcular la dife-rencia entre los valores máximo y mínimo de la expresión:
Q = 2sec3pa k - sen2a + 2cos2q
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
11. Indicar si es verdadero (V) o falso (F): I. sen2 1 sen3 II. cos5 2 cos6 III. sec4tan6 2 0
a) VVV b) FFV c) FVF d) VFF e) FFF
12. Del gráfico, calcular el área de la región som-breada, si: BP = PQ = QB'
a) (1/3)senq B
P
Q
B’
θCT
b) (1/3)cosq c) (-1/3)senq d) (-1/3)cosq e) (-1/6)senq
13. De la figura, calcular d.
a) cos
sen1 q
q+
d
CTθ
b) cossen1 qq
+
c) cos
sen1 q
q-
d) cossen1 qq
+
e) cos
sen1 q
q+
-
OC + DB = csca + cota
αO
D
C
A11B = cos
sen sen1a a
a+
= cossen
1aa+
PRACTICEJERCICIOS PROPUESTOS
1. ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor?
a) sen40° b) sen100° c) sen160° d) sen220° e) sen280°
2. ¿Cuál de los siguientes valores es el menor?
a) cos20° b) cos100° c) cos160° d) cos260° e) cos320°
3. En la CT hallar el área de la región sombreada:
a) sena
x
yα
b) cosa c) 1/2sena d) 1/2cosa e) 1
4. En la circunferencia trigonométrica mostrada: cosq = 2/3 y OM = MB. Calcular el área de la región triangular OMP.
a) 1/6
A
B
θO
A’
P
B’
M b) 1/3 c) 1/4 d) 1/2 e) 2/3
5. Si: p/2 1 x 1 y 1 p, entonces: I. senx 2 seny II. cosx 1 cosy III. senx1 cosy
Son verdaderas: a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) I y II
6. Hallar los valores de k, si: cosq = k3
2 1-
a) [-1; 2] b) [-2; 1] c) [-3; 2] d) [-1; 3] e) [-1; 1]
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37TRIGONOMETRÍA
14. Calcular el valor de:
E = cossenx
senx x8
1 1+
- + +
para: x = p/2
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6
15. Si: 6p 1 x 1
65p ; indicar la variación de:
2senx + 3
a) [4; 5] b) ]4, 5[ c) [4, 5[ d) ]4,5] e) ]-4, 5]
16. En la CT hallar el área de la región sombreada:
a) sena α
x
y
b) cosa c) (1/2)sena d) (1/2)cosa e) 1
17. Si: sena = 0,8; hallar MQ.
a) 3
x
y
CT
αM
P
Q b) 4 c) 5 d) 0,8 e) 0,6
18. Si: x2 4
31 1
p p , indicar qué proposiciones
son verdaderas:
I. senx 2 cosx II. sen2x 2 cos2x III. senx -cosx 1 0
a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y III e) I y II
19. Simplificar la expresión:
E = cos cossenx
x x1
1 3+
- + +
para: x = 0
a) 1 b) 2 /2 c) 2 d) 2 e) 1/2
20. Hallar los valores de k, si: senq = k2
1-
a) [-1; 1] b) [-1; 2] c) [-1;3] d) [-2; 3] e) [-1; 4]
21. Determine el intervalo de k, si se cumple la siguiente igualdad:
cosx k k3
2 12
23
1-=
+-
-
a) [-14; 6] b) [-13; -5] c) [-12; 4] d) [4; 12] e) [5; 13]
22. Si: cosx = a2
3 1- , calcular la suma de todos
los valores enteros de a.
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
23. Si: q ! IVC y senq = a5
2- , cuántos valores
enteros puede tomar a.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
24. Si: q ! IIC y cosq = k5
3- , hallar el intervalo de k.
a) [-2; 8] b) [-2; 3] c) G-2; -3H d) G-2; 8H e) [2; -3]
1. b 6. a 11. b 16. b 21. a2. c 7. d 12. d 17. e 22. d3. a 8. e 13. c 18. e 23. b4. a 9. c 14. b 19. d 24. b5. a 10. b 15. d 20. cC
laves
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Identidades trigonométricas por cociente
• senxcscx = 1• cosxsecx = 1• tanxcotx = 1
• tanx = cosxsenx
• cotx = cossenx
x
Identidades trigonométricas recíprocas
• sen4x + cos4x = 1 - 2sen2xcos2x• sen6x + cos6x = 1 - 3sen2xcos2x• tanx + cotx = secx cscx• sec2x + csc2x = sec2xcsc2x• (1 ! senx ! cosx)2 = 2(1 ! senx)(1 ! cosx)
• sen2x + cos2x = 1• 1 + tan2x = sec2x• 1 + cot2x = csc2x
Identidades pitagóricas
Identidades trigonométricas auxiliares
Nota:sen2q + cos2q = 1
Despejando:
sen2q = 1 - cos2θ & sen2q = (1 + cosq)(1 - cosq)
Asimismo:
cos2q = 1 - sen2q & cos2q = (1 + senq)(1 - senq)
Identidades auxiliares
• sen4q + cos4q = 1 - 2sen2qcos2q• sen6q + cos6q = 1 - 3sen2qcos2q• tanq + cotq = secqcscθ• sec2q + csc2q = sec2qcsc2q• (1 + senq + cosq) = 2(1 + senq)(1 + cosq)
Demostraciones• sen2q + cos2q = 1 Al cuadrado: (sen2q + cos2q)2 = 12
sen4q + cos4q + 2sen2qcos2q = 1 & sen4q + cos4q = 1 - 2sen2qcos2q
• sen2q + cos2q = 1 Al cubo: (sen2q + cos2q)3 = 13
sen6q + cos6q + 3(sen2qcos2q)(sen2q + cos2q) = 1 1 sen6q + cos6q + 3sen2qcos2q = 1 & sen2q + cos2q = 1 - 3sen2qcos2q
• tanq + cotq = cos
cossensenq
qqq
+
tanq + cotq = cos
cossen
sen2 2
q qq q+
tanq + cotq = cos sen
1q q
& tanq + cotq = secqcscq
• sec2q + csc2q = cos sen
1 12 2q q
+
sec2q + csc2q = cos
cossen
sen2 2
2 2
q qq q+
sec2q + csc2q = cos sen
12 2q q
& sec2q + csc2q = sec2qcsc2q
• (1 + senq + cosq)2 = 12 + (senq)2+ (cosq)2+ 2senq + 2cosq + 2senqcosq = 1 + sen2q + cos2q + 2senq + 2cosq + 2senqcosq = 2 + 2senq + 2cosq + 2senqcosq = 2(1 + senq) + 2cosq(1 + senq) = (1 + senq)(2 + 2cosq) = 2(1 + senq)(1 + cosq) & (1 + senq + cosq)2 = 2(1 + senq)(1 + cosq)
PROBLEMAS PARA DEMOSTRARDemostrar una identidad consiste en que ambos miembros de la igualdad propuesta sean equiva-lentes, para lograr dicho objetivo se siguen los si-guientes pasos:
1. Se escoge el miembro más complicado.2. Se lleva a senos y cosenos (por lo general).3. Se utilizan las identidades fundamentales y
las diferentes operaciones algebraicas.
Ejemplos:1. Demostrar: secx(1 - sen2x) - cscx = cotx
Resolución: Se escoge al 1.er miembro: secx(1 - sen2x)cscx Se lleva a senos y cosenos:
cosx1 (cos2x) senx
1
Se efectúa: cosx senx1 = cotx = cotx
2. Demostrar: [secx + tanx - 1][1 + secx - tanx] = 2tanx
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN MISMO ARCO
BANCO DE EJERCICIOS36
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39TRIGONOMETRÍA
Resolución: Se escoge el 1.er miembro: [secx + tanx - 1][secx - tanx + 1] = [secx + (tanx - 1)][secx - (tanx - 1)] (secx)2 - (tanx - 1)2 = (1 + tan2x) - (tan2x - 2tanx - 1) = 1 + tan2x - tan2x + 2tanx -1 = 2tanx = 2tanx
PROBLEMAS PARA SIMPLIFICAR Y REDUCIREjemplos:1. Reducir: K = sen4x - cos4x + 2cos2x
Resolución: Por diferencia de cuadrados: K = (sen2x + cos2x)(sen2x - cos2x) + 2cos2x K = sen2x - cos2x + 2cos2x
K = sen2x + cos2x & K = 1
2. Simplificar: E = coscossenx
xx
senx11
+-
- Resolución:
1 - cos2x
E = cos
cos cossenx x
x x senx senx1
1 1-
+ - -
^^ ^ ^ ^
hh h h h
E = cossenx x
sen x sen x1
2 2
-
-
^ h & E =
cossenx x10-^ h
& E = 0
PROBLEMAS CONDICIONALESDada una o varias condiciones se pide hallar una relación en términos de dicha o dichas condiciones.
Ejemplo:Si: senx + cosx =
21 ; hallar: senxcosx
Resolución:
Del dato al cuadrado: (senx + cosx)2 = 21 2
c m
sen2x + cos2x + 2senxcosx = 41
2senxcosx = 43
- & senxcosx = 83
-
PROBLEMAS PARA ELIMINAR ÁNGULOSLa idea central es eliminar todas las expresiones algebraicas y que al final quede relaciones inde-pendientes de la variable.
Ejemplo:Eliminar x, a partir de: senx = a / cosx = b
Resolución:De senx = a & sen2x = a2
cosx = b & cos2x = b2
Sumamos: sen2x + cos2x = a2 + b2
1 = a2 + b2
EJERCICIOS RESUELTOSditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorial1. Si cosx + senxtanx = 1,2; ¿cuánto vale secx?
Resolución:
cosx + senx cosxsenxa k = 1,2
cosx + cosxsen x2
= 1,2 & coscos
xx sen x2 2
+ = 1,2
cosx1 = 1,2 & secx = 1,2
2. ¿Qué función trigonométrica deberá es-cribirse en vez de M para que la ecuación tana + cota = Mseca se transforme en una identidad?
Resolución: tana + cota = Mseca
cossen
sencos M cos
1aa
aa
a+ = c m
sen cossen cos
cosM2 2
a aa
a+
=
cos cossenM1
a a a= & M = csca
3. Hallar las expresión equivalente de:
cscx senxsecx cosx
--
Resolución:
Sea: F = cscsec cos
x senxx x
--
F = cos cos coscos
senx senx
x x
senxsen x
xx
1
1
1
1
2
2
-
-=
-
-
F = coscos
cossenx
xx
sen x
xsen x
2
2
3
3= & F = tan3x
37TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE40
4. Simplificar la expresión: E =(tanx + tany)(1 - cotxcoty) + (cotx + coty)(1 - tanxtany)
Resolución: E = (tanx + tany)(1 - cotxcoty) + (cotx + coty)(1 - tanxtany)
Z [ \] ] ] ] ] ] ] ] Z [ \] ] ] ] ] ] ] ]
A B Efectuamos la expresión A: A = tanx + tany - coty - cotx
Efectuamos la expresión B: B = cotx + coty - tany - tanx Como: E = A + B & E = 0
5. Hallar el valor numérico de la siguiente expre-sión:
sec cottan cot
x xx x
22 2
3 3
+ -
+
sabiendo que: 4tanx = 3
Resolución: Dato: tanx = 3/4
Como: sec2x = 1 + tan2x, entonces:
E = tan 1x cot x
tan x cot x2 2
3 3
+ -
+
E = tan x cot x 1
tanx cotx tan x tanxcotx cot x2 2
2 2
+ -
+ - +
^^ ^
hh h
E = tanx + cotx = 34
43
1225
+ =
6. Simplificar: cscx secxcosxcotx senxtanx
--
Resolución
Sea: F = csc seccos cot tan
x xx x senx x
--
F =
senx1
cosx1
cosx senxcosx senx cosx
senx
-
-a ak k
F =
coscos
coscos
senx xx senx
senxx
xsen x2 2
-
- & F =
coscos
coscos
senx xx senx
senx xx sen x3 3
-
-
F = coscos
x senxx sen x3 3
--
F = coscos cos cos
x senxx senx x xsenx sen x2 2
-
- + +^ ^h h
F = cos2x + senxcosx + sen2x ` F = 1 + senxcosx
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Simplificar: A = 16(sen6x + cos6x) - 24(sen4x + cos4x) +
10(sen2x + cos2x)
a) 0 b) 1 c) -1 d) -2 e) 2
2. Si: tanx + tan2x = 1, calcular: S = cotx - tanx
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
3. Reducir: U = (1 + sen2x)2 + 2(1 + sen2x)(1 + cos2x) +
(1 + cos2x)2
a) 0 b) 4 c) 3 d) 9 e) 27
4. Simplificar: R = 2csc cos cot
sec tansen11 2
4 4 2
4 4 2
a a a
a a a
- -
- -
^^
hh
a) 1 b) 2 c) 4 d) 9/2 e) 5
5. Reducir: Y = cos cos secsenx
xsenx
x x1 1+
+-
-
a) senx b) cosx c) secx d) cscx e) tanx
6. Simplificar:
J = tanx cotx 2
tan x cot x 2tanx cotx 1
tan x cot x 12 2 2 2
+ -
+ --
+ +
+ +
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7. Si: senx - cosx = 55
calcular: A = 5senxcosx - 1
a) 0 b) 1 c) 3 d) 5 e) 1/5
8. Calcular a + b, de:
csc
tansen
a b1
11
1 bq q
q+
+-
= +
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
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41TRIGONOMETRÍA
9. Calcular el valor de:
M = coscos
sen x xsen x x
11
4 4
4 4
- +
- -> Htan2x
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
10. Si: sec csc
cosx x
sen x x 1163
2 2
6 6
+
+ -=-
calcular: senxcosx
a) !2 b) !1/2 c) !1/4 d) !4 e) !1/8
11. Eliminar x, si: senx - sen3x = m cosx - cos3x = n
a) m2 + n2 = mn3 b) m2 - n2 = mn3
c) m2 + n2 = mn3 2 d) m2 + n2 = m2n2
e) m2 - n2 = m2n2
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda:
I. sen70° 2 sen170°II. cos100° 2 cos200°III. sen60° = cos300°IV. sen250° 2 cos250°
a) VVVF b) VFVF c) VVFF d) FVVF e) FVFV
13. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda:
I. sen1 2 cos1II. cos6 2 cos5III. sen3 2 sen2
a) VVV b) VFV c) VVF d) FVF e) FFV
14. Si: senx = 3m - 1, determine el intervalo de m.
a) [-1; 1] b) [-2/3; 2/3] c) [0; 2/3] d) [-1; 2/3] e) [-1; 0]
15. Determine el intervalo de k, si: 2cosx = 5k + 1
a) ;51
51
-; E b) ;52
51
-; E c) ;31
53
-; E
d) ;53
51
-; E e) ;053; E
16. Del gráfico mostrado, calcular el área de la re-gión sombreada:
A xA'
B'CT
θ
yB
a) (1/2)senq b) (1/4)senq c) (3/2)senq d) (3/4)senq e) (5/4)senq
17. Reducir: J = (1 - cos2x)(1 + cot2x) + (1 - sen2x)(1 + tan2x)
a) 0 b) -2 c) 2 d) 1 e) -1
18. Hallar n, en: tan2q - sen2q = ntan2q
a) 1 b) sen2q c) cos2q d) senq e) cosq
19. Del gráfico mostrado, calcular el mínimo valor de AC.
a) a
A C
B
a
α
b) 2a c) 3a d) 4a e) 5a
20. Eliminar q, si: senq + cosq = n sen3q + cos3q = m
a) 3n = 2m + n3 b) 3m = 2n + m3 c) m + n = mn d) n3 - 2m = 3mn e) 3mn = n2 + m2
1. e 5. c 9. b 13. c 17. c2. b 6. c 10. b 14. b 18. b3. d 7. b 11. c 15. d 19. c4. a 8. c 12. c 16. d 20. aC
laves
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PARA LA SUMA DE DOS ARCOS
• sen(a + b) = senacosb + cosasenb• cos(a + b) = cosacosb - senasenb
• tan(a+ b) = 1 tan tantan tan
α βα β
-
+
• cot(a+ b) = cot cot 1cot cotβ
α β+a
-
Ejemplos:1. Calcular: sen67° sen67° = sen(30° + 37°) = sen30°cos37° + cos30°sen 37°
= 21
54
23
53
# #+
sen67° = 10
4 3 3+
2. Calcular: cos75° cos75° = cos(30° + 45°) = cos30°cos45° - sen30°sen45°
= 23
22
21
22
# #-
cos75° = 4
6 2-
Nota:
15°
75°46 2-
6 2+
PARA LA DIFERENCIA DE ARCOS
• sen(a - b) = senacosb - cosasenb• cos(a - b) = cosacosb + senasenb
• tan(a − b) = 1 tan tantan tan
α βα β
+
-
• cot(a − b) = cot cot 1cot tanα β
α β-
+
Ejemplos:1. Calcule: cos7° cos7° = cos(60° - 53°) = cos60°cos53° + sen60°sen53°
cos7° = 21
53
23
54
# #+ = 10
3 4 3+
2. Calcular: tan16°
tan16° = tan(53° - 37°)
tan16° = 1 tan53 tan37tan53 tan37+
-
tan16° = 241
34
43
34
43
12
127
#+
-
= & tan16° = 247
16°
74°25
7
24
Nota:
IDENTIDADES ADICIONALES
• sen(a + b)sen(a - b) = sen2a -sen2b• cos(a + b)cos(a - b) = cos2a - sen2b
• tana ! tanb = cos cossen !
α βα β^ h
• tana + tanb + tan(a+ b)tanatanb = tan(a+b)
Nota:Siendo a y b números reales, x variable real, se cumple:
asenx + bcosx = a b2 2+ sen(x + q)
Donde: senq = a b
b2 2+
cosq = a b
a2 2+
ARCOS COMPUESTOS
BANCO DE EJERCICIOS40
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Librería: Av. Garcilaso de la Vega 978, Lima Telf.: 424-6563 www.editorialsanmarcos.com
43TRIGONOMETRÍA
Ejemplos:* senx + 3 cosx = 2sen(x + 60°)* senx - cosx = 2 sen(x - 45°)
Siendo f(x) = asenx + bcosx; x ! R se cumple:
a b f x a b2 2 2 2# #- + +^ h
Ejemplos:• -2 # 3 senx + cosx # 2• - 5 # 2senx - cosx # 5 • - 13 # 3senx + 2cosx # 13
• Si A + B + C = p, se cumple:tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanCcotAcotB + cotAcotC + cotBcotC = 1
• Si A + B + C = p/2, se cumple:cotA + cotB + cotC = cotAcotBcotCtanAtanB + tanBtanC + tanAtanC = 1
En forma general, si A + B + C = kp (k ! Z) o
A + B + C = (2k + 1)2p (k ! Z) las relaciones del
teorema anterior siguen siendo válidas.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Si: a - b = p/3; calcular:
P = (cosa + cosb)2 + (sena + senb)2
Resolución:P = (cosa + cosb)2 + (sena + senb)2
P = cos2a + 2cosacosb + cos2b + sen2a +2senasenb + sen2b
P = 2 + 2(cosacosb + senasenb)P = 2 + 2cos(a - b)Dato: a - b = p/3
P = 2 + 2cos3pa k = 2 + 2
21c m = 3
2. si: a + b + c = p/2, hallar el valor de:tanatanb + tanatanc + tanbtanc
Resolución:Si: a + b + c = p/2a + b =
2p - c & tan(a + b) = tan(
2p - c)
1 tanatanbtana tanb-
+ = cotc = tanc
1
(tana + tanb)tanc = 1 - tanatanbtanatanc + tanbtanc + tanatanb = 1
3. Simplificar:E = cos(180° - x) sen(90° + y) +
sen(180°- x) cos(90° + y)
Resolución: cos(180° - x) = -cosx; sen(180° - x) = senx sen(90° + y) = cosy; cos(90° + y) = -seny
Reemplazando: E = -cosxcosy + senx(-seny) E = -(cosxcoy + senxseny)
E = -cos(x - y)
4. Si a + b = 45° y a - b = 60°, hallar el valornumérico de: sen2a - sen2b
Resolución:Dato: a + b = 45° y a - b = 60°sen2a - sen2b = sen(a + b)sen(a - b)
= sen45°sen60° = 22
23
46
# =
5. Calcular el valor natural muy aproximado delsen23°.
Resolución:sen23° = sen(60° - 37°)sen23° = sen60°cos37° - cos60°sen37°
sen23° = 23
54
21
53
-c c c cm m m m
sen23° = 10
4 3 3-
6. Si: tan(x + y) = 33 / tany = 3encontrar el valor de tanx.
Resolución:tan(x + y) = 33
1 tanxtanytanx tany-
+ = 33, dato: tany = 3
&1 3tanxtanx 3-
+ = 33
& tanx + 3 = 33 - 99tanx& tanx + 99 tanx = 33 - 3& 100tanx = 30 & tanx = 0,3
7. Si: a + b = 225°, calcular el valor de:
R = cot cotcot cot
a ba b
1 1+ +^ ^h hjhsf
41TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE44
Resolución:
cot(a + b) = cot225° & cota cotbcotacotb 1
+
- = 1
cotacotb-1 = cota + cotb ...(1)
R = 1 cota cotb cotacotb
cotacotb+ + +
De (1): R = 1 cotacotb 1 cotacotb
cotacotb+ - +
R = 21
2cotacotbcotacotb
=
8. Simplificar: P =
1
cottan
tancot
1φ θ
θ
θφ θ
--
+-
^
^
h
h
Resolución: La expresión P es equivalente a la siguiente:
P = 1 tan tantan tan
θ φ θ
θ φ θ
- -
+ -
^^
hh
Esta expresión es el desarrollo de la tangente de una suma de dos ángulos, es decir:
P = tan[q + (φ − q)] = tanφ
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Del gráfico, calcule tanq.
θ
23
3
a) 9/19 b) 1/10 c) 21 d) 1/21 e) 9/10
2. Si: ABDE es un cuadrado, además: BC = 3; CD = 2; AF = 1, calcule: tanq
a) -3/7
A EF
B C D
θ
A
b) -7/3 c) 3/7 d) 7/3 e) -1/10
3. Calcular el valor de: N = sen10° + tan40°cos10°
a) sen20° b) 2sen20° c) 1 d) tan10° e) 2
4. Calcular: tanx, si: sen4xcos5x + cosx = sen5xcos4x
a) -1 b) 1 c) -2 d) 2 e) 3
5. Si se cumple: 2sen(x + y) = 3sen(x - y) calcular: tanxcoty
a) 1/5 b) 5 c) -5 d) -1/5 e) 1
6. Si: tan(2a - b) = 3 / tan(2b - a) = -2 calcular: tan(a + b)
a) 1 b) -1 c) 1/7 d) -1/7 e) -7
7. Calcule: R = tan36° + tan24° + 3 tan36°tan24°
a) 1 b) 3 c) 3 /2 d) tan12° e) 2 3
8. Calcular: S = (1 + tan35°)(1 + tan10°)
a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 3
9. Calcule el máximo valor de:E = 3 + 2senx + 5 cosx
a) 0 b) 3 c) 5 d) 6 e) 12
10. Reducir: A = cos cosx y x ysen x y sen x y
- - +
+ + -
^ ^^ ^
h hh h
a) tanx b) coty c) tany d) cotx e) 1
11. Simplificar: A = 60cos
cos
senx x
sen x x
3 2
2 45
+ +
+ -
^^
hh
a) senx b) cosx c) tanx d) 6 senx e) 6 cosx
12. Reducir: E = ° ° ° °
° ° ° °cos cos
cos cossen sen
sen sen33 3 3 33
48 12 12 48-
+
a) 1/2 b) 1 c) 3 /2 d) 2 e) 3
13. Calcular el valor de: S1 tan32 tan13tan32 tan13
=-
+
a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5
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45TRIGONOMETRÍA
14. Reducir: R = cos(21° + x)cos(16° - x) - sen(21° + x)sen(16° - x)
a) 0 b) 4/5 c) 3/5 d) senx e) sen(37° + x)
15. Reducir: P = tana - cos cossen
α βα β-^ h
a) tana b) tanb c) sena d) senb e) senasenb
16. Si cotq = 1/4, calcule: tan(45° + q)
a) −1 b) -3 c) −5/3 d) 3 e) −4/3
17. Del gráfico, calcule: tanq
a) 1 1
1
32
θθ b) 13/15 c) 7/17 d) 17/7 e) -1
18. Reducir: M = 3 cos20° + sen20°
a) sen80° b) cos80° c) 2sen80° d) 2cos80° e) 2sen40°
19. Calcule el menor valor de x (agudo) en:
25
23
23
25cos cossen x x sen x x
- =c c c cm m m m
cos35 cos15 sen35 sen15-
a) 20° b) 30° c) 40° d) 25° e) 70°
20. Calcular el valor de m, si:
mtan50° = tan70° - tan20°
a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) -1
1. a 5. b 9. d 13. b 17. c2. b 6. c 10. b 14. b 18. c3. e 7. b 11. c 15. b 19. c4. b 8. b 12. e 16. c 20. dC
laves
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Una función trigonométrica de un número real cual-quiera puede expresarse como función de un nú-mero real del primer cuadrante. Esto puede mos-trarse a partir de ciertas fórmulas de reducción que se deducen a partir de las identidades de arcos compuestos dando valores particulares.Recordemos que: cos(a + b) = cosacosb - senasenb
Si sustituimos a por p/2 obtenemos: cos
2π β+a k = cos
2pa kcosb - sen
2pa ksenb
y como: cos2pa k = 0 y sen
2pa k = 1
cos2π β+a k = -senb
Ahora si en dicha relación reemplazamos b por
2p - q, tenemos:
cos sen2 2 2π π θ π θ+ - =- -a ak k
cos(p − q) = -cosq
REGLAS PRÁCTICAS DE REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTEPara razones trigonométricas cuyos ángulos sean de la forma: 90° ! a, 270° ! a, 180° ! a, 360° ! a
RT 90270
!
!
aa
c m = !CORT(a)
RT °°
180360
!
!
aa
c m = !RT(a)
Para determinar el signo (+) o (-) del segundo miembro se asume que a sea agudo (así el va-lor que tenga no lo sea), con el fin de determinar el cuadrante del ángulo del primer miembro y así establecer el signo que le corresponde a la razón trigonométrica de dicho ángulo.
y 90°
270°
0° x360°
180°
180° + α270° - α
270° + α360° - α
90° + α180° - α
90° - α360° + α
Nota:Signos de las razones trigonométricas
90°
0°360°
270°
180°
Todas (+)
cos (+)sectan (+)cot
sen (+)csc
Ejemplos:• sen(270° - a) = -cosa ! IIIC
• sec(180° + a) = -seca ! IIIC
• cot(270° + a) = -tana ! IVC
Z
[
\
]]]
]]
tan(180° + 60°) = +tan60° ! IIIC• tan240° =
tan(270° - 30°) = +cot30° ! IIIC
Z
[
\
]]]
]]
cos(270° + 40°) = +sen40°
• cos310° = ! IVC cos(360° - 50°) = +cos50° ! IVC
Para razones trigonométricas cuyo ángulo es de la forma: 360°n + a; n ! Z
Se tiene: RT(360°n + a) = RT(a); n ! Z
Ejemplos:• cos1172° = cos(360° # 3 + 92°) = cos92° = cos(90° + 2°) = -sen2°
• tan755° = tan(360° # 2 + 35°) = tan35°
• csc(-1390°) = csc(-1440° + 50°) = csc[360 # (-4) + 50°] = csc50°
• sec39 605° = sec(360° # 110 + 5°) = sec5°
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
45TRIGONOMETRÍA
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47TRIGONOMETRÍA
Para razones trigonométricas de ángulos negativosRecordemos que: cos(b − a) = cosbcosa + senbsenaSi b = 0, tenemos: cos(-a) = cos0cosa + sen0senaComo cos0 = 1 y sen0 = 0
Entonces: cos(-a) = cosa
Asimismo: sen(-a) = -sena
Por identidades fundamentales tenemos:
tan(-a) = cos cossen sen
a
aaa
-
-=-
^^
hh
Se concluye: tan(-a) = -tana
Análogamente se obtienen:
cot(-a) = -cotasec(-a) = secacsc(-a) = -csca
Ejemplos:• sen(-130°) = -sen130° = -sen(180° - 50°) ! IIC = -(+sen50°) = -sen50°
• tan(-762°) = -tan762° = -tan(360° # 2 + 42°) = -tan42°
• sec(q - 270°) = sec[-(270° - q)] = sec(270° - q] = -cscq
• cos53p-c m = cos
53pc m
= cos2 10p p
+a k = -sen10pa k
Propiedades:1. Si: a + b = 180° Se cumple:
sena = senbcosa = -cosbtana = -tanb
Demostración: De la condición tenemos: a = 180° - b & cosa = cos(180° - b) = -cosb
! IIC cosa = -cosb Análogo para las restantes.
Ejemplos:• sen140° = sen40°• cos170° = -cos10°• tan135° = -tan45°
• cos32
3cosp p
=-c am k
• sec54
5secp p
=-c am k
2. Si: a + b = 360° Se cumple:
sena = -senbcosa = cosbtana = -tanb
Ejemplos:• sen320° = -sen40°• cos345° = cos15°
• cos4
74
cosp p=c am k
• tan6
116
tanp p=-c am k
• cot35
3cotp p
=-c am k
• csc(x + 290°) = -csc(70° -x)
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar la expresión: F = 2x
1 cos3x
sen tan2x 2
+
+ -a k
cuando x = 210°
Resolución: Para: x = 210°
F = 1 630
105costansen 420 2
+
+ -
• sen105° = sen75° = 4
6 2+
• tan420° = tan(360° + 60°) = tan60° = 3• cos630° = cos(7 # 90°) = 0
& F = 4
6 2 3 2++ - =
46 4 3 3 2+ -
2. Encontrar el valor de la siguiente expresión:
F = ° ° °
° ° °cos tan
tan cossen
sen120 315 300
150 225 210- -
-
^ ^^
h hh
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COLECCIÓN EL POSTULANTE48
Resolución:• sen150° = sen30° = 1/2• tan225° = tan(180° + 45°) = tan45° = 1• cos(-210°) = cos210° = cos(180° + 30°) = -cos30° = - 3 /2
• sen(-120°) = -sen120° = -sen60° = 3- /2
• cos(-315°) = cos315° = cos(360° - 45°) = cos45° = 2 /2
• tan300° = tan(360° - 60°) = -tan60° = - 3
Reemplazamos:
F =
23
22 3
21 1
23
61
- -
-
=-
c c ^
c ^ c
m m h
m h m F = -
66
3. Calcular el valor de la siguiente expresión:
F = sen130 cos50 cos180
sen670 cos310 sec250 sen200# #
# # #
Resolución: sen670° = sen(720° - 50°) = -sen50° cos310° = cos(360° -50°) = cos50° sec250° = sec(270° - 20°) = -csc20° sen200° = sen(180° + 20°) = -sen20° sen130° = sen50° cos180° = -1 Reemplazando:
F = 50 50
50 50 20 20cos
cos cscsen
sen sen1-
- - -
^ ^ ^^ ^ ^ ^
h h hh h h h
Simplificando: F = 1
4. Si sen16° = 7/25, calcular: tan2954°
Resolución: tan2954° = tan(360° # 8 + 74°) = tan74° = cot16° & tan2954° = cot16° = 24/7
5. Si: tanx + coty = 2; x + y = p, hallar: cotx
Resolución: Como: x + y = p & y = p - x & coty = -cotx
Reemplazando: tanx - cotx = 2 &
cot x1 - cotx = 2
1 - cot2x = 2cotx & cot2x + 2cotx - 1 = 0
cotx 2
2 2 2!=
- & cotx = -1 ! 2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Reducir: A = 360cot
tan cos
x sen x
x x
23
23
p
p p
- -
+ -
c ^
^ c
m h
h m
a) 1 b) 0 c) -1 d) 1/2 e) -1/2
2. Calcular: E = 3csc150° + tan225° - sec300°
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Simplificar: A = sen170°csc190° + 6sen150° - 2cos180°
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. Si: x + y = 180°, calcular:
A = cot
tan
senysenx
y
x2
2
2+
c
a
m
k
a) 2 b) 3 c) -1 d) -2 e) 0
5. Calcular: A = cos120
5tan1485 4cos2100+
a) -14 b) 14 c) -12 d) 12 e) -10
6. Reducir la expresión:
E = cos
sen x
sen x x
4
2 6 32
3
p
p p
-
+ + -
^
^ c
h
h m
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
7. Simplificar: A = cos
tantan
sen x
x
xx2
32
pp
-
+
--
+
^
c
^^
h
m
hh
a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 0
8. Reducir: A = cos
cos
cot
tanx
x
x
x20
2341ppp
-
++
-
-
^^
c
^h
h
m
h
47TRIGONOMETRÍA
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49TRIGONOMETRÍA
a) -1 b) -2 c) 0 d) 1 e) 2
9. Calcular: A = 4cos(-120°) - 3cot(-315°) + 4sec(-300°)
a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -2
10. Dado un triángulo ABC, calcular:
A = tan
tansenC
sen A BA
B C2+-
+^ ^h h
a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) -2
11. Si: x + y = 2p, calcular:
A = senx + tan x2a k + seny + tan
y2
c m
a) senx b) 2senx c) -tan x2a k
d) -2tan x2a k e) 0
12. Calcular:
A = 2tan4
41pc m+ sen x2p
+a ksec(p - x) + 3sen2pa k
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13. Simplificar:
A = sen 80 x
2sen 100 xtan 120 x
3tan 240 x-
+-
+
-
^^
^^
hh
hh
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14. Calcular: A = 2tan43 43
461
62cos147 6senp p p
- +a ak k
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15. Si a + b son suplementarios, reducir:
A = cot
tan
sen
sen
22
22
α β β α
α β αβ
+ +
+ +
^ a
^ c
h k
h m
a) 1 b) -1 c) -tana d) -tanb e) -cosa
16. Indicar si es verdadero (V) o falso (F)
I. sec(90° + x) = cscxII. cot(270° - x) = tanxIII. csc (270° + x) = secx
a) FFF b) FFV c) VVF d) FVF e) FVV
17. Indicar si es verdadero (V) o falso (F):I. tan(180° + x) = -tanxII. cos(360° - x) = -cosxIII. sen(360° -x) = -senx
a) FFF b) VFV c) FFV d) FVV e) VVF
18. Simplificar:
A = °°
°°
cos cottan
xsen x
xx
270180
18090
-
++
-
+
^^
^^
hh
hh
a) 1 b) -1 c) 1/2 d) -1/2 e) 0
19. Simplificar: A = °
° °cot
secx
sen x x270
180 90+
- -
^^ ^
hh h
a) tanx b) -cotx c) cotx d) -tanx e) -cot2x
20. Calcular: A = 2sen330° - 4sec240° - 2tan135°
a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9
21. Dado un triángulo ABC, simplificar:
E = cosC
2cos A B+^ h - 3sec(A + B + C)
a) -1 b) 1 c) 2 d) -2 e) 5
22. Reducir:
A = cos cos cos cos11 11
3118
1110p p p p
+ + +a c c ck m m m
a) 1 b) -1 c) 1/2 d) -1/2 e) 0
23. Reducir: A = cos1° + cos2° + cos3° + ... + cos178° + cos179° + cos180°
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) -1/2 e) -1
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24. Reducir:
H = 450630
b b sena a sen
1 11 1
cos1260cos540
- + +
+ - -
^ ^^ ^
h hh h
a) 1 b) -1 c) a d) b e) a/b
1. a 6. b 11. e 16. d 21. b2. e 7. e 12. d 17. c 22. e3. d 8. c 13. e 18. e 23. e4. b 9. c 14. c 19. b 24. b5. a 10. c 15. a 20. eC
laves
49TRIGONOMETRÍA
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Librería: Av. Garcilaso de la Vega 978, Lima Telf.: 424-6563 www.editorialsanmarcos.com
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Las identidades de arcos compuestos han sido de-mostradas para todo número real. A partir de estas identidades podemos deducir otras, en especial, podemos obtener las identidades que expresan sen, cos y tan de 2a, a/2 o 3a en términos de sen, cos y tan de a.Puesto que estas son válidas para todo a y b, ha-ciendo a = b obtenemos:
IDENTIDADES DEL ARCO DOBLE
• sen2a = 2senacosa• cos2a = cos2a - sen2a cos2a = 1 - 2sen2a cos2a = 2cos2a - 1
• tan2a = tan
tan1
22aa
-
Identidades auxiliares
• 2sen2a = 1 - cos2a• 2cos2a = 1 + cos2a
• sen2a = tan
tan1
22aa
+
• cos2a = tantan
11
2
2
aa
+
-
• cota + tana = 2csc2a• cota - tana = 2cot2a
• sen4a +cos4a = 43
41
+ cos4a
• sen6 + cos6a = 85
83
+ cos4a
Ejemplos:
• sen42° = 2sen21°cos21°• cos48° = cos224°- sen224°
• tan14° = 1 7
2 7tan
tan2
-
• cos24q - sen24q = cos8q
• 2sen2qc mcos
2qc m = senq
• 2sen2
4xa k = 1 - cos x
2a k
• 1 4
2 4tan
tan2
+ = sen8°
• cos12° = 1 61 6
tantan
2
2
+
-
• cot20° + tan20° = 2csc40°
• sen4
8pa k + cos4 cos
8 43
41
2 43p p
= + =a ak k
Nota:
2θ
1 + tan2θ2tanθ
1 - tan2θ
También podemos establecer lo siguiente:Como: cos2q = 1-2sen2q
Hacemos: 2q = a, tenemos:
& cosa = 1 - 2sen2
2aa k
& 2sen22aa k = 1 - cosa
& sen2
cos2
1!
a a=
-a k
IDENTIDADES DEL ARCO MITAD
• sen2aa k = cos
21
!a-
• cos2aa k = cos
21
!a+
• tan2aa k =
coscos
11
!aa
+
-
El signo del segundo miembro se elige según el cuadrante del arco a/2 y de la razón trigonométrica que lo afecta.
Ejemplos:
• sen2
3152
1 315cos=
-c m = 2
122
-
IDENTIDADES DE ARCOS MÚLTIPLES
BANCO DE EJERCICIOS50
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COLECCIÓN EL POSTULANTE52
sen2
3152
2 2=
-c m
• tan4° = tan 82c m
tan4° 1 81 8
coscos
15 2
7
15 2
7
=+
-=
+
-
tan4° = 5 2 - 7
Identidades auxiliares
• sen2aa k + cos
2aa k = sen1! a+
• sen2aa k - cos
2aa k = sen1! a-
• tan2aa k = csca - cota
• cot2aa k = csca + cota
Ejemplos:• tan4° = csc8° - cot8° = 5 2 -7• cot15° = csc30° + cot30° = 2 + 3• tan(3p/8) = csc(3p/4) - cot(3p/4) = 2 + 1
IDENTIDADES DEL ARCO TRIPLE
• sen3a = 3sena - 4sen3a
• cos3a = 4cos3a - 3cosa
• tan3a = tan
tan tan1 3
32
3
aa a
-
-
Ejemplos:• sen48° = 3sen16° - 4sen316°
• cos24° = 4cos38° - 3cos8°
tan111° = 1 3 37
3 37 37tan
tan tan2
3
-
-
• sena = 3sen3aa k - 4sen3
3aa k
• cos2a = 4cos3
32ac m - 3cos
32ac m
• tan12x = 3tan
tan tanx
x x1 3 4
4 42
3
-
-
Triángulos rectángulos de 18° y 36°
36°
54°410 2 5-
15 +
18°
72°4
10 2 5+
15 -
Identidades auxiliares
• 4sen3a = 3sena - sen3a• 4cos3a = 3cosa + cos3a• sen3a = sena(2cos2a + 1)• cos3a = cosa(2cos2a - 1)
• tantan3
2cos2 12cos2 1
aa
aa
=-
+
• sen3a = 4senasen(60° - a)sen(60° + a)• cos3a = 4cosacos(60° - a)cos(60° + a)• tan3a = tanatan(60° - a)tan(60° + a)
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Determine el valor de:A = sen10°sen50°sen70°
Resolución: Aplicando las identidades auxiliares:
A = 4 10 60 10 60 10sen sen sen
4- +^ ^h h
30 /A sen4 4
1 281
= = =
2. Determinar el valor de: M = 16cos5°cos55°cos65°
Resolución: M = 4 # 4cos5°cos(60° - 5°) cos(60° + 5°)
M = 4cos15° = 44
6 2 6 2+= +c m
3. Si: tan25° = a, hallar el valor de la expresión:
T = 1 tan155 tan115tan155 tan115
tan245 tan335tan205 tan115
#+
-
+
-
51TRIGONOMETRÍA
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53TRIGONOMETRÍA
Resolución:
• 1 tan155 tan115tan155 tan115+
- = tan(155° - 115°) = tan40°• tan205° = tan(180° + 25°) =tan25°• tan115° = -tan65°• tan245° = tan(180° + 65°) = tan65°• tan335° = tan(360° - 25°) = -tan25°
• tan245 tan335tan205 tan115
tan65 tan25tan25 tan65 K
+
-=
-
+=
Propiedad:
tana tanbtana tanb
sen a bsen a b
-
+=
-
+
^^
hh
& K = 65 2565 25
4090
sensen
sensen
-
+=
^^
hh
= 40sen
1
Reemplazando en T:
T = tan40°° °
°°cossen
sensen40
14040
401
#=c m
T = ° °cos sen40
150
1 csc50= =
T = csc50° = aa
21
2tan251 tan 25 22
+=
+
4. Si: csc x = 3 y x ! IC; cuánto vale 8csc2x.
Resolución: Dato: cscx = 3, x ! IC
x
3 1
2 2
8csc2x = cossen x senx x2
82
8=
8csc2x = 2
31
32 2
8
94 2
8=
c cm m
8csc2x = 2
18 = 2
1822 9 2# =
5. Si: cotx = -0,5; hallar el valor de 20cot2x
Resolución: Como: 2cot2x = cotx - tanx Entonces: 20cot2x = 10(cotx - tanx)
20cot2x = 10 1521 2- - - =^ h; E
6. Hallar el valor de la expresión
S = sen10
1cos10
3-
Resolución:
S = 10 10
10 10cos
cossen
sen3-
S = °
° °cos
sen
sen
220
221 10
23 10-c m
S = 20
60 10 60 10cos cossen
sen sen4 -^ h
S = °
° °°
4 70°°°cos cos
sen sen sensen
204 60 10
20 204 20+
= =^ h
S = 4
7. Dada la expresión: tanφ = (2 + 3 )tan3φ
c m calcular: tanφ
Resolución:
Dato: tanφ = (2 + 3 )tan3φ
c m ...(1)
Por propiedad: tantan
coscos
xx
xx3
2 12 2 1
=-
+
Sea: φ = 3x, entonces en (1):
tantan
xx3 2 3= + & 2
coscos
xx
2 2 12 2 1 3
-
+= +
Aplicando propiedades de proporciones:
cos
cos cosx osx
x x2 2 1 2 1
2 2 1 2 2 12 3 12 3 1
+ - +
+ + -=
+ -
+ +
1 33 3
24cos2x
=+
+ & 2cos2x = 1 3
3 1 3
+
+^ h
cos2x = 23 & 2x = 30° & x = 15°
Volviendo a la variable original:
3φ
= 15° & φ = 45° tanφ = tan45° = 1
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COLECCIÓN EL POSTULANTE54
8. Si: x = 3p ; hallar el valor de tan x
4a k
Resolución: Como: tan
2aa k = csca - cota
& tan4xa k = csc
2xa k - cot
2xa k
Para x = 3p , nos queda:
tan12pa k = csc
6pa k - cot
6pa k = 2 - 3
9. La base de un rectángulo mide el doble de su altura, hallar la tangente del ángulo agudo que forman sus diagonales
Resolución: De la figura: tan
2 21a
=a k
α α/2x x
x2
2x
& tana =
2
2tan
tan
1
2
2 a
a
- a
a
k
k
tana = 1
21
221
2- c
c
m
m & tana =
141
1
431
-
=
tana = 4/3
10. Los radios de dos circunferencias son 1 y 2, la distancia de sus centros es 7. Calcular el coseno del ángulo formado por las tangentes exteriores a estas circunferencias.
Resolución: Sea a el ángulo formado por las tangentes,
PO es bisectriz de dicho ángulo. De la figura:
α/2α/2
α
1 O7
2
P
cosa = 1 - 2sen2
2aa k & cosa = 1 - 2
71 2
c m
cosa = 1 - 492
4947
=
11. Determinar el valor de la expresión:A = sen3acsca - cos3aseca
Resolución:
A = coscos
sensen3 3
aa
aa
-
A = sen cossen3 cos cos3 sen
a aa a a a-
A = sen cossen 3
sen cossen2
a aa a
a aa-
=^ h
A = sen cos2sen cos 2
a aa a
=
12. Hallar el valor de: Q = 4cos10°cos50°cos70°
Resolución: Q = 4cos10°cos50°cos70° Q = 4cos10°cos(60° - 10°)cos(60° + 10°)
Q = cos(3 # 10°) = cos30° = 23
13. Reducir: N = cos cos
cosx
sen xx
x1 2
21+ +
c cm m
Resolución: Como: 1 + cos2a = 2cos2a
N =
2cos
coscoscos
xsenx x
xx
22
22 2ca
mk> H
N =
2 2
2 2cos cos
cos
xsenx
x
sen x x
2 2
2
2 2=
a a
a a
k k
k k
N = tan x2a k
14. Reducir: S = tana + 2tan2a + 4tan4a + 8cot8a
Resolución: Como: cotx - tanx = 2cot2x & cotx = tanx + 2cot2x S = tana + 2tan2a + 4(tan4a + 2cot8a) cot4a S = tana + 2tan2a + 4cot4a S = tana + 2(tan2a + 2cot4a) cot2a S = tana + 2cot2a S = cota
53TRIGONOMETRÍA
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55TRIGONOMETRÍA
15. Hallar el valor de: M = coscos
sensen3 3
aa
aa
-
Resolución:
M = coscos cos
sensen sen3 4 4 33 3
aa a
aa a-
--
M = 3 - 4sen2a - 4cos2a + 3 M = 6 - 4(sen2a + cos2a) = 6 - 4 = 2
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
1. Calcular tan2a, si: tana = 2 1-
a) 2 1+ b) 2 2 c) 2 2-
d) 1 e) 2
2. Si cosa = 419 , 360° 1 a 1 450°; calcular: cos
2aa k
a) 414
- b) 415
- c) 411
-
d) 415 e)
414
3. Simplificar: 1 42cos2
-
a) sen21° b) cos21° c) sen89° d) cos84° e) sen16°
4. Calcular: csc74° - cot74°
a) 1/2 b) 3/4 c) 4/3 d) 1/3 e) 24/25
5. Calcular: (2sen15°cos15°)2 + (2sen22°30'cos22°30')2
a) 1/4 b) 3/4 c) 5/4 d) 7/4 e) 9/4
6. Simplificar: coscos
1 41 4
-
+
a) tan22q b cot22q c) sec22q d) sec22q e) csc22q
7. Si sena = 31
- , a ! IIIC; calcular: sen2a
a) 9
4 2 b) 9
4 2- c) -
32
d) 32 e)
91
8. Si cosa = 51 , 270° 1 a 1 360°; calcular: cos
2aa k
a) 515 b)
515
- c) 315
d) 615 e)
315
-
9. Si sena = 1312 , 90° 1 a 1 180°; calcular: sen
2aa k
a) 13
3 13- b)
134 13
- c) 13
3 13
d) 13
4 13 e) 13
2 13-
10. Simplificar: tan200
csc40 cot40-
a) 0,1 b) 1 c) -1 d) 2 e) -0,1
11. Calcular: sen22°30’
a) 2
2 2- b) 2
2 2+ c) 2
2 2-
d) 2
2 2+ e) 42
12. Simplificar: 3 2 3
6 6
sec tan
csc cot22 2
-
-^ h
a) tan3° b) tan6° c) cot3° d) cot6° e) tan12°
13. Simplificar: °
160° 200°cossen
sen400
a) -2 b) 2 c) 1/2 d) -1/2 e) 3 /2
14. Simplificar: (1 - 2sen2a)2 - 4sen2acos2a
a) cos4a b) -cos4a c) cos2a d) -cos2a e) 0
15. Simplificar: 1 cos101 cos10
+
-
a) tan25q b) cot25q c) tan5q d) cot5q e) sec5q
16. Si sena = 33 , a ! IIC; calcular: 2 sen2a
a) -4/3 b) −1/3 c) 1/3 d) 4/3 e) 2 /3
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COLECCIÓN EL POSTULANTE56
17. Simplificar: cot
cot1
22a
a-
a) cot2a b) -cot2a c) tan2a d) -tan2a e) 1
18. Hallar la expresión equivalente de: 2sen3qcos3q
a) sen12q b) sen6q c) sen9q d) sen18q e) sen3q
19. Calcular: cos215° - sen215°
a) 3 /2 b) 1/2 c) 2 /2 d) 3 /4 e) 1/4
20. Hallar tan40°
a) 1 10
2 10tan
tan2
- b)
1 202 20
tantan
2-
c) 1 40
2 40tan
tan2
- d)
1 802 80
tantan
2-
e) 1 20
2 20tan
tan2
+
21. Sabiendo que: p = 2cos2a - cos2a / q = 2sen2a + cos2a
calcular: p2 + q2
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
22. Simplificar: ( 2 cosa + 1)( 2 cosa - 1)
a) cos2a b) -cos2a c) -sen2a d) sen2a e) 0
23. Simplificar: cot
cot tan2a
a a-
a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) -2
24. Simplificar: cos4q - sen4q
a) cos4q b) -1 c) 1 d) cos2q e) cos6q
25. Simplificar: tantan
11
2
2
+
-
a) cos2q b) sen2q c) sec2q d) csc2q e) cot2q
26. Calcular: M, si: cota + tana = Mcsc2a
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
27. Si: senq + cosq = m, calcular: sen2q
a) 2m + 1 b) 2m − 1 c) 2m2 − 1 d) m2 − 1 e) m2 + 1
28. Simplificar: (csc36° - cot36°)(1 - tan9°cot81°)
a) tan9° b) 2tan9° c) tan18° d) 2tan18° e) tan36°
29. Simplificar: (csc2x + cot2x)tanx
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
30. Calcular: tan7°30’
a) 6 4 3 2- - +
b) 6 4 3 2- + -
c) 6 4 3 2+ - +
d) 6 4 3 2+ + -
e) 6 4 3 2- - -
1. d 7. a 13. d 19. a 25. a2. b 8. b 14. a 20. b 26. b3. a 9. c 15. a 21. b 27. d4. b 10. b 16. a 22. a 28. b5. b 11. c 17. c 23. d 29. a6. b 12. b 18. b 24. d 30. a
Claves
EJERCICIOS PROPUESTOS 2
1. Si: cosa = 2/3; 0° 1 a 1 90°, hallar: sen2aa k
a) 30 /6 b) 6 /6 c) 6 /12 d) 6 e) 6 /5
2. Si: cosq = ;31
23p 1 q 1 2p, calcular: sen
2qc m
a) 3 /2 b) - 3 /2 c) 3 /3 d) - 3 /3 e) - 3 /6
3. Si: 25cos2x - 4 = 0; 180° 1 x 1 270° calcular: tan
2xa k
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57TRIGONOMETRÍA
a) 1 b) -23/27 c) 23/27 d) 1/9 e) -1/9
13. Si: senx - cosx = 1/3, calcule: sen6x
a) 13/27 b) 23/27 c) 17/27 d) 22/27 e) 19/27
14. Si: 2tan x3p
- =a k , hallar: cot3x
a) 1/2 b) 3/2 c) 7/2 d) 11/2 e) 15/2
15. Si: sec2xa k = 3sen
2xa k , hallar: cos2x
a) 1/27 b) 1/9 c) 2/27 d) 22/27 e) 1/3
16. Si: cosx = -1/5; 180° 1 x 1 270°
hallar: sen2xa k
a) ,0 2 b) ,0 4 c) ,0 6 d) ,0 8 e) 1
17. Dado: 16cos2q = 9; 2
3p 1 q 1 2p
hallar: tan2qc m
a) 1 b) 7 c) - 7 d) - 7 /7 e) - 7 /14
18. Reducir: R = 10 2010 20
cot cottan cot
-
+
a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 1/2
19. Simplificar: E = tan2xa k + (1 - cosx)cotx
a) 1 b) senx c) tanx d) cosx e) -1
20. Reducir: N = 45
1 40sec
cos+c msec20°
a) 1 b) -1 c) sen10° d) cos10° e) -sen10°
21. Si se cumple: 1 501 50
sensen
+
- = cotx; (x: agudo)
halle: sec(x -10°)
a) - 7 b) - 3 c) - 7 /3 d) - 3 /7 e) - 10
4. Calcular: R = 70
40 40cot
csc cot-
a) 3 b) 1 c) -1 d) - 3 e) - 3 /3
5. Reducir: E =
2
2tan cot
cot cot
x x
x x2
+
-
a
a
k
k
a) 2sen2xa k b) 2cos
2xa k c) 2tan
2xa k
d) 2sen22xa k e) 2cos2
2xa k
6. Si la siguiente igualdad es una identidad:
csc cot
csc cotx xx x2 2
+
- + 2cotx = mcot nxa k
hallar: m + n
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7. Si: csc80° + tan10° = a, calcular: cot50°
a) a b) 2a c) a-1 d) 2a-1 e) a
8. Reducir:
M = °tan3
csc6 cot6csc40 cot40
sen40--
+
a) 1 b) sen40° c) sen50° d) cos80° e) sen80°
9. De la siguiente igualdad: cot14°- nsec34° = tan14°- 2tan28° hallar: n
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10. Reducir: M = 4sen350° - 3sen50°
a) 1/2 b) -1/2 c) 1 d) -1 e) 3 /2
11. Reducir: N = coscos cos
xx x3 +
a) cos2x b) 2cos2x c) cosx d) 2cosx e) 1
12. Si: sen3x
31
=c m ; calcular: senx
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COLECCIÓN EL POSTULANTE58
a) 2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5/4
22. Calcular el valor de: E =
8 8
12 12cot tan
cot tan
p p
p p
-
+
a a
a a
k k
k k
a) 1 b) 2 c) 2 d) 3 e) 6
23. Simplificar: R = csc2q + cost4q + csc4q
a) cotq b) cscq c) cot2q d) csc2q e) 1
24. Si: seca = 4; hallar: cos3a
a) 1/11 b) -1/16 c) -11/16 d) -11/32 e) -1/32
1. b 6. c 11. b 16. c 21. a2. c 7. c 12. c 17. d 22. a3. c 8. c 13. d 18. a 23. a4. b 9. d 14. d 19. b 24. c5. d 10. b 15. d 20. aC
laves
FísicaWalter PérezPapel periódico800 pp.17 × 24 cm
AritméticaHéctor GamarraPapel periódico 502 pp.17 × 24 cm
ÁlgebraMikhaild FloresPapel periódico448 pp.17 × 24 cm
QuímicaWalter CartolínPapel periódico464 pp.17 × 24 cm
TrigonometríaRubén AlvaPapel periódico464 pp.17 × 24 cm
GeometríaFernando AlvaPapel periódico 576 pp.17 × 24 cm
Una colección totalmente renovada que te ayudará a comprender, paso a paso, el desarrollo de los problemas planteados y alcanzar tu ingreso a la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI).
Nivel: Intermedio-Avanzado
S/30
S/38
S/35
S/27
S/48
S/35
C LECCIÓNUni iencia
Sapiens
BANCO DE EJERCICIOS58
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• cos2aa k - cos
25ac m = -2sen
22 2
5a a+f psen
22 2
5a a-f p
= -2sen2
3ac msen(-a)
= 2sen2
3ac msena
Propiedades:
Si: A + B + C = 180°, se cumple:• senA + senB + senC = 4cos
2Ac mcos
2Bc mcos
2Cc m
• cosA + cosB + cosC = 4sen2Ac msen
2Bc msen C
2c m + 1
• sen2A + sen2B + sen2C = 4senAsenBsenC• cos2A + cos2B + cos2C = -4cosAcosBcosC -1
DE PRODUCTO DE DOS TÉRMINOS, SENO Y/O CO-SENO A SUMA O DIFERENCIA
• 2senAcosB = sen(A + B) + sen(A - B)• 2cosAsenB = sen(A + B) - sen(A - B)• 2cosAcosB = cos(A + B) + cos(A - B)• 2senAsenB = cos(A - B) - cos(A + B)
Ejemplos:• 2sen4qcosq = sen(4q + q) + sen(4q - q) = sen5q + sen3q
• 2cos cos4 4
α π α π- +a ak k
= cos4 4
α π α π- + +a k + cos
4 4α π α π
- - -a k
= cos2a + cos2p
-a k
= cos2a + cos2pa k = cos2a
• 2sen5pa ksen
3pa k = cos
5 3p p
-a k - cos5 3p p
+a k
= cos 215p-c m - cos
158pc m
= cos152pc m - cos
158pc m
• Exprese cos3qsenq como una suma o una di-ferencia.
PARA LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS SENOS O COSENOS A PRODUCTO
• senA + senB = 2sen A B2+c mcos A B
2-c m
• senA - senB = 2cos A B2+c m sen A B
2-c m
• cosA + cosB = 2cos A B2+c mcos A B
2-c m
cosA - cosB = -2sen A B2+c msen A B
2-c m
Demostración:Para comprobar la primera identidad, recordemos que: sen(a + b) = senacosb + cosasenb sen(a - b) = senacosb - cosasenb
Sumando miembro a miembro tenemos: sen(a + b) + sen(a - b) = 2senacosb ...(1)
Haciendo: a + b = A; a - b = B
Obtenemos: a = A B2+ ; b = A B
2-
Reemplazando en (1):
Se tiene: senA + senB = 2sen A B2+c mcos
2A B-c m
Las demás identidades pueden verificarse en for-ma análoga.
Ejemplos:
• sen40° + sen8° = 2sen 40 82+c mcos ° °
240 8-c m
= 2sen24°cos16°
• sen100°- sen50°
= 2cos 100 502+c msen 100 50
2-c m
= 2cos75°sen25°
• cos5pa k + cos
6pa k = 2cos
25 6p p
+f pcos 5 62
p p-f p
= 2cos60
11pc mcos60pa k
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
59TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE60
Resolución: Utilizando la primera identidad se tiene:
cos3qsen2q = cos sen2
2 3 2q q
= 21 (2sen2qcos3q)
= 21 [(sen(2q + 3q) + sen(2q - 3q)]
= 21 [sen5q + sen(-q)]
cos3qsen2q = 21 (sen5q - senq)
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar el equivalente de: 2cos6xsenx
Resolución: 2cos6xsenx = sen(6x + x) - sen(6x -x) = sen7x - sen5x
2. Si el ángulo A mide p/13 rad, hallar el valor de:
A = cos2A cos4A
cosAcos10A+
Resolución:
A = cos cos
cos cosA A A A
A A
22
4 22
4 210
+ -c cm m
A = 2cos3AcosAcosAcos10A
2cos3Acos10A
=
Dato: A = p/13
A =
133
1310
133133
cos
cos
cos
cos
2 2 21
p
p
p
p
=
-
=-
c
c
c
c
m
m
m
m
3. Hallar la expresión equivalente de:
Q = sen x sen xsenx sen x
2 43
+
+
Resolución:
Q = cos
cos
sen x x x x
sen x x x x
22
4 22
4 2
22
32
3
+ -
+ -
c c
c c
m m
m m
Q = coscos
sen x xsen x x
sen xsen x
2 32 2
32
=
4. Hallar el equivalente de:A = senx + sen3x + sen5x + sen7x
Resolución: A = (sen7x + senx) + (sen5x + sen3x) A = 2sen4xcos3x + 2sen4xcosx A = 2sen4x[cos3x + cosx]
2cos2xcosx A = 4sen4xcos2xcosx
5. Hallar el equivalente de: 2sen x2a kcos2x
Resolución: Como: 2senacosb = sen(a + b) + sen(a - b)
2sen x2a kcos2x = sen x x
22+a k + sen x x
22-a k
= sen x25c m + sen x
23
-c m = sen x25c m - sen x
23c m
6. Hallar la suma de los senos de tres arcos en
progresión aritmética de razón 32p
Resolución:
Sean: a - 32p , a, a +
32p los tres arcos en
progresión aritmética, entonces:
P = sen32α π
-c m + sena + sen32α π
+c m
P = sen32α π
-c m + sen32α π
+c m + sena
2senacos34pc m
P = 2senacos34pc m + sena
P = 2sena21
-c m + sena
P = -sena + sena = 0
7. Hallar el equivalente de: S = cos cosx ysenx seny
+
+
Resolución :
S = cos cos
cos
x y x y
senx y x y
22 2
22 2+ -
+ -
c c
c c
m m
m m
S = tanx y
2+c m
BANCO DE EJERCICIOS60
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61TRIGONOMETRÍA
8. Hallar el equivalente de:
P = sen4x + cosxsenx
cosx tanxsenxsenx
sen 2x2
++
Resolución:
P = sen4x + cosxsenx
cosx cosxsenx senx
senxsen 2x2
++
a k
P = sen4x + cosxsenx
cos x sen xsenxcosx
sen 2x
2 2
2
++
1
P = sen4x + cossenx x
sen x2
22 = sen4x +
sen xsen x
222
P = sen4x + sen2x = 2sen x x2
4 2+c mcos x x2
4 2-c m
P = 2sen3xcosx
9. Transformar en producto la siguiente expresión:cos4x + cos8x + 2 - 4sen2x
Resolución: M = cos8x + cos4x + 2(1 - 2sen2x) cos2x
M = 2cos x x2
8 4+c mcos 8 4x x2-c m + 2cos2x
M = 2cos6xcos2x + 2cos2x M = 2cos2x(cos6x + 1)
2cos23x
M = 4cos2xcos23x
10. Hallar el verdadero valor de la expresión si-guiente, para a = 45°:
A = cosa cos45
cos2a-
Resolución: Observar que al reemplazar a = 45°, la expre-
sión A queda: 0/0 (indeterminado) Levantamos la indeterminación:
A = cosa
21
cos2a2 cosa 12 cos2a
-
=-
Diferencia de cuadrados en el numerador:
A = 2 cosa 1
2 2 cosa 1 2 cosa 1
-
+ -
^^ ^
hh h
A = cosa2 2 1+^ h Reemplazamos a = 45° A = 45 1cos2 2 +^ h
A = 12 221
+c m; E & A = 2 2
11. Verificándose las siguientes igualdades:
sen32° + sen12° = 0,738 cos32° + cos12° = 1,826
calcular el valor de la tangente de 22° expre-sando el resultado en fracción ordinaria.
Resolución:• sen32° + sen12° = 0,738 2sen22°cos10° = 0,738 ...(1)
• cos32° + cos13° = 1,826 2cos22°cos10° = 1,826 ...(2)
Dividiendo (1) ' (2):
,,
1 8260 738
1826738
2cos22 cos102sen22 cos10
= =
Simplificando: tan22° = 913369
12. En que tipo de triángulo se cumple:
sen2A + sen2B + sen2C = 2
Resolución: En todo triángulo ABC se cumple:
• cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2cosAcosBcosC
• sen2A + sen2B + sen2C = 2 + 2cosAcosBcosC
De la última relación: 2 = 2 + 2cosAcosBcosC & cosAcosBcosC = 0
De esta igualdad se deduce que alguno de los tres factores es cero. Esto ocurre si al menos uno de los ángulos mide 90°.
se cumple en un triángulo rectángulo.
13. Simplificar:
E = cos cos cosk ksen sen k sen k
2 12 1
q q q
q q q
+ + -
+ + -
^ ^^ ^
h hh h
Resolución:
E = cos cos cosk ksen k sen sen k
2 12 1
q q q
q q q
- + +
- + +
^ ^^ ^
h hh h
61TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE62
E = cos cos cos
cosk k k
sen k k sen k2 12 1
q q q
q q q
- +
- +
^ ^ ^^ ^ ^
h h hh h h
E = 2 1
cos coscos
k ksen k k
2 1 11
q q
q q
- +
- +
^ ^^ ^
h hh h66
@@
E =tan(kq)
14. Si: sena + senb = a cosa + cosb = b
calcular: cos(a + b)
Resolución: Sea: a + b = x sena + senb = a
2sen2
α β+c mcos a2
α β-=c m
2sen cosx a2 2
α β-=a ck m ...(1)
cosa + cosb = b
2cos cos b2 2
α β α β+ -=c cm m
2cos cosx b2 2
α β-=a ck m ...(2)
Dividiendo (1) ' (2) se obtiene:
cos x
sen x
ba
2
2=
a
a
k
k & tan x
ba
2=a k
Nos piden calcular:
cos(a + b) = cosx =
2
2tan
tan
x
x
1
1
2
2
+
-
a
a
k
k
cos(a + b) =
baba
b ab a
1
1
2
2
2
2
2 2
2 2
+
-
=+
-
PRACTICANDO
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
1. Calcular: A = cos80 cos40sen80 sen40
+
+
a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 /3 e) 1/2
2. Si: sena + senb = a cosa + cosb = b
hallar: tan2
α β+c m
a) ba b) a
b c) a ba b
-
+
^^
hh
d) a ba b
+
-^ h e)
a bab2
2 2+^ h
3. Calcular: (sen38° + cos68°)sec8°
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/4 e) - 1/2
4. Calcular: S = cos20° + cos100° + cos140°
a) 0 b) 1 c) -1 d) 1/2 e) -1/2
5. Reducir: P = cos cos cossen sen sen
5 35 3q q qq q q
+ +
+ +
a) tan3q b) tan5q c) tan2q d) tan4q e) tan8q
6. Transformar a producto: E = sena + sen3a + sen5a + sen7a
a) 4sen4asen2asena b) 4cos4acos2acosa c) 4sen4acos2acosa d) 4sen4asen2acosa e) 4cos4acos2asena
7. Calcular: A = cos220° + cos240° + cos280°
a) 1 b) 2/3 c) 2 d) 5/2 e) 3/2
8. Simplificar: A = cos x ysen x sen y1 2 2
-
- -
^ h
a) cos(x + y) b) cos(x - y) c) 0,5 cos(x + y) d) cos2(x + y)
e) cos2(x - y)
9. Simplificar: 2(cos5x + cos3x)(sen3x-senx)
a) sen6x b) sen7x c) sen8x d) sen9x e) sen10x
10. Simplificar: (tan2q + tanq)(cos3q + cosq)
a) 2sen3q b) 2cos3q c) sen3q d) cos3q e) 1
11. Si: x + y = 30°, calcular:
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63TRIGONOMETRÍA
E = sen x sen y
sen x y sen x y2 2
3 3+
+ + +^ ^h h
a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 3 e) -1
12. Simplificar: A = cos cos
sen a sen ba b a b
2 23 3
+
- - -^ ^h h
a) 2sen(a + b) b) 2cos(a + b) c) sen(a - b) d) 2sen( a- b) e) 2cos(a - b)
13. En un triángulo ABC, transformar a producto:E = sen2A + sen2B - sen2C
a) 4senAsenBcosC b) 4cosAcosBsenC c) 4senAsenBsenC d) 4cosAcosBcosC e) 2senAsenBcosC
14. En un triángulo ABC, transformar a producto:K = senA + senB + senC
a) 4sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2) b) 2sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2) c) 2cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) d) 4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) e) 4sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2)
15. Calcular: E = csc20° - cot40°
a) 1 b) 0 c) -1 d) - 3 e) 3
16. Reducir: A = cos10
sen40 sen20-
a) 1 b) 1/2 c) -1 d) -1/2 e) 2
17. Simplificar: A = cos cossen x sen x
x x7 37 3
-
+
a) tanx b) cotx c) tan2x d) cot2x e) tan4x
18. Reducir: Acos5
sen50 cos50=
+
a) 3 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) 2 /2
19. Calcular: A = cos20° + cos100° + cos220°
a) 1 b) -1 c) 1/2 d) -1/2 e) 0
20. Reducir: A = cos cos cosx x xsen x sen x sen x
2 4 62 4 6
+ +
+ +
a) tanx b) tan2x c) tan3x d) tan4x e) tan5x
21. Reducir: A = cos cossen x
senx x x sen x2 5
4 2 6+
a) senx b) cosx c) sen2x d) cos2x e) sen3x
22. Simplificar: A = senx sen xsen x sen x
97 3
+
+
si: 6x = p
a) 1 b) -1 c) 1/2 d) -1/2 e) -3/2
1. c 6. c 11. c 16. a 21. b2. a 7. e 12. d 17. d 22. b3. a 8. a 13. b 18. b4. a 9. c 14. d 19. e5. a 10. a 15. e 20. dC
laves
EJERCICIOS PROPUESTOS 2
1. Reducir: Q = sen4x - 2senxcos3x
a) senx b) cosx c) sen2x d) cos 2x e) sen3x
2. Reducir: M = sen3acosa - 21 sen4a
a) senacosa b) sen2aa kcos
2aa k
c) 2senacosa d) sena e) sen
2aa k
3. Reducir: R = 4sen2xcos2xcos3x - senx
a) senx b) sen3x c) sen5x d) sen7x e) sen9x
4. Exprese como monomio:
P = cos2qcosq-sen4qsenq
a) senqsen2q b) cos3qsen2q c) sen3qcos2q d) cos3qcos2q e) senqcosq
5. Reducir: sen2xcosx - sen4xcosx + sen2xcos3x
63TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE64
a) senx b) sen3x c) sen5x d) 0 e) cosx
6. Simplificar: cos4xcos2x cos7xcosxsen9xcosx sen6xcos4x
-
-
a) sen5x b) tan5x c) cos5x d) cost5x e) sec5x
7. Calcule el valor de: H = 2cos80° + 4cos20°sen10°
a) 1/2 b) 2 c) 1/4 d) 1 e) 3/2
8. Reducir: (2sen5xcosx - sen6x)2 - cos24x
a) cos8x b) cos6x c) - cos6x d) -cos8x e) cos4x
9. Halle x (ángulo agudo), si: 2sen3xcos5x = cos7x - 2senxcosx
a) 3° b) 6° c) 9° d) 12° e) 15°
10. Halle el valor de: N = 21 sec80° - 2sen70°
a) 0 b) - 1 c) 1 d) -2 e) 2
11. Reducir: M = cos(a + b)cos(a - b) + sen(b + c)sen(b - c)
+ cos(a + c)cos(a - c)
a) 0 b) 1 c)1/2 d) cosa e) cosb 12. Calcular el valor de a, si:
cos3atana + 2sena = sen[(a - 1)a]
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13. Reducir: E = 50
40 20sec
sen sen2 +^ h - sen30°
a) 0 b) 1/2 c) cos40° d) cos50° e) 2
14. Reducir:
° ° 40°cos cossen4 1 40 1 102 2- - -^ ^h h
a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/5 e) 1
15. Calcular: E = 2sen50°cos20° - cos20°
a) 0,3 b) 0,4 c) 0,5 d) 0,6 e) 0,8
16. Reducir: R = cos3xcos2x - sen4xsen3x - cos6xcosx
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
17. Simplificar: M = cos
cos cossen sen4 2 5q
q q q q+
a) sen3q b) 2sen3q c) sen6q d) 2sen6q e) 1
18. Hallar el valor de:
N = 123
50 38 95 7sen
sen sen sen sen+
a) 1/4 b) 1/2 c) 3/4 d) 2 e) 2 /2
19. Factorizar: R = cos8x - cos7xcosx - cos10xcos2x
a) 2sen3xsen9x b) -sen3xsen9x c) sen3xsen9x d) -cos3xcos9x e) cos3xcos9x
20. Simplificar: K = 100 10
51 34 21 4cos cos
cos cos sen sen+
-
a) 2 /2 b) 3 /6 c) 6 /4 d) 6 /3 e) 2 /4
21. Calcular: L = 2[2sen39°cos9° - 2cos43°30'cos1°30']
a) 2 + 1 b) 1 - 2 c) 2 + 2 d) 2 - 2 e) 2 - 1
22. Calcular x, si: 2cos20°cos40° = x + cos20°
a) 0,4 b) 0,5 c) 0,6 d) 0,8 e) 1
23. Reducir: R = senxcosx
sen3xsenxcos x cosxcos3xsen x2
2 2-
^ h a) 1/4 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 5
24. Si: x 2 2, reducir: B = 2senφcos[(x - 1)φ] + sen[(x -2)φ]
a) senφ b) cosφ c) senφ d) cos2φ e) senφ
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65TRIGONOMETRÍA
25. Expresar como monomioN = 2(cos4°cos3°- sen7°sen8°)
a) cos4°sen11° b) cos11°cos4° c) 2cos11° d) sen11°sen4° e) 2cos11°cos4°
1. c 6. d 11. a 16. c 21. b2. a 7. d 12. d 17. c 22. b3. d 8. d 13. c 18. e 23. d4. d 9. b 14. b 19. d 24. e5. d 10. c 15. c 20. c 25. eC
laves
65TRIGONOMETRÍA
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Una ecuación se llama trigonométrica si ella con-tiene la incógnita x solo bajo los operadores trigo-nométricos.
Ejemplos:• senx = cosx • tanx - cot2x = 0
• sen4x
21
=a k • tan2x = 3x - 1
Nota:La ecuación del último ejemplo no se llama trigonométrica, porque en esta la incógni-ta x se encuentra no solo bajo el operador tangente, sino también con otro operador no trigonométrico.
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTALUna ecuación trigonométrica se llama elemental, básica o simple si tiene la siguiente estructura:
FT(kx) = a
Ejemplos:
• senx = 21 • cos2x =
22 • tan
3xc m = - 3
VALOR PRINCIPAL DE UNA ECUACIÓN TRIGONO-MÉTRICA ELEMENTALSe llama valor principal (VP) al menor ángulo po-sitivo o mayor ángulo negativo que satisface una ecuación trigonométrica elemental. Es decir:
Si: FT (kx) = a & VP = ángulo ángulo
Valorprincipalparasenkx= aLa ecuación tendrá soluciones solamente cuando:
-1 # a # 1• Si a es positivo entonces su VP es un ángulo
agudo.• Si a es negativo entonces su VP es el negati-
vo del ángulo agudo.• Si a es 1, entonces su VP es 90°.• Si a es -1, entonces su VP es -90°.• Si a es 0, entonces su VP es 0°.
Ejemplos:Calcular el VP de las siguientes ecuaciones:1. senx =
21 & senx =
21 & VP = 30°
30°
2. senx = -21 & senx = -
21 & VP = -30°
-30°
3. sen4x = 22 & sen4x =
22 & VP = 45°
45°
4. sen4x = -22
& sen4x = -22 & VP = -45°
-45°
5. sen2x = 1 & sen2x = 1 & VP = 90°
90°
6. sen2x = -1 & sen2x = -1 & VP = -90°
-90°
7. sen3xc m = 0 & sen
3xc m = 0 & VP = 0°
0°
8. sen3x = 2 & la ecuación no tiene soluciones
Observación: el valor principal no es la incógnita x (VP ! x).
Valorprincipalparacoskx= aLa ecuación tendrá soluciones solamente cuando:
-1 # a # 1
• Si a es positivo, entonces su VP es un ángulo agudo
• Si a es negativo, entonces su VP es el suple-mento del ángulo agudo.
• Si a es 1, entonces su VP es 0°.• Si a es -1, entonces su VP es 180°.• Si a es 0, entonces su VP es 90°.
Ejemplos:Calcular el VP de las siguientes ecuaciones:
1. cosx = 21 & cosx =
21 & VP = 60°
60°2. cosx = -
21 & cosx = -
21 & VP = 120°
120°
3. cos4x = 22 & cos4x =
22 & VP = 45°
45°
4. cos4x = -22 & cos4x = -
22 & VP = 135°
135°5. cos2x = 1 & cos2x = 1 & VP = 0°
0°
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
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6. sen2x = -1 & cos2x = -1 & VP = 180°
180°
7. cos3xc m = 0 & cos
3xc m = 0 & VP = 90°
90°
Observación: el valor principal no es la incógnita x (VP ! x).
Valorprincipalparatankx= aLa ecuación tendrá soluciones para cualquier valor de a• Si a es positivo, entones su VP es un ángulo
agudo.• Si a es negativo, entonces su VP es el negati-
vo del ángulo agudo.• Si a es cero, entonces su VP es 0°.
Ejemplos:Calcular el VP de las siguiente ecuaciones:1. tanx = 3 & tanx = 3 & VP = 60° 60°
2. tanx = - 3 & tanx = - 3 & VP = -60° -60°3. tan3x = 1 & tan3x = 1 & VP = 45° 45°4. tan3x = -1 & tan3x = -1 & VP = -45°
-45°5. tanx = 0 & tanx = 0 & VP = 0° 0°
6. tan4xa k = 0 & tan
4xa k = 0 & VP = 0°
0°
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRI-CAS ELEMENTALESResolver una ecuación trigonométrica elemental significa hallar todos los valores de la incógnita x que satisfacen dicha ecuación. Es decir, que re-ducen la ecuación a una igualdad después de la sustitución de la incógnita.Así, por ejemplo, la ecuación: sen2x =
21
30°
& 2x = 30° & x = 15°
tiene por solución 15°, pero no es la única solución, porque también satisfacen los siguientes valores: 75°, 195°, 255°, 375°; 435°...
El motivo de estos resultados es que las funciones trigonométricas son periódicas, a continuación ci-taremos para las ecuaciones que involucran seno; coseno y tangente a fin de hallar todas sus infinitas soluciones.
Resolucióndesenkx= aSe aplica la siguiente formula:
senkx = a & kx = n(180°) + (-1)n # VP ; n ! Z
Denominándose conjunto solución o solución ge-neral al resultado:
x = °
kn VP180 1 n
#+ -^ ^h h ; n ! Z
Ejemplos:1. Resolver la ecuación y hallar las 4 primeras
soluciones positivas: sen2x = 21
Resolución: Calculamos el valor principal: VP = 30° Aplicamos la fórmula: 2x = n(180°) + (-1)n # VP 2x = n(180°) + (-1)n # 30°
Despejamos x: x = 180 30n
21 n
#+ -^ ^h h
Obtenemos el conjunto solución: x = n(90°) + (−1)n # 15°
Para calcular las 4 primeras soluciones posi-tivas damos valores enteros positivas a n. En el conjunto solución:
Para n = 0: x = 0(90°) + (-1)0 # 15° & x = 15° Para n = 1: x = 1(90°) + (-1)1 # 15° & x = 75° Para n = 2: x = 2(90°) + (-1)2 # 15° & x = 195° Para n = 3: x = 3(90°) + (-1)3 # 15° & x = 255°
2. Resolver la ecuación y hallar las 3 primeras soluciones positivas en radianes:
sen3x = -22
Resolución:
Calculamos el valor principal: VP = -45° = -4p
Aplicamos la fórmula: 3x = n(180°) + (-1)n # VP
Pasamos a radianes: 3x = n(p) + (-1)n4p
-a k
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Despejamos x: 4xn
3
1 np p
=
- -^ ah k
Obtenemos el conjunto solución:x = n
31
12n#
p p- -^ h
Para calcular las 3 primeras soluciones positi-vas, damos valores enteros positivos a n en el conjunto solución:
Para n = 0: x = 03pa k - (-1)0
12pa k & x = -
12p
(no se toma)
Para n = 1: x = 13pa k - (-1)1
12pa k & x =
125p
Para n = 2: x = 23pa k - (-1)2
12pa k & x =
127p
Para n = 3: x = 33pa k - (-1)3
12pa k & x =
1213p
Resolucióndecoskx= aSe aplica la siguiente fórmula:
coskx = a & kx = n(360°) ! VP ; n ! Z
Denominándose conjunto solución o solución ge-neral al resultado:
x = °k
n VP360 !^ h ; n ! Z
Ejemplos:1. Resolver la ecuación y hallar las 5 primeras
soluciones positivas: cos2x = 21
Resolución: Calculamos el valor principal: VP = 60° Aplicamos la fórmula: 2x = n(360°) ! VP
Despejamos x: x = 360 60n
2!^ h
Obtenemos el conjunto solución: x = n(180°) ! 30°
Para calcular las 5 primeras soluciones, da-mos valores enteros a n en el conjunto solu-ción:
Para n = 0: x = 0(180°) ! 30° & x = ! 30° x = 30°
Para n = 1: x = 1(180°) ! 30° & x = 180° + 30° 0 x = 180° - 30° x = 210° 0 x = 150°
Para n = 2: x = 2(180°) ! 30° & x = 360° - 30° 0 x = 360° + 30° x = 330° 0 x = 390°
2. Resolver la ecuación y hallar las 3 primeras soluciones positivas en radianes:
cos3x = -22
Resolución: Calculamos el valor principal: VP = 135° =
43p
Aplicamos la fórmula: 3x = n(360°) ! VP
Despejamos x: x = 2
43n
3
!p p^ h
Obtenemos el conjunto solución:
x = n32
4!
p pc m
Para calcular las 3 primeras soluciones positi-vas, damos valores enteros a n en el conjunto solución:
Para n = 0: x = 032
4!
p pc m & x = !4p
x = 4p
para n = 1: x = 132
4!
p pc m
& x = 32
4p p
- 0 x = 32
4p p
+
x = 125p 0 x =
1211p
Resolucióndetankx= aSe aplica la siguiente fórmula:
tankx = a & kx = n(180°) + VP ; n ! Z
Denominándose conjunto solución o solución ge-neral al resultado:
x = °k
n VP180 +^ h ; n ! Z
Ejemplos:1. Resolver la ecuación y hallar las 3 primeras
soluciones positivas: tan2x = 3
Resolución: Calculamos el valor principal: VP = 60° Aplicamos la fórmula: 2x = n(180°) + VP
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69TRIGONOMETRÍA
Despejamos x: x = 180 60n
2+^ h
Obtenemos el conjunto solución: x = n(90°) + 30° Para calcular las 3 primeras soluciones positi-
vas, damos valores enteros positivos a n en el conjunto solución:
Para n = 0: x = 0(90°) + 30° & x = 30° Para n = 1: x = 1(90°) + 30° & x = 120° Para n = 2: x = 2(90°) + 30° & x = 210°
2. Resolver la ecuación y hallar las 3 primeras soluciones positivas en radianes: tan3x = -1
Resolución:
Calculamos el valor principal: VP = -45° = -4p
Aplicamos la fórmula: 3x = n(180°) + VP Pasamos a radianes: 3x = n(p) +
4p
-a k
Despejamos x: x = 4n
3
p p-
Obtenemos el conjunto solución:
x = n3 12p p
-a k
Para calcular las 3 primeras soluciones positi-vas, damos valores enteros positivos a n en el conjunto solución:
Para n = 0: x = 03 12p p
-a k & x = -12p
(no se toma) Para n = 1: x = 1
3 12p p
-a k & x = 4p
Para n = 2: x = 23 12p p
-a k & x = 127p
Para n = 3: x = 33 12p p
-a k & x = 12
11p
Resolucióndecotkx=a,seckx=a,csckx= aPara resolver ecuaciones trigonométricas elemen-tales que involucran cot, sec y csc se inviertan y se obtienen tan, cos y sen, respectivamente.
Ejemplos:1. Resolver la ecuación: cot2x = 3
Resolución:
cot2x = 3 & cot x2
131
=
tan2x = 33 & VP = 30°
2x = n(180°) + VP & 2x = n(180°) + 30°
180 30
xn
2=
+^ h & x = n(90°) + 15°
2. Resolver la ecuación: sec3x = 2
Resolución:
sec3x = 2 & sec x3
121
=
cos3x = 21 & VP = 60°
3x = n(360°) ! VP & 3x = n(360°) ! 60°
x = ° °n3
360 60!^ h & x = n(120°) ! 20°
3. Resolver la ecuación: csc2xa k = 2
Resolución:
csc2xa k = 2 &
2csc x
121
=
a k
sen2x
22
=a k & VP = 45°
x2
= n(180°) + (-1)n # VP
x2
= n(180°) + (-1)n # 45°
x = 2[n(180°) + (-1)n # 45°]
x = n(360°) + (-1)n # 90°
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRI-CAS NO ELEMENTALESPara resolver ecuaciones trigonométricas no ele-mentales se reducen aplicando las identidades trigonométricas, identidades de transformación a ecuaciones elementales para luego seguir el pro-cedimiento ya conocido.
Ejemplos:1. Resolver la ecuación y hallar la segunda solu-
ción positiva de: senx = cosx
Resolución:
senx = cosx & cosxsenx = 1
& tanx = 1 & VP = 45° x = n(180°) + VP & x = n(180°) + 45°
Para n = 0: x = 0(180°) + 45° & x = 45° Para n = 1: x = 1(180°) + 45° & x = 225°
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COLECCIÓN EL POSTULANTE70
2. Resolver la ecuación y hallar la suma de las dos primeras soluciones positivas de:
sen2x = cosx
Resolución: sen2x = cosx & sen2x - cosx = 0 & 2senxcosx - cosx = 0 & cosx(2senx - 1) = 0 Igualando a cero cada factor, obtenemos 2
ecuaciones elementales, por lo tanto, dos conjuntos soluciones:
cosx = 0 & VP = 90° 0 senx = 21 & VP = 30°
x = n(360°) ! VP 0 x = n(180°) + (-1)n # VP x = n(360°) ! 90° 0 x = n(180°) + (-1)n # 30°
El conjunto solución de la ecuación será la unión:
x = n(360°) ! 90° 0 x = n(180°) + (-1)n # 30°
Para n = 0 en el primer conjunto tenemos x = !90° & x = 90°
Para n = 0 en el segundo conjunto tenemos: x = 30°
La suma de las dos primeras soluciones posi-tivas son: 30° + 90° = 120°
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Cuál es el menor valor de senx que satisface la ecuación: cosx -
71 senx = 1
Resolución: De la ecuación: 7cosx = 7 + senx 49cos2x = (7 + senx)2
49(1 - sen2x) = 49 + 14senx +sen2x 50sen2x + 14senx = 0 2senx(25senx + 7) = 0 & 25senx + 7= 0
senx = 257
- & senx = -0,28
2. Resolver la ecuación indicando el menor valor
positivos para x: cos2x
21 2
8 2=
+
Resolución:
16
2 24
2 22
cos2x=
+=
+
cos2x = 2
2 2+
2x = 2np ! arccos2
2 2+f p & 2x = 2np ! 8p
x = np ! 16p
El menor valor positivo de x se obtiene para:
n = 0 & x = 16p
3. Si: cos6x = -1/2, hallar un valor de cos3x.
Resolución:cos6x = -1/2
& 6x = n(360°) ! arccos21
-c m& 6x = n(360°) ! 120°& x = n(60°) ! 20°& 3x = n(180°) ! 60°& cos3x = cos[n(180°) ! 60°]& Si n = 0 & cos3x = cos(!60°) =
21
4. Hallar el valor del ángulo positivo x más pe-queño, diferente de cero, que satisface la ecuación: cos24x = 1
Resolución:Como piden el valor positivo más pequeño (! 0) entonces:cos24x = cos2180° = 1& 4x = 180° & x = 45°
5. Hallar que ángulo agudo a satisface la ecua-
ción: cos
cossensen1
1 4a
aaa
++
+=
Resolución:
cos
cossensen1
1 4a
aaa
++
+=
cos
cossen
sen1
14
2 2
a a
a a
+
+ +=
^^
hh
cos
cos cossen
sen1
1 2 42 2
a aa a a
+
+ + +=
^ h
cos
cossen 1
2 14
a a
a
+
+=
^^
hh
& sena = 21
El ángulo agudo que satisface esta ecuación es: a =
6p
6. Hallar un valor de a para que se cumpla:
sen22a + cos2a + 1 + sen24a = 0
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71TRIGONOMETRÍA
Resolución:sen22a + 1 + cos2a + sen
24a = 0
(2senacosa)2 + 2cos2a + cossen2
2 2 2a a = 0
4sen2acos2a + 2cos2a + sen2acos2a = 04sen2acos2a + 2cos2a + 2senacosacos2a = 02cosa[2sen2acosa + cosa + senacos2a] = 0cosa = 0 & a = p/2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Resolver tan3x - 1 = 0, e indicar la segunda solución positiva.
a) p/12 b) p/4 c) 5p/12 d) 7p/12 e) 3p/4
2. Resolver 2sen2x + 1 = 0, e indicar la primera solución positiva
a) 15° b) 75° c) 105° d) 120° e) 240°
3. Resolver: sen5x + sen3x = sen4x, e indicar el número de soluciones para [0; p]
a) 13 b) 11 c) 9 d) 7 e) 6
4. Resolver: cos
versxsenx x1 2
+ -^ h = 1
a) 30° b) 150° c) 210° d) 330° e) Hay 2 respuestas
5. Resolver:
sen2x tan2x1
sec2x tan2x1 4
++
-=
a) 60° b) 120° c) 300° d) 330° e) 360°
6. Resolver: 2senx - cscx = 1, e indicar el nú-mero de soluciones para x ! [0; 2 p]
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7. Resolver: sen2x + 3 cos2x = 2
a) 205° b) 195° c) 175° d) 165° e) 155°
8. Resolver: (tan3x + tanx + tan4xtan3xtanx)tan2x + 3 = 0
a) p/4 b) p/12 c) p/10 d) p/9 e) p/6
9. Resolver: sen9x + sen5x + 2sen2x = 1
a) , , ,4 2 42 42
5p p p p b) , , ,4 4
342 42
11p p p p
c) , , ,2 4
342
1142
13p p p p d) , , ,4 4
342 42
5p p p p
e) , , ,2 4 42
542
p p p p
10. Resolver: 2cos2x - sen3x = 2
a) 0 b) 180° c) 210° d) 330° e) Todas
11. Resolver: cosxcosy = 3/4 senxseny = 1/4
a) 30°, 30° b) 0°, 60° c) 45°, 15° d) 75°, 15° e) 30°, 60°
12. Si: 2cosxcosy = 1 tanx + tany = 2
indicar la diferencia de soluciones (x e y, agu-dos).
a) 0 b) 2p c) p/6 d) p/3 e) p/4
13. Resolver: sen6x + cos6x = 1/4, e indicar la cuarta solución positiva.
a) p/4 b) p/2 c) 5p/4 d) 2p/5 e) 7p/4
14. Resolver: 2sen2
2xa k + 3cosx = 2, e indicar la
quinta solución positiva.
a) 780° b) 720° c) 690° d) 650° e) 610°
15. Resolver: 3 senx + cosx = 1 y hallar la suma de las dos primeras soluciones positivas.
a) 240° b) 360° c) 420° d) 480° e) 500°
16. Resolver: tan(45° - x) = 2 - 3tanx
a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 115°
71TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE72
17. Resolver: tan2xsen2x + cos2x = 2, e indicar la menor solución positiva.
a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90°
18. Resolver: 2cos2x + 1 = 0
a) 30° b) 90° c) 150° d) 210° e) 240°
19. Resolver: (1 - senx + cosx)2 = 2covx a) p/2 b) 3p/2 c) 5p/2 d) 7p/2 e) Todas
20. Resolver: 2cos2x = 3senx, e indicar las 3 pri-meras soluciones positivas.
a) 30°, 150°, 210° b) 30°, 210°, 390° c) 150°, 330°, 390° d) 30°, 240°, 330° e) 30°, 150°, 390°
21. Resolver: 2versx = senxtanx y hallar la suma de las 3 primeras soluciones.
a) 6p b) 5p c) 4p d) 3p e) 2p
22. Resolver: senx + cosx + 2 = 0
a) 115° b) 135° c) 225° d) 240° e) 315°
23. Resolver: 2(senx + cosx) = secx, e indicar el número soluciones para [0; p].
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
24. Resolver: cos cossen x
xsen x
x1 3
31 3
3 2+
+-
= , e indi-
car el número de soluciones para [0; 2p]
a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
25. Resolver: 2senx sen3x + cos22x = 1, e indicar la suma de las 5 primeras soluciones positivas
a) 3p b) 5p c) 7p d) 9p e) 11p
1. c 6. c 11. a 16. b 21. a2. c 7. b 12. a 17. b 22. c3. e 8. e 13. e 18. e 23. b4. e 9. a 14. a 19. e 24. d5. d 10. e 15. d 20. e 25. bC
laves
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASFunción acotada. Se dice que una función f es acotada, si 7M ! R, tal que |f(x)| # M; 6 x ! Domf.
Ejemplo:La función f(x) = cosx es acotada, ya que |cosx| # 1, 6 x ! R, tal que M puede tomar cual-quier valor mayor o igual que 1. Además del rango de la función se observa.
Conjunto de cotas inferiores
Conjunto de cotas suferiores
cosx
Z [ \] ] ] ] ] Z [ \] ] ] ] ]
Función par. Una función f es par si:
f(-x) = f(x); 6 x , -x ! Domf
Ejemplos:
x
y
1-1-1
• y = f(x) = x2 - 1 & f(-x) = (-x)2 - 1 f(-x) = x2 - 1 & f(-x) = f(x)• y = cosx• y = secx
Observación: el gráfico de una función par es si-métrico al eje y.
Función impar. Una función f es impar si:
f(-x) = -f(x); 6 x, -x ! Domf
Ejemplos:
x
y
• y = f(x) = x5
& f(-x) = (-x)5
f(-x) = -x5
& f(-x) = -f(x)
• y = senx • y = tanx• y = cotx • y = cscx
Observación: el gráfico de una función impar es simétrico al origen de coordenadas.
Función creciente. Una función f es creciente en un intervalo I de su dominio, si para todo par de números x1 y x2 de dicho intervalo se cumple que:
x1 1 x2 & f(x1) 1 f(x2)
Ejemplo: La función y = x2 - 1, es creciente 6x ! G0; -3H
Función decreciente. Una función f es decrecien-te en un intervalo I de su dominio, si para todo par de números x1 y x2 de dicho intervalo se cumple que:
x1 1 x2 & f(x1) 2 f(x2)
Ejemplo: La función y = x2 - 1, es decreciente: 6x ! G0; -3H
Función periódica. Una función f es periódica, si existe un número real T ! 0, tal que para cualquier x de su dominio se cumple:
F(x + T) = f(x); 6 x; x + T ! Domf
Observación: el número T se denomina período principal, si es positivo y mínimo entre todos los periodos positivos.
Ejemplo: Sea: f(x) = senx & f(x + T) = sen(x + T)
sen(x + T) = senx & sen(x + T) - senx = 0 2sen
2Tc mcos x T
2+c m
sen2Tc m = 0 & T
2 = kp / k ! Z & T = 2pk; k ! Z+
Si k ! Z+; T = 2p, 4p, 6p,...
el periodo principal de la función: y = senx es 2p
Estudio de las funciones trigonométricas. Las funciones trigonométricas son el conjunto no va-ció de pares ordenados (x; y), tal que la primera componente es un valor angular expresado en radianes (número real) y la segunda componente es un valor obtenido mediante una dependencia funcional.
Función senof = {(x; y) ! R2 / y = senx; x ! R}
x
y
1
0 ππ/2 3π/2 2π-1
y = senx (senoide)
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
BANCO DE EJERCICIOS74
Editorial
Librería: Av. Garcilaso de la Vega 978, Lima Telf.: 424-6563 www.editorialsanmarcos.com
COLECCIÓN EL POSTULANTE74
Domf = R Ranf = [-1; 1], es decir: -1 # senx # 1 Período de f: 2p
Función cosenof = {(x; y) ! R2 / y = cosx; x ! R}
y = cosx (cosenoide)
x
y
1
0 ππ/2 3π/2 2π-1
Domf = R Ranf = [-1; 1], es decir: -1 # cosx # 1 Período de f: 2p
Función tangentef = {(x; y) ! R2 / y = tanx; x ! R - [(2n + 1)p/2]; n ! Z}
x
y y = tanx (tangentoide)
π2
π 3π2
0π2-
Domf = R - {(2n + 1)p/2; n ! Z} Ranf = R Período de f: p
Función cotangentef = {(x; y) ! R2 / y = cotx; x ! R - (np); n ! Z}
x
y y = cotx (cotangentoide)
π2
π 2π3π2
0
Domf = R - {np / n ! Z} Ranf = R Período de f: p
Función secantef = {(x; y) ! R2 / y = secx; x ! R - {(2n + 1)p/2}; n ! Z}
-1
1
y y = secx (secantoide)
x0 π 2π2
3π2π
Domf = R - {(2n + 1)p/2; n ! Z} Ranf = R - G-1; 1H Período de f: 2p
Función cosecantef = {(x; y) ! R2 / y = cscx; x ! R - (np); n ! Z}
-1
1
y y = cscx (cosecantoide)
x3π/2π/20 π 2π
Domf = R - {np / n ! Z} Ranf = R - G-1; 1H Período de f: 2p
Desplazamiento vertical. Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la fun-ción y = f(x) + c es necesario desplazar la gráfica de f a lo largo del eje de ordenadas:• Hacia arriba en c unidades si: c 2 0• Hacia abajo en |c| unidades si: c 1 0
Ejemplo:
x
y
3
1
2
y = 2 + cosx
y = cosx
0 ππ/2 3π/2 2π
-1
75TRIGONOMETRÍA
Editorial
Librería: Av. Garcilaso de la Vega 978, Lima Telf.: 424-6563 www.editorialsanmarcos.com
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75TRIGONOMETRÍA
Desplazamientohorizontal.Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la fun-ción y = f(x - c) es necesario desplazar a la gráfica de f a lo largo del eje de abscisas.
• A la derecha si c 2 0• A la izquierda si c 1 0
Ejemplo:
x
y
1
0 π2
π 9π/42π
-1
y = senx y = sen x
3π2
-π4
π4
Opuesto en una función. Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la función y = -f(x) es necesario reflejar en forma simétrica a la gráfica de f con respecto al eje de abscisas.
Ejemplo:
x
y
1y = cosxy = -cosx
ππ/2 2π
-1
Valorabsolutodeuna función.Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la función y= |f(x)| es necesario dejar sin cambios los tramos de la gráfica de f que están por encima del eje x y reflejar en forma simétrica a los tramos de la gráfica de f que están por debajo del eje x.
Ejemplo:
x
y
1y = |senx|
y = senx
ππ/2 2π3π/2-1
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Función inyectiva o univalente. Una función es inyectiva o univalente cuando todo elemento del
rango tiene un único elemento en el dominio al cual está asociado; es decir, si:
f(x1) = f(x2) & x1 = x2
Equivalentemente una función es univalente si: x1 ! x2 & f(x1) ! f(x2)
Ejemplo:Sea: f(x) = x2; x 2 0
Aplicando la definición: f(x1) = f(x2)x1
2 = x22 & x1
2 - x22 = 0
& (x1+ x2) (x1- x2) = 0
debido a: (x1+ x2) 2 0 & (x1- x2) = 0 & x1= x2
f es univalente
Interpretación geométrica. Gráficamente, una función univalente o inyectiva está caracterizada por la propiedad en la que cada recta horizontal interseca al gráfico de la función, a lo más en un punto.
Ejemplos:
y = x2
x
y
x
y
y = log|x|
Es univalente No es univalente
x
y y = 1 - cosx
No es univalente
Función suryectiva. Una función f: A → B es suryectiva si el rango de f coincide con el conjunto de llegada B, es decir:
6 y ! Ranf, 7 x ! Domf / y = f(x)
Ejemplo:
La función f: ;03p → ;0
23 ; tal que f(x) = senx;
es suryectiva, pues 6 x ! Domf
0 1 x 1 3p & 0 1 senx 1
23
BANCO DE EJERCICIOS76
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COLECCIÓN EL POSTULANTE76
& f(x) = senx ! ;023 & Ranf = ;0
23
Las funciones trigonométricas estudiadas (seno, coseno, ...) dadas mediante una regla de corres-pondencia y que no se especifica el conjunto de llegada, está sobreentendido que el rango coin-cide con el conjunto de llegada, es decir, ya son suryectivas (o sobreyectivas), entonces para que las funciones trigonométricas tengan función in-versa, bastaría que sean funciones inyectivas o univalentes.
Función inversa. Si una función f es biyectiva (univalente y sobreyectiva), entonces existe su función inversa y se denota por f* o f-1.Para determinar la inversa de una función se inter-cambia x por y e y por x. Así:
Domf* = Ranf Ranf* = Domf
Ejemplo:Hallar la función inversa de y = 2x -1 cuyo dominio es [0; 3].
Resolución: f(x) = y = 2x - 1; x ! [0, 3]
Despejando x se tiene: x = y
21+
Intercambiando variables: y = x2
1+
Graficando:
x
5f: y = 2x - 1
f * : y =
y = x
x + 12
5
3
3
y
-1-1
Se observa: Domf = [0; 3] y Ranf = [-1;5]También: Domf* = [-1; 5] y Ranf* = [0; 3]
Observación: Las gráficas de f y f* son simétricas con respecto a la recta (y = x).
Estudio de las funciones trigonométricas inver-sas. Las funciones trigonométricas por ser perió-dicas, no son univalentes, pero restringiendo su
dominio (como se muestra en el cuadro adjunto) se logra que sean univalentes, tal que podemos obtener sus respectivas funciones inversas.
Principales restricciones
Función Dominio Rango
y = senx ;2 2p p
-9 C [-1; 1]
y = cosx [0; p] [-1; 1]
y = tanx ;2 2p p
- R
y = cotx G0; pH R
y = secx [0; p] - 2p% / R - G-1; 1H
y = cscx ;2 2p p
-9 C - {0} R - G-1; 1H
Notación:
FT(q) = N & q = arcFT(N) 0 q = FT-1 (N)
Se lee: q es un arco cuya función trigonométrica es N
Ejemplos:• Si: senq =
41 /
2 2# #
π θ π- & q = arcsen
41c m
0 q = sen-141c m
• Si: cosφ = 32 / 0 # φ # p & φ = arccos
32c m
0 φ = cos-132c m
- Si: tanb = 10 / 2p
- 1 b 1 2p & b = arctan(10)
0 b = tan-1(10)
Función arco senof = {(x; y) ! R2 / y = arcsenx; -1 # x # 1}
Sea la función: y = senx; x ! ;2 2p p
-9 C
Despejando x: x = arcsenyIntercambiado variables: y = arcsenxAdemás: Domf = Ranf* ! [-1; 1]
Ranf = Domf* ! ;2 2p p
-9 C
La función es creciente e impar.
77TRIGONOMETRÍA
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77TRIGONOMETRÍA
Graficando f y f*
y = x
x
1
10
yy = arcsenx
y = senx
π/2
π2
-1
-1
-π/2
-π/2
Función arco cosenof = {(x; y) ! R2 / y = arccosx; -1 # x # 1}
Dominio: [-1; 1]; Rango: [0; p]
Es una función decreciente.
x10
y
π/2
π
-1
y = arccosx
Función arco tangentef = {(x; y) ! R2 / y = arctanx; x ! R}
Dominio: R; Rango: ;2 2p p
-
-π/2
x0
yπ/2
y = arctanx
La función es creciente e impar.
Función arco cotangentef = {(x; y) ! R2 / y = arccotx; x ! R}
Dominio: R; Rango: G0; pH
x0
y
π/2
π
y = arccotx
La función es decreciente.
Función arco secantef = {(x; y) ! R2 / y = arcsecx; x ! R - G-1; 1H}
Dominio: G-3; -1] , [1; +3H
Rango: ; ;02 2
,p p p9 C
-1 x0 1
y
π/2
π
y = arcsecx
La función es creciente.
Función arco cosecantef = {(x; y) ! R2 / y = arccscx; x ! R - G-1; 1H
Dominio: G-3; -1] , [1; +3H
Rango: ; ;2
0 02
,p p
-9 C
-π/2
-1x0 1
y
π/2y = arccscx
La función es decreciente e impar.
PROPIEDADES PRINCIPALES
Propiedad I
FT(FTI (N)) = N + N ! Dom(FTI)
sen(arcsen(N)) = N + N ! [-1; 1]cos(arccos(N)) = N + N ! [-1; 1]tan(arctan(N)) = N + N ! Rcot(arccot(N)) = N + N ! Rsec(arcsec(N)) = N + N ! G-3; -1] , [1; +3Hcsc(arccsc(N)) = N + N ! G-3; -1] , [1; +3H
Ejemplos:• tan(arctan100) = 100• sec(arcsec2) = 2• cos(arccos3) = 3; absurdo ya que 3 " [-1; 1]
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COLECCIÓN EL POSTULANTE78
Propiedad II
FTI (FT(q)) = q + q ! Ran(FTI)
arcsen(senq) = q + q ! ;2 2p p
-9 C
arccos(cosq) = q + q ! [0; p]
arctan(tanq) = q + q ! ;2 2p p
-
arccot(cotq) = q + q ! G0; pH
arcsec(secq) = q + q ! [0; p] - 2p% /
arccsc(cscq) = q + q ! ;2 2p p
-9 C - {0}
Ejemplos:• arccos cos
6 6p p
=a k9 C
• arccot cot32
32p p
=c m; E
• arctan(tan2) = 2; absurdo ya que: ;22 2
gp p
-
Propiedad III
arcsen(-x) = -arcsenx; x ! [-1; 1]arccos(-x) = p - arccosx; x ! [-1; 1]arctan(-x) = -arctanx; x ! Rarccot(-x) = p - arccotx; x ! Rarcsec(-x) = p - arcsecx; x ! G-3; -1] , [1; + 3Harccsc(-x) = -arccscx; x ! G-3; -1] , [1; + 3H
Ejemplos:• arcsen
21
-c m = - arcsen21c m =
6p
• arccos22
-c m = p - arccos22
4 43p p p
= - =c m
• arctan(- 3 ) = - arctan 3 = -p/3
• arcsec(-2) = p - arcsec2 = p - 3 3
2p p=
• arccot(- 2) = p - arccot2
PropiedadIV
arcsenx + arccosx = 2p ; 6 x ! [-1; 1]
arctanx + arcotx = 2p ; 6 x ! R
arcsecx + arccscx = 2p ; 6 x ! - G−1; 1H
Ejemplos:• arcsen
43c m + arccos
43c m =
2p
• arctan3 + arccot3 = p/2• arcsec150= + arccsc150 = p/2• arcsen2 + arccos2 = p/2; es absurdo ya que
2 " [-1; 1]
PropiedadV
arctanx + arctany = arctanxy
x y1 -
+c m + kp
Si: xy 1 1 & k = 0Si: xy 2 1, x 2 0 & k = 1Si: xy 2 1 , x 1 0 & k = -1
Ejemplos:
• arctan31c m + arctan
21c m = arctan
131
21
31
21
#-
+J
L
KKKK
N
P
OOOO
arctan31c m + arctan
21c m = arctan1 =
4p
• arctan2 + arctan4 = arctan1 2 4
2 4#-
+c m + p
arctan2 + arctan4 = arctan76
-c m + p
arctan2 + arctan4 = p - arctan(6/7)
• arctan(-1)+arctan(- 3 ) = arctan1 1 3
1 3
- - -
- + -
^ ^^ ^
h hh h
> H - p
arctan(-1) + arctan(- 3 ) = arctan3 13 1
-
+f p - p
arctan(-1) + arctan(- 3 ) = arctan(2 + 3 ) - p
arctan(-1) + arctan(- 3 ) = 125
127p p p
- =-
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Calcular el valor de x.
x = arctan2 12 1
-
+f p - arctan21c m
Resolución: Como: arctanm - arctann = arctan
mnm n
1 +
-c m
x = arctan2 12 1
-
+f p - arctan21c m
79TRIGONOMETRÍA
Editorial
Librería: Av. Garcilaso de la Vega 978, Lima Telf.: 424-6563 www.editorialsanmarcos.com
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79TRIGONOMETRÍA
x = arctan1
2 12 1
21
2 12 1
21
+-
+
-
+-
J
L
KKKKK f c
N
P
OOOOOp m
x = arctan33
4p
=; E
2. Dada la ecuación:arctan(x + 1) - arctan(x - 1) = arctan2
indicar la suma de las soluciones.
Resolución: arctan(x + 1) - arctan (x - 1) = arctan2
arctan1 1 1
1 1x x
x x+ + -
+ - -
^ ^^h h
h> H = arctan2
x22
= 2 & x2 = 1 & x = !1
la suma de las soluciones es cero.
3. Hallar x, si: arccos38c m = arcsenx
Resolución:
Por dato: arccos38c m = arcsenx
Entonces: a = arcsenx α
3 1
8 sena = x & x = 31
También: a = arccos38c m & cosa =
38
4. Calcular: sec(arctanb)
Resolución: Sea: F = sec(arctanb) Sea: a = arctanb & tana = b ...(1) F = seca ...(2) De (1):
α1
bb 12
+
En (2): F = b 12+
5. Si: arctan3a + arctan2
3ac m = arctan3
hallar a:
Resolución:
Como: arctanm + arctann = arctanmn
m n1 -
+c m
arctan3a + arctan2
3a = arctan3
arctan1 3
23
32
3
a a
a a
-
+J
L
KKKK ^ c
N
P
OOOOh m = arctan3
2 9
9 32a
a-
= & 3a = 2 - 9a2
9a2 + 3a - 2 = 0 3a +2 3a -1
Luego. 3a + 2 = 0 & a = -2/3 3a - 1 = 0 & a = 1/3
6. Hallar el valor o valores que verifican:cos(arcsenx) + sen(arccosx) = 3/2
Resolución: Como: arcsenx + arccosx =
2p ; 6x ! [-1; 1]
cos(arcsenx) + sen(arccosx) = 3/2 cos(p/2 - arccosx) + sen(arccosx) = 3/2 sen(arccosx) + sen(arccosx) = 3/2 2sen(arccosx) = 3/2 & sen(arccosx) = 3/4 a sea: a = arccosx & cosa = x & sena = 3/4 sabemos: sen2a + cos2a = 1
43 2
c m + x2 = 1 & x2 = 1 - 169
x2 = 167 & x = !
47
7. Encontrar el valor de k; si: R + L = A R = sen[arccot(tan2x)] L = sec(kx)sen[arccot(-tan3x)] A =tan(kx)cos[arccot(tan2x)]
Resolución: R = sen[arccot(tan2x)] R = sen arccot cot
22xp
-a k9 C% /
R = sen(2p - 2x) = cos2x ....(1)
L = seckxsen[arccot(-tan3x)]
L = seckxsen arccot cot2
3xp+a k9 C% /
L = seckxsen(2p + 3x)
BANCO DE EJERCICIOS80
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COLECCIÓN EL POSTULANTE80
L = +seckxcos3x ...(2)A = tankxcos arccot cot
22xp
-a k9 C% /
A = tankxcos x2
2p-a k = tankxsen2x ...(3)
De (1) , (2) y (3): R + L = Acos2x + seckxcos3x =tankxsen2x
cos2x - coscos
coskxx
kxsenkx3
= sen2x
cos2xcoskx - cos3x = senkxsen2xcos2xcoskx - sen2xsenkx = cos3x
cos(2x + kx) = cos3x
2x + kx = 3x & k = 1
8. Hallar x, si: 2arccot2 + arccos53c m = arccscx
Resolución:arccscx = 2arccot2 + arccos
53c m ....(1)
Sabemos que:arccot2 = 26°30' / arccos
53c m = 53°
Reemplazamos en (1):arccscx = 2(26°30’) + 53°arccscx = 106° & x = csc106°
x = csc(180° - 106°) & x = csc74° & x = 2425
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcular: a = arcsen21c m + 2arctan2 - arcsec2
a) p/2 b) p/3 c) 0d) -p/3 e) -p/4
2. Indicar verdadero (V) o falso (F):
I. arcsen2
2 24p-
=f p
II. arctan(-1) = -4p
III. arccos21
-c m = -3p
a) VVV b) FFF c) VVFd) VFV e) FVV
3. Calcular:a = arccos{tan(arcsec 2 - arccot2)}
a) p/6 b) p/3 c) p/2d) p e) p/8
4. Calcular: P = sen arctan sen4pa k9 C% /
a) -1/3 b) 8 /3 c) 2 /3 d) 3 /3 e) 1/3
5. Calcular: P = sec2(arctan 5 ) + cot2(arccsc5)
a) 15 b) 20 c) 30d) 24 e) 16
6. Indicar verdadero (V) o falso (F):
I. sen arcsen31
31
=c m; E
II. tan arctan 11 11=^ h
III. sec arcsec51
51
=c m; E
a) VVV b) FFF c) VFVd) VVF e) FFV
7. Reducir: P = cos45
23 arcsecp
- c m; E
a) 0,6 b) -0,6 c) 0,8d) -0,8 e) 0,5
8. Calcular:q = arcsec(tan60°) + arccsc(2sen60°)
a) p/4 b) -p/2 c) p/2d) 0 e) p/6
9. Hallar x; si: arcsen(3x - 1) = arctan43c m
a) 11/15 b) 7/15 c) 8/15d) 2/15 e) 1/15
10. Calcular: P = tan51arccos
4p
-c m; E
a) 3 b) 1/3 c) -3d) -1/3 e) 2
11. Indicar verdadero (V) o falso (F)
I. arcsen(-x) = -arcsenxII. arccos(-x) = -arccosxIII. arccot(-x) = -arccotx
a) VVV b) FFF c) VVFd) VFF e) VFV
jhsf
81TRIGONOMETRÍA
Editorial
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81TRIGONOMETRÍA
12. Calcular: q = arccos73c m + arccos
73
-c m
a) 0 b) p c) 2pd) p/2 e) -p
13. Calcular:q = arcsen(-1) + arccos(-1) + arctan(-1)
a) p/2 b) 2p c) -p/2d) p e) p/4
14. Si: arcsenx + arcseny + arcsenz = 4p ;
x, y, z ! [-1; 1], calcular: arccosx + arccosy + arccosz
a) 2p b) p c) 7p/4d) 3p/4 e) 5p/4
15. Indicar verdadero (V) o falso (F):
I. arcsen6
5sen6
5p p=c m; E
II. arccos cos34
34p p
=c m; E
III. arctan tan2 2p p
=a k9 C
a) VVV b) VVF c) FFF d) FVV e) FFV
16. Calcular: q = arctan(1/2) + arctan(1/3)
a) p/4 b) -p/4 c) 3p/4 d) p/2 e) p
1. b 5. c 9. c 13. e2. c 6. d 10. b 14. e3. b 7. b 11. d 15. c4. d 8. c 12. b 16. aC
laves
BANCO DE EJERCICIOS82
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TEOREMA DE LOS SENOS (LEY DE SENOS)En todo triángulo, la longitud de los lados son pro-porcionales a los senos de sus ángulos opuestos.
b
ca
B
CA
senAa
senBb
senCc
= =
Además el valor de dicha proporción es 2R, don-de R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo. Entonces:
a = 2RsenA b = 2RsenB c = 2RsenC
TEOREMA DE LOS COSENOS (LEY DE COSENOS)El cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble del producto de dichas longitudes multiplicado por el coseno del ángulo que formen dichos lados.
c2 = a2 + b2 - 2abcosCa2 = b2 + c2 - 2bccosA
b2 = a2 + c2 - 2accosB
De las expresiones anteriores podemos despejar:
cosA = bc
b c a2
2 2 2+ -
Análogamente para los otros ángulos.
cosC = ab
a b c2
2 2 2+ - cosB =
aca c b
2
2 2 2+ -
Ejemplos:1. Resolver el triángulo ABC, si: A = 60°; B = 45°;
a = 4
Resolución:De la ley de senos se tiene:
senAa
senBb
= & b = senAasenB
b = °
4 45°sensen
60 & b =
34 6
Como: A + B = 105° & C = 75°
Asimismo: c = senA
asenC
& c = 60
4 75sensen & c =
32 6 6 2+
2. Resolver el triángulo ABC, si: a = 2; b = 2 3 ; C = 30°
Resolución: De la ley de cosenos se tiene: c2 = a2 + b2 - 2abcosC c2 = 22 + 2 3 2^ h - 2(2) 2 3^ hcos30° c = 2
Luego el triángulo es isósceles. A = 30° y B = 120°
TEOREMA DE TANGENTES (LEY DE TANGENTES)Dado un triángulo ABC, se cumple:
tan
tan
a ba b
A B
A B
2
2+
-=
+
-
c
c
m
m
De igual forma para los otros lados:
tan
tan
a ca c
A C
A C
2
2+-
=+
-
c
c
m
m
tan
tan
b cb c
B C
B C
2
2+
-=
+
-
c
c
m
m
TEOREMA DE LAS PROYECCIONES (LEY DE PRO-YECCIONES)Dado un triángulo ABC, se cumple:
b = acosC + ccosAa = bcosC + ccosB
c = acosB + bcosA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS SEMIÁNGU-LOS DE UN TRIÁNGULOEn todo triángulo ABC, con respecto al ángulo A se cumple:
sen2A
bcp b p c
=- -
c^ ^
mh h
cos2A
bcp p a
=-
c^
mh
tan2A
p p ap b p c
=-
- -c ^
^ ^m h
h h
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
83TRIGONOMETRÍA
Editorial
Librería: Av. Garcilaso de la Vega 978, Lima Telf.: 424-6563 www.editorialsanmarcos.com
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83TRIGONOMETRÍA
Donde: p = a b c2
+ + , (semiperímetro)
ELEMENTOS AUXILIARES DE UN TRIÁNGULO
1. BisectrizA. Bisectriz interior
a
b Va
BC
A
c
2cosV
b cbc A2
a =+
c m; E
Va: bisectriz interior relativa al lado a.
B. Bisectriz exterior
a
b Va
B MC
A
cV
b cbc sen A2
2’
a =-
c m> H
V ’a : bisectriz exterior relativa al lado a.
2. Mediana
M
c
a/2a/2
b ma
BC
A4ma
2 = b2 + c2 + 2bccosA
ma: mediana relativa al lado a.
3. Inradio
r = (p - a) tan2Ac m
B
O
A C
r
4. Exradio
ra = ptan2Ac mB
A C
ra
ra: exradio relativo al lado a .
Expresiones de perímetro; inradio y exradiosen términos del circunradio y los tres ángulos del triángulo
p = 4Rcos2Ac mcos
2Bc mcos
2Cc m
r = 4Rsen2Ac msen
2Bc msen
2Cc m
ra = 4Rsen2Ac mcos
2Bc mcos
2Cc m
rb = 4Rcos2Ac msen
2Bc mcos
2Cc m
rc = 4Rcos2Ac mcos
2Bc msen
2Cc m
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR (S)Dado el triángulo ABC:
a
b
Sc
A
B
C
S bc senA
2=
Análogamente: S = ac2
senB ; S = ab2
senC
Nota:
S = prS = R
abc4
S = p p a p b p c- - -^ ^ ^h h h
S = ra(p - a) = rb(p - b) = rc(p - c)
S = rr r ra b cS = 2R2senAsenBsenC
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARESEn término de sus diagonales y el ángulo compren-dido entra estas.
θS
BC
A D
Se cumple:
Sd d
sen21 2 q=
BANCO DE EJERCICIOS84
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COLECCIÓN EL POSTULANTE84
Donde:d1 y d2: diagonales del cuadrilátero ABCD q: medida del ángulo formado por las diagonales.S: área del cuadrilátero ABCD
EJERCICIOS RESUELTOS
1. En un triángulo ABC se conocen: B = 15°; A - B = 90° y el radio de la circunferencia circunscrita es igual a 3/5 m; calcular el lado opuesto al ángulo A.
Resolución:A - B = 90°, como B = 15° & A = 105°
De la ley de senos sabemos:
senAa = 2R; dato: R =
53
a = 253c msen105° =
6 256
4#+^ h
a = 10
3 6 2+^ h m
2. Hallar el valor de: a(b2 + c2)cosA + b(c2 + a2) cosB + c(a2 + b2) cosC en un triángulo cualquiera.
Resolución: Sea: F = a(b2+c2)cosA + b(c2+a2)cosB + c(a2+b2)cosC F = (ab2cosA + ba2cosB) + (ac2cosA + ca2cosC) + (bc2cosB + cb2cosC) F = ab(bcosA + acosB) + ac(ccosA + acosC) + bc(ccosB + bcosC) ...(1)
Por la ley de proyecciones:& F = abc + acb + bca F = 3abc
3. Los datos del triángulo ABC tienen longitudes BC = 5; AC = 3 y AB = 6. Hallar el coseno del ángulo del vértice A
Resolución:
α
5
6
3
A B
C cosa =
2 3 63 6 52 2 2
+ -
^ ^h h
cosa 2 3 6
2095
= =^ ^h h
4. Las longitudes de los lados de un triángulo son tres números enteros consecutivos y el ángulo mayor es el doble del menor a; hallar la relación del lado mayor al lado menor.
Resolución:
αn + 1
n - 1
180° - 3α
2αn
A B
C
senn
senn
21 1a a
+=
-
nn
sensen
11 2
aa
-
+=
cosnn
sensen
11 2
aa a
-
+= = 2cosa
5. Uno de los lados de un triángulo es el doble del otro y el ángulo comprendido mide 60°, hallar los otros dos ángulos.
Resolución:
°senx
asen x
a602
=+^ h
60°2a
a
x 60
senxsen x
aa2+
=^ h
60 2cos cossenx
sen xsenx
senx60+ =
23 cotx +
21 = 2 & cot x
23
23
=
cotx = 33 & cotx = 3 & x = 30°
Luego los otros dos ángulos miden 30° y 90°.
6. Los lados de un triángulo tienen longitudes x, ax, 2ax. Hallar el valor de a necesario para que el ángulo opuesto al lado de longitud x sea de 60°.
Resolución:Aplicamos ley de cosenos:x2 = (ax)2 + (2ax)2 - 2(ax)(2ax)cos60°
x2 = a2x2 + 4a2x2 - 4a2x221c m
ax
2ax
x
60°
1 = 3a2 & a2 = 31
& a = 33
7. Hallar el perímetro de un polígono regular de n lados, inscrito en una circunferencia de radio r.
Resolución: Si el radio de la circunferencia es r, entonces
su lado (L) es igual a:
85TRIGONOMETRÍA
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85TRIGONOMETRÍA
L = 2rsen2aa k
Donde: a = 360n n
2p=
α
L
rr
El perímetro (p) es igual a:
p = 2nrsen2aa k & p = 2nrsen n
pa k
8. En un triángulo rectángulo ABC (A = 90°), expresar sec2B + tan2B en términos de los catetos b y c del triángulo.
Resolución:
AB
C
a b
c
A = cos B
sen B2
1 2+
A = cos
cosB sen BsenB B1 2
2 2-
+
A =
ac
ab
ab
ac
c ba bc
1 22
2
2
2
2 2 2
2
-
+
=-
+c am k
A = c b c b
b c bcc b c b
c b22 2 2
- +
+ +=
- +
+
^ ^ ^ ^^
h h h hh
A = c bc b
-
+
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dado un triángulo ABC, simplificar:
E = acscA - bcscB
a) 0 b) 1 c) 1/2 d) -1 e) -1/2
2. Del gráfico, calcular x.
a) 2asenq
xa
θ2θ
b) 2acosq c) asenq d) acosq e) 4asenq
3. Del gráfico, calcular x.
a) 17
x
5
2
60°
b) 18 c) 19 d) 20 e) 21
4. Dado un triángulo ABC, se cumple:
a2 = b2 + c2 - 32 bc; calcular: cot
2Ac m
a) 2 b) 2 2 c) -2 2 d) 4 2 e) 5 2
5. Dado un triángulo ABC, si a - b = 5; c = 2;
calcular: E = sen B C sen A C
sen A B+ - +
+
^ ^^h h
h
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5
6. Calcular: cosq
a) 55 /8 θ
5
62 b) 2/9
c) 5/8 d) 3/8 e) 55 /3
7. Dado un triángulo ABC, donde se cumple:
cos cos cosAa
Bb
Cc
= =
¿qué tipo de triángulo es? a) Equilátero b) Rectángulo c) Obtusángulo d) Escaleno e) Rectángulo Isósceles
8. Dado un triángulo ABC, simplificar:
N = senB senCsenA senB
b cc a
+
++
+
-
a) 1 b) 1/2 c) 1/4 d) 2 e) 4
9. En la figura, calcular: sena
a) 5 /5
α
45°
b) 2 5 /5 c) 5 /10 d) 3 5 /10 e) 5 /15
BANCO DE EJERCICIOS86
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COLECCIÓN EL POSTULANTE86
10. En un triángulo un lado mide 20 m y los ángu-los adyacentes miden 37° y 16°. Calcular el perímetro.
a) 21 m b) 22 m c) 40 m d) 142 m e) 46 m 11. Dado un triángulo ABC, donde a = 7; b = 8; c = 9. Calcular la mediana relativa al lado AC.
a) 4 b) 7 c) 8 d) 2 e) 6
12. Dado un triángulo ABC, simplificar:
E = (a + b)2sen22Cc m + (a - b)2cos2
2Cc m
a) b2 b) c2 c) a2
d) ab e) ac
13. Se tiene un cuadrilátero inscriptible cuyos lados miden 1, 2, 3, y 4. Calcular el coseno formado por los lados menores.
a) -1/7 b) -2/7 c) -3/7 d) -4/7 e) 5/7
14. Dado un triángulo ABC, donde p: semiperíme-tro. Hallar: cos
2Bc m
a) ab
p p b-^ h b) ac
p p b-^ h
c) bc
p p b-^ h d)
abcp p b-^ h
e) b
p p b-^ h
15. Dado un triángulo ABC, simplificar:
F = (tanA +tanB)(bsenC - csenB)
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) 0
16. Dado un triángulo ABC cuyo perímetro es 24, además el radio de la circunferencia circuns-crita al triángulo es 5. Calcular:
E = senA+ senB + senC
a) 1,2 b) 2,4 c) 1,3 d) 2,6 e) 1,4
17. De la figura, calcular: cosq
a) 1/5
3
5θ
19 b) 1/4 c) 1/7 d) 1/3 e) 1/2
18. Dado un triángulo ABC, donde:a2 + b2 + c2 = 10
calcular: E = bccosA + accosB + abcosC
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
19. Dado un triángulo ABC, reducir:
P = a b
senA senBc
senC+
+-
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) 0
20. En un triángulo ABC, se cumple:(a + b + c) (a + b - c) = ab
hallar: cosC
a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4 d) -4/5 e) -1/3
1. a 5. d 9. b 13. e 17. e2. b 6. c 10. d 14. b 18. a3. c 7. a 11. b 15. e 19. e4. a 8. a 12. b 16. b 20. cC
laves