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Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
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10
10.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL 10.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA 10.3 PROPIEDADES DE LOS LOGARÍTMOS 10.4 ECUACIONES EXPONENCIALES 10.5 ECUACIONES LOGARÍTMICAS. 10.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Otras funciones de variable real importantes que merecen un capítulo aparte son las Exponenciales y las Logarítmicas. Así como también las propiedades de los logaritmos permitirán resolver otras situaciones, no sólo aquí sino también en otros cursos.
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83422110
1
2
3
21
418
1
−
−
−
yx
TABLA DE VALORES
xy 2=
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Defina y caracterice la función exponencial y la función logarítmica. Represente en el plano cartesiano el gráfico de funciones exponenciales y logarítmicas dadas sus reglas de
correspondencia. Aplique las propiedades de los exponentes y los logaritmos para simplificar expresiones y resolver ecuaciones
exponenciales y logarítmicas.. Use esquemas críticos para resolver problemas de aplicación de los logaritmos.
10.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL
Una función f , de variable real, se la
denomina FUNCIÓN EXPONENCIAL si y sólo si su regla de correspondencia es de la forma:
Ejemplo 1
Sea xxf 2)( = . Tracemos su gráfica, con la ayuda de una tabla de valores Conclusiones:
En la función exponencial xay = donde 1>a , se cumple que: Es una función CRECIENTE Su gráfica tiene como asíntota al eje “ x ” (¿QUÉ ES UNA ASÍNTOTA?) IRfDom =)( ( )∞= ,0)( fRg
BASE
EXPONENTE
xaxf =)( donde 10 ≠∧> aa
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Estas conclusiones pueden variar si la función exponencial ya no es de la forma básica.
Observe que: ∞=∞2 donde ≡∞ cantidad muy grande; y por lo tanto
0212 ≈=∞
∞−
Ejemplo 2
Tracemos ahora la gráfica de xx
y −=
= 2
21
. Con la ayuda de una tabla de valores
Conclusiones:
En la función exponencial xay = donde 10 << a , se cumple que: Es una función DECRECIENTE Su gráfica tiene como asíntota al eje “ x ” IRfDom =)( ( )∞= ,0)( fRg
Existe una base utilizada frecuentemente, esta es la base ea = . Algunas gráficas, empleando esta base son:
( )( )( )( )( )( )( ) 75.03
25.02
5.01
10
21
42
83
32
1
22
1
12
1
02
1
12
1
22
1
32
1
=
=
=
=
=−
=−
=−
−
−
−
yx
TABLA DE VALORES
xx
y −=
= 2
21
xey =
xey −=
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Considerando definiciones anteriores para estas gráficas, tenemos:
1−= xey
11 −= −xey
11 −= −xey
xey = xey −=
<≥== − 0;
0;xexeey x
xx
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Ejemplo
Graficar: 321)(
1
−
=
+x
xf
Considere la gráfica de ( ) xy 21=
Trasládela una unidad a la izquierda, luego tres unidades hacia abajo y de allí obtenga su valor absoluto. Es decir:
xey −=
1−−= xey
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Ejercicio Propuesto 10.1 Graficar:
1. 12 −−= xy
2. ( ) 11 −−=
xey
3. 12 −−= xy
4. xy −= 12
5. xy −= 12
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10.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA
A la función inversa de la función exponencial, definida biyectiva ( +RRa x : ), se la llama FUNCION LOGARITMICA.. Y su regla de correspondencia en su expresión básica es de la forma:
xxf alog)( = donde
10 ≠∧> aa
Con respecto a su gráfica tenemos:
Conclusiones:
La función logarítmica xxf alog)( = donde 1>a
Es una función CRECIENTE
( ) ( )∞= ,0log xDom a . Aquí surge una nueva restricción: 0>x (logarítmo de números negativos no se define) ( ) IRxrg a =log Su gráfica tiene como asíntota al eje “ y ”
En cambio,
10;log <<= axy a
10; <<= aay x
1; >= aay x
1);(log >= axy a
0)1(log =a
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Esta es una función DECRECIENTE.
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Si ea = tenemos la función LOGARITMO NATURAL
Si 10=a , tenemos:
Pero la gráfica para ea 1= sería:
xye
1log=
xxy loglog10 ==
xxy e lnlog ==
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Aplicando definiciones anteriores, por ejemplo desplazamiento horizontal, tenemos: Observemos una grafica interesante: Entonces la gráfica de xy ln= sería:
)1ln( += xy
)ln( xy −=
<−>
==0;)ln(
0;lnln
xxxx
xy
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Ejercicio Propuesto 10.2 Graficar:
1. ( )xy −= 2log
21
2. ( )xy −= 2log
3. ( )xy −= 2log2
1
4. 2log −= xy
5. 2log2
1 −= xy
Analicemos ahora el siguiente ejercicio: Ejercicio Resuelto
Sea)3log(
)(2
1
xxxf−
= . Hallar su máximo dominio posible.
SOLUCIÓN:
La regla de correspondencia)3log(
)(x
xxf−
= presenta las restricciones:
0)3(0)3log(0 >−∧≠−∧≥ xxx Entonces: Por lo tanto el máximo dominio posible es el intervalo [ ) ( )3,22,0 ∪
Ejercicios Propuestos 10.3 1. Graficar : a) ( ) 12-x 3log)( +=xf ; x>2
b) ( )12log2)( +−= xxf ; x>-1
c) ( ) 1x-2 ln)( +−=xf
2. El rango de la función: R x;24)( ∈−−= xxf es el intervalo:
a) ( )0 ,−∞ b) ( )+∞,4 c) ( )+∞,0 d) ( )4 ,−∞ e) ( )4 ,1−
3. Si f es una función tal que 312)( −+−= xxf , con x∈R, entonces el rango de f es: a) ( ]2,3 −− b) R+ c) ( )+∞− ,3 d) ( )3,−−∞ e) ( )0,3−
4. Dada la función de variable real ( ) xxf −= 10log , entonces el MAXIMO DOMINIO POSIBLE de la función es: a) ( )∞,10 b) ( )10,−∞ c) ( )∞− ,10 d) [ )∞,10 e) ( ]10,−∞
[ ) ///////////////////////////// ××××××××××××× 0 1 2 3
O
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5. Sea la función RRf →: con regla de correspondencia : ( )( )
( )
>+−≤<−−
−≤−
=01
01121log
xxxx
xxxf
entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) f es sobreyectiva. b) f es biyectiva. c) f es una función decreciente. d) ( ) 43 −=f . e) f es una función impar.
6. Sea ( )
<−≥−=1;11;12
xxxxxf y ( ) xxg 3= , IRx∈ entonces es FALSO que:
a) ( )( ) 11 =fg b) ( )( ) 81 =gf c) ( )( )( ) 81 =gfg d) ( )( )( ) 01 =fgf e) ( )( ) 00 =gf
10.3 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Existen expresiones algebraicas que contienen logaritmos. Para simplificarlas debemos considerar sus propiedades.
1. 01log =a
2. xa xa =log donde 0>x
Ejemplos:
( ) 132 213log 22 ++=++ xxxx para 0132 >++ xx
( ) 1212ln +=+ xe x para 012 >+x
3. xa xa =)(log
4. 1log =aa
5. ( ) [ ]MM aa loglog αα =
Ejemplo : Para calcular 8log2 ; a 8 lo expresamos en término de 2 , para
poder aplicar las propiedades. Es decir: 32log32log8log 23
22 ===
6. ( ) NMMN aaa logloglog +=
Ejemplo: 5log2log)52(log10log aaaa +=×=
7. NMNM
aaa logloglog −=
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8. Cambio de base aM
Mb
ba log
loglog =
No olvide de justificar todas estas propiedades.
Ejercicio resuelto 1
Despejar “ x ” si )(log21 xy −=
Solución: Poniendo cada miembro como exponente de la base 2
1 y aplicando propiedades,
tenemos
x
xy
y
xy
−=
=
−=
−
21
21
21
)(log
)(log21
21
Entonces: ( )yx 21−=
Ejercicio resuelto 2
Despejar “ x ” si xy 3= SOLUCIÓN: Aplicando logaritmo en base 3 a ambos miembros y luego aplicando propiedades,
tenemos ( )3loglog
3loglog
3
33
33
xyy
yx
x
==
=
Entonces yx 3log=
Ejercicio resuelto 3
Calcular:
−
+
12516log2
276log
2536log3
3
Solución: Descomponiendo los números en sus factores primos y aplicando propiedades tenemos:
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
2log5log62log83log62log35log63log62log6
5log62log83log62log35log6)32log(65log62log83log62log35log66log6
5log32log423log2log35log26log23
5log2log29log2log35log6log3
125log16log292log325log36log3
12516log2
276log
2536log3
2
3422
3
=+−−+−+=
+−−+−×=+−−+−=
−−−+−=
−−−+−=
−−
+−=
−
+
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Ejercicio resuelto 4
Si 2log =xa , entonces al SIMPLIFICAR la expresión:
( ) ( ) ayx
xyyx aa log
log31log2log
364
2
−
+ se obtiene:
a) -1 b) -2 c)-3 d) -4 e) -5 Solución: Aplicando propiedades, tenemos:
( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) [ ]
4)2(2
log2log3log3loglog6log3log2
log3log3loglog62
log6log4
loglog3loglog2log2
loglog
10loglog
10log
log
3log1log2log
loglog
log31log2log
21
2
364
32
64
10
10
364
−=−=−=
+−−−+=
+−−−+
=
−−
+−
+=
−−+=
−
+
xyxxyyx
yxxyyx
yxxya
yx
a
yx
xya
yxayx
xyyx
a
aaaaaa
aaaaaa
aaaaa
aa
a
aa
a
aaa
aaa
Por lo tanto la opción “d” es correcta. Ejercicio resuelto 5
Despejar ""t en la ecuación
−= wzt
ezxy
2
1
SOLUCIÓN: Una opción sería despejar la exponencial e , para de ahí aplicar logaritmo
−=
−=
−=
−=−
−=
xzyxe
wzt
xzyxe
xzye
exyz
e
zxy
wzt
wzt
wzt
wzt
lnln
lnln
1
1
1
2
2
2
2
2
entonces:
( )[ ]( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]xzyxzwt
xzyxzwt
wz
xzyxt
xzyxw
zt
lnln
lnln
lnln
lnln
2
2
2
−−=
−−=
−−=
−−=
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Ejercicios Propuestos 10.4
1. Al simplificar la expresión algebraica: 0a ; 1 4 33 2 ≠=− yx aa se obtiene la ecuación de una recta de la cual podemos afirmar que:
a) su pendiente es 4 d) el punto (2,1) pertenece a la recta b) su pendiente es 4/9 e) su pendiente es -4/9 c) la intersección con el eje de las “Y” es 8
2. El resultado de la operación:
+
+
8081log3
2425log5
1516log7 es:
a) log 3 b) log 5 c) 1 d) log 2 e) 0
3. Si 48log3alogy 4log ayxa +== , entonces el valor de: ( )( )
42 3
5 4log
yx
yxa es:
a) 6 + 2 loga 48 b) 2 loga 48 c) 6 − loga 48 d) 0 e) 6 4. Si ,2/37blog ; 4/2log aab == siendo b ∈ R−{1}, a∈R+, entonces
el valor de ,2128log
− abb es: a) a b) 2 a c) 4 a d) 1 e) 1−2 a
5. Si ln 2= 0,693 y ln 3 = 1,099 calcule:
a) ln (1,5) b) ln (48) c) log 9 (24)
6. Para la expresión: ( ) ,12loglog22log +−− yxyx con x,y∈R−{0} una expresión equivalente
es: a) )4/log( yx b) 4log1 y− c) 10 d)
−410log y e) 14log −
y
7. Hallar el 65log si α=3100log y β=2100log
8. Al despejar el valor de "k" en la expresión: kc
ba3
210 = se obtiene:
a)
=ba
ck 2
310 c) 3loglog2a log cbk −−=
b) c 3log b log+alog2 −=k d) c 3log b 2log+alog2 −=k e) c 3log+ b 2logalog −=k
9. Al despejar "n" de la ecuación: nk
kRCM
+=100
1 se obtiene si R>0, k>0, C>0, M>0
a) ( ) ]log100[logloglog
kRkkCMn−+
−= d)
]R logk [logloglog
+−
=k
CMn
b) ( ) ]loglog100 [logloglog
kRkkCMn−+
−= e) ( ) ]2log100[log
loglog+−+
−=
kRkkCMn
c) ( ) ]2log100[logloglog
−−+−
=kRkk
CMn
10. Sea x, y ∈ R. Al despejar y en la siguiente ecuación: ye
xe
xe=
+− )12(
2
se obtiene:
a) y = x + 1 b) y = (x + 2)2 c) y = (x + 1)2 d) y = x2 + 3x +2 e) Elija esta opción si ninguna corresponde a y.
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Ahora analicemos lo siguiente: Ejercicio Resuelto
Sea
≥<<−+
−≤−
=0;3
01;1
1;)(log
)(21
xxx
xx
xfx
. Hallar la regla de correspondencia de su inversa
y graficar. SOLUCIÓN: A cada regla de correspondencia de f , le encontramos su inversa, estableciendo sus respectivos intervalos de existencia:
1: Para 1);(log21 −≤−= xxy Tenemos:
0;211
1);(log21
≥
−=−
−≤−=
xx
f
yyx
2: Para 01;1 <<−+= xxy Tenemos: 10;11
01;1
<<−=−<<−+=
xxf
yyx
3: Para 0;3 ≥= xxy Tenemos:1;3log1
0;3
≥=−≥=
xxf
yyx
Por lo tanto: Graficando en un mismo plano tanto a f como a su inversa 1−f
≥<<−
≤
−
=−
1;3log10;1
0;21
)(1
xxxx
xx
xf
xy 3log=
1−= xy x
y
−=
21
)(log21 xy −=
1+= xy
xy 3=
)0,1(
)0,1(− )1,0(
)1,0( −
)(xfy =
)(1 xfy −=
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Ejercicios propuestos 10.5 1. Sea la función de variable real f definida por la regla de correspondencia:
0 x; 1+x0> x; 3)(
≤=
xxf
Entonces, la función inversa de f tiene como regla de correspondencia a:
a)
≤=−
0x ; 1+x-0>x ; x
xf 31 log)( d)
≤=−
1x ; 1-x1>x ; x
xf 31 log)(
b)
≤=−
0x ; 1-x0>x ; x
xf 31 log)( e)
≤=−
1x ; 1-x-1>x ; x
xf 31 log)(
c)
≤=−
1x ; 1+x-1>x ; x
xf 31 log)(
2. Sea f una función de variable real, con regla de correspondencia: ( ) ( )xexxf 2logln2log3 −= ,
entonces la regla de correspondencia de su FUNCIÓN INVERSA es:
a) 22)(1x
xf =− b) 2log)(1 xexf =− c) xxf log)(1 =−
d) 2)(1x
exf =− e) La función f no tiene inversa
3. Sea f: R → R+ una función exponencial y ( ) ,381 =−f entonces la regla de correspondencia de f es:
a) xxf 8)( = b) xxf 3)( = c) xxf 5)( = d) xxf 2)( = e) xexf =)(
4. Dada la función xxf −= 32)( donde x∈R. Entonces la regla de correspondencia de )(1 xf − es:
a) )(1 xf − =2 ln (3-x) b) )(1 xf − = log2 (x) − 3 c) )(1 xf − =− log2 (x) + 3 d) )(1 xf − =log2 (x) + 3
e) )(1 xf − =3 log2 (x) 5. Dada la función ( ) ( )+∞→+∞ ,0,0:)(xf tal que ( ) xxxf log2log)( −+= , entonces la regla de
correspondencia de la función inversa de f es:
a) )(1 xf − =2(10x−1) b) )(1 xf − = ( )1101−x c) )(1 xf − = ( )110
2−−x
d) )(1 xf − = x102 e) )(1 xf − = ( )110
2−x
6. Si se define Rx, 2> x; 12-x2
2 x; 242)( ∈
+
≤−+−=
xxxf ; entonces, la regla de correspondencia de )(1 xf − es:
a) ( )
≤
−+=−
2
1log2)( 21
x ; x-2-2
2>x ; xxf c) ( )
≤
−+=−
2x ; x+2-2
2>x ; xxf
1log2)( 21
b) ( )
≤
++=−
2x ; x-2+2
2>x ; xxf
1log2)( 21 d) ( )
≤
+−=−
2x ; x-2-2
2>x ; xxf
1log2)( 21
e) ( )
≤
++=−
2x ; 2-x+2
2>x ; xxf
1log2)( 21
7. Sea f una función de variable, tal que:( )
−≥−=
11
log)(
x ; 2
-1<x ; xxf
1+x-. De ser posible, encontrar la regla de
correspondencia de su función inversa
8. Sea f una función de variable real tal que 212
21)(
xxf
−−= ; Rx∈ ,entonces la regla de correspondencia
de su función inversa es: a)
21;22
12log2)(1 >−
−=− xxxf b)
21;2
12log22)(1 >
−−=− xxxf
c)21;2
12log22)(1 <
−−=− xxxf d)
21;2
12log21)(1 <
−−=− xxxf
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e)21;2
12log22)(1 <
−−=− xxxf
9. Sea f una función de variable real , tal que ( ) ( ),1log xbxf +−= , entonces la regla de correspondencia
de su inversa ( )xf 1− es:
a) ( )xf 1− =xb
xb 1+ b) ( )xf 1− =2
1+
−+xb
xb c) ( )xf 1− =xb
xb−1
d) ( )xf 1− =xb
xb−+1 e) ( )xf 1− =
xb
xb+−
1
10. Sea f una función de variable real, cuya función inversa tiene regla de correspondencia
( )( )
≤−−
>−
=−
2;12
21
2;1log1 2
1
xx
xx
xf entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de f es:
a) ( ) ( )
≥++<+
= 0;1log20;12
21 xx
xxxf b) ( )
( )
≥−+
<+
=
0;21log
0;121
21 xx
xx
xf
c) ( )( )
≥+−
<+
=
0;1log2
0;121
21 xx
xx
xf d) ( ) ( )
≥++<−
= 0;1log20;12
21 xx
xxxf
e) ( )( )
≥++
<+
=
0;1log2
0;121
21 xx
xx
xf
10.4 ECUACIONES EXPONENCIALES
Las ecuaciones que trataremos a continuación, presentan en su
expresión funciones exponenciales.
Encontrar el conjunto solución, quizás signifique la determinación de los ceros de una función, por ejemplo:
Ejercicio resuelto 1
Los valores para los cuales: R x; 222)( ∈−= xxxxf , se intercepta con el eje X son: a) 2 y -2 b) 3 y -3 c) 0 d) 1 y -1 e) 4 y -4 SOLUCIÓN:
Igualando a cero, tenemos:
110)1)(1(2
0)1(2
)1(20
220
2
2
2
−===−+
=−
−=
−=
xxxx
x
x
x
x
x
x
xx
Por tanto la opción “d” es correcta.
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Otras situaciones, serían:
Ejercicio resuelto 2
Si x∈R, entonces el conjunto solución de la ecuación ( ) 4 24 1/2-x2x= es: a) {1/2} b) {0} c) {1} d) {-1} e) {-3, 1} Solución: Poniendo 4 en término de 2, tenemos:
( )
130)1)(3(
032
212
22
222
222
2
2
122
122
22
2
2
212
=−==−+
=−+
=−+
=
=
=
−+
−
−
xxxx
xx
xx
xx
xx
xx
Por tanto la opción “e” es correcta. Ejercicio resuelto 3
Sea x∈R. El conjunto solución de: 315)25(2 =+− xx es: a) {0, 1} b) {log5 (1/2)} c) {log5 3} d) {log3 5} e) {log5 2} Solución:
Primero pongamos a 25 en términos de 5: 0355
252
0315252
=−−
=−+−
xx
xx
Luego hagamos el siguiente cambio de variable: ux =5 y resolvemos para “ u ”:
( ) ( )
( )0
2
1262
06252
0352
1
31
2
2
=/
+
/−/
=−−
=−−
uu
uu
uu
Entonces: ( )( )
213
0123
−=∨=
=+−
uu
uu
Ahora regresamos a “ x ” , para lo cual 21535 −=∨= xx
Aplicando logaritmo tenemos: 3log
3log5log3log5log
5
55
55
===
xx
x
, en cambio
Por tanto la opción “c” es correcta.
−=21log5log 55
x NO es POSIBLE
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286
Ejercicios Propuestos 10.6 1. Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones si el Re=R
a) ( ) 39 5,442=−+ xx
b) 8)4(616 −=− xx
c) ( ) ( ) xx −−=
22162
d) 1=− −xx ee
e) 232 54 ++ = xx f) 7503333 4321 =+−+ −−−+ xxxx
g) ( ) xxx −= 142
h) xxx
eee 12 =− −
2. La suma de las soluciones de la ecuación: R x, 24 1)1( 2∈= −−x ; es :
a) 1/2 b) 1 c) 0 d) -1/2 e) 1/9 3. La SUMA de los valores de IRx∈ , que satisfacen la ecuación: ( ) 0222 01 =+− −xx es: a) -1 b) 1 c) -2 d) 0 e) 2
4. La suma de las soluciones de la ecuación: 0652 =+− xx ee , siendo x∈R, es igual a: a) ln 6 b) ln 20 c) ln 16 d) ln 14 e) ln 8
5. Sea Re=R, entonces la suma de las soluciones de la ecuación: 012 =−− −xx ee es igual a: a) ln 1 b) ln 2 c) 1 d) ln 2 e) ln 2 − ln 2 6. La SUMA de las soluciones de la ecuación 032310143 =+
−+ xx , es:
a) 2
1 b) 0 c)2
1− d) 1 e) 2
7. La SUMA de las soluciones de la siguiente ecuación 4116
4521
=+
+
x
x x es:
a)1 b)0 c)2 d)–1 e)–2
10.5 ECUACIONES LOGARÍTMICAS Analicemos los siguientes ejercicios.
Ejercicio resuelto 1 Al resolver la ecuación: 3)3log()15log( =−−− xx , se obtiene: a)1 b) 2999/995 c) 299/95 d) 2/95 e) 95/299 SOLUCIÓN: Como todos los logaritmos están en base 10, aplicando propiedades tenemos:
9952999
3
3315log
29999953000100015
10315
1010
3315log
=
=−=−
=−−
=
=−−
−−
x
xxx
xx
xx
xx
Opción “b”.
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
287
Ejercicio resuelto 2
El conjunto solución de la ecuación:
=+
xx 2log2log3log 222 es:
a) {2, -2} b) {2} c) {1/2, -1/2} d) {-2, ½} e) {1/2} SOLUCIÓN:
Aplicando propiedades, tenemos:
( )
41
28
22
2log8log
2log8loglog
2
2log)8(log
22
222
22
=
=
/=/
=
=+
/
/
x
xx
xx
xx
xx
La opción correcta es la “e”
Las ecuaciones con logaritmos, al igual que las ecuaciones con radicales, introducen soluciones extrañas. Por tanto asegúrese que los valores de “ x ” satisfagan el predicado dado.
Ejercicio resuelto 3 Dada la ecuación: ( ) 132log =−xx el valor de “ x “ es: a) log 3 b) log (2/3) c) 2 d) 3 e) No hay valor posible de x SOLUCIÓN:
Poniendo cada miembro como exponente de la base “ x ”, tenemos:
( )
332
132log
==−
=/−/
xxx
xx xx
Opción “d”. Ejercicio resuelto 4
La solución de la ecuación: ( ) 9loglog 10 −= xxx es un valor que se encuentra entre: a)1 y 4 b) 5 y 7 c) 8 y 11 d) 12 y 14 e) 15 y 18 SOLUCIÓN:
Aplicando propiedades tenemos:
( )
1091
910log9log10log
=−=
−=−=
xx
xxxx
Por tanto la opción “c” es correcta.
21
21
412
=
±=
=
x
x
x
21
−=x NO satisface la ecuación original
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
288
Ejercicio resuelto 5
La solución de la ecuación: ( ) 045log425log =+− xx es:
a) x no existe b) x=10 c) x=1/25 d) x=25 e) x=0 Solución:
Haciendo cambio de variable xu 5log= , tenemos: 2
0)2(
0442
2
==−
=+−
uu
uu
Pero, como 25log == xu entonces:25
25
25log5 5
==
=/ /
xx
x
Por tanto la opción “d” es correcta.
Ejercicio resuelto 6
Sea Re= R, la suma de las soluciones de la ecuación: 22 )(log)log( xx = es igual a: a) 2 b) 1 c) 100 d) 101 e) −1 SOLUCIÓN: Aplicando propiedades, tenemos: ( )2loglog2 xx = . Haciendo cambio de variable: xy log=
Tenemos:
200)2(
02
22
2
===−=−
=
yyyy
yy
yy
entonces 1
1010
0log0log
==
=
x
xx y
1001010
2log2log
==
=
x
xx
Los 2 valores son soluciones por tanto su suma es 101. Opción “d” Ejercicio resuelto 7
La suma de los valores de "x" , tal que: 019log21log25 45 =+−+x es: a) -2 b) 3 c) -4 d) 5 e) -6 SOLUCIÓN: Expresando 25 y 2 en términos de las bases de los logaritmos, tenemos:
( )
( )122
01321
019log421
019log41log5
019log
41log25
21
4
4212
5
45
++
=+−+
=+/−+
=+−+/
=+−+
/
/
xx
x
x
x
x
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
289
Las soluciones de la última ecuación son:
212
211
212,1
2222
2,1
2)1)(4(42
2,1
0122
−−=
+−=
±−=
±−=
−−±−=
=−+
x
x
x
x
x
xx
que al sumarlas se obtiene:
2212121 −=−−+−=+ xx . Por tanto la opción “a” es correcta. Ejercicio resuelto 8
Sea ( ) ( ) 02log2log2log:162
=+
xxxxp , IRx∈ , entonces es VERDAD que:
a) ( ) φ=xAp b) ( ) [ ]10,0⊆xAp c) ( ) ( )∞⊆ ,10xAp d) ( ) ( )xAp⊆10,9 e) ( ) [ ]CxAp 10,0⊆ SOLUCIÓN: Expresando todos los logaritmos presentes, en base “ x ”, tenemos:
( ) 0
16log
2log
2log
2log2log =
+
xxx
x
x
xx
Resolviendo, tenemos:
( )
( )
21
210
0)21)(21(0)41(
04
04
0)41)(1(
)1()41(
0411
:2log
02log41
2log2log1
2log
02loglog
2log
2loglog
2log
2
3
232
2
2
2
411
2
=∨−=∨=
=−+=−
=−
=/−+−/
=−−
−+−
=−
+−
=
=−
+−
=−
+−
vvv
vvvvv
vv
vvvv
vvvvvv
vv
vv
entoncesvSi
xx
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
Las soluciones son 4 y 4
1 , por tanto la opción “b” es correcta.
NOxx x
x
⇒≠=
=
12
02log02log
42
212log
212log
==
=
=
xx
xx x
x
41
12
212log
212log
=
=
=
−=
−
x
x
xx x
x
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
290
Ejercicio resuelto 9
Dado el predicado 1225
34
43:)(
loglog=
+
xxxp y Re=R, entonces es verdad que:
a) Ap(x)= φ b) Ap(x) ⊆ [1, 10] c) Ap(x) ⊆ [-10,10-1] d) ∀xp(x) e) Ap(x) ⊆ [10-1,10] SOLUCIÖN:
Expresando en una misma base, tenemos:1225
43
43
1loglog=
+
−xx luego hacemos cambio
de variable: x
ylog
43
= y reemplazando nos queda:
( )( )
43
34
03443
034
9121612
0144)12(25)12(
0122512
251212
12251
1225
11
3443
2
2
2
1
==
=−−
=/×/
/−
−
=+−
=+−
=+
=+
=+ −
yy
yy
yy
yy
yy
yy
yy
yy
Entonces:
101
1010
43
43
34
43
1log
1log
log
=
=
=
=
−
−
x
x
x
x
y
101010
43
43
43
43
1log
log
log
==
=
=
x
x
x
x
Opción “e”. Ejercicios Propuestos 10.6
1. En la ecuación: 34 2loglog 44 =+x el valor de “ x ” que la satisface es: a) 64 b) log (2/3) c) 2 d) 3/2 e) No hay valor posible de x 2. El número de elementos del conjunto solución de la ecuación:
( ) ( ) xxxxx log62log/1log632log ++=−
−+ es:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 3. Sea Re= R y sea el predicado ( ) ( ) ( ) 02log2log12log:)( =+−−−− xxxxp Entonces el conjunto solución de p(x) es: a){−1, 3} b) {−1} c) {3} d) {1} e) {−3}
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
291
4. El conjunto solución de la ecuación ( )[ ] 01log11log 521
=−++ xxe x es:
a) R+ b) R− {0} c) (−∞,0] d) { 0 } e) φ 5. El conjunto solución de: log (2x−1) − log (x) = 2; x∈ R es: a) R b) R+ c) { −1/98} d) φ e) {1/98} 6. La solución de la ecuaciòn: 3)72(3log)2(3log =+++ xx es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7. La suma de las soluciones de la ecuación: 06log105log3log25 35 =+− xx es:
a) 2 b) 33 c) 5 d) 6 e) 10
8. La SUMA de las soluciones de la ecuación: ( ) ( ) ( ) 130log2log2log −=++− xxx es: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
9. Hallar el conjunto solución de la siguiente ecuación: 2222
1log222log +
−=
+ xx
10. La SUMA de las soluciones de la ecuación: 3log210 xxx = es: a)10 b)110 c) 10010 + d) 10100 + e) 1010 +
10.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN.
Analicemos los siguientes problemas.
Problema resuelto 1 Una compañía está ampliando sus instalaciones, y tiene opción para escoger entre dos modelos, cuyas funciones de costo son, respectivamente: ( )5,402log3)(1 ++= xxC y ( )560log2)(2 ++= xxC donde x es la tasa de producción. Entonces, la tasa x para la cual los dos modelos tienen el mismo costo es: a)15 b) 10 c) 20 d) -15 e) -20 SOLUCIÓN: Igualando costos, determinamos el valor de “ x ” buscado:
( )
1040040
54052060)5.402(10560
105.402
560
15.402
560log
23)5.402log()560log()560log(25.402log3
)()( 21
==
−=−+=+
=++
=++
−=+−+++=++
=
xxxx
xxx
xx
xxx
xxxCxC
Opción “b”
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
292
Los siguientes problemas son modelos de crecimiento y de
decrecimiento exponencial. Problema resuelto 2 (calculadora) La población del planeta en 1976 era de 4 mil millones y estaba creciendo a un 2% anual. Si esta tasa de crecimiento sigue vigente, ¿ cuándo alcanzará la población los 10 mil millones. SOLUCIÓN: En la siguiente tabla anotemos la población que tendrá el planeta, año a año, a partir de 1976.
Año POBLACIÓN ( P ) 1976 0 40 =P mil millones
1977 1 )02.01(02.0 000 +=+ PPP 1978 2 [ ] 2
0000 )02.01()02.01)(02.01()02.01(02.0)02.01( +=++=+++ PPPP 1979 3 ( )30 02.01+P
... ... ... t tPtP )02.01()( 0 +=
Entonces la función ttP )02.1(4)( = nos permite calcular la población del planeta, en miles de millones de habitantes, en cualquier año a partir de 1976. Para hallar “ t ” cuando la población sea de 10 mil millones de habitantes, hacemos lo
siguiente:
añost
t
t
t
t
t
3.46)02.1log()5.2log(
)02.1log()5.2log()02.1log()5.2log(
)02.1(5.2
)02.1(410
=
=
==
=
=
Un modelo de CRECIMIENTO EXPONENCIAL está dado por la siguiente
función: trYty )1()( 0 += donde ≡0Y valor inicial y ≡r tasa de crecimiento.
0y ( )tryty += 1)( 0
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
293
Si tuviésemos un modelo de DECRECIMIENTO EXPONENCIAL, su
ecuación sería trYty )1()( 0 −= (¿POR QUÉ?) (¿CUÁL SERÍA SU GRÁFICA?)
Problema resuelto 3 (calculadora) Dos periódicos que compiten tienen circulaciones de 1 millón y 2 millones, respectivamente. Si el primero aumenta su circulación en un 2% al mes, mientras que la circulación del segundo decrece en un 1% al mes, calcule cuánto deberá transcurrir antes de que las circulaciones sean iguales. SOLUCIÓN: Llamemos )(ty a la circulación mensual, en millones de ejemplares, de los periódicos. La información del primer periódico es: 10 =Y y su tasa de crecimiento es 02.0=r . Entonces su
función circulación, es: ttty )02.1(1)02.01(1)( =+= La información del segundo periódico es: 20 =Y y su tasa de decrecimiento es 01.0=r . Entonces
su función circulación, es: ttty )99.0(2)01.01(2)( =−= . Igualando las circulaciones, tenemos: ( ) ( )( )( )
2.23
99.002.1log
2log
2log99.002.1log
299.002.1
299.002.1
99.0202.1
=
=
=
=
=
=
t
t
t
t
t
tt
RESPUESTA: Al cabo de 23,2 meses Problemas Propuestos 10.7 1. (Calculadora) El volumen de ventas de una marca de detergente disminuye después de una campaña
publicitaria de acuerdo a la fórmula ( ) ( ) t3,1750 −=tV , donde t es el tiempo en meses. La siguiente campaña está planeada para cuando el volumen de ventas haya caído a dos tercios de su valor inicial. ¿Cuánto tiempo debe pasar entre dos campañas sucesivas?
2. Un científico ha determinado que el crecimiento de cierta bacteria está dado por la función ( ) 3. −= teAxf , donde A es el número inicial de bacterias que hay al tiempo t = 3. Entonces esta cantidad inicial de bacterias se duplicará para:
a) 6=t b)32ln
=t c) 32ln −=t d) 2=t e) 32ln +=t
( ) ( )tt yy 02.102.01 =→+=
( ) ( )tt yy 99.0201.012 =→−= t
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
294
Misceláneos
1. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la ecuación ( )
112
2313log3
−=−−
−+−
xx
xx , es:
a) { }0 b) {}1 c)
23 d)
32 e) Φ
2. Sea f una función de variable real, tal que 12)( −= − xxf , entonces es VERDAD que: a) rg ( )∞−∞= ,f b) rg ( )∞= ,0f c) rg ( ]0,1−=f d) rg ( )1,0=f e) rg ( )0,1−=f
3. Sea f una función de variable real, tal que
−≤−−−−≤<−
>=
−
4;4444;
4;2)(
2
xxxx
xxf
x
, entonces la regla de
correspondencia de )(xfy = es:
a)
−≤+−−
<<−−≤≤>
=
−
4;44
04;40;4;2
)(
2
xx
xxxxx
xf
x
b)
−≤++
<<−−≤≤>
=
−
4;44
04;40;4;2
)(
2
xx
xxxxx
xf
x
c)
−≤−−−−≤<−
>=
−
4;4444;
4;2)(
2
xxxx
xxf
x
d)
−≤+−−
≤<−−>−
=
−
4;44
44;4;2
)(
2
xx
xxx
xf
x
e)
−≤−−−−
<<−≤≤−>−
=
−
4;44
04;40;4;2
)(
2
xx
xxxxx
xf
x
4. La regla de correspondencia de la función f
es:
a) xxf 2log)( = b) xxf 2log)( = c) xxf21log)( −= d) xxf
21log)( = e) xxf 2log)( =
5. Sea f una función de variable real tal que 12)( 3 −= −xxf , entonces es VERDAD que:
a) [ )∞= ,1frg b) ( )∞−= ,1fDom c) ( ) )3(31 ff =− d) ( ) )0(631 ff +=− e) 5)3(1 =−f
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
295
6. La regla de correspondencia de la función f
es:
a) )3(log)(21 −= xxf b) )3(log)(
21 += xxf c) )3(log)( 2 += xxf
d) )3(log)(21 += xxf e) 3log)(
21 += xxf
7. Una de las siguientes reglas de correspondencia corresponde al gráfico adjunto, identifíquela:
a) ( ) 1log2 += xxf
b) 12)( 1 += −xxf
c) ( )1log)( 2 −= xxf
d) 12)( −= −xxf
e) ( ) 12 += −xxf
8. Sea el predicado 13
116
42:)( −
+
+=x
xxp , entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN )(xAp es:
a) {}1 b) { }1− c) { }5− d) { }2− e) { }2
9. Si 252log =a y 3
13log =a ; 10 ≠∧> aa . Entonces el VALOR de ( )108log 2a es:
a) 85 b) 6 c)3 d) 4
3 e) 23
10. La SUMA de las soluciones de la ecuación: ( ) xx =2log2 1; >x Es: a) 4 b) 6 c) 2
5 d) 43 e) 3
11. La SUMA de las soluciones de la ecuación ( ) 2
32
3 loglog xx = , es: a)2 b)10 c)8 d)5 e)9
12. El VALOR de “ x ” que satisface la ecuación: ( ) 12logln −=x , es: a)2 b)e c)2e d)22 e)2-e
13. Sean f y g funciones de variable real tal que, 3)( 2 += xexf y xxg 3ln)( = . Entonces la REGLA DE
CORRESPONDENCIA de )( gf es:
a) 3))(( 2 += xxgf ; 0>x b) 3))(( += xxgf ; 0>x
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
296
c) 39))(( 2 += xxgf ; 0>x d) xxgf 8))(( = ; 0>x e) 33ln))(( += xxgf ; 0>x
14. Sí m=3log4 y n=7log2 ; entonces 21log2 es igual a:
a) ( )12 +nm b) 12 +mn c)2n ( )1+m d) nm +2 e) m+2
15. Sea las funciones de variable real xxf 2)( = y ( ) 2log 22 += xxg y, entonces la regla de
correspondencia de ( ) )(xgf es:
a) ( ) 222)( += xxgf b) ( ) 22log)( 2
2 += xxgf
c) ( ) 2)( 2 += xxgf d) ( ) 12log)( 22 −+= xxgf
e) No es posible encontrar ( ) )(xgf
16. El MAYOR POSIBLE DOMINIO de la función de variable real ( )2
32log)(2
+
−−=
xxxxf
es el intervalo: a) [ )∞,3 b) ( ) ( )∞∪−− ,31,2 c) ( ) [ ]3,12, ∪∞− d) [ )∞− ,1 e) ( ) ( )3,01,2 ∪−−
17. Sea el predicado 0639:)( =−− xxxp . Entonces su conjunto solución )(xAp es:
a) {}1 b) { }2,3 − c) { }2,1 − d) { }2+ e) { }1,1−
18. Una expresión equivalente para )1log(213loglog2 +−+ xxx es:
a)1log
)3log( 2
+xx x
b)1log
3log 2
+xxx
c)1
3log2
+xxx
d)1
)3(log2
+xx x
e)1log
log3log 2
+xxx
19. Sea f una función de variable real, con regla de correspondencia 22)( 1 += −xxf ; entonces la regla de
correspondencia de la función inversa 1−f es:
a) 1;2)1(log)( 21 >−−=− xxxf
b) 1;2)1(log)( 21 −>−+=− xxxf
c) 1;)1(log)( 22
1 >−=− xxxf
d) 2;1)2(log)( 21 >+−=− xxxf
e) 2;1)2(log)( 21 >−−=− xxxf
20. Sean f y g funciones tales que : 221)( −
=
xxf y 2)( += xxg , entonces es FALSO que:
a)43)1()2( −=−+ gf b)
23)1)(( −=−gf c) 0)2)(( =−⋅ gf
d) 1)2( =−
gf e) 3)0)(( =fg
21. Dada la función de variable real ( ) xxf −= 10log , entonces el MAXIMO DOMINIO POSIBLE de la función es: a) ( )∞,10 b) ( )10,∞− c) ( )∞− ,10 d) [ )∞,10 e) ( ]10,∞−
22. Sea la función RRf →: con regla de correspondencia : ( )( )
( )
>+−≤<−−−≤−
=01
0111log
2
xxxx
xxxf
entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) ( )xf es sobreyectiva. b) ( )xf es biyectiva. c) ( )xf es una función decreciente. d) ( ) 43 −=f . e) ( )xf es una función impar.
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
297
23. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia ( ) xxf −= 2log21 , entonces su
GRÁFICO es:
a) b) c) d) e) 24. Sea f una función de variable real, cuya función inversa tiene regla de correspondencia
( )( )
≤−
>−
= −−
2;121
2;1log21 2
1
x
xx
xf x , entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de f es:
a) ( ) ( )
≥++<+
=0;1log20;12
21 xx
xxf
x b) ( )
( )
≥−+
<+
=
0;21log
0;121
21 xx
xxf
x
c) ( )( )
≥+−
<+
=
0;1log2
0;121
21 xx
xxf
x
d) ( ) ( )
≥++<−
=0;1log20;12
21 xx
xxf
x
e) ( )( )
≥++
<+
=
0;1log2
0;121
21 xx
xxf
x
25. La SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación 43log192loglog2 +=x es:
a)–12 b)12 c)0 d)24 e)144
Moisés Villena Muñoz Función Exponencial y Función Logarítmica
298
26. Si xma =log y yna =log . Entonces la expresión: ( )32log mnm es EQUIVALENTE a:
a)x
yx3− b)
3
22 yx c)2
32 yx − d)x
yx2
3+ e)y
yx 32 −
27. Sea f una función de variable real, tal que 12)( 3 −= −xxf , entonces es VERDAD que:
a) ( )∞−= ,1fDom b)f es decreciente. c)f no es inyectiva. d) f es par. e) ( )∞−= ,1frg
28. Una población de bacterias crece según la fórmula 180 )8(t
PP = , donde 0P es la población inicial y t el tiempo en días. Entonces es VERDAD que, la población se duplicó al:
a) Cuarto día. b) Tercer día. c) Segundo día c) Quinto día e) Sexto día.
29. El volumen de ventas de cierto producto está creciendo exponencialmente a una tasa del 12 % anual. Si el actual volumen es de 500 unidades diarias, entonces el tiempo que se demora en alcanzar 100 unidades es:
a) 51ln
325
=t años b) 51ln
31
=t años c) 2ln32
=t años
d) 2ln43
=t años e) 2=t años
30. La SUMA de las solucio nes de la ecuación ( ) 1log3log =++ xx es: a) 5− b) 3− c) 0 d) 2 e) 3