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- 526-
ENTROPIA y LA SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICAo
CAPITULO: 25 0
PROBLEMA ••
1. - Una máquina t~rmica de gas ideal
Carnot entre 221 y 127·C absorve
trabaja con un ciclo de , 6.0 x 10 cal a la tempe r~
t u¡:a mayor. ¿Cuánto trabajo por ciclo puede efectuar esta má -quina?
~: T • 1
227 + 273 • 500 °K T2
127 + 273 '00 °K Q • 1
soluciOn :
La etic i encla viene dada por:
e • TI - T2 - T 1
Sabemos t ambi6n que
ES decirl
s OO - 400 SO O
1 • "5
e - W/ Ol - l/S
,
6 x 10' cal.
w • 1 • ( 6 x 10 ) c al x 4 .18 j ou l es / ca l
5
'" 5 . 02 x 104
jou l es
Rpta: I w • 5. 02 x 104
j o ules I 2 . - (a' Una máqui na de Carno t trab~j a e n t re un depÓsit o
to a J2 0 ~ K y un dep Ós ito fr 10 a 260 o K. Si abs orbe
l e, d e c a l or en e l d e pós ito ca l iente, ¿ q u é ::: olnti d a d . de
c a l ien-
SOO jo~
t rab a jo
rinde? (b) SI la misma máqu ina, trabaj a ndo a la inversa, f unci 2
na como refr i gerado r entre los mi s mos dos dep Ósi t o s, ¿qué can t!.
dad de t r aba10 debe a p li<.árse le par a extraer 1000 joules d e ca
lor del d epÓs ito f r101
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- 527-
SoluciOn ;
al ° . • '00 joules J - joule
" . EficienCl~ T@;rmica, • • , , w
(1) • )20-K ", - 0"
• 1 T.
(21 ", T,
T.
_ w
0. -1 - T,
260'~ ° (l -T. 260·K _ -T.
I • 500J (1 - 320·K ) , 1_ . I •
91 , 7SJ' , bl
_ • ,
° . • 10001
Coe ficiente de perfomancc de refrigeraciOn
COPR
• ~IL _ ---'L 120-K
_ 0" - 08
COP R -1 1
0, ~-0. - 1
T. 1
Se ,.be 0, T. que: -- '. 260*K 0.
• 0. 1 O ( T" _ 11 1000J( ]20 oK
11 W - - _ - - 260 ' K -T. • T. T. - 1
1_ 230,77J'l
1,- En una m~quina t~rmica de dos e t apas se abso rbe una c anti -
dad de calor 01 a Ul h) . '..cmpecatur-s T 1 hacilindose un tr a ba j o
Wl
, y se emi te un a cantidad de calor 02 a una tempe r atur a i nf e
rior T2 en la primer~ e tap a . La s egund a ctapa absorv e e l c a l or
despedido por la p r i mo r a, h a ce un t rabaj'O W2
y e mi t e una c a n t i-
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-528-
dad de calor O] a una temperatura inferior TJ
.
la eficiencia de la aiquLna ca.blnada es (TI
Soluci6n:
El trabajo efectuado en la primera etapa es:
Wi • 01 - 02
En la sequnda etapa, el trabajo efectuado ea ;
W2 - 02 - 0J
Demuestre que
TJ}/T l · •
El trabajo total realiaAdo en las dos etapas ser!:
W - MI + W2 .. 01 - O]
El rendimiento ser' entonces:
• 01 - O) .. --. al al
Por otro lado.
0110] .. Tl/T]
Por un. propiedad de 1 .. proporciones
O¡ - al T¡ - TI ° - o) • 1 al TI al
De .. -ecuaciones 111 y 121 v_~ que :
111 ,
tendremos :
TI - T) (:.1) • TI
4 . - Una turbina combinada de .ercurio y vapor de aqua t oma va -
por de mercurio .aturado de una c ladera da 46S.6·C . La tur
bina de vapor de aqua recibe vapor a es. temperatura y lo exp u!
sa a un conden •• dor .. l1 .S-C. ¿Cual debe ser la m~xima eficien
c ia de la combinaci6n1
Datos: TI - 468.6 + 21) - 74l.6-K
T) - )1.8 + 27) .. )lO.S·K
Soluci6u I
Como la eficienc.ia depende sola.ente de las temperaturas de en
trada y .alida, y no de l •• sus t ancia. empleadas tendremos por
el proble.a anterior.
TI - T] 741. 6 _ 310. ' e - .. 0.5' 6 SU TI 761 . 6
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-529-
S.- Uti lizando la ecuación de es tado de un gas ideal y l a ec~ a·
ción q ue descr ibe un pt:"oceso adiabát.ico para un gas ideal ,
demostrar que I d pendiente . dp/dV, en un diag ra ma'p-V de una ~
diab§.tica se puede escri b ir de la siguiente manera: - ·rp!V y la
de una i50~crma se p uede hacerlo a s1: -p/V. Median te estos re
sult ad os demostra r q ue las ad.lab.1l: i c d s son cup,¡,)s de mayor p e n
diente que l a s isoterma s.
Soluci6 n:
En un proceso a diab~tioo
Se sabe que p v Y .. cte
de riva ndo 2E. vY dV • p.yV
~ . y-1
- yp L dV
VY
...!!E.. _ .:te.. dV V
En un p r oceso isotermico
pv .. n KT
p V _ ete
derivando ambos miembros ~ __ .l!... dV V
y-1 O
- 1 • - ypV ,
T ,. ete
6.- {a} Ha g a la gr&fica exact a de un ciclo de Carnot en un d ia -
grama de P en fu nci6n
punto A corresponde a P ..
rresponde a P g 0.5
ra del depOsito má s
atril;
de V pa ra un mol de gas ideal. El
1.0 atm; T • ] 00 °K, Y el p untoocor -
T - ]OOOK; con sidere que l a t empera tu-
Tome y '"' 1.5.
bJ Calcule gr'~icamente e l traba jo h pcho en este cic l o.
SoluciÓn:
la) Hallemos los puntos principales del ciclo, es deci r
a,b,c y d.
Pa ra el punto a: Pa " 1 at.
La eCuaci6n de estado para un mol es:
V • RT
- p. • 0. 0 82 x
1 100 .. 24.6 litros
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-'JO-P. Y"<I. el p un t o b:
P • b
0.5 atm
Vb
RT 0 . 0 82 x JOO • Pb
• O. ,
• 49 . 2 ti tros
Para e l punto e; En la t r aye~
tor i a be. la ecu 3ci6n que
descri be un proce so adiabáti
co para un gas ideal cs;
p v y .. v y h b Pe e
p
f-•
" P
b -,
(2)
•
b
Reemplazando valores en (1) y (2) obtenemos :
Pe - 0.OJ85 atm;
Para el punto d, el cambio
PcV
c .
PdVd y
v .. 44 ] litros e
e. lsot4rmico, es
V ~ -'- • Vb
V e
Reemplazando valores en las dos ecuaciones
•
,
decir :
anteriores
mas: Vd " 221.5 l it los; Pd
" 0 .0370 atm.
Nota: en l a fi9~ra se ha to~do como escala:
1 mm .. 0.01 atm, paca el eje de las p
2 mm 10 litros. para el eje de las V.
tendr:-e
bl El trabaj o cp.alizado es Igual a l !cea encerrada poe el pro-
-
blema] (capítulo 9). En es te caso el trabajo ser! la dife
rencia entre la s !ceas comprendidas entre la curva abe, las or
denadas Va y Ve y el eje de las V y el área c omprendida entre
la curva adc, las ordenadas Va y Vc
y el eje de las V. El tra
bajo resulta W . 1,146.7 8 joules.
Rpta : lb} W - 1, 146.78 joules
7.- En un c i clo de Carnot la dilatac16n isotErmica del gas o
curre a 400-K y la comprelli6n isotérmica a 300-K. DU~'ante
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• ~531 -'
la dilatación 5 00 cal dc ene rgí a calor1fica son propo r cionada s
", 1 gas . Dctenr, ioc; al el tr<l.bajo efectua do por e l ga s . d ura nte
la dilataci6n is otlirmic<l , l b} el ca l or e x traído de. '13 .<; d uran
t e l a c~~pres16n lsotérmica (el El trabajo hecho sob r e e l g a s
durante la compresión i ~o té rmica .
Soluci6n :
iI ) Cono el pr oceso des isotérmico la ene r g í a i nte r n a no cambia .
o :lea que aplicando la p rime ra ley de. la termodi n ámica, ten d re
mos: 01 ~ W
1 • 500 x 4. 18 - 2 ,090 joules
bJ El calor extraído del gas duran t e la co~pres16n isoté rm ica
es :
ol Como
O,
,. - '"
T .--1. T, " -, .2 a, T
1 = 50 0 x ;~~ = 375 c a l.
01 pr oceso e. isotérmico tend r emOS ~
. ", - 375 x 4 . 1 8 - 1. 570 j o ules
Rptll.: al w _
2.090 jou l eli:
bl 0- 375 col
el w - 1,5 70 joul es
51 el ciclo de Ca rna t •• recorre • l a inversa, tenemos
un a refrigeraci6n ideal. Se t oma una cantidad de calor 02
a la temperatura infer i or T2 y se expu lsa una cantidad de ca -
loe 01 a l a temperatur a superior TI' La diferencia es el trab~
jo W que debe proporci onarse para hacer f uncionar al ref rigera-·
do[ ; demuest r a que
bl Se define como coeficiente de ejecuci6n k de un refrigerador
la relaci6n del calor extraldo de la fuente frIa al trabajo
necesario para efectuar el ciclo . Demues tre que idealmente.
T, K • __ -=".-
TI - T2
En la pr!ctica la K de los refrigeradores vale de 5 a 6.
SoluciOn;
al El trabajo realizado por el refrigerador serS
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-5)2-
0, ([1
Sabemos también <4"'! °1 /° 2 " T1/T2
Aplicando p r opOl C' i altC S
(21
De las ecuaciones· { 1) Y (2) ob t enemos:
bl
w 0 ,
scgtin l.
K
T .• T -1 __ -1._ T,
deflnc16n
0, •
d e l
T, · w· T I -
coef i c i en t e de
"
•
e jecuc i 6n K t end r e mos;
9.- E" "" refriqcrador los s erpent i nes de baja t emperatur.iIo est;§.
a - lJ-C. y el gas comprimido e n el condensador t iene unilo
temporatura do 21~C ¿Co..I51 c. e l coef i c ien te de ejcco..lciOn teOri
ca? .
Soluci6n:
Por el pcoblema ante tlOr sabelftOS que:
K • 260 ., 6. S )00 - 260
Rp t a: I K • 6.5
10 . ¿Cuánto trabajO debe hacerse para t r ans mi t ir un jaul de ca-
lor de un depOsito a ' · C uno a 27·C me diante un retriqer~ -
dor que use un ci c l o de Carnot? ¿De uno q ue est~ a - 7J-C a 0-
tco a 27·C1 lD~ uno que e.té a - l7 )·C a o tro a 27·C 7 lOe uno
que esté a - 22J ·C a otro a 21 · C1
Soluc10n:
(a) e n es t e CASO tenemos 0 2 - 1 j ou1;
Tl
- 21) + 21 • JOO·K; T2
• 213 + 1 - 280· K
Sabemos que;
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Pero: w -1
'" .. °2 1 (300 -
2 80
-533--
.. 0.0715 joules
Procediendo igualmente tendremos:
bl Tl
,", 300-'"
T2
- 271 - 71 K 200 - X, o btenemos
"'2 '"' 0. 5 joules
•
el TI = lOO - X; T2
• 273 - 173 ~ lOO-X obtenemos:
dI T .. 300-JC 1
"'3 ., 2 joules
obtenemos "'4 .. 5 jou le s
11. El motor de un refrigerador tiene un re ndimiento de poteoc.::ia
de 200 watta. Si el compartimiento refrigerador está a 270 0
K Y el ai r e exterior a 300-~, supon i e ndo una eficiencia ideal,
¿cuAl es la mAxima cantidad de calor que se puede extraer del
compartimiento de refr i geraci6n e n 10 min?
So lución:
t .. 10 mi no
'" '"' 200 v att.s
W .. Wt.
Sabemos que
P" lO" 0B + ti
0A TA
°8 - ~ 7.70-X
BL-----J
w
O -- ° . 200 v x 600 s = A B
l 20000j
°A .. 300 - « Os 27 0 - «
~ 0" - l' OaO , OOOJ
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ll. ¿C6 mo es la eficiencia de una máquina térmica r eversible en
r elación con el coeficiente de ejecución del refrigerador
revers ible obtenido haciendo operar la mAquina en sentido inver
so?
So luc i Ón:
Hemos vis t o e n los
e _
probl_as
TI - T 2
" -'-"--.-x - " Tl
- T2
•
anteriores que:
("
(" rlltip licando mieMbro a Miembr o las ecuacionea (1) y (2):
(', - T I " .l x , e x • x -. " " , " Rpt a : ¡ex - T/'l
13. En una bomba calorífica , ae ex trae una cantidad de calor 0 2 de ~ a~sfera e xterior a un a temperatura T2 y se introdu
el una cantidad de c a l o r mucho mayor 01 al interior de la casa
a la tempe ra tura TI' efectuando un trabajo w. (al Hacer un dia
grama esquemático de una bomba calorí fica lb) ¿C6mo difiere eS M
ta bomba en principio de un refrigerador? ¿C6mo difi e r e en su u
so práctico? (e) ¿C6mo están relacionados entre 51 01' 02 Y W?
¿Puede invertirse una bomba calorífica para usarse en verano?
Dar una explicaci6n . (e) ¿Oué ventaj a s tiene e s ta l::.':)mba sobre
otros dispositivos de calefacci6n?
Soluci6n:
al ver figura 1
bl La diferencia estA en que la
bomba extrae calor de l exte
rior para introducirla a la -ha
bitaci6n que vendría a ser la
m~quina , en cambio el refr1ger~
dar extrae calor 02 de la máqu~
na al exterior.
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-5]5-
dI Si, entonces actuarIa como un refriqerador, es decir ex trae
rIa ca lor de la habitación para eliminarlo al exterior me -
di ante el trabajo realizado por la bomba.
el Su ventaja radica en la econom!a, ya que con un m1nimo traba
jo W absorbe la mayor cantidad de calor 02 del exterior.
1 4 . En una bomba calorífica, se int r oduce calve J~~ ~irc ex~~
rior a -5·C a un salón que está a 17·C, proporcionando la e
nerg!a mediante un motor e16ctrico. ¿Cuántos jou les de ca lor
se hacen entra r al salOn por cada joule d e energ1a el~ctrica
consumida, idealmente?
~: w .. 1 joule
TI = 273 + 11 w 290 0 K
T e 27] - S • 268°K , SoludOo: Sabemos
T,. O - • 2 TI - T 2
268 x 1 290 _ 268
Pero po r o tro lado:
.1!L "
01 - W + 02 ~ 1 + 12 .. 1] Joules
.. 12 j ou l es
Rpta: 11) j o ules
15 . Sup6ng3se que tomáramos como nues tra medida d e temperatura
- liT en lugar de T. La un id ~d de esta nueva med ida podr ía
ser el grado Nivlek (Kelvln escrito al r e v é s) (O NI . Escri bir una
sucesiOn de temperatu r as en ° N que se extienda desde va l ores P2
s1tiv05 haGta valores negativo s de T.
la PAg. 70 2 del texto)
SoludOn:
Respuesta: por ejemplo
(Vé a6e l a nota al pie d e
10) °N, 10-6 eN, _ 10-6 ° N, - 10- ) ° N, e t c.
se deja al e stud i ante pa r a que lo ve r ef i q ue )
16 . (a ) "le mos tra r qu e a l calen t a r de s de Tl has ta T2 una su s tllll
c j a de lIIasa m que tiene un calor e~clfico con s tan t e e , e l
cambio de en t r opt a es:
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- 53 6-
T II'Ic l n J..
TI • (b) ¿Dis minuye l a entropla de la sus tan c i a al enf r iar? Si es a
s i, ¿di .. ,,,inI,lYC la entropía total en este proceso? Dar una expl!
cac i6n.
SoluciOn:
(a) Ira Ley dO. dU t dW
Si V • cte -. dW - O
dO .. dU -
{dO -
dU -
TdS
me dT v
TdS - me dT v
J'"., 11 V
si P - cte
~T
dO • dI!
Tds - m e d T p
- Tds
{
dO
dl! - me "T p
dT ds· mcp T -
T (b) S _ S _ mc Ln - '_.
2 l TI
_ ..l Si T 2 ~ TI TI
T, < o 1n--
TI
< 1
- s, - SI < o
S, < SI
11. En u n experimento de c alor espe c i fico se me zc l an 100 9 de
pIorno le - 0 . 03 45 c a l/gC · ) a lOO · C con 20 0 9 d e ag ua a p
20°C . En cont r a r l a dife r e nc i a de e ntropías de l sis tema a l te r
mi n ar l a mez c l a con res pe c t o a su va l or ante s d e mezc l ar.
So l uc16n:
El c ambi o de ent rop í a d e un s i s tema e s i gu a l a l c ambio de entr~
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-531-
p!,) de ·~ d('l.l <.1"<1. de las partes que forman e l SlS t CT'1,l .
E n p ri~'~ l u qélo f ha _l ·~'1Ios la t cr.pc !'at<.lra f ina l del SlstC:IIcl.
L'l lo 1 ct;:d i do '" calo!' qanarlo
• .:; (t - t ) t. mc(t - t )
'1' P 1 2 "2 o
donde. 1 .... temoeratu r.l in ic ial del plofllu. , ú
e, ra to rol I ni.cial de l agu.l y t
2 la t emperatura [ini ) ele l
Re.'mploi:.!.1ndo v<.1 1orcs en la. ecua ci60 tenemos:
100 x 0 . 0 34 5flOO - t2
) ~ 200( t2
- 20),
de !:londe L2
.. 21. H·C
~l cambio de e n tropía del plomo se r ~:
m e p p
T ]7] ln(-T-~ ) '" 100 x 0 . 0 34 5 ln( ~2",,;.é'.""]'4 )
0.8eal/-K
El camibo de entrop1a de l a g u a seri :
'r oS "' me In (-;f-) - 200 x 1 lo 2 9 ~9 i" - 0.76 ca l rK
o El camb1 0 de ent r opla d~l 3i5 temo $e rá ;
oS + o S - 0. 8 + 0 . 76 - 1 . 56 cal /- X p
Rpta: 11 . 56 c a l/-K
l a tempe
S I stema ·
18. Se hace que se dilaten cuatro moles d e un gas ideal desda
un v o l u.'l\en VI ~sta un volumen V2
( - 2Vl). (a ) Si l. dila
taci6n es iso térmica a la tempe ratura T ~ 400-K, deducir un. e~
pr~si6n para el t.rabajo efectuado por e l qas que se dilata. lb)
Para la di latac i6n i.sot~rmica que acabamos de describir , dedu -
cir una expres16n para el c~bio de entropía, s i acaso lo hay .
(e ) Sl la dilataci6n fuera reversiblemcntc ad iabitica en lugar
de s er i sotérmica, el cambio de entropía, ¿sería positivo, nQq~
tí.vo o nulo?
solución:
Y2 '" 2 Yl
pV - cte - oRT
OW pOV nRT
p --V--
p
1
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- 538-
,¿ti " a RT
V- "'
"r.' • , n R'¡ ~y
l-l ., 1
W nRT 1./1 ",
corr.o ", . , .. v;- V,
W " n RT Ln , Sabemos que n '" 4 , ,. .. 400·K. R .. 8. 3 1 43 J /mol _eK
w _ 4 x 8.31 <13 x 400 I.n 2
G_~2}o . 851 b) dQ " d U t dW
Tds ~ mCvdT pdv
Sabemos que dT • O
T d -.: ., mK r .!!.Y.. V
.rlo n R ~ 1 V
el Si la dilatación f uera adi o.b<1t i c a
dO • O
d, • dO • O T
=>ds O s - c te S ' " S , . O . , S, • S,
19 . Se puede ex trae r calor d el o.gu o. a O·C y a la pre lii6n atInOIi'
férica sin hacer qu e e l agua se congele, si se hace con al
guna agitaci6n de la mi sma. sup6ngase que se enfr í a el agua a
-5.0·C antes que empiece a formarse hielo. ¿Cuál es el cambio
de enrropía por unidad de masa que ocurre durante la congela -
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ci6n repen t i f'lil que se efectúa en tonces?
Soluc i 6 n:
s = S m
q
q
~'" S - S hie lo iU;¡Ui!. ., dq '" ~
S hielo
q ., 79.6 ca1 /g T = - 5~ C = 26Ac K
S a gua
s '" O. 297 ca1/g ~ K 1/ agua
•
21. Una barra de 1a t6n es tá en contac t o t~rn1ico con un d e p6si to
de calor a 127"C por u no de sus extremos y co n ~n depósito
de cal o r a 27" C por el otro e xtremo . Calcul a r el cambio total
de entropía que resulta del proceso de conducció n d e 1200 cal a
tr avés de la barra .
pJ:"oc eso ?
¿Cambia l a e ntropí a de la b a rra dUJ:"ante el
T ~ 1 27 + 27 3 = 400" K 1
T2
~ 27 + 273 '" 300 0 K; A ., 1 , 200 ca l
So l uc i6n :
Como TI > T2 pasaJ:"! una cantidad de ca lor del extremo 1
al extremo 2 en un corto intervalo de tiempo. Du ra n te
ese tiempo el cambio de entropía para el ext remo 2 es dO/T2
y
para e l e x tremo 1 es - da/TI '
El cambi o ne t o ser! : dO/T2 - dO/TI
como O es constante .
o T 2
1200 =300 '" 1 cal/"K
Rpta : 11 cal;o K !
~ :.!. Una mol de un gas ideal monoatómico se eleva de un astado
i nicial de pl.f!:¡i6n l' y volumen V a un estado final de pre -
516n 2p y volumen 2v mediante dos procesos diferentes. (1) Se
dildta isot~rmicamcn te hasta que su volumen s e duplic a, y ento~
ces se aumenta su presión a vohll'"len constante hasta l leg ar al
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estado f i na l . (11) Se c omprime isotén.ica~ntc has ta que s u
presiÓn se duplic., y después se aUDIcnt a su volu~en a p r esiÓn
constante hast,) e l estado fina l. •
Mostrar el re corri do de cad a proceso en un d i agrnma p-V. Para
cada proceso ca l cular en funci6 n d e p y de V, u de T: ( a) al
calor absorbido por e l gas en c.da parte del proceso; (b) el
trabaJO efectuado sobr e e l gas e n cada pilrte del proceso ; (e)
el cambio de e nerqla in te rna del gas Uf - Uj
; (d) el r.: ambi o de
entropía del g as Sf - Si·
SoluciOn:
P2 2P 1 b O' v
V2 2V I
a) En Ir) O - \J' • Q ~ .•. l o)
I ra Ley :
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Sabemos que
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OM • 6U" + w ~ aabeaoa que
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1T2
- T ) , Eo (Ir) En el recorrido de , • •
P1V I PbVb r· " ", Sabeaos que
• V • 2 P1Vb V. V, , , ,
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V,
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Ln ~- 1 O·' • nRT 1 V,
nRTl Lo T
O·' . oRT1
Ln , lra Ley:
O·v lIU' v w' v ... ,'v •
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