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Capítulo 2:Concepto y Cálculo de Límites
Geovany Sanabria
Contenido1 Concepto de Límite 121.1 Una definición intuitiva de Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2 Problemas con la utilización de sucesiones para calcular límites . . . . . . . . . . . . . 17
2 Cálculo de Límites 182.1 Propiedades principales de los limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 ¡No siempre el limite es sustituir! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Formas indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Conciente indeterminado0
0: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Diferencia indeterminada ∞−∞ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.3 Producto indeterminado 0 ·∞ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.4 Potencias indeterminadas 00,∞0, 1∞ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Maniobras algebraicas para la forma indeterminada0
0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Limites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.7 En resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.8 Limites de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.9 Limites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.10 Otros límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.10.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11
Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 2. Límites Prof. Geovany Sanabria
1 Concepto de Límite
1.1 Una definición intuitiva de Límite
De acuerdo a la definición de límite utilizando sucesiones1 .se tiene la siguiente definición de límite.
Definición 1 Se dice que el límite de f, cuando x se acerca a b, es L y se escribe
limx−→b
f (x) = L
si para toda sucesión de números: x1, x2, x3, .. que se acerca a b y distintos de b, se tiene que lasucesión f (x1) , f (x2) , f (x3) , ... se acerca a L. Gráficamente:
6
4
2
-2
-4
5 10 15
.
..
f x3( )f x2( )f x1( )
... x3 x2 x1
De acuerdo a esta definición, bajo ciertas restricciones (asumiendo la existencia del límite), por mediode una tabla tomando algunos valores de una sucesión que se acerca a b, se puede obtener el valor dellímite.
Ejemplo 1 Calcular limx−→2
(3x+ 1) .
Sea f (x) = 3x+ 1, y consideremos una sucesión xn que se acerque a 2:
n xn f (xn)1 1 42 1, 9 6, 73 1, 99 6, 974 1, 999 6, 997...
......
Por lo tanto limx−→2
(3x+ 1) = 7.
1 limx−→b
f (x) = L si y solo si ∀ (xn) convergente a b, tal que {n ∈ N, xn = b}es finito, se tiene que f (xn) convergea L
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Para tener más seguridad en el valor del límite se puede consideras dos sucesiones: una sucesióncreciente con valores menores a b (acercamiento por la izquierda o negativo) y otra decreciente convalores mayores a b (acercamiento por la derecha o positivo)
Ejemplo 2 Calcular limx−→3
x3 − 2x2 − 3xx− 3 .
Sea f (x) =x3 − 2x2 − 3x
x− 3Por la Izquierda Por la derechaxn f (xn) xn f (xn)2 6 4 202.9 11. 31 3.1 12. 712.99 11. 93 3.01 12. 072.999 11. 993 3.001 12. 007...
......
...
Por lo que limx−→3
x3 − 2x2 − 3xx− 3 = 12.
Lo anterior permite introducir la idea de limite lateral
Definición 2 (Límite lateral) Se dice que el límite de f por la izquierda, cuando x se acerca a b,es L y se escribe
limx−→b−
f (x) = L
si para toda sucesión de números: x1, x2, x3, .. que se acerca a b y menores de b, se tiene que lasucesión f (x1) , f (x2) , f (x3) , ... se acerca a L. Similarmente se define el límite por la derecha:lim
x−→b+f (x) = L
Ejemplo 3 Calcular limx−→3−
|x− 3|x2 − 9 .
Sea g (x) =|x− 3|x2 − 9
Por la Izquierdaxn g (xn)2 −152.9 −0.169 492.99 −0.166 942.999 −0.166 69...
...
Así, limx−→3−
|x− 3|x2 − 9 = −0.16 = −
1
6. Calcule lim
x−→3+|x− 3|x2 − 9
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Ejemplo 4 Sea m (x) =
2x si x ≤ 3x2 − 5x+ 6
x− 3 si 3 < xCalcular lim
x−→3m (x) .
Por la Izquierda Por la derechaxn f (xn) xn f (xn)2 4 4 22.9 5. 8 3.1 1. 12.99 5. 98 3.01 1. 012.999 5. 998 3.001 1. 001...
......
...
En este caso, se tiene que:
limx−→3−
m (x) = 6 y limx−→3+
m (x) = 1,
entonces limx−→3
m (x) NO EXISTE.
El concepto de infinito se combina con el concepto de límite en las siguientes definiciones.
Definición 3 (Límite al infinito) Se dice que el límite de f , cuando x crece indefinidamente y demanera positiva, es L y se escribe
limx−→∞ f (x) = L
si para toda sucesión de números creciente y no acotada: x1, x2, x3, .., se tiene que la sucesión f (x1) ,f (x2) , f (x3) , ... se acerca a L. Similarmente se define el límite a menos infinito: lim
x−→−∞ f (x) = L.
M
N
limx−→−∞ f (x) = N y lim
x−→∞ f (x) =M
Definición 4 (Límite infinito) Se dice que el límite de f, cuando x se acerca a b, es +∞ y seescribe
limx−→b
f (x) = +∞si para toda sucesión de números: x1, x2, x3, .. que se acerca a b y distintos de b, se tiene que lasucesión f (x1) , f (x2) , f (x3) , ... crece indefinidamente y de manera positiva. Similarmente se define
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el límite: limx−→b
f (x) = −∞.
10
8
6
4
2
-2
5b
limx−→b
f (x) = +∞
-2
-4
-6
-8
-10
5c
limx−→c
f (x) = −∞
Ejemplo 5 Calcular limx−→3
1
|x− 3| .
Sea h (x) =1
|x− 3| .Por la Izquierda Por la derechaxn h (xn) xn h (xn)2 1 4 12.9 10 3.1 102.99 100 3.01 1002.999 1000 3.001 1000...
......
...
Entonces limx−→3
1
|x− 3| = +∞
Ejemplo 6 Calcular limx−→−∞
3x+ 2
x+ 1.
Sea j (x) =3x+ 2
x+ 1.
xn j (xn)-10 3. 111 1-100 3. 010 1-1000 3. 001-10000 3. 000 1...
...
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Entonces limx−→−∞
3x+ 2
x+ 1= 3.
Ejemplo 7 De acuerdo a la gráfica de la función k (x) calcule los siguientes límites.
4
2
-2
-4
-5 5 10
limx−→−5−
k (x) = limx−→2+
k (x) =
limx−→−5+
k (x) = limx−→2+
k (x) =
limx−→−2−
k (x) = limx−→+∞ k (x) =
limx−→−2+
k (x) = limx−→−∞ k (x) =
¿Cuál es el dominio de la función?
1.1.1 Ejercicios
1. Calcule los siguientes limites utilizando sucesiones:
limx−→2
x2 − 4x+ 3
limx−→∞
3x2 + 2x
x2 + 1
limx−→2
1
x− 2 limx−→1−
|1− x|x2 − 1
limx−→1+
|1− x|x2 − 1 lim
x−→−∞x2
x+ 1
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2. Dé la definición de los siguientes límites y brinde una representación gráfica para cada uno:
limx−→b−
f (x) = +∞ limx−→∞ f (x) = +∞
limx−→−∞ f (x) = +∞ lim
x−→b+f (x) = −∞
3. Realice los ejercicios de la práctica: "Ejercicios sobre Límites" de las páginas 1-3.
1.2 Problemas con la utilización de sucesiones para calcular límites
La utilización de sucesiones, en la sección anterior, nos ayuda a tener una intuición sobre el valor dellímite. Sin embargo, esa intuición puede ser engañosa.
Ejemplo 8 Calcular limx−→0+
sen³πx
´Sea f (x) = sen
³πx
´. Se tiene que:
n xn f (xn)1 0, 1 02 0, 01 03 0, 001 04 0, 0001 0... ... ....
y erróneamente se puede concluir que limx→0
sen³πx
´= 0, cuando este límite no existe, basta ver la
gráfica de f :2
-2
-5 5
Conforme x se acerca a 0, la función comienza a oscilar entre −1 y 1 más rápidamente.Es así, como nuestra primera definición de límite no es confiable para calcular límites. En general, sesuele utilizar una definición menos intuitiva de límite:
Definición 5 Se dice que el límite de f(x) es L cuando x tiende a b y se escribe limx−→b
f (x) = L si
cuando x se acerca a b, f(x) se acerca a L.
Así, surge la interrogante ¿cómo calcular límites? Esta pregunta será contestada en el siguienteapartado.
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2 Cálculo de Límites
2.1 Propiedades principales de los limites
Teorema 1 Sea c una constante y suponga que los límites: limx→b
f (x) y limx→b
g (x) existen y, tienen
como resultado un número real:
limx→b
f (x) = L, limx→b
g (x) =M, L,M ∈ R
entonces:a) lim
x→b[f (x) + g (x)] = lim
x→bf (x) + lim
x→bg (x) = L+M
b) limx→b
[f (x)− g (x)] = limx→b
f (x)− limx→b
g (x) = L−M
c) limx→b
[c · f (x)] = c · limx→b
f (x) = c · L
d) limx→b
[f (x) · g (x)] = limx→b
f (x) · limx→b
g (x) = LM
e) limx→b
·f (x)
g (x)
¸=limx→b
f (x)
limx→b
g (x)=
L
M, si M 6= 0
Nota: estas propiedades son válidas para límites laterales.
Ejemplo 9 Sabiendo que limx→0
x+ 3
x2 + 7x+ 12= 1
4 y limx→0senx
x= 1, determine utilizando las propiedades
principales los siguientes limites:
limx→0
µx+ 3
x2 + 7x+ 12+senx
x
¶limx→0
µx2 + 3x
(x2 + 7x+ 12) senx
¶
limx→0
µ3x+ 9
x2 + 7x+ 12− 2 senx
3x
¶limx→0
senx
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Ejemplo 10 Considere el siguiente gráfico:
4
3
2
1
-1
-2
-6 -4 -2 2 4 6
y=g(x)
y=f(x)
Determine los siguientes límites:
limx→−2−
f (x) limx→0
[f (x) g (x)]
limx→ 1
2
g (x) limx→−2+
[f (x)− g (x)]
limx−→2
·3f (x)− 5g (x)
πx
¸
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Ejemplo 11 Determine si es verdadera siempre o no, cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si limx−→b
f (x) = 0 y limx−→b
g (x) =∞ entonces limx−→0
f (x) g (x) = 0
b) Si limx−→1
f (x) = 5 y limt−→1
g (t) = −2 entonces limy−→3
4f (y)− g (y)
4=11
2
c) Si limx−→2−
t (x) = 3 y limx−→2
v (x) = 2 entonces limx−→2
[t (x) + v (x)] = 5
Teorema 2 Otras propiedades fáciles de intuir son:
a) limx→b
c = c c) limx→b
xn = bn, n ∈ N
b) limx→b
x = b d) limx→b
n√x = n
√b, n ∈ N
e) limx→b
npf (x) = n
qlimx→b
f (x), n ∈ N,y en caso de que n es par lim
x→bf (x) ≥ 0
Ejemplo 12 A partir de estas propiedades justifique las siguientes
a) limx→b
x−n = b−n, n ∈ N, b 6= 0
b) limx→b
xnm = b
nm , n ∈ Z,m ∈ N
Ejemplo 13 Calcule los siguientes límites y justifique sus pasos
a) limx→3
x4 c) limx→3
x−23
b) limx→2
x−6 d) limx→3
5√x2
e) limx→1
¡x2 + 2x+ 3
¢
Del último límite se puede intuir el siguiente teorema:
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Teorema 3 Si P (x) es un polinomio entonces limx→b
P (x) = P (b) .
Ejemplo 14 Calcule los siguientes límites y justifique sus pasos
limx→3
¡x2 + x+ 4
¢limx→1
¡x2 + 4x− 2¢−23
limx→2
x−6 limx→3
5√x2 + 4x+ x6
limx→1
x2 + 2x+ 3
x2 + x− 5 limx→1
rx2 + 2x− 3x2 + x− 1
2.2 ¡No siempre el limite es sustituir!
Ejemplo 15 Sea f (x) =½3x− 2 si x 6= 15 si x = 1
. Note que f (1) = 5, sin embargo si x→ 1 entonces
x 6= 1, por lo tanto, de acuerdo a las propiedades anteriores:
limx→1
f (x) = limx→1
(3x− 2) = 1.
En las funciones que están definidas por partes se debe tener mucho cuidado al identificar la parte autilizar.
Ejemplo 16 Sea g (x) =½ √
x+ 2 si x < 1x+ 4 si x ≥ 1 . Observe los siguientes límites:
limx→0
g (x) = limx→0√x+ 2 =
√2.
limx→2
g (x) = limx→2
x+ 4 = 6.
limx→1−
g (x) = limx→1−
√x+ 2 =
√3.
2.3 Formas indeterminadas
Una forma indeterminada es un cierto límite cuyo valor en un primer momento se desconoce o puedeno existir. Para determine su valor en caso de que exista, se requiere realizar algunas maniobrasalgebraicas. A continuación se exponen las formas indeterminadas principales.
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2.3.1 Conciente indeterminado0
0:
Si limx−→b
f (x) = 0 y limx−→b
g (x) = 0 entonces limx−→b
f (x)
g (x)=?
Con "?" se quiere decir que el límite da "cualquier cosa", puede dar cualquier número real e inclusono existir. Esto se puede mostrar fácilmente con el siguientes ejemplos:
a) limx−→0
2x = 0, limx−→0
x = 0 y limx−→0
2x
x= lim
x−→02 = 2
b) limx−→0
3x = 0, limx−→0
x = 0 y limx−→0
3x
x= lim
x−→03 = 3
c) limx−→1
x− 1 = 0, limx−→1
(x− 1)2 = 0 y limx−→1
x− 1(x− 1)2 = lim
x−→11
x− 1| {z }NO EXISTE
2.3.2 Diferencia indeterminada ∞−∞ :
Si limx−→b
f (x) = ∞ (o −∞) y limx−→b
g (x) =∞ (o −∞)entonces lim
x−→b[f (x)− g (x)] = ?
Ejemplos:
a) limx−→∞ (x− 2) =∞, lim
x−→∞x =∞ y limx−→0
(x− 2)− x = limx−→0
−2 = −2b) lim
x−→∞ (x+ 3) =∞, limx−→∞x =∞ y lim
x−→0(x+ 3)− x = lim
x−→03 = 3
2.3.3 Producto indeterminado 0 ·∞ :
Si limx−→b
f (x) = 0 y limx−→b
g (x) = ±∞ entonces limx−→b
f (x) g (x) =?
Ejemplos:
a) limx−→∞
2
x= 0, lim
x−→∞x =∞ y limx−→0
2
x· x = lim
x−→02 = 2
b) limx−→∞
4
x= 0, lim
x−→∞x =∞ y limx−→0
4
x· x = lim
x−→04 = 4
2.3.4 Potencias indeterminadas 00,∞0, 1∞ :
Si limx−→b
f (x) = 0 y limx−→b
g (x) = 0 entonces limx−→b
f (x)g(x) =?
Si limx−→b
f (x) = ∞ y limx−→b
g (x) = 0 entonces limx−→b
f (x)g(x) =?
Si limx−→b
f (x) = 1 y limx−→b
g (x) =∞ entonces limx−→b
f (x)g(x) =?
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Un ejemplo para el primer caso:
a) limx−→∞ e−x = 0, lim
x−→∞1
x= 0 y lim
x−→0(e−x)
−1x = lim
x−→0e = e ≈ 2.71
b) limx−→∞ e−x = 0, lim
x−→∞3
x= 0 y lim
x−→0(e−x)
−3x = lim
x−→0e3 = e3 ≈ 20.086
2.4 Maniobras algebraicas para la forma indeterminada0
0
Si f (x) es una función no definida por partes formada por las operaciones: +,−, ·,÷, ()n , n√, y se
desea calcular el limx→b
f (x) pero al sustituir b en f (x) se obtiene una forma indeterminada, se debe
realizar alguna manipulación algebraica (factorización, racionalizar,...) para calcular el límite.
En el caso de la forma indeterminada0
0, si para el límite lim
x→bf (x) se tiene que “f (b) =
0
0 esto
significa que la expresión (x− b) es un “factor” común del numerador y denominador de f (x) , por lotanto, se debe tratar de factorizar f (x).
Ejemplo 17 Sea f (x) =5x− 5
3
3x− 1 , note que f
µ1
3
¶=0
0(forma indefinida), entonces ¿Cómo se
averigua lim
x−→1
3
f (x)?
Simplifiquemos f (x) .
5x− 53
3x− 1 =5
µx− 1
3
¶3x− 3
3
=
5
µx− 1
3
¶3
µx− 1
3
¶ =5
3.
Por lo tanto
lim
x−→1
3
f (x) = lim
x−→1
3
5x− 53
3x− 1 = lim
x−→1
3
5
3=5
3.
Ejemplo 18 (Cuidado con la definición de función) Considere la siguiente función
f (x) =8x− 5x2 + x3 − 4
x2 − 4
Simplificando8x− 5x2 + x3 − 4
x2 − 4 se obtiene que (realícelo):
8x− 5x2 + x3 − 4x2 − 4 =
(x− 2) (x− 1)x+ 2
.
Sin embargo note que f (x) 6= (x− 2) (x− 1)x+ 2
. ¿Por qué?. Sea g (x) =(x− 2) (x− 1)
x+ 2, aunque al
simplificar la fórmula de la función f se obtiene la fórmula de la función g, estas funciones son
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diferentes, basta ver su dominio máximo:
El dominio de f es R− {2} , pues su denominador se hace cero en 2.El dominio de g es R.
Así debe quedar claro que al simplificar una fórmula de una función f (x) se obtiene una nueva funcióng, donde
f 6= g, pero limx−→a
f (x) = limx−→a
g (x) .
Ejemplo 19 Calcule limx−→0
2x3
7√x19
.
Note que al sustituir la x por 0 se obtiene la forma indeterminada0
0. Racionalizando la función se
obtiene que2x3
7√x19
= 27√x2, por lo tanto:
limx−→0
2x3
7√x19
= limx−→0
27√x2 = 0.
Ejemplo 20 Calcule limx−→0
2x√2x+ 2−√3x+ 2 .
Note que al sustituir la x por 0 se obtiene la forma indeterminada0
0. Racionalizando la función se
obtiene que2x√
2x+ 2−√3x+ 2 = −2¡√2x+ 2 +
√3x+ 2
¢, por lo tanto
limx→0
2x√2x+ 2−√3x+ 2 = lim
x→0−2 ¡√2x+ 2 +√3x+ 2¢ = −4√2.
Ejemplo 21 Calcule limh−→0
3h3√h+ 1− 1 .
Note que:
limh−→0
3h3√h+ 1− 1 = lim
h−→0
"3h
3√h+ 1− 1 ·
¡3√h+ 1
¢2+ 3√h+ 1 + 1¡
3√h+ 1
¢2+ 3√h+ 1 + 1
#
= limh−→0
3hh¡
3√h+ 1
¢2+ 3√h+ 1 + 1
ih+ 1− 1
= limh→0
3
·³3√h+ 1
´2+
3√h+ 1 + 1
¸= 9
24
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Ejemplo 22 Calcule limx→16
x+√x− 20√
x− 4
= limx→16
x+√x− 20√
x− 4 ·√x+ 4√x+ 4
= limx→16
(x+√x− 20) (√x+ 4)x− 16
= limx→16
·(x− 20 +√x) (√x+ 4)
x− 16 · x− 20−√x
x− 20−√x¸
= limx→16
³(x− 20)2 − x
´(√x+ 4)
(x− 16) (x− 20−√x) = limx→16
¡x2 − 41x+ 400¢ (√x+ 4)(x− 16) (x− 20−√x)
= limx→16
(x− 16) (x− 25) (√x+ 4)(x− 16) (x− 20−√x) = lim
x→16(x− 25) (√x+ 4)(x− 20−√x) =
−9 · 8−8 = 9
2.4.1 Ejercicios
Calcule los siguientes límites
1. limx→3
x3 + 5x2 + x
x3 − 2x . R/257
2. limx→0
x√25− x− 5 . R/− 10
3. limx→25
x− 25√x− 5 . R/10
4. limx→0
1√1 + x
− 1x
. R/− 12
5. limt→0
√t2 + 4− 2
t2. R/14
6. limh→0
a2h+ 2h
h+ ha. R/
a2 + 2
1 + a
7. limx→0
20x√40x+ 2−√35x+ 2 . R/ 8
√2
8. limx→1
x− 1√7x+ 2−√5x+ 4 . R/ 3
2.5 Limites Laterales
Un teorema muy importante en el cálculo de límites es el siguiente:
Teorema 4 El limx→b
f (x) = L si y sólo si limx→b−
f (x) = L y limx→b+
f (x) = L
25
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Para el cálculo de límite este teorema gracias al ”si y solo si” (⇐⇒) lo podemos utililizar de dosmaneras:
A) FORMA =⇒:Si el lim
x→bf (x) = L entonces lim
x→b−f (x) = L y lim
x→b+f (x) = L
Este forma la utilizamos para calcular límites laterales si se sabe como calcular el limite general.
Ejemplo 23 Calcule limx−→2+
|x− 4|:Note que
|x− 4| =½
x− 4 si x− 4 ≥ 0− (x− 4) si x− 4 < 0
Como x “se acerca” a 2, entonces x− 4 “se acerca” a −2, por lo tanto se puede supone que a partir"de cierto momento" x− 4 < 0, así |x− 4| = − (x− 4)
limx→2+
|x− 4| = limx−→2+
− (x− 4) = 2.
Ejemplo 24 Calcule limx−→0−
2x√3− x√
12x2 − 4x3 .
Note que si se sustituye en la función se obtiene la forma indeterminada0
0. Simplificando el denomi-
nador: p12x2 − 4x3 =
p4x2 (3− x) = 2 |x|√3− x
Como x “se acerca” a 0−, entonces se puede suponer que x < 0, yp12x2 − 4x3 = −2x√3− x.
Por lo tanto:
limx−→0−
2x√3− x√
12x2 − 4x3 = limx−→0−
2x√3− x
−2x√3− x= lim
x−→−2−1 = −1.
B) FORMA ⇐=:Para que el lim
x→bf (x) = L es necesario que se cumpla lim
x→b−f (x) = L y lim
x→b+f (x) = L.
Este forma es útil cuando la función esta definida por partes (se parte en b) y particularmente cuandola fórmula de la función contiene una expresión similar a |x− b| = |b− x| .
Ejemplo 25 Sea g (x) =½ √
3x2 + 6 si x > 52x− 1 si x ≤ 5 . Determine lim
x→5g (x) .
Calculemos los límites laterales:
limx→5−
g (x) = limx→5−
2x− 1 = 9 y limx→5+
g (x) = limx→5+
p3x2 + 6 = 9
Por el teorema limx→5
g (x) = 9.
26
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Ejemplo 26 Sea f (x) =½2x2 − 5 si x ≥ 3bx− 4 si x < 3
. Determine el valor de b para que limx→3
f (x) exista.
Determinemos los límites laterales:
limx→3−
f (x) = limx→3−
bx− 4 = 3b− 4 y limx→3+
f (x) = limx→3+
2x2 − 5 = 13.
Así, el límite existe si 3b− 4 = 13,de donde se obtiene que b = 173 .
Ejemplo 27 Calcule limx→3
2x− 64|3− x| .
Los límites laterales son: limx→3−
2x− 64 |3− x| = lim
x→3−2x− 64 (3− x)
= limx→3−
−2 (3− x)
4 (3− x)=1
2
limx→3−
2x− 64 |3− x| = lim
x→3−2x− 64 (3− x)
= limx→3−
−2 (3− x)
4 (3− x)= −1
2
limx→3+
2x− 64 |3− x| = lim
x→3+2x− 6−4 (3− x)
= limx→3−
−2 (3− x)
−4 (3− x)=1
2
Por lo tanto, limx→3
2x− 64|3− x| NO EXISTE.
2.5.1 Ejercicios
Calcule los siguientes límites
1. limx→3+
x2 − 4x+ 3x2 − 9 . R/13
2. limx→7
x− 7|x− 7| . R/ NO EXISTE
3. limx→2−
2− x√4− x2
. R/0
4. Sea f (x) =½2b2x2 − 4 si x ≥ 1−3bx+ 1 si x < 1
. Determine los valores de b para que limx→3
f (x) exista. R/
1,−52
2.6 Limites infinitos
Teorema 5 Si el limx→b
f (x) = C, donde C es una constante diferente de cero y el limx→b
g (x) = 0,
entonces para el valor de limx→b
f (x)
g (x)existen tres posibilidades:
limx→b
f (x)
g (x)= +∞ o lim
x→b
f (x)
g (x)= −∞ o no existe.
27
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El teorema anterior indica una manera de distinguir un limite infinito, además establece la necesidadde hacer uso de los límites laterales para ver si el limite existe o no. Dado que se quiere dejar de ladolas tablas y pasar de la intuición que estas nos brindan a un punto de vista más formal introduciremosla siguiente notación.
Notación. Si limx→b−
f (x) = 0 (o limx→b+
f (x) = 0) y f se va acercando por la derecha a cero entonces
se dice que el límite es equivalente a 0+. Gráficamente:
2
1
-1
-2
2
limx→2+
f (x) = 0+
2
1
-1
-2
2
limx→2−
g (x) = 0+
Del mismo modo si limx→b−
f (x) = 0 (o limx→b+
f (x) = 0) y f se va acercando por la izquierda
a cero entonces se dice que el límite es equivalente a 0−. Gráficamente:
2
1
-1
-2
2
limx→2−
f (x) = 0−
2
1
-1
-2
2
limx→2+
g (x) = 0−
Ejemplo 28 Note que
limx→2−
x− 2 = 0−, limx→−3−
|x+ 3| = 0+,
limx→5+
x2 − 25 = 0+, limx→5−
q(x− 5)2 = 0+.
28
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Teorema 6 Si c es una constante distinta de 0 entonces
Si c > 0 :c
0+= +∞ c
0−= −∞
Si c < 0 :c
0+= −∞ c
0−= +∞
Ejemplo 29 Determine limx→5
x+ 5
x− 5 .
Al sustituir se obtiene la formac
0, entonces se recurre a los límites laterales:
limx→5−
x+ 5
x− 5 =10
0−= −∞ y lim
x→5+x+ 5
x− 5 =10
0+= +∞.
Por lo tanto, limx→5
x+ 5
x− 5 NO EXISTE.
2.6.1 Ejercicios
Calcule:
1. limx→3
12
x− 3 . R/ NO EXISTE
2. limx→1+
√x+ 1
x2 − 1 . R/∞
3. limx→−2
x2
|x+ 2| . R/∞
2.7 En resumen
Suponga que se desea calcular limx→b
f(x)
g(x), donde la expresión
f(x)
g(x)no esta definida por partes, entonces:
1. Sif(b)
g(b)=
c
d, d 6= 0 entonces lim
x→b
f (x)
g (x)=
c
d.
2. Sif(b)
g(b)=0
0, entonces es necesario realizar una maniobra algebraica para calcular lim
x→b
f (x)
g (x).
3. Sif(b)
g(b)=
c
0, c 6= 0, entonces lim
x→b
f (x)
g (x)es +∞, −∞ o no existe, este se debe averiguar utilizado
límites laterales.
29
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2.8 Limites de funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas utilizadas serán las definidas en radianes y no en grados. Antes deestudiar estos límites se señalan dos resultados importantes.
Teorema 7 a) Si f(x) < g(x) cuando x se acerca a b , limx→b
f(x) y limx→b
g(x) existen, entonces
limx→b
f(x) ≤ limx→b
g(x).
Teorema 8 (Teorema del emparedado) Si f(x) < g(x) < h(x) y limx→b
f(x)= limx→b
h(x) = L entonces
limx→b
g(x) = L
Ejemplo 30 Dado que −1 ≤ senx ≤ 1, si x > 0 entonces
−x ≤ x senx ≤ x
Como limx→0+
−x = limx→0+
x = 0, por el teorema del emparedado, se tiene que limx→0+
x senx = 0.
Teorema 9 Algunos límites trigonométricos importantes son:
limx→b
senx = sen b
limx→b
cosx = cos b
limx→b
tanx = tan b, si b 6= nπ, n ∈ N
limx→0
senx
x= lim
x→0x
senx= 1
limx→0
1− cosxx
= 0
La mayoría de los límites trigonométricos se calculan utilizando los límites anteriores y las identidadestrigonométricas. Algunas identidades trigonométricas son:
1. sen2 θ+cos2 θ = 1.
2. senθ
2=
r1− cos θ
2, cos
θ
2=
r1 + cos θ
2.
3. sen 2θ = 2 sen θ cos θ, cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ.
4. sen³π2− θ´= cos θ, cos
³π2− θ´= sen θ
5. cos (θ + α) = cos θ cosα− sen θ senα, sen (θ + α) = sen θ cosα+ cos θ senα.
6. cos (θ − α) = cos θ cosα+ sen θ senα, sen (θ − α) = sen θ cosα− cos θ senα.
30
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Ejemplo 31 Calcule limx→0
sen 3x
sen 5x.
Note que
sen 3x
sen 5x=
sen 3x
xsen 5x
x
=
3 sen 3x
3x5 sen 5x
5x
Dado que
limx→0
3 sen 3x
3x= 3 · lim
x→0sen 3x
3x= 3 · lim
y→0sen y
y= 3 · 1 = 3,
realizando el cambio de variable y = 3x (Note que si x→ 0 entonces y → 0) y además, similarmente
limx→0
5 sen 5x
5x= 5,
entonces:
limx→0
sen 3x
sen 5x= lim
x→0
3 sen 3x
3x5 sen 5x
5x
=3
5.
Ejemplo 32 Calcule limx→0
tanx
x.
Note que
limx→0
tanx
x= lim
x→0senx
x cosx= lim
x→01
cosx· limx→0
senx
x= 1 · 1 = 1.
Ejemplo 33 Calcule limx→0
senx− tanxx2
.
limx→0
senx− tanxx3
= limx→0
senx
µ1− 1
cosx
¶x3
= limx→0
senx
µcosx− 1cosx
¶x3
= limx→0
·senx (cosx− 1)
x3 cosx· cosx+ 1cosx+ 1
¸= lim
x→0senx
¡cos2 x− 1¢
x3 cosx (cosx+ 1)
= limx→0
− sen3 xx3 cosx (cosx+ 1)
Como sen2 x+ cos2 x = 1, entonces cos2 x− 1 = − sen2 x, continuando:
limx→0
senx− tanxx3
= limx→0
senx¡cos2 x− 1¢
x3 cosx (cosx+ 1)= lim
x→0− sen3 x
x3 cosx (cosx+ 1)
= limx→0
·³senxx
´3 −1cosx (cosx+ 1)
¸=−12.
31
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Ejemplo 34 Calcule limx→−2
tan (πx)
x+ 2.
Realiuzando el cambio de variable y = x+ 2 se obtiene que
limx→−2
tan (πx)
x+ 2= lim
y→0tan (πy − 2π)
y
Como la tangente es una función periodica de periodo π entonces tan (πy − 2π) = tan (πy) , así
limx→−2
tan (πx)
x+ 2= lim
y→0tan (πy − 2π)
y= lim
y→0tan (πy)
y
= limy→0
sen (πy)
πy
π
cos (πy)= 1 · π
1= π.
2.8.1 Ejercicios
Calcule
1. limx→0
x3 sen1
x2. R/0
2. limx→0
sen2 x
x. R/0
3. limx→0
senx− sen(−x)tanx− tan(−x) . R/1
4. limx→0
x3 + 3x
sen (3x). R/1
2.9 Limites al infinito
Teorema 10 Si c es una constante y r es un número racional positivo, entonces
limx→∞
c
xr=
c
+∞ = 0.
Similarmentec
−∞ = 0.
Ejemplo 35 Calcule limx−→−∞
4x3 − x
5x3 + 2x2
limx−→−∞
4x3 − x
5x3 + 2x2= lim
x−→−∞x3¡4− 1
x2
¢x3¡5− 2
x
¢ = limx−→−∞
4− 1x2
5− 2x
=4
5
Ejemplo 36 Calcule limx−→+∞
5√3x12
x3
32
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Note que si se sustituye x por infinito se obtiene una forma indeterminada∞∞ . Desracionalizando se
tiene que:5√3x12
x3=
x25√3x2
x3·
5√x3
5√x3=
5√3
5√x3
,
por lo tanto
limx−→+∞
5√3x12
x3= lim
x−→+∞
5√3
5√x3=
5√3
+∞ = 0.
Ejemplo 37 Calcule limx−→∞
¡√x− 1−√2x− 1¢
Note que si se sustituye x por infinito se obtiene una forma indeterminada ∞−∞. Desracionalizando
se tiene que:√x− 1−√2x− 1 = −x√
x− 1−√2x− 1 (realícelo), por lo tanto
limx−→+∞
¡√x− 1−√2x− 1¢ = lim
x−→+∞−x√
x− 1 +√2x− 1 .
Sin embargo si se sustituye x por infinito se obtiene de nuevo otra forma indeterminada∞∞ . Note que
−x√x− 1 +√2x− 1 =
−xsx2µ1
x− 1
x2
¶+
sx2µ2
x− 1
x2
¶=
−x
|x|Ãr
1
x− 1
x2+
r2
x− 1
x2
!Como x→ +∞, se puede suponer que x > 0, entonces |x| = x, así
limx−→+∞
¡√x− 1−√2x− 1¢ = lim
x−→+∞−x
x
Ãr1
x− 1
x2+
r2
x− 1
x2
!= lim
x−→+∞−1r
1
x− 1
x2+
r2
x− 1
x2
=−10+
= −∞
Ejemplo 38 Calcule limx→∞
¡√2x2 − 3−√x3 − 4¢
limx→∞
³p2x2 − 3−
px3 − 4
´= lim
x→∞√x2
Ãr2− 3
x2−rx− 4
x2
!
= limx→∞x
Ãr2− 3
x2−rx− 4
x2
!= ∞ ·−∞ = −∞
33
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Ejemplo 39 Calcule limx→−∞
√3− x−√4− 2x√
5− x=
Factorizando√−x se obtiene que
limx→−∞
√−xÃr
1− 3x−r2− 4
x
!√−x
r1− 5
x
= limx→−∞
r1− 3
x−r2− 4
xr1− 5
x
= 1−√2.
Recordemos la gráfica del arcotangente:
2
-2
-5 5
-π
2
π
2
De acuerdo a su gráfica se tiene que
limx→−∞ tan
−1 x = −π2
y limx→∞ tan
−1 x =π
2
Ejemplo 40 Calcule limx→−∞
tan−1 xx
limx→∞
tan−1 xx
=π
2limx→∞
1
x=
π
2· 0 = 0.
2.9.1 Ejercicios
Calcule
1. limx→∞ 2x
3 + x2 + 1. R/+∞
2. limx→∞ sin
1
x. R/0
3. limx→∞
2x+ 3
x2 + 3x. R/0
4. limx→∞
2x4
3x2 + 2x. R/∞
34
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5. limx→∞
3x3 + 1
4x2 + 2x. R/∞
6. limx→∞
√x2 + 10x
x− 8 . R/1
7. limx→+∞
x2
7√x13
. R/ ∞
8. limx→+∞x
¡√3x− 1−√3x− 5¢ R/ ∞
9. limx→+∞
√3x+ 4−√2x+ 4
xR/ 0
10. limx→+∞
√3x2 + 4−√2x2 + 4
xR/√3−√2
11. Utilice el teorema del emparedado para probar que limx→∞
sinx
x= 0
2.10 Otros límites
Recuerde que se define la parte entera de x : [|x|] como el máximo entero menor o igual que x.
Ejemplo 41 Se tiene que:
limx→2−
[|x|] = 1, limx→2+
[|x|] = 2, limx→2+
[|x− 3|]x
=−12,
note que limx→2
[|x|] NO EXISTE.
En algunas un cambio de variable del límite puede permitir expresarlo como el cociente de dos poli-nomios.
Ejemplo 42 Calcule limx→0+
2 5√x− 3 4
√x
3 3√x+ 2 4
√x.
Si se sustituye se obtiene la forma indeterminada0
0. El mínimo común múltiplo de los índices de las
raíces es 60, por lo tanto realizando el cambio de variable x = y60 para eliminar las raíces. Cuandox → 0+, note que y → 0 (y puede ser positivo o negativo), sin embargo como 4
√x = y15 debe ser
positivo, entonces y → 0+ :
limx→0+
2 5√x− 3 4
√x
3 3√x+ 2 4
√x
= limy→0+
2y12 − 3y153y20 + 2y15
= limy→0+
y12¡2 + y3
¢y15 (3y5 + 2)
= limy→0+
2 + y3
y3 (3y5 + 2).
35
Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 2. Límites Prof. Geovany Sanabria
Si se sustituye y por 0, en este último límite, se obtiene la formac
0, dado que ya es un límite lateral,
se obtiene:
limy→0+
2 + y3
y3 (3y5 + 2)=
2
0+= +∞.
Por lo tanto, el limx→0
2 5√x− 3 4
√x
3 3√x+ 2 4
√x= +∞.
Ejemplo 43 Calcule limx→−∞
3x53 − 2x 1
3 + 1
2x43 + 2x− 2
33√x5
.
Realizando el cambio de variable x = y3 para eliminar las raíces, se obtiene:
limx→−∞
3x53 − 2x 1
3 + 1
2x43 + 2x− 2
33√x5
= limy→−∞
3y5 − 2y + 12y4 + 2y3 − 2
3y5= lim
y→−∞3− 2
y4 +1y5
2y +
2y2 − 2
3
=3
−23= −9
2.
Ejemplo 44 Calcule limx→16
x+√x− 20√
x− 4Anteriormente se calculo este límite racionalizando y desracionalizando. También se puede calcularde una manera más simple realizando un cambio de variable. Sea x = y2, note que si x→ 16 entoncesy → 4, por lo tanto:
limx→16
x+√x− 20√
x− 4 = limy→4
y2 + y − 20y − 4 = lim
y→4(y − 4) (y + 5)
y − 4 = limy→4
(y + 5) = 9.
Para el calculo de límites de funciones exponenciales y logarítmicas es necesario tener presente susgráficas:
Función exponencial ax
0 < a < 1 a > 1
2
1
2
2
1
-2
limx→∞ ax = 0 lim
x→∞ ax = +∞lim
x→−∞ ax = +∞ limx→−∞ ax = 0
36
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Función logaritmo loga x0 < a < 1 a > 1
2
1
2
-1
-2
2
limx→∞ loga x = −∞ lim
x→∞ loga x = +∞limx→0+
loga x = +∞ limx→0+
loga x = −∞
Ejemplo 45 Note que:
a) limx→0−
(x+ 2) e3x = 2 · e−∞ = 0
b) limx→2+
3x
ln (x− 2) =6
−∞ = 0
c) limx→+∞
e3x +
µ1
2
¶x3x
= limx→+∞
·µe3
3
¶x+
µ1
6
¶x¸= +∞
d) limx→+∞ 5
ln 3x+1
x2+2 = limx→+∞ 5
lnx2( 3x+ 1
x2)
x2(1+ 2x2) = 5ln 0
+
= 0
Ejemplo 46 Calcule limx→∞
3x − senx5x
Note que3x − 15x
≤ 3x − senx5x
≤ 3x + 1
5x
Utilizando el Teorema del Emparedado se tiene que
limx→∞
3x − 15x
≤ limx→∞
3x − senx5x
≤ limx→∞
3x + 1
5x
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Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 2. Límites Prof. Geovany Sanabria
y como
limx→∞
3x − 15x
= limx→∞
·µ3
5
¶x−µ1
5
¶x¸= 0
limx→∞
3x + 1
5x= lim
x→∞
·µ3
5
¶x+
µ1
5
¶x¸= 0
entonces limx→∞
3x − senx5x
= 0
Ejemplo 47 Calcule limx→∞
2x3 + x2 − tan−1 x3x2 − x3
Note que2x3 + x2 − π
2≤ 2x3 + x2 − tan−1 x ≤ 2x3 + x2 +
π
2
además, dado que x→∞, entonces se puede supones que x > 3 y por lo tanto 3x2−x3 = x2 (3− x) <0, así
2x3 + x2 +π
23x2 − x3
≤ 2x3 + x2 − tan−1 x3x2 − x3
≤2x3 + x2 − π
23x2 − x3
, con x > 3
Utilizando el Teorema del Emparedado se tiene que
−2 ≤ limx→∞
2x3 + x2 − tan−1 x3x2 − x3
≤ −2
entonces2x3 + x2 − tan−1 x
3x2 − x3= −2
Ejemplo 48 Suponga que limx→0
f (x)
(2x2 − 4x) = 4. Calcule L = limx→0
f (x)
sen (2x− x2)
L = limx→0
µf (x)
sen (2x− x2)· 2x− x2
2x− x2
¶= lim
x→0
µ2x− x2
sen (2x− x2)· f (x)
2x− x2
¶= lim
x→0
µ2x− x2
sen (2x− x2)· −2f (x)−2 (2x− x2)
¶= −2 lim
x→0
µ2x− x2
sen (2x− x2)· f (x)
(2x2 − 4x)¶
= −2 limx→0
2x− x2
sen (2x− x2)· limx→0
f (x)
(2x2 − 4x) = −2 · 1 · 4 = −8
2.10.1 Ejercicios
1. Calcule los soguientes límites:
(a) limx→∞
senx
2x
2. Realice los ejercicios de la práctica: "Ejercicios sobre Límites" de las páginas 4-5.
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