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CAPITULO 5Funciones de
Variables Aleatoriasy
Función Generadora de Momentos
Estadística Computacional
Sea X v.a. con función de densidad (cuantía) fX. Sea Y = g(x). Entonces:
X es v.a. discreta y g continua Y = g o X es v.a. discreta
X es v.a. continua y g continua Y = g o X sea v.a. continua
Funciones de Variables AleatoriasFunciones de Variables Aleatorias
P(C) = P[{ x RX : H(x) C}] = P[{ s : H(X(s)) C}]
H(x) C
H(X(s)) C
RY
CX(s) B
RX
BA
s A
X : X : RRXX
s dominio Xx RX rango X(s, x) X
H : RH : RXX R RYY
x RX dominio Hy RY rango H(x, y) H
Y : Y : RRYY
s dominio Y = H(X)y RY rango Y = H(X)(s, y) Y = H(X)
Transformación de VariablesTransformación de Variables
Sea X una v.a. discreta con función de cuantía f(xij)
x11 x21 x31 x41 ······· xn1 x12 x22 x32 ·· xn2 x13 x23 x33 ·· xn3 x1j x2j x3j ·· xnj
X
Y
y1 y2 y3 yj
Sea H(xij) = yj una función que tiene la propiedad de asignar un valor yj a todo xij j J para i = 1, 2, 3 ,...; j = 1, 2,...
f(x11) ··· f(x31) ·······f(xn1) f(x12) ········· f(xn2) f(x13) ········· f(xn3) f(x1j) ········· f(xnj)
Entonces Y = H(X) es una variable aleatoria
con función de cuantía g(yj) = f(xij)
Entonces Y = H(X) es una variable aleatoria
con función de cuantía g(yj) = f(xij)nj
ij = 1j
Transformación de VariablesTransformación de Variables
Sea X v.a. con función de densidad (cuantía) fX(x) Sea Y = H(x) también es una variable aleatoria.
Entonces:Si H(x) continua
continua
Si H(x) discreta
discreta
X es v.a.Y = H( X) es v.a. continua
Y = H( X) es v.a. discreta
Y = H( X) es v.a. discreta
Y = H( X) es v.a. discreta
Transformación de VariablesTransformación de Variables
X : R g : D R
Y = g(X) v.a.
v.a.c. fu continua, estrictamente monótona, derivable y con derivada no nula en A D
Entonces:
)()(
))(()( )( yIdyydg
ygfyf AgXY
1
1
Funciones de Variables AleatoriasFunciones de Variables Aleatorias
g(y) = G’(y) (y - 1)g(y) = G’(y) (y - 1)29
1 2 3 4 5
1
yy
g(y)
1 2
y = 3x + 11
2
3
4
x
y
Sea Y = H(X) = 3X + 1
pdf de Y; g(y) ?
x
Sea X v.a. f(x) = 2x 0 < x < 1
f(x) = 2x 0 < x < 1
2
f(x)
1
= P(X (y – 1)/ 3)
= 2x dx = [y – 1]2
(y –1)/3
0
19
G(y) = P(Y y) = P(3X + 1 y)
Transformación de V.A. ContinuasTransformación de V.A. Continuas
Funciones de Variables Aleatorias
Ejemplo:
fX(x) = I0,1(x)g(x) = ln x
Sea Y = g o X = ln X.
Encontrar la densidad de Y = ln X
Solución:
Sea A = 0,1 D = R+
Además g es derivable y con derivada no nula en A
Entonces:
)()()()(ln yIeyIeefyfR
y
R
yyXX 1
Funciones de Variables AleatoriasFunciones de Variables Aleatorias
Caso X U (0,1) H(X) = ln X
Sea X ~ U(0,1)
f(x) = 1 0 < x < 1
Y = H(X) Y = ln X
X = H-1(Y) X = eY
encontrar g(y)
G(y) = P(Y y)
P(ln X y)
P(X ey )
F(ey)
1
g(y)
y
-
g(y) = G’(y) = = 1 x ey
dx
dydF(x)
dx
g(y) >0 x y
0 -
1 0
Solución:
Además, algunas propiedades de Y son:
R
y dxxIxXEdyyeYE1
0
101 )(lnln ,
112 YEYV
Funciones de Variables AleatoriasFunciones de Variables Aleatorias
Un método operativo
X U (0,1) Y = ln X
derivando con respecto a “y” tenemos:
)(ln)()( yXPyYPyFY )()( y
Xy eFeXP
yyX
yX
YY eefdydx
dxedF
yFdyd
yf )()(
)()(
)( yIeR
y1
En general, sea X v.a.c. En general, sea X v.a.c. Y = X Y = X22
Consideremos X Consideremos X N(0,1), sea Y = X N(0,1), sea Y = X22, luego:, luego:
Y 2(1)
)()()( yfyfy
yf XXY 2
1
21
22122
22
1
2
1
2
1/
////)(
yyy
Y
eyee
yyf
Un método operativo
Ejercicio
Sea X = ln Y N ( , 2 )
Encontrar la distribución de Y
Nota: Y se conoce como distribución Log-normal.
Distribución Log-Normal
Función de Densidad LN( 0, 2)
Función Generadora de MomentosDefinición: Sea X v.a. (d. ó c.) con densidad o cuantía fX. Se llama función generadora de momentos a
: D R R / X(t) = E [etX] t X(t)
X v.a.d.
X v.a.c.
Ii
iXtx
X xfet i )()(
R
txX dxxfet )()(
Función Generadora de MomentosObservaciones:
Tal serie o integral pude no existir siempre t D. Sin embargo, t = 0 existe siempre, y vale 1. Deseamos que exista V(0,)D y que además sea derivable k-veces. Cuando X(t)=E[etX] no exista, podemos usar X(t)=EeitX llamada función característica.
Función Generadora de MomentosX X(t)
U(a,b)
tee
ab
atbt1
P()
)( 1tee
Exp()
tt
N(,2) 222 /tte
Función Generadora de Momentos
X X(t)
(,)
t
B(n,p)
nppet )( 1
Función Generadora de Momentos
Usando el desarrollo en serie de Maclaurin Usando el desarrollo en serie de Maclaurin XX(t)(t)
...
!...
!!)(
nxtxtxt
txEeEtnn
txX 32
13322
...!
...!
)( nn
X XEnt
XEt
XtEt 22
21
’’XX(0) = E[X](0) = E[X]
’’’’XX(0) = E[X(0) = E[X22]]
En general, bajo condiciones de regularidad:n
X(0) = E[Xn]
Función Generadora de Momentos
Finalmente:
Si Y = X + Y(t) = et X(t)
Z = X + Y ; X Y Z(t) = X(t) Y(t)
Función de Densidad LN( 0, 2)
Distribución Log-NormalDistribución Log-Normal
Caso X U (0,1) H(X) = e-X
Sea X ~ U(0,1)
f(x) = 1 0 < x < 1
Y = H(X) Y = e-X
X = H-1(Y) X = - ln Y
encontrar g(y)
G(y) = P(Y y) = P(e-X y)
P(- X ln y ) =
P(X - ln y ) =
1 – F(ln y)
g(y) x y
0 1
1 e-1
1
g(y)
y
e-1 1
g(y) = G’(y) = = - 1 dx
dydF(x)
dx_ 1 y
Entonces:)(
))(()(dy
ydHyHfyg
XY=
--
11
X : X H : X Y
Y = H(X) v.a.
v.a.c.H() continua, estrictamente monótona, derivable y con derivada no nula en A Y
Transformación de V.A. ContinuasTransformación de V.A. Continuas
Caso X U (0,1) H(X) = X2
Sea X ~ U(0,1)
f(x) = 1 0 < x < 1
Y = H(X) Y = X2
X = H-1(Y) X = Y ó X = - Y
encontrar g(y) =
G(y) = P(Y y) = P(X2 y)
P(- y X y ) =
F( y ) – F(- y )
g(y) = f( y ) + f(- y )12 y
G’(y) =dF(y)
dx
dx
dydF(-y)
dx
dx
dy
Caso X N (,2) H(X) =(X – )
Sea X ~ N(,2)
f(x) = e - < x <
Y = H(X) Y =
X = H-1(Y) X = Y +
encontrar g(y)
X – g(y) = f(x)
dx
dy
Sabemos que
= e2
1
y + -
12
2
*
g(y) = 2
1
e - 12
y 2Reconocemos la Normal Estandar
(N(0,1)
1
2
- ½x -
2
Caso X N (,2) H(X) = ln X
Sea X ~ N(,2)
f(x) = e - < x <
Y = H(X) Y = ln X
X = H-1(Y) X = eY
encontrar g(y)
g(y) = f(x) dx
dy
Sabemos que
= e2
1
ey -
1
2
2
* ey
g(y) = e2
1
ey -
1
2
2
y
1
2
- ½x -
2
Caso X N (,2) H(X) = eX
Sea X ~ N(,2)
f(x) = e - < x <
Y = H(X) Y = eX
X = H-1(Y) X = lnY
encontrar g(y)
g(y) = f(x) dx
dy
Sabemos que 1
2
- ½x -
2
= 2
1
e
lny –
12
2
* 1y
Se le denomina distribución
LogNormal: (N(0,1)yg
1
2
y-
= elny –
12
2
Fenómenos aleatorios representados por variables aleatorias con esta distribución:
• Diámetro de pequeñas partículas después de un proceso de chancado
• El tamaño de un organismo sujeto a un número pequeño de impulsos
• Rentas de familias; consumo de electricidad; ventas en pesos; etc.
• Tiempo de vida de ciertos ítems
• Análisis de riesgo financiero en el cálculo del VAN
Distribución LogNormal (0,1)Distribución LogNormal (0,1)
Rx
E[X] = e
V[X] = e2(e– 1)
F(x) : No tiene expresión analítica.
ef(x) =2
ln x -
_x-1
212
Distribución LogNormal (, 2)Distribución LogNormal (, 2)
Caso X N(0,1) H(X) = X2
Sea X ~ N(0,1)
f(x) = e - < x <
Y = H(X) Y = X2
X = H-1(Y) X = Y
. ó X = - Y
encontrar g(y)
g(y) = f( y ) + f(- y )12 y
Sabemos que:
21
22122
22
1
2
1
2
1/
////
yyy ey
eey
---- =
+=
yg21
221
2 /
// yey
--
=Reconocemos una distribución ; con = 1
1
2
- ½ x 2
Sea X ~ U(1, 3)
H(X) = 3X + 1
J(X) = eX
Sea f(x) = e-x x > 0
H(X) = X3
J(X) = 3(X + 1)2
Sea f(x) = 2x 0 < x < 1
H(X) = 3X + 1
J(X) = e-X
Sea f(x) = ½ -1 < x < 1
H(X) = 4 – x2
J(X) = ln X
Desafíos ...Desafíos ...
)f(x = x > 0
ex
x
22 2
21
2
1
2 =