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8/20/2019 Capitulo III Estatica Dos Fluidos
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Introdução à Mecânica do Fluidos
Copyright (c) 2010by John Wiley & Sons, Inc
Universidade Federal Fluminense – EEIMVR - VEM
Mecânica dos Fluidos II. L. Ferreira, A. J. Silva, J. F. Feiteira
Capítulo 3
Estática dos
Fluidos
Empuxo causado pela
diferença de massaespecífica entre o araquecido e o ar
atmosférico.
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.1 Introdução
Tópicos Principais: Equações básicas da estática dos fluidos;
Variação de pressão na estática dos fluidos;
Forças hidrostáticas em superfícies submersas; Empuxo.
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
O elemento infinitesimal de volume dV pode ser expressoem termos de coordenadas cartesianas conforme,
Forças de Campo: Para um elemento de fluido diferencial, a força de campo
gravitacional pode ser expressa da forma;
V d gdmgF d B ρ rr
r
==
dzdydxV d =
então,
dzdydxgV d gF d B ρ ρ rr
r
==
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
Forças de Superfície: Para um fluido, na ausência de qualquer tensão de
cisalhamento, a única força de superfície atuante é a força
devido à pressão, que, por sua vez, é um campo escalar;
( ) z y x p p ,,=
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2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
Forças de Superfície: A pressão no lado esquerdo (E) será;
( )
−
∂∂+=−
∂∂+=
2dy
y p p y y
y p p p E E
Manipulando os sinais, tem-se
2dy
y p p p E ∂
∂−=
Semelhantemente, para o lado direito, obtém-se,
2
dy
y
p p p D
∂
∂+=
2
dx
x
p p pP∂
∂−=
2
dx
x
p p pF
∂
∂+=
2dz
z p p p I ∂
∂−=
2
dz
z
p p pS
∂
∂+=
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2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
Forças de Superfície: Escrevendo as equações para a força nas superfícies,
tem-se;
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )k dxdydz z p pk dxdydz
z p p
jdxdzdy
y
p p jdxdz
dy
y
p p
idydzdx
x
p pidydz
dx
x
p pF d S
ˆ2
ˆ2
ˆ2
ˆ2
ˆ2
ˆ2
−
∂∂++
∂∂−
+−
∂
∂++
∂
∂−
+−
∂
∂++
∂
∂−=
r
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2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
Forças de Superfície: Agrupando e cancelando os termos,
dzdydxk z
p j y
pi x
pF d S
∂
∂
+∂
∂
+∂
∂
−= ˆˆˆ
r
Pode ser reescrita da forma,
( ) ( )dzdydx pdzdydx pF d S −∇≡−≡ gradr
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2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
ou,
Forças Total: Combinando as formulações desenvolvidas para forças
de campo e de superfície, obtém-se a força total atuandosobre um volume de fluido;
dxdydz pdxdydzgF d F d F d S B ∇−=+= ρ r
rrr
( ) V d g pF d r
r
ρ +∇−=
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2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
Substituindo na equação anterior,
Segunda Lei de Newton: Aplicando a 2ª Lei do movimento de Newton;
0=+∇− g p
r
ρ
0== aV d
F d rr
ρ
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2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
Esta é uma equação vetorial que pode ser decomposta em
suas componentes,
Força Total: Significado da equação;
0
pontoumem volumedeunidade
porcampodeforça
pontoum emvolumedeunidadepor
resultantepressãodeforça
=+∇−
g p r
=+∂
∂−
=+∂∂−
=+∂
∂−
zg z
p
yg y p
xg x
p
z
y
x
direção ,0
direção ,0
direção ,0
ρ
ρ
ρ
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2.2 Equações Básicas da Estática dos Fluidos
Força Total: Se o sistema de referência for escolhido, como z vertical,
g x = g y = 0 e g z = -g 0, então;
00 =−∂
∂− g
z
p ρ e, 0=
∂
∂=
∂
∂
y
p
x
p
Limitações:
i. Fluido estático;
ii. A gravidade é a única força de campo;
iii.O eixo z é vertical e aponta para cima.
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Variação da Pressão em um Fluido Estático
Então, admitindo a
massa específicaconstante,
Relação Pressão-Altura: Integrando a equação anterior para a direção vertical, z ,
de p 0 a p e de z 0 a z , tem-se:
∫∫ −= z
z
p
p
dzgdp
00
0 ρ
[ ]000 z zg p p −−=− ρ e, fazendo-se obtém-se, z zh −= 0
hg p p 00 ρ =−
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2.3 Variação da Pressão em Fluido Estático
Atmosfera Padrão Ainda é busca de consenso, uma padronização do
comportamento da atmosfera, principalmente datemperatura em função da altitude. O modelo EUAapresenta a seguinte característica ao nível do mar:
Propriedade Símbolo SI
Temperatura T 15 oC
Pressão P 101,325 kPa
Massa Específica ρ 1,225 kg/m3
Peso Específico γ ---------------------------
Viscosidade µ 1,789 10-5 (Pa.s)
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2.3 Variação da Pressão em Fluido Estático
Atmosfera Padrão
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2.3 Variação da Pressão em Fluido Estático
Fluido Compressível: Gás ideal Considerando gases ideais, a massa específica varia
consideravelmente com a altitude. Para que a integraçãoseja realizada, a massa específica deve ser expressa emtermos de outras variáveis da equação. Desta forma,
T Rn pV = e, T R
M
m
V
p1
= então,T R
p= ρ
Utilizando a equação da pressão hidrostática,
dzT R
g
p
dpg
dz
dp 00
−=∴−= ρ
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2.3 Variação da Pressão em Fluido Estático
Fluido Compressível: Gás ideal Integrando de z = 0 onde p = p 0 até z = z onde p = p :
Até cerca de 11.0 km de altitude, a temperatura varialinearmente com a altitude, segundo o gráfico temperaturax altitude da atmosfera padrão no slide anterior, assim,
∫∫ =−= z
z
p
p
dzT R
g
p
dp
0
0
0
mzT zT −= 0)( logo, ( )∫∫=
−−=
z
z
p
p
dzmzT R
g
p
dp
0 0
0
0
fornecendo,
mR
g
T
mz p p
0
0
0 1
−= ou,
mR
g
T
T p p
0
0
0
=
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Agora será iniciada a análise de forças sobre umasuperfície submersa a fim de especificar: A magnitudeou módulo da força, o sentido da força e a linha de açãoda força. Isto se aplica à:
i. Forças Hidrostáticas sobre uma Superfície PlanaSubmersa;
ii. Força Resultante sobre uma Superfície Plana Inclinada;
iii. Força sobre uma Superfície Curva Submersa.
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Força Hidrostática sobre uma Superfície Plana Inclinada:
Objetivo:
Determinar |F R| e (x ’, y ’) onde a força é aplicada.
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Força Hidrostática sobre uma Superfície Plana Inclinada: A força de pressão que atua sobre um elemento de área
dA = dx dy da face superior é dada por:
dA pdF =
A resultante é o somatório de todas as contribuiçõesinfinitesimais sobre a superfície inteira, logo
∫= A R dA pF
A pressão numa altura h pode ser expressa como,
hg p p 00 ρ +=
logo,
∫∫∫ +=+= A A A
R dA yg A pdA ygdA pF θ ρ θ ρ sinsin 0000
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Força Hidrostática sobre uma Superfície Plana: A integral do primeiro momento de área da superfície em
torno de x , pode ser escrita como,
onde, y C é o centróide da área A. Então,
A ydA y C A
=∫
( ) Ahg p A yg A pF C C R 0000 sin ρ θ ρ +=+=Em outras palavras,
A pF C R =
Onde p C é a pressão absoluta no líquido na posição docentróide de área A. A força resultante somente é calculadaatravés de p C. Este ponto não é o ponto de aplicação da forçaresultante.
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
A tarefa agora é determinar as coordenadas do ponto deaplicação da força resultante, x ’ e y ’. Para tanto, y ’ pode serobtido, reconhecendo-se que o momento da força resultanteem torno de eixo x deve ser igual ao momento devido à força
de pressão distribuída, ou seja,
( ) ( )∫∫∫ +=+==′ A A A
R dA yg p ydAhg p ydA p yF y θ ρ ρ sin00
Da mesma forma,
∫∫ +=′ A A
R dA ygdA y pF y2
0 sinθ ρ
A primeira integral e a segunda Integral são,
A y pdA y p C A
00 =∫ e, xx A
I gdA yg θ ρ θ ρ sinsin 2 =∫
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
( ) x xC C C x xC R I g A yg p y y A I g A y pF y ˆˆ02
ˆˆ0 sinsinsin θ ρ θ ρ θ ρ ++=++=′
Utilizando o teorema dos eixos paralelos para substituir I xx,pelo segundo momento de área padrão,
Então,
logo,
2
ˆˆ C x x xx Ay I I +=
ou,
( ) x xC C R I g Ahg p yF y ˆˆ0 sinθ ρ ++=′
substituindo,
x x RC R I gF yF y ˆˆsinθ ρ +=′
R
x xC
F
I g y y ˆˆ
sinθ ρ +=′
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Se esta mesma pressão atua sobre o outro lado dasuperfície, cancelando-se o efeito de p 0 no cálculo da forçalíquida, obtém-se,
ou,
Para qualquer situação de placa submersa, y’ > yC, o queimplica que o ponto de aplicação está sempre abaixo docentróide.
C
x xC
y A
I y y ˆˆ+=′
A yg A pF C
amanométric
C R
θ ρ sin==
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Uma análise similar pode ser feita para x ’, que é acoordenada x do ponto de aplicação da força resultantesobre a superfície. Assim, tomando-se a soma dosmomentos das forças infinitesimais dF em torno de y , obtém-
se
∫=′ A
R dA p xF x
Pode-se então expressar p como função de y ,
( ) ( )dA y xg x pdAhg p xdA p xF x A A A
R ∫∫∫ +=+==′ θ ρ ρ sin00
Finalmente,
dA y xgdA x pF x A A
R ∫∫ +=′ θ ρ sin0
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Substituindo os valores da primeira e segunda integrais,
A primeira integral e a segunda Integral são,
A x pdA x p C A
00 =∫ e, xy A
I g ydA xg θ ρ θ ρ sinsin =∫
Utilizando o teorema dos eixos paralelos para substituir I xy,pelo segundo momento de área padrão,
C C y x xy y x A I I += ˆˆ
C C y xC xyC R y x A I g A x p I g A x pF x ++=+=′ ˆˆ00 sinsin θ ρ θ
Simplificando,
( ) y xC C R I g A yg p xF x ˆˆ0 sinsin θ θ ρ ++=′
logo,( ) y x RC y xC C R I gF x I g Ahg p xF x ˆˆˆˆ0 sinsin θ ρ θ ρ ρ +=++=′
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Finalmente, obtém-se x ’ como,
R
y x
C F
I g x x
ˆˆsinθ ρ +=′
Novamente se a pressão ambiente atua também sobre ooutro lado da superfície, cancelando-se o efeito de p 0 nocálculo da força líquida, obtém-se,
C
y xC
y A I x x ˆˆ+=′
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Ex.: A superfície inclinada abaixo, articulada ao longo de Apossui 5 m de largura. Determine a força resultante, F R daágua e do ar sobre a superfície inclinada.
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Solução: A força resultante é F R, da água e do ar sobre acomporta. A fim de se determinar a resultante, deve-seencontrar:
i. A magnitude de F R;
ii. A linha de ação de F R;
iii.Solução por integração direta;
Método da Integração Direta:
As equações básicas utilizadas nesta solução são:
030sinη += Dh Mudança de variável: e, η d wdA =
hg p p ρ += 0 , ∫= A
R dA pF , ∫=′ A
R dA pF η η e ∫=′ A
R dA p xF x
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Como a pressão atmosférica age em ambos os lados, utiliza-se somente a pressão manométrica,
030sinη += Dh
Integrando-se,
e, η d wdA =
hg p ρ =
( )∫∫∫ +=== L
A A
R d w DgdAhgdA pF 0
sin η θ η ρ ρ
Para facilitar a integração, integraremos em relação a η aoinvés de y , desta forma, usando-se η para obter expressõespara h e dA, obtém-se
então,
( )
+=+= ∫ θ ρ η θ η ρ sin2
sin2
0
L L Dwgd w DgF
L
R
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Substituindo-se os valores numéricos na equação integrada,
Para fins de localização da força, calcula-se η’ , logo
Obtem-se,
+=
+= 30sin
2
40.40.20.5806.90.999sin
2
22
x x x x L
L DwgF R θ ρ
kN588≅ RF
∫=′ A
R dA pF η η
Desta forma,
( )∫∫∫ +===′ L
R
L
R A R
d w DgF
d w pF
dA pF
00
sin111
η θ η ρ η η η η η
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Substituindo-se os valores,
Integrando-se,
( )
+=+=′ ∫ θ
ρ η θ η η
ρ η sin
32sin
32
0
L DL
F
wgd D
F
wg
R
L
R
m22.230sin3
4
2
40.2
588000
0.5806.90.999 032
≅
+=′
x x xη
Considerando-se a conversão de variável...
m22.622.230sin
2
30sin 00 ≅+=+=+=′ η η ζ
D y
á
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Então,
Para encontrar x ’ considerandase o momento sobre o eixodos y, em torno da articulação A,
∫=′ A
R dA p xF x
m5.2
222
1====′ ∫∫ R
R A R A R
F
F
wdA p
F
wdA p
w
F
x
2 4 F hid á i S b
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Força Hidrostática sobre uma Superfície Plana, Submersa,com Pressão Manométrica diferente de zero na SuperfícieLivre:
2 4 F hid táti S b
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Enunciado: A porta mostrada na lateral do tanque éarticulada ao longo da borda inferior. Um pressão de 100
psfg é aplicada na superfície livre do líquido. Determine aforça, F t, requerida para manter a porta fechada.
Solução: Um diagrama do corpo-livre é mostrado abaixo,
2 4 F hid táti S b
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Solução: As distribuições de pressões sobre os lados internoe externo levarão à força líquida e portanto à sua localização.
Precauções no método de solução:
i. Cuidado na escolha do conjunto de equações para aresultante e sua localização;
ii. Pode-se usar tanto pressões absolutas (diagrama daesquerda) e calcular duas forças, quanto
iii. Pressões manométricas e calcular apenas uma força(diagrama da direita);
2 4 F hid táti S b
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Para problemas com pressões manométricas diferentes dezero na superfície livre. As componentes da força devido àarticulação são Ay e Az. A força F t pode ser determinada,tomando-se os momentos em torno da articulação A, logo
A pF C R = R
x xC
F
I g y y ˆˆ
sinθ ρ +=′, e 0=∑ A M
A força resultante e sua localização são,
( ) Lb L
p Ahg p A pF C C R
+=+==
200 γ ρ
e,
( ) ( )2
12
22
12
2
90sin
0
2
0
3
ˆˆ
0
L p
L L
Lb L p
bL L
F
I g y y
R
x xC
γ
γ
γ
γ ρ
++=
++=+=′
2 4 Forças hidrostáticas em Sup submersas
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Tomando-se os momentos em torno da articulação A, tem-se( ) y LF LF M Rt A ′−−=∑
Aplicando ambas as equações desenvolvidas,
Desta forma,
então,
′−=
L
yF F Rt 1
( ) 62212
21
21
2
0
0
2
0
Lb Lb p L
L p
L L Lb
L p
L
yF F Rt
γ
γ
γ γ +=
++−
+=
′−=
lbf 6006
32100
2
32100
62
22
0≅+=+=
x x Lb Lb pF t
γ
O ponto de aplicação da força resultante será,
( ) ( )ft8.1
23100100
123100
2
3
2
12
2
2
0
2
=+
+=+
+=′ x
x
L p
L L y
γ
γ
2 4 Forças hidrostáticas em Sup submersas
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Força Hidrostática sobre uma Superfície Curva Submersa:
Para superfícies curvas, as forças resultantes serãodeduzidas por integração da distribuição de pressão sobrea superfície. A força de pressão, agora, é normal a
superfície em cada ponto dos elementos infinitesimais deárea, dA, devido a curvatura da superfície, segundoesquema abaixo:
2 4 Forças hidrostáticas em Sup submersas
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
A força de pressão agindo sobre um elemento de área dA, édada por,
Ad pF d R
rr
−=
agindo no sentido oposto à normal da área. A resultantepode ser expressa como,
∫−= A
R Ad pF rr
a força pode ser representada da seguinte forma,
k F jF iF F Rz Ry Rx Rˆˆˆ ++=
r
Tomando-se o produto escalar em cada lado da equação,
∫∫∫ −=−=== ••• x A
x
A
Rx Rx dA pi Ad piF d iF F ˆˆˆ
rr
2 4 Forças hidrostáticas em Sup submersas
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Quando a pressão atmosférica atua sobre a superfície livre esobre o outro lado da superfície curva, a força líquida verticalé igual ao peso do fluido diretamente acima da superfície.Neste caso para se determinar a magnitude da componente
vertical, emprega-se
O termo abaixo representa o peso de um cilindro diferencialde líquido acima do elemento de área, dAz, estendendo adistância h da superfície curva até a superfície livre,
∫∫∫ −=−=−== •V A
z
A
z Rz Rz V d gdAhgdA pk F F
z z
ρ ρ ˆ
V d gdAhg z ρ ρ =
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2 4 Forças hidrostáticas em Sup submersas
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Ex: A comporta mostrada abaixo é articulada no ponto O eapresenta largura constante w = 5 m. A equação dasuperfície é x = y2/a, com a = 4 m. A profundidade da águaà direita da comporta é D = 4 m. Determine a magnitude da
força Fa aplicada, necessária para manter a comporta emequilíbrio se o peso da comporta for desprezado.
2 4 Forças hidrostáticas em Sup submersas
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Solução: O esquema de solução baseia-se na determinaçãodo momento em relação ao ponto O após encontrar as forçasvertical e horizontal devido à ação da água. A força vertical éigual ao peso do fluido sobre a superfície, porém, não há
fluido sobre a superfície.
2 4 Forças hidrostáticas em Sup submersas
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Solução: Para tanto, pode-se imaginar um sistema de forçasequivalentes mostrada na figura anterior, através de umdiagrama do corpo-livre, e assim determinar as forçasvertical e horizontal, sendo estas forças normais e opostas
àquelas de interesse. Em resumo, a magnitude e a localização da fluida vertical,são dadas pelo peso e posição do centróide do fluido acimada comporta. A magnitude e posição da força horizontal são
dadas pela magnitude e localização da força sobre asuperfície plana vertical equivalente a projeção da composta.
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Solução: As equações básicas são:
A pF C R =C
x xC
y A
I y y ˆˆ+=′, e V gF V ρ =
Para o cálculo de F H, a coordenada y do centróide, a área e o2º momento da superfície (placa fina) vertical projetada são,
2 Dh y C C == w D A =, e 123
Dw I xx =
Logo,
kN848,391542
4806.90.999 ==== x x x x Ahg A pF C C H ρ
para,
m67,26
4
2
4
622
12
2
3
ˆˆ=+=+=+=+=′
D D
Dw D
wD D
y A
I y y
C
x xC
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
Para calcular a força vertical, é necessário calcular o peso daágua sobre a comporta pelo sistema equivalenteapresentado. Para um elemento infinitesimal de volume,
( ) dxw y DV d −=Logo,
então,
( ) ∫∫
−=−==
a Da D
V dx xa Dwgdx y DwgV gF
22
0
2
1
0
ρ ρ ρ
logo,
a Da D
V xa x Dwgdx xa DwgV gF
22
0
2
3
0
2
1
3
2
−=
−== ∫ ρ ρ ρ
( ) kN232,261332 30
2
322
1
3
2
==
−= awDga Daa DwgF
a D
V ρ ρ
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
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2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
A localização de x’ desta força é dada pela posição do centrode gravidade da água acima da comporta, pois o momento deFV deve ser igual ao momento da soma dos pesosdiferenciais em y, logo
então,
a
Da D
V xa Dx
wgdx xa DxwgF x
22
0
252
0
2
3
5
2
2
−=
−=′ ∫ ρ ρ
m2,1231232410
45806.9999
105
2
2 2
5
2
5
2
5
2
5
===
−=′
x x
x x x
F a
Dwg
a
D
a
D
F
wg x
V V
ρ ρ
2.4 Forças hidrostáticas em Sup. submersas
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o ças d ostát cas e Sup sub e sas
Aplicando o momento sobre o ponto O, tendo o cuidado deaplicar os sinais adequados, pois o problema foi resolvido nosistema de referência com fluido acima da comporta, logo
então,
( ) 0=′−+′+−=
∑ H V aO
F y DF xF l M
( ) ( )kN927,166
5
848,39167,24232,2612,1≅
−+=
′−+′=
x
l
F y DF xF H V a
2.5 Empuxo e Estabilidade
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p
Empuxo:
Se um objeto estiver imerso em um líquido ou flutuandoem sua superfície, a força líquida vertical agindo sobre eledevido à pressão do líquido é denominada empuxo.
2.5 Empuxo e Estabilidade
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p
A força vertical que age sobre um corpo totalmente imersodevido à pressão hidrostática é determinada considerandoelementos de volume cilíndricos, mostrados abaixo,
Logo, a pressão p num líquido a uma profundidade h , será
hg p p ρ += 0
A força líquida vertical sobre o elemento é,
( ) ( ) ( )dAhhgdAhg pdAhg pdF z 121020 −=+−+= ρ
2.5 Empuxo e Estabilidade
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
p
Porém, o volume do elemento é dado por,
Por conseguinte,
V g p =
Onde V é o volume do objeto. Assim, a força de empuxo para
um corpo submerso, é igual ao peso do fluido deslocado.
∫∫ ==V
z z V d gdF F ρ
( )dAhhV d 12 −=
Relação utilizada em 220 a.C por Arquimedes para
determinar o teor de ouro da coroa do Rei Hiero II. Explica oprincípio de funcionamento de embarcações, balõesmetereológicos, submarinos, etc.
2.5 Empuxo e Estabilidade
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
p
O uso de lastro em embarcações pode ser necessário parase obter estabilidade. Navios de guerra feitos de madeiratransportavam lastro de pedras nos porões para compensaro peso dos canhões no convés de armas. A relação entre o
empuxo e a centro de gravidade é mostrada a seguir,
2.5 Empuxo e Estabilidade
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Ex: Um balão de ar quente de 50 ft de diâmetro develevantar um cesto de 600 lbf. Qual a temperatura que obalão deve ser aquecido de modo a possibilitar adecolagem?
2.5 Empuxo e Estabilidade
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Solução: A equação do empuxo deve ser empregada paradeterminar a sustentação gerada pela atmosfera. A equaçãode equilíbrio de forças deve contemplar a variação de massaespecífica em função da temperatura. Assim,
As hipóteses são: O ar se comporta como gás ideal e apressão atmosfera encontra-se por todos os lados.
V gF empuxo =
Somando as forças verticais,
, e0=∑ yF T R p =
0cargaquentearatmcargaquentear =−−=−−=∑ W V gV gW W F F empuxo y ρ ρ Então, tem-se,
3
3
carga
atmquentear ftslug0020903,06502,32
600002375,0 =−=−=
π ρ ρ
V g
W
2.5 Empuxo e Estabilidade
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A temperatura em Rankine será,
logo,
atmatmquentearquentear T R pT R ρ ρ ==
F130,18R19,5900020903,0
)46059(002377,0 00
quentear
atmatmquentear =≅+== xT T
ρ ρ
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Fluido como Corpo Rígido:
Existe uma categoria de movimento de fluidos que podeser estudada empregando os conceitos de estática dosfluidos, pois neste caso, este se movimenta como um
corpo rígido, na ausência de qualquer tensão decisalhamento.
O movimento de um corpo rígido pode ser dividido emdois movimentos: de rotação e de translação pura. As
forças de pressão e gravidade agindo sobre umapartícula fluida, são da forma
logo,
g pV d
F d rr
ρ +−∇=
( ) V d g pF d r
r
ρ +∇−=
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
conclui-se que,
ag p
V d
F d rr
r
ρ ρ =+−∇=∑
A resultante das forças que atuam sobre um corpo rígido, naausência de perda de massa, será,
=+∇−
fluido de partícula da aceleração
pontoumemvolumedeunidadepormassa
pontoumem volumedeunidade
porcampodeforça
pontoum emvolumedeunidadepor
resultantepressãodeforça x
ag p rr
ρ
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
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Sendo a equação anterior uma equação vetorial, ascomponentes desta equação em coordenadas retangularespodem ser expressas do seguinte modo,
=+∂
∂
−
=+∂
∂−
=+∂
∂
−
zag z
p
yag y
p
xag x
p
z z
y y
x x
direção ,
direção ,
direção ,
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
Para outros sistemas de coordenadas, por exemplo, ocilíndrico, o gradiente de pressão deve ser expresso de
forma apropriada,
z
pe
pe
r
pe p zr
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇ ˆˆˆ
θ θ
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Ex1: Deve-se transportar na traseira de uma van umtanque de peixes. Este tanque apresenta dimensões de 12x 24 x 12 in. Quanto de água se pode deixar no tanque eainda garantir que ela não derramará durante a viagem?
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Solução: Haverá movimentos na superfície da água, além de“sacudidas”. Todavia, admite-se que o principal efeito sobrea superfície da água é aquele devido às acelerações edesacelerações lineares do automóvel. O sistema de
coordenada escolhido, x será na direção do movimento e yna vertical. Também não haverá movimentos relativos daágua, pois as acelerações são constantes.
Dados do problema: Tanque parcialmente cheio até a
profundidade d , aceleração constante a x, altura do tanque 12in, comprimento na direção do movimento é b e a largura dotanque na direção perpendicular é c .
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Deve-se determinar:
i. A forma da superfície sob aceleração constante;
ii. A profundidade d , para evitar derramamento;
iii. A orientação ótima do tanque e a profundidade da água.
Equações básicas:
ag p rr
ρ =+∇−
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Expandindo a equação vetorial nas componentes escalares,
( ) ( ) z y x z y x ak a jaigk g jgi z
pk
y
p j
x
pi ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ++=+++
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂− ρ ρ
A pressão não é função de z , também, gx = gz = 0, gy = -g0 e ay= az = 0. Por conseguinte,
xaig j y
p j
x
pi ρ ρ ˆˆˆˆ 0 =−
∂
∂−
∂
∂−
As componente da força são são:
−=∂
∂
−=
∂
∂
0g y
p
a
x
p x
ρ
ρ
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
O problema agora é tentar determinar a forma que a pressãovaria em termos de x e y, ou seja,
Desta forma, é possível expressar a função p em função desuas derivadas parciais de x e y, logo
( ) y x p p ,=
( ) ( )dy
y
y x pdx
x
y x pdp
∂
∂+
∂
∂=
,,
Como a superfície livre é uma linha de pressão constante, p =cte, logo, dp = 0, obtendo-se
( ) ( )0
,,0 =−−=∂
∂
+∂
∂
dygdxady y
y x p
dx x
y x p x ρ ρ
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Logo, a forma da superfície livre pode ser expressa como,
0g
a
dx
dy x−=
Conseqüentemente, a superfície livre apresenta a formaplana.
No diagrama apresentado, a altura acima da profundidadeoriginal pode ser expresso como,
2tan
b
e=θ , então tem-se,
022tan
2 g
ab
dx
dybbe x=
−== θ Válida somente quando a superfície livre
intercepta a parede frontal no piso ou acima dele!
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Como deseja-se saber a espessura e, para uma dada ax
, otanque deve ser alinhado de forma que b seja tão pequenoquanto possível. Logo, b = 12 in, então
00 62 g
a
g
ab
e
x x ==
O valor máximo para a espessura, e , é da forma,
in 12 d e −=
Assim,
0
612g
ad x=− e
0
max 612g
ad x−=
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
E 2 U i i ilí d i i l h i d
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Ex2: Um recipiente cilíndrico, parcialmente cheio delíquido, é girado com uma velocidade angular constante,ω, em torno do seu eixo. Após um curto intervalo detempo, não existirá qualquer movimento relativo, o líquido
então gira com o cilindro como se o sistema fosse umcorpo rígido. Determine a forma da superfície livre.
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
S l ã P d f d fí i li d lí id
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Solução: Pede-se a forma da superfície livre de um líquidoem rotação. Assim, um diagrama do problema propostaapresenta a seguinte forma,
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Eq ações básicas
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Equações básicas:
ag p rr
ρ =+∇−
Expandindo a equação vetorial nas componentes escalares,
( ) z yr r zr ak aeaegk z pk p
r e
r pe ˆˆˆˆˆ1ˆˆ ++=+
∂∂+
∂∂+
∂∂− θ θ ρ ρ
θ
Também, aθ
= az = 0, ar = -ω2r. Por conseguinte,
r egk z pk p
r e
r pe r r
2
0ˆˆˆ1ˆˆ ω ρ ρ
θ θ −=−
∂
∂+∂
∂+∂
∂−
As componentes são,
r r
p 2ω ρ =∂
∂ , 0=∂∂θ p e 0g
z p ρ −=∂∂
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Observa se que a pressão não é função de θ e sim de r e z
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Observa-se que a pressão não é função de θ e sim de r e z ,
logo,
( ) ( )dz
z
zr pdr
r
zr pdp
∂
∂+
∂
∂=
,,
Portanto,( ) ( )
dzgdr r wdz z
zr pdr
r
zr pdp 0
2,, ρ ρ −=∂
∂+
∂
∂=
Integrando em relação a um ponto de referência 1 e outroqualquer,
∫∫∫ −= z
z
r
r
p
p
dzgdr r wdp
111
0
2 ρ ρ
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Substituindo os limites
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Substituindo os limites,
( ) ( )102
1
22
12
z zgr r w
p p −−−=− ρ ρ
Tomando o ponto de referência sobre o eixo do cilindro na
superfície livre, tem-se,
( )1022
atm2
h zgr w
p p −−=− ρ ρ
Como a superfície livre possui pressão constante,
( )
0
2
12g
wr h z +=
A superfície é um parabolóide de revolução, com vértice emz = h1.
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Para revolvermos h sob rotação em termos de h na
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Para revolvermos h 1, sob rotação em termos de h 0, naausência de rotação, sabe-se que o volume do líquidopermanece constante,
Como rotação,
0
2h RV π =
Simplificando,
∫∫∫ ∫
+===
R R R z
dr g
r wr hdr zr dr dzr V
0 0
32
1
00 0
2222 π π π
0
2
0
422
1
0 0
32
1
422 h R
g
Rw Rhdr
g
r wr hV
R
π π π =
+=
+=
∫
2.6 Fluidos em Movimentos de Corpo Rígido
Após a manipulação algébrica
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Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Finalmente,
Após a manipulação algébrica,
0
22
014g
Rwhh −=
( )
−−=+−=+=
2
0
22
0
0
22
0
22
0
0
2
12
1
2242 R
r
g
Rwh
g
r w
g
Rwh
g
wr h z
ou,
−−=
2
0
22
0
2
1
2 R
r
g
Rwh z