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Geotecnia III
Ing. Augusto J. Leoni 1
GEOTECNIA III“Introducción al Estado Crítico en Suelos”
Profesor: Ing. Augusto José Leoni
ESTADO CRITICO EN SUELOS
En 1958, un grupo de investigadores de la Universidad de Cambridge, encabezado por el Prof. Roscoe, desarrollan por primera vez un trabajo donde presentan un modelo en el que se interrelacionan los estados tensionales con las deformaciones y en el que se define el paso del estado elástico al estado plástico en los suelos, para un volumen crítico específico
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Recordemos el procedimiento básico que aplicábamos en la ejecución de un ensayo triaxial
σ1
σ2
σ3σ3
σ3
σ3
σ3σ1
σ3 σ3
σ1
σ1 - σ3
(σ1 - σ3) = Tensión desviante
Primera etapa: aplicamos una presión isotrópica de compresión σ3
Segunda etapa: Aplicamos la tensión desviante σd = (σ1 – σ3) y permitimos o no el drenaje de la probeta
Ensayos triaxiales: Descripción del equipo de ensayo
σ3
Aro dinamométrico Q = cte x deformación
Comparador centecimal 1 div = 0,01 mm
Probeta cilíndrica de suelos, altura = 2 diámetros
Cabezal superior
Cabezal inferior
Pistón de transferencia de carga
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Ensayos triaxiales
σ1
σ3 σ3
σd = Q/A = σ1−σ3
σ3
Primera etapa: Aplicamos σ3 sin aplicar carga
Segunda etapa: Con la probeta bajo un estado hidrostático de presión, aplicamos la tensión desviante σd que medimos en el aro dinamométrico
σ3 σ1 = σd + σ3 = Q/A +σ3
σ1 – σ3
ε
τ
σ
σ3−1
σ3−2
σ3−3
(σ1−σ3)1
(σ1−σ3)2
(σ1−σ3)3
σ3−1 σ3−2 σ3−3(σ1−σ3)1 (σ1−σ3)2 (σ1−σ3)3
Cada una de las probetas se ensayan con un valor de tensión confinante σ3 de manera de cubrir el rango de presiones confinantes existentes en el sitio que estamos estudiando y a la profundidad que nos interesa
Z
γ.Z
Ko.γ.Z
Ensayo no consolidado, no drenado, “Q”
cu
φu
Los parámetros de corte que resultan de este tipo de ensayos se expresan con en sub índice “u” que indica “no drenado” (undrained)
Cohesión = cu
Fricción = φu
C.R.I.
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Ensayos triaxiales drenados “S” (slow)
σ3
Velocidad de avance muy baja
∆V
Con ésta finalidad en la parte superior y en la parte inferior de la probeta, se colocan sendos discos de piedras porosas, las que se conectan a través de los cabezales, con válvulas externas.
Esto nos permite, además de mantener la presión del agua de poros en un valor cercano a cero, medir el cambio de volumen ∆V que experimenta la probeta durante el ensayo.
Como los tiempos que tarda una partícula de agua que se encuentra en el centro de la probeta para llegar a los cabezales de la misma son muy largos para una probeta de arcilla que tiene una permeabilidad del orden de 10-7 cm/seg, colocamos alrededor de la probeta un papel de filtro con el objeto de facilitar la llegada del agua de poros a las piedras porosas en los extremos.
Este papel de filtro es cortado en tiras en la parte del centro de la probeta para que no aporte resistencia al ensayo que se realiza
Ensayos triaxiales drenados “S” (slow)
σ3
Velocidad de avance muy baja
∆V
Dispositivo para medir el volumen de agua que drena o que penetra desde o hacia la probeta, durante las distintas etapas del ensayo
Embolo manual para generar presión
Indicador de cambio de volumen
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Ensayo triaxial, consolidado, no drenado, “R” con medición de presiones neutras
Contrap +σ3
Velocidad muy baja
Contrap. + ∆u
Presión
A
Si en la segunda etapa del ensayo, aplicamos la tensión desviante a una velocidad semejante a la de un ensayo drenado “S”. Durante la aplicación de la craga se generarán presiones intersticiales en el interior de la probeta saturada. Esta presión del agua de poros es una presión hidrostática que no genera tensiones de corte por lo que se la denomina “presión neutra” y se identifica con la letra “u”.
Si además colocamos a la salida de la cámara triaxial un transductor de presión, podremos medir la variación de la presión neutra a medida que aplicamos la tensión desviante.
Tendremos entonces, por un lado la tensión desviante (σ1 – σ3) y el valor de u. Sabemos además que:
)())()(()''( 313131 σσσσσσ −=−−−=− uu
u−= 33 ' σσ
De éstas ecuaciones se puede inferir que para representar los círculos de Mohr en términos de presiones efectivas, sabemos que el diámetro del círculo no cambia (σ1 – σ3) y que el valor de “σ3” se desplaza en el valor de “u”
)())()(()''( 313131 σσσσσσ −=−−−=− uu
u−= 33 ' σσ
Ensayo triaxial, consolidado, no drenado, “R” con medición de presiones neutras
σ1 - σ3
ε
+∆u
σ3-3
σ3-2
σ3-1−∆u
u1u2
u3
τ
σ3−1 σ3−2 σ3−3
ccu
φcuC.R.I.
σ
τ
c’
φ’
C.R.I.
σ
u1 u2 u3
(σ1 - σ3)3
(σ1 - σ3)2
(σ1 - σ3)1
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)())()(()''( 313131 σσσσσσ −=−−−=− uu
u−= 33 ' σσ
Ensayo triaxial, consolidado, no drenado, “R” con medición de presiones neutras
σ1 - σ3
ε
+∆u
σ3-3
σ3-2
σ3-1−∆u
u1u2
u3
τ
σ3−1 σ3−2 σ3−3
ccu
φcuC.R.I.
σ
τ
c’
φ’
C.R.I.
σ
u1 u2 u3
(σ1 - σ3)3
(σ1 - σ3)2
(σ1 - σ3)1
En el sistema de representación gráfica conocido como el “diagrama q – p´” en los ejes cartesianos ortogonales se representa lo siguiente:
En el eje de ordenadas: la tensión desviante: q = σd = (σ1 – σ3)
En el eje de las abscisas: La presión media efectiva
(σ1 – σ3) = σd = q q = σd = (σ1 – σ3)
p´ = (σ1 + σ2+ σ3)/3
33´ σ+=
qp
δσ3
3
3332331 33))((
31´ σσσσσσσσ +=+=+++−=
qp d
LINEAMIENTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DEL ESTADO CRITICOEnsayo Triaxial, Consolidado, Drenado.
3)(
´ 321 σσσ ++=p
=
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σ1 – σ3q = (σ1 – σ3)
p´ = (σ1 + σ2+ σ3)/3
LINEAMIENTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DEL ESTADO CRITICOEnsayo Triaxial, Consolidado, Drenado.
uqp −+= 33´ σ
(u = o)
δσ3
Tensiones efectivas que coinciden con las totales (u = 0)
Cuando ejecutamos un ensayo triaxial consolidado, drenado con medición de cambio de volumen, tendremos un valor de la presión intersticial del agua de poros que será igual a cero (u = 0).
Por lo tanto en la gráfica de q - p´ la variación de “p´” sigue la recta de pendiente 1/3 ya que al ser u = 0 los puntos que conforman el camino de tensiones efectivas se alinean sobre una recta teniendo en cuenta la ecuación (1).
uqp −+= 33´ σ (1)
3
1
3131´3
´1 )()( σσσσσσ −=−−−=−= uuq
σ1 – σ3q = (σ1 – σ2)
p´ = (σ1 + σ2+ σ3)/3
LINEAMIENTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DEL ESTADO CRITICOEnsayo Triaxial Consolidado, no drenado, con medición de presiones neutras.
δ
u
3
uqp −+= 33´ σ
u ≠ o
σ3
Cuando ejecutamos un ensayo triaxial consolidado no drenado con medición de presiones neutras obviamente tendremos un valor de la presión intersticial del agua de poros que será distinta de cero (u ≠ 0), tal como se puede observar en la figura de la izquierda.
Por lo tanto en la gráfica de q - p´ la variación de “p´” no sigue la recta de pendiente 1/3 ya que al ser u ≠ 0 los puntos que conforman el camino de tensiones efectivas son el resultado de la recta de pendiente 1/3 a los que le tenemos que restar el valor de “u”.
(1)
Tensiones efectivas
Tensiones totales
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δ
u
u
u
Ensayo triaxial consolidado no drenado
Ensayo triaxial drenado
M
σ3
3
CSLσ1 – σ2q = (σ1 – σ2)
p´ = (σ1 + σ2+ σ3)/3
LINEAMIENTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DEL ESTADO CRITICO
Como observamos en la figura de la derecha, en la gráfica de q - p´, los puntos de falla en términos
de presiones efectivas, se alinean según una recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene una
pendiente M = q/p´ que se denomina Línea de Estado Crítico (del ingles CSL critical state line) o
línea de falla.
uqp −+= 33´ σ
(u = o)
(u ≠ o)
q = (σ1-σ2) Por otra parte al gráfico anterior, le
podemos adicionar el grafico que
muestra la consolidación de las
probetas cuando se consolidan bajo
las presiones hidrostáticas indicadas
σ3,1, σ3,2 y σ3,3.
Vemos que las mismas toman las
relaciones de vacíos e1, e2 y e3
respectivamente y que definen la
curva normal de consolidación (del
ingles NCL normal consolidation
line).
σ3-1 σ3-2 σ3-3
e1
e2
e3
Consolidación isotrópica de la primera etapa
σ3
σ3
σ3
σ3
3321
3´ σ
σσσ=
++=p
3321
3´ σ
σσσ=
++=p
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Ensayo triaxial drenado
σ3,2
Ensayo triaxial consolidado no drenado
e
σ3,3σ3,1
NCL
A1
A2
A3
B1
B2
B3
C1
C2
C3
uf3
uf2
uf1
ο
e1
e2
e3
M
CSLCamino de tensiones efectivas CTE
Camino de tensiones totales CTT
q = (σ1-σ2)
p´=(σ1+2.σ3)/3
p´=(σ1+2.σ3)/3
En el grafico inferior de la
figura se muestra con los
puntos A1, A2 y A3 los
cambios de volumen que
experimentan los pares de
probetas consolidadas a las
presiones hidrostáticas
indicadas σ3,1, σ3,2 y σ3,3 que
toman las relaciones de vacíos
e1, e2 y e3 respectivamente y
que definen la curva normal
de consolidación (del ingles
NCL normal consolidation
line).
σ3,2
e
σ3,3σ3,1
NCL
CSL
A1
A2
A3
B1
B2
B3
B2
B1
B3
MCSL
Camino de tensiones efectivas CTE
p´=(σ1+2.σ3)/3
p´=(σ1+2.σ3)/3
q = (σ1-σ2) En los ensayos consolidados, no drenados, donde luego de una primera etapa de consolidación, en la que se permite el drenaje, sobreviene la segunda etapa del ensayo en la que no se permite el drenaje y por lo tanto no hay cambios de volumen y se generan presiones en el agua de poros de la probeta. (u ≠ 0)
Por lo tanto, durante esta segunda etapa, no habrá cambios en los valores de la relación de vacíos e1, e2 y e3 y los puntos A1, A2 y A3 se trasladarán a los puntos B1, B2 y B3 siguiendo una línea horizontal hacia la izquierda del dibujo, debido a la disminución de p´ por el incremento de las presiones neutras que se registran en las probetas analizadas y definiendo de esta forma la curva de de estado crítico CSL en el plano p´/ e.
e3
e2
e1
Ensayo Triaxial Consolidado No Drenado
uqp −+= 33´ σ
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Ensayo triaxial consolidado drenado
σ3,2
e
σ3,3σ3,1
NCL
CSL
A1
A2
A3
B1
B2
B3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
B1
B2
B3
MCSLq = (σ1-σ2)
p´=(σ1+2.σ3)/3
p´=(σ1+2.σ3)/3
En estos ensayos luego de la consolidación isotrópica de la primera etapa, sobreviene la segunda etapa en la que también se permite el drenaje.
En el gráfico superior de la figura se observa que los valores de p´ se incrementan durante el ensayo ya que todas las presiones serán efectivas (u = 0) y que tomarán por lo tanto valores mayores a los originales σ3,1, σ3,2 y σ3,3 y que llegarán a la falla cuando alcancen la línea de falla o línea de CSL. Además sabemos que en estos ensayo hay cambios de volumen y que si esos cambios son de contracción, los mismos darán volúmenes inferiores a los originales, es decir que la proyección de los puntos C1, C2 y C3 en el gráfico inferior se corresponderán con puntos que tengan un volumen específico inferior a los valores originales e1, e2 y e3
Ensayo Triaxial Consolidado Drenado
u
M
σ3
CSL
e
NCL
CSL
e
p’
λ1
N
Γ
A
B
C
C
BA A
C
B
q = (σ1-σ2)
p´=(σ1+2.σ3)/3
Ln p´
Es común en la geotecnia que la curva de consolidación se represente en un gráfico semi logarítmico, para ello debemos hacer una conversión de gráficos como se muestra en la figura, donde en la parte inferior de la misma tenemos las dos representaciones, la matemática y la semi logarítmica
Obviamente las dos rectas “NCL” y la “CSL”tienen la misma pendiente “λ” en el gráfico semi logarítmico y por lo tanto son paralelas.
Podemos ahora definir los parámetros que se utilizan para identificar los puntos característicos de estas gráficas, para poder encontrar luego las ecuaciones que las identifican.
eo
ef
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u
M
σ3
CSL
e
NCL
CSL
e
p’
λ1
N
Γ
A
B
C
C
BA A
C
B
q = (σ1-σ2)
p´=(σ1+2.σ3)/3
Ln p´
N = Valor de la relación de vacíos inicial correspondiente a la línea NCL para una presión p’ = 1 kN/m2
Γ = Valor de la relación de vacíos e correspondiente a la CSL para una presión p’ = 1 kN/m2
eκ = Valor de la relación de vacíos para una presión p’ = 1 kN/m2 luego de la descarga.
λ = Pendiente de ambas curvas
κ = Pendiente de la curva de recuperación o de descompresión de la línea NCL
eκ
3,2)()( xLnxLog =
3,2Cc
=λ3,2
Cs=κ
Por lo tanto los parámetros que necesitamos conocer para realizar cualquier análisis por el modelo del estado crítico son los siguientes:
κ
1
σ1 – σ3
ε
+ u
q = σ1 – σ3
ee
Ln (p´)
NCL
CSL
CSL
NCL
CSL
M
λ
1 kPa
ef = e
N
Γ
ENSAYO CONSOLIDADO NO DRENADO “R” SOBRE MUESTRA NORMALMENTE CONSOLIDADA
− u
pf´ σ3
uqp −+=3
´´ 3σ
p´ = (σ1 + 2σ3)/3
p´ = (σ1 + 2σ3)/3
3
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σ1 – σ3
ε
−∆v
+∆v
q = σ1 – σ3
p´ = (σ1 + 2σ3)/3
ee
Ln (p´)
NCL
CSL
CSL
NCL
CSL
M
λ
1 kPa
e
ef
N
Γ
ENSAYO CONSOLIDADO DRENADO “S” SOBRE MUESTRA NORMALMENTE CONSOLIDADA
σ3
3´´ 3
qp += σ
p´ = (σ1 + 2σ3)/3
3
σ1 – σ3
ε
+ u
q = σ1 – σ3
ee
Ln (p´)
NCL
CSL
CSL
NCL
CSL
M
λ
1 kPa
ef = e
N
Γ
ENSAYO CONSOLIDADO NO DRENADO “R” SOBRE MUESTRA PRECONSOLIDADA
− u
pf´σ3 p´ = (σ1 + 2σ3)/3
p´ = (σ1 + 2σ3)/3
3uqp −+= 33
´ σ
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σ1 – σ3
ε
−∆v
+∆v
q = σ1 – σ3
ee
Ln (p´)
NCL
CSL
CSL
NCLCSL
M
λ
1 kPa
ef
e
N
Γ
ENSAYO CONSOLIDADO DRENADO “S” SOBRE MUESTRA PRECONSOLIDADA
σ3 p´ = (σ1 + 2σ3)/3
p´ = (σ1 + 2σ3)/3
uqp −+= 33´ σ
0
2
4
6
8
10
Tens
ión
desv
iant
e (K
g/cm
²)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
Tensión media p´ (Kg/cm²)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tens
ión
Des
vian
te (k
g/cm
²)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Deformación (%)
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Cám
bio
de v
olúm
en (%
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Deformación (%)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
Rel
ació
n de
vac
íos (
e)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
Tensión media p´ (kg/cm²)
Ensayo triaxial consolidado drenado en una arena densa ejecutada en nuestro laboratorio
M = 1,33
φ´ = 33º
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Z
γ.Z
Ko.γ.Z
En los ensayos triaxiales, la consolidación de las probetas de suelos responden a una relación de tensiones hidrostáticas (σ1 = σ2 = σ3); p´= σ3 donde además σd = (σ1 – σ3) = q = 0.
En las formaciones naturales o artificiales de suelos, la consolidación de los estratos responden a una relación entre las tensiones verticales de la tapada σv y las tensiones horizontales σ3 = σ2 = (ko.γ.z)
3).21.(.
3)21.(
3)(
´ 1321 KozKoP +=
+=
++=
γσσσσ
)1.()( 131 Koq −=−= σσσ
En los ensayos triaxiales tendremos que coincide con el eje de las abscisas.
Mientras que en las formaciones naturales tendremos:
00´ 3
===σ
ηpq
KoKo
KoKo
pq
.2133
3).21(.
)1.(´
1
1
−−
=−−
==σ
ση
e
Ln (p´)
λ
κ
NCL
CSL
Γ
Ν
po´pB´
e
q = σd = (σ1-σ3)
p´
M
η
pB´
A
BeB
eκ
)(. ´BoB pLneee λ−==
B
1
).21(33
´ KoKo
pq
+−
==η
qB
3).21.(´ 1 KoP +
=σ
)1.(1 Koq −= σ
η
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e
Ln (p´)
λ
κ
NCL
CSL
Γ
Ν
po´p´
e
q = σ1-σ3
p´
M
η
p´
A
B
[ ])'()(.)(. ´´ PLnPLnPLnNe ccB −+−= κλ
eB
[ ] )'(.)'()().( ´ PLnPLnPLnNe cB λκλ −−−−=
e
´pq
=η Para q < qfinal
eκ
)'(. pLneee oB λ−==
B
1
)(.)'()(.)(.)(. ´´´´ PLnPLnPLnPLnPLnNe ccB λκκλλ −−++−=
τ
σφ´
231 σσ +
3´´ 3
qp += σ
)( 31 σσ −=q
Por lo tanto podemos hacer: pero 3
´3qp −=σ )(
31´ 321 σσσ ++=p
31 2´3 σσ +=p
3313 .2´3 σσσσ −+=−p
3´2
3´´331
qpqpp +=+−=+σσ
3´6
31qp +
=+σσ
2/)( 31 σσ −
Relación entre la pendiente “M” y el ángulo de fricción interna efectivo φ´
331 ´3 σσσ −=+ p
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τ
σφ´
231 σσ +
q=− )( 31 σσ
De la figura anterior, vemos que tratándose de un círculo en términos de presiones efectivas que contiene al punto de falla, podemos hacer:
Sin mucho error podemos hacer
qpq
qpqSen
+=
+=
+
−=
´63
3´.6)(
21
´)´(21
´)(31
31
σσ
σσφ
´6
´.3´)(
pqp
qSen
+=φ
MMSen
+=
6.3´)(φ
´)(3´)(.6φ
φsen
senM−
= 1,023
´−=
φM
2/)( 31 σσ −
Relación entre la pendiente “M” y el ángulo de fricción interna efectivo φ´
3´6)( 31
qp +=+ σσ
σ3
CSL
e
NCL
CSL
e
p’
λ1
N
Γ
A
B
BA AB
pf’
qf
Ln (p´)
q
eA = eo
ARCILLA NORMALMENTE CONSOLIDADA: Supongamos que tenemos una arcilla normalmente consolidada bajo una presión p´ y saturada a la que sometemos a un ensayo triaxial sin drenaje. Sabemos que la misma llegará a la rotura sin variar su relación de vacíos. Tendremos entonces:
´)(. fBA pLnee λ−Γ==
´. ff pMq =
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −Γ
=λ
Af
ep exp´
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −Γ
=λ
Af
eMq exp.
22)( 31 f
u
qc =
−=
σσ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −Γ
=λ
Au
eMc exp.21
p´
p´f p´o
M = q/p´
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Supongamos que tenemos una arcilla normalmente consolidada bajo una presión p´ y la sometemos a un ensayo de compresión triaxial sin drenaje. Sabemos que la misma llegará a la rotura sin variar su relación de vacíos. Tendremos entonces que la relación de vacíos inicial será:
w
seγ
γω.100
%).(=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −Γ=
λγ
γ
w
s
u
w
Mc .100%).(
exp.21
Supongamos tener los siguientes valores:wn = 65 % Ip =40% γs = 27,5 kN/m³M = 0,88 Γ= 4,50 λ ~ 0,6 x Ip = 0,24
²/35,0²/64,3524,0
10.1005,27.6550,4
exp.88,021 cmkgmkNcu ==
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
ARCILLA PRECONSOLIDADA: Cuando en lugar de una arcilla normalmente consolidada, tenemos una arcilla preconsolidada bajo una presión pc´ y que ahora está sometida a una presión p´ de la que queremos conocer la cohesión, hacemos:
´).'..(´)(. pLnpLnpLnNe cc −+−= κλ
e
Ln (p´)
λ
κ
NCL
CSLΓ
Ν
pc´p´
eo
e
pf´
pf´
qf
M´f
f
pq
M =
´)(. fpLne λ−Γ=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −Γ
=λ
ep f exp´λ
epLn f−Γ
=´).(
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−+−Γ
=λκλ ´)).(´).(.(´)(.exp´ pLnpLnpLnNpf cc
p´
q
p´
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−+−Γ
===λκλ ´)).(´).(.(´)(.
exp..21.
21
21 ´ pLnpLnpLnN
MpMqc ccffu
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−Γ= ).(
´´
.exp.21 ´
cc pLn
Pp
LnNMcuλκ
λ
η
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Supongamos tener los siguientes valores:
M = 0,88; Γ = 4,50; N = 4,61; λ = 0, 24; κ = 0,09; pc´ = 350 kN/m² Ko = 0.54
Que actualmente soporta una tapada de 4 m con una densidad húmeda γh = 19,5 kN/m²
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−Γ= ´).(
´´.exp.
21
cc pLn
ppLnNMcu
λκ
λ
²/32,48)350(54
350.24.009.0
24,061,450,4exp.88,0
21 mkNLnLncu =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−=
21 /784³./5,19 mkNmmkN ==σ
cu = 0,49 kg/cm2
²/08,543
)54,0.21².(/783
).21.(´ 1 mKNmKNKo
P =+
=+
=σ
Si tenemos una muestra de suelos normalmente consolidada a la presión isotrópica σ3 = po´ y sobre ella aplicamos una tensión desviante que la lleve a la falla, manteniendo siempre el sistema drenado y con una velocidad de aplicación de “q” tal, que podamos tener certeza de que u = 0 durante todo el proceso de carga, podremos generar una gráfica como el de la figura de donde podremos deducir lo siguiente:
Dividiendo todo por pf’ tendremos:
Teniendo en cuenta que:
por lo tanto la tensión desviante en la falla será
po’ pf’
qf
q
p’
3
M
CTE
)''.(3 off ppq −=
)''
1.(3' f
o
f
f
pp
pq
−= 'f
f
pq
M =
''.3
3f
o
pp
M −=
Mp
p of −
=3
'.3'
MMp
pMq off −
==3
'..3'..
Tensión desviante máxima para un ensayo drenado
0
2
4
6
8
10
Tens
ión
desv
iant
e (K
g/cm
²)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
Tensión media p´ (Kg/cm²)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tens
ión
Des
vian
te (k
g/cm
²)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Deformación (%)
M = 1,33
po´ = 2 kg/cm2
qf = 4,78 kg/cm2
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Si estamos haciendo un ensayo triaxial consolidado, no drenado, sobre una muestra de suelos normalmente consolidada, tendremos la gráfica que se observa en la figura. En ella podemos identificar el camino de las tensiones totales (CTT) que se ubica entre los puntos A - C y que se dibuja con líneas de trazos, mientras que el camino de las tensiones efectivas surge de restarle a las tensiones efectivas, las presiones neutras (CTE) y está marcado con una línea roja, entre los puntos A – BEn esta figura entonces la presión neutra en la falla quedarádefinida por la diferencia entre
uf
M
po
CSL
e
NCL
CSL
e
p’
λ1
N
Γ
A
B C
BA ABeo
eo
p’f pf
CTT
CTEqf
Cálculo de la presión neutra en la falla de un ensayo triaxial no drenado
fff ppu ´−=3
fof
qpp += '. ff pMq =
ff
offf ppM
pppu ´3
´.´´ −+=−=
fof pMpu ´).13
(´ −+=
uf
M
σ3
CSL
e
NCL
CSL
e
p’
λ1
N
Γ
A
B C
BA ABeo
eo
p’f pf
CTT
CTEqf
Cálculo de la presión neutra en la falla de un ensayo no drenado
fff ppu ´−=
3´´ 3
ff
qp += σ '. ff pMq =
ff
of ppM
pu ´3
´.´ −+=
fof pMpu ´).13
(´ −+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −Γ
= λoe
f ep ´
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −Γ
−+= λoe
of eMpu ).13
(´
´3 op=σ
Hemos visto que en un ensayo no drenado podíamos obtener:
)(. ´fo PLne λ−Γ=
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Fluencia:Cuando sometemos a una masa de suelos a un estado de tensiones, en el plano tensión – deformación se observan dos estados netamente distintos.
La primera de ellas se la conoce como la etapa elástica, donde la relación entre los incrementos de tensiones con respecto a los incrementos de deformaciones es una constante y en la que podemos decir que no hay deformaciones permanentes.
La segunda etapa, se caracteriza por el hecho de que la relación anterior deja de ser una constante y además diminuye, lo que quiere decir que las deformaciones comienzan a incrementarse con relación a los mismos incrementos de tensiones. Esta etapa está asociada a las deformaciones plásticas de la masa ya que comienzan a manifestarse deformaciones permanentes, a las que se denominan Deformación Plástica o de Fluencia
δ
σ
Etapa plástica o de fluencia
Etapa elástica
E
Mq
p´pc´
Una ventaja del modelo del estado crítico, es poder definir para un suelo dado, para una condición de consolidación y para una situación del drenaje interno del agua. Cuál es el límite entre el estado elástico y el plástico, o donde se alcanza el punto de fluencia de la muestra ensayada.
En el modelo del Estado Crítico, se define una figura elíptica en el plano p – q´ que tiene las siguientes características geométricas:
- Pasa por el origen de coordenadas
- El eje mayor coincide con el eje de las abscisas (p´) y tiene la magnitud de la carga de preconsolidación isotrópica del suelo (pc´)
- La elipse corta a la línea de falla o a la línea de estado crítico cuya pendiente es “M”, para una abscisa igual a la mitad de la tensión de preconsiolidación de la muestra Pc´.
0´)´´(22 =−− pppMq c
2´cp
Ecuación que define el límite de la zona elástica con la zona plástica en los suelos
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M
p´pc´po´
εo
ab
c
d d
c
e
p´
ab c
d
NCL
CSL
pc´po´
oeo
eaed
eb
q q
Ensayos consolidados drenados sobre una muestra ligeramente consolidada
e
Ln p´
b
da
c
po´ pc´
Tenemos una muestra de un suelos que ha sido consolidada bajo una tensión pc´y que luego ha sido descargada a la presión po´ pasando desde el punto “a”al “b”a través de la línea de recuperación elástica (azul). Posteriormente se aplica la tensión desviante y se produce la deformación elástica con el recorrido “b - c” que marca la misma línea azul de recompresión. Esta deformación elástica llega al límite cuando cruza la elipse (línea roja).
A partir de este punto se inicia la etapa de deformación plástica “c - d” hasta llegar a la rotura, cuando en el diagrama de deformaciones se llega a la línea CSL y en el diagrama de tensiones se llega a la línea de pendiente M.
λ
κ
M
q
p´pc´po´
ε
q
oa
b
c
d d
c
e
p´
a
b, c
d
NCL
CSL
pc´po´
ea
eb
CTT
CTE
Ensayos consolidado, no drenados, en suelos ligeramente sobreconsolidados
e
d a
(b y c)
po´ pc´
λ
κ
Ln p´
Tenemos una muestra de un suelos que ha sido consolidada bajo una tensión pc´ y que luego ha sido descargada a la presión po´ pasando desde el punto “a” al “b”a través de la línea de recuperación elástica de pendiente κ (azul). Posteriormente se aplica la tensión desviante y se produce la deformación elástica “b - c” en la que no se producen deformaciones permanentes (la deformación es elástica) por lo tanto no hay cambio de volumen. Esta deformación elástica llega al límite de la etapa elástica, cuando cruza la elipse (línea roja). A partir de este punto se inicia la etapa de deformación plástica “c - d” hasta llegar a la rotura cuando en el diagrama de deformaciones se llega a la línea CSL y en el diagrama de tensiones se llega a la línea de pendiente M. Siempre sin cambios de volumen (e = cte).
u
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Distribución de regiones en el estado crítico y expectativas de respuestas de los suelos
p´
q
e
Ln (p´)
Región I
Región II
Región III
Región IIIRegión II
3
Región I: No existen suelos que puedan tener este estado de tensiones, son suelos que tienen una consistencia menor a la de un suelo amasado con la humedad de WL.(barros fluidos)
Región II: En esta región se ubican los suelos preconsolidados y por lo tanto tienen baja deformabilidad y elevada resistencia
Región III: Los suelos que se ubican en esta región son suelos dúctiles, normalmente consolidados o ligeramente sobreconsolidados con una relación
OCR < 2,5.
Región IV: En esta zona no existen suelos, no por un problema de formación sino de estado de tensiones.
Reg
ión
IV
33´ σ+=
qp
M
(CSL
)
CSL
q D
q U
q
(C)
e = eDe
U 0
Up'
C
(U)
U
p'
(D)
D
(U)
D
(CSL
)
(D)
NCL
CD = Trayectoria con drenado.CU = Trayectoria sin drenado.
p'
e
NST
v
T
q
S
v
TN
S
N
p'
e
Superficie de fluencia:En el Modelo del Estado Crítico (CSM) todos los suelos fallan para una única superficie de falla que se desarrolla en el especio p´- q – e y que es independiente del proceso de carga del suelo.
Cuando un suelo se encuentra en un estado de tensiones que se ubica por debajo de esta superficie de falla, tiene un comportamiento elástico, si el suelo sobrepasa esta superficie, entra en fluencia y se aproxima a la falla
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EJERCICIO: Una muestra de arcilla que tiene un peso específico de 26,9 KN/m3 se consolida isotrópicamente bajo una presión de 150 KPa. En este estado la muestra tiene un volumen de 197,50 cm3 con un contenido de humedad del 68%
Posteriormente se incrementa la presión de la cámara a 300 KPa y se la deja consolidar lo que produce un cambio de volumen de 12,2 cm3. Finalmente se reduce la presión de la cámara a 200 KPa y la muestra recupera un volumen de 1,12 cm3.
a) Determinar los parámetros Γ, Ν, λ y κ
Luego:
Cuando aumentamos la presión a 300 KPa la muestra se consolida y experimenta un cambio de volumen de 12,2 cm3
)1()1( eVsVsVvVsVvVsVt +=+=+=
eVseeVseVseVsVfVtV oo ∆=−=+−+=−=∆ .)()1()1( 11
865,1807,9
68,0.9,26. === we so γ
393,68)865,11(
50.197)1(
cme
VtVso
=+
=+
=
177,093,682,12
==∆
=∆Vs
Ve 688,1177,0865,11 =−=∆−= eee o
)1( oeVtVs+
=
Ln(p´)
e
λκ
eo
e1
P1 = 150
∆e
P2 = 300
[ ])()ln(. 12 PLnPe −=∆ λ
255,0)
150300(
177,0
)( ´1
´2
==∆
=Ln
PP
Ln
eλ
Ln(p´)
e
λ
κ
eo
e1
P1 = 150 P2 = 300
Cuando descargamos a 2 kg/cm², la muestra recupera elásticamente parte de su volumen en 1,12 cm3
∆e
0162,093,68
12,1==
∆=∆
VsVe
e2672,10162,0688,112 =+=∆+= eee
P3 = 200
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Ln(p´)
λ
κ
eo
e1
P1 = 150 P2 = 300
∆ee2
[ ])()(. 32 PLnPLne −=∆ κ
04,0)
200300(
0162,0
)( ´3
´2
==∆
=Ln
PP
Ln
eκ
Ln(p´)
λ
κ
eo
e1
200
e2
1 150 300
eoDeterminar el valor de “N”
Determinar el valor de “κ”
)(. 1PLnNeo λ−=
143,3)150(.255,0865,1)150(. =+=+= LnLneN o λ
N
Γ
P3 = 200
Ln(p´)
λ
κ
eA
pc´
eB
1 p´
e
Determinar el valor de “Γ”
N
Γ
´)(. pLnNeA λ−=
( )´)()(.´)(. ´ pLnpLnpLnNe ccB −+−= κλ
( )´)()(.)(.´)(. ´´ pLnpLnpLnNpLnNe cc −−+−−=∆ κλλ
´))()(.(´))(´)(.( ´ pLnpLnpLnpLne cc −−−=∆ κλ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∆
´.
´.
´´
ppLn
ppLne cc κλ
En el estado crítico
( )2).( Lne κλ −=Γ−Ν=∆
λ
∆e
)2().( LnN κλ −−=Γ
994,2)2().04,0255,0(143,3 =−−=Γ Ln
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=∆
´).(
´
ppLne cκλ
∆e
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2
´´ cP
P
Nota: Tener en cuenta que los valores de Γ y Ν corresponden a la relación de vacíos de la muestra sometida a una presión isotrópica muy baja, del orden de 1 Kpa ~ 0,01 kg/cm²
2
´´ cP
P =
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Con la presión de cámara a 2 kg/cm² cerramos la llave del drenaje y comenzamos un ensayo no drenado, con medición de presiones neutras “u”.
Si conocemos el valor de M = 0,98, podemos calcular los parámetros a lo largo del ensayo.
q
p´pc´
M
0´´. ´ =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
cppLn
pMq
Estado límite de fluencia
´..´´ pM
ppLnq
cfluencia ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
p´= 200 KPa pc´ = 300 KPa M = 0,98
KPaLnq fluencia 47,79200.98,0.300200
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
qfluencia
p´
1
3
ptotal = σ3 + q/3 = 200 + 79,5/3 =226,5 KPa
u = ptotal – p´ = 226,5 – 200 = 26,5 KPa
u
En fluencia
Ln(p´)
λ
κ
pc´
e
1 p´
eN
Γ
λ
La relación e vacíos cuando iniciamos el ensayo no drenado serála del punto “o” y la podemos calccular haciendo:
o
[ ]´)()(.)(. ´´ pLnpLnpLnNe cc −+−= κλ
[ ] 705,1)200()300(.04,0)300(.255,0143,3 =−+−= LnLnLne
Esta valor de “e” también puede ser calculado siguiendo la línea de CSL (linea roja) ya que la relación de vacíos es constante
CSL
)(. ´roturapLne λ−Γ=
p´rotura
KPaeprotura 8,156255,0
705,1994,2expexp´ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −Γ
=λ
´rotura
rotura
pqM = KPaMpq roturarotura 66,15398.0.8,156.´ ===
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q
p´
M
qrotura
p´
1
3uf
proturap´rotura
λ
κ
pc´
e
1 p´
eN
Γ
λ
o
CSL
p´rotura
Ln(p´)
33rotura
roturaqp += σ
KPap roturaT 22,2513
66,153200 =+=
KPappu roturaroturaTrotura 56,9766,15322,251´ =−=−=
KPaMpq roturarotura 66,15398.0.8,156.´ ===
33rotura
roturaqp += σ
Ejercicio de aplicación:En un manto de suelo arcilloso y saturado de 8,00 m de espesor, se necesita fundar un silo de 15 m de diámetro que tendrá 10 m de altura y 100 tn de pesos propio, que servirá para acopiar granos con una densidad de 0,70 tn/m³, hasta una altura interior de 8,00 m.Las características del manto arcilloso, se obtuvieron a partir de los ensayos ejecutados sobre una muestra recuperada a una profundidad de 4,00 m son las siguientes:WL = 54 %Wp = 30 %Wn = 45 %γs= 2,75 tn/m³φ´cs = 23ºOCR = 1,7
8 m
10 m
15 m
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1) Calcular los estados de tensiones del suelo al momento de la formación del mismo y luego de experimentar un proceso de consolidación que lo lleva a una relación OCR = 1,7.
Cuando nosotros sacamos la muestra, la ensayamos y notamos que se trata de un suelo preconsolidado, los parámetros que medimos pertenecen obviamente a un suelo preconsolidado por lo tanto podemos calcular:
Como sabemos que Podemos hacer
Si decimos que este suelo está sobre consolidado con una relación de sobre consolidación OCR = 1,7 podemos calcular cual fue la tensión vertical al mismo nivel cuando este suelo se encontraba como normalmente consolidado.
Para ello podemos hacer:
24,145,0.75,2. ==== nsBo ee ωγ
³/781,01.)24,11()175,2(
)1()1(
´ mtne w
o
s =+
−=
+−
= γγ
γ
61,0))º23(1())(1( =−=−= sensenK csoco φ
OCRKK nco
oco .= 48,0
7,161,0
===OCRK
Koconc
o
90,0)º23(3
)º23(.6)(3
)(.6=
−=
−=
sensen
sensen
Mcs
cs
φφ
²/12,300,4.78,0´.´ mtnzzo === γσ
7,1´
==zo
zcOCRσσ
²/304,512,3.7,1.7,1 ´´ mtnzozc === σσ
Presión tapada actual
Presión tapada al momento de la consolidación = Carga de preconsolidación
Con estos valores podemos calcular ahora el estado tensional del suelo ubicado a -4,00 m, al momento de la consolidación.
²/465,3304,5.3
48,0.21.3.21 ´´ mtnKp zc
nco
A =+
=+
= σ
²/758,2304,5).48,01().1( ´ mtnKq zcncoA =−=−= σ
796,0465,3758,2
)()(
´1 ===oA
oA
pq
η
Por otra parte, producida la preconsolidación se produce la descarga del manto hasta las tensiones actuales mientras que la relación de tensiones de empuje en reposo pasa a ser la actual, correspondiente a un suelo preconsolidado ( ).
)( ´zoσ
ocoK
²/309,212,3.3
61,0.21.3.21 ´´ mtnKp zo
oco
B =+
=+
= σ
²/217,112,3).61,01().1( ´ mtnKq zoocoB =−=−= σ
527,0309,2217,1
2 ===B
B
pq
η
q
p´
B
A
M
p´B
qA
qA
Figura 1
η1 = 0,796
η2 = 0,527
p´A
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2º) Calcular el incremento de tensiones que genera el Tk y el camino de tensiones efectivas durante la consolidación del suelo
²71,1764²15.
4². mDA === ππ
²/566.0²71,176
100 mtnm
tnpp ==σ
²/60,500,8³./70,0. mtnmmtnHGw === γσ
²/166,6²/60,5²/566,0 mtnmtnmtnqs =+=
El incremento de tensiones que genera el Tk al nivel de -4,00 m de profundidad y en el centro de la base la podemos estimar a partir de la aplicación de la siguiente fórmula:
( )896,0.
00,450,71
11.17,61
11.
2/3
2
2/3
2qs
zr
qsz =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+
−=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−=∆σ
( ) ( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
++
+−+=∆ 2/322
1
1
1
)1.(2).21(2
zr
zr
vvqsxσ 346,0.
45,71
1
45,71
)5,01.(2)5,0.21(2 2/322
qsqsx =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+
+−+=∆σ
El incremento de tensiones radiales u horizontales:∆σx = 2,13 tn/m²
El incremento de tensiones verticales:∆σz = 5,52 tn/m²
∆σz∆σr
e NCL
CSL
Ln (p´)
Γ
pB´
eB B
1
Mq
p´B
pD´pB´
D
D
∆qD
pD´
eD
η = 1,04
η2= 0,53
η2η3
∆p
(b)
(a)
η3 = 0,82qD
qB
λ
²/26,33
13,2.252,53
.2mtnp xz =
+=
∆+∆=∆
σσ
²/39,313,252,5 mtnq xz =−=∆−∆=∆ σσ
A partir de conocer los incrementos de tensiones verticales y horizontales generados por le carga apoyada en la superficie del terreno, podemos ahora calcular los incrementos de q y de p´ para sumarlos a las tensiones correspondientes del punto “B” y obtener el estado de tensiones del punto “D” al que llegará el suelo una vez completada la consolidación
82,075,570,4
3´ ===ηD
D
pq
04,126,339,3
==∆∆
=pqη
3´ η=>D
D
pq
M
Verificación de que no se llega a la falla
2/70,439,331,1 mtnqqq BD =+=∆+=
2´´ /75,526,349,2´ mtnppp BD =+=∆+=
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3º) Calcular el asentamiento por consolidación
Para calcular la relación de vacíos del estado de tensiones del punto “D” nos valemos del hecho de que todos los puntos posibles del diagrama p´ - q tienen sobre la línea de los suelos normalmente consolidados con una tensión isotrópica, NCL, el origen de una elipse que pasa por el punto y que tiene la siguiente ecuación
´´. 2
2
pMp
qpc += M
p´
B
pD´pB´
DqD
qB
p´CD2
2
2´ /49,1075,5
9,0.75,570,4 mtnpCD =+= p´CD/2
2´
/245,52
mtnpCD = Podemos aproximar los valores de λ y κ con las siguientes ecuaciones:λ = 0,6.Ip = 0,6.0,24 = 0,144 κ = 0,10.λ = 0,014
También podemos aproximar un valor de “N” haciendo:
485,154,0³/1
³/75,2.===
mtnmtnN
w
Ls
γωγ
El valor de la presión hidrostática de consolidación isotrópica que corresponde a la elipse que pasa por el punto “B” seráP´CD y quedará determinada por:
e
NCL
CSL
Ln (p´)
Γ
eB
B
1
D
pD´
eD
η2η3
κ
λ
Ν
κ
pB´ pCD´
eo
ex
pCD´/2
A partir de la figura podemos aplicar la siguiente fórmula y tendremos:
( )[ ] ( ) 407,1]75,5()49,10).[014,0144,0(485,1()).( ´´ =−−−=−−−= LnLnpLnpLnNe DCDo κλ
155,1)75,5(.144,0407,1)(. ´ =−=−= LnpLnee DoD λ
También podemos calcular:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+=
2
. ´
´
cD
DDx p
pLnee κ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Γ=
2.
´cD
xp
Lne λ
Igualando nos queda:
)2
()2
()(´´
´ cDcDDD
pLnpLnpLne λκκ −Γ=−+
)(.)2
().( ´´
DcD
D pLnp
Lne κκλ +−+=Γ
395,1)75,5(.014,0)249,10().014,0144,0(155,1 =+−+=Γ LnLn
Geotecnia III
Ing. Augusto J. Leoni 30
ee
HSB
∆+
= .1
Cálculo del asentamiento por consolidadación
mee
HSB
30,0)155,124,1.(24,11
8.1
=−+
=∆+
=
155,1=De
24,1=Be
El suelo caracterizado en el punto “A” ha sido consolidado según una relación de tensiones dada por ( ), en estas condiciones el suelo se encuentra sobre la elipse definida en la teoría del estado crítico que divide la zona elástica de la zona plástica por lo tanto podemos obtener el valor de p´cutilizando la ecuación de la elipse.
ncoK
0. 2
´´´´ =+−
Mq
ppp AcÁA
²/175,6465,390,0.465,3
758,22
2´
2´
2´´ mtnp
Mpqp AA
Ac =+=+=
M
p´
A
pc´pA´C
η1
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Ing. Augusto J. Leoni 31
4.- Calcular la el incremento de tensiones que lleva al suelo a la fluencia debida a una carga rápida del Tk que no permita la disipación de las tensiones neutras, el valor de las presiones neutras que se generan en éste punto y la altura de granos dentro del silo que genera la tensión de fluencia.
M
q
p´B
pB´
∆q
η = 1,04
pf´
qf
qB
pCB´
u
Para este cálculo tomamos en cuenta también la ecuación de la elipse que limita las tensiones elásticas de las plásticas y calculamos a partir del estado de tensiones del punto “B”, cual es el incremento de tensiones de Dq que nos lleva a la fluencia, de acuerdo al esquema que se muestra en la figura
0. 2
´´´´ =+−
Mq
ppp FcABB
1.. ´
´´ −=
B
CABF p
ppMq
2/69,2131,2
175,6.31,2.9,0 mtnqF =−=
2/473,1217,169,2 mtnqqq BF =−=−=∆
Cálculo del incremento de presiones neutrasel incremento de tensiones neutras que se genera coincidirá con el incremento de de las tensiones medias que se producen teniendo en cuenta que el camino de tensiones que se recorre por la carga del Tk tiene una pendiente η = 1,04
´pq
∆∆
=ηηqup ∆
==∆ 2/416,104,1473,1 mtnu ==
Calculemos ahora a partir de estos resultados cual es el incremento de tensiones verticales que lleva a la fluencia. Para ello recordemos que:
M
q
p´
B
pB´
∆q
η = 1,04
pf´
qf
qB
pCB´
u
3.2
´ hvpσσ +
= hv p σσ .2´.3 −=
hqp σ+=3
´
Reemplazando σh en la anterior, nos queda:
)3
´.(2´.3 qppv −−=σ qpv 32´+=σ
2/99,0473,1.67,00.32´´ mtnqpz =+=∆+∆=∆σ
2/406,2416,199,0´ mtnuzz =+=+∆=∆ σσ
3´ qph −=σ
Geotecnia III
Ing. Augusto J. Leoni 32
Este último valor nos permite obtener la magnitud de la tensión de contacto en la superficie del terreno natural que provoca la tensión de fluencia en el elemento considerado. Par ello recordemos que la tensión en un punto a la profundidad z = 4 m la calculamos multiplicando el coeficiente de influencia debida a la geometría de la base por la tensión de contacto de la base con el terreno natural.
sz qI .=∆σI
q zs
σ∆= 2/685,2
896,0406,2 mtnqs == 2/566,0 mtnpp =σ
Y que la densidad de los granos es de 0,70 tn/m3, vemos que para una altura “h” de granos dentro del silo, se alcanza la tensión de fluencia en el suelo a la profundidad investigada.
mh 03,37,0
)566,0685,2(=
−=
M
q
p´B
pB´
∆q
η = 1,04
pf´
qf
qB
pCB´
u
2/406,2416,199,0´ mtnuzz =+=+∆=∆ σσ
5.- Calcular la tensión de falla luego de la consolidación del suelo y la presión neutra que se generaUna vez consolidado el suelo bajo el estado de tensiones del punto “D”, si sobreviene un incremento de tensiones, el suelo llegará a la falla sin cambio de volumen, por lo tanto se generarán presiones neutras que harán disminuir la presión efectiva media p`.Siguiendo este criterio, cuando se alcance la Línea del Estado Crítico CSL se producirá la rotura del suelo.
NCL
CSL
Ln (p´)
Γ
eB
B
1
D
pD´
eD
η2η3
λ
Ν
pB´ pf´
E
)(. ´fED pLnee λ−Γ==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −Γ
=λ
Df
ep exp´
2´ /29,5144,0
155,1395,1exp mtnp f =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
²/76,429,5.90,0. mtnpMq FF ===
2/06,070,476,4 mtnqqq DF =−=−=∆
A partir de la figura 7 podemos hacer:
Despejando p´f nos queda:
El incremento de tensiones será:
Por otra parte el incremento de tensiones neutras que se generan de la misma forma que en el punto anterior, será igual al incremento de tensiones medias efectivas y saldrá de la diferencia entre el camino de las tensiones totales que se producen, generado por la carga del Tk y que tiene una pendiente h = 1,04 y las tensiones efectivas. Figura anterior
´pq
∆∆
=ηηqup ∆
==∆ ´ 2/057,004,106,0 mtnu ==