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PARA LA VIGA INDICADA DETERMINE EL DESPIECE DEL ACERO
LONGITUDINAL
DISEO DE LA VIGA.
DATOS: fc = 210 kg/cm , fy = 4200 kg/cm, r norm = 4 cm, Est #3, dest = 0.953 cm, rd
= 6,5 cm
1) Clculo de reacciones:
nMA = 0
By = (109)4.5/7 = 57,857 ton
Ay = (109)- 57,857 = 32,143 ton
Diagrama de cortante:
VA = 32,143 ton
VBi = 32,143 107 =-37,857 ton
VBd = -37,857 + 57,857 = 20 ton
VC = 0
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Diagrama de momento flector:
Posicin de Mmax: V = 0, 32,143 10x = 0
xm = 32,143 / 10 = 3,214 m
MA = 0, Mmax = (32,143 3,214) / 2 = 51,658 ton-m
Punto donde M = 0
M = 32,143x 5x = 0
x = 0, x = 32,143 / 5 = 6,4286 m
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2) Se disea la seccin:
TRAMO A-B, Mmax = 51,658 ton-m
2.1 Se establece el valor de 1:
1 = 0.85
2.2 Clculo de t y selec.
=..
= ,
= . , = ,
2.3 Clculo del coeficiente de resistencia nominal:
= 0.0122 4200 (1 0.590.01224200
210) = 43,869 kg/cm
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2.4 Se determina d requerida:
Se asume b = 40 cm
= 51,658100000
0.9043,86940= 57,193
Se asume rd = 6,5 cm
h req = 57,193 + 6,5 = 63,693 cm, se asume h = 65 cm
Se tiene para el tramo A-B una seccin de 40 x 65 cm
El mismo clculo lo realizamos en el apoyo B, con Mu- = - 20 ton-m, y se obtiene una
seccin de 40 x 50 cm.
SE ASUME QUE EL PESO PROPIO DE LA VIGA EST INCLUIDO EN LA CARGA
MAYORADA DE 10 TON/M, DADO QUE NO SE TIENE INFORMACIN DE CARGA
PERMANENTE Y VARIABLE POR SEPARADO. DE ESTAR DISPONIBLE ESTA
INFORMACIN Y SI EL PESO DE LA VIGA NO EST INCLUIDO EN LAS CARGAS
HAY QUE SUMAR EL PESO PROPIO DE LA VIGA A LA CARGA PERMANENTE Y
COMENSAR EL DISEO DE NUEVO.
3) Se disea el acero para las secciones determinadas, en el tramo y en el apoyo.
TRAMO A-B
3.1) Se determina la cuanta mecnica :
= 0,85 [1 1 2,36 51,658 100000
0,90 210 40 58,52] = 0,2319
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3.2) Se determina el rea de acero As+ en el tramo A-B
= 51,658 100000
0,90 4200 (1 0.59 0,2319) 58.5= 27,064 2
Colocacin: As / 3 como mnimo debe llegar al apoyo:
As / 3 = 27,064 / 3 = 9,021 cm
Se compara As/3 con el acero mnimo: Asmin = 144058.5/4200 = 7,8 cm
Como As/3 es mayor que el As min, se coloca As/3
Se suple con: 2#8: As col = 10,14 cm (barras a, o barras a ser prolongadas al apoyo)
As no prolongado o acero a cortar porque deja de ser necesario en la seccin crtica x
El resto del acero o acero a cortar es: 27,064 10,14 = 16,924 cm
Se suple con: 2#8 +2#7: As col = 17,9 cm, el acero total As = 28,04 cm
Se chequea si las seis barras caben en una sola capa:
r norm = 4 cm, est # 3 ds = 0,953 cm, b = 40 cm, db#8 = 2,54 cm, db#7 = 2,222 cm,
=( 2 2 2 (2
2 ))
( 1) =
SL = (402420,95342,5422,2222(20,953
2,54
2))
(61) = 2,8436
Como SL es mayor que 2,5 cm y mayor que el dimetro mayor de las barras 2,54 cm, las
barras caben en una sola capa.
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TRAMO VOLADO B-C
3.3) Se determina la cuanta mecnica :
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= 0,85 [1 1 2,36 20 100000
0,90 210 40 43.52] = 0,1542
3.4) Se determina el rea de acero As- en el volado B-C
= 20 100000
0,90 4200 (1 0,59 0,1542) 43,5= 13,381 2
Colocacin: As / 3 , se debe prolongar ms all del punto de inflexin:
As / 3 = 13,381 / 3 = 4,460 cm
Se compara As/3 con el acero mnimo: Asmin = 144043,5/4200 = 5,8 cm
Como As/3 es menor que el As min, se coloca As min
Se suple con: 2#7: As col = 7,76 cm (barras b, o barras a ser prolongadas ms all del
punto de inflexin)
As no prolongado o acero a cortar porque deja de ser necesario en la seccin crtica x
El resto del acero o acero a cortar es: 13,381 7,76 = 5,621cm
Se suple con: 2#6: As col = 5,70 cm , El acero total colocado es As- = 13,46 cm
Se chequea si las cuatro barras caben en una sola capa:
r norm = 4 cm, est # 3 ds = 0,953 cm, b = 40 cm, db#7 = 2,222 cm, db#6= 1,905 cm,
=( 2 2 2 (2
2 ))
( 1) =
SL = (302420,95321,90522,2222(20,953
2,222
2))
(41) = 6,75
Como SL es mayor que 2,5 cm y mayor que el dimetro mayor de las barras 2,54 cm, las
barras caben en una sola capa.
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Se considera el mismo refuerzo en la seccin al lado izquierdo del apoyo B, en realidad al
lado izquierdo se requiere menos acero porque la seccin es ms grande, se debe revisar que
la seccin no resulte controlada por compresin, debe estar en transicin y con s 0,004
Se calcula el acero requerido en el lado izquierdo del apoyo B, y se obtiene As- = 9,5 cm y
se estara colocando As- = 13,46 cm
SECCIONES DISEADAS:
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COLOCACIN DEL As +
Se tiene la seccin crtica correspondiente a momento mximo en el tramo A-B
Se propone cortar primero las dos barras #7, luego las dos barras #8 ubicada en la zona
central, y las dos barras #8 en las esquinas deben llegar al apoyo, pasando como mnimo 15
cm luego del centro del apoyo.
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Para cortar primero las dos barras #7, se requiere determinar el momento que resisten las
4#8.
=
0.85=
20,274200
0,8521040= 11,929
= (
2) =
0,90 20,27 4200 (58,5 11,929
2 )
100000= 40,273
40,273 = 2
2= 32,143 5 2
1 = 1,705 ; 2 = 4,723
Estas coordenadas proporcionan los puntos tericos donde las 2#7 no son necesarias, pero no
se pueden cortar en estos puntos sino que a cada lado debemos agregar una longitud
adicional La definida como sigue:
{ ; } (Seccin 12.2.3 de la NV 1753-06, y seccin 12.10.3 del ACI 318-08)
con la barra #7
# = , , { , ; , }
{, ; , }
,
Las barras #7 a cortar debe tener una longitud igual a (x2 x1 + 2La)
Lbarras#7 = 4,723 1,705 + 20,585 = 4,188 m
Lemb barras#7 = Lbarras#7 / 2 = 4,188 / 2 = 2,094 m
Se calculan las longitudes de desarrollo para las barras #7 y #8, para acero positivo:
Para las barras de lecho inferior: Ld
Considere la seccin del tramo A-B
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Considerando las barras #8, db = 2,54 cm
Recubrimiento libre:
El estribo #3 db =0,953 cm,
= 4 + 0.953 = 4,953 > 2,54 ()
Separacin libre:
=(40 2 4,953 2 2,222 4 2,54 2 (2 0,953 2,54/2)
5= 2,8436
> 2,54 ()
Se cuenta adems con refuerzo transversal mayor al mnimo:
Se aplica la frmula 12.3 de la tabla 12.2.1 (NV 1753-06)
Considerando barra de lecho inferior, = 1, sin epoxi = 1, concreto de peso
normal = 1
(#7) = (0,192 4200
210) 2,22 = 123,647
(#8) = (0,192 4200
210) 2,54 = 141,343
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Se compara la longitud embebida real de las barras #7 con su longitud de desarrollo, para
concluir si cumple o no:
Lemb barras#7 = 2,094 m > 1,2365 m, por lo tanto cumple:
Se tiene en la zona de corte de las cabillas, estribo #3 @ 24 cm, Av = 1,42 cm, se chequea si
Vu (x = 1,705 m) es menor que (2/3)Vn en la misma zona.
= 0,53 = 0,53 0,75 210 40 58,5
= 13479,154
=
=
0,75 1,42 4200 58,5
24= 10902,938
= ( + ) = 13479,154 + 10902,938 = 24382,092
(2/3) Vn =16254,73 kg
Vu ( x = 1,705 m) = 32,143 101.705 = 15090,03 kg
Como Vu es menor que (2/3) Vn, si se puede cortar las barras #7, en el lugar indicado.
Para cortar luego las dos barras #8 de la zona central de la seccin, se requiere determinar el
momento que resisten las 2#8 que se prolongan hasta el apoyo.
=
0.85=
10,144200
0,8521040= 5,965
= (
2) =
0,90 10,14 4200 (58,5 5,965
2 )
100000= 21,279
21,279 = 2
2= 32,143 5 2
1 = 0,749 ; 2 = 5,679
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Estas coordenadas proporcionan los puntos tericos donde las 2#8 no son necesarias, pero no
se pueden cortar en estos puntos sino que a cada lado debemos agregar una longitud
adicional La definida como sigue:
{ ; } (Seccin 12.2.3 de la NV 1753-06, y seccin 12.10.3 del ACI 318-08)
con la barra #7
# = , , { , ; , }
{, ; , }
,
Las barras #8 a cortar debe tener una longitud igual a (x2 x1 + 2La)
Lbarras#8 = 5.679 0,749 + 20,585 = 6,1 m
Lemb barras#8 = Lbarras#8 / 2 = 6,1 / 2 = 3,05 m
Se compara la longitud embebida real de las barras #8 con su longitud de desarrollo, para
concluir si cumple o no:
Lemb barras#7 = 3,05 m > 1,4134 m, por lo tanto cumple:
se chequea si Vu (x = 0,749 m) es menor que (2/3)Vn en la misma zona.
(2/3) Vn = 16254,73 kg
Vu ( x = 0,749 m) = 32,143 100,749 = 24,649 kg
Como Vu es mayor que (2/3) Vn, esta condicin no se cumple. Hay que probar la
condicin de aumentar los estribos en la zona donde se cortan las barras:
b) Se proporciona refuerzo transversal adicional a lo largo de la barra interrumpida en
un tramo igual a 0.75 veces el peralte efectivo medido desde el punto de corte. El
refuerzo transversal adicional requerido A, est dado por:
=4,2
=> =
4,2
Por lo tanto el nmero de estribos a colocar en la distancia 0,75 d ser:
=0,75
+ 1 => =
3,15
+ 1
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Adems, el espaciamiento s no debe ser superior a d/8b, donde b es la relacin
entre el rea del refuerzo que se corta y el rea total del refuerzo en la seccin. Por
tanto se tendr:
=0,75
( 8 )+ 1 => = 6 + 1
Regir el mayor nmero de estribos dados por las expresiones anteriores.
El Av /s que se tiene por corte es: 1.42/24 = 0,0592 cm / cm
El Av / s adicional es :
=
4,2
=
4,240
4200= 0,04 cm/cm
El Av / s total = 0,0992 cm /cm
La separacin =
()=
1,42
0,0992= 14,32
s = 14 cm, b = 0,50 , s max = d / (8 b) =58,5/4 = 14,63 cm, cumple porque se colocar s =
14 cm, en una longitud igual a 0,75 58,5 = 43,9 cm =45 cm, a lo largo de la barra
interrumpida desde el punto de corte.
Se requiere calcular una separacin diferente para el lado izquierdo de apoyo B, dado que el
cortante es mayor, se puede demostrar que en este caso la separacin requerida por corte es s
= 15 cm.
El Av /s que se tiene por corte es: 1.42/15 = 0,095 cm / cm
El Av / s adicional es :
=
4,2
=
4,240
4200= 0,04 cm/cm
El Av / s total = 0,135 cm /cm
La separacin =
()=
1,42
0,135= 10,52
s = 10 cm, b = 0,50 , s max = d / (8 b) =58,5/4 = 14,63 cm, cumple porque se colocar s =
10 cm, en una longitud igual a 0,75 58,5 = 43,9 cm =45 cm, a lo largo de la barra
interrumpida desde el punto de corte.
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Se observa en la seccin del tramo A-B, que las barras que deben llegar al apoyo son dos
barras #8, para estas barras debemos chequear la condicin que establece la norma 1753-
2006 para los aceros positivos que llegan al apoyo en la seccin 12.2.3.1 literal c, acerca del
Ld max.
El momento nominal para estas dos barras, de un clculo previo se tiene igual a:
Mn = 21,279 / 0,90 = 23,643 ton-m, Vu = 32,143 ton en A y Vu = 37,86 ton en B, la
condicin ms exigente es con el mayor. La longitud de anclaje La = 15 cm
= 15 +1,3 23,643 100
37,86= 96,183
La longitud embebida de estas barras se determina desde la seccin crtica x hasta el
extremo libre de la barra, se tiene:
x1 = 0,749 m, se le suma el La = 0,15 m, Lemb = 0,749 + 0,15 = 0,899 m.
Al comparar estos valores con la longitud de desarrollo de las barras #8, Ld = 1,413 m, no se
cumple con las dos condiciones. Existen varias alternativas de solucin. Una puede ser
reducir el dimetro de las barras que llegan al apoyo hasta que se cumplan las condiciones,
esto implica modificar todos los clculos ya realizados. Otra solucin puede ser disear un
falso volado para poder prolongar las barras hasta un punto donde se cumplan las
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condiciones. La solucin que seleccionaremos aqu es terminar las barras en gancho,
cumpliendo con la seccin 18.5.4.1 de la NV 1753-2006.
18.5.4.1 Barras con ganchos
En concretos con agregados normales y cuando se trate de barras No. 3 a No. 11, la longitud
de transferencia de tensiones por anclaje Ldh para una barra con un gancho estndar de 90,
no ser menor que 8db, 15 cm o la longitud requerida por la ecuacin (18-9):
Para concretos con agregados livianos, los valores de la longitud de anclaje anteriormente
mencionado, deben incrementarse en un 25%.
En todo caso, el gancho de 90 de la barra, debe estar situado dentro del ncleo confinado de
una columna o de un miembro de borde.
Calculamos Ldh para las barras #8:
(#8) = (2,54 4200
17,2 210) = 42,8
Debe ser mayor que 8*db =8*2,54 = 20,35 cm y mayor de 15 cm (ok)
Se dispone de 35 cm con una columna de 40 cm, por lo que no se puede lograr el Ldh, una
solucin sera disminuir el dimetro de la barra, otra aumentar el ancho de la columna a 50
cm, para tener disponible 45 cm. Se decide aumentar el ancho de la columna.
Longitud vertical requerida para poder colocar el gancho vertical dentro de la altura de la
viga: 12 db + 4 db + R libre =
= 16 2,54 + 4,95 = 45,6 < 65 ()
Los 4 db es el radio de doblaje de la barra nmero ms un dimetro de la barras = 3 db + 1
db = 4 db
Pero a efecto de clculo de la longitud del gancho es 16db = 162,54 = 40,64 cm, se
redondea a 45 cm.
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Ubicacin de las barras de acero positivo, tramo A-B:
Las barras #7, su extremo izquierdo debe quedar a la siguiente distancia del eje de la
columna:
xi#7 = 3,214 - 2,094 = 1,12 m, esto es la coordenada xm del momento mximo menos la
longitud embebida de la barra #7. Como la longitud de las barras #7 es 22.094 = 4,188 m, se
redondean a mltiplo de 5 cm, tanto la coordenada xi#7 hacia entero inferior y la longitud de
la barra a un entero superior que incluya lo que se le disminuya a xi#7. Se considera entonces
xi#7 = 1,10 m y L#7 = 4,25 m.
Las barra #8 de la zona central de la seccin que se cortaran, su extremo izquierdo debe
quedar a la siguiente distancia del eje de la columna.
xi#8 = 3,214 3,05 = 0,164 m. La longitud de la barra es L#7 = 23.05 = 6,1 m. Como ahora
la columna tiene un ancho a = 50 cm, el extremo libre de la barra quedara a 0,25 - 0,164
=0,086 m del eje, se decide llevarla hasta el eje, e incrementar su longitud en 0,1 m.
Entonces xi#8 = 0 m y L#8 = 6,20 m
Las barras #8 que llegan al apoyo, las dos barras de las esquinas, llegan a ambos apoyos con
ganchos estndar de 45 cm. Entonces la longitud de estas barras L#8(apoyos) = 20,45 +
20.45 + 7 = 8,8 m
Para la barras de lecho inferior del volado, considerando posibilidad de resistencia a
cargas laterales, se garantiza la cedencia del acero en la seccin crtica del volado, la cual
est en lado derecho de la columna B, prolongando de forma recta una longitud embebida al
lado izquierdo > a la longitud de desarrollo de la barra #6, se consider 1,10 m > 1,073 m,
considerando un recubrimiento de 0,05 m al lado derecho de la barra se obtiene una barra
con una longitud total de (2 - 0,05 - 0,25 +1.10) = 2,80 m.
(#6) = (0,192 4200
210) 1,91 = 107,3
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DESPIECE PARA EL ACERO PARA MOMENTO NEGATIVO. As -.
Se tiene la seccin del volado:
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Se determina las longitudes de desarrollo para lecho superior. De manera similar se chequean
el recubrimiento libre y la separacin libre, resultando que se aplica la frmula 12.3 de la
tabla 12.2.1 (NV 1753-06)
Considerando barra de lecho superior, = 1,3, sin epoxi = 1, concreto de peso normal =
1
(#6) = (0,192 4200 1,3
210) 1,91 = 138,2
(#7) = (0,192 4200 1,3
210) 2,222 = 160,74
Se dispone al lado derecho de (2,0 0,25 0,05) = 1,70 m > 1,607 m
Por esto no es necesario terminar la barra en gancho en el volado, sin embargo lo
terminaremos en gancho de longitud 16db = 162,222 = 35,55 cm, lo redondeamos a 40 cm.
Las dos barras #7 se prolongan como acero mnimo hasta el otro extremo de la viga por lo
que no es necesario chequear la condicin que establece que debe continuar al menos 1/3 del
As-, ms all del punto de inflexin PI, una distancia La { 12 db, d , Ln/16) (Ver seccin
12.2.3.2 NV 1753-06 y 12.12.3 ACI 318-08).
Para cortar las dos barras #6, se requiere determinar el momento que resisten las 2#7.
=
0.85=
7,764200
0,8521040= 4,565
= (
2) =
0,90 7,76 4200 (43,5 4,565
2 )
100000= 12,09
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12,09 = 2
2+ = 20 5 2 20
1 = 0,445 ; 2 = 3,555
Se considera slo la solucin x1 = 0,445 m, porque la otra supera la longitud del volado
Las barras a cortar, es decir las 2#6 dejan de ser necesarias a x1 = 0,445 m del centro del
apoyo B, pero se deben extender ms all la distancia La >= 12db d, lo cual resulta d =
43,5 cm. Se prolongan con respecto a la seccin crtica (la cara del apoyo):
= (0,445 0,25) + 0,435 = 0,63
Cmo la longitud embebida debe ser mayor que la longitud de desarrollo para las barras #6,
se extiende la longitud a 1,40 m con respecto a la cara de la columna. Las barras b es decir
las dos barras #7 se prolongan una longitud Lemb = (2 0,25 0,05) = 1,70 m con respecto
a la cara de apoyo B, pero le vamos a agregar un gancho de 0,40 m
Considerando ahora el refuerzo para el lado izquierdo de apoyo B.
12,09 = 2
2= 32,143 5 2
1 = 0,359 ; 2 = 6,785
Se considera slo la solucin x2 = 6,785 m, medidos desde A. Es decir a (7 6,785)= 0,215
m del centro del apoyo, a (0,25 0,215 = -0.035 de la cara de la columna.
L1 = - 0.035 + 0,435 = 0,40 m, para las barras a cortar, las 2#6.
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Pero se debe extender Lemb >= Ld, entonces Lemb = 1,40 m, medidas desde la cara
izquierda del apoyo B.
La ubicacin y longitud de las barras es la siguiente:
Para las barras #6 (las barras a cortar) se tiene: L#6 = 1,402 + 0,50 = 3,30 m. su extremo
izquierdo estar ubicado a (0,25 +1,40) =1,65 m del centro de la columna.
Para las barras b, las que se prolongan, las 2#7 se tiene: L#7 = 20,40 + 0,20 + 7 + 0,25 +
1.70 = 9,95 m. El extremo izquierdo debe estar a 0,20 m del centro de la columna,
considerando un recubrimiento de 5 cm.