Post on 28-Jan-2016
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CONTENIDO
CONJUNTOS
RELACIONES
FUNCIONES
CONJUNTOS
Conjuntos Conjuntos
Determinación
De un conjunto
Determinación
De un conjunto
OperacionesOperaciones
Conjuntos especialesConjuntos especiales
Relaciones entre
conjuntos
Relaciones entre
conjuntos
NotaciónNotación
Número de elementos de un conjunto
Número de elementos de un conjunto
• Es una colección de objetos.
•Los objetos de la colección pueden ser personas, números, colores, letras, figuras, etc.
NOTACIÓNCada conjunto se representa con letras Mayúsculas,
tales como A , B , C ...
Sus elementos se denotan con letras minúsculas y se separan mediante punto y, punto y coma.
Ejemplo:
A= {e; u; c; a; l; i; p; t; o }
Q = El conjunto de los colores del arcoíris.
A= {cabeza, tronco, extremidades}B= {x / x es un día de la semana}
0;1;2;3;4;5;6;....N / ; ; ; 0a
Q x x a Z b Z bb
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
FINITOFINITO
INFINITOINFINITO
UNITARIOUNITARIO
VACÍO O NULO
VACÍO O NULO
UNIVERSAL
UNIVERSAL
Es un conjunto que tiene un número limitado de elementos
Es cuando sus diferentes elementos no se pueden contar
Es todo conjunto que consta de un soloelemento
Es aquel conjunto que no tiene elementos se denota por: ó { }
Conjunto referencial que contiene a todos los elementos de los conjuntos dados. Se representa con La letra “U”
Conjuntos Iguales
Conjuntos Iguales
Conjuntos DiferentesConjuntos Diferentes
ConjuntosDisjuntosConjuntosDisjuntos
Inclusión y subconjunto
s
Inclusión y subconjunto
s
Conjunto PotenciaConjunto Potencia
Son los que tienen exactamente los mismoselementos
Dos conjuntos son diferentes si al menos uno de sus Elementos no son iguales
Son los que no tienen ningún elemento en común.
Se dice que un conjunto A está incluido en otro conjunto B, sí y solo sí , todos los elementos de A pertenece a B ; es decir :
BxAxBA
Es el conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado. Se denota por "P(A)"
UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS
Dado dos conjuntos A y B , se tiene :
A B = { x/ x A x B }
Propiedades:
AB BA
BA
A B A B B A B
1. ; 2.
3. 4.
A A A A A B B A
A A Si A B A B B
INTERSECIÓN DE CONJUNTOS Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A B = { x/ x A x B }
Propiedades:
BA
A B A B A A B
1. A A A ; A
2. A B B A
3. (A B) C A (B C)
4. A U A
5. A
Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A - B = { x/ x A x B }
PROPIEDADES
A B A B A B A
1. 2.
3. 3.
A A A A
A Si A B A B
B A
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
DIFERENCIA SIMÉTRICA
Dado dos conjuntos A y B ; la diferencia Simétrica , denotada por A B se define así:
A B = (A – B ) U (B – A)
= (A B) - (A B)
PROPIEDADES:
BA
1. A A 2. A A
3. A Δ B BΔ A 4. A B C A B C
COMPLEMENTO
Dado el universo U y un conjunto A ; el complemento de A, denotado por A O Ac se define así :
Ac = { x/ x U x A } = U – A
PROPIEDADES
AcA
U
1. (A ) A 2. A A U
3. A A 4. U
5. U 6. A B A B
Al número de elementos o Cardinal de un Conjunto se denota así: n(A) ó Card (A)
PROPIEDADES
1. Si A y B son conjuntos disjuntos , entonces:
n(A B) n(A) n(B)
2. Si A y B son conjuntos cualesquiera :
n(A - B) n(A) - n(A B)
3. Si A y B son conjuntos no disjuntos, entonces:
n(A B) n(A) n(B) - n(A B)
4. Si A , B y C son conjuntos cualesquiera, tales que:
A B C , entonces:
( ) ( ) n A B C n A
( ) ( ) ( )
( ) - ( ) ( )
n B n C n A B
n A C n B C n A B C
n A
n(A)n P(A) =2
Recuerda:Para encontrar el número de elementos del
conjunto potencia se utiliza lo siguiente:
Donde: es el número de elementos de
A.
RELACIONES
CONCEPTOSean A y B conjuntos. Una relación de A a B es
cualquier subconjunto R del producto cartesiano A×B. A se conoce como dominio y B como rango de R.
Dado el siguiente diagrama que relaciona los elementos de A con los de B
b está relacionado
con 1
b está relacionado
con 1
3 es el correspondient
e de d
3 es el correspondient
e de d
DOMINIO DE UNA RELACIÓN Dom(R) = x / xA (x,y) R
Dom(R) = {b, c, d}
IMAGEN DE UNA RELACIÓN Im(R) = y / yB (x,y) R
Im(R) = {1, 3, 4}
Sea H = { x / x es un ser humano} y R la relación “es madre de” R es una relación en H. Por qué?Como Ana es la madre de Luis, decimos que el
par (Ana,Luis) R.Note que los pares que verifiquen R son un
subconjunto de H x H.
EJEMPLO
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
DEFINIDAS EN UN CONJUNTO
PROPIEDADESPropiedad reflexiva
Propiedad simétrica
Propiedad antisimétrica
Propiedad transitiva
PROPIEDAD REFLEXIVALa propiedad reflexiva dice que todos los
elementos de un conjunto están relacionados con si mismo
R es reflexiva si para todo x A, el par (x,x) R
R es reflexiva si para todo x A, el par (x,x) R
PROPIEDAD SIMÉTRICA
Si un elemento está relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero
R es simétrica si siempre que un par (x,y) R, el par (y,x) también pertenece a R
R es simétrica si siempre que un par (x,y) R, el par (y,x) también pertenece a R
EJEMPLODado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes
relaciones en A2 son simétricas
R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)}
S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}
PROPIEDAD ANTISIMÉTRICAUna relación es asimétrica si ningún par
ordenado de la relación cumple la propiedad simétrica.
EJEMPLODado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes
relaciones en A2 son antisimétricas
R = {(2, 2), (4, 4)}
S = {(2, 4)}
T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}
PROPIEDAD TRANSITIVALa propiedad transitiva dice que si un elemento
está relacionado con otro y éste está a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero.
R es transitiva si x , y ,z , (x,y) R (y,z) R (x,z) R
EJEMPLODado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes
relaciones en A2 son transitivas
R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)}
S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}
FUNCIONES
DEFINICIÓNUna función de un conjunto A no vacío en un
conjunto B no vacío, es una relación que se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le corresponde un único de B . !x A IR y B IR y f x
xfyx
IRBIRAf
:
: Variable Independientex es la imagen de f x x
: ariable Dependientey f x V : es la preimagen de x f x
EL DOMINIO
Es el conjunto de los primeros componentes de una función
El rangoEs el conjunto de todos los segundos componentes de una función
XX
Df Rf
Y=(x)Y=(x)
donde :
Dominio de fDF={xєA/!yєB^y=f(x)}
Rango de f
RF={y=f(x)єΒ/XєA}
AA BB
A f B
En este caso no es una función porque el elemento x2 єA le esta correspondiendo dos elementos y єB
X1
X2
X3
Y1
Y2
Y3
NO ES FUNCIÓN
F es una función de R en R si y solo si toda recta vertical corta a la grafica de f en un punto a lo mas
GRAFICA DE UNA FUNCIÓN
TRABAJEMOS EN GRUPO