Post on 19-Feb-2015
transcript
Convergencia de Sucesiones
Las Sucesiones y sus LímitesPropiedades de los Límites de Sucesiones
Sucesiones. Convergencia 1
Sucesiones. Convergencia 1
Convergencia de Sucesiones
DefiniciónDefinición
Una sucesión (an)=(a1, a2, a3,…) es una aplicación que asigna un número an a cada número entero positivo n.
Una sucesión (an) converge a un numero a si los términos an se van acercando cada vez más a a cuando n aumenta.
Sucesiones. Convergencia 1
Límites de Sucesiones
NotaciónNotación lim .nna a
Sucesiones. Convergencia 1
Ejemplos de Límites
La sucesión (1/n) tiene límite 0 ya que cuando n aumenta 1/n se va acercando cada vez más a 0.
EjemplosEjemplos
1lim 0.n n
Sucesiones. Convergencia 1
Límites
EjemploEjemplo
La sucesión converge a ½.2
2
12 2n nn n
2 2
2
2
1 111 1 0 0 1
.1 2 2 0 0 22 2 2
n
n n n nn n
n n
Esto se comprueba sabiendo que
y reescribiendo esta expresión de la forma
1lim 0n n
2
1lim 0,n n
Sucesiones. Convergencia 1
Propiedades de los límites de Sucesiones
TeoremaTeorema
Supongamos que , y c . lim nna a
lim nn
b b
Entonces lim lim lim ,n n n nn n na b a b a b
lim lim ,n nn nca c a ca
lim lim lim ,n n n nn n na b a b ab
ylim
limlim
nnn
nn nn
aa ab b b
siempre que b ≠ 0.
Sucesiones. Convergencia 1
Reglas Básicas En el ejemplo anterior hemos usado la siguiente propiedad general: Si la sucesión an tiene límite ∞ cuando n ∞, es decir, si los términos an se hacen muy grandes cuando n crece, entonces
0 si 01 1
lim 0, lim 0, lim .si 0
1 si 0
pnn n n
n n
pa p
a ap
RecuerdaRecuerda (a – b)(a + b) = a2 – b2 y
.x y x y x y
Sucesiones. Convergencia 1
Límites
EjemploEjemplo Calcular lim 2 1 .n
n n
Sucesiones. Convergencia 1
Ejemplo
EjemploEjemplo Calcular lim 2 1 .n
n n
2 1 2 1 2 1
2 1
n n n nn n
n n
Solución Solución
2 1 10.
2 1 2 1 n
n n
n n n n
Por lo tanto lim 2 1 0.n
n n
Sucesiones. Convergencia 1
Límites
EjemploEjemplo
Calcular2
52
2 1lim .
2n
n n
n n n n
Sucesiones. Convergencia 1
Límites
EjemploEjemplo Calcular2
52
2 1lim .
2n
n n
n n n n
2 3 2 2
5 12 2
2
1 11 22 1
1 1 2
2
n n n n
n n n n nn nn
Solución Solución
Por lo tanto2
52
2 10.
2n
n n
n n n n
Este término tiende a 0 cuando n crece.
Sucesiones. Convergencia 1
Fórmula Útil
RecuerdaRecuerda (a – b)(a + b) = a2 – b2 y
,
.
x y x y x y
x yx y
x y
Sucesiones. Convergencia 1
Resumen
Si la expresión an tiene límite ∞ cuando n ∞, es decir, si los términos an se hacen muy grandes cuando n aumenta, entonces
0 si 01 1
lim 0, lim 0, lim .si 0
1 si 0
pnn n n
n n
pa p
a ap
lim lim lim ,n n n nn n na b a b a b
lim lim lim ,n n n nn n na b a b ab
limlim , 0.
lim
nnn
nn nn
aa ab
b b b
Cálculo en una variableAutor: Mika Seppälä
Traducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa