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CUADERNO
PENDIENTES
MATEMÁTICAS I
Curso 2017-2018
Departamento de Matemáticas IES GRANDE COVIÁN
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 2
CONTENIDOS PRIMER PARCIAL
FECHA EXAMEN ……………….
Números Reales. Radicales y logaritmos
Polinomios
Inecuaciones
Sistemas de ecuaciones ( Método de Gauss) Funciones
CONTENIDOS SEGUNDO PARCIAL
FECHA EXAMEN ……………….
Límites
Derivadas
Trigonometría
Números Complejos
Geometría Analítica
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Números Reales. Radicales y logaritmos
1. Clasifica en Verdaderas o Falsas las siguientes afirmaciones indicando la razón:
a) Todo número entero es natural. FALSO Por ejemplo….-2𝜖 ℤ 𝑦 − 2 ∉ ℕ
b) Todo número natural es entero. VERDADERO porque ℕ ⊂ ℤ
c) Todo número entero es racional. VERDADERO porque ℤ ⊂ ℚ
d) Algunos números racionales son enteros. VERDADERO porque ℤ ⊂ ℚ
e) Algunos números naturales no son racionales. FALSO ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ( Todo número
natural es racional)
f) Todo número racional es entero. FALSO Por ejemplo 2
5 𝜖 ℚ 𝑝𝑒𝑟𝑜
2
5 ∉ ℤ
2. Escribe, si es posible, varios números con las siguientes condiciones:
a) Real y no racional.
b) Irracional no real.
c) Racional no entero.
3. Expresa como fracción los siguientes números decimales:
a) 2,7
b) 2,7
c) 6,23
d) -0,24
e) -5,2
f) 5,472
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4. Representa y expresa como desigualdad los siguientes conjuntos:
a) 1,3
b) ,4
c) 9,3
d) 0,
5. Representa los siguientes conjuntos
a) 52/ xx
b) 7,55,2
c) ,30,
6. Expresa como intervalos o semirrectas las siguientes desigualdades:
a) ‒ 3 ≤ x ≤ 2
b) 5 < x
c) x ≥ ‒2
d) ‒2 ≤ x < 4
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 5
e) ‒3 ≤ x
7. Escribe la desigualdad correspondiente a estos intervalos:
a) 7,2
b) ,13
c) 0,
d) 0,3
e) ,
8. Si tenemos los conjuntos 2,3A y 5,0B , calcula la 𝐴 ∩ 𝐵 𝑦 𝐴 ∪ 𝐵.
9. Halla los siguientes valores absolutos:
a) 11
b)
c) 5
d) 3
e) 23
f) 21
10. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:
a) 5x
b) 5x
c) 24 x
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d) 24 x
e) 54 x
11. Simplifica:
a) 12 9
x
b) 12 8
x
c) 5 10
x
d) 6 8
e) 9 64
f) 8 81
12. ¿Cuál de estos números es mayor: 4 31 o
3 13 ?
13. Reduce a índice común las siguientes parejas de números reales:
a) 12 5
a y 18 7
a
b) 3 51 y 9 132650
14. Simplifica:
a)
8
x b)
5 3 10x c) 3 6
x
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15. Realiza las operaciones siguientes y simplifica al máximo:
a) 8
b) 2
c) 3 32
d) 422
e) 6 354 3 aaaaaa
f) 2
3 6322
ba
16. Extrae todos los factores posibles:
a) 745
8 cba
b) 3 78
27 ba
c) 7 142715128 zyx
d) 519
1712
243
32
c
ba
e) 4196
151081
yx
yx
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 8
f) 3271516
201510
45
72
zyx
cba
17. Reduce:
a) 3
33 2
b) 3 3
9
c) 2
165
d) 3
7294
18. Suma y simplifica:
a) xxx 235
b) 825018
c) 8125027
d) 4952539244
e) 2418450372583
19. Introduce dentro de la raíz:
a) 3 32
b) 3
4
1 · 4
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c) 8
32 x
x
d) 4 42
20. Expresa como una única raíz:
a) 4 3 4
b) 3 4 82
c) xxx :5 44 3
21. Racionaliza:
a) 7
5
b) 3 4
3
c) 3
1
a
d) 50
3
e) 3 25
2
f) 3 100
2
22. Racionaliza y simplifica:
a) 12
1
b) 1
1
x
x
c) yx
yx
d) 532
1
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 10
e) 3223
3223
f) 25
3
g) 352
11
h) 18
232
i) 532
1
23. Calcula:
a) 16log2
b) 25,0log2
c) 1log9
d) 16log2
e) 64log4
f) 49log7
g) 4
ln e
h) 4
1
ln
e
i) 04,0log5
j) 216
1log6
24. Calcula la base de los siguientes logaritmos:
a) 3125log x
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 11
b) 29
1log x
25. Halla el valor de x en estas expresiones usando las propiedades de los logaritmos:
a) 13log17loglog x b) 9ln36lnln x
c) 5ln3ln x d) 6log225log12loglog x
26. Sabiendo que 8,1log5 A y 4,2log5 B calcula las siguientes expresiones:
a) 3
2
525
logB
A
b) 2
3
5
5log
B
A
27. Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se cumple: 5ln2ln xy
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28. Expresa como un solo logaritmo la siguiente expresión: zyx lnln2ln
29. Si xK log , entonces calcula en función de x:
a) 2
log K b) 100
logK
c) K10log
30. Comprueba que: 6
1
log
log1
log
3
a
aa
(siendo a ≠ 1)
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POLINOMIOS
1. Halla el valor numérico en los siguientes casos:
a) 35)(2 xxp cuando x = 1
b) 1323)(24 xxxxq cuando x = 0
c) 136)( xxxr cuando x = 2.
d) 94245)(2356 xxxxxs cuando x = -2
2. Dados los polinomios
3)(;7236)(;13)(232 xxrxxxxqxxp efectúa las
operaciones siguientes:
a) )()( xqxp
b) )()( xqxp
c) )()( xqxp
d) )()( xrxp
e) )()( xqxr
f) )()( xrxp
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3. Realiza las operaciones que se indican con los siguientes polinomios:
122722346 xxxxxxp
123235 xxxxxq
12 xxxr
43 xxs
a) )()( xqxp
b) )()( xsxq
c) )()( xsxr
d) )()( xrxq
e) )()( xrxp
f) )()( xsxp
g) 2)(xr
h) 2)(xs
4. Realiza los siguientes productos:
a) 2222 xxxx
b) baba 33
c) yxyx 3636
d) xxxx 3322
5. Dados los polinomios siguientes 3
12)(;5710)(
2 xxqxxxp calcula:
a) )()( xqxp
b) )(3)( xqxp
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 15
c) 2
)(xq
d) )()( xqxp
e) )(:)( xqxp
6. Realiza las siguientes divisiones:
a) xxxx :63 245
b) 2234 2:6126 xxxx
c) 335 5:1015 xxx
d) 2:723 45 xxxx
e) 1:147 xxx
f) 2:636 256 xxxx
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7. Usando la regla de Ruffini, divide el polinomio 4256)( 35 xxxxp por los
divisores que se indican. Además, utiliza el teorema del resto para comprobar que el resto
obtenido es el correcto:
a) x-1
b) x+2
c) x-5
d) x+3
e) x-3
f) x+4
8. Sin necesidad de efectuar la división, halla el resto de las siguientes divisiones:
a) 1:49 xxx
b) 2:43 56 xxxx
c) 3:1432 25 xxxx
d) 1:10132 23 xxxx
e) 2:6423 xxxx
f) 2:44 234 xxxxx
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9. Utilizando el valor numérico, halla el valor de m en los siguientes polinomios sabiendo
que se verifica:
a) mxxx 23 3 es divisible por x-1
b) 1055 23 xmxx es divisible por x-2
c) 2810302 234 xxmxx es divisible por x+1
10. Calcula las raíces de los siguientes polinomios:
a) 252 x
b) 162 4 x
c) 646 x
d) 24 366 xx
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11. Factorizar los siguientes polinomios:
a) 322 xx
b) 862 2 xx
c) xx 33 3
d) 44 23 xxx
e) xxxx 22 234
f) xxxx 6363 234
g) 253 234 xxxx
h) xxxx 8126 234
i) 423 xx
j) 122 23 xxx
k) 1243 23 xxx
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12. Calcula dos polinomios de segundo grado que tengan como raíces 3;2
121 xx .
13. ¿Qué número m se ha de añadir al polinomio xxx 52 23 para que sea divisible por …..?
a) 3x
b) 5x
c) 4x
d) 3x
14. Calcula el valor de m para que las divisiones siguientes sean exactas:
a) 1:2 23 xmxxx b)
2
1:2352 23 xmxxx
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 20
15. Halla un polinomio de primer grado que al dividirlo por 1x dé de resto 1, y al
dividirlo por 2x dé de resto 7.
16. Determinar los coeficientes a y b para que el polinomio baxx 35 sea divisible por
11 xx .
17. Calcula, de dos formas distintas, el valor de m para que el polinomio
213)( 23 xmmxxxp sea divisible por 2x .
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18. Halla el polinomio de segundo grado que satisfaga las siguientes condiciones
simultáneamente:
a) el coeficiente de segundo grado es -2
b) es divisible por 3x
c) al dividirlo por 2x el resto es -10.
19. Realiza las operaciones que se indican:
a) 512
3
1
22
xxx
x
b) 2
2
3
12
x
x
x
x
c) 32
2
3
72
xx
x
x
x
d) 2
123
5
x
x
x
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e) 151
12
2
3 2
x
x
x
x
xx
f) 1
8
2
5
2
17
652
12223
xxxx
x
xxx
x
g) xxx
x
x
x
2
7
2
32322
h) x
xx
x
x
x
x
2
1
2
3
3
5 2
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ECUACIONES
1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) 156
5
4
3
2
xxx
b) 03
3
2
2
1
1
xxx
c) 3520
53
15
2
xxx
d) 21
65
10
7
14
15
20
113
xxxx
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 24
e) 6
9
4
1
13
41
8
173 xxxx
f) 21
65
10
7
14
15
20
113
xxxx
g) 6
9
4
1
13
41
8
173 xxxx
h) 2
1
22
2
31
xxx
i)
6
32
4
45 xx
j) 57
24
4
17
6
35
xxx
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2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) 01872 xx
b) 0181532 xx
c) 0742 xx
d) 0282172 xx
e) 02872 x
f) xxx 32
g) 33
32
3
1622
xxx
x
h) 0812 x
i) 05
43
2 xx
j) 25322x
k) 02
3
2
1 2 xx
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 26
l) 02332 xx
m) 3
43
3
44 22
x
xxxx
n) 4
1234
2
22
xxx
x
3. Resuelve las siguientes ecuaciones de grado superior:
a) 0423 xx
b) 0123 xxx
c) 01243 23 xxx
d) 021266 23 xxx
e) 0652 23 xxx
f) 02016 234 xxxx
g) 02552 34 xxx
h) 44 23 xxx
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i) 253 234 xxxx
j) 122 23 xxx
4. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a) 03613 24 xx b) 022534 24 xx
c) 042925 24 xx d) 098 24 xx
5. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:
a) 4
5
1
2
1
2
x
x
x
b) 2
11
1
412
xx
x
c) x
x6
5
d) xx
x
x
x
x
x
2
1101
1
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e) 1
12
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
f) 423
x
x
6. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:
a) 74 x
b) 125 2 xx
c) 8105 xx
d) 034 xx
e) 11 xx
f) xx 236
g) 6412 xx
h) 7825 xx
i) 1327 xx
j) 4272 xx
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7. Amelia tiene el triple de edad que su hermano Pedro, pero dentro de 5 años solamente
tendrá el doble de edad. ¿Cuál es la edad que tiene actualmente cada uno de ellos?
8. Beatriz tiene 8 años más que Carlos, y hace 2 años tenía el doble de edad que él.
¿Cuántos años tienen actualmente cada uno de ellos?
9. En un examen tipo test compuesto de 40 preguntas, era obligatorio responder a todas
ellas. Cada pregunta acertada valía un punto, pero cada fallo restaba medio punto. Averigua
las preguntas que acertó Miguel sabiendo que su puntuación total fue 32,5 puntos.
10. Un taller de confecciones gana 0,75 € por cada par de calcetines que entrega a la venta,
pero pierde 2,50 € por cada par defectuoso. ¿Cuántos pares válidos y cuántos defectuosos
ha producido en una jornada de trabajo si en total ha fabricado 700 pares y ha obtenido un
beneficio de 382 €?
11. Calcula las dimensiones de una parcela rectangular sabiendo que es 25 m más larga que
ancha y que el perímetro mide 210 metros.
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 30
12. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5.
Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 metros cuadrados.
13. Un grupo de amigos va a cenar a un restaurante. Cuando van a pagar observan que si
cada uno pone 20 € sobran 5 €. Sin embargo, si cada uno de ellos pone 15 €, entonces faltan
20 €. ¿Cuántos amigos fueron a cenar y cuál fue el precio de la cena?
14. En una empresa obtienen 6 € de beneficio por cada envío que hacen; pero pierden 8 € si
el envío es defectuoso. En un día hicieron 2.100 envíos, obteniendo 9.688 € de beneficio.
Calcula los envíos válidos y los envíos defectuosos que hicieron ese día.
15. Encuentra tres números impares consecutivos cuyos cuadrados sumen 5.051.
16. Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética con 5 cm. de
diferencia. Calcula el perímetro y el área de ese triángulo.
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 31
INECUACIONES
1. Resuelve las siguientes inecuaciones:
1) xx
13
1
2) 2
1
8
x
3) 212
13
6
1
4
xxx
4) 2
41
5
1
xx
5) 3520
53
15
2
xxx
6) 2
2
3
31
xxx
2. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:
1) 062 xx
2) 0962 xx
4) 028217 2 xx
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 32
5)
2
1
4
11
3
1232
xxxx
6) 023
1
23
12
2
232
xxxxx
3. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas:
1) 065 23 xxx
2) 01243 23 xxx
3) 02016 234 xxxx
4) 0192 xx
5) 045 24 xx
6) 044 4 x
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 33
4. Soluciona las siguientes inecuaciones fraccionarias:
1) 02
4
x
x
2) 042
2
xx
x
3) 03
12
x
x
4)
01
322
x
x
5. Representa las soluciones de las siguientes inecuaciones con dos incógnitas:
1) 6 yx
2) 1427 yx
3) 0 yx
4) 5
1
2
3
5
2
yx
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6. Resuelve las siguientes inecuaciones:
1) 022x
2) 04122 xx
3)
03
132
x
x
4) 0123 xxx
5) 3
2
3
1
xx
6) 086 234 xxx
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SISTEMAS
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas:
a)
864
832
yx
yx b)
464
832
yx
yx c)
10849
623
yx
yx
d)
1028
2756
yx
yx e)
1034
2756
yx
yx f)
1067
254
yx
yx
g)
133
23
124
yx
yxyx
h)
5
1
1
4
11
y
x
y
x
i)
25
32
05
2
3
1
yx
yx
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2. Soluciona los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas:
a)
1
42
yx
yx b)
22
6
yx
yx
c)
48023
3002
yx
yx d)
22
42
yx
yx
e)
22
42
yx
yx f)
22
42
yx
yx
g)
3042
556
yx
yx h)
3062
335
yx
yx
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3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales con dos incógnitas:
a)
82
8 2
yx
yx b)
90
9
yx
yx
c)
3
1022
yx
yx d)
24
5522
yx
yx
h)
8
10
22
22
yx
yx j)
3
6
xyy
yxx
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4. Resuelve los siguientes sistemas usando el método de Gauss:
a)
42
1322
2
zyx
zyx
zyx
b)
62
62
73
zyx
zyx
zyx
c)
125
03
422
zyx
zyx
zyx
d)
332
4424
3243
zyx
zyx
zyx
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 39
e)
72
042
432
zyx
zyx
zyx
f)
1632
5223
1
zyx
zyx
zyx
g)
12
2
6
zyx
zyx
zyx
h)
0247
1523
12352
zyx
zyx
zyx
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 40
i)
253
32
zyx
zyx
j)
053
02
zyx
zyx
k)
2
12
5
yx
zx
zy
l)
25
02
12
zx
zyx
zyx
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 41
EJERCICIOS REVÁLIDAS
1. Se considera el sistema:
5
93
3359
zyx
zyx
zyx
a) Resuélvelo y clasifícalo en función del número de soluciones. (2 puntos)
b) Determina si es posible, o no, eliminar una de las ecuaciones de forma que el sistema
que resulte sea equivalente al anterior. Razona la respuesta. (1 punto)
2. La distancia de tres playas (A, B, y C) del lugar de veraneo de una familia es tal que el
doble de la distancia a A es el triple de la distancia a B. La suma de las distancias a A, B y
C es de 90.000 m, y el doble de la distancia a B más el triple de la distancia a C menos la
distancia a A es igual a 130.000 m.
¿Cuál es la distancia a cada playa? (3,5 puntos)
3. En la lista de precios de una cafetería figura la siguiente información:
- Cuatro cafés y un bocadillo cuestan lo mismo que cinco refrescos.
- Cuatro cafés y tres bocadillos cuestan lo mismo que diez refrescos.
- Dos cafés, un refresco y un bocadillo cuestan 9,50 €.
Calcular el precio de cada uno de los productos. (2,5 puntos)
4. Por un helado, dos horchatas y cuatro batidos, nos cobraron un día 1.700 ptas en una
heladería. Otro día, en esa misma heladería, por cuatro helados y cuatro horchatas nos
cobraron 2.200 ptas. Un tercer día tuvimos que pagar 1.300 ptas por una horchata y cuatro
batidos. Razona si hay motivos, o no, para pensar que alguno de los días nos presentaron
una factura incorrecta. (3,3 puntos)
5.) El señor Gómez deja a sus hijos en herencia su fortuna con las siguientes condiciones:
- El mayor recibirá la media aritmética de lo que reciban los otros dos más 30.000 €.
- Al mediano le deja la media aritmética de lo que reciban los otros dos.
- El pequeño recibirá la media aritmética de lo que perciban los otros dos menos 30.000 €.
Calcula lo que ha heredado cada uno de los hijos. (3,3 puntos)
6. Con 450 gramos de medicamento se fabricaron 60 pastillas de tres tipos: grandes,
pequeñas y medianas. Las pastillas grandes pesan 20 gramos, las medianas 10 y las
pequeñas 5 gramos. Si el total de pastillas grandes y medianas es la mitad del número de
pastillas pequeñas, ¿cuántas se fabricaron de cada tipo? (3 puntos)
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 42
FUNCIONES
1. Calcula el dominio de las siguientes funciones:
a) 53)( 23 xxxxf h) 1
)(2
2
x
xxf
b) 214
153)(
2
xx
xxf i) 22)( 23 xxxxf
c) 32
52)(
2
xx
xxf j)
9
2)(
2
x
xxf
d) 3)( xxf k) 4
1)(
2
x
xxf
e) 4)( 2 xxf l) xxxf 7)( 2
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 43
f) 65)( 2 xxxf m) xx
xxxf
4
12)(
2
2
g) xx
xxf
2
72)(
2
n)
2
1)(
x
xxf
2. En cada caso, dibuja la gráfica de la función, calcula su dominio y su recorrido, estudia
su continuidad y el crecimiento y decrecimiento:
a)
01
01)(
xsix
xsixxf
b)
0
0)(
2
xsix
xsixxf
c)
24
24)(
2
xsix
xsixxf
d)
2
22
22
)( 2
xsix
xsix
xsix
xf
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 44
e)
33
339
32
)( 2
xsix
xsix
xsi
xf
f)
23
203
03
)(
2 xsixx
xsi
xsix
xf
3. Dadas las funciones xxxf 2)( 2 y 45)( xxg , calcula:
1,,,, gfggfgfgf
4. Dadas las funciones 12)( 3 xxxf y 34)( xxg , calcula:
1,,,, gfggfgfgf
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 45
5. Dadas las funciones 1
1)(
2
xxf y 4)( 2 xxg , calcula:
11 ,,,,, gffggfgfgf
6. Dadas las funciones 23
12)(
x
xxf y 32)( xxg , calcula:
11 ,,,,, gffggfgfgf
7. Dadas las funciones 1
23)(
x
xxf y
2
1)(
x
xxg , calcula:
A) El dominio de ambas funciones
B) Sus funciones inversas
C) fgygf .
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 46
FUNCIONES Continuidad Funciones a trozos
1. Representa las hipérbolas siguientes y señala las asíntotas que presentan cada
una de ellas:
a) 3
1)(
xxfy
b) 2
1)(
xxfy
c) 21
1)(
xxfy
d) 13
1)(
xxfy
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 47
2. Realiza el estudio analítico de la continuidad de las siguientes funciones a trozos:
a)
21
262
)(
2
xsix
xsix
xx
xf
b) 3)( xxf
c) 6)( xxf
d)
13
5
113
7
13
)(
3
2
xsix
xsix
xsix
xf
e) 1)( xxxf
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 48
f)
12
11
1
)(
2
xsix
xsix
x
xf
g) 4)( 2 xxf
3. Halla el valor de los parámetros para que las funciones a trozos dadas sean continuas:
a)
02
01
62
)(
2
2
xsiax
xsix
xx
xf
b)
35
30
01
)(
2
xsix
xsibax
xsix
xf
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 49
c)
01
04
43
)(
2 xsix
xsibax
xsix
xf
d)
12
12)(
xsibx
xsiaxxf
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 50
FUNCIONES Límites
1. Calcula los siguientes límites:
1) 1
32lim
2
2
0
x
xx
x
2) 32
1lim
3
1
x
x
x
3) 2
1lim
21
x
x
x
4)
13 2
2
1lim
x
x
5) 5
12
2
3lim
x
x
x
6)
x
x x
x
23
64lim
2
2
7) 1
1lim
2
1
x
x
x
8) 2
86lim
2
2
x
xx
x
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 51
9) 20
1lim
x
x
x
10)
x
x
x
11lim
2
1
11) 82
43lim
2
2
4
xx
xx
x
12) 82
43lim
2
2
xx
xx
x
13) 75
123lim
3
x
xx
x
14) xx
x
x 42
2lim
22
15)
23
11lim
2
x
x
xx
16)
x
x
x
82lim
3
0
17) 4
3 1lim
x
x
x
18)
x
x
x
11lim
2
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 52
19) 9
124lim
2
25
x
xxx
x
20) 1
1lim
3
6
1
x
x
x
21) 52
86lim
2
2
x
xx
x
22)
1
1
1
2lim
21 xx
x
x
23) 22
1lim 2
2
x
x
x
x
24) xxx
1lim 2
25) 11
3lim
0 x
x
x
26) 31
lim
xxx
27) 23lim 22
xxxx
28) 11
lim0 x
x
x
29) 14
42lim
4
2
x
x
x
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 53
30) 22
2lim
2
x
x
x
31) 1
13lim
6
2
x
xx
x
32) 3
9lim
2
2
3
x
x
x
33) 1
2lim
4
3
x
x
x
34) 1lim 22
xxxx
35) 1
2lim
2
2
1 x
x
x
36) xxx
1lim 2
37) 2
825lim
2
23
1
xx
xxx
x
38) 1
lim3
2
1 x
x
x
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 54
39) 5
23lim
2
3
x
xx
x
40)
5
2
5lim
22
x
x
x
x
x
41) 35
63lim
22
x
x
x
42) xx
x1
021lim
43)
x
x x
31lim
44)
x
x x
x6
2
2
73
3lim
45) 2
2
2
32
12lim
x
x xx
x
46) 1
2
123lim
x
xx
47) 1
3
2
2
2
2lim
x
x
x x
x
48)
x
x x
x4
2 1
21lim
49) 1
1lim
2
3
1
x
x
x
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 55
50) xxxx
242lim
51) xxx
x 3
1
0
212lim
52) x
x
x x
x1
2
2
2
1lim
53) 1342lim 22
xxx
54) 5252lim
xxx
55) xxxx
4416lim 2
56) xx
xxx
x
2
3
0
2lim
57) 12
44lim
2
2
2
xx
xx
x
58) 6
35
0lim
x
xx
x
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 56
59) 44412lim 2
xxxx
60) x
x
x 3
13lim
2
61)
1
22
1
3lim
21 x
x
xx
62)
xx
x
x
x
x 21
1
1
1lim
63)
xxx
1
2
1lim
2
64) 2
1
2
22lim
x
x x
x
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 57
2. Estudia la continuidad de las siguientes funciones a trozos y clasifica sus
discontinuidades:
1)
03
32
01
12
)(
2
xsix
xx
xsix
x
xf
2)
02
86
02
1
)(
2
xsix
xx
xsix
xf
3)
01
1
02
4
)(
2
3
2
xsix
x
xsix
x
xf
4)
121
11
)(
1
2
xsix
xsix
xx
xf
x
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 58
DERIVADAS
Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
2
2
2
2 2
3
2 4
3 3 3
2 32
1. ln 1 2. ln 3. ln 1
24. 5. ln 1 6. 7.
22 1
8. 9. 10. 11. 12. 10
113. 3 14. ln 15. 3 1 16. ln
1
117. ln cos 2 18.
1
n
x xx
axx x nx x
xxx
x
xy x y y x x
x a
x e ey ln y x x y e y
x
ey e y x e y y a y
x
ey x y y x y senx
e
senxy x y
senx
2
1 cos19. ln
1 cos
20. cos 21. 2 22. 2 32
123. 3 24. 25. 2
1
x
xy
x
xy e y senx sen x y arcsen x
xy arctag x y arctag y cotag a x
x
33
2
2 23
2
126. 27. ln cos3 28.
3
1 129. 1 30. 31.
1 332. log 33. ln 34. ln 2 35. ln 1
1 2
ln ln36. 37. ln 38. 39. cos 3 4 1
4
ax
senx
y e sen x y x y tag x tagx x
by x arcsen x y arctag tagx y x
x ab a
x xy y y x x y x x
x x
x xy y x x x y y x x
x x
5 2 2
2
2
0. 41. 4cos 2 1 42. cot 4 43. cot 4
1 144. sec5 45. 3 46. cos 47.
1 ln
48. 49. ln 2 50. 51.21
senx
y tag x y x y ag x y ag x
xy x y sen x y y arcsen
x x
x xy arctag y arcsen x y tagx y sen senx
x
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 59
Soluciones:
2
2
24
2 2 2 2
3 2 3
2
2
2 3
2 1 2 5 1 11. 2. 3. 4. 5. 6.4
2 1 2 2 11 1
2 17. 8. 2 9.3 1 10..
2 2
1 1 211. ln 12. 10 ln10 13. 3 4 ln 3 14.
12 2
3 2 315. 3 1 2ln 3 1
3 1
x
axx xx x
xnx x x
x
x
x a x xe
x x x xn x x x a x
e axe ex e x e x
x x
en a a x x
ex x
xx x
x
2
4 2 2
24
22 2
116.cot 17. 2 2 18.
1
1 1 219. 20. cos 21.cos 2 2 cos 2 22.
2 2 2 1 2 3
6 1 223. 24. 25. 26. cos 27. 3
1 9 1 2
1 1 128. 29. 30.
1 1
x
ax
gx tag xsenx
x xe sen x sen x senx x
senx x
xe asen x x tag x
x x sen a x
x tag xtag x arcsen
x ax x
2 2
2 22
2 2
31. cos ln
1 1 2 232. 33. 34.2 ln 2 35.ln 1
1 ln10 3 2 2 1
senx senxx x x
b tag x x
x xx x x
x x x x x
2
2
2 4
2
2 2
2 2 2
2 2
1 ln 2 ln36. 37.ln 38. 39. 6 4 3 4 1
2
1 140. 1 41. 40cos 2 1 2 1
2 cos 2
8 8cot42. 8 1 cot 4 43. 44.5sec5 5
4 4
3cos3 2 1 145. 46. 47.
12 3 1 ln ln 1
x xx x sen x x
x x x
tag x x sen xx x x
x agxx ag x x tag x
sen x sen x
x xsen
xsen x x x x x
2
22
148.
1
1 149. 50. cos ln 51.cos cos
2 cos4
senx
x
xtagx x tagx senx x
x xx
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 60
TRIGONOMETRÍA
1. ¿Es cierta la siguiente igualdad trigonométrica?
x
xsenx
xtg
senx
coscos
2
22
2. Si cosec α = −3 y π < α < 3π/2, encuentra el valor de las restantes razones
trigonométricas del ángulo α. 3. Si tg α = 1/2 y 0 < α < π/2, calcula de forma razonada las siguientes
expresiones:
a) sen α y sec α
b) tg (π + α), sen (π −α) y cotg (−α)
4. ¿Para que valores de x se cumple la siguiente igualdad? 14
tg
x
5. Resuelve un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 5 cm y uno de los
ángulos agudos 30º.
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 61
6. La distancia en línea recta entre dos puntos P y Q es de 70 metros. El mástil de una bandera se encuentra anclado en el punto Q, y la parte más alta se observa desde el punto P bajo un ángulo de 60º. Determina la altura del mástil.
7. ¿Qué ángulo del segundo cuadrante verifica la ecuación 2
1tgcos xx ?
8. Dos individuos distantes entre sí 68 metros y situados en la misma orilla de un
río, observan un nido en la copa de un roble, situado en la orilla opuesta. Uno de los individuos sabe que dista 44 metros del nido y también que, desde éste, las visuales a ambos observadores forman un ángulo de 140º. Determina los restantes elementos del triángulo que se forma.
9. Resuelve un triángulo del que conocemos dos lados, uno mide 10 cm y el otro 8
cm, y el ángulo comprendido entre ellos que es de 45º.
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 62
10. Si tg α = −2
5 y π/2 < α < π, encuentra el valor de las restantes razones
trigonométricas del ángulo α. 11. Calcula el lado desigual de un triángulo isósceles si los otros dos lados miden 12
cm y el ángulo desigual es de 120º. 12. Calcula de forma razonada las siguientes expresiones:
a) sen 510º b) cos (−750º) c) tg 31π/6
14. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
1cos
22
2
yx
ysenx
15. Justifica la siguiente igualdad:
gtg cot2
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 63
16. Hallar razonadamente las razones trigonométricas del ángulo de 2655º.
17. Calcula el seno, coseno y tangente de un ángulo del tercer cuadrante del que se
sabe que su cosecante es igual a -2.
18. Calcula razonadamente:
a)
5cos
arcsen
b)
3
7cosarccos
c)
3
7arccos
sen
d)
2
1arccos2cos
e) 4cos arctg f) 22arctgtg
g)
2'0arccos
2
1cos
SOLUCIONES
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 64
19. Halla las razones trigonométricas de los ángulos de 105º, 15º, 75º y 315º.
20. Deduce las fórmulas que permiten expresar
22cos,
2
xtgyxxsen ,
en función de 𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑥,𝑦 𝑡𝑔𝑥.
21. Simplifica las siguientes expresiones:
a
a
a
asen
cos
cos1
cos1
2
2
asen
senaaa
sen
2
12
cos2
2
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 65
a
asen
a
asen
cos
2
cos1
2
2
xxxx
xsenxsenxsensenx
7cos5cos3coscos
753
a
atgasen
cot
2
ba
ba
senbsena
senbsena
coscos
coscos
aa
asenasen
4cos2cos
42
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 66
22. Demuestra las siguientes identidades:
abbasenbasen 22 coscos
baba
bababa
secseccsccsc
csccscsecsecsec
x
xsenx
xtg
senx
coscos
2
2 2
xsenctgxtgx
2
2
tgbbasenbasen
baba
coscos
1
1
ctgbtga
ctgbtga
basen
basen
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 67
2cos2cos1 2 x
x
xxctgxtgxctg 2csc2422
atgatgatg 2244
23. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
01cos244 xxsen
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 68
36
cos6
4
xxsen
xsenxsenxx 356cos2cos
3cos22
4
x
xsen
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 69
xx
tg sec12
82
xsenxxxsenx coscoscos
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 70
24. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonométricas:
2
13
2
13
senysenx
senysenx
2
3
2cos
2
3
yx
senysenx
0
0coscos
seny
yxyxsen
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 71
NÚMEROS COMPLEJOS
1. Efectuar las siguientes operaciones:
5 + 7 i + 5 – 7 i =
1 + 3 i + 2 + 5 i - (3 – 2 i) =
2 + i + 1 + i - (2 + 3 i + 5 – 2 i) =
2. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 4 – 8 i - (x + 2 i) = 4 – 9 i
b) x + 2 i - (2 – 5 i) = 7 – 3 i
3. Determinar para qué valores de x son reales las siguientes expresiones:
a) 2 + x i b) 1 - (x - 2) i
4. La suma de dos complejos conjugados es de 18 y la diferencia es 4i, ¿cuáles son dichos
complejos?.
5. El producto de dos complejos conjugados es de 80. Si la componente real es 4, ¿cuál es
la otra componente?.
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 72
6. Pasar los siguientes complejos a la forma polar:
8. Hallar el complejo z en cada uno de los siguientes casos:
9. Determinar los conjugados y opuestos de los siguientes complejos:
a) z1 = - 4
b) z2 = 2 i
c) z3 = i43
1
d) z4 = i6
1
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 73
10. Dados los números complejos:
11. Expresa los siguientes complejos en la forma a +bi:
a)
b)
c)
13. Verifica las siguientes igualdades entre complejos:
a)
b)
c)
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 74
14. Escribe en forma polar el resultado del cociente: 2
85
i
ii
15. La suma de las partes reales de dos complejos conjugados es 6 y el módulo de uno de
ellos es 5. Calcula ambos números.
16. La suma de dos números complejos es 3 i y la parte real de uno de ellos es 2.
Determina dichos números sabiendo que su cociente es imaginario puro.
17. Calcula m y n para que se cumpla la igualdad: 4 2
36 2
m i
nii
.
18. Calcula las partes reales e imaginarias de:
a) 3 2
2
i
i
b) 1
1 5( ) i
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 75
c) 4
1 3
i
i
d) 1 3
2
i
i
e) 3 2
2 3
i
i
f) 5 5
3 4
i
i
g) 1
2 3
2
1 3
5 2 3
2 3
i i
i
i
/
h) ( )( )1 1 i i i
i) ( )( )5 1 5 i i
j) ( )2 5 3 i
k) ( )3 2 3 i
19. Sean z y w dos números complejos cualesquiera. Comprueba la igualdad z w z w ___
.
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 76
19. Dados los números complejos z14
5 , z2 152 º y z i3 4 , calcula
a) z z3 2
b) z
z
1
2
2( )
c) z z
z
1 2
3
3
d) z z1 2
e) ( )
( )
z
z z
1
3
2 3
2
f) zz
z3
1
2
20. Sea i
ikz
2. Calcula el valor de k para que iz 2 .
20. Sea z i ki ( )( )3 6 4 . Calcula el valor de k para que z sea un número imaginario puro.
21. Sea z i ki ( )( )3 6 4 . Calcula el valor de k para que z sea un número real.
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 77
22. Sea z 3 i . Calcular:
44z)d z)c
z
1 b) z)a
24. Representa gráficamente las soluciones de las ecuaciones:
a) 01342 xx b) 016
2 x
25. Halla los módulos y los argumentos de los números complejos:
a) 4 – 3 i
b) 5 +1 2 i
c) – 3 +3 i
d) 2 4i
26. Expresa en forma binómica los siguientes complejos:
a) 7120º
b) 2 6/
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 78
c) 33 4/
d) 5135º
27. Determina la forma polar de los números:
a) 2 3 2 i
b) 3 3 3 i
c) 4 4i
d) 7 7 i
28. Escribe en forma binómica el cociente de los números 6120º y 3 3/ .
29. Halla el módulo, el argumento y después la forma binómica de cada uno de los
siguientes números complejos:
a) 3 245 15º º
b) 1 2 333 16 41º º º
c) 5 323 97º º
d) 9 337 97º º:
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 79
e) 2 1106 61º º:
f) 6 221 24 º º:
g) ( )º º2 325
3
15
h) ( ) :( )º º2 451
4
72
2
i) ( ) :( )º º1 245
18
90
3
30. Calcula el resultado de las siguientes operaciones, y escríbelos en todas las formas que
conoces:
a) ( )( )1 1
2 2 3
5
i i
i
b) 2
1 3
2
1 3
2
1
i i i
31. Escribe en todas las formas que conoces las soluciones de la ecuaciones:
a) x i x2 2 0 b) x i x x3 22 2 0
Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 80
c) x2 2 0 d) x x3 3 0
e) x x2 1 0 f) x x2 4 13 0
g) x x2 2 5 0 h) x x2 2 2 0
i) 012 zz j) z
z ii
3
21
k) z
i
z
i2
1
4 23
l)
z
i
z
ii
3 2 4 23
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
1. Determina la ecuación continua de la recta en los siguientes casos: a) Pasa por A(-1,3) tiene como vector director v(-3,2)
b) Pasa por A(3,1) y B(-2,4)
c) Pasa por M(2,-5) y tiene como vector perpendicular n = (-1,3)
d) Pasa por P(3,-2) y su pendiente es –3/2
e) Pasa por el punto P(-1,1) y su ordenada en el origen es –5.
f) Su pendiente es 3 y su ordenada en el origen es 2.
2. Dada la recta de ecuación 𝑦 = −3𝑥 + 5, obtén un punto de la recta y la pendiente.
Escribe todas sus otras ecuaciones. 3. De entre los siguientes pares de rectas, indica cuáles son paralelas, cuáles son
coincidentes y cuáles son secantes. Indica el ángulo formado por las rectas en cada caso.
a)
paralelas
yxs
yxr
0864:
032:
b)
57,71.sec
012:
0:
yxs
yxr
c)
laresPerpendicu
yxs
yxr
0432:
0523:
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d)
04,59.
324:
012:
Sec
yxs
yxr
e)
69,78.
123
:
2:
Sec
yxs
xyr
f)
Paralelas
ty
tx
ty
tx
32
26
1
43
4. Dada la recta de ecuación 𝑦 = 𝑥 + 2 , calcula la ecuación de la recta paralela a ésta que
pasa por el punto (1,1).
5. Halla la ecuación de la recta perpendicular a la recta 3𝑥 – 𝑦 + 2 = 0 y que pasa por el
punto de corte de las rectas: 𝑥 = 1 𝑦 2𝑥 + 𝑦 = 0.
6. Halla la ecuación de la recta que corta a 2𝑥 – 3𝑦 = 6 en el punto de abscisa 6, y forma con ella un ángulo de 45
0.
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7. Dadas las rectas 2
13:
y
a
xr y 𝑠 ∶
tx 3
ty 72 Determina el valor de “a”
para que las rectas sean:
a) PARALELAS B) SECANTES C) COINCIDENTES
8. Dadas las rectas 01)1( yaax y 022 ayax Determina el valor de “a”
para que las rectas sean:
a) Paralelas
b) Perpendiculares.
9. Halla la distancia del punto 𝑃(−2,0) a la recta 𝑟: 3𝑥 + 2𝑦 + 2 = 0.
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10. Halla los valores de “𝒂” y “𝒃” en las recta 𝑟: 𝒂𝑥 – 𝑦 + 1 = 0 𝑦 𝑠: 7𝑥 – 𝒃𝑦 + 7 = 0
sabiendo que son paralelas y que 𝑟 pasa por el punto (1,2)
Halla la distancia entre 𝑟 𝑦 𝑠 11. Halla la ecuación de la recta mediatriz del segmento de extremos A(4,3) y B(-5,7) 12. Halla la ecuación de la recta mediatriz del segmento de extremos A(-2,3) y B(6,-5) 13. Halla el simétrico del punto A(2,3) respecto del punto P(5,4)
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14. Calcular el simétrico del punto 𝑃(1,1) respecto de la recta 𝑦 = 3𝑥 − 7 15. Calcular el simétrico del punto 𝑇(1,5) respecto a la bisectriz del primer cuadrante. ¿Cuál será el simétrico de P(6,2)? ¿Y en general, cuál será el simétrico de P(a,b)?