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7/17/2019 Cuña de Precion
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APÉNDICE 1 HIDROSTÁTICA HIDRÁULICA
EMPUJE HIDROSTÁTICO
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO (E) SOBREUNA PARED VERTICAL Y FORMA RECTANGULAR, CONSIDERANDO LA EXISTENCIA DEAGUA DE UN SOLO LADO DE LA PARED.
Pri!r !"#$%&!'
Empuje hidrostático = Volumen de la cuña de presiones (Figura 1).
E = Vcp (1)
E = empuje hidrostático en N, Kg, ton, liras, etc.Vcp = Volumen de la cuña de presiones
El !olumen de la cuña de presiones representa la integral o sumatoria de las "uer#as $ue act%ansore el &rea de una pared $ue retiene un l'$uido.
Vcp = (*)
= &rea del triángulo $ue representa la distriuci+n de presiones hidrostáticas dentro de un l'$uidoretenido por una pared.
= ncho de la pared
ustitu-endo la ecuaci+n (*) en (1)
b A E *= ()
El área de un triángulo se calcula con/
2
* alturabase A = (0)
i ase = e h - altura = h, entonces/
22
* 2
h P
hh P A e
e == (2)
ustitu-endo la ecuaci+n (2) en la ecuaci+n () $ueda/
2
2
hb P E e= (3)
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APÉNDICE 1 HIDROSTÁTICA HIDRÁULICA
S!&"$ !"#$%&!'
4onsiderando al empuje hidrostático como el 5*!+$r r!-&/"!0 $ue integra la suma !ectorial detodo el per"il de distriuciones de presi+n, aplicada sore un punto de aplicaci+n conocido como
1+!"r$ ! 2r!-i$"!-0, para ello es necesario considerar el 1+!"r$ ! r/*!/0 de la paredsore la cual act%a el empuje - el área de la misma pared.
6ecordando la de"inici+n de presi+n7 la presi+n es la "uer#a $ue se aplica por unidad de área, de
ah' $ue la ecuaci+n para presi+n es/
A
F P = (8)
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E
9na "orma de considerar el empuje hidrostáticoes como el !olumen de la cuña de presiones.:onde es el área del triángulo - es el anchode la cuña.
eh
:istriuci+n de presiones hidrostáticas dentrode un l'$uido retenido por una pared, en lasuper"icie del l'$uido la presi+n !ale ; por$uese toma ese punto como !alor de re"erenciapara medir la pro"undidad (h). El !alor de lapresi+n hidrostática aumenta con"ormeaumenta la pro"undidad del l'$uido.
hh
eh
Figura 1.< 6epresentaci+n grá"ica del empuje hidrostático sore unapared !ertical de "orma rectangular.
h -h
hg -
g
θ
Figura *.< rá"ica para representar la relaci+n e>istenteentre h - el centro de gra!edad de la pared o placa (-
g).
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APÉNDICE 1 HIDROSTÁTICA HIDRÁULICA
por lo tanto despejando F $ueda $ue
∫ = dA P F . d es el camio o di"erencial de &rea (?)
i el empuje hidrostático es una "uer#a entonces
E = F7 (@)
i la presi+n hidrostática es
= eh (1;)
ustitu-endo las ecuaciones (@) - (1;) en la ecuaci+n (?)
∫ = dAh P E e .. (11)
:e acuerdo con la Figura *7
h y
h sen =θ 7 despejando h
h y senh .θ = (1*)
ustitu-endo la ecuaci+n (1*) en la ecuaci+n (11)
∫ = dA y sen P E he ... θ
(1)
considerando el peso espec'"ico del agua - el seno del ángulo como constantes, se sacan de la
integral, $uedando como sigue/
∫ = dA y sen P E he .. θ
(10)
ara otener el empuje del l'$uido sore la placa o pared inclinada de la Figura *, se considera elmomento estático de la placa o pared con respecto a la super"icie lire del l'$uido, e>presada entArminos de la pro"undidad del centro de gra!edad - el área de la pared o placa. Entonces elmomento estático de la placa o pared respecto a la super"icie lire del l'$uido es/
dA ydA y g h .. =∫ (12)
ustitu-endo la ecuaci+n (12) en la ecuaci+n (10) $ueda/
dA y sen P E g e ∫ = θ . una !e# reali#ada la integral, la ecuaci+n $ueda "inalmente se otiene7
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APÉNDICE 1 HIDROSTÁTICA HIDRÁULICA
L/ !+&/+i3" !"!r/ 2/r/ +/+&/r ! !2&4! 5ir$-6i+$ -$7r! &"/-&2!r#i+i! 2/"/ ! i"+i"// +&8$ 6"&$ ! i"+i"/+i3" +$" r!-2!+$ / /-&2!r#i+i! i7r! ! /&/ !- (Fi&r/ 9 8 Fi&r/ :).
A y sen P E g e
... θ = (13)
L/ !+&/+i3" !"!r/ 2/r/ +/+&/r ! !2&4! 5ir$-6i+$ -$7r! &"/-&2!r#i+i! 2/"/ 8 *!ri+/ (Fi&r/ ; 8 Fi&r/ <).
i la pared es !ertical "ormando un ángulo de @;B respecto a la super"icie lire del agua, elsen θ = sen @;B = 1, por lo tanto la ecuaci+n general $ueda7
A y P E g e ..= (18)
i el área () de un rectángulo es
= ase > altura (1?)i la ase es igual al ancho de la pared () - la altura es h, entonces7
= h (1@)
4ada "igura geomAtrica tiene su centro de gra!edad de"inido1, para el caso del rectángulo el centrode gra!edad es igual a/
2
h y
g = (*;)
ustitu-endo las ecuaciones (1@) - (*;) en la ecuaci+n (18) $ueda $ue/
22
2hb P bh
h P E ee == (*1)
L/ !+&/+i3" (9=) !- i&/ / / !+&/+i3" (>)
1 Cidráulica eneral7 otelo &!ila7 página 27 Dala para determinar centros de gra!edad - radio de giro de di!ersas "igurasgeomAtricas.
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APÉNDICE 1 HIDROSTÁTICA HIDRÁULICA
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (8 ?) CUANDOLA PARED SOBRE LA CUAL ACT@A EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES VERTICAL Y DEFORMA RECTANGULAR.
a "+rmula general para calcular el centro de presiones (-) sore el cual act%a el empujehidrostático es (Figura )/
g
g
xk y
yr y +=
2
(**)
plicando la ecuaci+n (**) para calcular el punto de aplicaci+n o centro de presiones (-) delempuje hidrostático sore una pared rectangular !ertical, la ecuaci+n $ueda como sigue/
El centro de gra!edad se calcula con la ecuaci+n (*;), mientras $ue para el radio de giro se utili#ala siguiente e>presi+n1/
12
2
2 hr x = (*)
ustitu-endo las ecuaciones (*;) - (*) en la ecuaci+n (*1)
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eneralmente el !alor del centro de presiones se locali#a un poco más pro"undo $ue elcentro de gra!edad, como se puede oser!ar en la "+rmula para calcular el centro depresiones (-
).
Figura .< 6epresentaci+n grá"ica del empuje hidrostático sore una pared !ertical de"orma rectangular, considerando al empuje hidrostático como el 5*!+$r r!-&/"!0 $ue integra la suma !ectorial de todo el per"il de distriuciones aplicada sore unpunto de aplicaci+n conocido como 1+!"r$ ! 2r!-i$"!-0, para ello es necesarioconsiderar el 1+!"r$ ! r/*!/0 de la pared sore la cual act%a el empuje - elárea de la misma pared.
h
8
E
eh
h
g y
k y
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APÉNDICE 1 HIDROSTÁTICA HIDRÁULICA
2
2
12
2
h
h
h
yk
+= :esarrollando la ecuaci+n $ueda como sigue/
=
=
+
=
+=
+=+=
3
2
12
8
12
62
2
1
12
2
2
1
12
2
212
2 2
hhhhh
hh
h
h
h yk
or lo tanto para calcular el centro de presiones del empuje hidrostático sore una paredrectangular !ertical, la ecuaci+n $ueda/
h yk 3
2= (*0)
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO DEL AGUA
SOBRE UNA PARED INCLINADA, DE FORMA RECTANGULAR Y CON LUIDO EN AMBOSLADOS DE LA PARED (FIGURA :).
:enominemos triángulo 1 al triángulo de la i#$uierda - triángulo * al triángulo de la derecha.
ara calcular el empuje hidrostático (E) total se procede de la siguiente manera/
e calcula el empuje hidrostático del lado i#$uierdo de la pared (E 1) - posteriormente se calcula elempuje hidrostático del lado derecho de la pared (E *), - el empuje hidrostático total (E) se calculacomo la di"erencia entre E1 - E*.
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C
Peh2
Peh1
BA
θ
h1
h2
θ
h1 h
A B
C
Figura 0.< 6epresentaci+n grá"ica del empuje $ue se genera en una compuerta opared inclinada con un ángulo θ respecto a la super"icie lire del agua, - retieneagua en amos lados de la misma.
Driángulo 1
Driángulo *
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APÉNDICE 1 HIDROSTÁTICA HIDRÁULICA
ara calcular el empuje hidrostático del triángulo 1, se parte de la deducci+n general de la ecuaci+npara el empuje hidrostático representada por la ecuaci+n (13)7
A y sen P E g e ... θ =
e sae $ue el centro de gra!edad (-g) para una super"icie rectangular se calcula con la ecuaci+n
(*;). ara determinar el !alor de h se pro-ecta el triángulo "ormado por G4, - se reali#an lasoperaciones trigonomAtricas necesarias, $uedando como sigue/
hipotenusa
opuestocateto sen
−=θ
cateto opuesto = h1
hipotenusa = h
h
h sen 1=θ :espejando h
θ sen
hh 1= (*2)
4onsiderando el centro de gra!edad de la pared inclinada $ue tiene "orma rectangular, para ello seutili#a la ecuaci+n (*;)7
2
h y
g =
ustitu-endo el !alor de h de la ecuaci+n (*2) en la ecuaci+n para el centro de gra!edad (*;), la
ecuaci+n $ueda como sigue/
θ sen
h y g
2
1= (*3)
ara calcular el área de la pared rectangular se utili#a la e>presi+n (0) - se sustitu-e el !alor de h(ecuaci+n (*2)), $uedando la ecuaci+n como sigue/
θ sen
hbhb A 1** == (*8)
ustitu-endo las ecuaciones (*3) - (*8) en la ecuaci+n (13) $ueda/
=
θ θ θ
sen
h
sen
h senb P E e
11
1
2.. (*?)
Factori#ando la ecuaci+n (*?), "inalmente $ueda como7
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APÉNDICE 1 HIDROSTÁTICA HIDRÁULICA
=
=
θ θ θ θ
sen
hb P
sen
h
sen
h senb P E ee
22..
2
111
1(*@)
Hgualmente se desarrolla la ecuaci+n para calcular E*, $uedando la ecuaci+n siguiente/
=
=
θ θ θ θ
sen
hb P
sen
h
sen
h senb P E ee
22..
2
222
2 (;)
El empuje hidrostático total es entonces7
E = E1 I E*
−
=
θ θ sen
hb P
sen
hb P E ee
22
2
2
2
1 Factori#ando la ecuaci+n $uedar'a7
se otiene el "actor com%n e en el lado derecho de la ecuaci+n, - se saca el m'nimo com%ndenominador $ue en este caso es *senθ, $uedando la ecuaci+n de la siguiente manera/
−=
θ θ sen
h
sen
hb P E e
22
2
2
2
1
−=
θ sen
hhb P E e
2
2
2
2
1 (1)
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (8 ?) CUANDOLA PARED SOBRE LA CUAL ACT@A EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES INCLINADA, DEFORMA RECTANGULAR Y AGUA EN AMBOS LADOS DE LA PARED.
rimeramente se calcula el empuje hidrostático para E1 en el triángulo 1 de la Figura 0.
artiendo de la ecuaci+n (*0), donde la ecuaci+n representa el centro de presiones sore unapared plana - rectangular7
h yk
3
2=
4onsiderando el !alor de h, representado por la ecuaci+n (*2)7
θ sen
hh 1=
ustitu-endo la ecuaci+n (*2) en la ecuaci+n (*0)
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APÉNDICE 1 HIDROSTÁTICA HIDRÁULICA
θ sen
h yk
1
1
3
2= (*)
ara el triángulo * se calcula como sigue7
:e la Figura 0, se puede deducir la ecuaci+n para el centro de presiones en el triángulo *,
saemos por analog'a con el triángulo 1, $ue - * se uica tamiAn aθ sen
h2
3
2, sin emargo har'a
$ue sumarle la parte de h1 $ue está por encima del ni!el del agua del lado derecho de la pared, -eso representar'a otra inc+gnita $ue resol!er.
hora ien, se conoce el !alor de h1, - a ese !alor se le resta el tercio $ue le hace "alta paracompletar el !alor de h*, por lo tanto la ecuaci+n $uedar'a como sigue/
θ θ sen
hh
sen
hh
yk 3
3
1
21
21
2
−=
−=
()
4onsiderando momentos de las "uer#as respecto del punto G de la Figura *, para ello se multiplicacada uno de los empujes (E) calculados por sus respecti!os puntos de aplicaci+n o centros depresiones (-), con ello se otiene la siguiente ecuaci+n/
2211 k k k y E y E Ey −= (0)
ustitu-endo las ecuaciones (*@(, (;), (*) - () en la ecuaci+n (0), nos $ueda7
−
−
= θ θ θ θ sen
hh
sen
h
b P sen
h
sen
h
b P Ey eek 323
2
2
21
2
21
2
1
(2)
ustitu-endo el !alor de E,
−
−
=
−θ θ θ θ θ sen
hh
sen
hb P
sen
h
sen
hb P y
sen
hhb P eek e
323
2
22
21
2
21
2
1
2
2
2
1
- se puede despejar para posteriormente "actori#ar - "inalmente la ecuaci+n $uedar'a de lasiguiente "orma/
2
2
2
1
3
2
3
11
3
1
hh
hh
sen sen
h yk
−
−
−=
θ θ (3)
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO DEL AGUASOBRE UNA PARED VERTICAL, DE FORMA RECTANGULAR Y CON LUIDO EN AMBOSLADOS DE LA PARED (FIGURA <).
M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA $ DE 13
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APÉNDICE 1 HIDROSTÁTICA HIDRÁULICA
En este caso el ángulo de inclinaci+n de la pared respecto al ni!el de la super"icie lire del agua esde @;J, por lo $ue
seno @;J = 17 sustitu-endo este !alor en la ecuaci+n (1), la ecuaci+n para calcular el empujehidrostático $ue se ejerce sore una pared rectangular, !ertical - con agua en amos lados de lapared es/
−=
2
2
2
2
1 hh
b P E e (8)
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (8 ?) CUANDOLA PARED SOBRE LA CUAL ACT@A EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES VERTICAL, DE FORMARECTANGULAR Y AGUA EN AMBOS LADOS DE LA PARED.
ara calcular el centro de presiones se utili#a la ecuaci+n (3), haciendo el seno de @;J = 1 -sustitu-endo en la misma ecuaci+n $ueda como sigue/
2
2
2
1
3
2
3
1
1
3
1
hh
hhh yk
−
−
−= (?)
M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA 1% DE 13
Figura 2.< 6epresentaci+n grá"ica del empuje $ue se genera en una compuerta o pared!ertical, rectangular - retiene agua en amos lados de la misma.
eh
*
E
eh
1
h1
h*
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APÉNDICE 1 HIDROSTÁTICA HIDRÁULICA
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO DEL AGUASOBRE UNA PARED VERTICAL, DE FORMA TRIANGULAR Y CON LUIDO EN UN SOLOLADO DE LA PARED (FIGURA >).
ara calcular el Empuje hidrostático sore una pared !ertical de "orma triangular se parte de laecuaci+n general (13)
A y sen P E g e ... θ =
i la pared se encuentra en posici+n !ertical, entonces el seno @;J es igual a 1, por lo $ue laecuaci+n $ueda/
A y P E g e ..= (@)
el centro de gra!edad de una pared triangular 1 se calcula mediante la e>presi+n/
h y g
3
2= (0;)
ientras $ue el área de un triángulo se calcula con7
2
bh A = (01)
ustitu-endo las ecuaciones (0;) - (01) en la ecuaci+n (@)7
2
6
2
23
2hb P
bhh P E ee ==
or lo tanto la ecuaci+n $ueda/
3
2hb P E e= (0*)
M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA 11 DE 13
h
h
P!5
Figura 3.< 6epresentaci+n grá"ica del Empuje hidrostático $ue se ejercesore una pared de "orma triangular - en posici+n !ertical.
7/17/2019 Cuña de Precion
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APÉNDICE 1 HIDROSTÁTICA HIDRÁULICA
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (8 ?) CUANDOLA PARED SOBRE LA CUAL ACT@A EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES VERTICAL, DE FORMATRIANGULAR Y AGUA DE UN SÓLO LADO DE LA PARED.
ara calcular el centro de presiones se utili#a la ecuaci+n (**)
g
g
x
k y y
r y +=
2
El cuadrado del radio de giro (r >) de un pared triangular es17
18
2
2 hr x = (0)
ustitu-endo las ecuaciones (@) - (0*) en la ecuaci+n (**), $ueda/
h
h
h
yk
3
2
3
2
18
2
+= = hh
h
3
2
36
3 2
+ = hh3
2
12
1+ =
12
8hh + =
12
9h
Finalmente7
h yk
4
3= (00)
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO DEL AGUASOBRE UNA PARED VERTICAL, DE FORMA CIRCULAR Y CON LUIDO EN UN SOLO LADODE LA PARED (FIGURA ).
ara calcular el Empuje hidrostático $ue ejerce el agua sore la compuerta circular se parte de laecuaci+n general (13)
M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA 12 DE 13
:
:h
eh
Figura 8.< 6epresentaci+n grá"ica del Empuje hidrostático $ue se ejercesore una pared de "orma circular - en posici+n !ertical.
7/17/2019 Cuña de Precion
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APÉNDICE 1 HIDROSTÁTICA HIDRÁULICA
A y sen P E g e ... θ =
i la pared es !ertical el ángulo θ es igual a @;J, por lo $ue el seno de @;J es igual a 1, entonces laecuaci+n $ueda/
A y P E g e
..= (02)
El centro de gra!edad de la pared será 7
R y g = (03)
el área de un c'rculo es7
2 R A π = (08)
ustitu-endo las ecuaciones (03) - (08) en la ecuaci+n (02)
2.. R R P E
e
π = = 3 R P E
e
π =
(0?)
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (8 ?) CUANDOLA PARED SOBRE LA CUAL ACT@A EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES VERTICAL, DE FORMACIRCULAR Y AGUA DE UN SÓLO LADO DE LA PARED.
ara calcular el centro de presiones se utili#a la ecuaci+n (**)
g
g
xk y
y
r y +=
2
El cuadrado del radio de giro (r >) de un pared triangular es1
7
4
2
2 Rr x = (0@)
ustitu-endo las ecuaciones (02) - (0?) en la ecuaci+n (**), $ueda/
R R
R
yk += 4
2
= R R
R+
4
2
= R R +4
=4
4 R R + =
4
5 R
Finalmente7
R yk
4
5= (2;)
M.C. JESÚS ENRIQUE LÓPEZ AVENDAÑO PÁGINA 13 DE 13