Matemàtiques2n Batxillerat Científic i Tecnològic

Examen Global1r trimestre – Curs 2009/10

1r enunciat

Donada la funció a) Trobeu els punts d’abscisses per als quals les

rectes tangents tenen mínima pendent.

TeoriaSi una funció té un mínim en un punt, la seva derivada serà igual a zero en aquest punt.

AplicacióEl pendent de la funció és f’(x). Si volem que sigui mínima cal que trobem els on la seva derivada sigui zero, és a dir que f’’(x)=0.

1r enunciat

x

Derivada

— 0 + 0 — 0 +

Funció Mínim Màxim Mínim

2

6,

2

6

0,2

6

2

6,00

2

6

,

2

6

Taula de variació

1r enunciat

b) Calculeu els límits de f(x) quan x+∞ i quan x–∞.

2n enunciat

Amb la mateixa funció del 1r enunciat,a) Calculeu els extrems relatius i els

punts d’inflexió.

TeoriaRespectivament, cal trobar els punts on f’(x)=0 i f’’(x)=0.

Aprofitem els resultats del 1r enunciat.

2n enunciat

Extrems relatius

Punts d’inflexió

2n enunciat

b) Calculeu el comportament de la funció a l’infinit i feu-ne un esbós de la seva gràfica

El comportament està estudiat a l’apartat (b) del primer enunciat.

Per a dibuixar la gràfica no cal fer cap càlcul més.

Aprofitem les dades d’aquests dos primers enunciats:

3r enunciat

Amb la mateixa funció del 1r enunciat,a) Determineu les equacions de les rectes

tangent i normal en x=0.

TeoriaL’equació general de la recta tangent de la funció f(x) en el punt x=a és

y – f(a) = f’(a)·(x – a)

El pendent de la normal pel de la tangent és igual a – 1

3r enunciat

3r enunciat

b) Calculeu l’àrea compresa entre la gràfica d’f(x) i l’equació de la recta tangent en x=0 a l’interval[– 2,2].

TeoriaCal trobar els punts de tall entre ambdues funcions per tal de determinar els intervals d’integració. Un cop esbrinats aquests intervals, calcularem els valors absoluts de les integrals definides en els intervals aplicant la regla de Barrow.

3r enunciat

Intervals d’integració: [-2,0] i [0,2]

4t enunciat

Donada la funció

a) Calculeu el valor d’a per al qual g(x) és derivable en x=0.

TeoriaUna funció és derivable en x=a si en aquest punt tant la funció com la derivada són contínues, és a dir, els límits laterals coincideixen amb l’imatge.

4t enunciat

La funció …

… serà contínua si

La derivada és

que será contínua si

2204

0820

2

a

4

1

16

4

04

4016022

2

a

4t enunciat

b) En quins punts no és derivable la funció anterior per al valor d’a trobat.

TeoriaSi la funció no és contínua, llavors no serà derivable. Els polinomis són derivables sempre, les funcions racionals no ho són allà o no són contínues.

4t enunciat

Com que la funció a l’esquerradel zero és afí, és semprederivable.

La funció racional no és contínua on s’anul·la el seu denominador:

Descartem – 2 perquè no és del domini de la funció racional.

5è enunciat

Donada la funció del 4t enunciat,a) Determineu l’equació de la recta tangent a la gràfica

de g(x) en el punt x=0.

TeoriaLa recta tangent a la gràfica d’una funció en un punt és la que millor aproxima a la gràfica en aquest punt. Si la funció és afí, la recta tangent coincideix amb la gràfica, que és una recta.

AplicacióCom a l’esquerra de x=0 la funció és afí, la recta tangent coincidirà amb la seva gràfica. Com que la funció és derivable en x=0, a la dreta de x=0 la recta tangent serà la mateixa.

5è enunciat

La recta tangent és, doncs,

Gràficament:

24

1 xy

5è enunciat

b) Calculeu l’àrea compresa entre la gràfica de g(x) i l’eix OX a l’interval [-3,-1].

TeoriaCal trobar els punts de tall entre la gràfica de la funció i l’eix OX dins de [-3,-1] per tal de determinar els intervals d’integració. Un cop esbrinats aquests intervals, calcularem els valors absoluts de les integrals definides en els intervals aplicant la regla de Barrow.

5è enunciat

Punts de tallg(x)=0; ¼ ·x+2=0; x=–8, que cau fora de [-3,-1]

Interval d’integració[-3,-1].

Com la funció és afí no cal fer el càlcul amb integrals, la figura resultat és un trapezi.

Com que els nombres de l’interval són menors que zero, la funció g(x) és g(x)= ¼ ·x+2.

5è enunciat

Àrea trapezi (figura girada):

6è enunciat

La resistència d’un material en funció de la temperatura ambient vé donada per la següent funció:

On x és la temperatura en graus Celsius i y=f(x) la resistència per a xºC, mesurada en kg/m2.

a) Trobeu els punts de mínima i màxima resistència relativa.

TeoriaEl mínim i màxim relatiu d’una funció compleixen que f’(x)=0

6è enunciat

Apliquem el test de la derivada segona per distingir entre mínim i màxim

f’’(–6)=–0,07<0 Màxima resistència relativa si x=–6

f’’(2)=12,23>0 Mínima resistència relativa si x=2

6è enunciat

b) Calculeu els límits quan la temperatura tendeix cap a –∞ i cap a +∞ i raoneu si els extrems relatius de l’apartat anterior són o no absoluts.

6è enunciat

Calculem els valors de les resistència mínima i màxima:

f(–6)=1,19f(2)=–21,75

A partir d’aquests càlculs observem que cap valor estarà per sota de la mínima relativa, per la qual cosa també serà absoluta.

En canvi, la màxima relativa si se superarà, ja que la tendència de la funció és a +∞ si augmenta la temperatura.

6è enunciat

Amb la gràfica, tot i no demanar-se, la conclusió és més evident.

Amb aquest exemple veiem que els punts singulars no són sempre els extrems absoluts de la funció.

Màxim relatiu

Mínim relatiu i absolut