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Curso: “Conceptos matemáticos básicos para un mejor acercamiento al logro de las competencias de los programas de matemáticas del bachillerato de la UAEM”
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Curso: “Conceptos matemáticos básicos para un mejor acercamiento al
logro de las competencias de los programas de matemáticas del
bachillerato de la UAEM”
Material de lectura
Construcciones con regla y compás y su justificación matemática
Material recopilado y organizado de Wikipedia y gaussianos.com.
Instructor del Curso: Dr. Salvador Moreno Guzmán
Introducción
La construcción con regla y compás es el trazado de puntos, segmentos de recta
y ángulos usando exclusivamente una regla y compás idealizados. La geometría
clásica griega impuso esa norma para las construcciones, aunque los griegos
también investigaron las que pueden obtenerse con instrumentos menos básicos.
A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan medir o
trasladar distancias, y un solo borde. Del compás se supone que se cierra
súbitamente cuando se separa del papel, de manera que no puede utilizarse
directamente para trasladar distancias, porque "olvida" la separación de sus
puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia. Esta restricción del compás
parece muy incómoda para los usuarios de compases reales, pero carece por otro
lado de importancia matemática, porque el traslado de distancias se puede realizar
de forma indirecta.
Cualquier punto que sea obtenible usando regla y compás puede conseguirse
también usando únicamente compás; lo que evidentemente no se puede hacer es
trazar el segmento de recta entre dos puntos previamente construidos. Como se
verá, algunos problemas de geometría plana clásica imponen la restricción de
"sólo compás".
Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución "con regla y
compás" son la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del
ángulo, a los que a veces se añade la construcción del heptágono regular, el
primero de los infinitos polígonos regulares imposibles de trazar mediante regla y
compás. Tienen en común ser de resolución imposible: está matemáticamente
demostrado que no se puede cuadrar el círculo, ni duplicar el cubo, ni trisecar el
ángulo, ni trazar un heptágono regular usando exclusivamente la regla y el
compás idealizados de la geometría griega.
Pese a esa "imposibilidad lógica" insalvable, muchos persisten en el intento de
resolver estos famosos problemas. Quizás, porque no aciertan a explicarse la
imposibilidad, dado que son resolubles si se permiten transformaciones
geométricas que no pueden realizarse con regla y compás "euclídeos". Duplicar el
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cubo es posible utilizando algunas construcciones geométricas que sólo requieren
un poco más que la regla y el compás clásicos.
La regla y el compás de la geometría clásica
La regla y el compás de las construcciones geométricas son idealizaciones de las
reglas y compases del mundo real. Son conceptos matemáticos abstractos, como
pueda serlo la raíz cuadrada, y no instrumentos físicos.
El compás puede trazar circunferencias de cualquier radio dado, pero a
diferencia de la mayoría de compases reales, no tiene ninguna marca que
permita repetir una abertura predeterminada. Sólo puede abrirse entre puntos
que hayan sido previamente construidos, así que en realidad su única función
es trazar una circunferencia, o parte de ella, con un centro predeterminado y
un radio también determinado por un punto prefijado. Además, se trata de un
compás "idealizado", que en cuanto deja de tocar el papel se cierra, perdiendo
todo recuerdo del radio de la circunferencia que acaba de trazar.
La regla es "infinitamente larga" (es decir, puede prolongar una recta tanto
como se quiera), carece de marcas que permitan medir con ella, y sólo tiene
un borde, cosa insólita en las reglas mundanas (si tuviera, por ejemplo, dos
bordes, permitiría trazar rectas paralelas). Puede usarse sólo con un fin
modesto: trazar una recta entre dos puntos que ya existan en el papel, o bien
prolongar (tanto como se desee, eso sí) una de esas rectas.
Por supuesto, la regla y compás ideales deben usarse para hacer construcciones
ideales. Los dibujos del mundo real tienen imperfecciones: los puntos son en
realidad manchas tridimensionales, los segmentos de recta son en realidad cuasi-
paralelepípedos o "franjas" algo irregulares de cierta anchura y altura, etc. Estas
manchas proyectan sombras cuando son iluminadas por lámparas especiales de
luz rasante, que se utilizan profesionalmente para el estudio de las falsificaciones,
pues permiten distinguir si un trazo está por encima de otro observando las
sombras. Pero las construcciones con regla y compás de la geometría clásica se
hacen en la mente, más que en el papel, y son tan idealmente precisas como el
álgebra.
Puestas así las cosas, parecería que las construcciones con regla y compás son
un simple "juego", más que una disciplina científica seria. Buscar la solución a
cualquier construcción particular es un pasatiempo interesante, pero el verdadero
interés científico, que estuvo abierto durante más de dos mil años hasta ser
resuelto en el siglo XIX, coincidiendo con la demostración de los teoremas
fundamentales sobre ecuaciones polinómicas, con la comprensión profunda de los
números irracionales y trascendentes y con la aparición del álgebra abstracta, está
en los problemas que desbordan los límites de lo factible con regla y compás. Lo
interesante es lo que no se puede hacer con regla y compás.
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Los tres problemas insolubles clásicos de construcción con regla y compás son: Cuadratura del círculo: Se trata de dibujar un cuadrado que tenga la misma
superficie que un círculo dado. Se aporta como dato de partida el círculo a
cuadrar (su centro y uno de los puntos de su circunferencia), y se considera
resuelto el problema cuando consigue trazarse el segmento de recta que es un
lado del cuadrado que iguala el área de dicho círculo.
Duplicación del cubo: Ha de dibujarse el lado de un cubo cuyo volumen
duplique al de otro cubo del que se da el lado como dato de partida.
Trisección del ángulo: Debe dividirse un ángulo dado en tres ángulos más
pequeños, los tres del mismo tamaño, cuya suma sea igual al ángulo dado. Se
aporta como dato el ángulo a trisecar (las dos rectas que lo forman, o puntos
que permitan trazarlas) y se consideraría resuelto el problema cuando se traza
un ángulo cuya apertura es un tercio de la del ángulo dado.
Estos problemas resistieron durante 2000 años los incontables intentos de
encontrar construcciones que los resolvieran con regla y compás, de acuerdo con
las normas antes indicadas. A mediados del siglo XIX se demostró
matemáticamente que es imposible hacerlo.
Los tres problemas clásicos no son los únicos cuya solución se ha demostrado
imposible. La construcción de determinados (infinitos) polígonos regulares, como
por ejemplo el heptágono (polígono regular de 7 lados) o el endecágono (polígono
regular de 11 lados) también es imposible con regla y compás.
Las construcciones básicas
Todas las construcciones con regla y compás son aplicaciones sucesivas de cinco
construcciones básicas, usando en cada una los puntos, líneas y círculos que se
hayan creado en fases anteriores. Esas cinco únicas construcciones posibles son:
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1. Crear el segmento de recta que une dos puntos preexistentes (en realidad,
la recta: recuérdese que la regla es de longitud infinita).
2. Crear el círculo con centro en un punto dado y cuya circunferencia toca otro
punto dado.
3. Crear el punto en el que se intersecan dos rectas no paralelas.
4. Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen)
una línea y una circunferencia.
5. Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen)
dos circunferencias.
Por ejemplo, partiendo de dos puntos dados, se puede crear una recta, o bien se
pueden crear dos círculos (cada punto hace de centro de un círculo y de extremo
de otro). Si optamos por los dos círculos, su intersección dará lugar a dos nuevos
puntos. Si trazamos segmentos de recta entre los puntos originales y uno de los
nuevos puntos, habremos construido un triángulo equilátero. Así pues, el
problema: "construir un triángulo equilátero dado uno de sus lados (o los puntos
extremos de uno de sus lados) es trivialmente resoluble con regla y compás.
Puntos y longitudes construibles
Hay muchas formas distintas de demostrar que algo es imposible. La estrategia
que se seguirá en este artículo para presentar un esquema informal de las
demostraciones de imposibilidad de los problemas clásicos es la de determinar en
primer lugar los límites de la regla y el compás —lo que se puede hacer y lo que
no se puede hacer con ellos—, y mostrar seguidamente que para resolver los
problemas deberían superarse tales límites.
Usando regla y compás se pueden definir coordenadas en el plano. Se parte de
dos puntos que han de considerarse "dados", y se traza la recta que pasa por
ambos. Se llama al resultado "eje ", y se define la longitud entre los dos puntos
dados como unidad de longitud.
Por tanto, tener dos puntos como datos de partida es equivalente a tener un eje de
coordenadas y una unidad de longitud.
Ahora bien: una de las construcciones más sencillas con regla y compás es la de
trazar una recta perpendicular a otra dada, así que se hace precisamente eso, con
lo que se obtiene un "eje ".
Así pues, tener dos puntos como datos es equivalente a tener un sistema de
coordenadas cartesianas, con ejes e , y con unidad de distancia.
Por otro lado, un punto en el plano euclídeo puede identificarse con el
número complejo . En la construcción con regla y compás, se empieza con
un segmento de recta de longitud unitaria. Si se es capaz de construir un punto
dado, un punto cualquiera, en el plano complejo, entonces se podrá decir que ese
punto es un número complejo construible.
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Por ejemplo, si se dan dos puntos como datos, los números complejos , ,
, , etc. son fácilmente construibles.
De hecho, con construcciones conocidas de la geometría euclidiana se pueden
construir los números complejos de la forma x + yi siempre que x e y sean
números racionales. De modo más general, usando las mismas construcciones,
uno puede, dados dos números complejos a y b, construir a + b, a − b, a × b, y
a/b.
Esto muestra que los números construibles forman un cuerpo, que por tanto es un
subcuerpo de los números complejos. Puede demostrarse algo más: dada una
longitud construible es posible construir su conjugado y su raíz cuadrada.
Como se ha visto, las únicas formas de construir puntos nuevos es como
intersección de dos rectas, o de una recta y una circunferencia, o de dos
circunferencias. Usando las ecuaciones de las rectas y de las circunferencias,
puede demostrarse que los puntos en los que se intersecan yacen en una
extensión cuadrática del cuerpo más pequeño, F, que contenga dos puntos en la
recta, el centro del círculo, y el radio del círculo. Es decir, que los puntos con
intersección son de la forma , donde , y están en F.
Dado que el cuerpo de los puntos construibles es cerrado para las raíces
cuadradas, contiene a todos los puntos que puedan obtenerse por una secuencia
finita de extensiones cuadráticas con coeficientes racionales del cuerpo de los
números complejos. Por lo dicho en el párrafo anterior, se puede demostrar que
todo punto construible puede obtenerse por una tal secuencia de extensiones.
Como corolario, se encuentra que el grado del polinomio mínimo para un número
construible (y por tanto para cualquier longitud construible) es una potencia de 2.
En particular cualquier punto o longitud construible es un número algebraico,
sin embargo no cualquier número algebraico puede ser construido.
Ángulos construibles
Hay una biyección entre los ángulos construibles y los puntos que son construibles
en cualquier circunferencia construible. Los ángulos construibles forman un grupo
abeliano bajo la suma-módulo (que se corresponde con la multiplicación de los
puntos sobre la circunferencia unitaria, considerados como números complejos).
Los ángulos construibles son exactamente aquellos cuya tangente (o
equivalentemente, su seno o su coseno) es un número construible. Por ejemplo, el
heptadecágono regular (polígono de 17 lados iguales) es construible porque...
como descubrió Gauss.
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El grupo de los ángulos construibles es cerrado bajo la operación que biseca los
ángulos (que se corresponde con la obtención de raíces cuadradas). Los únicos
ángulos de orden finito que pueden construirse empezando con dos puntos son
aquellos cuyo orden es el producto de una potencia de 2 por un elemento de un
conjunto de diversos números primos de Fermat. Además, hay un conjunto denso
de ángulos construibles de orden infinito.
Construcciones con regla y compás como operaciones de aritmética compleja
Dado un conjunto de puntos en el plano euclídeo, basta seleccionar cualquiera de
ellos para llamarlo 0 y cualquier otro para llamarlo 1, y elegir arbitrariamente una
orientación, para poder considerar los puntos como un conjunto de números
complejos.
Dada cualquiera de tales interpretaciones de un conjunto de puntos como
números complejos, los puntos construibles utilizando construcciones válidas con
regla y compás son precisamente los elementos del mínimo cuerpo que contiene
al conjunto de puntos original, y que es cerrado con respecto a las operaciones de
conjugación de complejos y raíz cuadrada (para evitar ambigüedades, puede
limitarse la raíz cuadrada, imponiendo que el argumento complejo sea menor de
).
Los elementos de este cuerpo son precisamente aquellos que pueden expresarse
como una fórmula en la que intervienen los puntos originales y que sólo incluye las
operaciones de suma, resta, multiplicación, división, complejo conjugado y raíz
cuadrada. Es fácil demostrar que los elementos así obtenidos son un subconjunto
numerable, pero denso, del plano complejo. Cada una de las seis operaciones
citadas se corresponde con una construcción simple con regla y compás. Por
tanto, de la fórmula que define un número puede extraerse directamente la
secuencia de construcciones simples con regla y compás que hay que realizar
para construir el punto reflejado por la fórmula.
En suma: si se aporta un conjunto de puntos (números complejos) como datos
iniciales, y se pide la construcción de otro número complejo, que depende de los
datos a través de una fórmula que sólo contiene sumas, restas, multiplicaciones,
divisiones, conjugación de complejos y raíces cuadradas, ese número "objetivo" es
siempre construible en un número finito de pasos (de las construcciones básicas
que se han descrito arriba), pasos que además se deducen automáticamente de la
fórmula, aunque en muchos casos pueden encontrarse construcciones alternativas
más eficientes, atajos de menos pasos.
Hay una alternativa que evita la elección arbitraria de dos puntos para que hagan
de 0 y de 1. Dada una orientación arbitrariamente elegida, un conjunto de puntos
determina un conjunto de ratios complejas dadas por la razón entre las diferencias
de cualesquiera dos pares de puntos. El conjunto de ratios de ese tipo construible
usando regla y compás a partir de tal conjunto inicial de ratios es precisamente el
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cuerpo más pequeño de los que contienen los ratios originales, y es cerrado para
la conjugación compleja y la raíz cuadrada.
Por ejemplo, la parte real, imaginaria, y el módulo de un punto o ratio (eligiendo
uno de los dos puntos de vista antes descritos, el de asignar arbitrariamente
puntos 0 y 1 o el de trabajar con ratios) son construibles, dado que pueden
expresarse como:
La duplicación del cubo y la trisección del ángulo requieren ratios que son solución
de ecuaciones cúbicas, en tanto que la cuadratura del círculo requiere un ratio
trascendente. Ninguno de esos casos forma parte de los cuerpos antes descritos,
y por tanto no existe construcción con regla y compás para estos problemas. Una
excepción, en el caso de la trisección del ángulo, se da con ángulos especiales
como cualquier tal que sea un número racional que tenga como
denominador el producto de una potencia de dos y de distintos números primos de
Fermat.
Construcciones imposibles
Cuadratura del círculo
El más famoso de los problemas griegos, la cuadratura del círculo plantea la
construcción de un cuadrado cuya superficie sea la misma de la uncírculo dado; y,
por supuesto, resuelto con regla y compás.
Se ha demostrado que cuadrar el círculo de esta forma es imposible, dado que
implica encontrar un número trascendente, a saber . Usando regla y compás
sólo es posible generar números algebraicos. La frase "cuadratura del círculo" o
"cuadrar el círculo" se usa frecuentemente con el sentido de "hacer algo
imposible". Con gran fortuna, puesto que es tan imposible como obtener algo
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distinto de cuatro sumando dos más dos, o dibujar en el plano euclídeo un
triángulo que tenga los tres ángulos obtusos.
Sin embargo, si no se exige resolver el problema con sólo regla y compás, resulta
sencillo hacerlo con una amplia variedad de métodos geométricos y algebraicos.
El problema fue resuelto de esta forma muchas veces, ya en la antigüedad.
Duplicación del cubo
Duplicar el cubo consiste en construir el lado de un cubo que tenga el doble de
volumen que otro cubo cuyo lado se da como dato del problema. Por supuesto,
debe hacerse con regla y compás. Es imposible, porque la raíz cúbica de 2, pese
a ser un número algebraico, no puede obtenerse de los números enteros por
suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas, que son las
únicas operaciones que pueden hacerse con regla y compás. Esto es así porque
el polinomio mínimo de la raíz cúbica de 2 sobre los racionales tiene grado 3.
Basta con que se permita utilizar una regla con dos marcas y un compás para que
sea posible duplicar el cubo.
Trisección del ángulo
Partiendo de un ángulo dado, trisecarlo significa construir un ángulo que mida
justo un tercio del ángulo dado. Se demuestra que ello requiere obtener la raíz
cúbica de un número complejo cualquiera, con valor absoluto 1. Resulta imposible
hacerlo sólo con regla y compás.
Se puede esbozar una demostración más completa para el caso de que el ángulo
sea de 60°. Si fuera trisecable, entonces el polinomio mínimo de cos 20° tendría
que ser de un grado potencia de dos (2,4,8,...). Esto es así porque, como se ha
visto antes, construir un ángulo equivale a construir un punto en la circunferencia
que subtienda ese ángulo, por lo que tangente, seno y coseno del ángulo deberían
ser números construibles, y ya se ha visto que sólo los que resultan de polinomios
de grado potencia de 2 son construibles.
Usando la identidad trigonométrica
cos(3α) = 4cos³(α) − 3cos(α),
se obtiene, haciendo cos 20° = y,
8y³ − 6y − 1 = 0,
de modo que, con el cambio de variable, x = 2y,
x³ − 3x − 1 = 0.
Si ese polinomio pudiera reducirse a grado 2, tendría una raíz racional, que por el
teorema de la raíz racional, debería ser 1 o −1, que evidentemente no son raíces.
Por lo tanto, el polinomio mínimo para cos 20° es de grado 3, de modo que cos
20° no es construible y por tanto el ángulo de 60° no puede ser trisecado.
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La trisección del ángulo, como muchas otras construcciones imposibles con regla
y compás, puede llevarse a cabo fácilmente con el sistema más potente, aunque
físicamente sea muy sencillo, de papeles doblados denominado origami. Los
axiomas de Huzita (tipos de operaciones de doblado) permiten construir
extensiones cúbicas (raíces cúbicas) de longitudes dadas, en tanto que con regla
y compás sólo pueden construirse extensiones cuadráticas (raíces cuadradas).
Ver matemáticas de la papiroflexia
Construyendo polígonos regulares
Polígono construible.
Algunos polígonos regulares (un ejemplo es el pentágono) son fácilmente
construibles con regla y compás; otros no. Esto nos lleva a la pregunta: ¿es
posible construir cualquier polígono regular con regla y compás?
El primer avance relevante para resolver este problema se debe a Gauss, que
mostró en 1801 que un polígono regular de n lados puede construirse con regla y
compás siempre que los factores primos impares de n sean primos de Fermat
distintos. Gauss conjeturó que esta condición debía ser también necesaria, pero
no aportó una demostración de este hecho, que fue lograda por Pierre Wantzel en
1837.
Construcciones sólo con regla, o sólo con compás
Es posible, de acuerdo con el teorema de Mohr-Mascheroni, obtener sólo con
compás cualquier construcción que pueda hacerse con regla y compás (excepto el
hecho de trazar una recta). Es imposible obtener una raíz cuadrada sólo con regla,
de modo que muchas construcciones factibles con compás no lo son con regla.
Pero el teorema de Poncelet-Steiner demuestra que basta con disponer
previamente de un único círculo y su punto central para que todo lo construible
con compás lo sea también sólo con regla (y el círculo y su centro previamente
trazados).
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Elementos matemáticos que fundamentan las construcciones con regla y compás
Estructura algebraica
En álgebra abstracta, una estructura algebraica, también conocida como sistema algebraico,1
es una n-tupla (a1, a2, ..., an), donde a1 es un conjunto dado no vacío, y {a2, ..., an} un conjunto de
operaciones aplicables a los elementos de dicho conjunto.
Cuerpo o campo (matemáticas)
En álgebra abstracta, un cuerpo o campo es una estructura algebraica en la cual las operaciones
llamadas adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades: asociativa,
conmutativa y distributiva de la multiplicación respecto de la adición , además de la existencia de
inverso aditivo, de inverso multiplicativo y de un elemento neutro para la adición y otro para la
multiplicación, los cuales permiten efectuar las operaciones de sustracción y división (excepto la
división por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmética de números ordinarios.
Los cuerpos son estructuras algebraicas importantes de estudio en diversas ramas de la
matemática: álgebra, análisis matemático, teoría de los números, puesto que proporcionan la
generalización apropiada de dominios de números tales como los conjuntos de números
racionales, de los números reales, o de los números complejos. Los cuerpos eran llamados
dominios racionales.
El concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir el concepto de espacio vectorial y las
transformaciones de estos objetos, dadas por matrices, dos objetos en el álgebra lineal cuyos
componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario. La teoría de Galois estudia las
relaciones de simetría en las ecuaciones algebraicas, desde la observación del comportamiento de
sus raíces y las extensiones de cuerpos correspondientes y su relación con los automorfismos de
cuerpos correspondientes.
Conjunto numerable
En matemáticas, un conjunto es numerable o contable cuando sus elementos pueden ponerse en
correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales o un subconjunto finito del mismo.
Algunos autores toman una definición alternativa de conjunto numerable que incluye también a los
conjuntos finitos. Esta definición establece que un conjunto es numerable cuando existe
correspondencia uno a uno entre el conjunto y algún subconjunto de los números naturales y es por esto
que en ocasiones se especifica conjunto infinito numerable o a lo sumo numerable para evitar
ambigüedades, refiriendo la primera expresión únicamente a conjuntos infinitos y la segunda
permitiendo conjuntos finitos.
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Georg Cantor fue el primero que hizo uso de este concepto en un artículo publicado en 1874 que
marcaría el nacimiento de la teoría de conjuntos.1 Sin embargo, su importancia se manifiesta en
numerosos campos de las matemáticas, en particular en el análisis, en teoría de la medida y en
topología.
Número de Fermat
Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma
con n natural eran números primos (después de todo, los cinco primeros términos, 3 (n=0), 5
(n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4) lo son), pero Leonhard Euler probó que no era así en
1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:
4294967297 es el número más pequeño que, siendo número de Fermat, no es primo.
Actualmente, sólo se conocen cinco números primos de Fermat, que son los que ya se conocían
en tiempos del propio Fermat, y, a fecha de enero de 2009 sólo se conoce la factorización
completa de los doce primeros números de Fermat (desde n=0 hasta n=11). Estas son algunas de
las conjeturas que existen hoy día sobre estos números:
1. ¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?
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2. ¿Existen infinitos primos de Fermat?
Números algebraicos
Un número algebraico es cualquier número real o complejo que es solución de una
ecuación polinómica de la forma:
Donde:
, es el grado del polinomio.
, los coeficientes del polinomio son números enteros
Ejemplos
Todos los números racionales son algebraicos porque toda fracción de la forma a / b es
solución de . Todos los números construibles son algebraicos.
Algunos números irracionales como: √ y √
también son algebraicos porque son
soluciones de x2 - 2 = 0 y 8x3 - 3 = 0, respectivamente. Otros irracionales no son algebraicos, como π (Lindemann, 1882) y e (Hermite, 1873). Son,
en consecuencia, trascendentes. i es algebraico, siendo raíz de .
Si un número real o complejo no es algebraico, se dice que es trascendente. Si un número algebraico es solución de una ecuación polinómica de grado n, y no es
solución de una ecuación polinómica de grado menor m < n, entonces se dice que es un número algebraico de grado n (n > 0).
Los números racionales son números algebraicos de primer grado, pues para todo racional
, siempre podemos escribir una ecuación polinómica de grado uno con
coeficientes enteros cuya solución es precisamente .
En cambio, los irracionales -aunque pueden ser números algebraicos- nunca pueden ser
números algebraicos de grado 1.
Propiedades del conjunto de los números algebraicos
1. El conjunto de los números algebraicos es contable, i.e. puede establecerse una biyección con el conjunto de los números naturales.
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2. La suma, la diferencia, el producto o el cociente de dos números algebraicos resulta ser algebraico, y por lo tanto los números algebraicos constituyen un grupo aditivo, un anillo con 4 "unidades" (1, -1, i, -i) y un cuerpo matemático.
3. Como consecuencia de lo anterior, todos los números que pueden escribirse a partir de los racionales empleando solamente las operaciones aritméticas +, -, *, /, potencias y raíces son algebraicos. Sin embargo, existen números algebraicos que no pueden escribirse de esta forma, y son todos de grado >5. Ésta es una consecuencia de la Teoría de Galois.
4. Puede demostrarse que si los coeficientes ai son números algebraicos cualesquiera, la solución de la ecuación volverá a ser un número algebraico. En otras palabras, el cuerpo de los números algebraicos es algebraicamente cerrado. De hecho, los números algebraicos son el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene los racionales (su clausura algebraica).
El conjunto de los números algebraicos, a veces denotado como forma un cuerpo con las
operaciones heredadas de los complejos . A diferencia de los números complejos los
números algebraicos son un conjunto numerable. y por tanto su cardinal es alef 0). Esto es
una consecuencia de que el conjunto de polinomios con coeficientes enteros es numerable.
Clasificación de números
Complejos
Reales
Racionales
Enteros
Naturales
1: uno
Naturales primos
Naturales compuestos
0: Cero
Enteros negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Irracionales algebraicos
Trascendentes
Imaginarios