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8/16/2019 Definicion de Factorizacion
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DEFINICION DE FACTORIZACION
En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descripción de una
expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.)
en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos
matemáticos estudiados; el objetio es simplificar una expresión o reescribirla en términos de
!bloques fundamentales", que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número
en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.
El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, # para la
factorización de polinomios, el teorema fundamental del ál$ebra. %a factorización de números
enteros mu# $randes en producto de factores primos requiere de al$oritmos sofisticados, el
niel de complejidad de tales al$oritmos está a la base de la fiabilidad de al$unos sistemas
de cripto$raf&a asimétrica como el '.
TIPOS DE FACTORIZACION
Factorizar: Es descomponer en el prodcto de ss factores na e!presion al"e#raica
Estos son los $% de Casos de Factorizacion
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
➀ Factorar n 'onomio:
En este caso se #scan los factores en los (e se pede descomponer el t)rmino
$*a# & + , * a #
➁ Factor Com-n 'onomio:
En este caso se #sca al"-n factor (e se repita en am#os t)rminos
Como pedes .er la literal / a 01 esta en los 2 t)rminos1 por lo tanto1 ese ser3 t factor
com-n
a4 5 2a & a 6 a 5 2 7
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Sumahttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomiohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_primoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_irreduciblehttps://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_irreduciblehttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_de_la_aritm%C3%A9ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_enteroshttps://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_enteroshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_%C3%A1lgebrahttps://es.wikipedia.org/wiki/Criptograf%C3%ADa_asim%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/RSAhttps://es.wikipedia.org/wiki/RSAhttps://es.wikipedia.org/wiki/RSAhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sumahttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomiohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_primoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_irreduciblehttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_de_la_aritm%C3%A9ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_enteroshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_%C3%A1lgebrahttps://es.wikipedia.org/wiki/Criptograf%C3%ADa_asim%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/RSAhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas
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➂ Factor Com-n Polinomio:
! / a 5 # 0 5 m / a 5 # 0
En este caso en am#os t)rminos el factor (e se repite es / a 5 # 01 entonces lo pedes
escri#ir como el factor del otro #inomio
! / a 5 # 0 5 m / a 5 # 0 & 6 ! 5 m 7 6 a 5 # 7
➃ Factor Com-n por A"rpación de T)rminos:
En este caso1 tienes (e .er (e t)rmino tienen al"o en com-n con otro t)rmino para
a"rparlo
a! 5 #! 5 a8 5 #8 &
/a! 5 #!0 5 /a8 5 #80
Desp)s de a"rparlo pedes aplicar el Caso 21 Factor Com-n 'onomio
/a! 5 #!0 5 /a8 5 #80 & !6a 5 #7 5 86a 5 #7
A9ora aplicas el Caso +1 Factor Com-n Polinomio
!6a 5 #7 5 86a 5 #7 & 6! 5 87 6a 5 #7
➄ Trinomio Cadrado Perfecto a4 2a# 5 #4 & 6a 5 #74
Se es trinomio cadrado perfecto cando cmple la si"iente re"la:
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☞El Cadrado del $er Termino 2 ;eces el $er Termino por el 2do 5 el Cadrado del 2do
Termino
Factorar: m4 5
m@@@@@@@@@@@@@@+
➊ Sacamos la Raz Cadrada del $er 8 +er T)rmino
/ m 0 8 / + 0
➋ Bas Races las acomodas dentro de na par)ntesis1 8 las separas con el si"no / 5 01
este si"no se toma del 2do termino del trinomio1 8 solo falta (e al #inomio1 (e se
formo le a"re"es el e!ponente / 2 01 con esto te (eda n inomio de la Sma de 2
T)rminos ele.ados al Cadrado
6m 5 +74
Nota:
Si el 2do@ Si"no del Trinomio 9#iera sido / 01 t inomio 9#iera (edado 6m +74
➌ A9ora aplica la Re"la del TCP
6m 5 +74
El Cadrado del $er Termino & m4
/ 5 0 2 ;eces el $er Termino por el 2do /2m0 /+0 &
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➍ nta los T)rminos
m4 5
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H 5 + & J
H ! + & $2
➌ Esos n-meros son / H 0 8 / + 01 a9ora los acomodamos dentro de los par)ntesis
6! 5 H76! 5 +7
Esta ser3 la Factorización: !4 5 J! 5 $2 & 6! 5 H7 6! 5 +7
➈ Trinomio de la Forma a!4 5 #! 5 c
Factorar
Pasos:
➊ ;amos a mltiplicar todos los t)rminos del trinomio por el coeficiente de $er 1 termino
/ < 01 en el 2do termino del trinomio1 solo deGamos seLalada la mltiplicación
+
➋ A#rimos 2 par)ntesis1 con las races de / +
e(i.alente
6
➌ as3ndonos en los coeficientes del 2do termino / $ 0 8 en el +er termino del trinomio
/ $2 01 .amos a #scar 2 nmero (e smados me den / $ 0 8 mltiplicados / $2 0
➍ Esos nmero son / H 8 + 0
H 5 + & $
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/ H0 / + 0 & $2
➎ A9ora colocamos los n-meros encontrados dentro de los par)ntesis
6
➏ Como se pede .er1 los coeficientes1 dentro de los #inomios1 son m-ltiplos1 por lo
(e 9a8 (e redcirlos
6
Esta ser3 la Factorización:
➉ Sma o Diferencia de C#os: aM #M
Sma de C#os:
&&&&&&&&&&&&
aM 5 #M & 6a 5 #7 6a4 a# 5 #47
Se resel.e de la si"iente manera
El #inomio de la sma de las races de am#os t)rminos 6a 5 #7
El cadrado del $er termino1 / a4 0
/ 0 el prodcto de los 2 t)rminos / a# 0
/ 5 0 El cadrado del 2do termino / #4 0
Diferencia de C#os:
&&&&&&&&&&&&&&
aM #M & 6a #7 6a4 5 a# 5 #47
Se resel.e de la si"iente manera
El #inomio de la resta de las races de am#os t)rminos 6a #7
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El cadrado del $er termino1 / a4 0
/ 5 0 el prodcto de los 2 t)rminos / a# 0
/ 5 0 el cadrado del 2do termino / #4 0
FACTORIZACION DE POBINO'IOS
En matem3ticas 8 3l"e#ra comptacional1 la factorización de polinomios o factorización
polinómica se refiere a factorizar n polinomio con coeficientes en n campo dado o en
los n-meros enteros en factores irredci#les con coeficientes en el mismo dominio@
Factorización polinómica es na de las 9erramientas fndamentales de los sistemas de
3l"e#ra comptacional@
Ba 9istoria de la factorización polinómica comienza con Kermann Sc9#ert (ien en
$J=+ descri#ió el primer al"oritmo de factorización de polinomios1 8 Beopold ronecer1
(ien redesc#rió el al"oritmo de Sc9#ert en $2 8 la amplió a polinomios
mlti.ariados 8 con coeficientes en na e!tensión al"e#raica@ Pero la ma8or parte de
los conocimientos so#re este tema no es ma8or (e alrededor del aLo $=
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Cando los al"oritmos de pasos finitos lar"o tiempo conocidos se psieron por primera
.ez en los ordenadores1 resltaron ser altamente ineficiente@ El 9ec9o de (e casi
cal(ier polinomio ni o mlti.ariado de 9asta "rado $%% 8 con coeficientes de tamaLo
moderado 69asta $%% #its7 se pede factorizar mediante al"oritmos modernos en nos
pocos mintos indica el )!ito con (e este pro#lema se 9a atacado drante los -ltimos(ince aLos@
FACTORIZACION DE QNA DIFERENCIA DE CQADROS
Factorización de na diferencia de cadradosBa factorización de na diferencia de
cadrados es el prodcto de dos #inomios conG"ados
a2 #2
& 6 a 5 # 7 6a # 7
Nótese (e el t)rmino (e cam#ia de si"no en los #inomios conG"ados es el
correspondiente al t)rmino (e se resta en la diferencia de cadrados@ Factorización de
na diferencia de cadrados
Ba factorización de na diferencia de cadrados es el prodcto de dos #inomios
conG"ados a2 #2 & 6 a 5 # 7 6a # 7 Nótese (e el t)rmino (e cam#ia de si"no en los
#inomios conG"ados es el correspondiente al t)rmino (e se resta en la diferencia de
cadrados@
FACTORIZACION DE QN TRINO'IO CQADRADO PERFECTO
la factorización es el proceso inverso a los productos notables, es decir, en los temas
anteriores se te pedía el resultado de una multiplicación de expresiones algebraicas, ahora
en la factorización se te da el resultado y tu tienes que encontrar que multiplicación de
expresiones algebraicas corresponde a dicho resultado.
Un trinomio cuadrado perfecto, es el resultado de un binomio al cuadrado, esto significa
que:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica formada por 3 trminos en donde
los dos trminos de los extremos, tienen raíz cuadrada exacta, por tal motivo para obtener
la factorización de dicha expresión, es necesario observar primero si estos trminos cumplen
con esa condición, la factorización se podara obtener mediante los siguientes pasos:
!" #btener la raíz cuadrada del primer trmino.
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$" %espetar el signo que antecede al segundo trmino.
3" #btener la raíz cuadrada del tercer trmino.
&" 'sta expresión deber( colocarse entre parntesis y todo elevarlo al cuadrado.
)ara obtener la raíces cuadradas tanto del primer como del tercer trmino, sólo debes
buscar la expresión algebraica que al multiplicarla por si mismo te de como resultado el
producto buscado. #bserva con atención el e*emplo. +actorizar el siguiente trinomio
cuadrado perfecto.
9m4 – 12m2n2 + 4n4 =
!" %aíz cuadrada del primer trmino m& - 3m2
$" %espetar signo que antecede al segundo trmino - –
3" %aíz cuadrada del tercer trmino &n& - 2n2
&" olocar estos resultados dentro de parntesis y elevarlos al cuadrado.
(3m2 – 2n2)2
FACTORIZACION DE LOS TRINOMIOS DE LA FORMA X2+bx+ ! ax2+bx+
Trinomio de la formax2 + bx + c, son trinomios como:
x2+ 5x + 6, m
2+ 5m – 14
b2– 2a – 15 y2- 8y + 15
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Que cumplen con las siguientes condiciones:
1) El coeficiente del primer término es 1.
2) El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3) El segundo termino tiene la misma letra que el primero, con exponente 1 y su
coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
4) El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1º y2o termino y
es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
Reglas para Factorizar un trinomio de la formax2 + bx + c
1) El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer término es X, o
sea la raíz cuadrada del primer termino del trinomio.
2) En el primer factor después de X se escribe el signo del segundo término del
trinomio, y en el segundo factor después de X se escribe el signo que resulta de
multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término
del mismo.
3) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dos
números cuya suma sea el valor absoluto de segundo término del trinomio y cuyo
producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son
los segundos términos de los binomios.
4) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos
números cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio y cuya
diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio.
5) El mayor de los números encontrados en la regla número cuatro (4) es el
segundo término del primer binomio y el menor es el segundo término del segundo
binomio.
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Observación: Este pudiera ser un caso muy complejo de factorización, pero en
realidad es
Es uno de los más fáciles, y lo veremos a continuación.
Veamos algunos ejemplos sobre este caso.
1) X2 + 7x + 10.
Primero construimos los dos binomios, los cuales se encuentran buscando la raíz
cuadrada del primer término.
(x ) (x )
El primer signo del binomio será el signo que tiene el segundo término que en este
caso es positivo, y el segundo será el que nos queda de operar los signos del
segundo término y del tercer término, en este caso también es positivo, por lo tanto
nos quedara.
(x + ) (x + )
Como los signos que tienen los binomios en los medios son iguales buscaremos
dos números que multiplicados sean igual al tercer término del trinomio que es 10;y cuya suma sea igual al valor absoluto del segundo término que es 7.
Entonces los números serian: (5 y 2)
La regla nos dice que el número más grande será el segundo término del primer
binomio y el menor será el segundo término del segundo binomio, por lo tanto nos
queda.
(x + 5 ) (x + 2 )respuesta.
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Trinomio cuadrado de la forma ax2 + bx + c
Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el terminoal cuadrado ( ) se encuentra precedido por un coeficiente diferente deuno (debe ser positivo). Este se trabaja de una manera un pocodiferente, la cual detallamos a continuación:
. !ultiplicamos el coeficiente "a# de el factor "a # por cadatermino del trinomio, dejando esta multiplicación indicada enel termino "bx# de la manera "b(ax)#, $ en el termino "a # de
la manera .2. %e descompone el trinomio en dos factores binomios cu$o
primer termino ser& la ra' cuadrada del termino la queseria "ax#.
. al producto resultante lo dividimos entre el factor "a#, con elfin de no variar el valor del polinomio.
*. El sino del primer binomio ser& el mismo sino que tena eltermino "bx#, el sino del seundo binomio ser& iual a lamultiplicación de los sinos de "bx# $ de "c#.
. %e buscaran los seundos t-rminos de los binomios sen los
pasos tres $ cuatro del caso del trinomio anterior.Ejemplo explicativo:
http://www.aulafacil.com/cursos/l10953/ciencia/matematicas/algebra/trinomio-cuadrado-de-la-forma-ax2-bx-chttp://www.aulafacil.com/cursos/l10953/ciencia/matematicas/algebra/trinomio-cuadrado-de-la-forma-ax2-bx-c
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Ejemplos:
%iempre que sea posible /a$ que realiar la división indicada que nosqueda de este tipo de trinomio, sin olvidar que cada factor deldenominador que se simplifique se corresponde (2..) a todos lost-rminos de uno solo de los binomios.
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SQ'A DIFERENCIA DE CQO
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o0ecordamos de cocientes notables que:
1ero en la división exacta el dividendo es iual al divisor multiplicado porel cociente, efectu&ndolo nos queda:
e donde se deducen las siuientes relas:
• 3a suma de dos cubos perfectos se descompone en dos
factores, el primero es la suma de sus ra'ces cbicas, $ elseundo se compone de el cuadrado de la primera ra' menosel producto de ambas ra'ces m&s el cuadrado de la seundara'.
• 3a diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos
factores, el primero es la diferencia de sus ra'ces cbicas, $ elseundo se compone del cuadrado de la primera ra' m&s elproducto de ambas ra'ces mas el cuadrado de la seunda ra'.
Ejemplo explicativo:
http://www.aulafacil.com/articulos/cms/t22/los-mejores-cursos-gratishttp://www.comunidadaulafacil.com/forum.phphttp://www.aulafacil.com/algebra/curso/Lecc-22.htmhttp://www.aulafacil.com/articulos/cms/t22/los-mejores-cursos-gratishttp://www.comunidadaulafacil.com/forum.phphttp://www.aulafacil.com/algebra/curso/Lecc-22.htm
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Ejemplos: