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INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
1 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
DEFINICIÓN DE LA DERIVADA.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de esa curva, próximo a P. Considérese la recta que pasa por P y Q, llamada secante. La recta tangente en P es la posición límite (si existe) de la secante, cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva.
Sea ƒ una función definida en un intervalo abierto que contiene al número a. En la figura 1.1 se ilustran la gráfica de ƒ y una recta secante lpq que pasa por P ( a , ƒ ( a ) ) y Q( x, ƒ( x )). La recta de trazo punteado l representa una posible recta tangente en el punto P.
lPQ l Q
Y P a x X
La pendiente m de l se define como el valor de límite de la pendiente de lPQ
cuando Q tiende a P. Así por la definición tenemos: axafxf
xlímm
−−
→=
)()(
0
siempre y cuando el límite exista. Si se introduce una nueva variable h tal que x = a + h (es decir, h = x - a), como se ilustra en la figura 1.2.
l lPQ Y Q P a a + h X ( fig. 1.2 )
se obtiene la siguiente fórmula para la pendiente h
afhafLímmh
)()(0
−+=
→, que es
equivalente a la anterior. El límite anterior es uno de los conceptos fundamentales del cálculo y se llama derivada de la función ƒ en a.
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Definición 1. Sea ƒ una función definida en un intervalo abierto que contiene a a. La derivada de ƒ en a, denotada por ƒ’(a), está dada por
hafhaf
Límafh
)()()(
0
−+=′
→, si este límite existe.
Si este límite existe, decimos que ƒ es diferenciable en a. Encontrar la derivada se llama derivación; la parte de cálculo asociada con la derivada se llama cálculo diferencial.
La diferenciabilidad implica continuidad. Si una curva tiene tangente en un punto, la curva no puede dar un salto en ese punto. La formulación precisa de este hecho es un teorema importante.
Teorema 1. Si existe ƒ’(a), entonces ƒ es continua en a.
Una función ƒ es derivable en un intervalo abierto (a,b) si lo es en todos los números c de (a,b). También se considerarán funciones que son derivables en un intervalo infinito (- ∞ , a), (a,∞) o bien (- ∞ , ∞).
Para intervalos cerrados usaremos la siguiente definición.
Definición 2. Una función ƒ es derivable en un intervalo cerrado [a , b], si lo es en el intervalo (a , b) y los límites
hlí m f a h f a
h→+
+ −
0
( ) ( ) hlím
f a h f ah→
−
+ −
0
( ) ( )
existen.
Los límites por la derecha y por la izquierda en la definición anterior, se llaman derivada por la derecha y derivada por la izquierda de ƒ en a y b, respectivamente.
La derivada de una función en intervalos de la forma [a, b), [a,∞), (a ,b] o bien (- ∞ , b] se define usando los límites por la derecha o por la izquierda en uno de los puntos extremos. Si ƒ está definida en un intervalo abierto que contiene a a, entonces ƒ ’(a) existe si y sólo si las derivadas por la derecha y por la izquierda en a existen y son iguales.
El inverso del teorema 1. Es falso. Si una función ƒ es continua en c, no se sigue que ƒ tenga derivada en c. Esto se ve con facilidad examinando la función ƒ (x)=| x | en el origen. Esta función, por cierto, es continua en cero, pero no tiene derivada ahí. (Demostración a cargo del lector)
El argumento recién presentado demuestra que en cualquier punto en el que la gráfica de ƒ tiene un pico o presenta una esquina aguda, es continua, pero no diferenciable.
Suponiendo que la función ƒ es derivable en a, se puede enunciar la siguiente definición.
Definición 3. Recta tangente: La pendiente de la recta tangente a la gráfica de ƒ en el punto (a, ƒ(a)) es ƒ’(a ).
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Derivada como una función Si ƒ es derivable para todo x en un intervalo entonces, asociando a cada x
el número ƒ’(x), se obtiene una función ƒ’ llamada derivada de f. El valor de ƒ’, en x está dado por el siguiente límite.
hf(x)h)f(x
0hlím(x)f −+=′
→
, (Límite
unilateral), nótese que el número x es fijo, pero arbitrario y el límite se toma haciendo tender h a cero. Derivar ƒ(x) o encontrar la derivada de ƒ(x) significa determinar ƒ’(x).
En los siguientes ejercicios se determinará la primera derivada por definición, o la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado.
Ejercicios Resueltos:
( )Δx
x5Δxx5(x)f
ecuaciónlaAplicandoΔx
f(x)Δx)f(x(x)f
x5f(x)x5y1)
0
0
−+=′
→−+
=′
=→=
→Δ
→Δ
x
x
Lím
Lím
0
0
0
0
5 x Δx x 0f (x) f (x) INDΔx 0
5 x Δx x x Δx xf (x) .
Δx x Δx x
5 (x Δx x) 5 Δxf (x)Δx x Δx x Δx x Δx x
1 5f (x) 5 f (x)x Δx x 2 x
x
x
x
x
Lím
Lím
Lím
Lím
Δ →
Δ →
Δ →
Δ →
⎡ ⎤+ −⎣ ⎦′ = = ′ =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦′ =⎡ ⎤+ +⎣ ⎦
+ −′ = =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
′ = = ′ =+ +
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[ ]
[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )3x 32
1(x)f
3x 33x 3
1(x)f
3x3x3x3x
1(x)f
3x3Δxx3Δxx3xΔx
3Δxx3x(x)f
3Δxx3x
3Δxx3x
3x3ΔxxΔx
)3Δxx3x((x)f
:conjugadaAplicando
3x3ΔxxΔx
3Δxx3x
1Δx
3x3Δxx
3Δxx3x
(x)f
ind00
Δx3x
1
3Δxx
1
(x)f3x
1f(x)2)
0
0
00
0
−=′⇒
−+−=′
−−+−−=′
−−++−+−
+−−−=′
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−++−
−++−
−−+
−+−−=′
−−+
−+−−=
−−+
−+−−
=′
=−
−−+
=′⇒−
=
→Δ
→Δ
→Δ→Δ
→Δ
x
x
xx
x
Lím
Lím
LímLím
Lím
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
3 3x Δx 2 x 2 033) f(x) x 2 f (x) indΔx 0
3 3 2 2(a b) ( ab ) Identidada b a b33Donde: a x Δx 2 ; b x 2
2 23 3 333 3x Δx 2 x 2 x Δx 2 x Δx 2 x 2 x 2f (x)
2 23 333Δx x Δx 2 x Δx 2 x 2 x 2
f (x)
x
x
Lím
Lím
Δ →
Δ →
+ − − −= − ′ = =
− = − + +
= + − = −
⎡ ⎤⎡ ⎤+ − − − + − + + − − + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦′ =⎡ ⎤
+ − + + − − + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
′( )( ) ( )
( ) ( ) ( )0
3 333 x 2x Δx 2
2 23 333Δx x Δx 2 x Δx 2 x 2 x 2xLímΔ →
− −+ −=
⎡ ⎤+ − + + − − + −⎢ ⎥
⎣ ⎦
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
x Δx 2 x 2f (x)2 23 333Δx x Δx 2 x Δx 2 x 2 x 2
1f (x)32 23 33x Δx 2 x Δx 2 x 2 x 2
1 1f (x) (x)2 2 2 23 3 3 3x 2 x 2 x 2 3 x 2
x
x
Lím
Lím
f
Δ →
Δ →
+ − − +′ =
⎡ ⎤+ − + + − − + −⎢ ⎥
⎣ ⎦
′ =⎡ ⎤
+ − + + − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦
′ = ⇒ ′ =− + − + − −
[ ]
( )[ ]
x 32
1(x)f
x 3x 3
1(x)f
xxxx
1(x)f
xΔx)(xΔxxx
1Lím(x)f
xΔxxΔxxxΔx
ΔxxxLím(x)f
Δxxx
Δxxx
xΔxxΔx
)Δxxx(Lím(x)f
ΔxΔxxx
Δxxx
Lím(x)f
ind00
Δxx
1
Δxx
1
Lím(x)fx
1f(x)
xx
xf(x)
x 3
xf(x)4)
0Δx0Δx
0Δx0Δx
0Δx
=′⇒+
=′⇒+
=′
+++=′⇒
+++−−
=′
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
++
+
+−=′⇒
+
+−
=′
=
−+
=′⇒=→=→=
→→
→→
→
( ) ( )[ ] [ ]
5x2
1y´
5x5Δxx
1Límy´
5x5ΔxxΔx
5x5ΔxxLímy´
5x5ΔxxΔx
5x5ΔxxLímy´
5x5Δxx
5x5ΔxxΔx
5x5ΔxxLímy´
Ind00
Δx5x5Δxx
Límy´
5xF(x)5)
0Δx
0Δx0Δx
0Δx
0Δx
+=⇒
++++=
++++
+−++=⇒
++++
+−++=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++++
++++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +−++=
=+−++
=
+=
→
→→
→
→
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( )
( )( ) ( )
( )[ ]( )[ ]
( )[ ]( )( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] 30Δx
0Δx
0Δx
0Δx
0Δx0Δx
0Δx
x272
3f´(x)
3x3x2
3f´(x)
3x3x3x3x
3Límf´(x)
xΔx33x3xxΔx3
3Límf´(x)
xΔx33x3xxΔx3xΔ
x33x3xLímf´(x)
xΔx33x
xΔx33x
3xxΔx3xΔ
xΔx33xLímf´(x)
3xxΔx3xΔ
xΔx3x3Límf´(x)
1xΔ
3xxΔx3
xΔx3x3
Límf´(x)
IND00
xΔx3
1
xΔx3
1
Límf´(x)3x
1(x)6)f
−=⇒
−=⇒
+
−=
++
−=
++
Δ−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
++
+
+−=
+
+−=⇒
+
+−
=
=
−+
=⇒=
→
→
→
→
→→
→
( )( )
( )( )
( )[ ] ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
Δx 0
Δx 0
2 2
Δx 0
Δx 0
2x 37) f(x)3x 4
2x 2 x 3 2x 3 0f´(x) Lím Ind3x 3 x 4 3x 4 0
3x 4 2x 2 x 3 3x 3 4 2x 3f´(x) Lím
3x 3 x 4 3x 4
6x 6xΔx 9x 8x 8 x 12 6x 9x 6xΔx 9 x 8x 12f´(x) Lím3x 3 x 4 3x 4
Ordenando:
f´(x) Lím
x
→
→
→
→
−=
+
+ Δ − −= − =
+ Δ + +
+ + Δ − − + Δ + −=
+ Δ + +
+ − + + Δ − − + − + Δ − +=
+ Δ + +
=( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2Δx 0
6x 6xΔx 9x 8x 8 12 6x 9x 6xΔx 9 x 8x 12Δx 3x 3 x 4 3x 4
17 Δx 17f´(x) Lím f´(x)Δx 3x 3 x 4 3x 4 3x 4
x
→
+ − + + Δ − − + − + Δ − ++ Δ + +⎡ ⎤⎣ ⎦
= ⇒ =+ Δ + +⎡ ⎤ +⎣ ⎦
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( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )
( )[ ] ( )[ ]
22
2
0Δx
22
0Δx
23223
0Δx
2322
0Δx
22
0Δx
0Δx
x1
1F´(x)x
1xF´(x)
ΔxxxΔx
1xΔ2xΔxLímF´(x)
ΔxxxΔxΔxxxΔxx
LímF´(x)
xΔxxΔxxxΔxxxxΔx2xxx
LímF´(x)
xΔxxΔxxxΔxxxΔx2xΔxxx
LímF´(x)
ΔxxΔxxxΔxxxΔxxx
LímF´(x)
00
xx1
ΔxxΔxx
1LímF´(x)x
x1
F(x)8)
−=⇒−
=
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
=⇒+
−Δ+=
+−−−−Δ++
=
+−−−−+++
=
++−+−++
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−++
+=⇒+=
→→
→
→
→
→
( )Δx
xSenxSenxCosΔxCosxSenLím(x)f
ind00
ΔxxSenΔx)(xSen
Lím(x)f
Δxf(x)Δx)f(x
Lím(x)fxSenf(x)9)
0Δx
0Δx
0Δx
−+=′
=−+
=′
−+=′=
→
→
→
( ) [ ]Δx
1ΔxCosxSenΔxSenxCosLím(x)f
ΔxxSenΔxCosxSenΔxSenxCos
Lím(x)f
0Δx
0Δx
−+=′
−+=′
→
→
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
xCosxf =′
−−=′
=−
=
−+=′
−+=′
→→
→→
→→
→→
)(Δx
ΔxCos1LímxSen
ΔxΔxSen
LímxCos(x)f
0Δx
ΔxCos1Lím;1
ΔxΔxSen
Lím:conocemosPero
Δx1ΔxCos
LímxSenΔxΔxSen
LímxCos(x)f
Δx1ΔxCosxSen
LímΔx
ΔxSenxCosLím(x)f
0Δx0Δx
0Δx0Δx
0Δx0Δx
0Δx0Δx
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[ ]
Δx 0
Δx 0
Δx 0 Δx 0
Δx 0
10) f(x) Cosxf(x Δx) f(x)f (x) Lím
ΔxCos(x Δx) Cosx 0f (x) Lím ind
Δx 0CosxCos(Δx) SenxSen(Δx) Cosx CosxCos(Δx) Cosx SenxSen(Δx)f (x) Lím f (x) Lím
Δx ΔxCosx Cos(Δx) 1 Senx Sen(Δx)
f (x) LímΔ
→
→
→ →
→
=+ −
′ =
+ −′ = =
− − − −′ = ⇒ ′ =
− −′ =
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Δx 0 Δx 0
Δx 0 Δx 0
Δx 0 Δx 0
Δx 0 Δx 0
Cosx Cos(Δx) 1 Senx Sen(Δx)f (x) Lím Límx Δx Δx
Cos(Δx) 1 Sen(Δx)f (x) CosxLím SenxLímΔx Δx
1 Cosx Sen(Δx)f (x) CosxLím SenxLímΔx Δx
1 Cosx Sen(Δx)Conociendo: Lím 0 ; Lím 1 f (x)Δx Δx
→ →
→ →
→ →
→ →
−⇒ ′ = −
−′ = −
−′ =− −
−= = ⇒ ′ Senx= −
1xCosLím0xSenLím:Nota
0Δx0Δx==
→→
Δx 0
Δx 0
11) f(x) tg xtg(x Δx) tg (x) 0f (x) Lím ind
Δx 0
tg a tg bU tilizando la identidad: tg(a b)1 tg a tg b
tg x tg Δx tg(x)1 tg x tg Δxf (x) Lím
Δx
→
→
=+ −
′ = =
++ =
−
+−
−′ =
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[ ]( )
[ ] [ ]
[ ]
Δx 0
Δx 0 Δx 0
Δx 0
(tgx tg(Δx)) tgx 1 tgx tg(Δx)1 tgx tg(Δx)
f (x) LímΔx
2tg(Δx) 1 tg x2tgx tg(Δx) tgx tg x tg(Δx)f (x) Lím f (x) LímΔx 1 tgx tg(Δx) Δx 1 tgx tg(Δx)
tg(Δx)2f (x) 1 tg x Lím f (xΔx 1 tgx tg(Δx)
→
→ →
→
+ − −−
′ =
⎡ ⎤−⎢ ⎥+ − +/ / ⎣ ⎦′ = ⇒ ′ =− −
⎡ ⎤′ = − ⇒ ′⎢ ⎥ −⎣ ⎦ Δx 0 Δx 0
Δx 0 Δx 0
2
Δx 0 Δx 0
2
tg(Δx) 12) 1 tg x Lím LímΔx 1 tgx tg(Δx)
Sen(Δx)Sen(Δx)Cos(Δx)2 2f (x) 1 tg x Lím f (x) 1 tg x Lím
Δx ΔxCos(Δx)Sen(Δx) 12f (x) 1 tg x Lím Lím f (x) 1 tg xΔx CosΔx
Sec x 1 t
→ →
→ →
→ →
⎡ ⎤= −⎢ ⎥ −⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ = − ⇒ ′ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤′ = − ⇒ ′ = −⎢ ⎥⎣ ⎦
= − 2 2g x f (x) Sec x⇒ ′ =
x
Δx 0
x Δx x x Δx x
Δx 0 Δx 0
Δx Δxx x
Δx 0 Δx 0
f(x Δx) f(x)12) f(x) f (x) LímeΔx
0e e e e ef (x) Lím ind f (x) LímΔx 0 Δx
1 1e af (x) Lím Pero : Lím 1 f (x)e eΔx Δx
→
+
→ →
→ →
+ −= ′ =
− −′ = = ⇒ ′ =
− −′ = = ⇒ ′ =
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[ ]
a a
Δx 0
aΔx 0
Δx 0
Δx 0
1tx
t 0
(x Δx) xLog Log 013) ( ) f (x) indLog Líma Δx 01 (x Δx)f (x) LogLím Δx x
1 Δxf (x) Lím 1 x 0LogaΔx x1
Δx ΔxΔxf (x) Lím 1 Cambio t Δx tx Δx 0 t 0Loga x x
f (x) Lím 1 tLoga
f x x→
→
→
→
→
+ −= ⇒ ′ = =
⎡ + ⎤⎡ ⎤′ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤
′ = + >⎢ ⎥⎣ ⎦
′ = + = → = = → =
′ = +
⎡ ⎤⎣ ⎦
( )( )( ) ( )
( )
11 x
tt 0
11 ttt 0 t 0
1t
t 0
f (x) LímLog 1 ta1 1f (x) Lím f (x) Lím 1 tLog Log1 ta ax x
1Pero Lím 1 t e f (x) eLogax
→
→ →
→
→ ′ = +
′ = ⇒ ′ = ++
+ = ⇒ ′ =
( )
Δx 0 Δx 0
Δx 0 Δx 0
1
Δx 0 Δx 0
14) y Ln ax f(x) Ln axa(x Δx)Ln
Ln a(x Δx) Ln ax axf (x) Lím f (x) LímΔx Δx
(x Δx)Ln 1xf (x) Lím ( ) Lím
Δx
1 Δx( ) Lím (1 ) ( ) Lím 1x
x
xLnxf x
x
xf x Ln f x Lnx x
→ →
→ →
Δ
→ →
= =
+⎡ ⎤⎢ ⎥+ − ⎣ ⎦′ = ⇒ ′ =
+ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦′ = ⇒ ′ =Δ⎡ ⎤
Δ⎡ ⎤ ⎢′ = + ⇒ ′ = +⎢ ⎥ ⎢Δ ⎣ ⎦⎣ ⎦
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1tx t t
t 0 t 0 t 0
1t
t 0
ΔxCambio t Δx tx Δx 0 t 0x
1 1(x) Lím Ln (x) Lím Ln (x) Ln Lím1 t 1 t 1 t
1 1Lím ( ) ( )1 t
f f fx x
Pero e f x Ln f xex x
→ → →
→
⎥⎥
= ⇒ = ⇒ → →
′ = ⇒ ′ = ⇒ ′ =+ + +
= ⇒ ′ = → ′ =+
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EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
11 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
Ejercicios de aplicación de la definición de la Derivada.
1.- Determinar una ecuación de la recta tangente a la curva 32 2 += xy en el punto (-1,5).
( ) ( )
( ) ( )
Δx 0 Δx 0
Δx 0 Δx 0
Δx 0 Δx 0
f x Δx f(x )f x Δx f(x) 1 1Lím ,en ese punto m(x ) Límmtg 1Δx Δx
2 2 2 2 22 x Δx 3 2x 3 2x 4x Δx 2 x 3 2x 31 1 1 1 1m(x ) Lím m(x ) Lím1 1Δx Δx
2 Δx 4x 24x Δx 2 x 11m(x ) Lím m(x ) Lím m(x ) 4x1 1 1 1Δx Δx
x
→ →
→ →
→ →
+ −+ −= =
+ + − + + + Δ + / − − /= ⇒ =
⎡ ⎤+ Δ+ Δ ⎣ ⎦= ⇒ = ⇒ =
01y4x:tgRecta1)4(x5y)1xm(x1yyrectaladependientepuntoecuaciónlautilizando
4m1)4(1)m(14x)1(xm)1m(xlaen1xdevalorelsust.
=−+⇒+−=−→−=−−
−=⇒−=−⇒=⇒
2.- Dada la función y = 2
1x
x − calcular la ecuación de al recta tangente
y la ecuación de la recta normal a la curva en el punto (-1,1).
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+
−Δ+Δ+
Δ
−−
−Δ+Δ+
=⇒
−+
−Δ+Δ+
−+
−Δ+Δ+
Δ−
−−Δ+
Δ+
=
=Δ
−−
−Δ+Δ+
=
→Δ→Δ
→Δ
12
1)(2
12
1)(2
)1(
12
1)(2
12
1)(2
12
1)(2
)1(
001
21)(2
)1(
00
0
xx
xxxx
x
xx
xxxx
Límxm
xx
xxxx
xx
xxxx
xx
xxx
xx
Límxm
indx
xx
xxxx
Límxm
xx
x
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12 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
.).(0541)(x41y1)(x
411
1y)x(xm
1yy:R.NPara
1:034yx1xy4y1x
41
1y
1)1,(Punto)xm(xyy:tangenterectalaPara
41
)1(16
1)1(
8)(2
11)m(
1x 3(2x)
1)1m(x
1x
1x 42x
1)1m(x
1x 21x
2x2
2Lím)1m(x
1x2x
1x2x
1x 2
2Lím)1m(x
1x2x
1ΔxxΔx)2(x
1)(x1)Δx(x
2Lím)1m(x
1x2x
1ΔxxΔx)2(x
1)(x1)Δxx(xΔ
xΔ2Lím)1m(x
1x2x
1ΔxxΔx)2(x
Δx
1)(x1)Δx(x2ΔΔ
Lím)1m(x
1x2x
1ΔxxΔx)2(x
Δx
1)(x1Δxx2xΔx2x2x2ΔΔΔx2x2x2x
Lím)m(x
1x2x
1ΔxxΔx)2(x
Δx
1)(x1Δxx1Δxx2x1)(xΔx)2(x
Lím)m(x
1t
1
11
0Δx0Δx
0Δx
0Δx0Δx
22
0Δx10Δx1
NRyx
mmNota
mm
tgn
=+−⇒+=−⇒+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
=−⇒−−
=−
−==−+⇒−−=−⇒+−=−
−−=−
−=−→
−=−
−−−
=−⇒−
−=⇒
−
−
−=
−−
−=⇒
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−++
−−+
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−++
−−+/
//−=⇒
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−++
−−+−
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−++
−−++−−−+−
=⇒
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−++
−−+−+−−+
=
→→
→
→→
→→
3.- Calcule la “pendiente media” de al curva xy 2= en el intervalo (1, 5)
[ ]
1x2xf(x)Δx)f(x
nmΔx
f(x)Δx)f(xnm
51,Puntox2y
−−+
=→−+
=
=
215
4252
4
12412
12
22=⇒
+=⇒
++=⇒
−−Δ+
= nmnmnmxx
xxx
nm
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13 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
4.- Determine la ecuación de la recta tangente a la curva y x=
−1
5 2 en el punto
)31
,1(
( )[ ]( )[ ]( ) ( )[ ]( )
( )[ ]( ) ( ) 95
95
)1(2)(5x25x
5Lím)1m(x
25x2Δxx5Δxx5
Lím)1m(x
Δx25x2Δxx52x55x25x
Lím)1m(xΔx
25x2Δxx52Δxx5)2(5x
Lím)m(x
0025
12)(5
1
)1()()(
0Δx0Δx
0Δx0Δx1
00
−=⇒
−=⇒
−−−
=⇒−−+
Δ−=
−−++Δ−−−
=⇒−−+−+−−
=
=Δ
−−
−Δ+=⇒
Δ−Δ+
=
→→
→→
→Δ→Δ
mm
indx
xxxLímxm
xxfxxf
Límtgmxx
089502427151515927)1(15)13(9
)1(95
31
)1(1:.
=−+⇒=−+⇒+−=−→−−=−
−−
=−→−==−
yxyxxyxy
xyxxtgmyytagRlaAhora
5.- Determine una ecuación para cada una de las rectas normales a la
curva xxy 43 −= que sean paralelas a la recta 088 =−+ yx
( )tg
Δx 0
3 2 2 3 3
1 Δx 0
Δx 0 Δx 0
Δx 0
3 3x Δx 4(x Δx) x 4x 0Calculamos m(x ) Lím indm 1 Δx 03 3 4 4 4( ) Lím
2 2Δx 3x 3xΔx Δx 42 2 33x Δx 3xΔx Δx 4 xm(x ) Lím m(x ) Lím1 1Δx Δx2 2m(x ) Lím3x 3xΔx Δx1
x x x x x x x x x xm xx
→
→
→ →
→
+ − + − +⇒ = =
+ Δ + Δ + Δ − − Δ − +=
Δ⎡ ⎤/ + + −+ + − Δ ⎢ ⎥⎣ ⎦= ⇒ =
/ /
= + +
RN
24 m(x ) 3x 411 1m m ( )mn n 2m(x) 3x 4
− ⇒ = −
− −= ⇒ =
−
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2
3
Como las rectas buscadas son paralelas a la recta dadaigualamos las pendientes
x 8 1x 8y 8 0 y m8 8
1 1 2 23x 4 8 3x 12 0 x 4 x 228 3x 4sustituir en la ec. de la curva para calcular los valores de y:y x 4x x 2 Punto
−
− + −+ − = ⇒ = ⇒ =
− −= ⇒ − + = − ⇒ − + = ⇒ = ⇒ = +
−
= − → = ⇒
1
2
(2,0); x 2 Punto ( 2,0)1 1: (2,0); 0 ( 2) 8 2 0
8 81 1: ( 2,0); 0 ( 2) 8 2 0
8 8
Para L Punto m y x x y
Para L Punto m y x x y
= − ⇒ −− −
= ⇒ − = − ⇒ + − =
− −− = ⇒ − = + ⇒ + + =
6.- Encontrar una ecuación para cada una de las rectas tangentes a la curva 4633 23 ++−= xxxy que sean paralelas a la recta 02712 =+− yx
( ) ( ) ( )
( )
3 32 2
32
0
3 2 2 3 32 2 2
0
Δx 0
x Δx 4 x 4x Δx 2 x Δx x 2x3 3 3 3x 4 0f(x) x 2x f (x)
3 3 Δx 0
(x 3x Δx 3xΔx Δx ) xx 2xΔx Δx 2x 2 x x 2x3 3f (x)
Δx
3 3 3x Δx x2 2 2 2x Δx xΔx x 2xΔx Δx 2x 23 3 3f (x) Lím
x
x
Lím Ind
Lím
x
Δ →
Δ →
→
⎡ ⎤+− + + + + − + − −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦= − + + ⇒ ′ = =
+ + +− + + + + Δ − + −
′ =
+ + + − − − + + Δ −′ =
2x 2x
Δx
+ −
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15 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
Δx 0 Δx 0
21 tg
tg
RD
2Δx x xΔx 2x Δx 22 2 2x Δx xΔx 2xΔx Δx 2 xf (x) Lím m(x ) Lím1Δx Δxm(x ) x 2x 2 a la curvam
sus pendientes son iguales (paralelas) m m(recta dada)1212x 7y 2 0 7y 12x 2 m7
12 2 2x 2x 2 12 7x7
→ →
⎡ ⎤/ + − − +/+ − − + Δ ⎢ ⎥⎣ ⎦′ = ⇒ =/
= − +
=
− + = ⇒− = − − → =
= − + → = −
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( )
214x 14 7x 14x 2 0
214 14 4 7 2 14 12x x2 7 14
14 12 26 14 12 2 1x x x 2; x x x1 1 1 2 2 214 14 14 14 7Sust los valores de x en la curva para x 2
32 4 8 4 8 42 2y 2 2 y 4 4 y y 4 Punto (2,4)3 3 3 3 3 3
311 17Para x y7 3 7
+ ⇒ − + =
− ± − − ±= − ⇒ =
+ −= → = → = = → = → =
=
= − + + → = − + + ⇒ = + → =
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛⎝ ⎠= ⇒ = −
⎝
( )
( ) ( )
12 31 4 1 2 472 y 27 3 3 7 37
1 1 2 4 1 21 1666 1646y y y y 1,59 y 1,63 49 7 3 1029 10293 7Las ecuaciones son:
12 12y y m x x ParaL : m Punto (2,4) y 4 x 2 12x 7y 4 01 tg 1 1 7 712 1ParaL : m Punto , 1.62 7 7
y 1.6
⎞ ⎛ ⎞+ + → = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠
− += − + + → = → = ⇒ = ≅ =
− = − ⇒ = ⇒ − = − ⇒ − + =
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
− =12 1x 7 11.2 12 0.14 12 7 11.06 07 7
y x x y⎛ ⎞− → − = − ⇒ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
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7.- Hallar el ángulo determinado por la tangente a la curva 3xy = en el punto
x =3
3
°=⇒=⇒=⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒=
/
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++/
=⇒++
=
−+++=⇒=
−+=
→→
→→
45θ1tgθθtgm133
m2
33
333
mtsus23x)1m(x
xΔ
2ΔxΔx3x23xxΔLím)1m(x
Δx
3Δx2Δx3xΔx23xLím)1m(x
Δx
3x3Δx2Δx3xΔx23x3xLím)1m(xind
00
Δx
3x3Δx)(xLím)1m(x
sec
0Δx0Δx
0Δx0Δx
8.- Determinar los parámetros “a”, “b” y “c” en la ecuación de la parábola
cbxaxy ++= 2 de tal manera que la recta xy = sea tangente a ella en 1=x y dicha curva pase por el punto (-1, 0).
[ ]
41
cabcbca
41
a121
2a
21
b1bb1bca
0cba3)1cba2)1b2a1):ecuacionestresTenemos
3)Ec(0cbacbxaxy0)1,(porpasaparábolala
2)Ec(1cbacbxaxyparábolalaenpelSust
1)(Ec1b2ab2a11mxyrectaladeec.ladeb2am(1):Sust
(1,1)p1xenparábolalaatgesxyR
mb2ax)1m(xΔx
bxa2axΔxLím)1m(x
ΔxbΔΔ2xaΔx2ax
Lím)1m(x
Δxcbx2axcbΔΔbx2xaΔx2ax2ax
Lím)1m(x
ind00
Δx
cbx2axcΔx)(xb2Δx)a(xLím)1m(x
2
2tg
tgtg
tg
0Δx0Δx
0Δx
0Δx
=→−=→=+
=→+
=⇒=+⇒=++
=+−=++=+
=+−→++=⇒−
=++⇒++=⇒
=+→+==⇒=+=
⇒==
+=
+Δ+=⇒
+Δ+=
−−−+++Δ++=
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++−++++
=
→→
→
→
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17 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
El proceso de calcular la derivada de una función en forma directa a partir de su definición, puede consumir mucho tiempo y ser tedioso. Esta sección contiene reglas que simplifican la tarea de encontrar derivadas de las funciones más complicadas en forma casi instantánea.
Notaciones para la derivada.
Cuando )(xfy = se utilizan las siguientes notaciones para las derivadas.
[ ] [ ])(//´)()´( xfdxddxdyyydxfDxf xx =====
Todas las notaciones anteriores se utilizan en las matemáticas y sus aplicaciones, es recomendable que el lector se familiarice con ellas.
El subíndice x en el símbolo Dx y se utiliza para designar a la variable independiente, y Dx para derivar la función.
Teoremas para Determinar Derivadas.
Sea )(' uf el símbolo para denotar derivadas, podemos enunciar los siguientes teoremas. (No se demostrará ninguno de los teoremas, ya que no es objetivo de este trabajo).
A.- Teoremas Fundamentales de funciones Algebraicas.
Teorema 1: Derivada de una constante. 0)(')( =⇒= ufauf
Teorema 2: Derivada de una variable. 1)(')( =⇒= ufuuf
Teorema 3: Derivada de la potencia de una Variable. 1)(')( −=⇒= nnuufnuuf
Teorema 4: Derivada para la suma algebraica de funciones.
)(')(')(')()()( uGuFufuGuFuf ±=⇒±=
Teorema 5: Derivada del producto de dos funciones
)(')()()(')(')()()( uGuFuGuFufuGuFuf +=⇒=
Teorema 6: Derivada de un cociente de funciones.
2)(
)(')()()(')(')()()(
uG
uGuFuGuFufuGuFuf −
=⇒= , G (u) ≠ 0.
Teorema 7: Derivada de una función Compuesta. Sea )()( xguyufy == que determinan una función compuesta )).(( xgfy = Si g es diferenciable en x y
ƒ es diferenciable en )(xgu = , entonces: uDyDyD xxx =
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18 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
Una de las aplicaciones principales del teorema anterior es para desarrollar otras fórmulas de derivación, por ejemplo:
Regla de la potencia para funciones.
)(')]([)(')]([)( uFuFnufnuFuf =⇒=
B.- Teoremas de funciones trascendentales.
a.- Teoremas de las funciones Exponenciales y Logarítmicas.
Teorema 8: Derivada de la función logaritmo natural. F(u) > 0
)()(')(')]([)(uFuFufuFLnuf =⇒=
Teorema 9: Derivada de la función logaritmo de base a de u.
)()()(')(')]([)(aLnuF
uFufuFaLoguf =⇒= , para u =F(u) ≠ 0, ( a > 0 , a ≠ 1)
Teorema 10: Derivada para las funciones logaritmo y exponencial generales.
)(')()()(')()( uFaLnuFaufuFauf =⇒= ( a > 0 )
Teorema 11: Regla para la función exponencial natural.
)(')()(')()( uFuFufuFuf ee =⇒=
b.- Teoremas Trigonométricos para la Derivación.
A continuación se presentan las derivadas de las seis funciones trigonométricas. En el enunciado de los teoremas se supone que ),(xgu = donde g es una función derivable y x se restringe a los valores para los que la función trigonométrica está definida.
Teorema 12: Derivada de la función seno.
[ ] )´()(cos)´()()( uFuufuFSenuf =→=
Teorema 13: Derivada de la función coseno.
[ ] )´()()´()()( uFuSenufuFCosuf =→=
Teorema 14: Derivada de la función tangente.
[ ] )´()()´()()( 2 uFuSecufuFTaguf =→=
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EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
19 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
Teorema 15: Derivada de la función cosecante.
[ ] )´())(()´()()( uFuCtguCscufuFCscuf −=→=
Teorema 16: Derivada de la función secante.
[ ] )´()()()´()()( uFutguSecufuFSecuf =→=
Teorema 17: Derivada de la función cotangente.
[ ] )´()()´()()( 2 uFuCscufuFCtguf =→=
c.- Teoremas Trigonométricos Inversos sobre la Derivación.
En los teoremas siguientes se supone que u = g(x), donde g es una función derivable y x se restringe a los valores para los que las expresiones indicadas tienen sentido.
Teorema 18: Derivada para la función arco seno.
[ ][ ]2)(1
)´()´()()(uF
uFufuFSenArcuf−
=→=
Teorema 19: Derivada para la función arco coseno.
[ ][ ]2)(1
)´()´()()(uF
uFufuFCosArcuf−
−=→=
Teorema 20: Derivada para la función arco tangente.
[ ][ ]2)(1
)´()´()()(
uF
uFufuFTgArcuf
+=→=
Teorema 21: Regla para la función arco cotangente.
[ ] [ ]2)(1)´()´()()(uFuFufuFCtgArcuf
+−
=→=
Teorema 22: Derivada para la función arco secante.
[ ][ ] 1)()(
)´()´()()(2 −
=→=uFuF
uFufuFSecArcuf
Teorema 23: Derivada para la función arco cosecante.
[ ][ ] 1)()(
)´()´()()(2 −
−=→=
uFuF
uFufuFCscArcuf
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EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
20 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
Derivar y Simplificar
a) Funciones Algebraicas
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 4 1 2 1/21 . y x 4 x2 2x2x
dy 1 1 23 3/2x 4 x 3dx 2 3x x4 3 33 3 2 3 22 . f x 3x x 1 ; f´ x 4 3x x 1 3 3 x 12 3x x 1 1 x
1/21 2 x2 23 . y 3 4x x ; y´ 3 4x x 4 2x ´( )2 23 4x x
3 r 2 d θ (2r 3)3 (3r 2)24 . θ ;2 r 3 d r (
f x
− −− = + = +
⎛ ⎞⎛ ⎞− − ⎜ ⎟= − + − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− = − + = − + − = − + −
− −− = + − = + − − ⇒ =
+ −
+ + − +− = =
+ ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
26r 9 6r 4 5´( )2 22r 3) 2 r 3 2 r 3
5 5 44 55 1 x . 5 x x 1 x . 5x x5 . y ; y ; y´5 101 x 1 x 1 x4 4 41 x . 5 x 1 x x 5 xy´ 10 61 x 1 x
x 1 2x 22 26 . y x 1 x 2 x 2 ; y´ x 2 x 222 x 2x 2
222 x 2 x 2 x 1x 1 22y´ x 2 x 22 2x 2 x 2 x 2x 2
rθ+ − −→ ⇒ =
+ + +
+ − +⎛ ⎞− = = =⎜ ⎟+⎝ ⎠ + +
+ + −= =
+ +
− −− = − − + = − + +
− +
− + + −−= − + + = =
− + − +
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
2x 4x 32x 2x 2
1/22 21 4 w w 1/2 1 4 w 8 ww dz7 . z ; 2dw2 1 4 w1 4 w24 w21 4 w 2 21 4 w 4 w21 4 w 1
2 2 2 31 4 w 1 4 w 1 4 w 21 4 w
x 1 x 1x 1 x 12 x 1 x 12 x 1 2 x 1x 18 . f (x) ; f ´(x)
x 1 x 1 x 1x 1 x 1 1f ´(x)
2 22 x 1 x 1 x 1 x 1
− +
− +
−− − − −
− = = =−−
− +− +−
= = =− − − −
+ − −+ −−
− +− +−− = = =
+ + +
+ − += =
+ − + −
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21 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 3 3 3 2 422 3 2 3 3 2
2 33 2 3 2
2 33 2 3
2 3
2 3 3 2 2
2
9 . y x 3 2x 5 ; y´ 4 x 3 2x 2x 5 3 6 x 2x 5 x 3
y´ 2x 2x 5 x 3 4 2x 5 9 x 3
y ´ 2x 2x 5 x 3 17x 27x 20
10. f(x) x(x 1) (x 2)f (x) (x 1) (x 2) 2x(x 1)(x 2) 3x(x 1) (x 2)f (x) (x 1)(x 2) (x 1)
− = + − = + − + − +
⎡ ⎤= − + − + +⎣ ⎦
= − + + −
− = − −
= − − + − − + − −
= − − −[ ]2 2 2 2
3 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2
(x 2) 2x(x 2) 3x(x 1)
f (x) (x 1)(x 2) 6x 10x 2 f (x) 2(x 1)(x 2) 3x 5x 1
x 3x (x 3) x (2x) x (x 9)11. f(x) f (x) f (x)x 3 (x 3) (x 3)
4x 4(x 4) 4x(2x) 4(12. f(x) f (x) f(x)x 4 (x 4)
− + − + −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − + ⇒ = − − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ − +
− = ⇒ = ⇒ =+ + +
+ −− = ⇒ = ⇒ =
+ +
2
2
2
2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2
2
2
3 2
2 2 3 3
3
4 x )x 4
13. f(x) x 4 xxf (x) 4 x (4 x ) ( 2x) f x) (4 x ) 4 x x f x) 2(4 x ) 2 x2
2 2 xf x)
4 x14. f(x) 10x (x 1)f (x) 30x (x 1) 20x (x 1) f (x) 10x (x 1)(5x 3)
15. f(x) (x 2)
− − −
−+
− = −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − − ⇒ = − − − ⇒ = − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤−⎣ ⎦=−
− = −
= − + − ⇒ = − −
− = −
[ ][ ] [ ]
4
2 4 3 3 2 3
2 3 2 3
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
(x 1)f (x) 3(x 2) (x 1) 4(x 2) (x 1) f (x) (x 2) (x 1) 3(x 1) 4(x 2)
f (x) (x 2) (x 1) 3x 3 4x 8) f (x) (x 2) (x 1) 7x 5
2x16. f(x)9 x
4x(9 x ) 2x ( 2x) 4x(9 x x )f (x) f (x) f (x)(9 x ) (9 x )
+
= − + + − + ⇒ = − + + + −
= − + + + − ⇒ = − + −
− =−
− − − − += ⇒ = ⇒ =
− − 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 4 2 4 2 3
36x(9 x )
36x17. f(x)(9 x )
36(9 x ) 36x 4x(9 x ) 36(9 x ) 9 x 4x 108 3 xf (x) f (x) f (x)
(9 x ) (9 x ) (9 x )
−
− =−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⇒ = ⇒ =− − −
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22 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
2
2 2
2 2 2
2
2
2 2 3 3 2
4 4
x 2x 218. f(x)x 1
(2x 2)(x 1) (x 2x 2) (2x 2)(x 1) (x 2x 2) x(x 2)f (x) f (x) f (x)(x 1) (x 1) (x 1)
x 2x19. f(x)(x 1)
(2x 2)(x 1) 2(x 2x)(x 1) 2(x 1) 2(x 2x)(x 1)f (x) f (x)(x 1) (x 1)
f´
− +− =
−− − − − + − − − − + −
= ⇒ = ⇒ =− − −
−− =
−
− − − − − − − − −= ⇒ =
− −2 2
4 3
2
2
2 2 3 3 2
4 4
2 2
4 3
2(x 1) (x 1) (x 2x) 2(x) f (x)(x 1) (x 1)
x 2x20. f(x)(x 1)
(2x 2)(x 1) 2(x 2x)(x 1) 2(x 1) 2(x 2x)(x 1)f (x) f (x)(x 1) (x 1)
2(x 1) (x 1) (x 2x) 2f (x) f (x)(x 1) (x 1)
21. f(x)
⎡ ⎤− − − −⎣ ⎦= ⇒ =− −
−− =
−
− − − − − − − − −= ⇒ =
− −
⎡ ⎤− − − −⎣ ⎦= ⇒ =− −
− =2
2
22 2
4 4
2
3 3
2
3
2 3 3 2
6
2 x x(x 1)
(x 1) (1 2x)(x 1) 2(2 x x )(1 2x)(x 1) 2(2 x x )(x 1)f (x) f (x)(x 1) (x 1)
(1 2x)(x 1) 2(2 x x ) x 5f (x) f (x)(x 1) (x 1)
(x 1) (x 2)22. f(x)x
(3x 3)x (x 3x 2)3xf (x) fx
+ −−
⎡ ⎤− − − − + −− − − + − − ⎣ ⎦= ⇒ =− −
⎡ ⎤− − − + − −⎣ ⎦= ⇒ =− −
− +−
− − − += ⇒
[ ]
[ ] [ ]
2 2 3
6
3 3
4 4
2
2
2 2 2
2
3x (x 1)x (x 3x 2(x)
x3 x x x 3x 2 6 x 1
f (x) f (x)x x
(x 1)23. f(x)x 1
(x 1) 2(x 1) (x 1) (x 1) x 32(x 1)(x 1) (x 1)f (x) f (x) f (x)(x 1) (x 1) (x 1)
(x 1)(x 3) 224. f(x) f (x)(x 1)
⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦=
⎡ ⎤− − + − −⎣ ⎦= ⇒ =
−− =
+− + − − − +− + − −
= ⇒ = ⇒ =+ + +
− +− = ⇒ =
+
[ ]
2 2
4
2 2
4 3
(x 1)(x 1) 2(x 2x 3)(x 1)(x 1)
2(x 1) x 2x 1 x 2x 3 2 4f (x) f (x)
(x 1) (x 1)
+ + − + − +⇒
+
⎡ ⎤+ + + − − +⎣ ⎦= ⇒ =+ +
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23 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( ) ( )( )( )
( ) ( )
( ) ( )
1/2 1 x 1 x 11 x 1 1 x25. F(x) f (x) 21 x 2 1 x 1 x
1/2 1/21 1 x 1 x 1 x 1 1 x 2f (x) f (x)2 22 1 x 2 1 x1 x 1 x
1/21 1 x 1 1f (x) f (x) f (x)22 1 x 1 x 41 x 1 x1 x
− ⎡ ⎤− − + −⎛ ⎞+ + ⎢ ⎥− = ⇒ = ⎜ ⎟− − ⎢ ⎥⎝ ⎠ −⎣ ⎦− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ /+ − + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟/− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎛ ⎞+
= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟/ − + /⎝ ⎠ − −−
( ) ( )
1 12 2
12
2 2
22
2 2 2
2 2 3
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2
131 x 1 x
x(x 3) (x 3) 2xx 226. f(x) f (x)(x 3)x 3
(x 3) x 3 x 3f (x) f (x)(x 3) (x 3)
2x 4x(x x 2) 2x (2x 1) 2x(x 4)27. f(x) f (x) f (x)x x 2 (x x 2) (x x 2)x 3x 228. f(x)x
−
−
+ −
+ − +− = ⇒ =
+−⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦= ⇒ =+ +
− − − − − +− = ⇒ = ⇒ =
− − − − − −
− +− =
2 2
2 2
3 2 2 3 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
(2x 3)(x 2x 1) (x 3x 2)(2x 2)f (x)2x 1 (x 2x 1)
2x 4x 2x 3x 6x 3 2x 6x 4x 2x 6x 4f (x)(x 2x 1)
4x 2x 3x 3 6x 4x 2x 4 5x 2x 7f (x) f (x)(x 2x 1) (x 2x 1)
x 129. f(x)x 1
2x(f (x)
− + + − − + +⇒ =
+ + + +
+ + − − − − + − − + −=
+ +
+ − − + − − − − −= ⇒ =
+ + + +
+− =
−
=
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
1 112 2
22 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 3 2 3
2xx 1) (x 1) (x 1) x(x 1) 2(x 1) (x 1)2 f (x)x 1 x 1
x 2x 2 x 1 x(x 3)f (x) f (x)(x 1) (x 1)
26x x 221 2x 3x 2 3x 2 6x 4x30. F(x) F(x) F(x)5x 4 5x 4 5x 4
212x 1 5x 4 6xF (x)
− −− − + − ⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦⇒ =− −
⎡ ⎤− − − −⎣ ⎦= ⇒ =− −
− − +− + + − −− = ⇒ = ⇒ =
− − −
− − − − − −=
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
x 2 5
25x 4
26 5x 8x 12 2 260x 48x 5x 4 30x 5x 10 30x 48x 6F (x) F (x) F (x)2 2 25x 4 5x 4 5x 4
+
−
⎡ ⎤− + −− + − + + + − − + − ⎢ ⎥⎣ ⎦= ⇒ = ⇒ =− − −
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( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
2
32
2/3 2/32 22 2
2 22 22 2
2 22 22 62 232 2
2 2 42 2 2362
3 22
1 x31. y1 x
2x 1 x 1 x 2x1 1 x 1 1 x 4xy´ y´3 1 x 3 1 x1 x 1 x
4x 4xy´ y´1 x 1 x1 x 1 x1 x 1 x
4x 4xy´ y´1 x 1 x 1 x
1 x1 x
32
3
33
3
− −
+− =
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= ⇒ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +
− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ⇒ =+ + −
−−
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )1/2
2x. yx 1
1/2 1/2 2 x 1 2x 12x 2x 1 2xy y y´ 2x 1 x 1 2 x 1 x 1
1 2x 2 2x 1 1 1y´ y´ y´1/2 2 22x 3x 1 x 12x 2x x 12 x 1x 1
2 2 22x 1 2x 1 2x 133. y y y 1/22 2 2 2 4x 1 x x 1 x x x
2 44x x x 2xy´
− =+
− ⎡ ⎤+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥= ⇒ = → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +⎣ ⎦⎡ ⎤+ −⎢ ⎥= ⇒ = → =⎢ ⎥+ +⎛ ⎞ +⎣ ⎦
⎜ ⎟ ++⎝ ⎠
− − −− = ⇒ = ⇒ =
+ + +
+ −=
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
( )
1/2
1/2
3 5 3 5 3
3
23
3 32 4 2 4
2 2 4 311 x x 2x 4x22 4x x
2 4 2 4 2 3x x 4x x x 2x 1 x 2x 4x 4x 2x 4x x 2xy' y'2 4 2 4x x x x
x 4x 14x xy' y'x x x x
−
−
− + +
+
⎡ ⎤+ + − − +⎢ ⎥ + − − + +⎣ ⎦= ⇒ =+ +
−+= → =
+ +
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( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
1 11/2 1/21/2 x 1 x 1 x x1 x 1 1 x 2 234)F(x) y´ 221 x 1 x 1 x
1 1/2x 1 x 1 x1 2y´ 21 x 1 x21 x
1 1/2x (2) 1/21 1 x2y´ y´2 21 x 1 x1 x 1 x2 21 x 1 x
1y´1 x21
⎡ ⎤⎛ ⎞− −− − − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎛ ⎞+ + ⎝ ⎠⎢ ⎥= ⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎢ ⎥⎝ ⎠ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− ⎡ ⎤− + +⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎢ ⎥
+ ⎢ ⎥−⎣ ⎦−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥= → =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎣ ⎦− −
=+ ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1/ 22 2 21/ 22 2 2 2
2
2
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1/ 22 2 2 2 2
1 1 1y´ y´2 31/2 41 x1/2x 1 x 2 x 1 x 1 x2x 1 xx 1 x
2 135) y '2
1
' '
'
x x xx π x y x
x
y x x x y x x x xx
y x x x
π πππ
πππ π π π π π
ππ
π π π
−
− − −
−
⎡ ⎤⎢ ⎥
⇒ = ⇒ =⎢ ⎥+⎢ ⎥− + −−⎣ ⎦− −
− − ⎛ ⎞= − ⇒ = − + + ⎜ ⎟⎝ ⎠
−
= − − − + ⇒ = − − − + −−
= − − − + ( )( ) ( )
12
1 12 2
1/ 22 2 2 2 2 2 2
1/ 22 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
2
'
' 2 ` 2
36) ( ) 4
Re : ( ) ( 4) ( ) (( 4) )1 1´( ) (( 4) ) (( 4) ) ´( ) (( 4) ) (2( 4)2 )2 22 ( 4)´( )
( 4
y x x x
y x x y x
f x x
cordar que a a f x x f x x
f x x x f x x x x
x xf xx
π π π
π π π
−
−
− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ = − − − +⎣ ⎦⎣ ⎦
= − − ⇒ = −
= −
= ⇒ = − ⇒ = −
′= − − ⇒ = − −
−=
−
12
2
22
3
2 3 2 2 2 2 2 2
22 2
2
2 ( 4)´( )4)
37)f(x) x1f(x) ( x ) f´(x) 3( x ) ( x )´ f´(x) 3( x ) (x ) 2x2
3x x3x( x )f´(x) f´(x) f´(x) 3x xx( x )
x xf xx
−
−⇒ =
−
=
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
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INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
26 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
b. Funciones Trigonométricas.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
38)y Sen (3x) Cos(2x) y´ 3 cos (3x) 2 Sen (2x)39) y tan (x ) y´ 2 tan (x )Sec (x ) 2x
40)y Cot 1 2 x y´ Csc 1 2 x 4x 4x Cosec 1 2 x
2 2 2 2 241)y Sen ( ) y´ Cos ( ) ´ Cos ( )x x x x x
42)y Cos 1 x y´ 2Cos 1 x Sen 1 x
y
= + ⇒ = −
= ⇒ =
= − ⇒ = − − − ⇒ −
⎛ ⎞= ⇒ = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
= − ⇒ = − − − ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
2
3 2
2 2 2 2 2
22 2 2
3 2
2x y´ 2xSen 2 1 x
43)y Sen 2x 3 y´ 3sen 2x 3 Cos 2x 3 2x y´ 3xsen2 2x 3 Sen 2x 31 144)y Sec x 1 y´ 2( )Sec x 1 sec x 1 tan x 1 2x2 2
2xSen x 1y´ 2x sec x 1 tan x 1 ´
Cos x 1
-3/2 Sec(1 dz45)z ( ) 3/2 dwSec(2w) 1
y
w
⎡ ⎤ − ⇒ = −⎣ ⎦= − ⇒ = − − ⇒ = − −
= − ⇒ = − − −
−= − − ⇒ =
−
= ⇒ =−
( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
1/22w) 1 Sec(2w)tan (2w) 23Sec (2w) 1
dz -3 Sec(2w)tan (2w)5/2dw Sec(2w) 1
Cosx Senx Senx Cosx Senx Cosx Cosx SenxSenx Cosx46).y y' 2Senx Cosx Senx Cosx
2Senx Cosx2Senx Cosx Senx Cosx Senx Cosx y' y'2Senx Cosx
−
−
=−
− − − + ++= ⇒ =
− −
− −− − − − += ⇒ =
−
( )
( )
( )
[ ] [ ]
2 2
2 2
2 3
2
2Senx Cosx
2Senx Cosx
2 2 2 2Sen x 2Senx Cosx Cos x Sen x 2Senx Cosx Cos x y' 2Senx Cosx
2(Sen x Cos x) 2 y' y'Senx Cosx Senx Cosx
47)y 3Senx Cos x Sen x
y' 3 Cosx Cos x 2SenxCosx( Senx) 3Sen
⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦
−
⎡ ⎤− + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦= −−
⎡ ⎤− + −⎣ ⎦= → =− −
= +
⎡ ⎤= + − +⎣ ⎦2
3 2 2 3 2
2 2
x Cosx
y' 3Cos x 6Sen x Cosx 3Sen x Cosx y' 3Cos x 3Sen x Cosx
y' 3Cosx Cos x Sen x y' 3Cosx Cos(2x)
= − + ⇒ = −
⎡ ⎤= − ⇒ =⎣ ⎦
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EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
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27 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
3 2 2 1/3 2 1/3 33 3
2 2/3 442 23
43
2 3
2
1 148)y Sen x y (Sen x) y (Sen x) Cos xCos x Cos x
1 2SenxCosx 3Senxy' (Sen x) 2SenxCosx 3Cos x( Senx) y'3 Cos x3Senx (Sen x)2Cosx 3Senxy'
Cos x3 Senx
49)y 3SenxCos x Sen x
y' 3 CosxCos x
−
−
= + ⇒ = + ⇒ = +
⎡ ⎤= + − − ⇒ = +⎣ ⎦
= +
= +
= + 2
3 2 2 3 2
2 2
3
3 22
3 2
2SenxCosx( Senx) 3Sen xCosx
y' 3Cos x 6Sen xCosx 3Sen xCosx y' 3Cos x 3Sen xCosx
y' 3Cosx Cos x Sen x y' 3CosxCos(2x)
Cosx 450)y Ctgx3Sen x 3
1 Senx(Sen x) 3CosxSen xCosx 4y' (Csc3 (Sen x) 3
⎡ ⎤− +⎣ ⎦= − + ⇒ = −
⎡ ⎤= − ⇒ =⎣ ⎦
=− +
⎡ ⎤− − −= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
4 2 22
6
2 2 2 2 2
6 2 4 2
2 2 2 2 2
4 4 4
1 Sen x 3Cos xSen x 4x) y' Csc x3 Sen x 3
1 Sen x(Sen x 3Cos x) 4 1 Sen x 3Cos x 4y' y'3 Sen x 3Sen x 3 Sen x 3Sen x
1 Sen x 3Cos x 4Sen x 1 3Sen x 3Cos x Cos2xy' y' y'3 Sen x 3 Sen x Sen x
51). y
⎡ ⎤− −⇒ =− −⎢ ⎥
⎣ ⎦+ +
= − ⇒ = −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − += ⇒ = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−
[ ] [ ][ ]
[ ][ ] [ ]
2
2 2
2 2
1 Cos(2x)1 Cos(2x)
2Senx(2x) 1 Cos(2x) 1 Cos(2x) 2Senx(2x)y'
1 Cos(2x)
2Senx(2x) 1 Cos(2x) 1 Cos(2x 4Senx(2x)y' y'1 Cos(2x) 1 Cos(2x)
1 Cos2x 1 Cos2xSen(2x) 2CosxSenx;Cos(2x) Cos x Sen x; Senx ;Cosx2 2
+=
−
− − − +=
−
− − + + −= ⇒ =
− −
− += = − = =
[ ] [ ]2 4 32
4 2CosxSenx 4 2CosxSenx 2Cosxy' y' y'4Sen x Sen x2Sen x
− − −= ⇒ = ⇒ =
⎡ ⎤⎣ ⎦
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28 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
2
2 2 2 22 2
2 2
2
2
a52)y Sen (x 5x 1) Tgx
a a a ay' Cos (x 5x 1) (2x 5) Sec y' (2x 5)Cos (x 5x 1) Secx x x x
53) ( ) ( ) ( )
2 ( ) ( ) 2 ( )( )´( )2
F x Sen x Cos x
Sen x Cos x Cos x Sen xF xSen x
α β β β
α β β β β βα β β
⎛ ⎞= − + + ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − ⇒ = − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
= +
+ −=
+
[ ]2 2 2
2 2
2 ( ) ( )'( )
2 ( ) ( )( ) 2( ):2 2( ) '( )
2 ( ) ( )
Sen x Cos xF x
Cos x Sen x Cos xSen xPero Cos x Sen x Sen x F x
Sen x Cos x
β β β α β
β α β β ββ α β ββ β β
α β β β
−⇒ =
+
−= ⇒ =
+
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
23 2 2
3
2 22 2 2 2 2
3 3
2 2 3 2 22
3 6
2 2
S en x54) y S en x Sen x
x
S en x S en xy 3 S en x S en x C os x S en x
x x
S en x C os( x ) (2x) x Sen (x ) 3x2x C os x 2x
x x
y 3 S en x S en x
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= + +
⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ = + + + +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥+ + +
⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦
′ = +
( ) ( )
2 22 2 2
3 3
5 2 2 2´6 2
3 4
2 2
S en (x ) S en (x )C os x S en xx x
2x 2x C os x 3S en xx Sen (x )2x C osx x
x xtg ctg2 255) y
x1 x 1 x xSec csc x tg2 2 2 2 2
y
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤+ −⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥+⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦′ = 2
2 2
2
2 2
2
xctg2
xx x x x xS ec csc tg ctg2 2 2 2 2y
xx xSen C os
x 1 1 2 2x x x x2 S en C os C os S en2 2 2 2y
x
⎡ ⎤⎛ ⎞+⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦′ =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦′ =
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29 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
2 22 2
2 2
2
2 2 2 2
2
x x x xCos Sen Sen Cosx 2 2 2 2
x x x x2 Sen Cos Cos Sen2 2 2 2y
x2 2 ; 2 ; 1
22
22
Sen u Sen u Cos u Cos u Cos u Sen u Sen u Cos u
xCosx
xSeny
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦′ =
= = − + =
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠−
′ =
( )
2 2 2
2 2
2 2 2
2 21 2 2 2
2 2 2 2 22
22 2
22 2
x x xxCos Cos Sen
x x x x xCos Cos Sen Sen Cosy
x xx xxCos x Sen Cos
yx xx Sen Cos
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠′ =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠′ =
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣
( ) ( )
( ) ( )
( )
12
3Sen x 2Cos x3Sen x 2Cos x 156) y y y 3Sen x 2Cos x5 5 5
1 1y 3Sen x 2Cos x 3Sen x 2Cos x25
11 1y 3Sen x 2Cos x (3Sen x) ( 2Cos x)225
11 1 3Cos x 2Sen xy 3Sen x 2Cos x (3Cos x 2Sen x) y225 2 5 3Sen x 2Cos
−
⎥⎦
−−= ⇒ = ⇒ = −
⎡ ⎤′ = − − ′⎢ ⎥⎣ ⎦−⎡ ⎤
′ = − ′ − ′⎢ ⎥⎣ ⎦
−⎡ ⎤ +′ = − + ⇒ ′ =⎢ ⎥ −⎣ ⎦
[ ]
[ ]
2 2
2
2 2 2 2
2 2
x
57)f(x) αSen (βx) βCos (βx)
2 Sen (βx) Cos (βx) α β2 αSen(βx) Cos (βx) 2β Cos (βx) ( Sen (βx))f'(x) f'(x)2 αSen (βx) βCos (βx) 2 αSen (βx) βCos (βx)
2 (Sen (βx) Cos (βx))β α βf'(x) Pero:2 Cos (βx)Sen (
2 αSen (βx) βCos (βx)
= +
−+ −= ⇒ =
+ +
−=
+
( ) ( )
( )
2 2
.
y
Senx Cosxy
Senx Cosx
Cosx Senx Cosx SenxSenx Cosx Senx Cosx
2 Senx 2 Cosx 2 Senx 2 Cosx'2
Senx Cosx
βx) Sen( 2 )
β(α β)Sen (2 )f'(x)2 αSen βx βCos βx
58)
x
x
β
β
−=
+
+ + − − −=
+
=
−=
+
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
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30 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
)CosxSenx(22)CosxSenx(
2y'
)CosxSenx(22)CosxSenx(
CosxSenxSenx1CosxCosxSenxCosxSenxSenx1CosxSenxCosxY´
2)CosxSenx)(CosxSenx(2
CosxSenxSenxx)2Cosx2(SenCosxCosxSenxCosxSenxSenxx)2Senx2(CosCosxSenxCosxY'
2)CosxSenx(
CosxSenx2
)SenxSenx(CosxCosxCosxSenxCosxSenx
CosxSenx2
)SenxSenx(CosxCosx
y'
+
=
+
−+−++=
+
−++−+++=
+
−−−+
+
=
c. Funciones Trigonométricas Inversas.
( )( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2
2 2 4
22 42
d 2x 3159)y arcsen 2 x 3 y´ .dx1 2x 3
2 2 1y´ y´ y´1 4x 12x 9 4x 12x 8 3x x 2
2x 2x60)y arccos(x ) y´ y´1 (x ) 1 x
1 6x61) y arc tan(3x ) y´ 6x y´1 9x1 3x
1 x 1 1 x 11 x62)y arccot y´1 x 1 x1
−= − ⇒ =
− −
= ⇒ = ⇒ =− + − − + − − −
= ⇒ =− ⇒ =−− −
= ⇒ = ⇒ =++
− − + −⎡ ⎤+= ⇒ =−⎢ ⎥−⎣ ⎦ +
+ ( )
( )
( )( )
( )( )( )
22
2
22 2 22
2
2
2 22
1 x1 x
2 1 2x x(1 x 1 x)y´ y´1 2x x (1 2x x 1 2x x ) 1 x1 1 x1 2x x
2 1 x 1y´ y´1 x2 1 x 1 x
⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠
− − +− − + += ⇒ =
⎡ ⎤+ + − + + + + −+ −⎢ ⎥− +⎣ ⎦
− −= ⇒ = −
++ −
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31 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( )
2
2
2
2 2 2
2
1 263) csc 1
11 1 2´ csc 21 1 22 112
1 1´ csc ´ csc2 21 1
b sec x1 b 1 a64)y arc tan tan x y´ab a ab b1 tan x
a1 b Sec x Sey´ y´
(a b an x)ab aa
y x arc xx
xy arc xx x x
x xx xy arc y arc
x xx x
⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞− −⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ −−
⎡ ⎤= + − ⇒ = ⎢ ⎥⎣ ⎦− −
⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ⇒ =+
( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
2
2 2 2 2 2 2 2
21/22 2
2
1/2 1/23 2 2 21/22
1/22
1/2 1/23 2 2
2 2 2
13 2
c x 1y´a b tan x a cos x b sen x
x 4 1 x 1 x65) y arc sec y x x 4 arc secx 2 2 2 2
2x 1 1 1y´ 2x x 4 x x 4 ( )2 2 2x x 1
2 4
2 x 4 1 1y ´x x x 4 x x 4
2 x 4 x xy´
x x 4
−
− −
⇒ =+ +
− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⇒ = − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − − + − +⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎝ ⎠
− −= + +
− −
− − + +=
−
( )
( )( )( )
( ) ( )
( )
/2 3 2
2 2
22
2 2
2
22
2 2
22 2 2 22
2 2
8y´x x 4
x a66) y x a 2 a x x a arc sena
x a 2a 2x a 1y´ 2ax xa2 2ax x x a
1a
x a a x ay´ 2ax x2ax x 2ax x
2ax x 22ax x xa a x ax ay ´ y´ y´ 2ax x2ax x 2ax x
⇒ =−
−= − − +
− −= − + +
− −−
− −= − + +
− −
−− + − − + += ⇒ = ⇒ = −
− −
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( )
( )
2 2
2
2
2
1 tg x67)y arc tg1 tg x
1 1 Sec x (1 tg x) (1 tg x) Sec xy1 tg x 1 tg x 1 tg x1 21 tg x 1 tg x
1 1 Sec x (1 tg x 1 tg x (1 tg x) 1y y1 tg x 1 tg x 21 tg x 1 tg1 tg x2 21 tg x 1 tg x
−=
+
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤− + − −⎢ ⎥′ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤− − +⎢ ⎥⎣ ⎦+ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤− + + − +⎢ ⎥′ = ⇒ ′ =⎢ ⎥+ + − ⎢ ⎥− −+⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
( )( )
( ) ( ) ( )( )
2
2
2 2 2 2
22 2
2 2
Sec x
x 1 tg x1 tg x
Sec x Sec x Sec x Sec xy y y y1 tg x 1 tg x 2 1 tg x 1 tg x 2 1 tg x2 1 tg x 2 1 tg x1 tg x 1 tg x
1 b68) y arcsen xab
1 1 b 1 1 by ya ab bb b1 x 1 x
a a
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥
+⎣ ⎦− − − −
′ = ⇒ ′ = ⇒ ′ = ⇒ ′ =− − − + −+ ++ +
=
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎛ ⎞⎢ ⎥′ = ⇒ ′ =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎝ ⎠⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
( )( )
2
22 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 22 2
2 2 2 2
2
b1 ay
a x bba
1 a b a ay y ya x bb a a x b a (a x b)
2xx 1 169)f(x) x a x a arcsen f (x) a x x aa a2 a x x1
ax a a x xf (x) a x f (x)
a x a xa
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⇒ ′ =⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥′ = ⇒ ′ = ⇒ ′ =
++ +⎢ ⎥⎣ ⎦−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + ⇒ = − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦−
−
− − += − − + ⇒ =
− −
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
22 2
2 2
2 2
12 2 1
2 2 22
a f ´ (x) 2 a xa x
x70) y 3a arc tg 3a 2x a x xa x
a x x 13a 1 x 1y 2 ax x 3a 2x ax x a 2x2 a x 2x a x1
a x
−−
⇒ = −−
= − + −−
⎡ ⎤⎛ ⎞− − −⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥′ = − − + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟−⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦−⎜ ⎟−⎝ ⎠
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INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
33 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
2 12 2 2
2
2 12 22
2
3 12 2 2 22
3
3a a x x 1y 2 ax x 3a 2x ax x a 2xa x x 2x2 a xa x a x
3a ay ax x 2 ax x 3a 2x a 2xa 2x x2 a x
a x
3ay ax x 2ax 2x 3a 6ax 2ax 4x2(a 2x) x a x
3ay2 a
−
−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥
− + ⎡ ⎤⎢ ⎥′ = − − + + − −⎢ ⎥− − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦−⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥
⎡ ⎤⎢ ⎥′ = − − − + + −⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎣ ⎦−⎢ ⎥
−⎣ ⎦
⎡ ⎤′ = − − − + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦− −
′ =−( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2 2 3 2 2
12 2 22 2
12
2
3a 6x 2ax 3a 3a 6x 2axy2x ax x 2 a 2x ax x ax xax x
Senx 171)y arc ctgSenx 1
Cosx Senx 1 Senx 1 Cosx1 1 Senx 1y2 Senx 1Senx 1 Senx 11
Senx 1
−
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⇒ ′ = − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
−=
+
⎛ ⎞+ − −⎛ ⎞− −′ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜+⎛ ⎞− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ⎜ ⎟+⎝ ⎠
( )( )
( )( )
( )
1 22
1 22
Cosx Senx 1 Senx 11 1y Senx 1 Senx 1 Senx 1Senx 12Senx 1 Senx 1
2Cosx1 1y 2Senx Senx 1Senx 12Senx 1 Senx 1
Cosxy ySenx 12Senx Senx 1Senx 1
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎟⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎛ ⎞+ − +− ⎢ ⎥′ = ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟+ + − +⎛ ⎞− ⎝ ⎠⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥
− ⎢ ⎥′ = ⎢ ⎥+⎛ ⎞−⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦
−′ = ⇒ ′ =
−+
+( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 2
Cosx
Senx 1 Senx 12 Senx
Senx 1
Cosx Cosx ctgxy y y2 Senx Senx 1 Senx 1 2 Senx Sen x 1 2 Sen x 1
−
− ++
− − −′ = ⇒ ′ = ⇒ ′ =
− + − −
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EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
34 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
1 x 1 (1 x) (1 x)( 1)72) y Arctg y'1 x (1 x)1 x1
1 x(1 x) (1 x) 1 x 1 x 2 2y' y' y'
(1 x) (1 x) (1 x) (1 x) 1 2x x 1 2x x2 2 1y' y' y'
2 2x 2(1 x ) 1 x
173) ( ) co2
y Arcsenx Arc
⎡ ⎤+ − − + −⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟ ⎢ ⎥− −⎝ ⎠ +⎛ ⎞ ⎣ ⎦+⎜ ⎟−⎝ ⎠⎡ ⎤− + + − + +
= ⇒ = ⇒ =⎢ ⎥− − + + + − + + + +⎣ ⎦
= → = ⇒ =+ + +
=
[ ]
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2 1/2
1 2( ) ( ) ( 1)s ) ' cos2 1 1
(2 cos )' 2 cos '2 1 2 1
xx 1 x74)y Arcsen y'
1 x x11 x
11 x x (1 x ) (2x)2
y'
Arcsenx Arcsenxx y Arc xx x
Arcsenx Arcsenx Arc x Arcsenxy Arc x Arcsenx yx x
−
⎡ ⎤−⇒ = +⎢ ⎥
− −⎣ ⎦−
= − ⇒ =− −
′⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ +⎝ ⎠= ⇒ =⎜ ⎟
+⎝ ⎠ ⎛ ⎞−⎜ ⎟
+⎝ ⎠
⎡+ − +⎢⎣
=
2 1/2 2 2 1/2
2 2
2 2 2
2 2
2 1/2 2 2
2 3 2 22
2 3 22 3
22
2 2
2
(1 x ) x (1 x )(1 x ) (1 x )y'
x 1 x x11 x 1 x
1(1 x ) 1 x x(1 x ) 1 x 1 x 1(1 x )y' y' y' y' y'1 (1 x ) 1 x1 (1 x )1 x1 x
xsenx75)y Arctg1 xcosx
1y'x Sen x
(1 xCosx)
−
−
⎤⎥ + − +⎦
+ +⇒ =+ −
−+ +
⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦+ + ++= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
+ ++++
⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
=
−
2
2 22
2
(Senx x(Cosx))(1 xcosx) (xsenx)(Cosx x( Senx)(1 xcosx)1
(Senx xcosx)(1 xcosx) (xsenx)(Cosx xSenx)y'(1 xcosx) (xsenx) (1 xcosx)
(1 xcosx)
⎡ ⎤+ − + + −⎢ ⎥−⎣ ⎦+
+ − + −=
⎛ ⎞− + −⎜ ⎟−⎝ ⎠
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EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
35 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
Senx xsenxCosx xcosx x Cos x xsenxCosx x Sen xy'1 2xcosx x Cos x x Sen x
Senx xcosx x Cos x x Sen xy'1 2xcosx x (Cos x Sen x)
Senx xcosx x (Cos x Sen x) Senx xcosx xy' y'(1 2xcosx x ) (1 2xcosx x )
76
− + − + −=
− + +
+ − −=
− + +
+ − + + −= ⇒ =
− + − +
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
1 2
2 2 2 2
1/23 2
22 2
1)y y Arctgx y' 1 Arctgx ArctgxArctgx
1 1 1y' y'(Arctgx) 1 x 1 x (Arctgx)
177)y Arctgx (Arcsenx) y' Arctgx Arctgx 3(Arcsenx) (Arcsenx)2
1 1 1y' 3(Arcsenx) y1 x2 Arctgx 1 x
− −
−
′= ⇒ = ⇒ =−
− −⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
′ ′= − ⇒ = −
⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ +⎝ ⎠ ( )
[ ]
2
2 2
1/2
2
1 3(Arcsenx)'2 1 x Arctgx 1 x
1 Cosx78)y ArcTg1 Cosx
1 1 CosxSenx(1 Cosx) (1 Cosx)( Senx)2 1 Cosxy'
1 Cosx (1 Cosx)11 Cosx
Senx(1 Cosx 1 Cosx)y'
1 Cosx 1 Cosx1 21 Cosx 1 C
−
−=
+ +
−=
+
−⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎡ ⎤+ − − −+⎝ ⎠= ⎢ ⎥− +⎛ ⎞ ⎣ ⎦+⎜ ⎟+⎝ ⎠
+ + −=
⎛ − ⎞ −⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠[ ]
2
2 2
2
2
(1 Cosx)osx
2Senx (1 Cosx)Senxy' y'1 Cosx 1 Cosx 1 Cosx 1 Cosx2 (1 Cosx) 2 (1 Cosx)
1 Cosx 1 Cosx 1 CosxSenx Senxy' y'
1 Cosx 2 (1 Cosx)(1 Cosx)2 (1 Cosx)1 CosxSenx Senx 1y' y' y'
2Senx 22 1 Cos x
+
+= ⇒ =
+ + − − −⎛ ⎞ + +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
= ⇒ = ⇒− − +
++
= ⇒ = ⇒ =−
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EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
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36 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
d. Funciones Logarítmicas y Exponenciales.
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
6x log e1 d2 2 a79)y log 3x 5 y ´ log e 3x 5 y´a a2 2dx3x 5 3x 5
2 x 3 2280)y Ln x 3 y´ y´2 x 3x 3
2 Ln x 31281)y Ln x 3 y´ 2 Ln x 3 y´x 3 x 3
2sec x tanx sec x82)y Ln sec x tanx y´ y´ sec xsec x tanx
⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⇒ = − ⇒ =⎜ ⎟− −⎝ ⎠
+= + ⇒ = ⇒ =
++
+= + ⇒ = + ⇒ =
+ +
+ += + ⇒ = ⇒ =
+
( )
( )
( )
3 32
2 x x 2 x x 2
83)y x sen (ln x) cos(ln x)
cos(ln x) sen (ln x)y´ sen (ln x) cos(ln x) x y´ 2sen (ln x)x x
x x84)y e y´ e 3x
sen (3x) sen (3x)85)y e y´ 3cos(3x)e
86) y x e y´ 2x e x e y´ e x 2x
x x x87)y e cos(x) y´ e cos(x) e
= −
⎛ ⎞= − + + ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ = + ⇒ = +
− − −= ⇒ =− + −( ) ( )xsen ( x) y´ e sen (x) cos( x)−⇒ = +
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37 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3 3
3
2 2x
2x 2x 2 2x
2x
21 x 1 x 1 x3 3 2
3
1 x2 33
88)y x e cos (3x)
2y´ 2x e cos (3x) x (2e )cos(3x) x e 3sen (3x)
y´ x e 2 cos (3x) 2x cos (3x) 3x sen (3x)
3x89).y Ln x 2 e y´ e Ln x 2 e 3x
x 2
1y´ 3x e Ln x 2 y´ 3xx 2
− − −
−
=
= + + −
= + −
⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + ⇒ = + + −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + ⇒ =⎢ ⎥+⎣ ⎦
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )( )
( )
( )
3
3
3 31 x2
3
1 x2 3 3
3
2 2 2
2 2
2 22
2
1 x 2 Ln x 2e
x 2
3x e 1 x 2 Ln x 2y´
x 2
'2 2 2x 1 x 1 x 1e e90)y y Ln 4 e4 4
11x 1 x 1e 2y Ln 4 x 1 (2x)e4 2
x 1 x 1e Ln 4 x e41x 1 x 1e 2y Ln 4 x 1 yx e4x 1
91)
−
−
⎡ ⎤− + +⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦
− + +=
+
⎛ ⎞− − −= ⇒ ′ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
−⎡ ⎤− −′ = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎡ ⎤− ⎝ ⎠−′ = − ⇒ ′ =⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
2x
2x
2x 2x
2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x
2 2 22x 2x 2x
e 1x x xe e e 1eF(x) F(x) F(x)x x e 1 e 1e e
xe
2e e 1 e 1 2e 2e e 1 e 1 4eF (x) F´(x) F (x)e 1 e 1 e 1
−−− −
= ⇒ = ⇒ =− + ++
⎡ ⎤+ − − + − +⎣ ⎦= ⇒ = ⇒ =+ + +
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Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
38 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
192) ´
1 1
1 2 1´ ´
1 1
1/211 1 x 2x293)y Ln x 1 x y´
x 1 x1/21 x xx1 1/2 1/21 x 1 x
y´ y´1/2 1/2x 1 x 1 x
1/21 x xy´
1/2x 1 x
x x x xx
x x
x x x x x
x x
e e e eey ye e
e e e e ey y
e e
x
− −−
− −
− + −= ⇒ =
+ +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⇒ =+ +
−+ +
= + + ⇒ =+ +
+ ++
+ += ⇒ =
+ + + +
⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦=⎡ ⎤+ +⎢⎣ ⎦
( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
12
12 1
2
22
22
22
2 22 22 2
2
2 2
22 2
22 2
2
1y´1/2 1 x1 x
1 x1 xx 1x 194)F(x) y
1 x 1 x( 2x) x 1 1 x 2x1x 1 x 1y´ 22 x 1
1 x 1 xx 1 2x x 1 1 x1 1y´ ´
2 21 x x 1x 1
e e
e
e ey
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⇒ =++⎥
−−++
⇒ =
− − ⎛ ⎞− + − −+ ⎜ ⎟+= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
− −+ ⎡ ⎤− + + −
⎢ ⎥= ⇒ =⎢ ⎥− +⎣ ⎦
+
=
( )
( )( )
( ) ( )
2
22 2
2
2 2
2 2
22 2
22
x 1 2 (2)1 x 1x 1
1 11 12 2´ ´
31 1 1( 1)1
x
x
x xx xx xy y
x x xxx
e e
+ ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎣ ⎦
+
− −+ +
− −= ⇒ =
− − +++
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39 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
22
22
22
1/2 1/22 2 2
2 22
1/21/2 22
1/2 1/2 1/2 1/22 22 2 2 2
( x 4 x )95)y Ln x 4 x y
x 4 x
12 x 4 x (1 4 x 2x ) 2 1 4 x2y' y'
x 4 xx 4 x
2 4 x x4 x x2 x 2y' 1 y' y'x 4 x x 4 x4 x 4 x 4 x x 4 x
− −
′+ += + + ⇒ =
+ +
⎡ ⎤+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦= ⇒ =+ ++ +
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + ++ + ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + ⇒ = ⇒ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤+ + + ++ + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
2
22
2 2
2 2
2 2
2 2
2y'4 x
2Lnx 1 2Ln x x96)y Ln x Ln(Lnx) y' y'x xLnx xLnx
( x)( sen(βx) βCos(βx))97)f(x)β
x x xβCos(βx) β Sen(βx) Sen(βx) β Cos(βx)f'(x)
β
x βCos(βx) β Sen(βx) Sen(βf'(x)
e
e e e
e (
ααα
α α αα α α
α
α α α
=−
−= − ⇒ = − ⇒ =
−=
+
⎡ ⎤⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦=+
− + −=
+
( )
( ) ( )
( )( )
2 2
2 2 2 2
1 11/2 1/2 1 1/2Cosx ( Senx) 1 Cosx (1 Cosx) Cosx ( Senx)1 2( Cosx ( Senx))2 2 2
21 Cosx 1 Cosx1 Cosx
x 2 βCos(βx) Sen(βx)(β )x) βCos(βx))f'(x)
β β
1 Cosx98)y Ln 2ArcTg Cosx1 Cosx
y'
eα α ααα α
− − −− − − + − −+
+ −−
⎡ ⎤− + −+ ⎣ ⎦⇒ =+ +
⎡ ⎤+= +⎢ ⎥
−⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦=
⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] ( )
( )
1 Cosx
Senx Senx1 Cosx (1 Cosx)Senx2 Cosx 2 Cosxy'
(1 Cosx)(1 Cosx) (1 Cosx) Cosx
Senx(1 Cosx) Cosx
Senx 1 Cosx 1 Cosx2 Cosxy'
(1 Cosx)(1 Cosx)
+
− − − += +
+ − +
++
−− + +
=+ −
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EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
40 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
y'
2Senx SenxSenx Senx2 Cosx Cosxy' y'
(1 Cosx) Cosx (1 Cosx)(1 Cosx) (1 Cosx) Cosx(1 Cosx)(1 Cosx)Senx
Senx Senx SenxCosx y'(1 Cosx) (1 Cosx) Cosx (1 Cosx) Cosx (1 Cosx) CosxSenx(1 Cosx) Senx(1 Cosx)y'
(1 Cos
=
− −
= + ⇒ = −+ + − ++ −
− ⇒ = −− + − +
+ − −=−
( ) ( )
2
2
Senx(1 Cosx 1 Cosx)y' 2x)(1 Cosx) Cosx (1 Cos x) CosxSenx(2Cosx) (2Cosx) 2Ctgxy' y' y'Sen x Cosx Senx Cosx Cosx
tgx 2 tg x 12 2 299)y ln arctg 2 tgx 1 arctg 2 tg x 14 2 2tgx 2 tg x 1
Sec xtgx 1 2tgx2y´
4 tgx 1 2tgx
+ − +⇒ =+ −
= ⇒ = ⇒ =
− += + − + +
+ +
⎛ ⎞ + +=⎜ ⎟⎜ ⎟ + −⎝ ⎠
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 22
2
2 2
2 2
2
2
Sec x Sec xtgx 1 2tgx Sec x tgx 1 2tgx2tgx 2tgx
tgx 1 2tgx
2 Sec x 2 Sec x. .2tgx 2tgx1 2tgx 1 1 2tgx 1
Sec xFactor común:2tgx
2tgx 1 t2 Sec xy´4 2tgx
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜ ⎟+ +⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )
( )
( )
2
2 2
2
22
2 2
2
2
gx 1 2tgx 2tgx 1 tgx 1 2tgx
tgx 1 2tgx tgx 1 2tgx
2 tgx 1
tgx 1 2tgx tgx 1 2tgx
Sec x 4tgxy´ . tgx2tgx tgx 1 2tg x
1 1x2x 22100)y 2 arctg ln
1 x 1 1x22
2 2 1 2´
21 11
x xy
xx
⎛ ⎞+ + − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟+ − + +⎝ ⎠
⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎜ ⎟+ − + +⎝ ⎠
= =+ −
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠= +
− ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠
− +=
⎛ ⎞+ ⎜ ⎟−⎝ ⎠
( )
2 22
2 2222
1 1 1 1 1 11 1 2 22 22 2 2 222
1 1 1 122 22
x x x xx
xx x
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥+ + + − + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎛ ⎞+ +− + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
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41 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( )( ) ( )
( )
22
22 2 2
2 2
2 2
2
4
2 2 1´ (*)
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 122 22 2 2 2 2 2
(*)1 1 1 1
2 22 2
1 1 122 2 1 2 2 2
´1
xy
x x x
x x x x x x
x x
x x xx
yx
−= +
⎡ ⎤− + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + − − + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝= ++ ( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )
2 2
22 2
24 4 42 2
2 2
4
1 1 1 122 2 2
1 2 1 2
2 12 1 1 1 2 122 2 1 2 2 1 2 22 2 2 2´ ´1 1 11 2
2 2 1 2 2 2´
1 1
x x x
x x x x
xx xx xy y
x x xx x
x xy
x
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + − −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ − − +− + + + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥− − ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦= + ⇒ = ++ + ++ −
+ − += +
+ +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
4
2 22 2
4 4 4
2 2
22
2 22 2
2 2 1 2 2 12 2 1 2 2 1 4 2´1 1 1
1 5 1101)y x 2 LN 2x 4x 3 2 arctg 2 x 12 4 2
5 4x 4 2 2y' x 224 2x 4x 3 1 2 x 1
20 x 1 5 x 11 1y' x 2 y' x 21 2x 4x 2 2x 4x 34 2x 4x 3 2x 4x 3
xy'
x
x xx xy
x x x
⎡ ⎤+ + −+ + − ⎣ ⎦= = =+ + +
⎡ ⎤= + + − + − −⎣ ⎦
⎡ ⎤−= + + − ⎢ ⎥
− + + −⎢ ⎥⎣ ⎦− −
= + + − ⇒ = + + −+ − + − +− + − +
=( )( )
( )2 3 2 2 3
2 22
2 2x 4x 3 5x 5 1 2x 4x 3x 4x 8x 6 5x 5 1 2xy' y2x 4x 3 2x 4x 32x 4x 3
+ − + + − − − + + − + + − −⇒ = ⇒ =
− + − +− +
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π π π 1102)y Xsen Lnx y' Sen Lnx Xcos Lnx4 4 4 x
π πy' Sen Lnx Cos Lnx Sen(A B) SenA.CosB CosA.SenB;4 4
Cos(A B) CosA.CosB SenA.SenBπ πy' Sen (Lnx)Cos Cos(Lnx)Sen4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⇒ = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − ⇒ ± = ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
± =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∓π πCos(Lnx)Cos Sen Sen (Lnx)4 4
2 2 2 2y' Sen(Lnx) Cos(Lnx) Cos(Lnx) Sen(Lnx) y' 2 Sen(Lnx)2 2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= − + + ⇒ =
e. Derivadas Implícitas.
[ ]
( ) ( )
( )
2 2 2x x103)x y 1 2x 2yy´ 0 y´ y´2y y
y xy´y yx x104)e e Ln(x y) 2 e y e 0x y
yxxye xyy e y xy´ yx0 xye xyy e y xy´ 0x . y
xxye y xy xye y(1y yx xxye y y´ xye x 0 xye x xye y y´ y´ y´y yx ye x xye x
−+ = ⇒ + = ⇒ = ⇒ =−
++ + = ⇒ + − =
+ − += ⇒ + − + =
− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − = ⇒ − = − + ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − −
( ) ( ) ( )( )
2 2
xxe )yx(ye 1)
105)x y 2x 4y 6 0 2x 2yy´ 2 4y´ 02x 2 x 1
2x 2 y´ 2y 4 0 y´ y´2y 4 y 2
1 1y y yx x106)e Lny e Ln x e y´ y´ e Lnx ey x
y y yxy´ e xye xy´ xyy´e Lnx yeyxe y e Lnx 0 0y x xy
y yxxye xy´ xyy e Lnx ye 0 xy´ xyy
−
+ + − − = ⇒ + + − =
+ − ++ + − = ⇒ = − ⇒ =
− −
+ = ⇒ + = +
+ − −+ − − = ⇒ =
+ − − = ⇒ − y y yxe Lnx ye xye yeyxy(-xe e )y yxy´ x xye Ln x xye ye y´ yx(1 ye Ln x)
− =− +
+⎡ ⎤− =− + ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦ −
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( ) ( )( )
( )( )
( )
( )x2y
2xy´y2xyy´x2y2xyy2yyx
0y2yyxy2x32yxy2x111).
23xy3x
3y3xyy´3y3xy23xy3xy´
0y´2y3x3yy´3x3xy23xyy3x110).
2y2xy2x
2x2y2xyy´2x2y2xy2y2xy2xy
2x2y2xy2yy´2xyy´y2x0y2y2xyy´2x2yy´2x2xy
02yy´2xyy´2x2yy´2x2xy02y2x2xyy2x109).
x21y
y´2x1y
y´
1y2xy´01y2y´xy´
02y´1xy´y012yx108).xy
12xy2x
y2x12yy´
2x2y3x
3y2x2yy´3y2x2y2x2y3xy´
3y2x2yy2xy2y3x0y2xy2y3x3y2x2y
02y2x
1y2x1y2y3x3y2x2y0
2y
yyxy
2x
1
0y2yyxy2x01yxy1x0y1
xyx1
107).
−−
=⇒−=−⇒−=′+′−
=′+′−−⇒=+−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
=⇒−−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
=+++⇒=+
+−
−+−=⇒++−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +−
++−=+−′⇒=′+−−−+
=+−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−+⇒=+−−
−+−
=⇒−
+−=
+−=−⇒=++−=−++⇒=−−+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
=⇒
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
−=⇒−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −
−=′−′⇒=′−′++−
=−++−
⇒=′
−′++−
=′−−′++−−⇒=−++−⇒=++
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( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
2 2 2
2 2
3
2y x y´ 2 y 2x 2y´ 12112) ´ y´2 2y x
2y x y´-2 2y x y 2y 1 2 2y 1y´
2y x2yy xy´-4y 2x 2yy y 4 2
2y x
2y x 2y 4x y´ 3y 3x y´ 3y (y 2x)(3x 3y)y´2y x 2y x 2y x (2y x)
63xy 6x 6y 3xyy´2y x
y xyy x
x
xy xy
− − − − −−= ⇒ =
− −
′ ′− − − − + −=
−
′ ′ ′− + − + + −′ =−
− − + − − − −= = =
− − − −
− − += =
−( )
( ) ( )
2 2
3 3
xy x y 182y x 2y x
− −= −
− −
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
4 2 3 3 2 4 3 2
3 2 33 2 3 4 2
4 2
113)3x y 7xy 4 8y 12x y 6x yy´ 7y 27xy y´ 8y12x y 7y2x y 7y 8y´ 6x yy´ 21xy y y´
8 6x y 21xy2 2114) 3 3 ln y 1 3 ln x 3 3 ln y 1 3 ln x c
1 3 1 32yy´ 2yy´x x3 3 3 3 02 2y 1 3 ln x y 1 3 ln x
2xyy ´3 3
− = − ⇒ + + + −
++ = − − ⇒ =
− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − + + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− ++
− + + =+ − + +
−( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
1 3 2xyy´ 1 33 3 0
x y 1 3 ln x x y 1 3 ln x
3 3 y 1 3 ln x 2xyy´ 1 3 3 3 y 1 3 ln x 2xyy´ 1 3 0
2xyy´ 3 3 y 1 3 ln x 3 3 1 3 y 1 3 ln x (*)
(*) 2xyy´ 3 3 y 1 3 ln x 3 3 1 3 y 1 3 ln x 0
2
+ − + ++ + =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + + − + + + − + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + + − − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + + + + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( ) ( )( ) ( )( ){ }( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ){ }
( )( )
( )
2
2
2 2 2
3 32
xyy´ y 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 1 3 ln x
y 3 3 1 3 3 3 1 3 3 3 1 3 1 3 3 3 1 3 1 3 ln x
12y 12 ln x 12 ln x y ln x yy´12xy xy2xy 6y
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + + − + + + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − + + + + − − + + + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− − − −= = =
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f. Derivación logarítmica.
Este método consiste en aplicar Logaritmos en ambos lados de la ecuación, luego
se utilizan las propiedades logarítmicas y después, los teoremas sobre
derivación, para determinar la primera derivada.
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
12
12
222 2
2
2 22 2
22
2 22 22
x 1 x 1115) y Lny Ln x 2Ln 1 x Ln 1 x21 x
1 1 2 x 1 1 4x xy´ 2x y´y x 1 x y x 1 x2 1 x 2 1 x
x 1 x1 4x x 1 4x xy´ y y´ x 1 x x 1 x2 1 x 2 1 x1 x
−= ⇒ = + − − +
+
−= + − − ⇒ = + −
− −+ +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − ⇒ = − −
− −+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
31/22x 11 2x e 2x 1 1116)F(x) Ln F(x) 3 Ln 1 2x Lne 2Lnx L 2 3x2 2x 2 3x
2 31 2 2 1 2 31/2F (x) 3 2x 1 2 F (x) 3 1/21 2x 2 x 2 2 3x 1 2x x 2 2 3x2x 1
1/22 2 2x 1 4 2F (x) 3
1 2x
n⎡ ⎤− ⎡ ⎤− −⎢ ⎥= ⇒ = − + − − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤− − −− ⎢ ⎥= + − − − ⇒ = + − +⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦
⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟= −⎜ ⎟−⎝ ⎠
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
1/x 1/x
1/x
1 12 2x x
3x 3x2x 2 3x
1117)y 1 x Lny Ln 1 x Lny Ln 1 xx
Ln 1 x Ln 1 xy 1 1 1 y 1 1 1 1Ln 1 x y 1 x2y x 1 x y x x 1 x x x 1 xx12 2 2118) y 1 x Lny Ln 1 x Lny Ln 1 x2x
y 2 12Ln 1 x3y x
⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦
= + ⇒ = + ⇒ = +
+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= − + + ⇒ = + ⇒ = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − ⇒ = − ⇒ = −
′ −= − + ( )
( ) ( )( )
12x
2x y 2 22Ln 1 x2 2 3 2yx 1 x x x (1 x )
2Ln 1 x 12y 2 1 x 3 2x x x 1
⎛ ⎞− ′ −⎜ ⎟⇒ = − −⎜ ⎟− −⎝ ⎠
⎡ ⎤−⎢ ⎥′ = − − +⎢ ⎥
− +⎢ ⎥⎣ ⎦
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y y
x xy1 1
3 3 x3 3
y y y yxx x
yx
1119) ln ln 3 ln y ln x3
y´ 1 1 1 1 3 y´ 1 1 1 1(3x) (ln 3) ln y (3 ) y´ ln .ln x y´ ln .ln x 3 ln 3.ln yy 3 3 3 x y 3 3 3 x
1 13 y ln 3.ln x3 3y´
y
y x y x⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + ⇒ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ =
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
( )
( ) ( )
( )
yyxx
yx
121
2
12
1y x3 ln 3.lnyx3 ln 3.ln y 3y´
x 1y 3 y ln3.ln x3
Cos x (Cos x)120) y Cos x a Ln y Ln Cos x Ln a1 y 1 Sen x 1Ln y Ln Cos x Cos x Ln a Cos x Sen x Ln a2 y 2 Cos x 2
Sen xy 1 1 Sentg x Ln a y y tg xy 2 22 Cos x
−
⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⇒ =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⇒ = +
′= + ⇒ = − + −
−′= − + ⇒ ′ = − −
( )
( )
( )
( )
Cos x
y2
x Ln a12 Cos x Cos x 2
1 tg x 1 tg xy y tg x Ln a y y tg x Cos x Ln a12 2 22 Cos x 2
Cos x a tg xyy tg x 1 Cos x Ln a y 1 Cos x Ln a2 2
y 1 1121)y arc tg x Ln y y Ln arc tg x y Ln arc tg x yy arc tg x 1 x
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥′ = − − ⇒ ′ = − −⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ = − − ⇒ ′ = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛′= → = ⇒ = ′ +
+
( ) ( )
( )[ ]
2 2
2 22
y y 1 yy Ln arc tg x y Ln arc tg xy y1 x arc tg x 1 x arc tg x
y1 x arc tg x (1 )y 1 1 2(1 ) 1Ln arc tg xy
1y yx x122)x y Ln x Ln y y Ln x x Ln y y Ln x y Lx
yyx arc tg xy yy Ln arc tg x x arc tg x y Ln arc tg x
y
⎡ ⎤⎞⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤′
= ′ + ⇒ ′ − =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
+ +′ = ⇒ ′ = → ⇒ ′ =− ⎡ ⎤+ −− ⎢ ⎥⎣ ⎦
= ⇒ = ⇒ = ⇒ ′ + =xyn yy
y x y xy y x yy Ln x Ln y y Ln x Ln y y Ln x Ln yx y y x y x
′+
⎛ ⎞′ ′′ + = + ⇒ ′ − = − ⇒ ′ − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
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EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
47 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( )( )
( ) ( )( )
( )
2 22 2
2 2 2
2 2 22 2 22
2
y x Ln y yLn y y x Ln y yx xy y yx y Ln x x x y Ln x xLn xy y
'y 'x yy 1 1x123)arc tg Ln yx 2 2 x yy1
x
y x y 1 2x 2 y y 1 y x y 2(x y y )x y2 x 2( xx yy1 x xx
x
−− −′ = ⇒ ′ = ⇒ ′ =
− −−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ +⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠= + ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞′ − + ′ ′ − + ′⎜ ⎟= ⇒ =⎜ ⎟ +⎛ ⎞ +⎛ ⎞ ⎝ ⎠+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
( ) ( )( )
2 2
22 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
y )
x (y x y) 2(x y y ) y x y x y y x yyy x y ( x y )x ( x y ) 2( x y ) ( x y ) ( x y ) ( x y )
y xy x y y y x y (x y) y x yx y
Sen Ln x Sen Ln xx b x b x b124) y Ln y Ln Ln y Sen (Ln x) Lnx x x
+
′ − + ′ ′ − + ′ + ′= ⇒ = ⇒ ′ − = +
+ + + + ++
′ − ′ = + ⇒ ′ = − = + ⇒ ′ =−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + += ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22
2 22
2
22 3 3
2 2 4
2
22
2 2 2
2x x x b 2xy 1 x b 1Cos Ln x Ln Sen Ln xy x x xx b
x
Cos Ln x Sen Ln x xy x b 2x 2x 2xbLny x x x b x
x bLn Cos Ln xCos Ln x Sen Ln x 2xb xy x b yLn
y x x x b x y x
⎟⎠
⎡ ⎤− +⎛ ⎞′ +⎡ ⎤ ⎢ ⎥= +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎛ ⎞+⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ + − −= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞+⎜ ⎟−⎛ ⎞′ + ′ ⎝ ⎠= + ⇒ =⎜ ⎟ +⎝ ⎠
( )( )
( )
( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
2 2
2 2
2 2 2
Sen Ln x 2bxx b
2b Sen Ln x1 x by y Ln Cos Ln xx x x b
Sen Ln x 2b Sen Ln xx b 1 x by' Ln Cos Ln xx x x x b
−+
+
⎡ ⎤−⎛ ⎞+⎛ ⎞′ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
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EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
48 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
a ba b125)X Y X Y a Lnx bLny (a b) Ln (x y)
a b y' a b a b y'1 y' x y a b 1 y'x y x y x y
b y' x y b y' x yx y x ya a b a b y' a b y' a b ax y y x
x ya bx y x y xy' b a b a b a y'y x
+= + ⇒ + = + +
⎛ ⎞ ⎡ ⎤++ = + ⇒ + + = + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥+⎝ ⎠ ⎣ ⎦
+ ++ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + ⇒ − + = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+⎛+ −⎡ ⎤+⎛ ⎞ +⎛ ⎞− + = + − ⇒ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) ( )
2 22 2 2 2
2 2
2 2 1 2 2 1
2 2 2 2
2 2 1/2
2
a
x yb a b
yax bx ax ay
(bx ay) y yxy' y' y'bx by ay by x (bx ay) xy
x a x126).y Ln y Ln( x a x) Ln( x a x)x a x
( x a x) ( x a x)y'x a x x a x
1 (x a ) (2x) 12y'
( x
−
⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+⎛ ⎞− +⎜ ⎟
⎝ ⎠+ − −
−= ⇒ = → =
+ − − −
⎛ ⎞+ += ⇒ = + + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠
+ + + −= −
+ + + −
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠=
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 1/2
2 2 2
1/2 1/22 2 2 2
2 2 2 2
1/2 1/22 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1/2 1/22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
1 (x a ) (2x) 12
a x) ( x a x)
x x a 1 x x a 1y'
x a x x a x
x a x x x a 1 x a x x x a 1y'
(x a x )
x x a x x a x x x a x x a xy'
a
2 xy'
−
− −
− −
− −
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠−
+ + + −
+ + + −= −
+ + + −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + + − + + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦=+ −
+ + − + − − + + − + +=
=( ) ( ) ( )
( )
1/2 1/2 1/22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1/22 2 2 2 2
2 2 2
a x x a 2 x a x x ay'
a a
2 x a x a x 2y' y'a x a
− − −
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇒ =
⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦= ⇒ =+
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49 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( )
( )
2
2
Senx127)y Tg 3x Lny Senx Ln (Tg(3x))
y' Cosx Ln (Tg(3x)) Senx Sec (3x) y' 1 6SenxCosx Ln (Tg(3x))y Tg(3x) y Senx (3x) (Cos(3x))2 Senx 2 Senx
Sec (3x) Sec(3x)Sec(3x) 1NOTA:Tg(3x) Tg(3x) Sen(3x)Cos (3x)
STg 3x
y
= ⇒ =⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤
= + ⇒ = +⎢ ⎥⎣ ⎦
= =
⎡ ⎤⎣ ⎦=
( )( )
enx 6SenxCosx Ln (Tg(3x))Senx (3x) (Cos(3x))
2 Senxx
2 2y y128)y Ln arcsen 1 y y x Ln arcsen 1 yx x
2y 1y Ln arcsen 1 yx
'' 2 2y 1 y 1y Ln arcsen 1 y Ln arcsen 1 yx x
y 1Por partes:z Ln z y 1x
⎡ ⎤+⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞+= −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞+ +′ = − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
+= ⇒ = +
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( )
Ln x
' y 1 x y Ln x 2 y y 1y 1z y Ln x z xz x2 y 2x y
yy x xy Ln x 2 y y 1(x x) xy Ln x 2 y y 1z z
2x y 2 y
1 1 2 y y2w Ln arcsen 1 y w2 22arcsen 1 y 2 1 y21 1 y
1 2 y yw ( ) w2 2 2arcsen 1 y 2 1 1 y 1 y
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤+ ′ + ++′ ⎢ ⎥= + → ′ =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤′ + +′ + + ⎣ ⎦′ = ⇒ ′ =
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥′
= − ⇒ ′ = ⎢ ⎥⎢ ⎥− −
− −⎢ ⎥⎣ ⎦
′′ = ⇒ ′ =
− − − −
1 y y2 2arcsen 1 y y 1 y
1 y y 12w y z Ln arcsen 1 y x w2 2arcsen 1 y 1 y
′
− −
′ +′ = ⇒ ′ = ′ − + ′− −
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50 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( ) ( ) ( ) ( )'
' '
xy x x
129) (*) ; ;
1 B x yB Ln B y Ln e Ln B y Ln (Ln B) x Ln y Ln yLn B B y
B B
e
x x xy y yy y y
y y
y
x x y Ec x x y x A B x y C
A yA x Ln A Ln x Ln A y Ln x y Ln xA x
y yA A y Ln x A x y Ln xx x
e e e⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⇒ + = ⇒ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
′= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ′ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = ′ + ⇒ ′ = ′ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ′ ′⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
′ =xyx
xyy x
y x xy yy x x
yx xy yy x x
xyxy
x y x yLnB Ln y B y Ln yy y
C x y C y x y
y x ySust en la ec (*): x y Ln x y Ln y y x yx y
x y x yx y Ln x y Ln y y y x yx y
x y x yx y Ln x y x y y y Ln yy x
yy x Ln x
e
e
e e
e e
⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′+ ⇒ ′ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⇒ ′ = + ′
⎡ ⎤′⎡ ⎤′ + + + = + ′⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦′
′ + + + = + ′
′′ + − ′ = − −
′ +
yxyxyxyx
xyxy
x yy y Ln yx x y xx y y Ln y yy x y x
x Ln x xy
ee ee
⎡ ⎤ − −⎢ ⎥− = − − ⇒ ′ =⎢ ⎥⎣ ⎦ + −
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )( )( )
arctg y1 y' y'LnxArc tag Y130) y x Lny arctg y Lnx2 2y x2 y 1 y
arctg y arct yy' y'Lnx 1 Lnxy'2y x 2y x2 y 1 y 2 y 1 y
3arctg y 32 arctg y y 1 y 2 y arctg y 1 yxy' y' y'y 1 y yLnx x y 1 y yLnx x y 1 y y Lnx
32 y 1 y
y
= ⇒ = ⇒ = ++
⎛ ⎞− = ⇒ − =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
⎛ ⎞ +⎜ ⎟ +⎝ ⎠= = = ⇒ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+
( )( )( )
2y 1 y arctg y'
x 1 y y Lnx
+=
⎡ ⎤+ −⎣ ⎦
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51 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( )
( )( )
( ) ( )
y ArcsenX131) x y
cosx Lny arcsenx y'yy'y Lnx arcsenx Lnx Lnxx y2 y 21 x
arcsenx y' cosx Lny yy'Lnxy x2 y 21 x
2xcosx Lny y 1 xLnx arcsenxy'
y2 y 2x 1 x
2xcosx Lny y 1 x32 y x2x 1 xy' y'
yLnx 2 y arcsenx32 y
=
= → + = +−
− = −−
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ −
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
−= ⇒ =− ( )
( )( )
( )( )
2cosx Lny y 1 x
2x 1 x y Lnx 2 y arcsenx
32 y xcosx Lny y 1 x 2y xcosx Lny y 1 xy' y'
2 2y x 1 x y Lnx 2arcsenx x 1 x y Lnx 2arcsenx
⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⇒ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )
1y
x(x y)
2
y x xy yx xx y x y132) x y 2 Ln x y Ln 2e e
1 1 1x xy x x y x yLnx Lny Ln 2 (y)Lnx (x)Lny Ln 2e ey y yxLny xx yLnx Ln 2ey
1Lny x y ( ) 1 y 2 Ln2( 1)ey1x y
y xLn y y −−
− −⎡ ⎤⎛ ⎞− −= − ⇒ = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ − −+ = − ⇒ + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−⎡ ⎤−+ = −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞+ ′ − ′⎜ ⎟ ⎡ ⎤− ′ − −⎝ ⎠ ⎣+ =
( )( ) ( )
xx y
xx y
2 xx y
2e
1 y 2 Ln2Lny xy ( ) e1x y 2e
xLn y y
−−
−−
−−
⎦−
⎡ ⎤⎡ ⎤ − ′ ++ ′− ′ ⎣ ⎦+ =⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
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52 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
xx y
2 xx y
x 2 2 2 2 xx y x y
x y x 2 2 2 2 x y 2 x y 2 x
x y 2 x y 2 x y
2y x Ln y x y ( ) 1 y 2 Ln 2ex y 2e
2 y x Ln y x y ( ) x y 1 y 2 Ln 2e e
e 2 y xLny x y ( ) xy e y'xy e xy 2 Ln2
e y e xLny x y'e e
x Ln y y
x Ln y y
x Ln y y
−−
−−
− −− −
− − − − −
− − −
⎡ ⎤+ + ′ − ′ − ′ +⎢ ⎥ =⎢ ⎥ −⎣ ⎦
⎡ ⎤′ ⎡ ⎤− + + − ′ = − ′ +⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤′− + + − ′ =⎣ ⎦
+ + −
− +
( )
( )
( )
2x y 2 2 x x x
2 x y x y 2 x
2 x y x 2x y 2 x y 2 x y 2 x x y 2 x y
2 x y 2 x x y 2 x y
2 x yx y 2
x y'( ) y 2 xlny2 2 (*)y
(*) xy e y'xye xy 2 Ln2
x e 2 xy' e xye xy e xy 2 Ln2 e y e xLnyy y
xy e xy 2 Ln2 e y e xLnyy'x e 2e ( )
y
x Ln y y
x Ln y
x Ln y y
− − − −
− − −
− −− − − − − −
− − − −
−−
′ − − − =
− +
⎡ ⎤− − + = + − −⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ − −=
− ′ −2
x y
1
1
2
x x xyey
133). 2 2
12 2
2 2
1
x
x xx y x y
xx y x y
y yx x x x xx y x yx y x ye e
y yx x xLn x y Ln Ln x Ln y Lne ex
y x yxLn x Ln y Ln Ln x Ln y Lne ex x x
y x y y yLn xx x x
−
+ +
+ +
−+
⎛ ⎞+ += + ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⇒ + = +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎣ ⎦
⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + ⇒ + = +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠
′ + ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
1 1 2 22
1 1 2 22
1 2 22
xx yxx y
xx yxx y
xx y
xx y
y Lney e
y x y Ln x y y y Lnex y e
y y x y Ln x y x y y Lnex y e
++
++
+
+
⎡ ⎤= + ′ +⎣ ⎦⎡ ⎤+⎣ ⎦
′ + + ′ ⎡ ⎤+ = + ′ +⎣ ⎦⎡ ⎤+⎣ ⎦
′ + + + ′⎡ ⎤ + ′ +⎣ ⎦ =+
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53 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
'2 2 2 2 (*)
(*) 2 2
'2 2 (**)
(**) 2
x xx y x y x
x x x xx y x y x y x y
xx y x
x xx y x y x y
xx y x y
yy y x Ln x y Ln x y x y x y y Lne e e
y y x Ln x y Ln x y x ye e e eyx y y x y Ln x ye e
y y x Ln x x y y x ye e e
y Ln ye e
+ + +
+ + + +
+
+ + +
+ +
⎡ ⎤+ ′ + + + ′ = + ′ +⎣ ⎦
′ + + + + + + + =
++ ′ +
′ + + + − ′ =
− + − +( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 (***)
(***) 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
x xx y
x xx y x y x y
x x xx y x y x y
x x xx y x y x y
x xx y x y x y
x y Ln x ye
y y x Ln x x ye e e
y Ln x y x y Ln x ye e e
y Ln x y x y Ln x ye e ey
y x Ln x x x ye e e
+
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ +
⎡ ⎤′ + + + − =⎣ ⎦
− + − + + +
− + − + + +′ =
+ + + −
g. Ejercicios Varios
134) Demostrar que la derivada de ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
− x
x
ee
LNxF1
2
1)( es ( )x
x
ee
xF−
−
−+=′
1
1
121)(
( )[ ] ( )[ ]
( )
( )x1
x1x1
x1
x1x12xx)(1
2x
e12e
1y´2
e11)(e1
2y´
e1Ln2x21
ye1LneLn21
ye1e
LnF(x)
−
−−
−
−−−
−+=⇒−
−−−
=
−−=⇒−−=⇒⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
135) Demostrar que la derivada de ( ) .seccsc
1635
',13
xxxx
xyes
SecxSenxxx
Ln −+
+=
+
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) secxcscx1x6x35x
y'CosxSenx
11x6x35x
y'
CosxSenxSenxCosx
1x6x2x33x
y'Secx
TgxSecxSenxCosx
1x31
2x1
y'
SecxLnSenxLn1xLn31
2Lnx
y
22
−+
+=⇒−
++
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
+++
=→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
++=
+−++=
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EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
54 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
136) Demostrar que la derivada de 2222 2´; xyesxxy −=−= ππ
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1/22 2 21/2 1/2 1/22 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
1/2 1/2 1/2 1/22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1/2 1/22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1' '2
1
' '
' ' 2 ` 2
x x xy x y x x x
x x
y x x x x y x x x
y x x x y x x y x
π π ππ π ππ π
π π
π π π π π π π
π π π π π π
−−
− − −
− −
− − ⎛ ⎞= − + + ⇒ = − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠ −−
⎡ ⎤= − − − + − ⇒ = − − − + ⇒⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − − + ⇒ = − − ⇒ = −⎣ ⎦
137) Demuestre que: [ ]Cosxba
xfx
Tgbaba
Arctgba
xf+
=′⇒⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
−=
21
)(2
1)(
22
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2
1 1 1 2( ) '( )2 21
2
21 2'( ) '(
( ) ( )2
( )
a b xSeca b x a bf x Arctg Tg f x
a b xa ba b a b Tga b
xa b Sec
a bf x fxa b a b a b Tg
a b
⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤− +⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟= ⇒ =⎢ ⎥⎜ ⎟ − ⎜ ⎟+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠− −⎣ ⎦ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟+⎜ ⎟= ⇒⎜ ⎟⎛ ⎞− + + −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
2
2 2 2
2 2 2
2 2
( )2)
2 ( ) ( )2
( ) ( )2 2'( ) '( )
2 ( )( )( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )2 2
1'( )2 ( ) ( )
xa b a b Secx
xa b a b a b a b Tg
x xa b a b Sec Secf x f x
x xa b a b a b a b a b Tg a b a b Tg
f xa b a b
⎛ ⎞+ − ⎜ ⎟⎝ ⎠=
⎡ ⎤⎛ ⎞− + + + − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⇒ =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=+ + − 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1f'(x)x x x2 (a b)Cos (a b)Tg Cos
2 2 2 2 2
1f'(x)x x x x2 a Cos bCos a Sen bSen2 2 2 2
x xTg Cos⇒ =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
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55 E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
12 22 2 2 2
2 2 2
1 1f'(x) f'(x)x xx x x x 2 a b Cos Sen2 a Cos Sen b Cos Sen 2 22 2 2 2
1 1f'(x) f'(x)x x x2 a b Cos 1 Cos 2 a b 2Cos2 2 2
= ⇒ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + −+ + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
= ⇒ =⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
[ ] [ ]2
1
θ 1 Cosθ 1 1 1Pero:Cos f'(x) f'(x) f'(x)2 2 2 a b(1 Cosθ 1) 2 a bCosθ1 Cosθ2 a b 2 1
2
⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞−⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + − +⎡ ⎤⎡ + ⎤⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
138) Demuestre que si ( ) ,752 yxyx += entonces .´xyy =
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
( )642
56
566426425
75
27´
2775´´17´52
yxyx
xyyxy
xyyxyxyxyyyxyyxxy
+−
−+=
−+=+−⇒++=+
Multiplicando numerador y denominador por x.y:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
( )( ) x
yyxxyxy
yyxyxxyxxyxy
yxxyyxxyxyyxxy
yxxyyxxyxyyxxyy =
−−
=−+++−+
=+−++−+
=+−
−+=
2525
7527
7527
7527´ 6
6
67
76
652
526
139) Demostrar que 2x4x4yy
xyy'
+−= es la derivada de
2x2y
2x2yarctg
−
+=y
( )( ) ( )( )
( )
2 2 2 2 2 2
22 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2yy' x y x y x 2yy' x
y x1y'y x y x1 2y x y x
+ − − + −
−=
⎛ ⎞+ ⎛ ⎞++ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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( ) ( )
( )( )
( )
3 2 2 3 3 2 2 3 2 2
2 22 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
22 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2y y' 2x yy' 2xy 2x 2y y' 2xy 2x yy' 2x 4y yy' 4xy
y x y xy' y'
y x y x y x y y x2 2y x y x y x y x
4y yy' 4xyy x 4x y
y' y'2 2y y x
y x y x
− + − − + − + − +
− −= ⇒ =
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠− +
− −= ⇒ =
+
− −
( )( )( )
( ) ( )( )
( )( )( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
22 2 2 2 2
32 2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 2 4 4 2
4 4 2
y' 4xy y x y x
4y y x y x
4x yy' 4xy y x 4y xy x y'4x yy' 4xyy' y' y'4y y x y x4y y x y x 4y y x y x
xyy' y y x xy x y' y' y y x x xy y'y y x x
+ − −
+ −
− + − −− += ⇒ = ⇒ =
+ −+ − + −
⇒ − = − ⇒ − + = ⇒ =− +
140) Demuestre que la derivada ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
x15
x4yarctg
15
2Lny es
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
−=
2y2x2
2yy'
( )( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )
( ) ( )[ ] [ ]
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
−=⇒
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
−=⇒−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +
−=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −++⇒−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
−−+=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++⇒
+++
+−+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ++
+−+=⇒⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
=
2y2x2
2yy'
2y2x16
28yy'28y216y216xy'
28y8xy8xy216y216xy'28yx8yy'8xy216y216xy'
x4yxx4y'2y8xy216y216xy'x8xy16y15x
x4yx14y'2yy'
x15x4yx15
x15
x4yx14y'2yy'
x15
x4yx14y'
15xx4y
1
1
15
2yy'
222
2
222
2
2
2
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141) Demostrar que la derivada de ( )
)1()1(
'2
1
yxxy
yesCxyx
y
e−−
==+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
[ ] [ ] [ ]yxxy
yyx
xyyx
yyxxy
yxyCxypero
xcCx
yxC
CCxy
xC
yCxCyx
yxCy
xy
xy
xy
xy
xy
xyx
y
xy
xyx
yx
yxy
e
e
eeeee
eeeee
Cx
−−
=⇒−
−
=→−
−=⇒=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−′=⇒⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
+
++
+++
+++++
−
−⇒−=
++
1)1(
'1
'1
'
'1'
'1
''
2
2
2
2
1
1
2
11
21
2
11
1
2
11
2
11
1
142) Pruebe que si ( ) ( ),11 52/52 −=+− ycxxe y entonces ( )( ).115
2xxyy
y+−
=′
( ) ( )
( )( )( ).115´
15
1´
1´
15´1lnln5ln1ln
25
22
22
xxyyy
xxyyy
yy
xxyyxcxy
+−
=⇒+
−=
−
⇒−
=+
+−⇒−++=++−
143) Demostrar que la derivada de ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==
x1
senX
Ln33y'3y
22
Ctg(1/x)Ctg(1/x) es
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⇒=⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒=
x1
senX
Ln33y'
x1
Xsen
Ln33y'Ln33y'
2x
1x12CscLn33y'
x1
CtgLn33y'3y
22
Ctg(1/x)
2
Ctg(1/x)Ctg(1/x)Ctg(1/x)
Ctg(1/x)Ctg(1/x)
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144) Demuestre que la derivada de ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+−=axax
amLn
axLnm
y22
22 es: ( )22'
axnanmx
y−
−+=
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
22 2
2 2
2 2 2 22 2
x a x a2mx ny'x a2 x a x a2ax a
2mx n 2ay'2a x a x a2 x a
mx n x a x m n namx ny' y' y'x a x a x ax a
⎡ ⎤+ − −= + ⇒⎢ ⎥
−⎛ ⎞− +⎢ ⎥⎣ ⎦⎜ ⎟+⎝ ⎠⎡ ⎤= + ⎢ ⎥− +− ⎣ ⎦
+ − + −= + ⇒ = ⇒ =
− + −−
145) Verifique que: si ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
24ln
cos2
xtgxxseny π
entonces .sec2´ 3 xy =
( ) x,2secx2tg1cos.βsenβcos.senβsen
x,cos.xsen22xsen,xcosxsen
xtg,xcos
1xsec
=+−=−
===
ααα
( )xyxxy
xxxyxtgxxyxxxxtgy
xxxtgxy
xsenxxtgxy
xxsen
xxtgxy
xtg
x
xxxtgyx
tgxtgxy
333
232332
3232
32
2
32
sec2secsec´
secsecsec1secsecsecsecsec´
cos1
sec.sec´
2
1secsec´
24cos
242
1secsec
242
24sec
secsec´24
lnsec
=′⇒+=
+=′++=′⇒++=
++=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++=′
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
π
ππ
π
ππ
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146) Demuestre que 42
1´+−
=xx
y es la derivada de:( ) ( )
42422
ln244222−
−+−+++=
xxx
xxy
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 44 2 2 2 2 2 4 4 2 ln
2
2 2 4 2 ln 2 2 4 4 2 ln 2 2 4
1 2 1 2 2y 22x x 4 x 4 2 2 x 42x x 2
2 2 1 2 21 12x x 2 x 4 2 2 x 4
x 42 x 2 1yx 2 2 2 x2 2x x 2 x 4 2 2 x 4
xx x x y x x
x
y x x x x
y
y
− +− = + − ⇒ = + + +
+
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + − ++⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎛ ⎞⎛ ⎞′ = − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+′= − ⇒ = −
+ −+ + − +
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
4
2 x 2 2 2 x 4
x 2 x 2 2 2 x 4 2 2 x 4
2 x 2 2x x 4 2x x 42 2 x 4 2x x 4y
x 4 x 4 x 4 x 4 2x x 4
x 4 12x x 4x 4 2x x 4
y
y y
y y
+
− + +′ = −
+ − − + + +
− + + − ++ + + +′ ′= + ⇒ = ⇒ =
− − − − − +
−′ ′= ⇒ =− +− − +
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147) Determine la primera derivada de )()(
31
3 3
3
bxCosaxSen
ybxCosaxSen
+=
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
332
331
(**)
(**)3 3
3331
(*)
(*)33
''
31'
33
2
2
6
22
2
23
2332
2
23
3333
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
+=′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=′
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=′
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=′
bxCosaxSen
LnbxCos
bxSenaxSenbbxCosaxCosay
bxCosbxSenaxSenbbxCosaxCosabxCosaxSen
bxCosbxSenaxSenbbxCosaxCosaLny
bxCos
bxSenbxCosbaxSenbxCosaxCosaxSena
bxCosbxSenaxSenbbxCosaxCosa
Lny
bxCos
bxCosaxSenbxCosaxSenbxCosaxSen
Lny
bxCosaxSen
bxCosaxSen
bxCosaxSen
bxCosaxSen
Nota: Los ejercicios resueltos anteriormente han sido tomados de textos, guías y exámenes aplicados en el IUTJAA. Muchos de ellos son recopilaciones de mis colegas y amigos Germán Narváez y Orlando Rodríguez profesores ya jubilados en la institución, y otros resueltos por el autor.
Por favor a los lectores espero su valiosa colaboración, en la revisión de los mismos y hacerme llegar las sugerencias y correcciones necesarias a las direcciones electrónicas publicadas.
Gracias.
Dámaso Rojas
Octubre 2007
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