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Jornadas Científico Técnicas 2004 – Facultad de Ingeniería, Universidad del Zulia
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DESARROLLO DE UN SIMULADOR SEUDO-TRIDIMENSIONAL (P3D) DE
FRACTURAMIENTO HIDRÁULICO EN POZOS
Alexander J. Verde1 & Nestor V. Queipo, Instituto de Cálculo Aplicado, Universidad del Zulia
Resumen Este trabajo presenta el desarrollo de un simulador de Fracturamiento Hidráulico de pozos
basado en un modelo seudo-tridimensional de propagación de la geometría de la fractura (P3D)
llamado StimFrac®. Este modelo representa una solución de compromiso entre los modelos 2D y
3D en términos de precisión y esfuerzo computacional. El modelo P3D establece una fractura de
sección transversal elíptica, al igual que algunos modelos 2D, pero de una altura variable. De esta
manera, proporciona una geometría tridimensional similar al modelo 3D pero a un menor costo
computacional.
El simulador desarrollado resuelve acopladamente el problema de flujo de fluidos y de
deformación elástica, asociado con la propagación de una fractura vertical inducida
hidráulicamente dentro de una formación (homogénea e isotrópica) compuesta de tres capas (una
zona productiva limitada por dos capas adyacentes) con diferentes esfuerzos en sitio. Por otra
parte, StimFrac®
modela el transporte del agente apuntalante en el fluido, calculando la
suspensión y deposición del mismo a lo largo de la fractura. Adicionalmente, se dispone de un
modelo post-fractura de la presión de fondo fluyente y un modelo económico para evaluar la
rentabilidad de la aplicación del tratamiento.
El programa desarrollado es inicialmente validado con resultados obtenidos de simuladores
P3D reportados en la literatura. Posteriormente, se evalúa la ejecución acoplada de los diferentes
modelos en un pozo bajo condiciones representativas de la industria petrolera, con el propósito de
determinar la rentabilidad de la aplicación de un tratamiento de estimulación.
Palabras clave: Fracturamiento Hidráulico, modelos de propagación de fractura, modelo seudo-
tridimensional (P3D)
Abstract
This paper presents the development of a hydraulic fracture simulator called StimFrac®
based
on a pseudo-tridimensional geometry fracture propagation (P3D) model. The model represents a
compromise solution between 2D and 3D models in terms of accuracy and computational effort.
The P3D model establishes a fracture with elliptic transversal sections, as the 2D models, but
with variable height, providing a geometry for the fracture similar to those provided by the 3D
models but a significantly lower computational cost.
The developed simulator solves the coupled problem of fluid flow and elactic deformation
associated with a vertical fracture propagation hydraulically induced inside a formation
(homogeneous and isotropic) with three layers (a productive zone bounded by two adjacent
layers) with different in-situ stresses. Furthermore, StimFrac®
have models for: the behavior
(suspension and deposition) of the propant within the fluid, the post-fracture flowing bottom hole
pressure and, the economic evaluation of alternative hydraulic fracture treatments.
After validating the ability of StimFrac® to provide reasonable approximations of the fracture
geometry and post-fracture flowing bottom hole pressure using results from the archive literature,
the cost-effectiveness of conducting a hydraulic fracture treatment on a well representative of the
oil industry is evaluated.
Key words: Hydraulic Fracturing, Fracture Propagation Models, and Pseudo-Tridimensional
(P3D) Hydraulic Models
1 Av. Ziruma con calle 67, Maracaibo 4002, Venezuela. Tel.: 0261-7598411. Correo electrónico: averde@ica.luz.ve
Jornadas Científico Técnicas 2004 – Facultad de Ingeniería, Universidad del Zulia
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Introducción
El Fracturamiento Hidráulico es una de las estrategias de estimulación más usadas para
incrementar la producción de pozos de petróleo o gas. Durante un tratamiento por Fracturamiento
Hidráulico, un fluido es inyectado a la formación a una presión suficiente para causar una falla
en la resistencia de la formación y propagar la fractura. Como resultado de un tratamiento
exitoso, se crea desde el pozo una geometría con una permeabilidad mayor que la de la formación
por donde los fluidos pueden desplazarse con menor dificultad.
Cada uno de los fluidos inyectados durante la ejecución del tratamiento desempeña una
significativa y específica tarea. El fluido inicial, conocido como pad, inicia y propaga la fractura.
Las siguientes etapas del tratamiento incluyen la inyección de un fluido fracturante con diferentes
concentraciones de agentes apuntalantes o proppant. El fluido trata de continuar la propagación
de la fractura y el agente apuntalante mantendrá la fractura abierta, cuando el esfuerzo de la
formación trate de cerrar la fractura, una vez que la inyección de fluido se detenga.
Actualmente, el análisis y diseño de un Fracturamiento Hidráulico se realiza utilizando
simuladores computacionales basados en modelos que estiman la geometría de la fractura de
diferentes maneras. Los modelos tridimensionales son matemáticamente complejos ya que
consideran una geometría 3D y un flujo 2D. Estos modelos son más precisos pero su solución
requiere un gran esfuerzo computacional. En contraste, los modelos bidimensionales consideran
una geometría 2D, asumiendo una altura constante y un flujo 1D en la dirección de la longitud.
La solución de estos modelos exige menos tiempo de computación pero presentan limitaciones en
cuanto a la precisión de los resultados. Alternativamente, los modelos seudo-tridimensionales
(P3D) representan una solución de compromiso entre los modelos 2D y 3D en términos de
precisión y esfuerzo computacional, siempre y cuando la longitud de la fractura sea mucho mayor
que su altura.
Jornadas Científico Técnicas 2004 – Facultad de Ingeniería, Universidad del Zulia
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La Tabla 1 presenta un resumen de las características de los modelos P3D reportados en la
literatura. Varios trabajos proponen una propagación vertical de la fractura tanto en forma
simétrica1-4,7,11,12
como asimétrica5,6,8-10,13-15
. La mayoría de los mismos consideran flujo 1D,
exceptuando algunos casos6,8,12-14
. Sólo Meyer13
y Chen15
consideran el balance de energía del
fluido en la fractura. Varios autores consideran el efecto simultáneo de pérdidas de fluido por
filtración y expansión de la fractura5-7,13,14
, aunque algunos sólo consideran el primer caso2,4-9,11-
15. Existen diferentes trabajos que presentan modelos del transporte de agente apuntalante en el
tratamiento6,9,11,13,15
. Algunos de ellos9,11,13
modelan el comportamiento de las partículas durante
la inyección y cierre de la fractura, mientras que otros6,15
solo durante la etapa de inyección. La
mayoría de los modelos utilizan un fluido no-Newtoniano, exceptuando los trabajos de Palmer3,4
.
Así mismo, solo Morales9 y Meyer
13 presentan resultados de tratamientos con una inyección
múltiple de fluidos.
Este trabajo presenta el desarrollo de un simulador de Fracturamiento Hidráulico denominado
StimFrac
basado en un modelo P3D de propagación de la geometría de fractura acoplado con un
modelo de transporte del agente apuntalante. Adicionalmente, se dispondrán de modelos post-
fractura de la presión de fondo fluyente y económico para la determinación de la producción del
pozo y la evaluación de la rentabilidad del tratamiento, respectivamente.
El resto del presente trabajo está dividido en cuatro secciones. A continuación se presentará
una descripción matemática de los diferentes modelos incorporados en StimFrac
. Luego, se
explicará la metodología de solución de los modelos y ecuaciones asociadas. Posteriormente, se
desarrollarán casos de estudio para validar los modelos codificados y evaluar la ejecución
acoplada de los mismos. Finalmente, se presentará el análisis y discusión de los resultados
seguido de las conclusiones obtenidas.
4
TABLA 1 - Resumen de las características de los modelos P3D reportados en la literatura en los últimos años
Referencia Procesos físicos
Características del tratamiento
Autor Año
Propagación de
la fractura
Flujo de
fluidos
Balance de
masa
Balance
de
energía
Transporte de
Proppant
Tipo de
fluido
Inyección de
fluidos
Sim.
Asim
1D
2D
Leak
off
Spurt
loss
Inyección
Cierre
Newt
no-
Newt
Único
Múltiple
Simonson et al.1 1978
Cleary et al.2 1983
Palmer & Covel3 1983
Palmer 4 1983
Palmer & Craig5 1984
Usman6 1984
Palmer & Luiskutty7 1985
Advani et al. 8 1985
Morales9 1986
Settari & Cleary10 1986
Meyer11 1986
Bouteca12 1987
Meyer13 1989
Weng14 1992
Chen & Chen15 1997
Verde & Queipo (actual) 2004
5
Descripción Matemática del Modelo
Modelo de Fracturamiento Hidráulico
Modelo de la geometría de la fractura. Permite determinar la longitud, ancho y altura de la
fractura durante el proceso de estimulación y esta basado en principios físicos de conservación de
masa, cantidad de movimiento y criterios de propagación de la fractura. La conservación de
masa establece que la masa inyectada dentro de la fractura debe ser igual a la masa acumulada
dentro de la misma, más las pérdidas ocurridas por filtración hacia la formación3-5,7,9,15
:
t
x
xpS
pH
τ(x)t
pCH
t
A(x,t)
x
Q(x,t)2
2
(1)
Esta ecuación es valida para: i) flujo incompresible e unidimensional, y ii) pérdidas de fluido por
filtración sólo dentro de la zona productiva de la formación.
El principio de conservación de la cantidad de movimiento proporciona una relación entre la
tasa de flujo a través de una sección transversal y el gradiente de presión asociado3-5,7,9,15
:
nH
H
n
1n2
nn
f
1n
dyt)y,W(x,
t)Q(x,
n
12K2
xd
t)P(x,d
2
1
2
1
(2)
La validez de la ecuación (2) esta sujeta a las siguientes suposiciones: i) flujo estable e
unidimensional, ii) sección transversal de forma elíptica aproximada, y iii) fluido no-Newtoniano
descrito por un modelo reológico de ley de potencia.
La propagación de la altura de la fractura ocurre cuando el factor de intensidad de esfuerzo
crítico de la formación (KIC) es igual al factor de intensidad de esfuerzo en los extremos superior
e inferior de una sección transversal de fractura por efecto de las diferentes componentes de
esfuerzos (KI, KII, KIII)5,7,9,16
:
6
IIIIIIIC KKKK (3)
La ecuación (3) es valida en el rango de comportamiento elástico de la zona productiva y capas
adyacentes, asumiendo que son materiales homogéneos e isotrópicos.
El ancho de la fractura (WT) se calcula a diferentes elevaciones verticales superponiendo los
efectos de las diferentes componentes de esfuerzos5,7,9
:
IIIIIIT WWWW (4)
La ecuación (4) es obtenida suponiendo un estado de esfuerzo plano en la sección vertical de la
fractura en una formación homogénea e isotrópica.
Modelo del transporte del agente apuntalante. Describe el comportamiento de las partículas a lo
largo de la fractura y durante la ejecución del tratamiento, en términos de: i) concentración en el
fluido, ii) cinemática de las partículas para la determinación de la suspensión y deposición de las
mismas. La concentración del agente apuntalante se calcula como el producto de la concentración
de la etapa de inyección (Cp) por la concentración normalizada (Cp) obtenida del siguiente
balance de masa asumiendo etapas inyectadas inmiscibles17
:
t)(x,Ct)A(x,t
t)(x,Qt)(x,Ct)(x,Ct)Q(x,x
- pLpp
(5)
La cinemática del agente apuntalante describe el comportamiento de las partículas en
términos de sus componentes de velocidad. La velocidad horizontal se asume como la velocidad
promedio del fluido y la componente vertical o de descenso se deriva a partir de la ley de Stoke18
:
t)(x,C1.82
2
P
n
1
f
fp
2n
sp10
t))(x,C-(1
72K
ρρ
12n
3n
108n
d12nt)(x,V (6)
Condiciones iniciales y de borde. Para el modelo de la geometría se establece como condición
inicial la inexistencia de la fractura antes del comienzo del tratamiento. Las condiciones de borde
7
que se imponen para este modelo son: i) tasa de flujo a la entrada de la fractura igual a tasa de
inyección del proceso, ii) presión al final de la fractura igual a la presión correspondiente a una
propagación vertical ligeramente superior a la altura de la zona productiva, y iii) tasa de flujo al
final de la fractura obtenida de un balance de masa en la pequeña región posterior a la misma16
.
El modelo de transporte del agente apuntalante requiere como condición inicial una
concentración nula de las partículas antes de la inyección de las etapas. Las condiciones de borde
que se imponen son: i) concentración del agente apuntanlante en el pozo igual a la concentración
de inyección, y ii) altura de las partículas suspendidas en el pozo igual a la altura de la fractura18
.
Modelo Post-Fractura de la Presión de Fondo Fluyente
Permiten estimar analíticamente la declinación de la presión de fondo fluyente del pozo
después de la aplicación del tratamiento de estimulación, dada una tasa de producción constante
para una longitud y conductividad de la fractura. Los modelos codificados en StimFrac®
corresponden a: i) fractura de conductividad finita19
, ii) fractura de conductividad infinita20
, iii)
fractura de flujo uniforme20
y iv) formación homogénea sin límites correspondiente a un pozo no
estimulado20
.
Modelo Económico
Evalúa la rentabilidad del tratamiento de estimulación a través del cálculo del valor presente
neto de la inversión representado como la diferencia entre valor presente de los ingresos debido a
la producción del pozo estimulado y el valor presente de los costos asociados al tratamiento,
operación e impuestos21
.
Metodología de Solución
La evaluación de la rentabilidad de un Fracturamiento Hidráulico sobre una formación en
particular utilizando el simulador StimFrac® involucra la ejecución acoplada de los diferentes
modelos incorporados. Dados los parámetros de tratamiento, la solución del modelo de
8
Fracturamiento determina la geometría y conductividad de la fractura. Posteriormente, el modelo
de post-fractura pronostica la declinación de la presión de fondo fluyente del pozo y finalmente el
modelo económico calcula el valor presente neto de la inversión.
Descripción de la solución del modelo P3D
Dadas las condiciones iniciales de la fractura, el cálculo de la geometría de la misma para un
instante de tiempo superior implica la determinación de un intervalo de tiempo t para el cual se
minimiza el residual de la ecuación de balance de masa. Específicamente, dado un t, se calculan
las condiciones de borde al final de la fractura (x=L) y desde allí se inicia un proceso de
integración de las ecuaciones del modelo (1 a 4) hasta llegar al pozo (x=0), (Ver Figura 1).
Una vez determinada la geometría y el flujo en la fractura para un instante de tiempo, se
procede a determinar el comportamiento del agente apuntalante a lo largo de la fractura
cumpliendo los siguientes pasos: i) cálculo de la concentración normalizada, ii) ubicación del
frente de las etapas de concentración inyectadas, iii) cálculo de la concentración del agente
P(6+½,t) = PL
P(5+½,t) P(4+½,t) P(3+½,t) P(2+½,t) P(1+½ ,t)
Q(3,t) Q(2,t) Q(1,t) = Qi Q(4,t) Q(5,t) Q(6,t) Q(7,t) = f(t)
Final de la
fractura Pozo
Solución de las ecuaciones
Tasas de flujo a la
entrada y salida de los volúmenes de control
Presión del fluido en el centro de los
volúmenes de control
Condición de borde a la
entrada
Condiciones de borde al
final
Figura 1 - Esquema de solución del modelo P3D
9
apuntalante, iv) cálculo de la velocidad de descenso de las partículas, y v) cálculo de la altura del
agente apuntalante suspendido y depositado.
Casos de Estudio
Esta sección presenta varios casos de estudio con el propósito de: i) validar el modelo de la
geometría de fractura P3D incorporado en StimFrac
y ii) evaluar la ejecución acoplada de los
diferentes modelos. La validación del modelo P3D se realizó comparando sus resultados con los
obtenidos de un simulador de referencia (ORU
) reportado en la literatura. Las medidas de
desempeño establecidas para comparar los resultados de los simuladores fueron la longitud (L) y
la altura (Hw), ancho (Ww) y presión (Pw) de la fractura en el pozo (ver Tabla 2).
Tabla 2 – Medidas de desempeño obtenidas por StimFrac (ORU) para la validación del modelo P3D
Caso Referencia L
(ft) Hw
(ft) Ww
(in) Pw
(psi)
1 Palmer et al.4
1008 (1000)
194.34 (180)
0.400 ( - )
390.05 (375)
2 Palmer & Craig5 451
(440) 126.73 (127)
0.170 (0.17)
382.25 (388)
3 Palmer & Luiskutty7 3156
(3200) 275.25 (272)
0.452 (0.44)
989.17 (987)
4 Palmer & Luiskutty7 3152
(3200) 272.00 (274)
0.449 ( - )
986.59 (988)
5 Palmer & Luiskutty7 3204
(3200) 213.58 (213)
0.408 (0.40)
605.14 (604)
6 Palmer & Luiskutty7 3128
(3200) 216.24 (219)
0.416 ( - )
614.38 (622)
Los datos referentes a la ejecución acoplada de los modelos de StimFrac
se presentan en las
Tablas 3, 4 y 5. Las Tablas 3 y 4 presentan las características de la formación y los parámetros de
tratamiento, respectivamente. La Tabla 5 muestra los datos necesarios por el modelo económico.
La Figura 2 presenta la geometría de la sección longitudinal de la fractura y la altura del agente
apuntalante (suspendido y depositado) al final del tratamiento. Finalmente, la Figura 3 muestra la
tasa de producción y presión de fondo fluyente asociada al pozo evaluado con y sin fractura.
10
Figura 2 – Sección longitudinal de la fractura y agente apuntalante suspendido y
depositado al final del tratamiento
Tabla 3 – Características de la formación correspondiente a la
ejecución acoplada de los modelos de StimFrac
Símbolo Variable Valor Unidad
Características geométricas
Hp Altura de la zona productiva 75 (ft)
rw Radio del pozo 0.35 (ft)
H Profundidad del pozo 10000 (ft)
Propiedades elásticas de la roca
Relación de Poisson 0.25 (adim)
E Modulo de elasticidad 3.0x106 (psi)
p Esfuerzo en la zona productiva 7000 (psi)
u Esfuerzo en capa superior 7550 (psi)
l Esfuerzo en capa inferior 7800 (psi)
KIC Rigidez de la fractura 1500 (psi x in1/2
)
Propiedades de flujo de fluidos
s Factor de daño 0 (adim)
Sp Coeficiente de perdida repentina 0.0037 (gal/ft2)
C Coeficiente de perdida por filtración 0.001 (ft/min1/2
)
K Permeabilidad 1.0 (md)
Porosidad 0.1 (frac)
ct Compresibilidad total 1.0x10-5
(1/psi)
Viscosidad del petróleo 1.0 (cp)
Pi Presión estática 5600 (psi)
Pwfmin Presión de fondo fluyente mínima 100 (ft)
Bo Factor volumétrico del petróleo 1.1 (rbbl/STB)
qo Tasa de producción de petróleo 900 (STB/d)
11
Tabla 4 – Parámetros del tratamiento correspondiente a la ejecución acoplada de los
modelos de StimFrac
Etapa
Inyección
Fluido fracturante
(f62.42 lbm/ft3)
Agente apuntalente
(p195 lbm/ft3)
Qi (bpm)
V (bbl)
n (adim)
Kf (lbfxsec
n/ft
2)
Cp
(lbm/gal) Dp
(inc) Pp
(md)
1 16.0 340 1.0 0.0012 0 - -
2 18.0 100 0.86 0.0012 1.0 0.027 500
3 20.0 100 0.86 0.0012 1.5 0.027 500
4 22.0 100 0.9 0.0012 1.5 0.055 500
5 24.0 100 0.9 0.0012 2.0 0.055 500
Tabla 5 – Datos del modelo económico
Símbolo Variable Valor Unidad
S Precio del barril de petróleo 30 ($/bbl)
IMP Tasa impositiva por barril producido 0.01 ($/$)
COSTFIX Costos fijos 3300 ($)
CFLD Costo del fluido 8.4 ($/bbl)
CPROP Costo del agente apuntalante 1.0 ($/lbm)
CPOT Costo de potencia consumida 4.5 ($/hp)
Análisis y Discusión de Resultados
Con respecto a la validación del modelo P3D, las diferencias porcentuales promedio entre las
medidas de desempeño (L, Hw, Ww y Pw) calculadas por StimFrac
y ORU
para los casos
evaluados fueron 1.42 %, 1.94 %, 1.57 % y 1.21 %, respectivamente. Las pequeñas diferencias
observadas pueden estar asociadas a que StimFrac® discretiza el dominio longitudinal en forma
homogénea mientras que ORU
utiliza una discretización variable.
La ejecución acoplada de los modelos de StimFrac
muestra que la fractura alcanzó una
longitud aproxima de 850 pies con un ancho máximo en el pozo de 0.26 pulgadas (Ver Figura 2),
propagándose asimétricamente en la dirección vertical. Por otra parte, el agente apuntalante
cubrió prácticamente la totalidad de la zona productiva de la formación, depositándose solamente
una pequeña cantidad en el fondo de la fractura. La evaluación post-fractura de la presión de
fondo fluyente y económica muestra que el pozo sin fractura puede producir a una tasa de 900
12
Figura 3 – Tasa de producción y presión de fondo fluyente asociada al pozo evaluado
con y sin fractura
bpd sólo por un periodo de 2 meses, generando un valor presente neto de la inversión de 25.000 $
(Ver Figura 3).
El pozo estimulado (modelo de conductividad finita) puede permanecer en producción por un
periodo de aproximadamente 24 meses (2 años), pudiéndose obtener un valor presente neto de la
inversión de 350.000 $, lo que representa un incremento de 1400 % en la productividad del pozo.
Conclusiones
Este trabajo presentó el desarrollo de un simulador de Fracturamiento Hidráulico basado en
un modelo seudo-tridimensional de propagación de la geometría de la fractura (P3D) llamado
StimFrac®. El simulador desarrollado resuelve acopladamente el problema del flujo de fluidos y
de la deformación elástica de la roca, asociado con la propagación de una fractura vertical
inducida hidráulicamente asumiendo una formación homogénea e isotrópica compuesta de tres
capas con diferentes esfuerzos en sitio.
El simulador resuelve las ecuaciones diferenciales de los modelos de forma acoplada,
discretizando la fractura en volúmenes de control de igual longitud pero de altura variable, y
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Tiempo (dias)
Pwf (Fracturado)
Pwf (Sin fractura)
Tasa de producción
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000P
resi
ón(p
si)
Tas
a de
pro
ducc
ión
(bpd
)
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Tiempo (dias)
Pwf (Fracturado)
Pwf (Sin fractura)
Tasa de producción
0
1000
2000
3000
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6000
0
1000
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5000
6000P
resi
ón(p
si)
Tas
a de
pro
ducc
ión
(bpd
)
13
calculando iterativamente la presión y tasa de flujo, cumpliendo con los principios de
conservación mencionados, sujeto a ciertas condiciones iniciales y de borde.
El proceso de validación de los diferentes modelos demostró que existe un excelente ajuste
entre los resultados obtenidos con el simulador StimFrac® y los reportados en casos de estudio de
la literatura. Además, se evaluó la rentabilidad de la aplicación de un tratamiento de estimulación,
bajo condiciones representativas de la industria petrolera, a través de la ejecución acoplada de los
modelos de Fracturamiento Hidráulico, post-fractura y económico.
Nomenclatura
A : Área de la sección transversal de la fractura
Bo : Factor volumétrico del petróleo
C : Coeficiente de pérdida por filtración (leak-off)
Cp : Concentración del agente apuntalante
pC : Concentración normalizada del agente apuntalante
COSTFIX : Costos fijos
CPROP : Costo del agente apuntalante por unidad de volumen
CPOT : Costo de la potencia consumida
CFLD : Costo del fluido por unidad de volumen
ct : Compresibilidad total de la formación
d : Diámetro del agente apuntalante
Dc : Factor de descuento continuo
E : Modulo de Young
Hp : Altura de la zona productiva
H : Altura de la fractura
h : Mitad de la altura de la zona productiva
Hw : Altura de la fractura en el pozo
IMP : Tasa impositiva por barril de petróleo producido
K : Permeabilidad de la formación
KI : Factor de intensidad de esfuerzo
KIC : Rigidez de la formación
Kp : Permeabilidad de agente apuntalante
Kf : Índice de consistencia del fluido
L : Longitud de la fractura
n : Índice de comportamiento del fluido
Pf : Presión del fluido
P : Presión del fluido por encima de p
Pw : Presión en el pozo
Pwf : Presión del flujo en el fondo del pozo
Pi : Presión estática del área de drenaje
14
Q : Tasa volumétrica de flujo
Qi : Tasa de inyección del fluido fracturante
rw : Radio del pozo
s : Factor de daño en el pozo
S : Precio del barril de petróleo
Sp : Coeficiente de perdida por expansión de la longitud (Spurt loss)
S1 : Diferencia de esfuerzos provista por la capa superior (u -p)
S2 : Diferencia de esfuerzos provista por la capa inferior (l -p)
t : Tiempo
Vs : Velocidad de descenso del agente apuntalante
VPN : Valor presente neto
Ww : Ancho de la fractura en el pozo
x : Coordenada longitudinal
Símbolos
: Tiempo de apertura de la fractura
: Viscosidad del petróleo
: Penetración de la fractura en la capa superior
: Penetración de la fractura en la capa inferior
p : Densidad del agente apuntalante
f : Densidad del fluido
: Relación de Poisson
t : Paso de tiempo
: Porosidad de la formación
Referencias
1. Simonson, E.E., Abou-Sayed, A.S., and Clifton, R.J., “Containment of Massive Hydraulic
Fractures,” paper SPE 6089 presented at the SPE-AIME 51st Annual Technical Conference
and Exhibition, held in New Orlands, Oct. 3-6, 1976, pp. 27-32.
2. Cleary, M.P., Keck, R.G., and Mear, M.E.: ”Microcomputer models for the design of
Hydraulic Fractures,” paper SPE 11628 presented at the SPE/DOE Low permeability Gas
Reservoir Symposium held in Denver March 14-16, 1983, pp. 257-270.
3. Palmer, I. D., and H. B. Covel, “Three-Dimensional Hydraulic Fracture propagation in the
Presence of Stress Variation,” paper SPE 10849 presented at the SPE/DOE/GRI
Unconventional Gas Recovery Symposium held in Pittsburgh, PA, May 1982, pp. 870-878.
4. Palmer, I.D.: “Numerical Solution for Height and Elongated Hydraulic Fractures,” paper SPE
11627 presented at the SPE/DOE Symposium on Low Permeability held in Denver,
Colorado, March 14-16, 1983, pp. 249-256.
5. Palmer, I.D., and Craig, H.R.: “Modeling of asymmetric Vertical Growth in Elongated
Hydraulic Fractures and Aplication to first MWX Stimulation,” paper SPE 12879 presented at
the SPE/DOE/GRI Unconventional Gas Recovery Symposium held in Pittsburgh, PA, May
13-15, 1984, pp. 453-462.
6. Usman A. : ”A Practical Hydraulic Fracturing Model Simulating Necessary Fracture
Geometry, Fluid Flow and Leakoff, and Proppant Transsport”, paper SPE 12880 presented at
the SPE/DOE/GRI Unconventional Gas Recovery Symposium held in Pittsburgh, PA, May
13-15, 1984, pp. 463-470.
15
7. Palmer, I.D., and Luiskutty, C.T.: “A Model of the Hydraulic Fracturing Process for
Elongated Vertical Fractures and Comparisons of Results with other Models,” paper SPE
13864 presented at the Low Permeability Gas Reservoir Symposium, Denver, May 19-22,
1985 , pp. 145-161.
8. Advani, S.H., Khattab, H., and Lee, J.K.: “Hydraulic Fractures Geometry Modeling,
Prediction, and Comparasions,” paper SPE 13863 presented at the SPE/DOE Low
Permeability Gas Reservoir Symposium held in Denver, May 19-22, 1985, pp. 135-144.
9. Morales, R.H., “Microcomputer Analysis of Hydraulic Fracture Behavior Using a Quasi 3D
Simulator,” paper SPE 15305 presented at the Symposium on Petroleum Industry Application
of the Society of Petroleum Engineers held in SilverCreek, CO, June 18-20, 1986, pp. 203-
210.
10. Settari, A., and Cleary, M.: “Development and Testing of a Pseudo-Three-Dimensional
Model of Hydraulic Fracture Geometry,” paper SPE 10505 presented at the SPE Symposium
on Reservoir Simulations held in New Orleans, Jan. 31-Feb. 3, 1986, pp. 331-337.
11. Meyer, B. R.: “Design Formulae for 2D and 3-D Vertical Hydraulic Fractures: Model
Comparison and Parametric Studies”, paper 15240 presented at the Unconventional Gas
Technology Symposium held in Louisville, KY, May 18-21, 1986, pp. 391-408.
12. Bouteca, M.J. : “Hydraulic Fracturing Model Based on a Three-Dimensional Closed Form:
Tests and Analysis of Fracture Geometry and Containment,” paper SPE 16432 presented at
the Low Permeability Reservoir Symposium held in Denver, Colorado, May 18-19, 1987, pp.
453-466.
13. Meyer, B.R.: “Three dimensional Hydraulic fracturing simulation on personal computers:
Theory and comparison studies,” paper SPE 19329 presented at the 1989 SPE Eastern
regional Meeting held in Molrgantown, West Virginia, Oct. 24-27, 1989, pp. 213-230.
14. Weng, X.: “Incorporation of 2D Fluid Flow into a Pseudo-3D Hydraulic Fracturing
Simulator,” paper SPE 21849, November 1992, pp. 331-337.
15. Chen, Z.X. and Chen, M.: “Analysis of Hydraulic Fracture Behavior With a Three
Dimensional Microcomputer Simulator,“ paper SPE 38059 presented at the SPE Asia and
Gas Conference held in Kuala Lumpur, Malaysia, April 14-16, 1997, pp. 351-358.
16. Gidley, J., Holditch, S., Nierode, D., Veatch, R.. “Recent Advances in Hydraulic Fracturing”.
First Printing Henry L Doherty Memorial Fund of AIME. SPE Monograph series Vol. 12. pg.
95-108.
17. Domselaar V., Visser. “Proppant Concentration in a Final Shape of Fractures Generated by
Viscous Gels” Soc. of Pet. Eng. J., pp. 531-536, December 1974.
18. Daneshy, A., “Numerical Solution of sand Transport in Hydraulic Fracturing”. J. Pet. Tech.
(Nov. 1978), 132-140.
19. Cinco Ley, H. y Samaniego V.F. y Domínguez A.N.: “Transient Pressure Behavior for a Well
with a Finite Conductivity Fracture”, Society of Petroleum Engineers Jour. (agosto, 1978)
253-264.
20. Earlougher, R.C. “Adavances in Well Test Analysis”, Monograph series, Society of
Petroleum Engineers of AIME. Dallas (1977).
21. Ralph, W., Veatch Jr., W. “Economics of Fracturing: Some Methods, Examples and Case
Studies”. SPE paper 15509 presented at SPE 61th Annual Technical Conference and
Exhibition held in New Orleans, Atlanta, USA, 1986, pp. 1-16.
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