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Ec. Constitutivas y Ley deviscosidad de Newton
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Forma general de una ec. constitutiva
para un fluido viscoso
)(Dτ
f =
• La función puede ser extremadamente complicada y de hecho existeuna disciplina (Reología) dedicada al estudio de las ecuaciones
constitutivas para fluidos.
• No existe una única relación para diferentes fluidos, pero si existentipos de fluidos que se pueden representar bien por una misma relación
constitutiva. En general, esto depende mucho del tipo de flujo y losparámetros de trabajo.
• Por más complicada que sea f , siempre es posible linealizar la relaciónmediante series de Taylor y con esta relación lineal, aproximar el
comportamiento de algunos fluidos, al menos en cierto rango deparámetros.
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Fluidos Newtonianos
y
x
vx(y)
τ
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Fluidos Newtonianos
y
x
vx(y) τ ∝ ∂vx∂y
τ
γ̇ = ∂vx/∂y
τ = T yx = T xy
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τ = µ∂vx
∂y
Fluidos Newtonianos
y
x
vx(y) τ ∝ ∂vx∂y
τ
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Fluidos Newtonianos
y
x
Coeficiente de viscosidad dinámica o viscosidad
vx(y)
τ = µ∂vx
∂y
τ ∝ ∂vx∂y
τ
µ: viscosidad dinamicaν = µ/ρ: viscosidad cinematica
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Fluidos Newtonianos
Formalmente, un fluido Newtoniano es aquel que reúne las siguientes
características:
1. las componentes del Tensor de Tensiones Viscosas dependen
linealmente de las componentes del Tensor Tasa de Deformación en el
instante de tiempo actual.
2. el fluido es isotrópico, esto es, sus propiedades son independientes dela orientación con la que se las examine.
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Fluidos Newtonianos
Formalmente, un fluido Newtoniano es aquel que reúne las siguientes
características:
1. las componentes del Tensor de Tensiones Viscosas dependen
linealmente de las componentes del Tensor Tasa de Deformación en el
instante de tiempo actual.
2. el fluido es isotrópico, esto es, sus propiedades son independientes dela orientación con la que se las examine.
La expresión más general que cumple las premisas anteriores es
τ = (κ− 2/3µ)tr(D)I + 2µD
= (κ− 2/3µ)(∇ · v)I + µ[∇v + (∇v)T]
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Fluidos Newtonianos
Formalmente, un fluido Newtoniano es aquel que reúne las siguientes
características:
1. las componentes del Tensor de Tensiones Viscosas dependen
linealmente de las componentes del Tensor Tasa de Deformación en el
instante de tiempo actual.
2. el fluido es isotrópico, esto es, sus propiedades son independientes dela orientación con la que se las examine.
La expresión más general que cumple las premisas anteriores es
τ = (κ− 2/3µ)tr(D)I + 2µD
= (κ− 2/3µ)(∇ · v)I + µ[∇v + (∇v)T]
µ: viscosidad dinamicaκ: viscosidad dilatacional
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Tensor de Tensiones para fluidos
Newtonianos Forma general
Para fluidos incompresibles
T = [−
p + (κ−
2/3µ)tr(D)]I + 2µD= [− p + (κ− 2/3µ)(∇ · v)]I + µ[∇v + (∇v)T]
(∇ · v = 0)T = − pI+ 2µD
= − pI+ µ[∇v + (∇v)T]
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Ecuación de Navier-Stokes
Cuando el fluido es Newtoniano e incompresible
y µ es constante
ρ∂ v
∂t +v · ∇v
= ρg−∇
p + µ∇
2v
ρDv
Dt = ρg + ∇ · (− pI + 2µD)
ρ∂ v
∂t + v · ∇v
= ρg−∇ p + µ∇ ·∇v + ∇v
T = ρg−∇ p + µ
∇ · (∇v) + ∇ ·
∇vT
= ρg−∇ p + µ
∇
2
v + ∇ (∇ · v)
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Ecuación de Euler
Para el caso de un fluido (o flujo) invíscido ( µ =0,también denominado fluido ideal), la ecuación de
Navier-Stokes se reduce a
denominada Ecuación de Euler
ρDv
Dt
=−∇ p+ρg