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Elaborado por M. Sc. Josué Pérez
Superposición e Interferencia de Ondas
Interferencia:
Es el resultado matemático cuando dos pulsos se encuentran.
Superposición:
Consiste en que después de chocar los dos pulsos cada uno sigue su propio
camino y cada uno conserva su propia forma.
El principio de superposición:
Este nos indica que cuando dos o más ondas se mueven en el mismo medio
lineal, el desplazamiento neto del medio en cualquier punto es igual a la suma algebraica de
los desplazamientos causados por todas las ondas.
Elaborado por M. Sc. Josué Pérez
Reflexión de onda: Una onda al encontrarse con un obstáculo que no le permite pasar se
refleja. Si no hay pérdida de energía la onda incidente es igual a la reflejada.
Ecuación de Onda Transversal
Si en la coordenadas (x,y), y se encuentra dada por la función
, al
tenemos que , sustituyendo encontramos que
Donde
, número de ondas angular
Las ecuación con corrimiento horizontal se definen como
, está ecuación depende de la posición “x” y tiempo “t”.
Onda Incidente
Onda reflejada
A
Elaborado por M. Sc. Josué Pérez
se obtiene con la ecuación de corrimiento horizontal en “x” si se determina por
, para la ecuación en función de la posición.
se obtiene con la ecuación de corrimiento horizontal en “x” si se determina por
, para la ecuación en función de la posición.
Valor
de Ecuación Valor
de
Cómo
va la
gráfica
respecto
a la
original
Gráfica
Positivo
Positivo Atrás
Positivo
Negativo Atrás
Negativo
Negativo Delante
Negativo
Positivo Delante
En la primera gráfica el punto que corresponde a y=1 es cuando x=-1.57, en la segunda
gráfica el punto que corresponde a y=1 es cuando x=4.8, uno está x detrás y el otro está x
delante.
Elaborado por M. Sc. Josué Pérez
Superposición Matemáticamente hablando
Caso en que las dos ondas tienen la misma A, k, y ω:
Suponga dos ondas que viajan hacia la derecha, y tienen diferente fase.
1 1 2 2
1 2
1 2
1 2
sin sin
sin sin
sin sin
r
r
r
y A kx t y A kx t
y y y
y A kx t A kx t
y A kx t kx t
Utilizando la identidad trigonométrica
1 2
sin 2sin cos2 2
sen
kx t kx t
Sustituyendo obtenemos
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
sin sin
2 sin cos2 2
2 sin cos2 2
2 sin2
r
r
r
r
y A kx t kx t
kx t kx t kx t kx ty A
kx t kx t kx t kx ty A
kx kx t ty A
1 2cos
2
kx kx t t
1 2 1 2
1 2 1 2
2 22 sin cos
2 2
2 sin cos2 2
r
r
kx ty A
y A kx t
1 2 2 12 sin cos2 2
ry A kx t
2 sin cos2
2 sin cos2
2 cos sin2
r
r
r
y A kx t
y A kx t
y A kx t
Elaborado por M. Sc. Josué Pérez
= Diferencia de fase.
1 2
2
=Promedio de las constantes de fase
2 cos2
A
=Amplitud de la onda resultante
Ejemplo
Calcule la onda resultante si
1 23.5 sin 2 3 3.5 sin 2 33 4
rad rady m m x t y m m x ts s
Ondas estacionarias
Si suponemos dos ondas que viajan en direcciones contrarias y se superponen. Observamos el
siguiente comportamiento:
0t 4
Tt
2
Tt
3
4
Tt t T
Unas características que surgen de esta superposición son:
1) En la cuerda hay algunos puntos denominados nodos, donde el desplazamiento es cero en
todo momento.
2) Entre los nodos se encuentran antinodos don el desplazamiento oscila con la máxima
amplitud.
Onda Estacionaria:
Se llama onda estacionaria, a un patrón de nodos y antinodos. Su ecuación es
2 sin cosry A kx t
Elaborado por M. Sc. Josué Pérez
Ondas estacionarias en Cuerdas
Supongamos una cuerda de longitud L que está sujeta por ambos extremos. Una onda
estacionaria se establece con un nodo en ambos extremos y un antinodo en la mitad. En
una onda estacionaria en una cuerda, se producen distintos patrones de vibración. Estos
patrones de vibración se llaman modos de vibración.
¿Por qué 1
2L ? Primero recordemos que
es una longitud de onda: una longitud de
onda es la distancia que hay una cresta y
otra. Es la separación que existe entre dos
puntos que se comportan de manera similar
simultáneamente. Es decir que de un tren de
ondas periódicas es la distancia entre dos
partículas cualesquiera que estén en fase.
Ahora si observamos el dibujo del primer
modo natural vemos la siguiente situación:
Primer Modo de Vibración
A la frecuencia f1 también se le llama frecuencia fundamental.
n=0
n=1
12
2L L
1 1 1
1
2 2
v v Fv f f f f
L L
L
λ
Elaborado por M. Sc. Josué Pérez
Segundo Modo de Vibración y Primer Sobre tono
Tercer Modo de Vibración o Segundo Sobre tono
En general tenemos entonces que
2
2
nn
n LL
n
2 2n n n
n
v v n Fv f f f f
L L
n
1nf nf , donde n es la cantidad de antinodos.
n=2
L
2 2 2
1v v Fv f f f f
L L
n=3
3 2
2 3L L
3 3 3
3
2 2
3
v v Fv f f f f
LL
Elaborado por M. Sc. Josué Pérez
Ejemplo
Una cuerda de piano mide 1.10 m de longitud y tiene una masa de 9.00 g (a) ¿A qué tensión
debe someterse la cuerda si se desea que vibre a una frecuencia fundamental de 131 Hz? (b)
¿Cuáles son las frecuencias de los primeros cuatro armónicos?
Datos:
L=1.10 m
m= 9.00 g= 0.009 kg
f1= 131 Hz
¿Qué buscamos?
Fuerza y frecuencias primeros 4 armónicos
Ecuaciones
Desarrollo
Primero encontramos la densidad línea
Calculamos la longitud de onda
Se puede calcular la velocidad
Como
Para el inciso “b”
Respuesta:
(a) La fuerza que se aplica a la cuerda es de 679.42 N. (b) el segundo armónico tiene
una frecuencia de 262 Hz, el tercero de 393 Hz y el cuarto de 524 Hz.
Elaborado por M. Sc. Josué Pérez
Ondas Sonoras en Tubos
Cuando el tubo es finito y de longitud L. El extremo está abierto a la atmosfera.
Se produce un patrón de resonancia dentro del tubo, tenemos una oda estacionaria
Nuevamente se repite la situación que observamos en la onda estacionaria en una cuerda donde
L=λ/2
Modos Naturales de las Ondas Estacionarias
Primer Modo de Vibración
A la frecuencia f1 también se le llama frecuencia fundamental.
L
λ
n=1
12
2L L
1 1 1
1
2 2
v v Fv f f f f
L L
Elaborado por M. Sc. Josué Pérez
Segundo Modo de Vibración y Primer Sobre tono
Tercer Modo de Vibración o Segundo Sobre tono
En general tenemos
entonces que
2
2
nn
n LL
n
2
2
n
n
n
n
vv f f
vf
L
n
n Ff
L
1nf nf
n=2
L
2 2 2
1v v Fv f f f f
L L
n=3
3 2
2 3L L
3 3 3
3
2 2
3
v v Fv f f f f
LL
Elaborado por M. Sc. Josué Pérez
Caso en que el tubo está cerrado a la superficie
Primero observemos el siguiente dibujo
En el podemos observar como la longitud del
tubo representa un cuarto de la longitud de onda.
Es por ese motivo que L=1/4λ
Primer Modo de Vibración
A la frecuencia f1 también se le llama frecuencia fundamental.
Tercer Modo de Vibración o Segundo Sobre tono
Quinto Modo de Vibración o Segundo Sobre tono
λ
L
L
n=1
14
4L L
1 1 1
1
4 4
v v Fv f f f f
L L
n=3
3 4
4 3L L
3 3 3
3
4 4
3
v v Fv f f f f
LL
n=5
5 4
4 5L L
5 5 5
5
4 4
5
v v Fv f f f f
LL
Elaborado por M. Sc. Josué Pérez
En general tenemos
entonces que
4
4
nn
nL
n
4
4
n
n
n
n
vv f f
vf
L
n
n Ff
L
Para n= 1, 3, 5, 7, …
Porque no tenemos los números impares, sabemos que cuando una onda choca contra una pared en
el punto de contacto tendremos siempre un nodo, entonces siempre en la parte sellada del tubo
tendremos que dibujar un nodo. Observemos como se va haciendo en la figura siguiente:
Dibujemos n=1
n=1
Si tratamos de dibujar n=2 obtenemos lo siguiente
Observemos que en este caso no termina en nodo sino
antinodo, y esto contradice lo que veníamos planteando que
en el punto de contacto debe haber un nodo
Ahora dibujemos n=3 Ahora dibujemos n= 4
Elaborado por M. Sc. Josué Pérez
Esto concluimos que los pares no podemos dibujarlos ya que no cumplen con lo definido antes, que
cuando un onda toca un punto de contacto en una pared en ese punto debe de haber siempre un
nodo y no un antinodo. En todos los caso la longitud del tubo es la misma, únicamente hicimos un
acercamiento a la imagen.
Rapidez en Ondas longitudinales
Si viaja la onda en una barra larga y solida la velocidad es igual a
Si viaja en un liquido o un gas la velocidad es igual a
Ejemplo:
La ecolocalización es una forma de percepción sensorial utilizada por los aniamles como
los murciélagos, las ballenas y las mariposas. El animal emite un pulso sonoro (de una
onda longitudinal) que choca contra los objetos y cuyo reflejo es detectado por el animal.
Las ondas de ecolocalización emitidas por las ballenas tiene una frecuencia cercanas a los
200,000 Hz. (a) ¿Cuál es la longitud de onda de la onda de ecolocalización de la ballena?
(b) si un obstáculo está a 100 m de la ballena. ¿Cuánto tiempo después de que esta emite
una onda podrá detectar su reflejo? Considere el módulo volumétrico de 2.0 x109 N/m
2 y la
densidad de 1.025x103 kg/m
3.
Datos:
B=2.0 x109 N/m
2 ρ=1.025x10
3 kg/m
3 f= 200,000 Hz x=100 m
Ecuaciones
Desarrollo
Primero se determina la velocidad en el agua usando la ecuación para la misma
Se multiplica por dos ya que va y viene el sonido.
Respuesta
La longitud de onda es de 7.00 mm y el tiempo es de 0.41s.
Elaborado por M. Sc. Josué Pérez
Energía Transportada por las ondas
La energía transportada por las ondas es proporcional al cuadrado de la amplitud.
Intensidad: se define como la potencia transportada a través de una unidad de área
perpendicular a la dirección del flujo de energía.
Intensidad en onda esférica
En el caso de una onda esférica que se transmite desde una
fuente puntual en el espacio libre (sin obstáculos), cada frente
de onda es una esfera de radio r. En este caso, la intensidad
Acústica es inversamente proporcional al área del frente de
onda (A), que a su vez es directamente proporcional cuadrado
de la distancia a la fuente sonora. Y queda dado por
Dos intensidades a diferentes distancias desde una fuente de
potencia constante se encuentran relacionadas por
Energía:
La energía queda definida por
Ejemplo:
La intensidad de una onda P de terremoto que viaja a través de la tierra y se detecta a 100
km de la fuente es de 1.0x106 W/m
2. ¿Cuál es la intensidad de esta onda si se detecta a 400
km de la fuente?
Datos
r1=100 km I1=1.0x106 W/m
2 r2=400 km
Ecuaciones
Desarrollo
Respuesta
La intensidad es de 6.3x104 W/m
2
Elaborado por M. Sc. Josué Pérez
Las ondas con las mismas frecuencias y velocidad viajan a lo largo de dos cuerdas
idénticas. La potencia transmitida hacia abajo en la cuerda una es de 0.30 mW. Si las
ondas en la cuerda dos tienen una amplitud es 1.6 veces mayor de la de las ondas de la
primera cuerda, ¿Cuánta potencia se transmite a lo largo de la cuerda dos?
Datos
P=0.30 mW
Ecuaciones
Desarrollo
Se pueden escribir las potencias usando la relación de intensidad.
Respuesta
La potencia es de 0.77 mW.
Un altoparlante en un poste levantado en un campo de pasto alto genera un sonido de alta
frecuencia de una intensidad de 1.0x10-5
W/m2 a la posición de los oídos de una persona
que está ubicada a 8.0 m directamente abajo. Si la persona camina alejándose del pose de
modo que esté a 24m del altoparlante, ¿cuál es la intensidad del sonido en la nueva posición
de sus oídos?
Datos:
I1= 1.0x10-5
W/m2
r1=8 m r2= 24 m
Ecuaciones
Desarrollo
Respuesta
La intensidad es de 1.1x10-4
W/m2
Una bocina considerada una fuente puntual se encuentra en el centro de un parque. Un
observador se encuentra a una cierta distancia de la bocina, y detecta el sonido con una
intensidad de 5 mW/m2. Se aleja 6 m y la intensidad del sonido se percibe 3mW/m
2.
Calcule la potencia de la bocina.