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5/13/2018 Ecuaciones Cap 3 - slidepdf.com
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CAPITULO 3. ECUACIONES DIF. ORDEN SUPERIOR
Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Realizado: JAVIER O. GUERRERO R.
Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR
CAPITULO 3.
ECUACIONES
DIFERENCIALES
DE ORDEN SUPERIOR
Ahora se estudiaran las ecuaciones diferenciales (ED) de segundo orden o orden superior. En este
capítulo se examinara una parte de la teoría en que se basan las ecuaciones diferenciales lineales.Después, se aprenderá como resolver ecuaciones diferenciales de orden superior.
CONTENIDO DEL CAPITULO
3.1 TEORIA PRELIMINAR
Problemas de Valor Inicial (PVI) y de Valores en la Frontera
TEOREMA: Existencia de una Solución Única
PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
TEOREMA: Criterio para soluciones Linealmente Independientes (LI)
TEOREMA: Solución general para ED homogéneas.
3.2 PRINCIPIO DE REDUCCION DE ORDEN
3.3 EDOL HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
3.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS
3.5 METODO DEL ANULADOR
3.6 VARIACION DE PARAMETROS
3.7 ECUACION DE CAUCHY-EULER
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CAPITULO 3. ECUACIONES DIF. ORDEN SUPERIOR
Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Realizado: JAVIER O. GUERRERO R.
Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR
3.1. TEORIA PRELIMINAR
PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y DE VALORES EN LA FRONTERA
Para una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden, un problema de valor inicial seria:
Resolver
Sujeta:
Recuerde que para un problema como este se busca una función definida en algún intervalo I que
contenga una que satisfaga la ecuación diferencial y las n condiciones iniciales especificadas en
Conociendo que para un problema de valor inicial de segundo orden, una curva de solucióndeberá atravesar el punto y tener una pendiente en ese punto.
TEOREMA: EXISTENCIA DE SOLUCION UNICA
Sean continuas en un intervalo I, sea para todo
.
Si es cualquier punto en el intervalo existe una solución en dicho intervalo del
problema de valor inicial representado por y y esta solución esUNICA.
Ejemplo 1. Solución Única de un PVI
El problema de valor inicial
Posee la solución trivial y=0. Dado que la ecuación de tercer orden es lineal con coeficientes
constantes, se deduce que todas las condiciones del teorema anterior se cumplen. Por lo tantoY=0 será la UNICA solución en cualquier intervalo que contenga x=1.
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CAPITULO 3. ECUACIONES DIF. ORDEN SUPERIOR
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NOTAS:
Para todos los enunciados siguientes se cumple:i. Todos los coeficientes son continuos
ii. es continuaiii.
Un OPERADOR DIFERENCIAL es una TRANSFORMACION LINEAL
NOTACIONES
PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
Sean soluciones de la EDO de orden n en un intervalo I. entonces la combinaciónlineal de las tambien es una solución en el intervalo.
Combinación Lineal: Son ctes arbitrarias con i= 1, 2, … , k
Corolario a) Un múltiplo constante
de una solución
de una EDOL homogénea
también es una solución.
b) y=0 es una solución trivial para una EDOL homogénea.
DEFINICION. Independencia o Dependencia Lineal
Son vectores
Combinación Lineal con escalares.
Todos los
son 0 Linealmente Independientes L.I
Sí Existe al menos un Linealmente Dependientes L.D
Dos funciones son L.D, si una es múltiplo escalar de la otra.
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TEOREMA: CRITERIO PARA SOLUCIONES L.I
Sean ; n soluciones de la EDOL Homogénea de orden en un intervalo I . entonces elconjunto de soluciones es L.I. en el intervalo I, sí y solo sí el WRONSKIANO es
diferente de cero para todo x.
TEOREMA: SOLUCION GENERAL PARA E.D HOMOGENEAS
Sean
) un conjunto fundamental de soluciones de las EDOL Homogénea de orden n
en un intervalo I. Entonces la solución general en el intervalo es:
TEOREMA: SOLUCION GENERAL PARA E.D NO HOMOGENEAS
Sea cualquier solución particular de la EDOL NO Homogénea de orden n en un intervalo I y sea ) un conjunto fundamental de soluciones de la EDOL Homogénea asociada; entoncesla solución general es igual:
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0
3.2. PRINCIPIO DE REDUCCION DE ORDEN
A continuación se examinara un método para determinar soluciones cuando los coeficientes de laED de (1) son constantes. Este método que es un sencillo ejercicio de algebra, se descompone enalgunos casos y solo produce una solución única de la ED. Resulta que se puede construir unasegunda solución de una ecuación homogénea (1) (aunque los Coeficientes de (1) seanvariables) siempre y cuando se conozca una solución no trivial de de la ED.
La idea básica de esta sección es que la ecuación lineal de segundo orden (1) se puede reducir auna ED de primer orden mediante una sustitución que involucre la solución conocida . Unasegunda solución de (1) aparece después que esta ED de primer orden se resuelve.
PROCEDIMIENTO:
Supongamos es una solución conocida.
Sustituyendo en (2), se tiene:
Sea
Reemplazando:
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Luego es decir:
Ejemplo.
Resolver:
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3.3. ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Se ha visto que la ecuación que la ED lineal de primer orden , donde a es unaconstante, posee la solución exponencial
en el intervalo (-
). Por lo tanto, es
natural pensar si existen soluciones exponenciales para las ecuaciones lineales homogéneas deorden superior.
Donde los coeficientes , i = 0, 1,…, n son constantes reales y . Lo sorprendente es quetodas las soluciones de estas ecuaciones de orden superior son funciones exponenciales o estánconstruidas a partir de funciones exponenciales.
ECUACION AUXILIAR. Comencemos por considerar el caso especial de una ecuación de segundoorden:
Supongamos: es solución de
Sustituyendo en se tiene:
Entonces se tiene:
Analizando el discriminante se obtiene 3 casos que se estudiaran a continuación.
CASO 1. Raíces Reales Distintas
Bajo el supuesto que la ecuación tienes 2 raíces reales distintasy , encontramos 2soluciones
CASO 2. Raíces Reales Repetidas
Cuando , se obtiene solo una solución exponencial . Del análisis efectuado en
la seecion anterior del PRINCIPIO DE REDUCCION DE ORDEN se deduce una segunda solución de laecuación:
Entonces la solución general es:
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CASO 3. Raíces Conjugadas Complejas
Si y son complejas, entonces podemos escribir: y obtenemos dos soluciones:
Aplicando la formula de Euler:
Reemplazando:
Ejemplo.
Resolver:
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3.4. COEFICIENTES INDETERMINADOS
Para resolver una ecuación diferencial no homogénea
i. Encontrar la función complementaria ; para esto se debe solucionar la ecuaciónhomogénea asociada como si se tratara de coeficientes constantes.
ii. Encontrar cualquier solución de la ecuación no homogénea
PROCEDIMIENTO PARA HALLAR
1. Suponer que tiene la misma forma de 2. Escribir
3. Derivar tantas veces como el orden de la ecuación.4. Reemplazar el ecuación.5. Por igualación de coeficientes de potencias iguales encontramos el valor de los
parámetros.6. Reescribir con los valores de los parámetros encontrados.7. Escribir la solución general:
Ejemplo.
Resolver: Solución:
1. Resolver la Ec. Homogénea asociada
2. Encontrar la solución particular, suponemos de la forma:
Reemplazando:
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Igualamos términos semejantes:
3. Escribimos la solución general:
En la siguiente tabla se ilustran algunos ejemplos específicos de g(x) junto con la formacorrespondiente de la solución particular. Dando por hecho que en la solución particular asumida
ninguna función es duplicada por una función en la función complementaria.
g(x) Forma de
Constante A
5x+7
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Forma de
3.5. MÉTODO DEL ANULADOR
Reescribiendo:
OPERADORES ANULADORES
Ejemplo. Resolver
1. Resolver la homogénea asociada.
2. Reescribir la Ec. en términos de Operadores
Operador anulador=
Donde: m=0 es una raíz de multiplicidad algebraica =3m=-2 es una raíz de multiplicidad algebraica =1m=-1 es una raíz de multiplicidad algebraica =1
Luego:
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Sustituyendo en la Ec.
Igualando términos semejantes:
3.6. VARIACION DE PARAMETROS
El método de variación de parámetros usado, en el capítulo 2 para encontrar una solución
particular de una ecuación diferencial lineal de primer orden, es aplicable también a ecuaciones de
orden superior. La variación de parámetros tiene una ventaja clara sobre los demás métodos en
cuanto a que siempre produce una solución particular de a condición de que la ecuación
homogénea asociada se pueda resolver. Además este método a diferencia de los coeficientes
indeterminados no está limitado a casos donde la función de entrada es una combinación de las
funciones enunciadas anteriormente, ni se circunscribe a ecuaciones diferenciales con coeficientes
constantes.
se obtienen por la complementaria
Por la regla de Cramer, la solución del sistema seria: Puede expresarse en términos de determinantes:
Las funciones y se encuentran integrando los resultado de . El determinante w sereconoce como el WRONSKIANO de . Por independencia lineal de en el intervalo I,
sabemos que para toda x en el intervalo.
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Ejemplo. Resolver:
1. Resolver la Ec. Homogénea Asociada
2. Encontrar la solución particular
3. Escribimos la solución general
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Igual Igual
3.7. ECUACION DE CAUCHY – EULER
La relativa facilidad con que se encontraron soluciones explicitas de ecuaciones diferencialeslineales de orden superior con coeficientes constantes no se puede aplicar a ecuaciones
diferenciales lineales con COEFICIENTES VARIABLES. Más adelante se verá que cuando unaecuación diferencial lineal tiene coeficientes variables, generalmente lo mejor que se puedeesperar es encontrar una solución en forma de serie infinita.
No obstante, el tipo de ecuación diferencial considerada en esta sección es una excepción a estaregla; es una ecuación con coeficientes variables cuya solución general puede expresarse siempreen términos de potencias de x, senos, cosenos y funciones logarítmicas y exponenciales. Ademássu método de solución es muy similar al que se usa en las ecuaciones con coeficientes constantes.
Cualquier ecuación diferencial de la forma:
Donde los coeficientes son constantes se conoce como Ecuación de Cauchy-Euler ,ecuación de Euler o Ecuación Equidimensional . La característica observable de este tipo de
ecuación es que el grado k=n, n-1,…, 1, 0 de los coeficientes nominales coincide con el orden k
de diferenciación .
El procedimiento se inicia con un análisis detallado de las formas de las soluciones generales de laecuación homogénea.
Supongamos una solución Reemplazando en
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Como se vio en el método de coeficientes constantes, la solución de esta ecuación cuadráticamediante el análisis del discriminante presenta 3 casos:
CASO 1. Raíces Reales Distintas
CASO 2. Raíces Reales Repetidas
CASO3. Raíces Complejas Conjugadas
SOLUCION PARTICULAR.
También se puede resolver la ecuación no homogénea por
variación de parámetros, una vez determinada la función complementaria
Ejemplo. Resolver: Multiplicar por x o una potencia de x para llevarlaa Cauchy-Euler.
1. Resolver la Ec. Homogénea Asociada
Reemplazando:
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2. Solución Particular [Aplicando Variación de Parámetros]
3. Escribir la solución general
De este modo se da por terminado el capitulo 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR.
BIBLIOGRAFIA:
ZILL. Dennis, CULLEN. Michael. ECUACIONES DIFERENCIALES. Séptima Edición. McGraw Hill.
Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR
REALIZADO: JAVIER O. GUERRERO R.
I SEMESTRE 2010