Post on 22-Jul-2015
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Ecuaciones
Diferenciales resueltas
con Transformada de
Laplace
Matemáticas Avanzadas II
Yazmin Barrientos Galván
Elena Lizeth Guerrero Ibarra
8°”A” Ing. Tecnologías de la
Producción
Prof.: Lic. G. Edgar Mata Ortiz
En la siguiente presentación se muestra como se
resuelven Ecuaciones Diferenciales con el método
de Transformada de Laplace. Con ejemplos
obtenidos del libro de Ecuaciones Diferenciales
del autor Denis G. Zill.
Transformada de laplace Permite resolver ecuaciones diferenciales
lineales, mediante la transformación en
ecuaciones algebraicas con lo cual facilita su
estudio.
Ecuación Diferencial
Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones
matemáticas que establecen relaciones entre
variables independientes, dependientes y las
derivadas de ésta última. Las E.D. tienen diversas
clasificaciones, una de ellas indica que este tipo
de ecuaciones pueden ser: Ordinarias y Parciales
¿Como resolver?Encuentre la
incógnita 𝑦 𝑡que satisfaga una
ED y las condiciones
iniciales
Aplique la Transformada
de Laplace
La ED transformada
se convierte en una
ecuación
algebraica en 𝑦 𝑆 .
Resuelva la ecuación
transformada de 𝑌(𝑠)
Aplique la
transformada
inversa
Resuelva 𝑦 𝑡 del
PVI original
Nuestra meta inmediata es usar la transformada de Laplace
para resolver ecuaciones diferenciales.
Aquí hemos asumido que e–st f (t) → 0 cuando t → . De manera
similar, con ayuda de (6),
Ecuación Diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑡+ 3y = 13sen 2t, y 0 = 6
Solución:
Primero tomamos la transformada de cada
miembro de la ecuación diferencial :
𝐿𝑑𝑦
𝑑𝑡+ 3𝐿 𝑦 = 13𝐿 𝑠𝑒𝑛 2𝑡
Pero de (6), L 𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑠𝑌 𝑠 − 𝑦 0 = 𝑠𝑌 𝑠 − 6
Y de la parte d) del teorema 4.1
L 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 =2
𝑠2+4𝑒𝑠 𝑙𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑒 ∶
𝑠𝑌 𝑠 − 6 + 3𝑌 𝑠 =26
𝑠2 + 4𝑜 𝑠 + 3 𝑌 𝑠 = 6 +
26
𝑠2 + 4
Fracciones Parciales :
Las fracciones parciales cumplen una función
importante cuando se trata de encontrar las
transformadas inversas de Laplace.
Al resolver la ultima ecuación para
Y(s),obtenemos
Y(s)= 6
𝑠+3+
26
(𝑠+3)(𝑠2+4)=
6𝑠2+50
(𝑠+3)(𝑠2+4)
En base a que el polinomio cuadrático s2 +4
no se factoriza con números reales,
asumido en la descomposición de la
fracción parcial es un polinomio lineal en s:
=𝐴
𝑠+3+
𝐵𝑠 + 𝐶
𝑆2 + 4
Al poner el lado derecho de la igualdad sobre un
denominador común e igualar los numeradores se
tiene:
6s2+ 50 = A (s2+ 4) + (Bs + C)(s + 3).
Al establecer s= –3, de inmediato se produce A = 8.
Como el denominador no tiene más ceros reales,
igualamos los coeficientes de:
s2y s: 6 =A + B y 0= 3B + C.
Aplicando el valor de A en la primera ecuación se
tiene B=–2, y al usar después este último valor en la
segunda ecuación resulta C=6. Por lo tanto.
Y(s)= 6𝑠2+50
(𝑠+3)(𝑠2+4)=
8
𝑠+3+−2𝑠+6
𝑠+3
Aún no hemos terminado porque la última expresión
racional todavía tiene que escribirse como dos
fracciones. Pero esto se hizo en el ejemplo 2
mediante la división término a término. Con base en
(2) de ese ejemplo.
Y(t) = 8𝐿−11
𝑆+3− 2𝐿−1
𝑆
𝑆2+4+ 3𝐿−1
2
𝑆2+4
Se deduce en los incisos c), d) y e) del teorema 4.3 que la solución
del problema de valor
Inicial es
y(t) = 8e-3t - 2cos 2t + 3 sen 2t.
EXPLICACION DE LOS TEOREMAS
Esta función básica señalada
es la que tomamos para
realizar la ED del ejemplo.
Para realizar la
transformada inversa
tuvimos que
apoyarnos con las
funciones aquí
mostradas
Bibliografía