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S.KFVMLFDN DFÑVM L L LKFKJFJKKJ KJ FJKD KJDF JK JK
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Agradecemos a los excelentes estudiantes de la especialidad de Matemática, Física e Informática; por interactuar y comunicar sus aprendizajes; correspondiente a la asignatura de Fisica Cuántica, desarrollados en los años 2003, 2004 y 2005.
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SUMARIO
Hoja de Vida de Arthur Compton
Nociones teóricas del efecto Compton
Solución a los problemas de los autores:
Halliday – Resnick- Krane “FISICA” Vol. 2. 4ºEdición.CECSA.Mexico.1996 Serway – Beichner “FISICA” Tomo 2. 5ºEdición.Mc Graw Hill. Mexico.2001
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Arthur Compton
Arthur Holly Compton (n. Wooster, Ohio, 10 de septiembre de 1892 - † Berkeley, California, 15 de marzo de 1962). Físico y Premio Nobel estadounidense.
Sus estudios de los rayos X le llevaron a descubrir en 1922 el denominado efecto Compton. El efecto Compton es el cambio de longitud de onda de la radiación electromagnética de alta energía al ser difundida por los electrones. El descubrimiento de este efecto confirmó que la radiación electromagnética tiene propiedades tanto de onda como de partículas, un principio central de la teoría cuántica.
Compton nació en Wooster (Ohio) y estudió en el Wooster College y en la Universidad de Princeton. En 1923 fue profesor de física en la Universidad de Chicago. Durante su estancia en esta universidad, Compton dirigió el laboratorio en el que se produjo la primera reacción nuclear en cadena. Compton también desempeñó un papel destacado en el Proyecto Manhattan, la investigación que desarrolló la bomba atómica. Desde 1945 hasta 1953 Compton fue rector de la Universidad de Washington y después de 1954 fue catedrático de Filosofía Natural.
Por su descubrimiento del efecto Compton y por su investigación de los rayos cósmicos y de la reflexión, la polarización y los espectros de los rayos X compartió el Premio Nobel de Física de 1927 con el físico británico Charles Wilson.
Efecto Compton
Descubrimiento y relevancia histórica
El efecto Compton fue estudiado por el físico Arthur Compton en 1923 quién pudo explicarlo utilizando la noción cuántica de la radiación electromagnética como cuantos de energía. El efecto Compton constituyó la demostración final de la naturaleza cuántica de la luz tras los estudios de Planck sobre el cuerpo negro y la explicación de Albert Einstein del efecto fotoeléctrico. Como consecuencia de estos estudios Compton ganó el Premio Nobel de Física en 1927.
Este efecto es de especial relevancia científica ya que no puede ser explicado a través de la naturaleza ondulatoria de la luz. La luz debe comportarse como partículas para poder explicar estas observaciones por lo que adquiere una dualidad onda corpúsculo característica de la mecánica cuántica.
El efecto Compton consiste en el aumento de la longitud de onda de un fotón de rayos X cuando choca con un electrón libre y pierde parte de su energía. La frecuencia o la longitud de onda de la radiación dispersada depende únicamente de la dirección de dispersión.
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Los rayos X, dispersados en un blanco de grafito, fueron analizados con un espectrómetro de cristal giratorio, y la intensidad se midió con una cámara de ionización que generaba una corriente proporcional a la intensidad. El haz incidente consistía en rayos X monocromáticos de longitud de onda 0 = 0,071 nm.
Las graficas para los tres ángulos diferentes de cero presentan dos picos, uno en 0 y uno en | > 0 .El pico corrido en | es provocado por la dispersión de rayos X a partir de electrones
libres, y Compton predijo que dependería del ángulo de dispersión . Se llama corrimiento de
Compton :
Al factor h/mc , recibe el nombre de longitud de onda Compton : C =0,002 43 nm
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Es justo decir que estos resultados ¡fueron los primeros que realmente convencieron a la mayoría de los físicos de la validez fundamental de la teoría cuántica! Deducción de la ecuación de corrimiento Compton Es posible deducir la ecuación de corrimiento Compton suponiendo que el foton se comporta como una partícula y choca de manera clásica con un electrón libre inicialmente en reposo(figura):
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Paso 1 : Aplicando el principio de la conservación de la energía a este proceso produce:
Energía fotón incidente = Energía fotón dispersado + Energía electrón retroceso
e|
0
Khchc
Ya que el electrón puede retroceder a magnitudes de velocidad comparables con la de la luz , se
debe emplear la expresión relativista : 2
e
2
e cmcmK . Por consiguiente:
2
e
2
e|
0
cmcmhchc
(1)
Donde : 2
c
v1
1
Paso 2 : Aplicando la ley de la conservación del momentum a este choque, pero observando que se conservan las componentes de momentum x e y .
De la relación energía – momento : 22222 )mc(cpE
Cuando la partícula esta en reposo , p = 0 , asi que E = ER =mc2.Para la partícula que tiene masa cero , como los fotones, se establece m = 0 , y obtenemos : E = pc, de donde :
pcc
hhfE
Cancelando c , obtenemos :
h
p
Como la expresión relativista para el momentum del electrón que retrocede es : vmp ee ,
se obtienen las siguientes expresiones :
Componente x :
cos.vmcoshh
e|
0
(2)
Componente y :
sen.vmsenh
0 e| (3)
Relacionemos las siguientes ecuaciones :
Elevemos al cuadrado la Ec. (2)
Elevamos al cuadrado la Ec. (3)
) 4 .........( .......... cos cos '
cos '
2
) cos ( cos '
2 2 2 2 2 2
2 2
v m h h h
v m h h
e
e
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Elevamos al cuadrado la Ec. (3)
Sumemos Ec. (4) con Ec. (5):
De la ecuación (1), elevamos al cuadrado: 2
e
2
e|
0
cmcmhchc
2
e
2
e
0
cmcm'
hh
22
0
|
|
0
2
||
0
22
0
mc)mc()mc)((h
2hh
2h
Ec(8)
Reemplazando la Ec(8) en la Ec(7):
22
0
|
|
0
2
||
0
22
0
|
0
22
|
2
0
mc)mc()mc)((h
2hh
2h
cosh
2hh
) 5 ....( .......... .......... .......... .......... ) cos 1 ( '
) ( '
2 2 2 2
2 2 2
2 2
|
sen v m h
v m sen h
vsen m sen h
e
e
e
Sen2
)7(Ec...............................................cmcmcos'
h2
'
hh
1cmcos
'
h2
'
hh
)6(doreemplazan1c
v
c
v1
1si
)6(Ec.............................vmcos'
h2
'
hh
sencosvmcos'
h2
'
hh
senvmcosvmcos'
h
'
hcos
'
hcos
'
h2
h
2
e
2
e
222
0
2
222
e
2222
0
2
222
2
2
2
e
0
222
0
1
222
e
222
0
22
e
22
e
2
22
2
2
0
22
0
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)mc)((h
2cosh
2h
2 0
|
|
0
|
0
2
|
0
2
Simplificando:
mc)(coshh 0
|
Ordenando:
0
|)cos1(mc
h
Por lo tanto :
l.q2.d
Ejemplos :
1. Se dispersan rayos X de longitud de onda 0 = 0,200 nm de un bloque de
material. Los rayos X dispersados se observan a un ángulo de 45º en relación con el haz incidente .Calcule su longitud de onda. Solución: Sea
)º45cos1()s/m103)(kg1011,9(
s.J10626,6831
34
0
|
m1010,7 13 0,000 710 nm
Por lo tanto : 0
| 0,200 710 nm
2. De un blanco de carbono se dispersan rayos X con pm1000 .La radiación
dispersada se observa a 90º del haz incidente. a) ¿Cuál es el corrimiento Compton ? b) ¿Qué energía cinética se imprime al electrón de retroceso? Solución: a) Sea
)º90cos1()s/m103)(kg1011,9(
s.J10626,6831
34
0
|
m1043,2 12 2,43 pm
c) Recordemos la ecuación : e|
0
Khchc
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Si se sustituye : | , obtenemos : )(
hcK
00
Reemplazando datos : K = 4,72 10-17J = 295 eV
51. Un fotón de rayos X en particular tiene una longitud de onda de 41,6 pm.
Calcule (a) la energía, (b) la frecuencia y (c) el ímpetu del fotón Solución
(a) Energía : 86,29J1048,0106,41
)103)(10626,6(hcE 14
12
834
KeV
(b) Frecuencia : Hz102,7Hz10072,0106,41
103cf 1820
12
8
(c) Ímpetu : s/m.kg1059,1s/m*kg10159,0106,41
10626,6hp 2322
12
34
55. Sobre electrones libres inciden fotones de 2,17 pm de longitud de onda . (a) Halle la longitud de onda de un fotón que se dispersa a 35º de la dirección incidente . (b) Haga lo mismo cuando el ángulo de dispersión es de 115º Solución
(a) 0
| = )º35cos1(mc
h = 2,87 pm
(b) 0
| = )º115cos1(mc
h = 5,89 pm
57. Demuestre que E/E , la pérdida fraccionaria de energía de un fotón durante
una colisión de Compton, esta dada por:
)cos1(mc
hf
E
E2
|
Solución Tenemos :
)cos1(mc
hf
hc
hf
hc
hf2
||
|
|
Remplazando las energías : )cos1(mc
hf
E
E
E
E2
||
|
|
Dividiendo : )cos1(mc
hf
E
E1
2
||
Solución Sección 49-7 . El Efecto Compton Halliday Resnick Krane . Vol. 2. 4º Edición. CECSA.1996
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Obteniendo mcm : )cos1(mc
hf
E
EE2
||
Por lo tanto )cos1(mc
hf
E
E2
|
l.q2.d
59. Halle el corrimiento máximo de la longitud de onda en una colisión Compton
entre un foton y un protón libre. Solución Tenemos
Reemplazando los valores indicados: 0
| = )º180cos1(mc
h
645,2)103)(1067,1(
10626,62
cm
h2827
34
protón
fm
61. Un foton de rayos X de longitud de onda 0 = 9,77 pm es retrodispersado por
un electrón ( 0180 ).Determine (a) el cambio en la longitud de onda del
fotón. (b) el cambio en la energía del fotón, y (c) la energía cinética final del electrón
Solución Tenemos;
(a) Reemplazando datos : 849,4mc
h2)º180cos1(
mc
h pm
(b) Hallamos : E=0
hc
y E|=
|
hc
; luego : |EEE = -42,1 KeV
(c) 65. (a) Determine que cuando un foton de energía E se dispersa de un electrón
libre , la energía cinética máxima de retroceso del electrón esta dada por :
2
cmE
EK
2
e
2
max
(b)Hale la energía cinética máxima de los electrones dispersados por el efecto Compton expulsados de una hoja de cobre delgada mediante un haz incidente de rayos X de 17,5 KeV
Solución
Sabemos : 22222 )mc(cpE y e|
0
Khchc
De donde , podemos reducir a : E = E| + K (*)
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Por lo demostrado anteriormente : )cos1(cm
1
hc
1
hc
12
e|
Se obtiene : )cos1(cm
1
E
1
E
12
e
|
Simplificando : )cos1(cm
1
EE
EE2
e
|
|
Pero ,de (*) : )cos1(cm
1
E)KE(
K2
e
Reemplazando : º180
Tenemos : 2
ecm
2
E)KE(
K
Ordenando en función de K : l.q2.d
24.- Calcule la energía y momentum de un fotón de 700nm de longitud de onda.
Solución:
mx
xsJxhcE s
m
9
834
0 10700
103.10626.6
JxE 1710028.0
smJx
hP .1000947.0 25
0
smKgxP 221047.9
25.- Rayos X que tiene una energía de 300KeV experimentan dispersión Compton desde un blanco. Si los rayos dispersados se detectan a 37.0º respecto a los rayos incidentes, encuentre a) el corrimiento de Compton a este ángulo, b) la energía de los rayos X dispersados y c) la energía del electrón en retroceso.
Solución: a) el corrimiento de Compton a este ángulo:
0' cos1Cm
h
e
)º37cos1(00243.0 nm
2
cmE
EK
2
e
2
max
Solución Sección 40,3 . El Efecto Compton Serway Beichner . Vol. 2. 5º Edición. Mc Graw Hill.2001
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fm3,489
b) la energía de los rayos X dispersados:
0' cos1cm
h
e
Se sabe que:
2
e
0cm
hcE
''
hcE
Reemplazando:
'E
hc
0E
hc= cos1
cm
h
e
2831193103101,9
º37cos1
106,1)10300(
1
'
1
smxkgxJxxE
Simplificando:
KeV3,268'E
c) la energía del electrón en retroceso:
e0 K'EE
'EEK 0e
keV3,268keV300Ek
keV677,31Ek
26.-Un fotón de 0.110nm choca con un electrón estacionario después del choque el electrón se mueve hacia adelante y el foton retrocede. Encuentre el momentum y la energía cinética del electrón.
Solución: Datos:
º180
nm110.00
0' º180cos1Cm
h
e
c
c
2
11
Pero: c = 0.00243nm
= 0.00486nm
= 4.86x m1210
Después del choque va hacia delante
Después del choque el foton retrocede
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0' 4.86x m1210
Si:
X:
º180cos'0
hh 0
e 0cosVm +
Y:
º180'
0 senh
0
e 0Vsenm
'0
hh Vm e
Vm e = 0
0
0 '.
)'(
'
h
hh
Si: ' 0
Pe)(
)2h(
)(
)h(
00
0
00
00
Pe
mxmxmx
mxmxsJx9912
91234
10110.010110.01086.4
10110.021086.4).10626.6(
Pe 114.6x10-25kg 2)( sm
sm
Pe 1.15kg sm
keV478Ke
m10x110m10x86.4m10x110
m10x86.410x3s.J10x626,6Ke
)(
hcKe
'
'hc
'
hh'EE Ke
Ke'EE
121212
12s
m834
00
0
0
0
0
0
27.- Un fotón de 0.00160nm se dispersa a partir de un electrón libre. ¿Para que
ángulos de dispersión (fotón) el electrón de retroceso tiene la misma energía cinética que la energía del fotón dispersado?
Solución:
9
0 10x00160.0
kEEE '0
Como: KeE '
)
)
º1,70
34.0cos
cos1m10x00243.0m10x00160.0
cos1mc
h
cos1mc
h
'
21
'
hc
'
hchc
94
0
0
|
00
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28.- En un experimento de dispersión Compton un fotón se desvía en 90.0º y el
electrón se desvía en un ángulo de 20.0º. Determine la longitud de onda del foton dispersado.
Solución:
X:
cos'
hh
0
cosVm e
Y:
sen
'
h0 Vsenm e
Luego:
Y :
'
h20Vsenm e º (2)
X :
0
h20cosVm e º (1)
De (2): (1)
º20'0 tg
De:
º90cos1' 0 mc
h
mc
htg º20''
mc
htg )º201('
m10x00243,0)36,01(' 9
m10x8,3' 12
29.- Un Foton de 0.880mev es dispersado por un electrón libre inicialmente en
reposo, de tal manera que el ángulo de dispersión del electrón dispersado es igual al del foton dispersado ( ) a) Determine los ángulos y b) La
energía y el momentum del fotón dispersado y c) La energía cinética del electrón dispersado
Solución: a) Determine los ángulos y
X:
cos'
hh
0
cosVm e
Y:
sen
'
h0 Vsenm e
De Y:
'
0h
Vm e Vm'
he
En X:
cos'
hcos
'
hh
0
( )
Si 20
90
)
)
)
)
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:
cos2'cos'
h2
h0
0
0' cos1cm
h
e
00 cos2 cos1cm
h
e
Pero : 0
0
hcE
, reemplazando y combinando:
cos11cos2E
cm
0
2
e
cos1J10x6.110x880.0
1cos210x9)kg10x1.9(196
sm1631
2
2
cos11cos210x09.58 2
73.016.2
58.1cos
º1.43
b) La energía y el momentum del fotón dispersado:
'E'
hc Si: cos2´ 0
'E cos2
hc
0
Si: 0
0E
hc
'Ecos2
0E Reemplazando: 'E KeV
meV,602
º43cos2
808.0
P'
h =
s
mx
xx
c
E8
193
103
106.110602'
Psmkgx 221021.3
c) La energía cinética del electrón dispersado:
KeV278K
KeV602KeV880K
e
e
30.- Un Foton que tiene energía Eo es dispersado por un electrón libre
inicialmente en reposo, de tal manera que el ángulo de dispersión del electrón dispersado es igual al del foton dispersado ( ) a) Determine los
ángulos y b) La energía y el momentum del fotón dispersado y c) La
energía cinética del electrón dispersado. Resolución:
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a) Determine los ángulos y
X:
cos'
hh
0
cosVm e ………… (1)
Y:
sen
'
h0 Vsenm e ………….. (2)
De: Y:
'
0h
Vm e Vm'
he
…. (3)
Luego (3) en (1)
De: X:
cos'
hcos
'
hh
0
( )
Despejando :'
cos2' 0
Corrimiento de Compton:
De: cos1cm
h
e
0
|
cos1cm
hcos2
e
00 ; Sabiendo que: 0
0E
hc
En función de E0 se tiene:
cos1cm
E1cos2
2
e
0 Si hacemos : xcm
E2
e
0
cos1x1cos2
Aislamos el ángulo :
2x
1xarcCos
b) La energía y el momentum del fotón dispersado: energía
'
hcE'
Si: cos2' 0
cos2
hc E'
0
Si:0
0E
hc
Entonces:
cos2
E E' 0
Si reemplazamos otra vez : xcm
E2
e
0
Obtenemos : 2
e
2| cm
2x2
x2xE
momentum
Sea: '
hP'
Si: cos2' 0
cos2
h P'
0
Si:0
0E
hc
)
)
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Entonces:
cos2.c.
E P' 0
Si reemplazamos otra vez : xcm
E2
e
0
Obtenemos : cm2x2
x2xp e
2|
c) La energía cinética del electrón dispersado: E0=E| + Ke
'EE K 0e
Remplazamos : 2
e
22
ee cm2x2
x2xcx.m K
Simplificando : 2
e
2
e cm2x2
x K
31.- Un fotón de 0.700 MeV dispersa a un electrón libre de modo que el ángulo de
dispersión del fotón es el doble del ángulo de dispersión del electrón, determine a) El ángulo de dispersión para el electrón y b) La rapidez final del electrón.
Solución: a) El ángulo de dispersión para :
X:
cos'
hh
0
cosVm e
Y:
sen
'
h0 meVsen
Si: =2
De X:
2cos'
hh
0
cosVm e
)1cos2('
2
0
hhcosVm e ………(1)
De Y:
)cossen2(
'
h0 Vsenm e
)cos2(
'
h0 Vm e
)cos2('
hmeV
………….(2)
De (2) en (1):
cos)cos2('
h)1cos2(
'
hh 2
0
Despejando ' = )1cos4( 2
0
Pero: 0' cos1cm
h
e
Remplazando:
)
) =2
E0=0.700mev
=700kev
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0
2
0 )1cos4( 2cos1cm
h
e
Sabiendo que: 0
0E
hc
En función de E0 se tiene: 2
2
02 cos1mc
E1cos2
)10x9)(kg10x1.9(
cos1)J10x6.1)(10x700(1cos2
2
2
sm1631
21932
1cos2 2 =1.37 2cos1
º33
84.0cos
b) La rapidez final del electrón:
Si: 0' cos1cm
h
e
Sabemos que: 0
0E
hc
Tambien: '
'E
hc y 2
Remplazamos en Compton :
)2cos1(mc
h
E
hc
E
hc
0
|
Simplificamos :
J10x12,1E
KeV700E:Si
cm)2cos1(E
cmE'E
25
0
0
2
e0
2
e0
Reemplazando E|=0,39 MeV Finalmente :
MeV31,0cmcm
MeV39,0MeV7,0K
'EEK
K'EE
2
e
2
e
e
0e
e0
Aislando 6,1
6,1c
v1
2
2
De donde v = 0,785c
VII
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32. Un foton que tiene una longitud de onda dispersa a un electrón libre en
A(fig) produciendo un segundo foton que tiene una longitud de onda | .Este foton dispersa después otro electrón libre en B produciendo un tercer foton con longitud de onda " que se mueve directamente opuesta al foton original, como se muestra en la fig).Determine el valor numerico de "
Solución
VII
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Aplicamos Compton en :
A : )cos1(mc
h|
B: ))180cos(1(mc
h" | ,
Además : cos(180-)= - cos
Entonces sumamos A y B : mc
h2"
Reemplazando datos : pm85,4"
66) Un foton de 200 MeV es dispersado a 40.0º por un protón libre inicialmente en
reposo. (a) Encuentre la energía (en MeV) del foton disperso (b)¿Cuál es el valor de la energía cinética (en MeV) que adquiere el protón?
Solución: (a)Por el corrimiento Compton decimos:
2
protón
protón
protón
cm
)40cos1(
E
1
E
1
)cos1(cm
h
E
hc
E
hc
)cos1(cm
h´
Reemplazando valores: E|= 190,11 MeV (b) Tenemos : E0 = E| + Ke Luego : Ke = E0 – E| = 200 MeV – 190,11 MeV = 9,89 MeV
VII
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70.- Muestre que un fotón no puede transferir toda su energía a un electrón libre. (Sugerencia: recuerde que la energía y el momentum deben conservarse.)
Supongamos que el foton fuese absorbido por el electrón sin emisión de otro foton. Calculemos la velocidad final del electrón.
Tomáremos en cuenta las leyes de conservación del momento lineal y de la energía:
Donde: om y m son la masa del electrón en reposo y la velocidad 1v respectivamente, verificación ambas:
De las ecuaciones anteriores tenemos: Pero la velocidad final del electrón no puede ser nula pues se violaría el principio de conservación del momento
lineal, en consecuencia, la suposición final es falsa y siempre debe emitir un foton dispersado
71.- Demuestre que la rapidez de una partícula que tiene longitud de onda de
Broglie y la longitud de onda Compton )(mc
hc es:
2)(1 c
cv
Solucion:
La longitud de onda de De Broglie asociada a una partícula cuya masa en reposo es 0m y en
movimiento m viene dada por:
mientras la longitud de onda de Compton es: ccm
h
0
vm
cvh
v
c
v
m
h
mv
h
p
hB
0
22
2
2
0
1
.
1
;c
hfmvcteP
2
e
2
e cmcmhfcteE
2
1
c
v
mm o
0
1
1
)(
)(
222
22
2
2
02
0
22
0
vvcvcvcvc
vcvcc
vcvccm
c
v
vcm
cmvcmmccmmvc
o
VII
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Página 23
Luego tenemos que: c
B
=
cm
h
vm
cvh
0
0
221
.d.l.q
1
cv
1
cv11
c
v
1c
v
c
vcv1
c
v
v
cv1c
2
2
c
2
B
2
c
2
B
22
2
c
2
B
2
2
2
2
2
c
2
B
2
222
c
B
22
c
B
75.- Un foton de energía inicial 0E sufre una dispersión Compton a un ángulo a
partir de un electrón libre (masa em ) inicialmente en reposo. Utilizando las
ecuaciones previstas para la conservación de la energía y el momentum, obtenga la siguiente relación para la energía final E’ del foton dispersado:
12
000 )cos1)(/(1'
cmEEE
Solución A partir de la formula del corrimiento Compton
0' cos1mc
h
77.- Un electrón inicialmente en reposo retrocede en un choque frontal con un fotón.
Demuestre que la energía cinética adquirida por el electrón es ahfa 212 , donde a
es la proporción de energía en reposo del electrón.
l.q.q.d.cos11''
cos11
cos111
'
1cos1
1
'
1
cos111
'
1cos1
'
1
2
00
2
0
0
2
0
0
2
0
0
0
2
00
mc
EEEE
mc
E
E
mc
E
EEmcE
E
EE
mcEEmc
h
E
hc
E
hc
)
)
VII
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A partir del efecto Compton se tiene:
0' cos1mc
h Dato:
2
e
0
mc
hf
E
Ea 2amchf
º180cos1' 0
mc
h
E
hc
E
hc
kk EEEEEESi 00 '':
.d.q.la21
hfa2E
a21
)mc(mc
Ea2
E)a21(mc
)mc(a2E
aE2mc
)aE(2E
E2mc
E2EE2)E2mc(E
EE2E2mcEmc
2
EEE
E
mc
2
E
1
EE
1
2
k
2
2
0
k2
222
k
0
2
2
ek
0
2
2
0k
2
00
2
k
k0
2
0
2
k2
k00
k
2
0k0
79.- Muestre que la proporción entre la longitud de onda Compton c y la longitud
de onda De Broglie p
h para un electrón relativista es:
21
2
21
mc
Ec
Donde E es la energía total del electrón y m su masa. Solución: De ecuación de Einsten de equivalencia entre masa y energía: Pero:
2mcE 2
1
c
v
mm o
Después del choque va hacia delante
Después del choque el foton retrocede
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Pero:
222
0
22
22
0
2
2
2222
0
2
22
02
22
2
2
1
1
1
ccm
vE
cm
E
c
vEcmE
cmc
vE
c
v
mE o
21
2
2
2
2
0
2
22
222
0
22
2
2
2
0
2
11
1
mc
E
cm
E
m
hcm
m
h
cm
E
B
c
B
c
c
B
vm
hc
mv
hB
0