Post on 18-Oct-2018
transcript
EL HOMBRE DE VITRUVIO
Fernando Güemes
itzikareaga @ euskalnet.net
RESOLUCION DE LA
CUADRATURA DEL
CIRCULO
EL HOMBRE DE VITRUVIO
EL HOMBRE DE VITRUVIO
Marco Vitruvio Polión ( en latín Marcus Vitruvius Pollio )
fue un arquitecto, escritor e ingeniero romano del siglo I
antes de Cristo.
Fue arquitecto de Julio Cesar durante su juventud. Es el
autor del tratado sobre arquitectura, en diez libros, más
antiguo que se conserva. La obra trata sobre órdenes,
materiales, técnicas decorativas, tipos de edificios,
colores, y mecánica.
De Architectura se publicó en la mayor parte de los
países y todavía hoy constituye una fuente documental
por las informaciones que aporta sobre la pintura y la
escultura griegas y romanas.
El famoso dibujo de Leonardo da Vinci, sobre las
proporciones del hombre, conocido como el Hombre de
Vitruvio, esta basado en las indicaciones que sobre el
canon de belleza Vitruvio desarrolla en este tratado.
Aunque toda la fama se le atribuye a Leonardo, dada su
genialidad, no hay que olvidar que este se baso en el
canon de Vitruvio, para esbozar este genial dibujo.
Algunos además, le atribuyen propiedades geométricas
entre las que se incluye la cuadratura del circulo.
¡Como engaña la vista!, el hombre de Vitruvio, a la izquierda, parece estar dibujado en un rectángulo
y el de Leonardo, no deja lugar a dudas, este si está inscrito dentro de un cuadrado, la realidad es
que ambos, están incorporados dentro de un cuadrado, como veremos en la imagen siguiente.
Si pasamos a la misma escala los dos dibujos y copiamos el cuadrado del de Vitruvio y lo pegamos
sobre el de Leonardo, vemos que coinciden exactamente, si observamos la figura, los pies que en
el primer dibujo los deja fuera del cuadrado, Leonardo simplemente los recoge, pero la altura del
hombre, es la misma en los dos dibujos, ya que los talones están tocando el suelo en ambos.
Giacomo Andrea
da Ferrara
(1490 )
Hay dibujos similares, al de
Leonardo, este de su amigo
Giacomo, es de 1490.
La primera vez que se contempla el Hombre de Vitruvio desnudo, completamente desnudo, pero no
físicamente, sino geométricamente, uno se pregunta con que premisas dibujo Leonardo el famoso
cuadro. Se empiezan a realizar trazados geométricos, verificaciones matemáticas, y de una forma u
otra siempre fallan. O bien las proporciones que vemos no se asemejan a las del dibujo original, o
no cuadran los números, o ambas cosas a la vez. Pero tanto ir el cántaro a la fuente al fin se
rompe, y a partir de este momento vemos de que forma tan sencilla realizó Leonardo el trazado, lo
de sencilla es un decir, para llegar al resultado hay que pensar en muchas posibilidades, dar con el
resultado, es a base de muchas paciencia, muchos números, hasta que en una resta, por ejemplo,
damos con la clave. A partir de este momento pensamos que Leonardo era un genio, o vio este
resultado en alguna parte, o no encontró esta solución. Eso si es un enigma.
Los números estaban ahí incluso antes de haberse realizado el dibujo, desde el principio de los
tiempos, eternamente, incluso si no damos con la solución, ellos están. Cuando realizamos las
verificaciones numéricas pertinentes, aparecen unas “coincidencias” que son las que confirman que
el dibujo parece estar resuelto, no son nada misteriosas, son el resultado de aplicar la geometría
correctamente.
Sin más preámbulos vamos a realizar varios trazados que resuelven el problema, el análisis de los
mismos se realiza, bien por el teorema de Pitágoras, la comprobación de ángulos, o la resolución
de triángulos partiendo de sus razones trigonométricas. Algunos se preguntaran de donde salen
estos datos, en realidad, he preparado un pequeño programa informático que resuelve estas
cuestiones, por lo que la verificación se hace fácilmente.
Más adelante trataremos el problema de la cuadratura del círculo, que algunos afirman que está
implícita en el dibujo. Yo ni afirmo ni niego, serán las resoluciones geométricas las que aporten luz
sobre tema. He visto varias algunas soluciones, todas aproximadas, por tanto incorrectas, que se
basan en Vitruvio, no sé si seré capaz de dar con la buena, si es que Leonardo dio con ella.
“ Y yo cuadro el círculo, excepto un porción
tan minúscula como el intelecto sea capaz
de imaginar, es decir, como el punto visible ”
Evidentemente esto no da lugar a dudas,
Leonardo halló la cuadratura del círculo de
una forma “muy aproximada”, como cita en
uno de sus escritos.
Por otra parte, no sabemos que Pi utilizó, ni
con cuantos decimales trabajaba, pero aún
hay más, creo que hizo “trampa” y solucionó
la cuadratura del círculo a la inversa, esto
es, a partir del cuadrado y no del círculo.
He llegado a esta conclusión, porque he
dado con una solución que cumple con
estos requisitos, y porque Leonardo no la
incluye en su dibujo, solo nos presenta el
resultado, no la solución.
Primero voy a deducir esta solución y luego
pasaré a demostrar la mía, la que considero
es la exacta, partiendo de la circunferencia.
A - B 0,200000000000
A - C 0,200000000000
A - F 0,282842712475
A - G 0,282842712475
G - H 0,400000000000
H - F 0,400000000000
G - F 0,565685424949
A
C
D E
F
B G H
J
Como hemos visto, Leonardo
pudo solucionar el dibujo del
Hombre de Vitruvio a través
del trazado gráfico anterior.
Hay otra solución probable, la
del gráfico siguiente, que
parte del hexágono inscrito,
esta, a primera vista, también
es válida, pero al verificarla,
se ve que tampoco es
correcta, pero que a “la vista”
parece exacta.
¿Dio el pintor con la solución?
o es fruto de mi imaginación,
eso no lo sabremos nunca, lo
que está claro, es que cita la
“aproximación”, pero aún así
es una solución genial para la
época, ya que es casi exacta.
Por tanto vamos a resolver el
trazado y verificarlo, como es
obligatorio.
A - B 0,200000000000
A - C 0,200000000000
A - F 0,282842712475
A - G 0,282842712475
F - G 0,565685424949
K - L 0,565685424949
C - B 0,400000000000
C - K 0,082842712475
B - L 0,082842712475
K - B 0,482842712475
K - M 0,241421356237
A - M 0,041421356237
K - N 0,400000000000
N - L 0,400000000000
N - A 0,282842712475
A - L 0,282842712475
A
El punto M es el centro del
segmento K -L, es la clave
para la solución.
B
C
D E
G H
F J
K
L
M
N
K - M 0,241421356237
M - B 0,241421356237
K - B 0,482842712475
A - M 0,041421356237
M - R 0,241421356237
P - R 0,200000000000
M - P 0,135219344945
A - P 0,093797988708
P - B 0,106202011292
B - R 0,226448376462
K - P 0,376640701183
K - R 0,426448376462
B - R 0,226448376462
K - B 0,482842712475
AREA CIRCULO
K - B 0,183105438371
AREA CUADRADO
K - R 0,181858217787
DIFRENCIA
mm 0,001247220583
A
B
K
M
P R
Sobre un cuadrado de 20 centímetros, como en el dibujo
de Leonardo, la diferencia es de 1 milímetro cuadrado.
Una vez solucionado el problema de la
cuadratura del círculo tal y como suponemos
que la realizó Leonardo da Vinci, en su
famoso dibujo, el Hombre de Vitruvio,
entendemos la famosa frase que dice “ Y yo
cuadro el círculo, excepto una porción tan
minúscula como el intelecto sea capaz de
imaginar, es decir, como el punto visible”
La diferencia entre el círculo y el cuadrado del
dibujo de Leonardo es de aproximadamente
un milímetro cuadrado, es decir, un punto
visible.
Si esta es la solución que encontró Da Vinci,
realmente no es valida para la cuadratura del
circulo, aunque sí matemáticamente, ya que
por definición la cuadratura del círculo es la
conversión de una figura limitada por una
curva en otra de igual superficie limitada por
líneas rectas, por lo que se debe partir de un
círculo y no a la inversa.
A pesar de todo y con los medios de la época
nos parece una genialidad que pudiera dar
con la solución, que como el mismo cita, fue
una noche a punto de acabarse el candil.
Leonardo di ser Piero Da Vinci, Florencia
Leonardo da Vinci (15.4.1452 ) - ( 2.5.1519 )
Como suele suceder en muchos casos, aunque ya he dado con la solución de la cuadratura,
que la desarrollare completa más adelante, he vuelto a retomar el problema a partir del
hexágono inscrito, y me he dado cuenta que en anteriores soluciones tenía un pequeño
error, consideraba el punto de contacto con la circunferencia, como la altura del cuadrado,
esto lo veremos en detalle a lo largo de la resolución del problema. Como ya tengo la
solución del trazado anterior, esta me sirve para confirmar la exactitud a partir del hexágono,
es increíblemente sencillo el trazado, pero hay que comprobar los ángulos, las diferencias
de medidas, las sumas de segmentos, en definitiva, la verificación matemática.
Las “coincidencias” en el trazado son determinantes, por tanto la solución, resuelve la figura
del hombre de Vitruvio y además la cuadratura del círculo de una forma muy aproximada, tal
vez Leonardo dio con esta solución gráficamente. Es una solución elegante, intuitiva, que a
no ser por la pequeña discrepancia con el numero Pi oficial, serviría para enunciar un nuevo
teorema sobre la cuadratura del circulo.
A lo largo de la historia el número Pi ha tenido diversos valores, desde el Renacimiento
Europeo se realizan cálculos con polígonos inscritos y circunscritos, y actualmente se
calcula con series “infinitas” y han calculado el famoso número hasta con miles o millones
de decimales, cosa por otra parte poco práctica, pero mi pregunta es, “la serie conduce al Pi
real” es exacta, o es otra conjetura posible, pero aproximada. ¿Por que son mejores las
series que los perímetros ?, además hay tantas series como autores, en esto como en todo,
la “valida” es la del matemático más conocido del momento, hasta que viene otro que dice
que la suya es mejor.
Dejando esta disputa de lado, yo voy a utilizar el Pi gráfico, que además de aparecer, ya sea
directamente o en forma de múltiplos o submúltiplos en muchos trazados, es el que cuadra
perfectamente muchas operaciones matemáticas.
Si por el punto medio del lado de un hexágono inscrito en una circunferencia
trazamos un segmento que pasando por la mitad del radio paralelo a dicho
lado hasta que corte a la circunferencia, este segmento será igual al lado del
cuadrado, que partiendo perpendicularmente de este punto, cortará al radio
en un punto tal que será la mitad del lado del cuadrado y a la circunferencia
en un punto que determinará la cuadratura de la misma.
1/2
A
B
C
D E
F G
K
LM
P
R
S
T
El primer problema que se plantea es
resolver el triangulo PSR, ya que no
conocemos ningún lado del mismo,
pero si podemos conocer todos sus
ángulos. En efecto, podemos resolver
el triángulo APG y saber sus ángulos.
Por tanto, los ángulos del otro son
fáciles de deducir, uno es opuesto
por el vértice , otro es recto, por tanto
el que falta se obtiene restando de
noventa el opuesto por el vértice.
G 30
P 60
A 90
P 60
R 30
S 90 P S
R
Actualmente todo el mundo trabaja con calculadoras
y ordenadores, por lo que solucionar ángulos, senos
líneas trigonométricas, y triángulos resulta bastante
sencillo, pero como todo lo hace la máquina, hay
veces que desconocemos el algoritmo que utiliza, si
trabaja con ángulos o con radianes, en definitiva la
esencia del problema, se la dejamos a una máquina.
Para que esto no ocurra, vamos a dar unas ligeras
nociones sobre ángulos, para poder saber al menos
lo que estamos haciendo, mejor dicho, lo que hace
la máquina.
ANGULOS
GRADOS A RADIANES GRADOS x ( PI / 180 )
( PI / 180 ) 0,017453292520
RADIANES A GRADOS RADIANES x (180 / PI )
( 180 / PI ) 57,295779513082
GRADOS A RADIANES ARCOSENO
ARCO SENO A SENO SERIE TAYLOR
SEN = ( X /1 ) - ( X3 / 3! ) + ( X5 ! / 5! ) - ( X7 / 7! ) + .....
La serie se cierra cuando se repite el número obtenido
El factorial de un número ( ! ) es la multiplicación del
número por todos los anteriores.
EJEMPLO DE RESOLUCION ANGULOS
ANGULO 26,565051177078
( PI / 180 ) 0,017453292520
ARCO SENO ANGULO x ( PI / 180 )
ARCO SENO 0,463647609001
SENO 0,447213595500
Para hallar el seno de un ángulo, primero
hay que convertirlo a radianes, lo que es
lo mismo, hallar el arcoseno del angulo, y
una vez conocido le aplicamos la serie de
Taylor para hallar el seno. Evidentemente
con un ordenador o una calculadora este
proceso es automático, pero hay que
tener en cuenta que primero hay traducir
el ángulo a radianes o arcoseno.
Con estas nociones elementales estamos
en condiciones de resolver cualquier tipo
de triángulo, incluso los obtusángulos,
esto, que a primera vista, parece ser un
tanto complicado, en la práctica, no lo es
tanto, y nos ayudará a comprender, y lo
que es más importante, a resolver, los
problemas con ángulos.
HALLAR EL ANGULO EN FUNCION DEL SENO
Para hallar el ángulo en función del seno
se deben realizar varias operaciones.
Con calculadoras, o bien ordenadores, estas
operaciones se realizan de forma automática,
pero vamos a explicar todo el proceso para
entenderlo y poder realizarlo a mano.
En principio hay que hallar el arco seno del
seno conocido. Esta operación es la más
compleja de todo el proceso, está basada
en la serie de Taylor. Cuantos más términos
calculemos, mayor aproximación obtenemos.
La serie se cierra cuando el resultado de la
última operación es cero, esto es, cuando
el resultado de una suma parcial da cero.
En trigonometría, el arco seno está definido
como la función inversa del seno de un ángulo.
arco seno x = x + (1/2*x3/3) + (1*3/2*4)*(x5/5) + (1*3*5)/(2*4*6)*(x7/7) + (1*3*5*7)/(2*4*6*8)*(x9/9) …
a
b
c
A
B
C
a = 3
b = 4
c = 5
Angulo A Angulo B
Seno 0,6000000 0,8000000
Coseno 0,8000000 0,6000000
Tangente 0,7500000 1,3333333
Cotangente 1,3333333 0,7500000
Secante 1,2500000 1,6666666
Cosecante 1,6666666 1,2500000
Arco Seno 0,6435011 0,9272952
a
b
c
A
B
C
HALLAR UN LADO EN FUNCION DEL SENO
Hipotenusa y ángulo A
a = c x Sen A
b = c x Cos A
a = c / Cosc A
b = c / Sec A
Hipotenusa y ángulo B
a = c x Cos B
b = c x Sen B
a = c / Sec B
b = c / Cosc B
Cateto a y ángulo B
b = a x Tang B
c = a x Sec B
b = a / Cotag B
c = a / Cos B
Cateto a y ángulo A
b = a x Cotag A
c = a x Cosec A
b = a / Tang A
c = a / Sen A
Cateto b y ángulo A
a = b x Tang A
c = b x Sec A
a = b / Cotag A
c = b / Cos A
Cateto b y ángulo B
a = b x Cotag B
c = b x Cosc B
a = b / Tang B
c = b / Sen B
Angulo ( A ) Angulo ( B )
Seno 0,600000 0,800000
Coseno 0,800000 0,600000
Tangente 0,750000 1,333333
Cotangente 1,333333 0,750000
Secante 1,250000 1,666667
Cosecante 1,666667 1,250000
A
B
C
Cateto b
Ca
teto
a 3
4
Este sencillo ejemplo sirve para
comprobar todas las fórmulas.
Verificar con teorema Pitágoras.
Antes de continuar nos hacen falta unas
nociones de trigonometría, el Teorema
del Seno dice : En todo triángulo la
relación de un lado entre el valor del
seno del ángulo opuesto se mantiene
constante.
a / Sen A = b / Sen B / = c / Sen C
El seno del ángulo doble es igual a dos
veces el valor del seno del ángulo por el
coseno. Esto nos sirve para determinar
el valor del seno del ángulo de 120º, ya
que conocemos el del ángulo de 60º.
Evidentemente, el cálculo de los senos
lo desarrollo con un programa que he
preparado al efecto, pero el de 60º, en
concreto, se puede realizar por cálculo,
ya que su valor es raíz cuadrada de tres
entre dos, y el del coseno es un medio, y
el de la tangente es raíz cuadrada de
tres.
Conviene tener presente estas nociones.
C
A B
a b
c
h
Sen 60º 0,866025403784
Cos 60º 0,500000000000
Sen 120º 0,866025403784
c / Sen C = b / Sen B
Sen B = 0,866025403784 x 0,5 / 1
Sen B 0,433012701892
Sabemos que el ángulo en C vale 120º, y
que el segmento c vale 1, por ser un radio
y el lado b mide 0,5 por construcción.
A continuación vamos a ver como se hallan
ángulos a partir del seno y viceversa, es un
poco complicado, hay que conocer las
fórmulas y tener una calculadora.
C
A B
a b
c
h
CONSTANTE ( PI / 2 ) / 90
CONSTANTE 0,017453292520
ANGULO 120º
ARCO SENO 2,094395102393
SENO 0,866025403784
ANGULO 25,658906273255
ARCO SENO 0,447832396929
SENO 0,433012701892
ANGULO 34,341093726745
ARCO SENO 0,599365154268
SENO 0,564118398854
A partir de este momento podemos recurrir
a la tabla “Hallar un lado en función del
seno” para solucionar los triángulos
rectángulos formados por la altura ( h ), De
esta forma podemos hallar la altura y por
otra parte nos sirve de verificación, ya que
siempre insistimos en que todas la
medidas deben verificarse.
Los ángulos del triángulo los podemos hallar por
el Teorema del Seno, y una vez conocidos
hallamos sus correspondientes senos aplicando
las fórmulas del cuadro. Conocidos los ángulos podemos aplicar
el teorema de los senos, para hallar los
lados del triángulo.
( Pitágoras )
C
A B
a b
c
h
a / Sen A = b / Sen B / = c / Sen C
A - B = c 1,000000000000
Sen C 0,866025403784
c / Seno C 1,154700538379
A - C = b 0,500000000000
Sen B 0,433012701892
b / Sen B 1,154700538379
B - C = a 0,651387818866
Sen a 0,564118398854
a / Sen A 1,154700538379
C - D = a x Sen B 0,282059199427
B - D 0,587153045284
D - A 0,412846954716
B - A 1,000000000000
D
1 2
Una vez concluida la explicación, un tanto complicada,
pero sencilla, una vez que se conoce el procedimiento,
vamos a trazar el dibujo tal y como se ve realmente,
con sus medidas reales, para luego continuar, con los
comprobaciones, para dar por válido el trazado. A P
R
A - P 0,500000000000
A - R 1,000000000000
P - R 0,651387818866
c
b
a
1/2
A - B 1,000000000000
A - C 1,000000000000
A - D 1,000000000000
A - E 1,000000000000
B - C 2,000000000000
A - F 1 ,000000000000
F - G 0,500000000000
A - G 0,866025403784
G - B 0,133974596216
A - K 0,500000000000
K - L 0,500000000000
F - M 0,750000000000
K - M 0,433012701892
F - K 0,866025403784
H - G 0,288675134595
A - H 0,577350269190
A - E 1,000000000000
A - H 0,577350269190
H - E 1,154700538379
F - G 0,500000000000
H - G 0,288675134595
F - H 0,577350269190
A
B
C
D E
F G
H
K
L
Bisectriz en F
M
N
1/2
A - G 0,866025403784
A - P 0,500000000000
G - P 1,000000000000
P - R 0,651387818866
R - U 0,564118398854
P - U 0,325693909433
U - E 0,174306090567
A - U 0,825693909433
R - U 0,564118398854
A - R 1,000000000000
A - U 0,825693909433
S - T 1,651387818866
R - T 1,564118398854
S - R 0,087269420012
A
B
C
D E
F G L M
R
P
S
T
U
Ya hemos descubierto el
lado del cuadrado, ahora
queda por determinar el
punto de contacto en la
circunferencia, y los lados
a partir de este dato.
C - B 2,00000000000
Z - X 0,825693909433
C - X 1,768682220668
B - X 0,933682602543
C - B 2,00000000000
C - Z 1,564118398854
Z - B 0,435881601146
B - X 0,933682602543
C - B 2,000000000000
AREA CIRCULO
C - B 3,141592653590
AREA CUADRADO
C - X 3,128236797708
C-Z*2 3,128236797708
DIFERENCIA AREAS
0,013355855882
A
B
C
D E
F L
X Z
Evidentemente , este
trazado no soluciona
la cuadratura.
SOLUCION “EXACTA” DE LA CUADRATURA
DEL CIRCULO Y EL DIBUJO DEL HOMBRE
DE VITRUVIO.
Pitágoras y su famoso Teorema
facilitaron a Vitruvio y Leonardo
la resolución del famoso dibujo.
Después de varios intentos y
cuando digo varios digo cientos,
he decido solucionar el dibujo a
la inversa, esto es, he supuesto
que Leonardo no encontró la
solución exacta a la cuadratura
del circulo.
Esto todavía ha sido más difícil,
sin un ordenador, posiblemente
no lo habría conseguido, pero
una vez solucionado, no parece
tan complicado.
Antes de comenzar he resuelto
la cuadratura del círculo y la
rectificación de la circunferencia
gráficamente, y a escala, lo he
colocado sobre el dibujo del
hombre de Vitrubio, y esta vez
si encajan las piezas de este
rompecabezas,
Todos los resultados anteriores,
a partir del hexágono inscrito
entre las dos piernas, no daban
resultados “exactos”, hasta que
he dado con este. Lo he
verificado meticulosamente, y
puedo decir que las medidas
son perfectas, todas son
gráficas, solo he usado un
compas, cartabones y una regla
no graduada para realizarlas.
PROCEDIMIENTO GRAFICO PARA
RECTIFICAR LA CIRCUNFERENCIA
Después de muchos dibujos, por supuesto erróneos, que a primera vista parecían correctos,
una vez verificados matemáticamente, se comprueba o bien que faltan o sobran unos
milímetros, o que el ángulo formado es diferente, o ambas cosas a la vez. No hay que fiarse
de la vista, un dibujo no muy preciso, puede aportar una solución aparente, pero que en
realidad, no soluciona el problema. Cuando se encuentra la solución, la verificación no da
lugar a dudas, si es correcta, los decimales cuadran hasta con más de doce unidades. Yo
trabajo con doce, que me parece una exactitud suficiente.
1 - Se dibuja una circunferencia con radio A-B
2 - Se une un diámetro con el punto medio del radio perpendicular C-F
3 - Desde el centro se traza una perpendicular a este segmento A-G
4 - Desde el punto de contacto se trazan dos parales a los diámetros D-G / G-K
5 - Con un radio igual a medio radio más el segmento trazado desde el punto de contacto
se traza un arco hasta que corte al otro segmento que une el semiradio con el diámetro
segmento E-D
6 - Desde el punto E con radio E-D se traza el arco D-H
7 - Desde el punto K con radio K-H se traza el arco H-L
8 - Con centro en C se traza el arco C-L hasta que corte al diámetro en el punto M
Como hemos visto, todo el trazado se realiza sin ninguna medida, esto es, solo con regla
compas y cartabones, ya sabemos que las perpendiculares se pueden trazar solamente
con el compas, así como bisectrices, y la división de segmentos en dos partes iguales. Hay
trazados gráficos para dividir, en tres, cinco, siete y nueve partes iguales.
A - B 1,000000000000
A - C 1,000000000000
A - F 0,500000000000
C - F 1,118033988750
A - E 0,500000000000
C - G 0,894427191000
G - F 0,223606797750
A - G 0,447213595500
A - F 0,500000000000
A - D 0,400000000000
D - F 0,100000000000
G - D 0,200000000000
E - D 0,900000000000
E - H 0,900000000000
H - C 0,218033988750
K - E 0,223606797750
K - H 0,676393202250
H - L 1,352786404500
C - L 1,570820393250
C - M 1,570820393250
CUADRATURA DEL CIRCULO
RECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIA
A B
C
D E F
G
H
K
L
M
1,570820393250
2,000000000000
3,141640786500
C - N 2,00000000000
C - M 1,570820393250
M - N 0,429179606750
M - R 0,821074953125
C - R 1,772467428897
N - R 0,926476774399
C - N 2,000000000000
AREA CIRCULO
Pi x Radio al cuadrado
PI 3,141640786500
A - C 1,000000000000
AREA 3,141640786500
AREA CUADRADO
Lado al cuadrado
C - R 1,772467428897
AREA 3,141640786500
CUADRATURA DEL CIRCULO
RECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIA
A B
C
L
M
N
R
La cuadratura del círculo es exacta
con el número Pi obtenido gráficamente
3,141640786500
3,141592653590
0,000048132910
milésimas de milímetro
El trazado anterior es el único
que resuelve el Hombre de
Vitruvio exactamente.
PI / 2
PI
PI / 2 1,570820393250
PI 1,772467428897
0,821074953125 Pi
1
Pi
Como hemos visto, la parte más compleja consiste en
rectificar la circunferencia, el resto es bastante sencillo.
En principio, por diferencias obtenemos el segmento
M-N, ya que conocemos el segmento C-M y el
diámetro de la circunferencia, a partir de este punto,
por semejanza de triángulos, hallaremos la altura M-R.
Tenemos un triángulo rectángulo C-N-R inscrito en una
semicircunferencia, ya sabemos que las proyecciones
de los dos catetos del triángulo que forman ángulo
recto, multiplicadas entre sí, es igual a la altura del
triángulo al cuadrado, por tanto basta con extraer la
raíz cuadrada para obtener la altura. Un vez obtenida
la altura, por Pitágoras podemos hallar el resto, esto es
los dos catetos, puesto que conocemos los demás
datos.
SEMEJANZA DE TRIANGULOS
a2 = c * m
c / b = b / n b2 = c * n
m / h = h / n h2 = m * n
a2 / b2 = m / n
b2 = h2 + n2
a2 = h2 + m2
c2 = b2 + a2
a / c = h / b ab = ch
A
C
B c
b a
h
m n
M
C
N
R
Supongo que he solucionado
la cuadratura del círculo,
pero el número Pi que utilizo
es ligeramente diferente del
oficial, en realidad este sale
por trazado gráfico, por tanto
considero que es el exacto,
además este mismo número
aparece en varios trazados,
por tanto, lo considero como
válido. Además la diferencia
entre ellos es insignificante.
0,570820393250
A - B 1,000000000000
A - C 1,000000000000
C - M 1,570820393250
M - N 0,429179606750
M - R 0,821074953125
C - R 1,772467428897
N - R 0,926476774399
C - N 2,000000000000
P - S 1,642149906251
C - P 0,178925046875
S - N 0,178925046875
P - N 1,821074953125
P - T 0,570820393250
A - M 0,570820393250
T - V 1,141640786500
X - Y 0,570820393250
Y - R 0,570820393250
A B
C
M
N
R
P
S
T
Si centramos el cuadrado,
el segmento del mismo P-T
que corta la circunferencia,
es igual al segmento A-M y
al segmento X-Y
V
X
Y
A - B 1,000000000000
A - C 1,000000000000
C - N 2,000000000000
U - N 1,642149906251
U - C 0,357850093749
U - Z 0,766579087832
Z - X 1,533158175665
Z - C 0,845990654498
Z - N 1,812263725980
C - N 2,000000000000
A - M 0,570820393250
M - R 0,821074953125
A - R 1,000000000000
Z - U 0,766579087832
A - U 0,642149906251
A - Z 1,000000000000
A - W 0,178925046875
C - U 0,357850093749
A B
C
M
N
R
P
S
T V
X
Y
Z U
W
Estas medidas, aunque no
son muy relevantes, sirven
para verificar los trazados
gráficos matemáticamente.
LO QUE EL OJO NO VE
Antes de entrar en materia, voy a presentar un trabajo que aparentemente es perfecto, pero el cual no
soporta una verificación matemática, y cuando se hacen las oportunas comprobaciones, llegamos a la
conclusión de siempre, los trazados gráficos pueden parecer exactos, pero hay que demostrarlo con
las verificaciones matemáticas oportunas.
Lo que el ojo no ve, es tan importante como lo que ve, esta agudeza visual solo puede discriminarse
con la verificación matemática. Esta practica nos evitara errores de principiante, y en un trabajo que se
considera riguroso, no sirve dar como validas medidas aproximadas.
Hay otro error muy común cuando se trabaja sobre un dibujo de El Hombre de Vitruvio, es considerar
las medidas como válidas y sacar relaciones entre ellas, cuando de lo que se debe partir es de un
trazado gráfico previo y deducir las medidas a partir de este modelo. Evidentemente cuando hablo de
medidas no me refiero a medidas reales, sino a trazados gráficos, obtenidos solamente con regla o
cartabones sin graduar, y compas. Las medidas, exclusivamente, deben ser trazados geométricos, las
unidades solo sirven para verificar la exactitud de tales trazados.
Pero aún así, vamos a continuar con el problema para demostrar que la circunferencia que corta al
cuadrado tampoco soluciona el problema. Para ello, solucionaremos los triángulos por el teorema de
Pitágoras, y algunos conocimientos elementales de geometría.
En principio, si aplicamos una “medida” que realmente no se puede medir, es para ver si a lo largo del
trazado aparece alguna medida patrón, por desgracia, como veremos, tampoco se da en esta ocasión.
Con esta resolución pongo fin a la “posibles” soluciones, entre otras cosa, porque ya conocemos la
buena, sencilla, limpia, y lo más importante, exacta.
Vamos a analizar como una
figura que aparentemente
resuelve el misterioso dibujo
es solo una ilusión óptica,
es una pequeña diferencia,
pero diferencia al fin y al
cabo.
Evidentemente el trazado
ha de ser gráfico, pero al
menos hay que conocer una
medida exacta como punto
de partida y para efectuar
las verificaciones.
Si digo que no es exacto, es
porque no hay ninguna
medida que sirva de
referencia para resolver los
trazados.
Vamos a demostrar como Leonardo,
tuvo que partir de una circunferencia
y no del cuadrado para realizar la
cuadratura. En efecto, aún sabiendo
cuanto ha de medir el cuadrado, no
es posible llegar a la solución por
este camino.
1 - Trazamos dos perpendiculares
2 - Dibujamos una circunferencia
2 - Inscribimos un hexágono
3 - Trazamos un radio
4 - Se forma un triangulo equilátero
5 - Unimos dos puntos opuestos del
hexágono, que dividen al radio en
dos partes iguales
6 - Con lo que podemos enunciar
que uniendo los puntos opuestos de
un hexágono dividimos el diámetro
en cuatro partes iguales
Hay cosas que no hay que olvidar,
por ejemplo, que el lado del
hexágono es igual al radio.
Como es preceptivo verificamos los
enunciados matemáticamente. Los
haremos por Pitágoras y por
semejanza de ángulos.
A - B 0,821074953125
A - C 0,821074953125
C - B 1,642149906251
C - D 0,821074953125
C - E 0,410537476563
D - E 0,711071767818
D - F 1,422143535636
A
B
C
D E F
Una vez comprobados los
triángulos vamos a continuar
con el trazado, para ello
vamos a inscribir un triángulo
equilátero, y posteriormente ,
un segundo triángulo, con lo
que obtenemos una estrella
de David o de Salomón.
En algunas operaciones, al
duplicar un número el último
decimal no se corresponde
con el duplo, esto se debe a
que no damos más que doce
decimales pero el ordenador
trabaja con más, y es la
llevada del decimal anterior.
A - B 0,821074953125
A - C 0,821074953125
C - B 1,642149906251
C - D 0,821074953125
C - E 0,410537476563
D - E 0,711071767818
D - F 1,422143535636
G - H 1,422143535636
C - G 1,422143535636
C - H 1,422143535636
C - J 1,231612429688
A - K 0,474047845212
M - K 0,237023922606
K - N 0,948095690424
P - M 0,110003185308
L - E 0,237023922606
L - R 0,474047845212
D - L 0,474047845212
A
B
C
D E F
G H
El triángulo CGH sabemos que es equilátero,
simplemente porque sus lados unen dos
vértices equidistantes, del hexágono.
J
K
L
M
1/3 2/3
N P
R
C - S 0,615806214844
D - C 0,821074953125
D - S 0,410537476563
S - A 0,410537476563
C - J 1,231612429688
C - T 0,615806214844
S - T 0,355535883909
S - V 0,711071767818
T - A 0,205268738281
T - J 0,615806214844
S - J 0,615806214844
V - J 0,615806214844
A
B
C
D E F
G H J
K
L
M
1/3 2/3
N P
R
En la página anterior tenemos las medidas
fundamentales del trazado en curso, sin
entrar en consideraciones religiosas, solo
matemáticas, vamos a trazar la estrella de
David, o de seis puntas.
S T V
Ya tenemos el origen del cuadrado
y el centro de la circunferencia, en
el punto T, en la página siguiente
completamos el trazado.
1/2
A
B
C
P
T
A - B 0,821074953125
A - C 0,821074953125
A - T 0,205268738281
A - X 1,026343691407
B - X 2,052687382814
X
Con esto, lo único que se
demuestra es que para
realizar el famoso dibujo
Leonardo tuvo que partir
de la circunferencia, no
del cuadrado, ya que este
no devuelve un radio
exacto para hallar la
cuadratura del círculo.
Evidentemente, se parte
de los trazados gráficos,
los números solo sirven
para verificar los trazados
Obtener las medidas del
dibujo es sencillo una
vez se ha dado con la
solución, por tanto, dejo
este procedimiento sin
resolver.
Las principales, según
el texto de Vitruvio y
Leonardo, se indican a
continuación.
Para mí, lo que interesa
realmente, es solucionar
la cuadratura del círculo,
y el trazado geométrico,
cosa que hemos hecho
y demostrado. Por tanto
el hombre de Vitruvio,
ya tiene solución.
Fernando Güemes
1/10
1/10
1/8 1/4 1/7 1/6
1/10
1/10
1/8 1/4 1/3
1/6
1/4
1/4
1/8
1/4
1/4
1/4
1/5
El texto más explícito sobre las proporciones es aquel que describe
las del cuerpo humano: III,1 (B. 282; O.S. 58-59)
Compuso la naturaleza el cuerpo del hombre de suerte que su rostro, desde la barba hasta lo alto de la frente y la raíz del pelo es la décima parte de su altura. Otro tanto es la palma de la mano desde el nudo de la muñeca hasta el extremo del dedo largo. Toda la cabeza desde la barba hasta lo alto del vértice o coronilla es la octava parte del hombre. Lo mismo es por detrás desde la nuca hasta lo alto. Desde lo alto del pecho hasta la raíz del pelo es la sexta parte: hasta la coronilla la cuarta. Desde lo bajo de la barba hasta lo inferior de la nariz es un tercio del rostro: toda la nariz hasta el entrecejo otro tercio, y otro desde allí hasta la raíz del pelo y fin dela frente. El pie es la sexta parte de la altura del cuerpo: el codo la cuarta: el pecho también la cuarta. (El palmo la vigésimo cuarta). Todos los otros miembros tienen también su conmensuración proporcionada … Del modo mismo, pues, los miembros de los templos sagrados deben tener exactísima correspondencia de dimensiones década uno de ellos a todo el edificio. Luego si la naturaleza compuso el cuerpo del hombre de manera que sus miembros tengan proporción y correspondencia con todo él, no sin causa los antiguos establecieron también en la construcción de los edificios una exacta conmensuración de cada una de sus partes con el todo.
EL HOMBRE DE VITRUVIO
La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a la altura.
El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano.
Si se coloca un hombre boca arria, con sus manos y sus pies estirados, situando el centro del compás en
su ombligo y trazando una circunferencia, esta tocaría la punta de ambas manos y los dedos de los pies.
La figura circular trazada sobre el cuerpo humano nos posibilita el lograr también un cuadrado: si se mide
desde la planta de los pies a la coronilla, la medida resultante será la misma que se da entre la punta de
los dedos con los brazos extendidos; exactamente su anchura mide lo mismo que su altura, como los
cuadrados que trazamos con la escuadra.
La distancia entre el nacimiento del pelo y la barbilla es un décimo la altura del hombre.
La altura de la cabeza hasta la barbilla es un octavo de la altura de un hombre.
La distancia entre la barbilla a la nariz es un tercio de la longitud de la cara.
La distancia entre el nacimiento del pelo y las cejas es un tercio la longitud de la cara.
La distancia entre el nacimiento del pelo y la oreja también es un tercio de la longitud de la cara.
La distancia entre el nacimiento del pelo a la parte superior del pecho es un séptimo de la altura.
Entre la parte superior del pecho y la parte superior de la cabeza, una sexta parte.
La altura de la cabeza hasta el final de las costillas es un cuarto de la altura de un hombre.
La anchura máxima de los hombros es una cuarto de la altura de un hombre.
La distancia entre el codo al extremo de la mano es un quinto de un hombre.
Entre el codo y la axila, la octava parte.
La longitud de la mano es un decimo de su estatura.
El inicio de los genitales marca el centro del hombre.
La distancia entre la planta del pie y la base de las rodillas es la cuarta parte de la altura de un hombre.
Entre la base de la rodilla y los genitales, también es la cuarta parte.
Si abre tanto las piernas de forma que su altura disminuya en 1/14 y extiende los brazos, levantándolos
hasta que los dedos medios estén a la altura de la parte superior de su cabeza, el centro de los
miembros extendidos estará en el ombligo y el espacio que comprenden las piernas formará un triangulo
equilátero.
Cuatro dedos hacen una palma
Cuatro palmas hacen un pie
Seis palmas hacen un codo
Cuatro codos hacen la altura de un hombre
Cuatro codos hacen un paso
Veinticuatro palmas hacen un hombre