Post on 24-Jun-2015
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1.1. 3/133/13
2.2. 1/31/3
3.3. 11/1311/13
4.4. 11/911/9
5.5. indefinidoindefinido
2
22
2 3lim
2 3x
x xx x
1.1. ––1/21/2
2.2. 00
3.3. 1/41/4
4.4. 3/83/8
5.5. indefinidoindefinido
2
20.5
1lim
2 5 3x
xx x
1.1. 0.00.0
2.2. 0.40.4
3.3. 1.01.0
4.4. 2.52.5
5.5. indefinidoindefinido
2
21
1lim
2 5 3x
xx x
Decimos que el límite de f (x) según x se acerca a a
es L ( ) si para todo 0 existe un
0 tal que f (x) – L para todo x tal que
0 x – a .
¿Cómo funciona eso?
Definición Formal de LímiteDefinición Formal de Límite
limx a
f x L
Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta
2lim 10 3x
x
Por regla (basado en la intuición) el límite debe ser 17. ¿Cómo se demuestra eso por medio de la definición formal?
Hace falta una función:
Ahora para un épsilon positivo arbitrario 0 hay que fabricar un 0 que depende solamente del que hace cumplir la definición.
17
Sea f (x) = 10x – 3
Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta
2lim 10 3x
x
Para buscar esa 0 comenzamos desde lo deseado.
Al fin debe resultar f (x) – L para todo x tal que 0 x – a .
Así (10x – 3) – 17 tiene que resultar cuando x –
2 .
Queremos saber de x – 2, ¿qué se puede deducir de eso?
17
Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta
Al fin tiene que salir (10x – 3) – 17 <
Así 10x – 20 <
¿Qué conexión tiene eso con x – 2?
Al dividir todo por 10 da x – 2 < /10
¿Puede servir /10 como ?
Definir = /10 para ver si cumple la necesidad.
Como > 0, = /10 también es positivo.
Si x – 2 < = /10, entonces
10x – 20 < .
Por lo tanto (10x – 3) – 17 = 10x – 20 <
Así por definición
Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta
2
lim 10 3x
x
17
Otro Ejemplo de Épsilon DeltaOtro Ejemplo de Épsilon Delta 2
4lim 2 6x
x x
Por las reglas (basados en la intuición) el límite debe ser 30. ¿Cómo se demuestra eso por medio de la definición formal?
Hace falta una función:
Ahora para un épsilon positivo arbitrario 0 hay que fabricar un 0 que depende solamente del que hace cumplir la definición.
30
Sea f (x) = 2x2 + x – 6
Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta
Para buscar esa 0 comenzamos desde lo deseado.
Al fin debe resultar (2x2 + x – 6) – 30 para todo x cuando 0 x – 4 .
Queremos saber de x – 4 .
Si (2x2 + x – 6) – 30 tiene que resultar menor que , ¿qué se puede deducir de x – 4.
Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta
Si (2x2 + x – 6) – 30 < , entonces 2x2 + x – 36 <
¿Dónde está x – 4?
¿Qué da 2x2 + x – 36 cuando sustituye 4 por x?
Así se puede factorizar y tener(x – 4) (2x + 9) <
Se puede hacer x – 4 < ó hasta más pequeño, ¿qué se puede hacer con (2x + 9)?
¿Qué se necesita de (2x + 9) y cómo se puede lograr haciendo x muy cercano a 4?
Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta
Si x está bien cerca a 4, ¿qué se puede deducir del factor 2x + 9?
Debe estar casi 17. ¿Cuán casi necesitamos?
¿Sería suficiente asegurar que 2x + 9 no sobrepasa 20?
¿Cuán cerca a 4 tiene que ser x para asegurar 2x + 9 < 20?
2x + 9 < 20 2(x – 4) + 8 + 9 < 20
Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta
2(x – 4) + 17 < 20
–20 < 2(x – 4) + 17 < 20
–37 < 2(x – 4) < 3
–18.5 < x – 4 < 1.5
x – 4 < 1.5
Sería suficiente tener x – 4 < 1 para asegurar 2x + 9 < 20
Definir = menor de /20 y 1.
Como y 1 son positivos, > 0.
Si x – 4 < /20 y x – 4 < 1, entonces
2(x – 4) < 2
2x +9 = 2(x – 4) + 17 2(x – 4) + 17 < 2 + 17
2x +9 < 19 x – 42x +9 < /20 (19) <
(2x2 + x – 6) – 30 = (x – 4) (2x + 9) <
Así por definición
Ejemplo de Épsilon DeltaEjemplo de Épsilon Delta
2
4lim 2 6x
x x
30
Actividad del Día #03Actividad del Día #03
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