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TEXTO N 2
ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO
Conceptos Bsicos Clculo de Errores
Ajuste de una Recta
Edicta Arriagada D. Victor Peralta A Diciembre 2008
Sede Maip, Santiago de Chile
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Introduccin El objetivo fundamental de esta unidad es aplicar los conceptos fundamentales
de Teora de Error; para lo cual comenzaremos dando una explicacin de la
Teora de Errores, lo ms somera posible y fundamentalmente prctica, que
pueda servir al alumno cuando efecte sus trabajos tericos o prcticos en el
Laboratorio de Fsica, y tener en todo momento conciencia de la realidad de los
valores que va determinando y entre que lmites se est moviendo con relacin
al valor verdadero de los valores que obtiene.
Por mucho que sea la diligencia y cuidado al realizar cualquier
determinacin prctica fsica, y por muy sensibles y precisos que sean los
aparatos utilizados, es prcticamente imposible el evitar errores, considerando a
stos como la variacin entre los valores hallados y el real o verdadero, el cual
generalmente nos es desconocido.
Tampoco el error, aunque lo conociramos, nos dara una medida cierta
de su importancia, ya que sta depender no de la magnitud de dicho error, sino
de la magnitud de la medida a valorar y de la necesidad de aproximacin a su
valor real. Una diferencia, por ejemplo, de 0,1 mm en la medida del espesor de
un cabello, no se podr considerar como buena, pero esa misma diferencia en la
medida de la distancia entre Santiago y Valparaso podra considerarse como
extraordinaria.
No se entrara en desarrollos matemticos complejos en esta explicacin,
sino que va a definir los errores que servir al alumno para saber en que grado
de aproximacin se encuentra con el valor verdadero, apoyndose en las
mediciones obtenidas.
Todas las medidas experimentales vienen afectadas de una cierta imprecisin
debida a las imperfecciones del aparato de medida o a las limitaciones
impuestas por nuestros sentidos, que deben registrar la informacin. El principal
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objetivo de la teora de errores consiste en acotar el valor de dichas
imprecisiones denominadas errores experimentales.
Instrumentos de medida: exactitud, precisin y sensibilidad La parte fundamental de todo proceso de medida es la comparacin de cierta
cantidad de la magnitud que deseamos medir con otra cantidad de la misma que
se ha elegido como unidad patrn. En este proceso se utilizan los instrumentos
de medida que previamente estn calibrados en las unidades patrn utilizado.
Un instrumento de medida se caracteriza por los siguientes factores:
Exactitud: Se define como el grado de concordancia entre el valor verdadero y el valor experimental, de modo que un aparato es tanto ms
exacto cuanto ms aproximado es el valor de la medida realizada al valor
verdadero de la magnitud medida.
Precisin: Hace referencia a la concordancia entre varias medidas de la misma magnitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales. Es por
tanto un concepto relacionado con la dispersin de las medidas, de modo
que un aparato ser tanto ms preciso cuanto menor sea la diferencia
entre distintas medidas de una misma magnitud
Sensibilidad: Es la variacin de la magnitud a medir que es capaz de apreciar el instrumento. Mayor sensibilidad de un aparato indica que es
capaz de medir variaciones ms pequeas de la magnitud medida.
Clasificacin de los errores El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido
experimentalmente.
Los errores siguen una ley determinada y su origen reside en mltiples causas, y
respecto a ellas se pueden clasificar en dos grandes grupos:
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1. Errores sistemticos: Tienen que ver con la metodologa del proceso de medida (forma de realizar la medida):
Calibrado del aparato. Normalmente errores en la puesta a cero. En algunos casos errores de fabricacin del aparato de medida que
desplazan la escala. Una forma de arreglar las medidas es valorando si el
error es lineal o no y descontndolo en dicho caso de la medida.
Error de paralaje: cuando un observador mira oblicuamente un indicador (aguja, superficie de un lquido,...) y la escala del aparato. Para tratar de
evitarlo o, al menos disminuirlo, se debe mirar perpendicularmente la
escala de medida del aparato.
2. Errores accidentales o aleatorios: Se producen por causas difciles de controlar; por ejemplo momento de iniciar una medida de tiempo,
colocacin de la cinta mtrica, etc. Habitualmente se distribuyen
estadsticamente en torno a una medida que sera la correcta. Para
evitarlo se deben tomar varias medidas de la experiencia y realizar un
tratamiento estadstico de los resultados. Se toma como valor o medida
ms cercana a la realidad la media aritmtica de las medidas tomadas.
Clculo de errores: Error Absoluto, Error Relativo.
Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una
frmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos
tipos de errores que se utilizan en los clculos:
Error absoluto (Ea.): Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto (valor verdadero o valor probable). Puede ser
positivo o negativo, segn si la medida es superior al valor real o inferior a
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el, (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las
de la medida.
Si llamamos x a la medicin y V al valor verdadero o valor probable, el
error absoluto ser:
Observacin:
Se define tambin como error absoluto de una magnitud tomada de un
conjunto de datos, como la semi diferencia entre los valores extremos (el
mayor valor menos el menor valor de las mediciones realizadas, es decir.
Error relativo (Er): Es el cociente (la divisin) entre el error absoluto y el valor verdadero o probable. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por
ciento (%) de error o error porcentual. Al igual que el error absoluto puede
ser positivo o negativo (segn lo sea el error absoluto) porque puede ser
por exceso o por defecto. no tiene unidades.
El "Error Relativo", definido por el cociente entre el error absoluto y el valor
real, est dado por la frmula:
VxEa =
2aEMenorMayor xx =
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El Error Porcentual se obtiene al multiplicar por 100 el Error Relativo; es decir:
Clculos con datos experimentales:
En las Ciencias Experimentales, las reglas que generalmente se adoptan en el
clculo con datos experimentales son las siguientes:
Una medida se deber repetir tres cuatro veces para intentar neutralizar
el error accidental.
Se tomar como valor real o valor probable (que se acerca al valor
exacto) la media aritmtica simple de los resultados o promedio de las
mediciones.
El error absoluto de cada medida ser la diferencia entre cada una de las
medidas y ese valor tomado como exacto (la media aritmtica).
El error relativo de cada medida ser el error absoluto de la misma
dividido por el valor tomado como exacto (la media aritmtica).
Ejemplo 1.- Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s
Valor que se considera exacto o real (V):
s 12,31175,3447,12
43,153,203,113,01 V ==+++=
Error Porcentual = 100%
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Errores absoluto y relativo de cada medida:
Medidas Errores absolutos Errores relativos 3,01 s 3,01 - 3,12 = - 0,11 s -0,11 / 3,12 = - 0,036 (- 3,6%) 3,11 s 3,11 -3,12 = - 0,01 s -0,01 / 3,12 = - 0,003 (- 0,3%) 3,20 s 3,20 -3,12 = + 0,08 s +0,08 / 3,12 = + 0,026 (+ 2,6%) 3,15 s 3,15 - 3,12 = + 0,03 s +0,03 / 3,12 = + 0,010 (+ 1,0%)
Ejemplo 2: En el siguiente cuadro se muestran los resultados de siete mediciones de distancia (N=7) recorrida por un carrito de laboratorio:
Medicin Medicin
(x) N cm 1
2
3
4
5
6
7
2,83
2,85
2,87
2,84
2,86
2,84
2,86
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Determinar:
a) El valor probable o verdadero (V).
b) Error absoluto, error relativo y error porcentual de la 3 y 4 medicin.
c) Comparar los errores y decir que medida es mejor
d) Calcula la distancia ms probable y el error cometido
Solucin (a)
Valor probable o verdadero V
85,2795,19
72,862,842,862,842,872,852,83 V ==++++++=
Es decir:
Valor Verdadero V= 2,85cm.
Solucin (b)
Clculo del error absoluto de las mediciones 3 y 4
Si x3= 2,87 y V= 2,85 al reemplazar en Ea = x V
Se obtiene el error absoluto:
Ea3= 2,87 2,85
Ea3= 0,02
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Si x4= 2,84 y V= 2,85 al reemplazar en Ea= x V
Se obtiene el error absoluto:
Ea4= 2,84 2,85
Ea4= - 0,01
Clculo del error relativo de las mediciones 3 y 4
Si V= 2,85 y Ea3=0,02 al reemplazar en xa
rE
E =
Se obtiene el error relativo:
85,20,02E r =
Dividiendo se obtiene el error relativo:
007,0Er =
Si V= 2,85 y Ea4=-0,01 al reemplazar en xa
rE
E =
Se obtiene:
85,20,01-E r =
Dividiendo se obtiene el error relativo:
0035,0Er =
Clculo de error porcentual de la medida 3
100EE rPorcentual 3 = Entonces:
10
%7,0100007,0E Porcentual 3 == Clculo de error porcentual de la medida 4
100EE rPorcentual 4 =
%35,01000035,0E Porcentual 4 ==
Solucin (c)
Como el error de la tercera medicin es un error por exceso de un 0,7% y el de la cuarta medicin es un error por defecto de un 0,35%. Se puede afirmar que la mejor medicin es la cuarta
Solucin (d)
Para el clculo del error absoluto de todas las mediciones aplicaremos la dispersin de las medidas (mtodo estadstico)
El Valor Verdadero de la medicin es V= 2,85cm
Clculo de la desviacin media o error absoluto de las mediciones
NV
E = xa
( ) ( ) ( ) ( ) ( )7
85,286,2... ...85,284,285,287,285,285,285,283,2E +++++=a
01,0011,0708,0E ==a
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El resultado anterior significa que el carrito recorri una distancia de 2,85 metros y en la medicin se produce un error absoluto de aproximadamente 0,01m
Cifras significativas:
Las cifras significativas de una medida estn formadas por los dgitos que se
conocen no afectados por el error, ms una ltima cifra sometida al error de la
medida. As, por ejemplo, si decimos que el resultado de una medida es 3,72 m,
sern significativas las cifras 3, 7 y 2; donde los dgitos 3 y 7 son cifras exactas y
el dgito 2 puede ser errneo. O sea, el aparato de medida puede medir hasta
las centsimas de metro (centmetros), aqu es donde est el error del aparato y
de la medida. Por tanto, el alumno ha de tener en cuenta:
Que en fsica y en qumica el nmero de dgitos en el resultado de una
medida (directa o indirecta) es importante. No se puede anotar todos los
dgitos que da la calculadora. Los resultados no pueden ser ms precisos
que los datos de donde se obtienen, es decir, los resultados deben tener
tantas cifras significativas o menos que los datos de procedencia.
No es lo mismo 3,70 m que 3,7 m. En el primer caso queremos decir que
se ha precisado hasta la centsima mientras que en el segundo caso
slo hasta la dcima, es decir la primera medicin es ms precisa.
decmetros.
Un aparato de medida debera tener el error en el ltimo dgito que es
capaz de medir. As si tengo una regla cuya escala alcanza hasta los
milmetros, su error debera ser de ms o menos algn milmetro. Si el
error lo tuviese en los centmetros no tendra sentido la escala hasta los
milmetros.
Cuando el resultado de una operacin matemtica nos d como resultado un
nmero con demasiados dgitos hemos de redondearlo para que el nmero de
cifras significativas sea coherente con los datos de procedencia.
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Ejemplo.
Se mide cinco veces la distancia entre dos puntos y se obtienen como resultados
4,56 m; 4,57 m; 4,55 m; 4,58 m; 4,55 m. Si calculamos la media aritmtica
(sumamos todas las medidas y dividimos por el total de medidas, cinco en este
caso) da como resultado 4,562 m. Como el aparato no sera capaz de medir
milsimas, redondeamos y nos queda 4,56 m como medida real.
EJERCICIOS RESUELTOS TEORIA DE ERRORES
1)
Un alumno quiere determinar el volumen de gas desprendido, para ello realiza la experiencia cuatro veces. Los resultados obtenidos son: 100,0 cm3 ; 98,0 cm3 ; 101,0 cm3 ; 97,0 cm3 Determinar el error absoluto y relativo de la medida 101,0 cm3
Valor real o probable del volumen del gas V :
( ) 33 994
97,0101,098,0100,0V cmcm =+++=
Error absoluto aE :
V E = xa
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99,0 0,101E =a
0,2E =a
Error relativo rE :
100VE
E ar =
%02,21000202,01000,990,2E r ===
2) Calcular el error absoluto, si al medir 10,2537 gr. de una sustancia se obtiene un valor de 10,2100 gr. Solucin:
Clculo de error absoluto de la medicin
Como x= 10,2100 y la medida verdadera es V= 10,2537, se obtiene
VE = xa
2537,012100,10E =a
0437,0E =a
El signo negativo significa que es un error por defecto.
3) Calcular el error relativo cometido si al medir 10,2357gr de una sustancia obtenemos un valor de 10,21gr.
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Solucin:
El error relativo se define como VE
E ar =
Y
0257,010,2357-10,21VEa === x
Entonces el error relativo es:
00251,010,2357
0,0257-E r ==
Es decir el error porcentual de la medicin es de un -0,251%
4) Al medir una mesa con una cinta mtrica de 1mm de resolucin se obtiene un resultado de 115,2 cm. Calcular el error absoluto y el error relativo cometido Solucin:
El valor real de la medicin corresponde a: cmV 2,115= y el error absoluto corresponde a:
E a= 1mm = 0,1cm
Como el error relativo se define VE
E ar = al reemplazar los datos se
obtiene:
000868,02,115
1,0==rE
Es decir el error porcentual es de %0868,0 5) Al masar 2,2558 kg de una sustancia obtenemos un valor de 2,24kg. Hallar el error absoluto y el error relativo porcentual de esta medida. Solucin:
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Clculo del error absoluto: VEa = x
kgkg 2558,224,2Ea =
0158,0Ea =
Clculo del error relativo porcentual: 100=VE
E ar
700,01002558,20158,0
=
=PE
Es decir, el error porcentual corresponde a un 0,7% por defecto 6) Al masar un objeto tres veces hemos obtenido los siguientes resultados: 20,08g, 19,87g y 20,05g. Calcular el error absoluto y relativo de la segunda medicin. Solucin: Clculo del valor probable o verdadero V
( ) ggV 00,203
05,2087,1908,20=
++=
Clculo del error absoluto
E a = 19,87g 20,00g
E a = 0,13g Clculo del error relativo porcentual
%65,010000,2013,0
=
=PE
Es decir el error por defecto de la segunda medicin es de 0,65%
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7) Tres personas han medido la distancia recorrida por un mvil y han anotado los siguientes resultados: 37,5 m, 37,8 m y 37,4 m. Calcular la medida ms probable, el error absoluto y relativo cometido en la medicin. Solucin: Medida ms probable:
6,37566,373
4,378,375,37=
++==
Nx
V i
Es decir la distancia medida ms probable es aproximadamente de 37,6 cm. Error absoluto: En este caso como existe un conjunto de datos, se utilizar la semi diferencia entre los valores mximo y mnimo, es decir:
2,02
4,378,372
xEa Mayor ==
= Menor
x
Error relativo:
0053,06,372,0
===VE
E ar
Esto significa que en la medicin se ha cometido un error por exceso de 0,53%
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AJUSTE DE UNA RECTA
Muchas veces se deben representar los datos obtenidos en una medicin y
hallar la funcin que describe su comportamiento. Cuando esta funcin es una
recta de la forma y=mx +n, se emplea el Mtodo de los Mnimos Cuadrados,
que nos da el valor de los coeficientes m y n con su error, es decir:
(1) XXXX
YXXY
SSSNSSSNm
=
(2) XXXX
XYXYXX
SSSNSSSSn
=
Donde:
= iiXY yxS
( ) == 2iiiXX xxxS
= iX xS , = iY yS
Para medir la calidad de este ajuste, es decir, si los datos estn ms o menos
cerca de los valores tericos que nos da la recta calculada, se emplea el
coeficiente de correlacin (r), que est acotado entre -1 y 1. Este coeficiente es
tanto mejor cuanto ms se acerque a alguno de estos valores y peor cuanto ms
se acerque a cero. La frmula de coeficiente de correlacin es:
( )[ ] ( )[ ]22 YYYXXXYXXY
SNSSSN
SSSNr
=
Supongamos que hemos obtenido N medidas independientes de dos magnitudes fsicas x e y, y que tericamente, estn relacionadas por medio de una cierta funcin en la que aparecen varios parmetros:
Y = f(x, a, b) Donde:
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a, b son parmetros, que pueden representar magnitudes fsicas
constantes.
(Xi , Yi) con i = 1,2, , n medidas experimentales.
Ejemplo: Y = a x + b. Una funcin de este tipo la encontramos en la prctica de un Movimiento Rectilneo Uniforme, donde Y es la distancia d recorrida por un mvil; x el tiempo t empleado en recorrerla. El parmetro a ser entonces, la velocidad media o constante del mvil que designamos por mv y b debe ser nulo, lo que expresamos:
tvd m =
Para fijar ideas vamos a efectuar un ajuste a una recta, cuya funcin es Y = a x + b , cuyos datos y clculos estn representados en la siguiente tabla
i X i Yi X i Y i X2 i Y2 i (n+mX i - Y i)2 1 1 1,5 1,5 1,0 2,25 0,042 2 2 2,0 4,0 4,0 4,00 0,052 3 3 4,0 12,0 9,0 16,00 0,699 4 5 4,6 23,0 25,0 21,16 0,187 5 6 4,7 28,0 36,0 22,09 1,606 6 8 8,5 68,0 64,0 72,25 0,440 7 9 8,8 79,2 81,0 77,44 0,000 8 10 9,9 99,0 100,0 98,01 0,037
N = 8 SX = 44 SY = 44 SXY = 314,9 SXX =320 SYY =313,2 S = 3,063 Parmetros de ajuste:
935,04444320844449,3148
=
=
=XXXX
YXXY
SSSNSSSNm
36,044443208
9,3144444320=
=
=XXXX
XYXYXX
SSSNSSSSn
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Clculo del coeficiente de correlacin:
( )[ ] ( )[ ]22 YYYXXXYXXY
SNSSSN
SSSNr
=
Sacando los valores de la tabla se tiene:
( )[ ] ( )[ ] 978,0442,313844320844449,3148
22=
=r
Esto significa que el modelo es aceptable ya que representa un 97,8% al ajuste realizado.
Grfico correspondiente a los datos de la tabla
Y
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Ahora aplicamos los valores de m y n en la nueva recta de regresin: nxmY ii += para cada punto ( )ii yx , de la tabla.
La grfica con su respectivo ajuste est representada en la siguiente imagen:
ix nmxY ii += 1 1,30 2 2,23 3 3,17 5 5,04 6 5,97 8 7,84 9 7,78
10 9,71
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EJERCICIOS PROPUESTOS CALCULO DE ERROR
1) Determinar el error absoluto y el error relativo, si al pesar 50,06 kg de masa de una sustancia se obtuvo un valor de 50,3 kg
Sol: 0,24kg , 0,48%
2) En un circuito cerrado de velocidad se desea determinar el tiempo que tarda un automvil en pasar de 0 a 100 km /h a mxima potencia. Previamente se asume que la experiencia tendr errores experimentales difciles de eliminar, tales como: tiempo de reaccin del conductor, respuestas especficas del motor, tiempo atmosfrico (humedad, viento), etc. Para intentar reducirlas se ha repetido la experiencia cinco veces, dando como resultado los siguientes tiempos: 11,2 s; 10,9 s; 11,1 s; 11,0 s; 10,8 s. a) Qu cifra debes poner como tiempo que tarda el vehculo en pasar de cero a 100 km / h? b) Cul es el error absoluto de cada medida? c) Cul es el error relativo porcentual de cada medida? 3) Para un cubo cuya arista es de 10,5 0,5 cm, calcular el error relativo y porcentual de la superficie y el volumen.
Respuesta: 0,095 y 9,52 % 0,143 y 14,3 % 4) Calcular el error absoluto cometido si al pesar 10,2537 g de una sustancia obtenemos un valor de 10,21 g.
Respuesta: 0,0437 g 5) Calcular el error relativo y el error relativo porcentual cometido si al pesar 10,2537 g de una sustancia obtenemos un valor de 10,21 g. Respuesta: 0,00426 0,426% 6) Al medir una mesa con una cinta mtrica de 1 mm de resolucin se obtiene un resultado de 115,2 cm. Calcular el error absoluto y el error relativo cometidos. (Como no podemos calcular la dispersin, el Ea es igual a la resolucin del aparato, por tanto: Ea = 0,1 cm.) Respuesta: 0,1 cm. 8,710-4
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7. En el laboratorio se tomaron las mediciones del tiempo (xi) que demora una bolita al desplazarse (yi) en una superficie sin roce, con movimiento rectilneo uniforme (M.R.U.) Completar la tabla, graficar y ajustar la recta resultante
i ix iy ii yx 2ix 2
iy 1 1,0 2,0 2 2,0 4,0 3 3,2 6,0 4 4,1 8,0 5 5,1 10,0 6 6,2 12,0 7 7,0 14,0 8 8,0 16,0 N =8 =xS =yS =xyS xxS yyS
Solucin:
i ix iy ii yx 2ix 2
iy 1 1,0 2,0 2,0 1,0 4,0 2 2,0 4,0 8,0 4,0 16,0 3 3,2 6,0 19,2 10,24 36,0 4 4,1 8,0 32,8 16,81 64,0 5 5,1 10,0 51,0 26,01 100,0 6 6,2 12,0 74,4 38,44 144,0 7 7,0 14,0 98,0 49,0 196,0 8 8,0 16,0 128,0 64,0 256,0 N =8 =xS 36,6 =yS 72,0 =xyS 413,4 xxS = 209,5 yyS = 812,0
Ecuacin de regresin 138,0990,1 =+= xnmxY
x 1,0 2,0 3,2 4,1 5,1 6,2 7,0 8,0 Y 1,85 3,84 6,23 8,02 10,01 12,20 13,79 15,78
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- M. Alonso E Finn
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Medicin(x)BIBLIOGRAFA