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CLASE 03 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Ing William León Velásquez
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Ing. William León Velásquezwleonv20@yahoo.com
Son valores numéricos que tiendena localizar, en algún sentido, laparte central de un conjunto dedatos.
A menudo el término promedio se
if
pasocia a estas mediciones. Cadauna de las diferentes medidas detendencia central puede recibir elnombre de valor medio o promedio.
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MEDIDAS DE
TENDENCIA
CENTRAL
Conocer el dato que aparece con mayor frecuencia en el conjunto.
Saber cuál es el número que está a igual distancia de los valores
if
máximo y mínimo. el número que resultaría de repartir
el total de los datos equitativamente entre el número de individuos.
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MEDIDAS DE
TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de tendenciacentral son útiles como“descriptivas” del conjuntode datos, pero no puededecirse que una de ellas esmás descripti a q e las
if
if if más descriptiva que lasotras; depende de los datosque tenga más sentidoutilizar una u otra.
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if if
MEDIDAS DE
TENDENCIA
CENTRAL
Media Aritmética :
Mediana : Meif ifx
x
ed a a e
Moda : Mo
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if ifx
MEDIDAS DE
TENDENCIA
CENTRAL
Es el valor que tomaría cadauno de los datos si el total delos valores se repartierauniformemente entre elnúmero de ellosifx número de ellos.
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ifx
MEDIA
ARIMÉTICA
CLASE 03 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Ing William León Velásquez
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La media aritmética es unamedida muy precisa, por lomenos bajo ciertascircunstancias, por ejemplo,cuando la presencia de valoresextremos no es significativa.extremos no es significativa.La media aritmética juega unpapel importante en laestadística descriptiva, peropor ser una medida de altaprecisión, su rol esfundamental en la estadísticainferencial.
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MEDIA
ARIMÉTICA
Media poblacional :
Media muestral :
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)X(M,x
MEDIA
ARIMÉTICA
La media aritmética de n números tales como X1 , X2 , ....... , Xn
se define como la suma de losvalores de los n números divididosif if
x
valores de los n números, divididosentre n.
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if if
n
n
1iiX
X
MEDIA
ARIMÉTICA
SIMPLE
Ejemplo: Las edades correspondientes a cinco
alumnos de la UNMSM son las siguientes:
x
23 , 27 , 19 , 24 , 21
Calcular la edad promedio.
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MEDIA
ARIMÉTICA
SIMPLE
5
x
5
2124192723
5
5
1
i iX
X
.8,225
5
1 añosi iXX
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El promedio de edades es de 22.8 añosMEDIA
ARIMÉTICA
SIMPLE
Sean X1 , X2 , ....... , Xk valoresde la variable X con sus respectivasfrecuencias absolutas f1 , f2 ,...... , fk ,
x
la media de X se calcula mediante lassiguientes fórmulas:
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MEDIA
ARIMÉTICA
PONDERADA
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3
x
Usando frecuencias absolutas:
Usando frecuencias relativas:
k
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n
fX
x
k
1iii
k
1iii hXx
MEDIA
ARIMÉTICA
PONDERADA
Ejemplo:1.-La siguiente tabla muestra la distribución del peso de un grupo de personas.
x
Peso N º de personasXi f158 7
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MEDIA
ARIMÉTICA
PONDERADA
58 765 1270 972 1478 6Total n = 48
Calcular e interpretar el promedio aritmético del peso.
x
.6958,6848
3292
48
5
1 skiloi iXifX
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4848
En promedio de peso de estas personas es aproximadamente de 69 kilos.
MEDIA
ARIMÉTICA
PONDERADA
Ejemplo:2.-Un grupo de personas han sido clasificadas de acuerdo a su edad, obteniéndose los siguientes resultados.
x
Edad Nº de PersonasXi fi
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MEDIA
ARIMÉTICA
PONDERADA
18 4 0,1220 12 0,3524 6 0,1827 10 0,2930 2 0,06Total n = 34 1,00
if if
x
años2311,235
1iiXihX
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if if
Nota: En el caso de intervalos es la marca de clase. iX
En promedio estas personas tienen una edad de 23 años
MEDIA
ARIMÉTICA
PONDERADA
Ejemplo:3.-La siguiente es la distribución del número de accidentes registrados durante 60 meses en cierta ciudad.
f
x
Nº Accident. Nº mesesIi : ´[Li 1 Li]
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if x
MEDIA
ARIMÉTICA
PONDERADA
Ii : [Li-1 - Li]10 – 19 2 14,520 – 29 10 24,530 – 39 4 34,540 – 49 16 44,550 – 59 20 54,560 – 69 8 64,5Total n = 60
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Nota:La media aritmética es quizála medida de tendenciacentral más comúnmenteusada
x
usada.Sin embargo, no es siempreideal usarla como unpromedio, porque es muysensible a los valoresextremos.
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MEDIA
ARIMÉTICA
PONDERADA
if ifx
x
.accidentes465,4560
273060
6
1iiXif
X
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if ifx
En promedio en esta ciudad se registran 46 accidentes
MEDIA
ARIMÉTICA
PONDERADA
Ejemplo:4.-Calcular el promedio aritmético de los pesos de un conjunto de alumnos y que se muestran en la siguiente tabla de distribución de frecuencias.
if if
x
Peso Nº alumnos
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if if
MEDIA
ARIMÉTICA
PONDERADA
Peso N alumnosXi
Ii : [Li-1 - Li[50 – 55 255 – 60 1060 – 65 465 - 70 8Total n =
if ih
x
if ifx1
4
i iXihX
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if ifx
?XMEDIA
ARIMÉTICA
PONDERADA
Peso Nº alumnos XiIi : [Li-1 - Li[50 – 55 2 0.08 52.555 – 60 10 0.42 57.5
x
ihif
60 – 65 4 0.17 62.565 - 70 8 0.33 67.5Total n = 24
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MEDIA
ARIMÉTICA
PONDERADA
Xi *xi
0.08 52.5 4.200.42 57.5 24.15
x
ihih
0.17 62.5 10.360.33 67.5 22.28
Total 61.26
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MEDIA
ARIMÉTICA
PONDERADA
El promedio aritmético de los alumnos es de 61.26 Kg.
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La media ponderada es unamedida de tendenciacentral, se construyeasignándole a cada clase un
bt i dpeso, y obteniendo unpromedio para los pesos.
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MEDIA
PONDERADA
n
i
n
iii
w
w
xwx 1
donde i
i1
idatox
nponderacióoxparapesodevalorw
i
ii
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MEDIA
PONDERADA
Ejemplo:En una asignatura se asignan pesos de importancia, de la siguiente forma: Unida I (20% del curso), Unidad II (25% del curso), Unidad III (20% del curso), Unidad IV (15% de la calificación)if ifx Unidad IV (15% de la calificación), Unidad V (20% de la calificación ). Si las calificaciones de un alumno son 8 en la primera unidad, 5 en la segunda, 8 en la tercera unidad, 10 en la cuarta unidad y 8 en la última unidad.
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if ifx
MEDIA
PONDERADA
Es decir, se tienen la siguiente tabla:
Unidad Ponderación (Wi) Datos (Wi)
I 20% = 0.2 8if ifx
II 25% = 0.35 5
III 20% = 0.2 8
IV 15% = 0.15 10
V 20% = 0.10 8
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if ifx
MEDIA
PONDERADA
25.71.0
7.25
0.100.150.20.350.2
(0.1)8(0.15)10(0.2)8(0.35)5(0.2)8
wx
El promedio de los alumnos es 7.25
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MEDIA
PONDERADA
Observe que diferencia existe con la media aritmética. La media para los datos es igual a
810888.7
5
810858
x
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MEDIA
PONDERADA
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Si una muestra de tamaño n se particiona en k muestras de tamaño cada una con su correspondiente
if if
in
promedio aritmético ,
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if if
ix
MEDIA
ARIMÉTICA
TOTAL O GLOBAL
Entonces el promedio aritmético para los k grupos juntos se calcula mediante:
xnk
ii
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n
xn
x 1iii
T
k
1iinn
donde
MEDIA
ARIMÉTICA
TOTAL O GLOBAL
Se tienen los datos correspondientes a la duración de los focos (horas) en las empresas A y B. Calcular el promedio aritmético para las dos empresas juntas.
Empresa A Empresa B
Duración Nº Duración Nº
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MEDIA
ARIMÉTICA
TOTAL O GLOBAL
focos ni focos ni
17 7 12-18 7
23 5 18-24 4
28 8 24-30 12
35 15 30-38 5
42 7 38-46 3
n -> 42 n -> 31
Empresa A Empresa B
ni xi ni xi
17*7=119 15*7=105
23*5=115 21*4= 84
28*8=224 27*12=324
35*15=525 34*5=170
42*7=294 42*3=126
1277/42 809/31
30.40 26.10
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MEDIA
ARIMÉTICA
TOTAL O
GLOBAL
73
10,263140,30421
k
iTx
horasx T 2957,28
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MEDIA
ARIMÉTICA
TOTAL O
GLOBAL
A pesar de las buenas propiedades que ofrece la media, ésta posee algunos inconvenientes: Es muy sensible a los valores extremos de la variable: ya que todas las b i i t i l ál lobservaciones intervienen en el cálculo
de la media, la aparición de una observación extrema, hará que la media se desplace en esa dirección
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INCONVENIENTES
DE LA MEDIA
ARIMÉTICA
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Calcular la edad promedio de cinco personas, cuyas edades son:
18 20 19 23 55if ifx
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if ifx
años275
135X
INCONVENIENTES
DE LA MEDIA
ARIMÉTICA
Decir que la edad representativa es de 27 años , es erróneo
En consecuencia, NO ES RECOMENDABLE USAR LA MEDIA
if ifx COMO MEDIDA CENTRAL EN LAS DISTRIBUCIONES MUY ASIMÉTRICAS
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if ifx
INCONVENIENTES
DE LA MEDIA
ARIMÉTICA
La suma de las diferencias de los datos y la media nos representa un promedio simétrico de la información, es decir, se cumple la siguiente relación:
if ifx
0xxi
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if ifx
PROPIEDADES
DE LA MEDIA
ARIMÉTICA
La demostración es la siguiente
xxxx ii
if ifx como la media es una constante y
xnx
xxxx
i
ii
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if ifx como la media es una constante y además la suma se supone con respecto n valores entonces
PROPIEDADES
DE LA MEDIA
ARIMÉTICA
empleando la definición de la media
n
xx i
if ifx t d
0
ii
ii
ii
xxn
xnx
xxxx
ING. WILLIAM LEON V. 41
if ifx tendremos:
PROPIEDADES
DE LA MEDIA
ARIMÉTICA
La media al ser traslada o remplazadapor una cantidad constante para cadauna de las medidas se modifica de laforma
if ifx
cxy
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if ifx
PROPIEDADES
DE LA MEDIA
ARIMÉTICA
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Demostración.Sea una muestra de nmediciones las que se lesremplaza sumándoles una cantidadc, es decir,
if ifx
ycxycxy ,, 32211
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if ifx
PROPIEDADES
DE LA MEDIA
ARIMÉTICA
cxycx nn ,,3
por lo que al obtener la media para tenemoscxi
n
cxy i
i
if ifx
cxn
ncx
n
c
n
x
n
i
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if ifx
PROPIEDADES
DE LA MEDIA
ARIMÉTICA
Completar las siguientes tablas de distribución de frecuencias, para la información dada:
1.- Xi : edad f1 = 4 f2 - f5 = 2= 50
if if
xX1 = 10 f3 = 20Simétrica k = 5
u.e.: personas
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if if x
EJERCICIOS
f2-f5 = 2 f2 = 6
n
Xfx
ii ii Xfxn
40 * 50 = f1X1 + f2X2 + f3X3 + f4X4 + f5X52000 = 4x10 + 6(X1+A)+ 20(X1+2A)+ 6(X1+3A)+ 4(X1+4A)
A = 20
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n
EJERCICIOS
Edad[Li-1-Li[
E. prom
Xi
Nº pers.
fi
Prop. pers
hi
% pers.hi%
Nº pers.
Fi
Prop.PersHi
% pers.Hi%
0- 20 10 4 0,10 10 4 0,10 10
20- 40 30 6 0 15 15 10 0 25 25if ifxxx 30 6 0,15 15 10 0,25 25
40- 60 50 20 0,50 50 30 0,75 75
60- 80 70 6 0,15 15 36 0,90 90
80-100 90 4 0,10 10 40 1,00 100
TOTAL 40 1,00 100 - -
ING. WILLIAM LEON V. 47
if ifxxx
EJERCICIOS
Completar las siguientes tablas de distribución de frecuencias, para la información dada:
2.- Xi : temperatura f5 = 9H1 = 0,12 k = 6X3 = 10 H2 = 0,28f1 = f6 = 6 A = 10u.e.: Días. =15,2
ING. WILLIAM LEON V. 48
x
EJERCICIOS
CLASE 03 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Ing William León Velásquez
9
hi =
nhi = fi 29 + f3 + f4 = 50f3 + f4 = 21
n =
nf i
n
Xfx
ii
ii Xfxni
i
f
h
n = 50 x15,2 = -60 + 0 + 10f3 + 20f4+270+24031 = f3 + 2f4
n = 50 f4 = 10 f3 = 11
ING. WILLIAM LEON V. 49
if = 50
0,12
6
EJERCICIOS
Temperatura
[Li-1-Li[
T. prom.
Xi
Nº días
fi
Prop. días
hi
% díashi%
Nº días
Fi
Prop.díasHi
% díasHi%
-15--5 -10 6 0,12 12 6 0,12 12
-5- 5 0 8 0,16 16 14 0,28 28
5-15 10 11 0,22 22 25 0,50 50
15-25 20 10 0,20 20 35 0,70 70
25-35 30 9 0,18 18 44 0,88 88
35-45 40 6 0,12 12 50 1,00 100
TOTAL 50 1,00 100 - -
ING. WILLIAM LEON V. 50EJERCICIOS
Sea una distribución de frecuencias (x, n). La media geométrica, que denotaremos por G. se define como la raíz N-ésima del producto de los N valores de ladel producto de los N valores de la distribución.
G = nkk
nN n xxx ·····22
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MEDIA
GEOMETRICA
Si los datos están agrupados en intervalos, la expresión de la media geométrica, es la misma, pero utilizando la marca de clase (Xi).El uso mas frecuente de la media geométrica es el de promediar
if ifxxx geométrica es el de promediar variables tales como porcentajes, tasas, números índices. etc., es decir, en los casos en los que se supone que la variable presenta variaciones acumulativas.
ING. WILLIAM LEON V. 52
if ifxxx
MEDIA
GEOMETRICA
1. Las siguientes temperaturas han sidotomadas de un proceso químico, 13.4oC,12.8, 11.9, 13.6, determine la temperaturapromedio de este proceso.
ING. WILLIAM LEON V. 53
Solución:
G = 44 796827758613911812413 ..x.x.x.
= 12.9077 oC
MEDIA
GEOMETRICA
2. Las siguientes temperaturas han sidotomadas de un proceso para fabricarqueso chihuahua, 21.4oC, 23.1, 20.2,19.7, 21.0, determine la temperaturapromedio de este proceso.
55 8524131070021719220123421 ..x.x.x.x.
ING. WILLIAM LEON V. 54
Solución:G =
= 21.048 oC
MEDIA
GEOMETRICA
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En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución.Los valores extremos tienen menor influencia que en la media aritmética.
úEs única.Su cálculo es más complicado que el de la media aritmética.
ING. WILLIAM LEON V. 55
MEDIA
GEOMETRICA
Además, cuando la variable toma almenos un x = 0 entonces G se anula, ysi la variable toma valores negativos sepueden presentar una gama de casosparticulares en los que tampoco quedaparticulares en los que tampoco quedadeterminada debido al problema de lasraíces de índice par de númerosnegativos.
ING. WILLIAM LEON V. 56
MEDIA
GEOMETRICA
En muchas ocasiones, los valoresde la distribución nos impidenpoder efectuar los cálculos alexceder la capacidad de lacalculadoracalculadora.Se debe utilizar las propiedades de los logaritmos:lg (a.b) = lg a + lg blg an = n lg a
ING. WILLIAM LEON V. 57
MEDIA
GEOMETRICA
).......lg(1
).......lg(lg 321321321
1
321kk n
knnnnn
knnn xxxx
nxxxxG
1
ING. WILLIAM LEON V. 58MEDIA GEOMÉTRICA
)lg....lg2lg(lg1
321321
knk
nnn xxxxn
sabiendo que lo podemos expresar en notación compacta:
l d d i G
n
xnxnxnxnxn
nii
kk lglg
)lg......lglglg(1
332211
por lo que podemos decir que G = anti lg
ING. WILLIAM LEON V. 59
MEDIA GEOMÉTRICA
n
xn ii lg
Ejemplo: Hallar la media geométrica de la siguiente distribución:Xi ni100 10120 5125 4140 3n = 22
ING. WILLIAM LEON V. 60
EJEMPLOn
xnG ii lg
lg
CLASE 03 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Ing William León Velásquez
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xi ni lg xi ni lg xi
100 10 lg 100 = 2 20
120 5 lg 120 = 2.079 10,396if ifxxx
por lo tanto será conveniente ampliar la tabla con loque nos quedará
125 4 lg 125 = 2.097 8,387
140 3 lg 140 = 2.146 6,438
n = 22 45.221
ING. WILLIAM LEON V. 61
if ifx
EJEMPLO
xx if ifxxx
056,222221,45lg
lg n
xnG ii
ING. WILLIAM LEON V. 62
if ifx
EJEMPLO
xx
G = anti lg. 2,0555 = 113,632
22n
if ifxxx
Es la inversa de la media aritmética de las inversas de los valores de la variable
nn
ING. WILLIAM LEON V. 63
if ifx
DEFINICIÓN
xx
....3
3
21
2
1
1
x
n
x
n
x
nn
x
nn
H
i
i
if ifxxx
Se utiliza para promediar velocidades, tiempos, rendimiento, etc. (cuando influyen los valores pequeños).
ING. WILLIAM LEON V. 64
if ifx
USOS
xx influyen los valores pequeños).Su problema: cuando algún valor de la variable es 0 o próximo a cero no se puede calcular.
xi ni
100 10if ifxxx
Ejemplo:Calcular la media armónica de la siguientedistribución:
120 5
125 4
140 3
ING. WILLIAM LEON V. 65
if ifx
EJEMPLO
xx
xi ni 1/xi ni/xi xini
100 10 1/100 0 1 1000if ifxxx
Para poder hallarla, es necesario que calculemos elinverso de x y el inverso de la frecuencia por lo queampliaremos la tabla con 2 columnas adicionales :
100 10 1/100 0.1 1000
120 5 1/120 0.042 600
125 4 1/125 0.032 500
140 3 1/140 0.021 420
N= 22 0.195 2520
ING. WILLIAM LEON V. 66
if ifx
EJEMPLO
xx
CLASE 03 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Ing William León Velásquez
12
if ifxxx
82,112195,022
i
i
x
nn
H
ING. WILLIAM LEON V. 67
if ifx
EJEMPLO
xx ix
545,11422
2520
n
nxX ii
if ifxxx
Entre la media aritmética lamedia geométrica y mediaarmónica se da siempre lasiguiente relación:
ING. WILLIAM LEON V. 68
if ifx
EJEMPLO
xx
XGH
2. Determine la media armónica de los siguientes datos, 3.1, 2.8, 2.84, 3.05, 3.09
Solución:
093105318421821131
5
./././././H
ING. WILLIAM LEON V. 69
9703268331
5
3236032790352103571032260
5.
......
EJEMPLO
Es el valor que divide al total de lasobservaciones, ordenadas en formaascendente o descendente en dos partes deigual tamaño.
Es decir que a uno y otro lado de la mediana
if
if if
ING. WILLIAM LEON V. 70
Es decir que a uno y otro lado de la medianase encuentra no más del 50% del total de lasobservaciones.
if if
MEDIANA
Me
< Me
Xmín 50% 50% Xmáx
if
if if
ING. WILLIAM LEON V. 71
if if
MEDIANA
Me
La mediana es igual al valor del término central.
XM
ING. WILLIAM LEON V. 72
2
1nXMe
MEDIANAMe
Para datos No Agrupados
CLASE 03 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Ing William León Velásquez
13
Los periodos de tiempo, en minutos,que once clientes esperaron en lacola de un Banco antes de seratendidos fueron:
if if
ING. WILLIAM LEON V. 73
5 5 11 10 8 510 4 10 6 10Variable : Tiempo de espera (minutos)
Unidades estadísticas : Clientes.
if if
MEDIANAMe
Para datos No Agrupados
Ordenando los datos:
4 , 5 , 5 , 5 , 6 , 8 , 10 , 10 , 10 , 10 , 11
if if
ING. WILLIAM LEON V. 74
El 50% de los clientes esperaron menos de 8 minutos mientras que el otro 50% esperó 8 minutos o más.
if if
.sutomin8Me
MEDIANAMe
Para datos No Agrupados
Ordenando los datos:
4 , 5 , 5 , 5 , 6 , 8 , 10 , 10 , 10 , 10 , 11
if if
ING. WILLIAM LEON V. 75
El 50% de los clientes esperaron menos de 8 minutos mientras que el otro 50% esperó 8 minutos o más.
if if
.sutomin8Me
MEDIANAMe
Para datos No Agrupados
La Mediana es igual a la media aritmética de los dos valores centrales.
if if
ING. WILLIAM LEON V. 76
if if
2
12nX
2nX
Me
MEDIANAMe
Para datos No Agrupados
Seis alumnos del tercer ciclo de la facultad de Ingeniería Industrial de la UNMSM obtuvieron las siguientes notas en su primera evaluación de estadística:15, 05 , 20 , 16 , 09 , 12 Calcular e interpretar la mediana.
if if
ING. WILLIAM LEON V. 77
if if
MEDIANAMe
Para datos No Agrupados
Ordenando los datos:
05 , 09 , 12 , 15 , 16 , 20
if if t5131512
M
ING. WILLIAM LEON V. 78
El 50% de los alumnos obtuvieron una nota inferior a 13,5 ; el 50% restante obtuvo una nota de 13,5 o más.
if if .ospunt5,132
Me
MEDIANAMe
Para datos No Agrupados
CLASE 03 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Ing William León Velásquez
14
La Mediana es un promedioadecuado en los casos en que sepresenten valores extremos (muyalto o muy pequeño).
if if
ING. WILLIAM LEON V. 79
if if
MEDIANAMe
Para datos No Agrupados
El número de e-mails que recibieroncada uno de los empleados de unacompañía se muestran acontinuación:50 35 20 65 22 98if if
ING. WILLIAM LEON V. 80
50 , 35 , 20 , 65 , 22 , 98 , 38Calcular e interpretar la Mediana.
if if
MEDIANAMe
Para datos No Agrupados
Ordenando los datos:20 , 22 , 35 , 38 , 50 , 65 ,
98Me = 38 e mailsif if
ING. WILLIAM LEON V. 81
Me = 38 e-mails.La mitad de estos empleados hanrecibido menos de 38 e-mails; laotra mitad ha recibido al menos 38e-mails.
if if
MEDIANAMe
Para datos No Agrupados
Si la variable es cualitativa ordinal,la mediana se encuentra en el n/2lugar, por lo tanto se ubica dichoif if
ING. WILLIAM LEON V. 82
lugar, por lo tanto se ubica dicholugar en la columna de lasfrecuencias absolutas acumuladas.
if if
iFMEDIANA
MePara datos Agrupados
La siguiente tabla presenta la distribución de un grupo de alumnos elegidos en forma aleatoria clasificados según su ciclo de estudios.
if if
ING. WILLIAM LEON V. 83
if if
MEDIANAMe
Para datos Agrupados
Ciclo de Estudios
Nº alumnos
1ero. 4 4 lugar.vo85,72n
iF
ING. WILLIAM LEON V. 84
2do. 2 6
3ero. 6 12
4to. 3 15
.ero3Me
∑=15MEDIANA
MePara datos Agrupados
CLASE 03 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Ing William León Velásquez
15
Respuesta
El 50% de los alumnos está como máximo en 2do. Ciclo, el 50% restante está como mínimo en tercer ciclo
ING. WILLIAM LEON V. 85
en tercer ciclo.
MEDIANAMe
Para datos Agrupados
a.- Cuando se encuentra ubicado entredos frecuencias absolutas acumuladas:
ING. WILLIAM LEON V. 86
j1j F
2n
F
jXMe MEDIANA
MePara datos Agrupados
Sin Intervalos
Nº trabajad
ores
Nº empres
as iF
ING. WILLIAM LEON V. 87
120 6 6
180 8 14
220 9 23
250 7 30
estrabajador220Me
lugar.vo15152n
i
MEDIANAMe
Para datos Agrupados
Sin Intervalos
Respuesta
El 50% de las empresas tienen menos
ING. WILLIAM LEON V. 88
de 220 trabajadores, el resto tienen 220 a más trabajadores.
MEDIANAMe
Para datos Agrupados
Sin Intervalos
b.- Cuando coincide con unafrecuencia absoluta acumulada:
j1j Fn
F
ING. WILLIAM LEON V. 89
j1j F2
F
2
XXMe
j1j
MEDIANAMe
Para datos Agrupados
Sin Intervalos
Nº hijos Nº señoras
n
iF
ING. WILLIAM LEON V. 90
1 6 6
2 9 15
4 7 22
5 8 30
hijos3Me
lugar.vo15152n
MEDIANAMe
Para datos Agrupados
Sin Intervalos
CLASE 03 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Ing William León Velásquez
16
Se determina el intervalo mediano, es decir el intervalo que va a contener a la mediana, ubicando en la columna de las frecuencias acumuladas el lugar mediante:
ING. WILLIAM LEON V. 91
2
n
jj Fn
F 21 jIMe
MEDIANA
Me
Para datos Agrupados
con Intervalos
Luego se aplica la fórmula:
j
1j
jj f
F2n
ALRIMe
ING. WILLIAM LEON V. 92
donde:: es el límite real inferior del intervalo
mediano.: es la amplitud del intervalo mediano.
j
jLRI
jAMEDIANAMe
Para datos Agrupados
con Intervalos
Temperatura.
( C )
Nº días
10 15 8 8lugar.vo1818
2n
iF
ING. WILLIAM LEON V. 93
10-15 8 8
15-18 9 17
18-25 12 29
25-30 7 36
2
MEDIANAMe
Para datos Agrupados
con Intervalos
32 F2n
F 3IMe
L
ING. WILLIAM LEON V. 94
58,1812
1718718Me
Luego:
MEDIANAMe
Para datos Agrupados
con Intervalos
Respuesta:
En el 50% de los días se registro una temperatura por debajo de los 19 C, en el resto de los días hubo una temperatura
ING. WILLIAM LEON V. 95
resto de los días hubo una temperatura superior o igual a los 19 C.
MEDIANAMe
Para datos Agrupados
con Intervalos
Como medida descriptiva, tiene la ventaja deno estar afectada por las observacionesextremas, ya que no depende de los valoresque toma la variable, sino del orden de lasmismas. Por ello es adecuado su uso en
ING. WILLIAM LEON V. 96
mismas. Por ello es adecuado su uso endistribuciones asimétricas.
MEDIANA
Me
CLASE 03 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Ing William León Velásquez
17
Es de cálculo rápido y de interpretaciónsencilla.
A diferencia de la media, la mediana de unabl d l d l
ING. WILLIAM LEON V. 97
MEDIANA
Me
variable discreta es siempre un valor de lavariable que estudiamos (ej. La mediana deuna variable número de hijos toma siemprevalores enteros).
Si una población está formada por 2subpoblaciones de medianas Med1 y Med2,sólo se puede afirmar que la mediana, Med,de la población está comprendida entre Med1y Med2
ING. WILLIAM LEON V. 98
y Med2
MEDIANA
Me
El mayor defecto de la mediana es que tiene unas propiedades matemáticas complicadas, lo que hace que sea muy difícil de utilizar en inferencia estadística.
Sea X una variable discreta que ha presentado sobre una muestra
las modalidades
ING. WILLIAM LEON V. 99
LA MEDIA Y
MEDIANA
Me
Si cambiamos la últimaobservación por otraanormalmente grande, esto noafecta a la mediana, pero si a la
ING. WILLIAM LEON V.100
, pmedia:
LA MEDIA Y
MEDIANA
Me
Obtener la media aritmética y lamediana en la distribución adjunta.Determinar gráficamente cuál de losdos promedios es más significativo.
ING. WILLIAM LEON V.101
li-1 - li ni
0 - 10 60
10 - 20 80
20 - 30 30
30 - 100 20
100 - 500 10LA MEDIA Y
MEDIANA
Me
li-1 - li fi ai xi xi fi Ni
0 - 10 60 10 5 300 60 60
10 - 20 80 10 15 1.200 140 80
20 30 30 10 25 750 170 30
Solución:
ING. WILLIAM LEON V.102
20 - 30 30 10 25 750 170 30
30 - 100 20 70 65 1.300 190 2,9
100 - 500 10 400300
3.000 200 0,25
n=200
LA MEDIA YMEDIANA
Me
CLASE 03 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Ing William León Velásquez
18
La media aritmética es:
ING. WILLIAM LEON V.103
LA MEDIA YMEDIANA
Me
La primera frecuencia absoluta acumulada que supera el valor n/2=100 es Ni=140.
Por ello el intervalo mediano es [10;20).
ING. WILLIAM LEON V.104
Así:
LA MEDIA YMEDIANA
Me
ING. WILLIAM LEON V.105
LA MEDIA YMEDIANA
Me
Para ver la representatividad deambos promedios, se ve en elhistograma de la figura anterior y
ING. WILLIAM LEON V.106
histograma de la figura anterior, yobservamos que dada la forma dela distribución, la mediana es másrepresentativa que la media.
LA MEDIA YMEDIANA
Me
Es el valor de la variable que sepresenta con mayor frecuencia.
Una distribución de frecuencias
ING. WILLIAM LEON V.107
Una distribución de frecuenciaspuede ser unimodal (una moda),bimodal (dos modas) , ............ ,multimodal (n modas).
LAMODA
Mo ING. WILLIAM LEON V.108
unimodal bimodal multimodal
LAMODA
Mo
CLASE 03 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Ing William León Velásquez
19
La Moda es el dato que más se repite.
ING. WILLIAM LEON V.109
LA MODAMo
Para datos NOAGRUPADOS
Seis personas presentan las edades siguientes: 25 , 18 , 20 , 25 , 30 , 25Calcular e interpretar la Moda.Mo = 25 añosL í d t ti 25 ñ
ING. WILLIAM LEON V.110
La mayoría de estas personas tienen 25 años.
LA MODAMo
Para datos NOAGRUPADOS
Se ubica la máxima frecuencia absoluta simple ( ) , la moda es el valor de la variable que presenta dichaif
ING. WILLIAM LEON V.111
valor de la variable que presenta dicha frecuencia.
LA MODAMo
Para datosAGRUPADOS
SIN NTERVALOS
Hallar e interpretar la moda de la siguientetabla de distribución de frecuencias.
Nº de PCs vendidas
Nº de meses
f
ING. WILLIAM LEON V.112
vendidas
20 5
22 7
24 10
30 6
32 8
iX if
LA MODAMo
Para datosAGRUPADOS
SIN INTERVALOS
Máx = 10 Mo = 24 PCs.
Respuesta:
if
ING. WILLIAM LEON V.113
En la mayoría de los meses se vendieron 24 PCs.
LA MODAMo
Para datosAGRUPADOS
SIN NTERVALOS
Sólo la Moda tiene significado paravariables cualitativas nominales.
ING. WILLIAM LEON V.114
LA MODAMo
Para datosAGRUPADOS
SIN INTERVALOS
CLASE 03 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Ing William León Velásquez
20
iXif
Nº de impresoras
Marca
1.- Hallar e interpretar la moda de la siguiente tabla de distribución de frecuencias.
ING. WILLIAM LEON V.115
HewlettPackard
7
Epson 11
Canon 23
Lexmark 9
p
LA MODAMo
Para datosAGRUPADOS
SIN INTERVALOS
iXif
Máx = 23
Mo = Canon.
if
ING. WILLIAM LEON V.116
Respuesta La mayoría de las impresoras vendidas corresponde a la marca Canon.
LA MODAMo
Para datosAGRUPADOS
SIN NTERVALOS
iXif
Interpretar la moda de la siguiente tabla de distribución de frecuencias correspondiente a la importación de equipos informáticos:if
Año Nº equipos (en miles)
1996 5
1997 47
ING. WILLIAM LEON V.117
1997 47
1998 55
1999 96
2000 145
2001 170
2002 190
2003 220
2004 160
LA MODA
Mo
Para datos
AGRUPADOS
SIN INTERVALOS
iXif
Máx = 220
Mo = 2003
if
ING. WILLIAM LEON V.118
Respuesta:
La mayor cantidad de equipos informáticos se importaron durante el año 2003.LA MODA
MoPara datos
AGRUPADOSSIN INTERVALOS
iX
En la columna de las frecuenciasabsolutas simples se ubica la máximafrecuencia; entonces el intervalo queposee dicha frecuencia es el intervalojf
ING. WILLIAM LEON V.119
posee dicha frecuencia es el intervalomodal, es decir el intervalo al cual va apertenecer la moda.
Máxima frecuencia =
La mediana pertenece al intervalo
jI
jf
jILA MODAMo
Para datosAGRUPADOS
CON INTERVALOS
iX
Luego se aplica la siguiente fórmula:
)ff()ff(
)ff(ALRIMo
1jj1jj
1jjjj
ING. WILLIAM LEON V.120
donde:: es el límite real inferior del intervalo modal.
: es la amplitud del intervalo modal.: es la mayor frecuencia absoluta simple.
jLRI
jA
jfLA MODA
MoPara datos
AGRUPADOSCON INTERVALOS
CLASE 03 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Ing William León Velásquez
21
iX
1.- La siguiente tabla muestra ladistribución de las edades de un grupo depersonas.Calcular e interpretar la moda.
ING. WILLIAM LEON V.121
5I
LA MODAMo
Para datosAGRUPADOS
CON INTERVALOS
iX
Entonces:
75,78)515()915(
)915(1872Mo
ING. WILLIAM LEON V.122
La mayoría de estas personas tieneaproximadamente 79 años.LA MODA
MoPara datos
AGRUPADOSCON INTERVALOS
iX
2.-Los siguientes datos corresponden alnúmero de impresoras que se hanvendido en una tienda durante losúltimos tres meses.
Nº impresoras :
20-39 40-49 50-59 60-80 81-96
ING. WILLIAM LEON V.123
impresoras :
Nº de días :
8 22 30 16 14
Calcular e interpretar la moda.
LA MODAMo
Para datosAGRUPADOS
CON INTERVALOS
iX
Entonces:
14,53)1630()2230(
)2230(105,49Mo
ING. WILLIAM LEON V.124
En la mayoría de días se han vendido aproximadamente 53 impresoras.
)1630()2230(
LA MODAMo
Para datosAGRUPADOS
CON INTERVALOS
iX
Es muy fácil de calcular. Puede no ser única. Es función de los intervalos elegidos a
través de su amplitud, número y límites
ING. WILLIAM LEON V.125
de los mismos. Aunque el primero o el último de los
intervalos no posean extremos inferior o superior respectivamente, la moda puede ser calculada.
LAMODA
Mo
iX
Una distribución de frecuencias puede presentaruna de las tres formas:
Simétrica Asimétrica positiva Asimétrica negativa
ING. WILLIAM LEON V.126
MoMex xMeMo MoMex
RELACIÓN
ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA
CLASE 03 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Ing William León Velásquez
22
iX
En el caso de distribucionesunimodales, la mediana está confrecuencia comprendida entre la
ING. WILLIAM LEON V.127
frecuencia comprendida entre lamedia y la moda (incluso máscerca de la media).
RELACIÓN
ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA
iX
En distribuciones que presentan ciertainclinación, es más aconsejable el usode la mediana.
ING. WILLIAM LEON V.128
Sin embargo en estudios relacionadoscon propósitos estadísticos y deinferencia suele ser más apta la media.
RELACIÓN
ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA
iX
Consideramos una tabla estadística relativa a una variable continua, de la que nos dan los intervalos, las marcas de clase ci y las frecuencias absolutas
ING. WILLIAM LEON V.129
de clase ci, y las frecuencias absolutas, ni.
RELACIÓN
ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA
iX
Intervalos ci ni
0 2 1 2
ING. WILLIAM LEON V.130
0 -- 2 1 2
2 -- 4 3 1
4 -- 6 5 4
6 -- 8 7 3
8 - 10 9 2RELACIÓN
ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA
Para calcular la media podemos añadir una columna con las cantidades
. La suma de los términos de esa
iX
ING. WILLIAM LEON V. 131
La suma de los términos de esa columna dividida por n=12 es la media:
RELACIÓN
ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA
iX
Intervalos ci ni Ni
0 -- 2 1 2 2 2
2 -- 4 3 1 3 3
ING. WILLIAM LEON V. 132
4 -- 6 5 4 7 20
6 -- 8 7 3 10 21
8 - 10 9 2 12 18
12 64
RELACIÓN
ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA
CLASE 03 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Ing William León Velásquez
23
iX
ING. WILLIAM LEON V.133
La media es 5.3RELACIÓN
ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA
La mediana es el valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de las nobservaciones, es decir 6.
Construimos la tabla de las frecuencias absolutas acumuladas Ni y vemos que eso
iX
ING. WILLIAM LEON V.134
absolutas acumuladas, Ni, y vemos que eso ocurre en la modalidad tercera, es decir,
RELACIÓN
ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA
iX
ING. WILLIAM LEON V.135
La mediana es 5.5RELACIÓN
ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA
Para el cálculo de la moda, lo primero es encontrar los intervalos modales, buscando los máximos relativos en la columna de las frecuencias absolutas, ni. iX
ING. WILLIAM LEON V.136
RELACIÓN
ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA
iX
El intervalo modal es (l2,l3]=(4;6], siendo la moda el punto perteneciente al mismo que se obtiene como:
ING. WILLIAM LEON V. 137
obtiene como:
RELACIÓN
ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA
wleonv20@yahoo.com
ING. WILLIAM LEON V.138