ESTATICA I

MOMENTO DE INERCIA Y PRODUCTO DE

INERCIA EN ÁREAS PLANAS Y COMPUESTAS

INTRODUCCIÓN:

Si las fuerzas elementales involucradas están distribuidas sobre una área y varían linealmente con la distancia y al eje x se demostrara que mientras la magnitud de su resultante R depende del primer momento Qx= del área, la aplicación del punto donde se ubica R depende del segundo momento, o momento de inercia I×= de la misma área con respecto al eje X.

Se aprenderá a calcular los momentos de inercia de diversas áreas con respecto al eje X y Y dados en cada caso que se presentan.

Para facilitar cálculos se establecerá una relación entre el momento de inercia Ix área A con respecto a un eje x dado y el momento de inercia Ix’ de la misma área con respecto al eje centroidal paralelo al x’ (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner).

Se considera fuerzas distribuidas õF cuyas magnitudes õF son proporcionales a los elementos de área õA sobre los cuales actúan dichas fuerzas y, que al mismo tiempo, varían linealmente con la distancia que desde la õA hasta un eje dado.

SEGUNDO MOMENTO, O SEGUNDO MOMENTO DE INERCIA, DE UN AREA

EJEMPLO

se considera una viga de sección transversal uniforme la cual está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de sus extremos de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes õF= kyõA varían linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de área õA y un eje que asa atreves del cancroide de la sección

R= =

La ultima integral definida se le conoce como el primer momento Qx se la sección con respecto al eje x; dicha cantidad es igual a Y¯A y, por lo tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la sección esta localizada sobre el eje X. por consiguiente el sistema de fuerzas õF se reduce a un par.

La magnitud M de dicho par debe ser igual a la suma de momentos õMx=yõF=ky2õA de las fuerzas elementales.

M= =

La ultima integral se le conoce como el segundo momento, o momento de inercia de la sección de viga de viga con respecto al eje x y se representa como Ix. El segundo momento se obtiene multiplicando cada elemento de dA por el cuadrado de las distancias desde el eje x e integrándolo sobre la sección de la viga.

Como cada producto y2 dA es positivo, sin importar signo de y, o cero, la integral Ix siempre será positiva.  Donde dA representa un elemento de superficie y x la distancia de este elemento a un cierto eje contenido en el plano de la superficie o perpendicular a él.

DETERMINACION DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN AREA POR INTEGRACION

La sección anterior se definió el segundo momento, o momento de inercia, de un área A con respecto del eje x. definiendo en una forma similar el momento de inercia Iy de área A con respecto del eje y.Ix= Iy=

dIy = x2dA dIx = y2dA

dA = dxdy

a

dIy = x2dA dA = ydx dIx = y2dA dA = (a-x)dy  

Como un ejemplo se procederá a determinar el momento de inercia de un rectángulo con respecto a su base. Dividiendo el rectángulo en tiras paralelas al eje x, se obtiene.

dA = bdy dIx = y2bdyIx = = 1/3bh3

 

H

BdA = hdx dIy = x2hdxIy = = 1/3hb3

1.-Determine el momento de inercia con respecto de cada uno de los ejes coordenados correspondientes al area sombreada que se muestra en la figura

SOLUCION- Calculo del momento de inercia

de la seccion parabolica

dA = [a−x] dy

El momento de inercia Ix se obtiene resolviendo la siguiente integral: 

IX= , y1/2 b1/2 del grafico se tiene que

x=

IX= =

Luego se tiene que: IX =

Ca´lculo del momento de inercia de la seccio´n parabo´lica

Iy= , dA = ydx ,

TEOREMA DE STEINER PARA MOMENTOS

SEGUNDOS DE SUPERFICIE

Cuando se haya determinado el momento segundo de una superficie respecto a un eje dado, se podrá obtener elcorrespondiente a un eje paralelo a este aplicando el teorema de Steiner. Si uno de los ejes ( el eje x) pasa por el centroide de la superficie, según se indica en la siguiente figura, el momento segundo de superficie a un eje x' paralelo a él es.

Ix'=2dA =

Donde y¯ tiene el mismo valor para todo elemento de superficie y se ha sacado la integral. La integral dA es el momento segundo Ix de la superficie y la última integral es el área total A de la superficie.  Ix'=Ix+

La integral y dA es el momento primero de las superficies respecto al eje x. como el eje x pasa por el centroide C de la superficie, el momento primero será nulo.   Ix'=IxC+y-2ª

Donde IxC es el momento segundo de la superficie respecto al eje x que pasa por el centroide e |y–| es la separación de los ejes x y x'. 

El teorema de Steiner dice que el momento segundo de una superficie respecto a un eje cualquiera contenido en el plano de la superficie es igual al momento segundo de la superficie respecto a un eje paralelo que pase por el centroide de la superficie más el producto del área de esta por el cuadrado de la separación de los ejes.

El teorema también indica que el momento segundo de una superficie respecto a un eje que pase por su centroide es menor que el correspondiente a cualquier eje paralelo a el ya que 

IxC=Ix' -y-2A

Téngase presente que el teorema de Steiner solo es válido para pasar de un eje a un paralelo centroidal a otro paralelo a él.

Ix''=IxC+y2-2ª = ( Ix' –y1

-2A)+ y2-2ª

= Ix'+( y2-2- y1

-2)A Ix'+( y2

-- y1-)2A

  

Como aplicación del teorema de los ejes coordenados,se procederá a determinar el momento de inercia IT de un área circular con respecto de una línea tangente al circulo.

,

Momentos segundos de áreas o superficies compuestas

Los momentos segundos de una superficie respecto a cualquier sistema de ejes de coordenadas x, y, z se han definido en la forma:

IX= IY=

Frecuentemente, en la práctica, la superficie A es irregular pero se puede descomponer en superficies sencillas A1, A2, A3,…, An para las cuales las integrales ya estén calculadas y tabuladas.

Así, el momento segundo de la superficie compuesta, respecto a un eje es igual a la suma algebraica de los momentos segundos respecto a dicho eje de las distintas partes.

= =++…+=++…+

Cuando sequiteuna superficie (agujero) de una superficie mayor, su momento segundo deberá restarse del momento segundo de dicha superficie mayor para obtener el momento segundo resultante

PROCEDIMIENTO PARA EL ANALISIS

El siguiente procedimiento proporciona un método para determinar el momento de inercia de un área compuesta con respecto a un eje de referencia.

1. Partes componentes. Realizado un bosquejo divida el área en sus partes componentes e identifique la distancia perpendicular existente desde el centroide de cada parte hasta el eje de referencia.

2. El momento de inercia de cada parte deberá determinarse con respecto a su eje centroidal, paralelo al eje de referencia.

Suma. El momento de la inercia del área total, con respecto al eje de referencia, se determina sumando los resultados de sus partes de sus componentes

PRODUCTO DE INERCIA DE UNA AREA

El producto de Inercia del elemento de área dA respecto a los ejes x e y es:

Así el producto de inercia del área total es:

Como el momento de inercia, el producto de inercia tiene unidades de longitud elevada a la cuarta potencia, por ejemplo, m4, mm4 o pie4, pulgada4.

Sin embargo, dado que pueden ser cantidades negativas, mientras que el elemento de área es siempre positivo, el producto de inercia puede ser positivo, negativo o igual a cero, dependiendo de la ubicación y orientación de los ejes coordenados.

Por ejemplo, el producto de inercia será igual a cero, si tanto el eje como el son un eje de simetría del area

Por teorema de ejes paralelos se tiene que:

I xy=∫(x'+d x )( y'+d y )dA

I xy =∫x'y'dA+ dx ∫ y' dA + dy ∫x' dA+ dx dy∫dA

El primer término de la derecha representa el momento de inercia con respecto al eje centroidal .

Las integrales en el segundo y tercer términos son iguales cero, puesto que los momentos de área fueron determinados con respecto al eje centroidal.

Tomando en cuenta que la cuarta integral representa el área total A, el resultado final es por lo tanto.

 

EJERCICIOS RESUELTOS:PROBLEMA N 01: para el área mostrada determine los momentos de inercia Ix' e Iy' con respecto a los ejes centroidales paralelos.

Primer paso encontrar el centroide de la figura dada.

Luego encontramos momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos con respecto a Ix'.

Ix'=IxC+y-2A

Para el area A1 Ix'=BH3/12+ y-2ª Ix'=(5*8

³)/12+40(4-3.9)²

Ix'=213.73mm4.

Para el área A2 Ix'=BH3/12+ y-2ª Ix'=(2*5

³)/12+10(4.3-3.9)²

Ix'=22.43 mm4.

Entonces Ix'=A1-A2 =191.3mm4

Luego encontramos momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos con respecto a IY'.

Para el area Az Iy'=BH3/12+ x-2AIy'=(8*5

³)/12+40(2.5-2.7)²

Iy'=85mm4.

Para el área A2 Ix'=BH3/12+ x-2AIy'=(5*2

³)/12+10(1.9-2.7)²

Iy'=9.73mm4.

 POR LO TANTO: Iy'= A1-A2 =75.27mm

4

PROBLEMA N 02: De la siguiente figura calcular momento de inercia de la sección compuesta con respecto al centroide :

Primer paso encontrar el centroide de la figura dada

A1=48L² A2=6L2 A3=9¶/4L²

 

 

Luego encontramos momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos con respecto a Ix'.

Ix'=IxC+y-2APara el area A1 Ix'=BH3/12+ y-2A Ix'=(8*6

³)/12+48(3-3)²

Ix'=144L4.

Para el área A2 Ix'=BH3/36+ y-2AIx'=(4*3

³)/36+6(1-3)²

Ix'=27L4

 Para el área A3

Téngase presente que el teorema de Steiner solo es válido para pasar de un eje a un paralelo centroidal a otro paralelo a él. Así pues

Ix'=IxC+y2-2ª = ( Ix'' –y1

-2A)+ y2-2ª

 

Ix'=(¶34/16)+7.07(6-4/¶-3)²-7.07(4R/3¶)²

Ix'=25.52L4

 Ix'=A1-A2-A3 = 91.48L4

Luego encontramos momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos con respecto a Iy'.

Para el area A1 Iy'=BH3/12+ x-2A

Iy'=(6*8³)/12+48(4.-4.1)²

Iy'=256.48L4.

 Para el área A2 Ix'=BH3/36+ x-2AIy'=(3*4

³)/36+6(20/3-4.1)²

Iy'=44.86L4.

 Para el área A3

Téngase presente que el teorema de Steiner solo es válido para pasar de un eje a un paralelo centroidal a otro paralelo a él. Así pues Iy'=IyC+x2

-2ª = ( Iy'' –x1-2A)+ x2

-2ª

 

Iy'=(¶34/16)+7.07(4/¶-4.1)²-7.07(4R/3¶)²Iy'=60.92L

4

 Iy'=A1-A2-A3 =150.7L4

PROBLEMA N03: CALCULAR LOS MOMENTOS DE INERCIA DE LA SECCION COMPUESTA CON RESPECTO AL CENTROIDE.

PRIMERO ENCONTRAMOS EN AREA DE CADA FIGURA.

ENCONTRAR EL CENTROIDE LA SUPERFICIE.

 A1=16L² A2=1.5L2 A3=2L²

 

 

 

Luego encontramos momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos con respecto a Ix'.

Ix'=IxC+Ay-2

Para el area A1 Ix'=BH3/12+ Ay-2

 Ix'=(4*4

³)/12+16(0-0.013)²

Ix'=21.33L4.

Para el área A2 Ix'=BH3/36+ y-2A

Ix'=(1*3³)/36+3/2(-1-0.13)²

Ix'=2.29L4.

Para el área A3 Ix'=BH3/36+ y-2A

Ix'=(1*4³)/36+2(2/3-0.13)²

Ix'=2.63L4.

 

Ix'=A1-A2-A3 = 16.41L4

Luego encontramos momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos con respecto a Iy'.

  

Para el area A1 Iy'=BH3/12+ x-2A

Iy'=(4*4³)/12+16(0-0.067)²

Iy'=21.41L4.

Para el área A2 Ix'=BH3/36+ x-2A

Iy'=(3*1³)/36+1.5(5/3-0.067)²

Iy'=3.92L4.

Para el área A3 Ix'=BH3/36+ x-2A

Iy'=(4*1³)/36+2(-5/3-0.067)²

Iy'=6.12L4.

 Iy'=A1-A2-A3 =11.36L4

 

 

Producto de inercia: 

PARA EL AREA A1

L4

PARA EL AREA A2

L4

 

PARA EL AREA A3

L4

Ixy=A1-A2-A3 =0.36L4