Post on 30-Sep-2018
transcript
2 2 22 2 2 16 0z y x+ − − =
Facultad de Ciencias Económicas y Jurídicas Universidad Nacional de La Pampa
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
2
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ejercicio Nº 1: Expresar si son ciertas las siguientes igualdades trigonométricas. Demostrar.
(1.a) xxtg 22 sec1 =+ (1.b) ecxxgxtgx cos.seccot =+
(1.c) ( )( ) ( ) xcos.xsenxsenxcos 211 22 =−− (1.d) senxtagxxsenx .cos =−
(1.e) ( )xxsen 2cos1=− (1.f) ( ) ( )[ ]xcosx.senxcosxcos. 212 242 +=−
(1.g) senxtgxxx .cossec =−
FUNCIONES
Ejercicio Nº 2:
Representar gráficamente las siguientes funciones simples.
(2.a) xy += 2 (2.b) xtgy =
(2.c)
x
y
=5
2
(2.d) 4=y
(2.e) ( )xy 5,0ln=
(2.f) x
xy
+−=
1
32
(2.g) 962 ++= xxy
Representar gráficamente las siguientes funciones combinadas.
(2.h) 1−= senxy (2.i) x
ey
x
4
3
=
(2.j) ( ) 23ln xxy +=
(2.k) 32 24 xxxy −−=
(2.l) 32xy x= −
(2.m) xsen
xy
4=
Ejercicio Nº 3: Encontrar los puntos de intersección de las siguientes funciones.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
3
(3.a) 3+= xy
e
5= −y x
(3.b) ( )xtgy 2=
e
senxy =
|x °<<°− 360360para
(3.c) 4 2 2 1y x x x= − + − e 322 −+= xxy
(3.d) xy 2= e
2xey =
(3.e) 2 29 x y= + e 2y x= −
(3.f)
2 2
125 9
x y+ = e 2216 yx +=
Ejercicio Nº 4: Grafique una función que pase por los puntos indicados en los ejes de
coordenadas cartesianas y exprésela analíticamente.
(4.a)
(4.b)
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
4
(4.c)
Ejercicio Nº 5: Tomando las funciones de los Ejercicios Nº 2 y Nº 4:
• Definir Dominio y Recorrido.
• Expresar si es Par, Impar, o si no cumple ninguna de las dos condiciones.
Justificar.
• Identifique tres funciones que tengan inversa y grafíquelas.
APLICACIONES ECONÓMICAS
FUNCIONES ECONOMICAS
1. Las tablas que damos a continuación corresponden a cuatro consumidores y a su demanda
individual de un producto” x “.
Por unidad Demanda Global
p q1 q2 q3 q4 Q Q ‘
20 0 1 2 3 18 1 3 3 5 16 2 5 4 7 14 3 7 5 9 12 4 9 6 11 10 5 11 7 13 8 6 13 8 15 6 7 15 9 17 4 8 17 10 19
a) Complete la tabla de demanda global Q.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
5
b) Represente las tablas anteriores en un mismo gráfico que muestre las cuatro curvas
individuales y la demanda global.
c) El consumidor Nº 4 (q4) siente un repentino rechazo por el producto” x “, y deja de
comprarlo (se modifica el parámetro”gustos o preferencias“). Muestre el desplazamiento
resultante en la tabla y en la curva de demanda global Q‘.
2. La siguiente tabla corresponde a la oferta del producto ” x “, por parte de cinco empresas
individuales:
Por unidad Oferta Global
p s1 s2 s3 s4 s5 S S ‘
20 8 9 19 30 10 18 7 8 17 27 9 16 6 7 15 24 8 14 5 6 13 21 7 12 4 5 11 18 6 10 3 4 9 15 5 8 2 3 7 12 4 6 1 2 5 9 3 4 0 1 3 6 2
a) Complete la tabla de oferta global
b) Represente las cinco tablas individuales en un mismo gráfico y la oferta global
c) El producto 3 (s3), desarrolla una nueva técnica de producción que reduce sus costos, y que
le permite ofrecer cuatro unidades de producción más en los distintos niveles de precios.
Muestre gráficamente cómo podrían llegar a resultar afectada la tabla y la curva de oferta
global (S ‘).
3. Cada una de las ecuaciones que siguen representa la demanda de un producto” x “, por
parte de grupos de 1.000 consumidores, siendo el mercado de 4.000 consumidores.
pq2
1101 −=
pq −= 213
pq2
1122 −=
pq −= 234
Por el lado de oferta actúan 5000 vendedores representados en grupos de 1000 por las
ecuaciones siguientes:
pq2
121 +−=
pq2
34 =
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
6
pq +−= 12 pq
2
15 =
pq2
113 +−=
a) Exprese algebraicamente la demanda y la oferta globales y de acuerdo con ello determine
el precio y la cantidad de equilibrio en este mercado.
b) Construya las tablas de la demanda y de la oferta globales y compruebe los resultados
obtenidos, considerando los siguientes precios:
Cantidad Ofrecida
p Cantidad Demandada
Q S S ‘ 20 18 16 14 12 10 8 6
c) Determine gráficamente el precio y la cantidad de equilibrio.
d) Como consecuencia de un cambio que sobrevino en los costos de producción la oferta
global disminuye hasta hacerse: S‘= -18 + 4 p.
Determine algebraicamente el nuevo precio y la nueva cantidad de equilibrio. Hágalo
después completando las tablas y trazando los gráficos correspondientes.
4. Verifique cuál de las siguientes funciones lineales, representan funciones económicas y en
caso afirmativo decir si son de oferta o de demanda:
a) x - 2p = 0 d) 2x + 5p + 4 = 0
b) 3x + 4p - 12 = 0 e) 5x - p - 10 = 0
c) 2x - 3p +1 = 0 f) 2p + 3x + 2 =0
5. La curva de demanda para cierto producto dado es: px4
110−= .
Encontrar:
a) La cantidad demandada cuando el precio es: 4; 16; 26 $.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
7
b) El precio si la cantidad demandada es: 9; 7; 2 unidades.
c) Cuál es el precio más alto que se puede pagar por el producto.
6. La curva de oferta de un producto responde a la función: x = 1, 1p –0,1.
Encontrar:
a) El precio si la cantidad ofrecida es: 1 ; 0,8 y 0,5 unidades.
b) La cantidad ofrecida si el precio es: 8 ; 6 ; 4,1 $.
c) Cuál es el menor precio al que este producto se podría ser ofrecido.
7. En una encuesta se verifica que 10 relojes son vendidos cuando el precio es de: 80 $ la
unidad, y 20 relojes son vendidos cuando el precio es de 60 $ la unidad. Suponiendo que la
demanda es de carácter lineal, decir cuál seria la función de demanda de este producto.
Trace su gráfica.
8. Determínese el precio y la cantidad de equilibrio del mercado si las funciones de demanda y
oferta son respectivamente: 3
4
9
1339 2 −=−= pqyqp
9. Para una función benéfica de cine de una determinada localidad, se sabe que el número de
asistentes se relaciona con el precio uniforme de la entrada según la función de
demanda: bp
ax −= , donde a y b son constantes. Se sabe que el cine con una capacidad
de 3000 butacas, está lleno hasta la mitad cuando el precio señalado es 12 $, estando
vacías solamente la sexta parte de las butacas si la entrada cuesta 9 $.
Se Pide:
a) Hállese según esto, el valor de las constantes a y b.
b) Averiguar a que precio se llenaría completamente el cine.
INGRESO
1. Supóngase que una unidad del bien “x”, se vende en el mercado a un precio fijo y
constante de 20 $. En base a una ecuación, determine la función de ingreso total.
2. Dada la función de demanda: x = 120 – 2p, obténgase la función de ingreso total:
a) En función del precio.
b) En función de la cantidad vendida.
c) Grafíquese el segundo caso.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
8
3. Dada la función de demanda: 65
90 −+
=p
x , obtenga la función de ingreso total ( en función
de la cantidad de unidades vendidas).
4. Dadas las siguientes funciones de ingreso total, obtener las funciones de demanda
correspondientes:
a) 23120 xxIT −=
b) 24200 ppIT −=
c) b
papIT
2−=
5. Dada la siguiente tabla, completar las columnas correspondiente al IMe y al IMg
Producción
(x) IT IT
IMe = X
ITIMg=
x
∆∆
0 0 1 10 3 27 6 45 7 49 9 54 10 55
6. Si la función IT es igual a : 2105 xxIT −= , obtener la función IMe. COSTOS
1. Un constructor de pequeñas casas de campo, tiene gastos fijos evaluados en $500.000
anuales, siendo los demás gastos de $ 30.000 por cada casa de campo.
Se pide:
a) Obtener lo que al constructor le cuesta cada casa de campo, si construye x casas de
campo anualmente.
b) Si se construyen 10 casas anualmente. ¿Cuánto le cuesta al constructor cada una?
2. Una fábrica construye piletas de natación, siendo el costo
total: )525
13(100 2 ++= xxCT , cuando se producen x piletas por mes. Obténgase las
funciones de: CTMe, CVMe; CFMe.
3. Dada la siguiente tabla completar las columnas correspondientes al CMe y CMg.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
9
Producción CT CMe CMg
1 30 2 40 4 48 7 105 9 270 10 450
4. Supóngase que el costo medio variable de producir una unidad del bien x es de $ 2 y el
costo fijo total de producción es de $ 80. Formule la función de costo total.
5. Si una empresa que fabrica ladrillos cerámicos tiene una función de costo total igual a :
5004300 2 ++= xxCT y el costo marginal es xCMg 8300+=
Se pide:
a) Determinar el costo medio mínimo y decir a que nivel de producción corresponde.
b) ¿Cuál es el costo total con el que se produce dicha cantidad de unidades?
6. Una empresa que fabrica radios tiene un 5050010010 23 ++−= xxxCT y un
50020030 2 +−= xxCMg ¿Cuál será el menor costo variable de esta empresa?
7. Una empresa productora de artículos para el hogar tiene un función de costo total igual a:
)525
13(100 2 ++= xxCT
Determinar el monto del costo medio si la empresa fabrica 100 unidades.
8. Siendo la función de costo medio de una empresa igual a:
x
xxCMe10
5005020 2 ++−=
Determinar la función de costo total.
BENEFICIO
1. Determinar el máximo beneficio que puede obtener una empresa cuyos costos e ingresos
responden a las siguientes funciones:
xCMgxIMgxxCTxxIT 270;100;1070;2
1100 22 +=−=++=−=
Decir además a que niveles de producción el empresario no obtiene ni pérdidas, ni
ganancias.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
10
2. Una empresa comercial que se dedica a la venta de artículos de limpieza enfrenta una
función de demanda para su producto igual a: p = 30 – x . Si su 1025 +=x
CMe
¿Cuál es su función beneficio?
3. Una empresa que fabrica artículos eléctricos tiene una función de xCT 2050+= siendo
su 2150
4IT x x= − . Si su IMg = x
2
150− y su costo marginal es constante e igual a 20,
Determinar:
a) Qué cantidad debe producir la empresa para que su beneficio sea máximo.
b) Cuál será el monto de dicho beneficio.
PRODUCCIÓN
1. Si en una mina de carbón, trabaja un equipo de x hombres, la producción obtenida será
entonces )12
3(25
2 xxPT −∗= toneladas de carbón. El 2
100
1
25
6xxPMg −= .
a) Dibujar el gráfico representativo del modo según el cual la producción varía con el número
de hombres.
b) Determinar la magnitud del equipo requerido para que la producción sea la máxima posible
y señalar a cuanto asciende esta producción.
c) Expresar en función de x el producto por hombre.
d) Cuál es la mayor cantidad de producto por hombre trabajando que puede alcanzar y
cuántos hombres debe haber trabajando para ello.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
11
SUCESIONES
Ejercicio Nº 6: Escriba los 6 primeros términos de la siguientes sucesiones. Grafique en un
sistema de ejes de coordenadas cartesianas las sucesiones de los apartados a) y b).
(6.a) { }1
.3
+=
n
nSn (6.b) { }
3.22
3
+=
n
nSn (6.c) { }
!.2
7.3
n
nSn
−=
(6.d) { }( ) 31
51 +−
−= +n
nSn (6.e) { }
!
4)1(
2 nnSn
n
+−= (6.f) { }
1
)!1()1(
214
++−= +
n
nSn
Ejercicio Nº 7: Escriba el término general de las siguientes sucesiones.
(7.a) { } ;...40
1;
12
1;
6
1:0;1;2 −−=Sn
(7.b) { } ;...10
22;
8
13;1;
4
1;1−=Sn
(7.c) { } ;...7
24;1;
5
2;
4
1;
3
1 −−−=Sn
(7.d) { } ;...2;11
32;6;16;2 −−=Sn
(7.e) { } ;...13
2;
17
2;0;
5
2;2 −−=Sn
Ejercicio Nº 8: De las sucesiones de los Ejercicios: Nº 6 apartados 6.a) y 6.b) y Nº 7
apartados 7.a), 7.c) y 7.d) expresar:
• Si las mismas son crecientes o decrecientes.
• El Intervalo.
• Cotas y Extremos. Represente gráficamente.
LÍMITE DE SUCESIONES
Ejercicio Nº 9: De las siguientes sucesiones:
• Halle sus límites.
• Compruebe mediante la definición teórica del límite de una sucesión.
• Realice la verificación correspondiente para e=0.05.
(9.a) ( ){ }1.2/5 −n (9.b) { }).41/(.3 nn − (9.c) { })2/()3( +− nn
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
12
(9.d) { })1/()2( 22 +− nn (9.e) { })22/()1( 22 −+− nnn
(9.f) { }nn)1( +
(9.g) { })32/()4( 22 ++ nnn
LÍMITE DE FUNCIONES
Ejercicio Nº 10: Encuentre la expresión analítica de las funciones, cuyos gráficos son los
siguientes.
(10.a)
(10.b)
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
13
Ejercicio Nº 11: Compruebe de acuerdo con la definición del límite de una función.
(11.a) ( ) 2,031lim 2
2==−
→εparax
x (11.b) ( ) 05,0131lim 2
4=ε=+−
→paraxx
x
(11.c) 3
1lim( 2) 1 0,08x
x para ε→
− = − = (11.d) 12,01)2(lim 2
1==−
→εparax
x
(11.e) ( ) 2,031lim 2
2==−
−→εparax
x
Ejercicio Nº 12: Determine para que valores de x son infinitésimos las siguientes funciones.
(12.a) 34 6xxy += (12.b) ( ) 14cos3 −= xy °<<° 1800 xpara
(12.c)
2 3
2 1
x xy
x
−=−
(12.d) xtgxy cos2 −= °<<°− 27090 xpara
Ejercicio Nº 13: Resuelva los siguientes límites.
13. a)
6 3
5 4 3 20
2 5lim
7 3 2 8→
+ −+ − + +x
x x x
x x x x x 13.b)
4 2
3 2
6 2 7lim
8 3 9x
x x x
x x x→∞
− + −+ + −
13.c) 9
3lim
23 −+
−→ x
xx
13.e) ( )
34
43lim
2
2
2x +++
−→ xx
xx
13.g) 2334
44lim
2345
23
2 ++−+−+−−
−→ xxxxx
xxxx
13.d) 1032
63lim
3
24
2 −−−+−
→ xx
xxxx
13.f) 2433
968lim
34
234
x +−+−−+−
∞→ xxx.
xxx
13.h) 12
32lim
4
2
+−+−
∞→ xx
xxx
Ejercicio Nº 14: Calcule los siguientes límites.
(14.a) 24
4lim
5 9→
−− +x
x
x (14.b)
23
3 6lim
2 2 4x
x
x→−
− −− −
(14.c) 25
2 1lim
25x
x
x→
− −−
(14.d) 9
9lim
9x
x
x→
−−
(14.e) 2322
35lim
2
2
2x +−−
−+→ xx
x
(14.f)
2
21
8 3lim
2 4 1x
x
x x→
+ −− − +
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
14
Ejercicio Nº 15: Resuelva los siguientes límites en general.
(15.a) 1
coslim
2
4−
−π→ xtg
xsenx
x
(15.b) ( )
( )xesen
xesenx ..8
..2.9lim
0→
(15.c) x
tgxsenxx 20 cos1lim
−−
→
(15.d) ( )
( )xsen
tgxxx 4
.2coslim
0→
(15.e) xxx
cotgcoseclim
2
−π→
(15.f)
tgxxsenx
xxsen
x )(cos
)cos(lim
22
4−
−→
π
(15.g) xsen
xtgxsenx 3
2
0 2lim
−→
Ejercicio Nº 16: Resuelva los siguientes límites especiales.
(16.a)
+∞→ xx
51lim (16.b)
2
0lim(1 5 )
→− x
xx
(16.c)
x
x x
.5
7
.2
11lim
−∞→
(16.d) 5
2
32
42lim
x
x x
x
+−
∞→ (16.e)
1.2
8
31lim
−
∞→
+−
x
x x (16.f) x
x
xx
15
0)41(lim
+
→−
(16.g) 3
4
.52
.52lim
x
x x
x
+−
∞→
CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Ejercicio Nº 17: Dadas las siguientes funciones:
• Exprese si son continuas o discontinuas y los intervalos para los cuales se
cumplen dichas cualidades
• En caso de tenerlo determine el Salto
• Clasifique el grado de discontinuidad
• Represente gráficamente
(17.a) 1x
yx
+= (17.b) 2
3
1
xy
x x
+=− −
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
15
(17.c)
2 16
4
xy
x
−=+
(17.d)
°<<°−−−= 180270para x
senxxcos
xcossenxy
(17.e)
2
1 para x -2
1 para -2<x 2
x+2 para x>2
x
y x
+ ≤= − ≤
(17.f)
( )
>−
=
<≤π−
=
0para32
0para0
04
para3
2 xx
x
xx
xsen
y
DERIVADAS
Ejercicio Nº 18: Derive por incremento las siguientes funciones.
(18.a) 12= +y x (18.b) 8
9=y x (18.c)
5y
x=
(18.d) cos= −y x (18.e)
= xy5
1ln (18.f) xarctgy =
Ejercicio Nº 19: Derive aplicando tablas las siguientes funciones por descomposición.
(19.a) xxlogxseny +−=
(19.b) ( ) xlnxcos
xxy 63
5279 −−+= −
(19.c) ( )2116 3 2 2
7−= − + + −y x sen x
(19.d)
5
3
34 e
xxarcsen.y −−=
Ejercicio Nº 20: Derive los siguientes productos y cocientes.
(20.a) xsen
xtgy
.9= (20.b) ( ) 1056
13−+
−=x.xlog
e.y
x
(20.c) x.xln
e
x
xarctg.y
x
−=3
4 (20.d)
xln.x
xarcsen.
x
xtg.y
42 −=
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
16
(20.e) 3
3
.4
cos...2
xe
xxxsenxy
x −−=
(20.f)
( )xlog
xcos
eseny += 3
Ejercicio Nº 21: Derive las siguientes funciones de función.
(21.a) ( )35 3 445
2x.lnxy ++= (21.b)
−= xe
x
xtgy
3
2
.16.5
(21.c)
−= 24
4
3
5x.ln
xcosy (21.d) ( ) ( )xsen.lnxlny 33xcotg 42 +−=
(21.e)
( ){ }( )23 33 ln arccosy arcsen x x x x= − − (21.f)
( )( )3
3
xlog
xarctgcosy =
(22.g) ( ) ( )xlnxcos
xsen
y 572 +
=
Ejercicio Nº 22: Encuentre el valor de la derivada en x0.
(22.a) 02cos 60= = oy x x (22.b) 0
41
12
+= =+
xy x
x
(22.c) 14 2y x= + 0 2x = (22.d) 02 3 5 x 1y x x= − − =
(22.e) 3 41= +y x 0 1x =
Ejercicio Nº 23: Derive las siguientes funciones exponenciales.
(23.a)
=x
xy.
7
5cos
(23.b) ( )[ ] 8
34 2
x.x xlog.ey −=
(23.c) ( )( ) xlnxx exlogxarctg.y −−= 2
(23.d) ( )[ ] xexxsenxy .=
Ejercicio Nº 24: Resuelva las siguientes aplicaciones de las derivadas.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
17
(24.a) Encuentre, de existir, las rectas tangentes a las siguientes funciones:
* 06 1y x en x= + =
* ( ) 123 0 == xenx.ln.y
(24.b) Encuentre las rectas normales a la función xy e= en los puntos donde se
interceptan con la función2
2 xy −= .
(24.c) Encuentre:
• La recta normal a la función 2 3 1y x x= − − en el punto en que corta al eje
de las Y.
• La recta tangente a la función 2 3 1y x x= − − en el punto en que corta al
eje de las x (en caso de ser más de un punto seleccione uno).
(24.d) En los tres incisos anteriores realice las correspondientes gráficas y verifique.
Ejercicio Nº 25: Encuentre el ángulo formado entre:
(25.a) 3 23 1y x x= − + e
2 2 1y x x= + +
(25.b) xseny .4= e xy cos2= °<<° 360180para x
(25.c)
=2
xseny e
=2
2 xcosy °<<° 1800para x
(25.d)
+= 53
1x.lny en la intersección con los ejes de coordenadas.
Nota: En todos los casos buscar un punto de intersección.
Ejercicio Nº 26: Resuelva las siguientes aplicaciones de las derivadas.
(26.a) Encuentre todas las rectas tangentes que cortan a la función ( )xseny 3= con
una inclinación de 60° en el intervalo [-90°; 90°].
(26.b) Encuentre la recta tangente y el ángulo que se forma en la intersección de las
siguientes funciones: 3 24 3 1y x x x= − + + e 3 1y x= + .
(26.c) Entre 3xy = e ( )5 0.2x
y = encuentre el ángulo entre las mismas (en caso de
cortarse) y la recta tangente a la segunda en dicho punto. A su vez encuentre la distancia del
punto de corte al punto (-3;5).
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
18
Ejercicio Nº 27: Encuentre las siguientes derivadas sucesivas.
(27.a) 26 era3 4 hasta la 3xy x x e= − −
(27.b) da5 2 la hastaxlnxxarcseny −−=
(27.c) da
2
2 la hastax
xsen
e
xlogy
x−=
(27.d) ( )[ ] da252 2la hasta .3 xxseny −−= π
Ejercicio Nº 28: Resuelva aplicando la regla de Leibnitz.
(28.a) ( ) III3 yencontrar ln. xsenxy =
(28.b) IIIyencontrar
.4
ln.cos
x
xxy =
(28.c) III2 yencontrar .arccos xexy =
Ejercicio Nº 29: Calcule las diferenciales de primer orden de las siguientes funciones.
(29.a) 3ln 4cosxy e x x= − −
(29.b) ( ) ( )623 xxlog.xtgxcosy −−=
(29.c) x
e
x
x
exxxsenhy
−+−=
2.4.2 3
(29.d) ( )
23
3
2 ln
3
senx xy x arctg x
x
+= − −
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
19
APLICACIONES ECONÓMICAS
VALOR MARGINAL DE UNA FUNCIÓN
1. Obtener el IMg en cada uno de los casos:
a) 105
1 +−= xp
b) 62 +−= xIMe
2. Los costos totales de producción de una empresa son: 2CT= 8 + 2x + 3x Hallar:
a) Las funciones de CMg y de CMe
b) El valor del CMg y del CMe cuando se producen 1000 unidades.
3. La función de utilidad de un consumidor, para una mercancía x es : 2310 xxUT −= ,
donde x es la cantidad de la mercancía consumida. Hállese la función de UMg.
4. Una empresa tiene las siguientes funciones de costo y de demanda:
30 1CMe=x - 6 + ; x= - p + 5
x 4
Obtener:
a) La función de BMg.
b) La función CMg.
c) La función IMg.
5. La función de Producto Medio de una empresa es: 2360 xxPMe +−= . Hallar la función
de PMg.
6. Hallar la función de DMg en cada uno de los siguientes casos:
a) 0280 2 =+− qp
b) 2)42( xp −=
c) 32 xxIT −=
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
20
ELASTICIDAD DE UNA FUNCIÓN
Función
Elasticidad de Arco
Elasticidad de Punto
y= f (x)
xx
yy
E ∆
∆= y
xyE ⋅′=
Demanda-precio y Oferta:
Q= f (p) p
pQ
Q
E ∆
∆=
Q
pQE ⋅′=
Demanda-ingreso:
Q= f (I) I
IQ
Q
E ∆
∆= Q
IQE ⋅′=
Ingreso Total:
IT= f (Q) Q
QIT
IT
E ∆
∆= ( )
IT
QITE ⋅′=
Costo Total:
CT = f (Q) Q
QCT
CT
E ∆
∆= ( )
CT
QCTE ⋅′=
Costo Medio:
Cme = f (Q) Q
QCme
Cme
E ∆
∆= ( )
Cme
QCmeE ⋅′=
Producto Total:
PT = f (FV) FV
FVQ
Q
FVFV
PTPT
E ∆
∆=∆
∆= ( )
PT
FVQ
PT
FVPTE ⋅′=⋅′=
Utilidad Total:
UT = f (Q) Q
QUT
UT
E ∆
∆= ( )
UT
QUTE ⋅′=
1. Obtener la elasticidad – precio de la demanda en los x = 1; x = 2,5 ; x = 1,5
si xp 310−=
2. Obtener la elasticidad- precio de la demanda en cada uno de los siguientes casos:
a) bxpa =
b) 1002 =xp
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
21
3. Hallar la elasticidad de la función de oferta, en cada uno de los siguientes casos:
a) pex 5=
b) 2bxap +−=
4. Considerar la función de demanda: 2348 px −= , cerca del punto p = 3. Si el precio
decrece el 4% determinar el incremento relativo de la demanda y dar una aproximación de
la elasticidad.
Comparar este resultado con la elasticidad de la demanda obtenida aplicando la fórmula
de la elasticidad en un punto.
5. Considerar la función de demanda: 10=+ px , en el punto x = 4. Si la cantidad
demandada se incrementa en un 5%, determinar el porcentaje de crecimiento del precio, y
dar una aproximación de la elasticidad de la demanda. Comparar luego este resultado con
el exacto valor obtenido en el punto x = 4, aplicando la fórmula de elasticidad de punto.
6. En un estudio de Gaba y Reca denominado “Poder Adquisitivo, Veda y sustitutos: un re-
examen de la demanda de carne vacuna en la Argentina” se determina que la elasticidad-
precio de la demanda de carne vacuna en nuestro país es: -0,37. Con el propósito de
incrementar los saldos exportables se desea reducir la cantidad demandada internamente
en un 30% y puede operarse sobre el precio de la carne vacuna y/o sobre el precio de los
sustitutos. Si se decidiese a operar sólo sobre el precio de la carne vacuna, ¿qué variación
porcentual y en que sentido debería realizarse para lograr el fin propuesto?
7. Si el 21
52 50
xCT x= + − . Calcular su elasticidad.
8. Si el 23 1
4 16CT x x= + . Calcular la elasticidad del Cme.
9. Una empresa dedicada a la fabricación de portones metálicos, está atravesando por una
gran crisis financiera, lo cual la obliga a reducir los costos en un 20%.
La empresa produce en forma eficiente y no desea reducir la calidad del producto. Se
conocen las siguientes elasticidades de sus funciones económicas: de la demanda: -0,15: del
costo total: 0,40; del ingreso total: 0,30 y del producto total 0,06 (no deberá usar todas).
Se desea saber cuál será la variación relativa del ingreso de la empresa ante su decisión de
reducir los costos en un 20%.
10. Comprobación de la definición de la elasticidad
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
22
Datos: 1 1
10 1110 3 1,5 5,5 1,222%
3 9
pp x x x p ε−= − → = → = = → = − = −
Comprobación:
%1
%2222,101222,0
5,1
018334,0018334,0481666,15,1
481666,13
445,4
3
555,5102555,5055,05,52055,001,0*5,5
−=∆
∆
=⇒−=−=∆→−=−=∆−
==−=⇒=+=→==∆
p
px
x
x
xx
xpp
ε
11. Demuestre cómo se obtiene gráficamente el valor de la elasticidad en el punto A de la
siguiente curva de demanda, fundamentando el procedimiento empleado.
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES-(Funciones de una variable)
1. El costo total de producción de una empresa es 25354
1 2 ++= xxCT y el precio de
venta de cada unidad es : x4
150− .
Se pide:
a) Hallar el número de unidades que se debe vender para que el beneficio sea máximo y decir a
cuánto asciende éste.
b) Obtener el costo mínimo por unidad producida.
2. La función de costo total para producir un bien es : 221260 xxCT +−=
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
23
Se pide:
a) Hallar la función de costo medio y el nivel de producción para el cual esta función se
minimiza. Decir cuál es el menor costo medio.
b) Verifique que en el punto mínimo de la función de costo medio, el costo medio es igual al
costo marginal.
3. Una empresa que fabrica radios produce x aparatos semanales con un costo total de :
100325
1 2 ++ xx , siendo la demanda de mercado de : 75 – 3p. Comprobar que el ingreso
neto máximo (beneficio) se alcanza cuando se producen alrededor de 30 aparatos
semanales. ¿Cuál será el precio de venta en este caso?
4. Determinar cuánto debe producir una empresa que desea maximizar su ingreso total si su
función de demanda es : 65
90 −+
=p
x
5. Un fabricante produce una determinada mercadería a un costo de : 20640 2 ++= xxCT ,
enfrentando una demanda igual a : x= 97,5 – 0,5p.
Se pide:
a) ¿Cuántas unidades de mercadería debería producir para obtener el máximo beneficio?
b) ¿Cuál será el precio que corresponda a ese beneficio máximo?
c) ¿Cuál será el beneficio máximo?
6. Si la demanda de un cierto bien responde a la función q = 120 – 2p determinar para que
nivel de producción el ingreso total será máximo y a cuánto ascenderá dicho ingreso total.
7. Si los costos variables de una empresa responden a la función: )25
13(100 2qqCV += y
los costos fijos son iguales a $ 10.000. ¿Cuál es el costo mínimo por unidad?¿ Cuál es el
mínimo costo marginal?
8. Una empresa de energía eléctrica ha obtenido una concesión para abastecer un mercado con
la siguiente función de demanda: 2
10+−= px . El gobierno desea promocionar el producto
de esta empresa y garantizar la permanencia de la misma en el mercado, por lo tanto ésta
recibe por parte del Gobierno Provincial un subsidio a la producción de $ 8 y de la
Municipalidad, un subsidio fijo igual a $ 16 (ambos no reintegrables). Los costos totales de
producción de la empresa responden a la función : 23 42 xxCT −= .
Se pide:
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
24
Determinar el monto de los beneficios, el precio fijado y la cantidad producida de energía bajo
cada una de las siguientes hipótesis:
a) Maximización de beneficios.
b) Maximización de ventas.
Compare ambos resultados
IMPUESTOS
9. Sea la función de demanda: xp4
150−= y la de costo total: xCT 2050+=
Determine cuánto debe producir el monopolista, a que precio debe vender su producto, y a
cuanto ascenderá su beneficio en cada uno de los siguientes casos:
a) Si desea maximizar su beneficio.
b) Si desea maximizar su beneficio sabiendo que se le cobra un impuesto específico a la
cantidad producida igual a $ 8.
c) Si desea maximizar su beneficio y soporta un impuesto sobre los mismos del 2%
d) Maximiza beneficios y soportan un impuesto fijo de $ 200.
10. Una empresa cuyas funciones de demanda y costo son respectivamente: pq4
125−=
qCT 5050+= soportaba un impuesto a las ventas de un 1% el que se eleva a un 4%.
¿Cuál es el efecto cuantitativo de ese aumento sobre la cantidad producida y el precio?
11. MAXIMA RECAUDACION IMPOSITIVA. Se sabe que una empresa monopólica tiene las
siguientes funciones de ingreso y costo totales: qqIT 302 2 +−= ; 1043 2 ++= qqCT .
El gobierno desea aplicar un impuesto al producto de esta empresa y desea hacer máxima
la recaudación impositiva “T” proveniente de esta fuente. ¿Qué tasa impositiva “t” (pesos
por unidad de producto), debe elegir el gobierno y que cantidad la empresa producirá en
momentos en que se esté cobrando dicho impuesto?
Verifique mediante las condiciones de segundo orden si la recaudación impositiva es
máxima.
SUBSIDIOS
Se trabaja exactamente igual que en el caso de los impuestos, sólo que en lugar de restarlo de
los beneficios, van sumando.
IMPUESTOS Y SUBSIDIOS SIMULTÁNEOS
BT = IT – CT – Impuestos + Subsidios
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
25
EJERCICIOS COMBINADOS
12. Una empresa monopólica posee una función de producción igual a: )12
3(25
2 xxPT −= .
Demuestre numéricamente que en el punto máximo de la curva de PMe el producto medio
es igual al producto marginal.
13. Una empresa que produce heladeras enfrenta una función de demanda igual
a: px 2100−= y un 5
15 −=x
CMe . En el año “1”, tiene esta empresa como objetivo
maximizar las ventas, pero como el beneficio obtenido de esta manera era escaso, los
socios deciden que en el año “2”, producirán de tal manera de hacer máximo los beneficios.
Decir cuál es el precio a que esta empresa vende cada heladera durante los años “1” y “2”.
14. Una empresa maximizadora de beneficios fabrica calefactores y heladeras. La función de
demanda de calefactores es: q = 200 – 2p y un 1010 +=q
CMe . Para las heladeras la
demanda es: x = 100 – p y el xCMe2
14 += . En el mercado de los calefactores debe
soportar un impuesto a los beneficios del 3% y en el de las heladeras, recibe un subsidio a
las ventas del 1%. ¿Cuál es el mercado más ventajoso para esta empresa: el de las
heladeras o el de los calefactores?
15. Decir a cuánto asciende el CMg mínimo de una empresa cuyo
xxxCMe
30100001202 2 ++−=
16. Una empresa que produce escritorios posee las siguientes funciones de demanda y costo
medio: px3
115−= , 10
10 +=x
CMe
Si la empresa desea obtener un beneficio máximo y el gobierno le va a imponer un gravamen
de t = 5. ¿Qué le convendrá a la empresa, que éste sea sobre la producción o sobre las
ventas?
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
26
COMPORTAMIENTO DE FUNCIONES Ejercicio Nº 30: Efectúe los desarrollos en series de Taylor o Mac Laurin según corresponda. Nota: En los dos primeros ejercicios complemente con la gráfica.
(30.a) IVy lahastasenxey ..7=
(30.b) ( ) IV0 ylahasta8xenx.7log.5y ==
(30.c) anulesederivadalaquehasta1x.2x.5x.5
2xy 234 ++−−=
(30.d) IV
0 ylahasta45xenx
senxy °==
(30.e) anulesederivadalaquehasta2xen1x2x.5
4xy 0
35 −=−+−=
Ejercicio Nº 31: Determine el comportamiento de las siguientes funciones expresando si son crecientes, decrecientes o estacionarias en los puntos considerados.
(31.a)
===
−=−=
3
0,1hpara2
2
en)2( 2
x
x
x
xy
(31.b) 2
0
-x1
2
x = 0
y= e en x = 1 para h=0,1
x = -1
(31.c)
0
1
2
x = 1tgx
y= en x = 1/2 para h=0,1x
x = -1/2
Ejercicio Nº 32: Determine por el método de la derivada primera:
• Máximos
• Mínimos
• Puntos de inflexión
(32.a) 3 2y= x - 2x - 4x + 9 siendo h = 0,1
(32.b) 0y= 2senx - cosx siendo h = 1 para x en [0°;360°]
(32.c) 2-xy= 6e siendo h = 0,05
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
27
(32.d) ( )
1,0hsiendox
x2lny
2==
Ejercicio Nº 33: Determine por el método de la derivada segunda:
• Máximos • Mínimos • Puntos de inflexión
(33.a) 4 3 2y= x - x - 2x + 10 (33.c) ( )2
y= cosx - senx para x en [0°;360°]
(33.b) 32
y= - 4x + xx
(33.d) 2y= 2sen x + senx - 3 para x en [0°;360°]
Ejercicio Nº 34: Dadas las siguientes funciones encuentre los puntos de inflexión en caso de tenerlos.
(34.a) ( ) 2x5,0.2y = (34.b) 5x.2xxy 35 +−−=
(34.c) ( )x.2cosxsen.2y 2 −= para x en [0°;180°]
Ejercicio Nº 35: Resuelva los siguientes límites aplicando la regla de L’Hôpital.
(35.a) xxxx
xxx
x .5.3.4.7
.5.5.6lim
235
23
0 −+−+−
→ (35.b)
( )( )x.8sen.9
x3sen.2lim
0x→
(35.c)
x senx
2 2x 0
e - elim
2x -3sen x→ (35.d)
23
x
x x.2x.6x
e.3lim
−+∞→
Ejercicio Nº 36: Resuelva.
(36.a) 0
senx - tgxlim
x - senxx→
(36.b) ( ) ( )
−−
−+→ 31x x1.2
1
x1.3
1lim
(36.c) ( )2
lim 1- senx tgxx
π→ (36.d)
2
21
x 1lim -
x-1 ln xx→
Ejercicio Nº 37: Resuelva los siguientes límites exponenciales por L’Hôpital.
(37.a) ( )x
6
xx1lim +
∞→ (37.b)
x.3
x 6x.2
x.25lim
+−−
∞→
(37.c) xsen
x xtg)(lim
31
0
++→
(37.d) ( )4
x+50
lim 1-2xx→
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
28
(37.e) ( )x
2
0xtgx.9xlim +
+→ (37.f) ( )senx
0lim xx→
(37.g) ( )( )π−π→
.3x.4
1
4
.3x
xtglim (37.h)
x
x x
x.2
1
2.2,0
.32lim
−+−
∞→
(37.i) ( )x
1x
0xxe.3lim −−
+→
(37.j)
3
4
14
21
limx
x
x
x
x
+
+
∞→
INTEGRALES Ejercicio Nº 38: Resuelva las siguientes integrales inmediatas.
(38.a)
-1
3x dx∫ (38.b) 2
5 dx-
sen x∫
(38.c) 6
2cos5
− ∫
xx e dx (38.d) 67
dxx∫
(38.e) dxx∫7 5
(38.f) 2
3
1
dx
x−∫
Ejercicio Nº 39: Resuelva las siguientes integrales por el método de sustitución.
(39.a) 39
4−
∫xe dx (39.b)
322∫xx e dx (39.c)
2 25−∫dx
x
(39.d)
33log∫
xdx
x (39.e) ( )92 7−∫ x xdx
Ejercicio Nº 40: Resuelva las siguientes integrales por partes.
(40.a) 7 .ln(7 )∫ x x dx (40.b) dx∫ xcotg arc
(40.c) cosxe xdx−∫ (40.d) 3ln
2∫x
dxx
(40.e) ∫
dxx.x ln
7
22
(40.f) ( )2 2 1 xx x e dx−− +∫
Ejercicio Nº 41: Resuelva las siguientes integrales trigonométricas.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
29
(41.a) ∫ dxxcos.xsen3 (41.b) ∫ dxxcos.xsen 22
(41.c) ∫ dxxcos.xsen 38 (41.d) ( ) ( )∫ dxxcos.xsen 36
(41.e) ( ) ( )∫− dxxsen.xcos 22 (41.f) ∫
dx
xsen.x
3
2
(41.g) ∫ dxxcos3
Ejercicio Nº 42: Resuelva las siguientes integrales racionales por descomposición en fracciones simples.
(42.a) 2 5 4
xdx
x x− +∫ (42.b) ∫ −−−dx
xx
x
132
5
(42.c) ( )2
4
1 3dx
x x−∫ (42.d)
2
2
3 2 1
4 3
x xdx
x x
− ++ −∫
(42.e) ( ) ( )3
21 2 2
xdx
x x x− +∫ (42.f) 2
3
4 1dx
x +∫
Ejercicio Nº 43: Resuelva las siguientes integrales de funciones irracionales.
(43.a) ∫ ++−
dxx
x
11
3
(43.b) 21
6x dx−∫
(43.c) 1
xdx
x−∫
(43.d) ∫ + dxx.x 1
Ejercicio Nº 44: Resuelva las siguientes integrales en general.
(44.a) 2 4 2
dx
x x− +∫
(44.b) ∫ dxxarctagx
(44.c) 2
3
9
xdx
x −∫
(44.d)
2
2
2 1 −∫
xdx
x
(44.f) dxx
x∫
− 216
Ejercicio Nº 45: Encontrar el valor de las integrales definidas aplicando la regla de Barrow.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
30
(45.a) 3 2
0
2
9∫x dx (45.b) ( )∫
4
13 dxxln (45.c)
3 2
016 x dx−∫
(45.d) dxxsen.x∫°
°
180
30
(45.e) 21
0
3
4−
∫xxe dx
(45.f) ∫− +1
2 32 xe
dx
Nota: en el inciso a), b) y c) realice la gráfica correspondiente.
Ejercicio Nº 46: Encuentre analítica y gráficamente el área entre la función y ambos ejes de coordenadas.
(46.a) 2
0 12 entre x 2 y x 3y x= − = =
(46.b) °=°=
= 150xy45xentre4
2 10
xsen.y
(46.c) 2
0 12 8 8 entre x 0 y x 3y x x= + + = =
(46.d) 6ye2yentre02
ln4 10 ===− yx
(46.e) 2
0 12 3 entre x 1 y x 4y x x= − − = =
Ejercicio Nº 47: Encuentre el área entre las siguientes funciones. (47.a)
2 2 6 e 1y x x y x= − + + = −
(47.b) ( ) xcos.yxseny 2e2 −== (entre dos puntos de intersección de [0°; 360°])
(47.c) 3 2 23 e 2 3 2y x x x y x x= − + − = + −
(47.d) 3 2 22 2 3 1 e 3 4 1y x x x y x x= − + − = − + −
(47.e) xsen.yxtgy 4e == para x en (-180°;180°)
Ejercicio Nº 48: Mediante el método gráfico de los trapecios encuentre el área entre la función y el eje x. (48.a) 0 14ln entre x 1 y x 10 para h=1y x= = =
(48.b) 2
0 15 entre x 0 y x 3 para h=0,3xy e−= = =
(48.c) 3 2
0 11 entre x 0 y x 6 para h=0,5y x= + = =
(48.d) °=°=°== 10h para 80 xy 10 xentre1
10xseny
Ejercicio Nº 49: Encuentre el área aproximada por intermedio de la fórmula de Simpson.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
31
(49.a) 0 1
5 para n>6 entre x 0 y x 2
xy
e= = =
(49.b) °=°=== 120 xy 30 xentre 12n para9 10xsen.y
(49.c) 0 14 para n=8 entre x 2 y x 2xy e−= = − =
(49.d) ( ) 6 xy 1 xentre ustedpor elegidon para 24 10 === xlog.y
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
32
APLICACIONES ECONÓMICAS
1. Calcular el IT de una empresa cuyo IMg es igual a: 60 – x.
2. Calcular el CT de una empresa cuyo CMg es igual a: 230 x - 200 x 500 + y su CF es
igual a $ 50.
3. Observe el gráfico y responda:
Si se producen 2 unidades:
a) Decir que representa el área OPTS.
b) Decir que representa el área OAES.
c) Demostrar cómo son entre sí: IMg = 100 – 6 x; IMe = 100 – 3 x.
d) Comprobar si es correcto lo obtenido en c) verificando en la función total
correspondiente.
4. Observar el gráfico de la siguiente hoja y responder:
Si se producen 3 unidades:
a) Decir que representa el área OPTR.
b) Decir que representa el área OAER.
c) Dados: CMg = x2 + 2 x + 3 ; x
6 3 x x
3
1 CMe 2 +++= , determinar el CT
cuando se producen 3 unidades, mediante tres formas distintas que Ud.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
33
conozca. Indique gráficamente a cuál corresponde cada una. El Costo Fijo
asciende a $ 6.
5. Dibujar en un mismo gráfico las funciones de IMe, IMg, CMe y CMg, y señalar dos áreas
distintas que representen el Beneficio Total para un nivel de ventas inferior al óptimo
(indicando cómo obtiene cada una).
6. Una empresa tiene las siguientes funciones de ingreso y costo: 2CMg 3 x - 8 x 8= + ;
4 CF ; x4 -12 IMg == . Decir cuál es el máximo beneficio de esta empresa y cuántas
unidades deben producirse para ello.
EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR
7. Si la función de demanda de una empresa es: px2
110−= , hallar el excedente del
consumidor cuando p = 4.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
34
SERIES Ejercicio Nº 50: Escriba los cinco primeros términos de las siguientes series.
(50.a) 1
2 1
5 !n
n
n
∞
=
−−∑ (50.b)
21
cos
2n
nx
n
∞
=∑
(50.c) ( )
( )∑∞
=
+
−−
1
1
!1
21
n
nn
n (50.d)
( )2
1
3
4 !n
n
n
∞
=
+∑
(50.e) ∑∞
=13
2
n
n
n (50.f)
1
1
2
!
n
n
x
n
−∞
=∑
Ejercicio Nº 51: Escriba el término general de cada una de las siguientes series y luego exprese en todos los casos si son convergentes o divergentes.
(51.a) 2 3 4 5
4 8 12 16 20...
2 2 2 2 2+ + + + +
(51.b) 2 2 2 1 2
...2 6 12 10 30
+ + + + +
(51.c) 9 16 25
4 4 ...3 5 7
+ + + + +
(51.d) 1 4 9 16 25
...2 6 24 120 720
+ + + + +
(51.e) ...+π
+π
+π
+π
+π12564278
5432
(51.f) ...coscoscoscos
cos +α+α+α+α+α5
5
4
4
3
3
2
2
5432 para °<α<°− 9090
Ejercicio Nº 52: Determine si las siguientes series son convergentes o divergentes, absoluta o condicionalmente, distinguiendo aquellas que sean geométricas.
(52.a) ( )
21
1
4
n
n n
∞
=
−∑
(52.b)
1
1
( 1)
3 1
n
n n
−∞
=
−−∑
(52.c) ...−+−+− 9313
1
9
1 (52.d)
( )( )∑
∞
= −+−
22
2
1
212
n
n
n
.nn
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
35
(52.e)
4 2
1
( 1) ( 1)
2 !nn
n
n
∞
=
− −∑ (52.f) ∑
∞
=13
n n
nsen
(52.g) 2
1
2
4n
n
n
∞
=∑
Ejercicio Nº 53: Halle el radio de convergencia de las siguientes series.
(53.a) ...xxxxx +−+−+−50321882
5432
(53.b) 1
2 n n
n
x∞
−
=∑
(53.c) ( )( )∑
∞
=
−
+−−
1
1
5!1
1
n
nn
n
x
(53.d) 1
1
!n
n
xn
∞
=∑
FUNCIONES DE MAS DE 2 VARIABLES Ejercicio Nº 54: Represente por curvas de nivel las funciones que se indican a continuación. (54.a)
2 23 4= +z y x (54.b) ( )xysenxz −=
3
2
(54.c) 2 2 22 2 2 16 0z y x+ − − = (54.d) 2=z xy
Ejercicio Nº 55: Representar las funciones del ejercicio Nº 54 por un sistema informático. Ejercicio Nº 56: Encuentre las siguientes derivadas parciales.
(56.a) ( ) ( )xytgycos
xsenyxz 35
43
5
2 3 −+−=
(56.b) ( )yx
exylogz
xxy
35
426 +−=
(56.c) ( )yx
xsenexysenyyarctg.xz
x
232 +−=
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
36
(56.d) ( )xln
yzzexysenzx x.y 5
4542 −=+−
Ejercicio Nº 57: Encuentre las segundas derivadas parciales de las siguientes funciones.
(57.a) ( ) ( )xlneysenxz x 234252 −=
(57.b) 2 2 2 4
5 77
= − + xyzw x y y z
(57.c) 2
24 ln
2xtgy
z x y e yx
= − −
Ejercicio Nº 58: Dadas las siguientes funciones encuentre las Diferenciales Totales.
(58.a) ( )3
224
y
xlogyxlnxez y −−= y el valor en ( )1;2P
(58.b) ( ) ( )0;122 Pen4
4 yxey
tgx.xysenz +−=
(58.c) ( ) ( ) ( );10;3032 Pen °+−= tgx.yycoszxysen.xw
Ejercicio Nº 59: Encuentre las diferenciales totales de las siguientes funciones compuestas.
(59.a)
0
3 2 4 20
0
x 3dz
Hallar sabiendo que z=3x y - 4xy para dt
1
t
y t
t
= + = = −
(59.b)
2 2
00
xdz
Hallar sabiendo que z= para cosdt 4
60
sentx y
y txy
t
=+ =
=
(59.c)
0
02 2 2
00
0
x
cosdwHallar sabiendo que w=2 x para
dt 45
sent
y ty z
t
z tgt
= =+ + = =
Ejercicio Nº 60: Desarrolle en series de Taylor o Mac Laurin según corresponda.
(60.a) 2 2
04 6 8 10 en el entorno de P (1; 2)z x y xy x y= + − − + − −
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
37
(60.b) III hasta zxyz e senx=
(60.c) 04ln( ) hasta el 3 término y sus valores en P(1;1)z x y= +
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
38
APLICACIONES ECONÓMICAS
PRODUCCIÓN
1. Construir las funciones de PMe y PMg para x1 correspondientes a la función de producción:
Q = x1 x2 – 0,2 x12 – 0,8 x2
2.
y0
x0
X
Y
Z
y0
x0
f1 (x;y0)
f2 (x0;y) X
Z
Y
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
39
2. La función de producción de una mercadería x es: X = 10 L – L2 + 2 L K + 80 K – 2 K2, en
la cual L y K son respectivamente insumos de trabajo y de capital. Encuéntrese las
productividades Me y Mg de L y K para L = 3 y K = 10.
3. Encuentre las funciones de producto Marginal para la función de producción:
X = 50 L + 2 L2 – 3 L3 + 2 L K2 – 3 L2 K + 5 K2 – K3 y determine a continuación las
productividades marginales de L y K para L = 2 y K = 5.
4. FUNCIONES HOMOGÉNEAS: Decir cuáles de las siguientes funciones de producción son
homogéneas y que tipo de rendimientos a escala poseen:
a) Q = x . y
b) Q = x + y
c) Q = L3 + 3 T2 L
L . T
d) Q = x y2 – x2 y2 1/z
e) Q = A xa yb
f) Q = x2 + 2 x2 y + 5 x y2 + y2
x . y
g) Q = x y + 10 x
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
40
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
1. PROPAGANDA. Determinar el nivel óptimo de publicidad (A*) para una empresa
maximizadora de beneficios cuyas funciones de ingreso y costo son:
100 A Q 2 A 40 -A 20 Q4
1-Q 5 IT 2 2 +++= ; A 25 Q 3 CT ++=
2. DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS. Una empresa puede separar a los consumidores de un bien
“Q” en dos mercados (1 y 2) cuyas demandas están representadas por las funciones:
p1 = 151 – Q1; p2 = 120 – Q2. La función de costo total de la empresa es:
CT = 100 + 8 Q + Q2.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
41
Determinar el precio y la cantidad de equilibrio en cada mercado y el beneficio total de la
empresa.
3. MÁXIMA PRODUCTIVIDAD MARGINAL. Dada la función de producción:
Q = 10 L + 20 K + 0,3 L2 – K2- 0,01 L3 ; donde K representa el capital y L el trabajo.
¿Habrá algún nivel de utilización del trabajo para el cual la productividad marginal de dicho
factor sea máxima? ¿Y para el capital?
4. MONOPOLISTA QUE PRODUCE DOS MERCANCÍAS QUE ESTÁN RELACIONADAS EN EL
MERCADO. Un monopolista produce dos mercancías: 1 y 2, cuyo consumo es
interdependiente ya que la demanda de mercado de la mercancía 1 depende de su precio y
del precio de la mercancía 2, y lo mismo para esta última. Si la demanda de dichas
mercancías es: x1 = 5 – p1 + 2 p2; x2 = 4 + p1 – 3 p2 y la función de costos de la
empresa son: CT = 4 x1 + 2 x2 (donde 4 y 2 son los costos unitarios de ambas
mercancías), se desea determinar a que precio deberá vender cada mercancía si desea
obtener un beneficio máximo.
5. Un monopolista tiene las siguientes funciones de IMe (Demanda): p1 = 63 – 4 Q1 ;
p2 = 105 – 5 Q2; p3 = 75 – 6 Q3 correspondientes a los distintos mercados en que
vende su único producto. Su función de costo total es: CT = 20 + 15 Q y su objetivo es
maximizar los beneficios totales.
SE PIDE: Determinar:
a) Que cantidad producirá el monopolista y a que precio venderá en cada
mercado.
b) A cuánto ascenderán los beneficios totales.
6. La empresa Beta produce dos bienes: 1 y 2 que se venden en el mercado (competencia
perfecta) a los siguientes precios: p1 = $ 12 y p2 = $ 18. El directorio ha solicitado al
asesor económico que indique que cantidades deben producirse para que las ganancias
sean máximas y a cuánto ascenderán éstas. La función de costo total es:
CT = 2 Q12 + Q1 Q2 + 2 Q2
2.
7. PRODUCCIÓN. Una empresa utiliza para producir su único producto, dos factores: capital
(maquinarias) = x1 y trabajo = x2.
Lo que produce cada trabajador está representado por la función:
2
1211
21
2
31
2
21
x
x140 - x x- x17 x
3x
x2-
x20 PMe ++=
x
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
42
a) Se desea saber si existe algún nivel de utilización del trabajo para el cual la
productividad marginal del capital sea máxima.
b) Cuánto puede producir como máximo cada máquina.
8. PRESENTACIÓN DE UN PRODUCTO. Un empresario cuyo objetivo es maximizar su ganancia
está estudiando la posibilidad de producir un nuevo producto. Existen dos formas de
presentación del mismo: en envases de cartón con lo cual el costo medio del producto es
de $ 90, o en envases de material plástico con un costo medio de $ 130. De elegir la
primera alternativa la demanda estimada es: Q1 = 1900 – 20 p1, si elige la segunda:
Q2 = 2240 – 16 p2
SE PIDE:
a) Si no existe la posibilidad técnica de utilizar las dos maneras de forma simultáneas:
¿qué alternativa elegiría el empresario? ¿A qué precio se venderá el producto y a
cuánto ascenderán los beneficios?
b) Si puede combinar simultáneamente ambas formas de presentación: ¿cuánto producirá
de cada una y cuales serán los precios y el beneficio?
9. EJERCICIOS DE REPASO CON SOLUCIONES.
a) Las demandas de dos bienes X1 y X2 están dadas por D1 = 16 -p12 y D2 = 9 - p2
2 y la
función de costo es C (p1;p2)= p12 + 3 p2
2. Determinar las cantidades y los precios que
maximizan el beneficio.- Respuesta: p1=2; p2=1; D1=12; D2=8
b) Si las demandas de dos bienes X1 y X2 son D1 = 24 -2p1 y D2 = 20 – 4 p2 y la función
de costo C (p1;p2)= p12 + p1p2 + 2 p2
2 hallar los precios p1 y p2 y cantidades D1 y D2 que
maximizan el beneficio. Respuesta: p1=268/71; p2=96/71 ; D1=1168/71; D2=1036/71.
c) Si las demandas de dos bienes son X1 = 4 - p1 + p2 y X2 = 3+p1-2p2 hallar los
precios p1 y p2 y cantidades X1 y X2 que maximizan el beneficio si el costo de producción
unitario es de 4 para X1 y de 2 para X2. Respuesta: p1=15/2; p2=9/2 ; D1=1; D2=3/2.
d) Un monopolista produce dos artículos X1 y X2 cuyas demandas son: X1 = 8 - p1 + p2 y
X2 = 9 + p1 - 5 p2. Encontrar las cantidades y precios que maximizan el beneficio si los
costos de producir una unidad de X1 es igual a 4 y de X2 es igual a 2. Respuesta:
p1=65/8 ; p2=25/8 ; D1=3 ; D2=3/2.
e) Un producto se vende en dos mercados diferentes, (1 y 2) cuyas demandas están
representadas por las funciones: p1 = 40 – 5 q1; p2 = 30 – 3 q2. La función de costo es
C (p1;p2)= q12+2 q1q2 3 q2
2. Calcular el precio y la cantidad que deben venderse en cada
mercado para obtener el máximo beneficio. Respuesta: p1=25 ; p2=24 ; q1=3 ; q2=2.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
43
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES SUJETAS A UNA
RESTRICCIÓN
1. Maximización de la producción bajo una restricción presupuestaria. Una refinería utiliza para
la producción de nafta dos tipos de petróleo: x1 = petróleo tipo A y x2 = petróleo tipo B. La
producción responde a la función: PT = x1 x22 + x1
2 x2.
El costo de cada factor productivo asciende a $ 5 por unidad para ambos tipos de petróleo.
Encontrar la máxima producción posible de nafta sabiendo que la empresa tiene una
restricción financiera por la cual no puede gastar más de $ 500 en dicha producción.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
44
Explicar el significado de x1, x2 y lambda.
2. COSTOS. La producción de un bien “Q” cuando se utilizan las cantidades x1 y x2 de dos
factores productivos, viene dada por la función de producción: Q = x1 x2. Siendo los
precios de los factores constantes e iguales a $ 8 y $ 2 respectivamente y el nivel de
producción deseado de: Q = 100.
a) Determinar el costo total mínimo para Q = 100.
b) Interpretar el significado económico de la variable lambda.
c) Determinar el CMg para ese nivel de producción.
3. Plantear las condiciones de primer orden de los siguientes problemas (NO RESOLVER, SOLO
DEJAR PLANTEADO LO SOLICITADO):
a) Una empresa vende dos bienes en el mercado cuyas demandas son:
x1 = 100 – 2 p1 + 3 p2; x2 = 60 + 4 p1 – 5 p2. La empresa compite con otras dos
empresas en el mismo ramo. Todas intentan ganarse el mercado desplazando a las otras,
tratando de obtener el mayor nivel de ventas posible. Nuestra empresa tiene un costo
medio de $ 2 para el producto 1 y de $ 4 para el producto 2.
El gobierno desea promocionar la venta del producto 1 y le otorga un subsidio a la
producción de $ 70.
La empresa desea obtener un beneficio de $ 150. La misma debe soportar un impuesto a
las ventas del producto 2 del 5%.
Se desea saber cuánto debe vender la empresa de cada producto.
b) Una empresa dispone para producir de los siguientes factores: maquinarias (x1) y trabajo
(x2) y dinero en efectivo el cual asciende a $ 1.200. Lo que produce cada trabajador está
representado por la función: 25 x1 x2 + 50 x12 x2 – 40 x2
2 x1 + 2 x1 + 4 x2 + 50.000
La empresa debe pagar un salario de $ 4 por trabajador. Cada máquina le cuesta $ 10.
La empresa está estudiando la conveniencia o no de cambiar el equipo de máquinas y para
ello necesita saber cuánto se puede producir actualmente como máximo por cada máquina.
c) Suponga que la empresa del punto b) posee ahora una cantidad ilimitada de dinero para
producir y desea saber si habrá algún nivel de utilización del trabajo para el cual la
productividad marginal del mismo sea máxima.
d) Un monopolista produce escritorios de dos tipos: de tapa de fórmica y de tapa de acrílico,
siendo la demanda de cada uno igual a:
x1 = 50 – 2 p1 + 3 p2 (fórmica); x2 = 70 + 3 p1 – 5 p2 (acrílico).
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
45
Los costos unitarios de la empresa son: $ 5 para los de fórmica y $ 10 para los de acrílico.
Debido a una gran escasez de madera que hay en el mercado, esta empresa no puede
producir más de 250 escritorios.
La empresa desea saber cuánto debe producir de cada tipo de escritorios para poder
maximizar su beneficio.
4. EJERCICIOS DE REPASO CON SOLUCIONES
a) Dada la función de utilidad de un consumidor U=x1 . x2 , los precios de los bienes son
p1=1 y p2=3, y el ingreso es I=15, encontrar las cantidades x1 y x2 que hacen
máxima la utilidad y a cuánto asciende ésta. Dar la interpretación económica de λ.
Respuesta: x1 = 7,5; x2= 2,5; U=18,75; λ indica la utilidad marginal del ingreso.
b) Una fábrica produce artículos x1 y x2 . La función de costo es:
C (x1; x2) = x12 + 2 x2
2 - x1 el cual se quiere minimizar. Determinar el costo mínimo y
las cantidades a producir si el total de artículos debe ser 8. Respuesta: x1 = 5,5; x2=
2,5; C = 37,25.
c) La función de utilidad es U = 10x1 + 20x2 + 4x1x2. Si la restricción presupuestaria es
2x1 + 3x2 = 18, hallar las cantidades que maximizan la utilidad y a cuánto asciende
ésta. Dar la interpretación económica de λ. Respuesta: x1 = 31/8; x2= 41/12; U =
3.841/24; λ indica la utilidad marginal del ingreso.
d) El número de fallas N como función de las variables x e y de cambios de dos partes de
una máquina está dado por N(x;y)= 3x3 + y2 + 2xy - 22x + 60. Para minimizar las
fallas, ¿qué número de cambios deben realizarse de cada parte si 2x = y ?. Respuesta:
x = 1 e y = 2, N=49.
e) La producción P en función de las cantidades x e y de los insumos X e Y está dado por
P(x;y) = x2 + 5xy - 4y2 . Hallar las cantidades que maximizan la producción si
2x+3y= 74 y el máximo valor de ésta. Dar la interpretación económica del
multiplicador de Lagrange (λ). Respuesta: x = 31; y= 4; P = 1.517; λ indica la
productividad del capital.
f) Un ganadero tiene la función de producción P(x;y) = 110x-3 x2 - 2xy + 5y2, donde x
es la cantidad de medias reses e y son la cantidad de cueros. Sabiendo que hay 2
costados de res por cada cuero, ¿qué cantidad de vacas maximizará su producción? ¿a
cuánto asciende ésta? Respuesta: 10 vacas; P = 1100.
g) Un fabricante de piezas para industrias de triciclos vende 3 ruedas por cada armazón.
Si la demanda de ruedas es Dr= 63 – 1/4 pr, la demanda de armazones es
Da=60-1/3pa y el costo conjunto es C(Da;Dr)=Dr2+DrDa+Da
2+190. Hallar a qué
precios y con qué producción se obtiene el máximo beneficio y a cuánto asciende éste.
Respuesta: Dr= 27; Da=9; pr =144 ;pa=153 ;B=4.022.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
46
h) Dada la función de producción P=3x1x2, obtener el costo mínimo y las cantidades de
cada insumo necesarias para producir 15 unidades si el costo fijo es 150 y los precios
unitarios de cada insumo son p1=5 y p2=9. Respuesta: x1=3; x2= 5/3; Cmin= 180.
i) Dada la función de producción de un artículo P(x1;x2)=3x1x2, si x1 y x2 son las
cantidades de 2 insumos X1 y X2 y p1=4,p2=5 son los precios de los insumos, 300 es el
costo fijo, hallar: a)el costo mínimo para p=6000, b) el producto máximo para C=500.
En ambos casos determinar las cantidades x1 y x2 correspondientes. Dar la
interpretación económica de λ en el caso b). Respuesta: a) x1=50; x2= 40; C= 700.
b) x1=25; x2= 10; P= 1500. λ indica la productividad del capital.
j) La relación entre las ventas V y las sumas x e y gastadas en dos medios de publicidad
está dada por 200 100
5 10
x yV
x y= +
+ +. La ganancia es 1/5 de las ventas menos el costo de
la promoción. El presupuesto para publicidad es 25. Determinar cuánto debe asignarse
a cada medio de publicidad para maximizar la ganancia y a cuánto asciende ésta. Sólo
plantear. Respuesta: x= 15 , y= 10, B= 15.
k) Dada la función de utilidad U(x1;x2)= x1.x2, si x1 y x2 son las cantidades de 2 artículos
X1 y X2 y p1=2 y p2=5 son los precios de los mismos, hallar la utilidad máxima y las
cantidades x1 y x2 que la maximizan si el ingreso es 100. Dar la interpretación
económica de λ . Respuesta: x1=25; x2= 10; U= 250. λ indica la utilidad marginal
del ingreso.
l) Hallar las cantidades de insumo que hacen máximo el nivel de producción si el
costo total del trabajo (a 48 dólares por unidad) más el costo del capital (a 36
dólares por unidad) se limita a 115.200 dólares sabiendo que P(t;c)= 100 t 0,25 c0,75.
Respuesta: t=600, c=2400, P=169.704.
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
47
ECUACIONES DIFERENCIALES Ejercicio Nº 61: Indique el grado y orden de las siguientes ecuaciones diferenciales. (61.a)
22 ´yx y y= (61.b) 2 3 ´́ 2x xy y= −
(61.c) ´́ ´ 2 4 4 ´́y y x y− + = (61.d) 2 22 ´ 3 ´´ 4 3xy y x y− = −
Ejercicio Nº 62: Realice las siguientes verificaciones.
(62.a) Que la familia de funciones 2y x cx= − es la solución general de la ecuación diferencial 2´xy y x− = .
(62.b) Idem para ln( )y x c= + y la ecuación diferencial ye'y −= .
(62.c) Idem para 1
yx
= siendo 22
2y
x'y +−= .
(62.d) Idem ´́ 2 ´ 2 0y y y− + = para 1) xy xe=
2) 2 xy x e= Ejercicio Nº 63: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables. (63.a) Halle la solución general de la siguiente ecuación general:
2( 4 ) 0
d yy d x
x x+ + =
−
(63.b) Idem con 02 =+ dyxcosdxycos.xsen
(63.c) Hallar la solución particular de la ecuación diferencial 2´ ( ) 0xy e y y+ − = en el punto P=(0;1). (63.d) Idem 034 =− dyysen.xdxycos. que para por en punto P=(1;0). Ejercicio Nº 64: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales del tipo lineal. (64.a) ´ 2 5y xy x+ =
(64.b) 32 ´ 4x y xy− =
(64.c) ´ 4xy e y− =
Guía de Trabajos Prácticos 2012 Análisis Matemático
Facultad de Cs. Económicas Y Jurídicas.-UNLPam
48
(64.d) Halle la solución particular que pasa por el punto P=(0;1) de la ecuación xy'y =+
Ejercicio Nº 65: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas. (65.a) ( ) ( ) 024 =+−++ dxxydyyx
(65.b) dxyxdxydyx 22 +=−
Ejercicio Nº 66: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli.
(66.a) 31
´3
y y y x− =
(66.b) ( )2 2dy xy xy dx= −
Ejercicio Nº 67: Halle la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden: 1.- Con coeficientes constantes y segundo miembro nulo (homogéneas). (67.a) ´́ 4 ´ 3 0y y y− − =
(67.b) ´́ 6 0y y+ =
2.- Con coeficientes constantes y completas. (67.c) ´́ ´ 1 2y y x− = +
(67.d) ´́ 4 ´ 9 2cosy y y x+ + =
Nota: El tema “ecuaciones diferenciales” normalmente no se desarrolla y suele darse como material agregado en un fascículo teórico práctico escrito en 1995 y reimpreso en el 2002 con el objeto de que sirva de apoyo a los alumnos. En general, salvo años muy excepcionales, solamente se llega a los dos primeros ejercicios con la idea de mostrar los distintos “tipos”.
Marzo 2012