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TECSUP – PFR Física II
ÍNDICE
Unidad I: “ANÁLISIS VECTORIAL”
1. La física ........................................................................................................ 1 2. Magnitud física .............................................................................................. 1 3. Unidades y patrones de medida ...................................................................... 1 4. Sistema de referencia .................................................................................... 2 5. Vectores y escalares ...................................................................................... 3 6. Física aplicada ............................................................................................. 13
6.1. Cóctel de medidas ............................................................................. 13 7. Preguntas ................................................................................................... 15 8. Ejercicios .................................................................................................... 16 Unidad II: “ESTÁTICA. PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO” 1. Estática. Primera condición de equilibrio. ....................................................... 19
1.1. Equilibrio .......................................................................................... 19 1.2. Tipos de equilibrio ............................................................................. 19
1.2.1. Equilibrio estático: .............................................................. 19 1.2.2. Equilibrio cinético ............................................................... 20
2. Primera ley de Newton (Ley de Inercia) ......................................................... 20 3. Tercera Ley de Newton (acción y reacción) .................................................... 21 4. Fuerzas Concurrentes .................................................................................. 21 5. Diagrama de Cuerpo Libre (D.C.L.) ............................................................... 21
5.1. Ejemplos .......................................................................................... 23 6. Primera Condición de Equilibrio ..................................................................... 23 7. Física aplicada ............................................................................................. 27
7.1. La escritura de los principia ............................................................... 27 8. Preguntas ................................................................................................... 29 9. Ejercicios .................................................................................................... 29 Unidad III: “ESTÁTICA. SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO” 1. Estática. Segunda condición de equilibrio. ...................................................... 35 2. Momento de una Fuerza o Torque ................................................................ 35 3. Teorema de Varignon .................................................................................. 37 4. Segunda condición de equilibrio .................................................................... 38 5. Formulación Vectorial: Momento de una Fuerza ............................................. 38 6. Física aplicada ............................................................................................. 39
6.1. Puentes............................................................................................ 39 7. Preguntas ................................................................................................... 41 8. Ejercicios .................................................................................................... 42
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Unidad IV: “CINEMÁTICA” 1. Cinemática .................................................................................................. 51
1.1. Definición de velocidad media entre el punto A y el punto B. ................. 52 1.2. Velocidad instantánea. ....................................................................... 52 1.3. Ejemplo ............................................................................................ 53 1.4. Ejercicio ........................................................................................... 54 1.5. Ejercicio ........................................................................................... 54 1.6. Ejercicio ........................................................................................... 55
2. Movimiento Rectilíneo: Aceleración ................................................................ 55 2.1. Aceleración instantánea ..................................................................... 55 2.2. Ejemplo ............................................................................................ 56 2.3. Ecuaciones del Movimiento ................................................................. 57 2.4. Ejercicio ........................................................................................... 58 2.5. Ejercicio ........................................................................................... 59
3. Caída Libre de los cuerpos ............................................................................ 59 3.1. Ejemplo ............................................................................................ 60 3.2. Ejercicio ........................................................................................... 62
4. Física aplicada ............................................................................................. 62 4.1. La gravedad, la fuerza más misteriosa en el universo ........................... 62 4.2. Preguntas ......................................................................................... 64 4.3. Ejercicios .......................................................................................... 64
Unidad V: “MOVIMIENTO CIRCULAR”
1. Movimiento Circular Uniforme ....................................................................... 71 1.1. Movimiento Circular Uniforme ............................................................. 71 1.2. Relación entre velocidad angular y velocidad tangencial ....................... 72 1.3. Ejemplo ............................................................................................ 74 1.4. Movimiento Circular No Uniforme ........................................................ 75 1.5. Analogía con el movimiento lineal ....................................................... 76
2. Física aplicada ............................................................................................. 76 2.1. Johannes kepler ................................................................................ 76
3. Preguntas .................................................................................................... 78 4. Ejercicios ..................................................................................................... 78 Unidad VI: “DINÁMICA”
1. Dinámica ..................................................................................................... 83 2. Fuerza ........................................................................................................ 83 3. Peso y gravedad .......................................................................................... 84
3.1. Diferencia entre masa y peso ............................................................. 85 4. Segunda ley de newton ................................................................................ 85
4.1. Expresión matemática de la 2º Ley de Newton. ................................... 87 4.2. Ejemplo ............................................................................................ 88 4.3. Falta aparente de peso en un elevador. ............................................... 89 4.4. Aplicación tecnológica ........................................................................ 90
5. Fuerzas de fricción ....................................................................................... 91
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6. Fricción en movimiento horizontal ................................................................. 93 7. Física aplicada ............................................................................................. 94
7.1. La fricción en las llantas de automóviles .............................................. 94 8. Preguntas ................................................................................................... 95 9. Ejercicios .................................................................................................... 96 Unidad VII: “TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA”
1. Trabajo..................................................................................................... 103
1.1. Trabajo realizado por una fuerza constante ....................................... 103 1.2. Unidad ........................................................................................... 104 1.3. Ejemplo ......................................................................................... 105 1.4. Trabajo realizado por una fuerza variable .......................................... 105 1.5. Trabajo Neto o Trabajo Total ........................................................... 106
2. Potencia ................................................................................................... 107 2.1. Eficiencia ........................................................................................ 108
3. Energía ..................................................................................................... 109 3.1. Unidades ........................................................................................ 109 3.2. Fuentes de energía ......................................................................... 110
3.2.1. Energía no renovable ........................................................ 110 3.2.2. Energía renovable ............................................................ 111
3.3. Tipos de energía ............................................................................. 111 3.3.1. Energía mecánica ............................................................. 111 3.3.2. Energía térmica ................................................................ 112 3.3.3. Energía eléctrica .............................................................. 112 3.3.4. Energía química ............................................................... 112 3.3.5. Energía radiante ............................................................... 112 3.3.6. Energía nuclear ................................................................ 112 3.3.7. Energía sonora ................................................................. 112
3.4. Energía mecánica ............................................................................ 113 3.4.1. Ejemplo ........................................................................... 113 3.4.2. Ejemplo ........................................................................... 114 3.4.3. Ejemplo ........................................................................... 115
3.5. Principio de conservación de la energía ............................................. 116 3.6. Conservación de la energía mecánica................................................ 116 3.7. Fuerza Conservativas ...................................................................... 117 3.8. Fuerzas No Conservativas ................................................................ 117 3.9. Teorema del trabajo y la energía cinética .......................................... 118
3.9.1. Ejemplo ........................................................................... 118 3.10. Teorema del trabajo y la energía mecánica ....................................... 120
3.10.1. Ejemplo ........................................................................... 120 3.11. Sistemas conservativos .................................................................... 121
3.11.1. Ejemplo ........................................................................... 122 3.12. Sistemas no conservativos ............................................................... 124
4. Física aplicada ........................................................................................... 127 4.1. Rumores sobre los neutrinos ............................................................ 127
5. Preguntas ................................................................................................. 128 6. Ejercicios .................................................................................................. 129
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Unidad I
AANNÁÁLLIISSIISS VVEECCTTOORRIIAALL
1. LA FÍSICA
Es una ciencia fundamental dedicada a la comprensión de los fenómenos
naturales que ocurren en nuestro universo. Es una ciencia basada en
observaciones experimentales y mediciones cuantitativas.
2. MAGNITUD FÍSICA
Es todo aquello que se puede comparar con otro de su misma especie, es todo
aquello que es susceptible a ser medido. También se llama cantidades físicas.
Ej.: Longitud, masa, volumen, temperatura, etc.
Las magnitudes físicas se clasifican en:
Magnitud fundamental: Son las principales y que sirven de base para
determinar las demás magnitudes y se encuentran en casi todos los
fenómenos, son la longitud (L), masa (M), tiempo (T), temperatura (), carga
eléctrica (Q), etc.
Magnitud derivada: Son aquellas magnitudes que están expresadas en función
de las fundamentales, el número de estas magnitudes es muy amplio, son por
ejemplo la velocidad, aceleración, área, volumen, presión, trabajo, energía,
etc.
3. UNIDADES Y PATRONES DE MEDIDA
Cuando se mide la distancia entre dos objetos, la medida se reporta como un
número. Sin embargo, el numero en particular que de depende del tamaño de la
unidad básica de medición. Si reportamos una distancia en metros nos dará por
ejemplo 25,4 m, si reportamos la distancia en centímetros nos dará 2540 cm y si
la reportamos en pulgadas nos dará 1000 pulgadas.
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Decimos que una cantidad medible tiene dimensiones cuando el tamaño del
resultado numérico depende de las unidades escogidas para la medición. Con el
fin de que las unidades y dimensiones en diferentes lugares y momentos tengan
significado, definimos primero las unidades básicas o fundamentales. Las
unidades básicas también se conocen como patrones. Solamente hay 7
unidades fundamentales en el Sistema Internacional (SI)
Unidades Básicas del SI
Cantidad Nombre Símbolo
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Corriente Eléctrica amperio A
Temperatura Termodinámica kelvin K
Cantidad de sustancia mole mol
Intensidad Luminosa candela cd
Tabla 1.
4. SISTEMA DE REFERENCIA
Nuestra propia experiencia nos ha enseñado que el movimiento es un término
relativo, por ejemplo si vamos en automóvil en movimiento, que se mueve
uniformemente, y lanzamos una pelota al aire, ésta asciende y vuelve a caer a
nuestras manos. Nosotros sólo vemos el movimiento hacia arriba y hacia abajo,
sin embargo una persona que se encuentre al lado del automóvil en movimiento
ve que la pelota se mueve hacia delante con éste, así como hacia arriba y hacia
abajo. En la realidad sólo sucede una cosa, aunque observadores diferentes ven
movimientos distintos. Podemos evitar la confusión si especificamos con cuidado
la posición y el movimiento de cada observador. Decimos que observadores
diferentes se encuentran en marcos de referencia diferentes. Un marco de
referencia es una entidad física, como un campo, una habitación o un vehículo
en movimiento, a los cuales referimos la posición y el movimiento de objetos.
Para describir adecuadamente el movimiento debemos ser capaces de decir
dónde se localiza algo dentro de un marco de referencia determinado. Como
sabemos el espacio es tridimensional, es decir que necesitamos tres números
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(alto, largo, ancho) para ubicar por completo la posición de un objeto o punto.
Un sistema para asignar estos tres números o coordenadas, a la posición de un
punto en un marco de referencia recibe el nombre de sistema de
coordenadas. Con mayor frecuencia recurriremos aun sistema de coordenadas
cartesiano (x, y, z). Las coordenadas en el espacio son llamadas a menudo
coordenadas rectangulares debido a que los ejes que la definen se encuentran
en ángulos rectos (90). Y aunque se usan otras 12 sistemas de coordenadas,
sólo 2 de ellas son más usuales que las rectangulares.
Como un sistema de coordenadas es una construcción matemática, podemos
elegir el sistema que mas nos convenga de acuerdo a la geometría de lo que
estamos estudiando, las posiciones físicas no dependen de donde se coloque el
sistema de coordenadas, sin embargo, las posiciones medidas dentro de un
sistema de coordenadas dependen de donde se pone el origen. Dos
observaciones importantes:
1. Cuando enfrente un problema físico, trate de poner el origen de las
coordenadas en un posición que permita resolver el problema con la mayor
facilidad posible.
2. Una vez elegido el sistema de coordenadas no cambiarlo durante la solución.
Un punto en una línea se
describe con una coorde-
nada (1-D).
Un punto en un plano se
localiza en dos coorde-
nadas (2-D)
Se requerirán tres coorde-
nadas para localizar un
punto en el espacio (3-D).
0
-X +X
-3 -2 -1 +1 +2 +3
+1
+2
+3
+2 +3
+1
+Y
+X
0+Y
+Z
+X
+1
+2
+3
+1 +2 +3
+1
+2
+3
5. VECTORES Y ESCALARES
Un vector es una magnitud cuya determinación exige el conocimiento de un
módulo, una dirección y un sentido. Ej: desplazamiento, velocidad, aceleración,
fuerza, momento, impulso, etc.
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Un escalar es una magnitud cuya determinación solo requiere el conocimiento de
un numero, su cantidad con respecto a cierta unidad de medida de su misma
especie. Ej: longitud, área, volumen, masa, presión, densidad, tiempo,
temperatura, energía, trabajo, potencia, etc.
Podemos decir también de los vectores de un punto de vista más matemático,
que son segmentos de recta orientados que se emplean para representar las
magnitudes vectoriales.
Las principales cantidades físicas se clasifican como escalar y vector en la
siguiente tabla:
Cantidades Escalares Cantidades Vectoriales
Cantidad Símbolo Unidad Cantidad Símbolo Unidad
Longitud L m Posición x
m
Area A m2 Desplazamiento x
m
Volumen V m3 Velocidad v
m/s
Masa M kg Aceleración a
m/s2
Presión p Pa Fuerza F
N
Densidad d kg/m3 Momentum p
N.kg/s
Tiempo t s Impulso I N.s
Temperatura T K Campo Eléctrico E
V/m
Energía E J Campo Magnético B
T
Potencia P W
Corriente eléctrica i A
Potencial eléctrico V V
Resistencia eléctrica R
Tabla 2.
1. Álgebra Vectorial
Las operaciones de adición, suma, diferencia o resta, multiplicación o producto
del álgebra elemental entre números reales o escalares, se pueden generalizar,
introduciendo determinadas definiciones, al álgebra entre vectores.
Dos vectores son equipotentes, si tiene el mismo módulo, dirección y sentido,
si además tienen el mismo punto de aplicación son iguales.
Dado un vector A, el vector opuesto, -A, es el que tiene el mismo módulo
dirección, pero sentido contrario.
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R
R
R
R
X
Y
X
X
X
Y
YY (+,+)(-,+)
(-,-)(+,-)
R
Rº
Rº
Rº
La suma de vectores obedece a la ley del paralelogramo.
La diferencia de vectores también obedece la ley del paralelogramo.
el producto de un escalar m por un vector A es un vector mA, de la misma
dirección que A, pero con un producto |m| veces el de A.
La notación vectorial que vamos a seguir es la siguiente: A
Leyes del algebra vectorial
1. A + B = B + A 2. A + (B + C) = (A + B) + C 3. mA = Am 4. m(nA) = (mn)A 5. (m + n)A = mA + nA 6. m(A + B) = mA + nB
Propiedad conmutativa.
Propiedad asociativa.
Propiedad conmutativa del producto.
Propiedad asociativa del producto.
Propiedad distributiva.
Propiedad distributiva.
2. Formulas Importantes (en dos dimensiones):
),( YX AAA Magnitud o modulo: 22
YX AAA
)arctan(
X
Y
A
A
R: ángulo respecto a la referencia (dirección y sentido), respecto al eje X
positivo (+X) en sentido antihorario.
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3. Formulas Importantes (en tres dimensiones):
),,( ZYX AAAA Magnitud o modulo: 222
ZYXAAAA
)arccos(
A
AX
)arccos(
A
AY
)arccos(
A
AZ
, , y son ángulos directores (dan la dirección del vector A)
4. Vectores unitarios.
El sistema i
, j, k
representa a los ejes X, Y, Z de un sistema de
coordenadas cartesiano rectangular. Así los vectores unitarios i
, j
, k
forman un conjunto de vectores mutuamente perpendiculares, donde la
magnitud del vector unitario es igual a la unidad, es decir: | i
| = | j
| =
| k
| = 1.
Vector unitario 2 Dimensiones 3 Dimensiones Z
k
j Y
X
i
(1,0) (1,0,0)
j (0,1) (0,1,0)
k
(0,0,1)
Un vector se puede representar como vectores componentes rectangulares con
ayuda de los vectores unitarios trirectangulares.
i
X
Y
Z
A
),,(ZYX
AAAA
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Vector 2 Dimensiones 3 Dimensiones
A Ax i
+ Ay j
Ax i
+ Ay j
+ Az k
El módulo de A es
A= | A
| =
222
zyx AAA
El vector unitario, es cualquier vector de modulo igual a uno, este vector nos
indica una dirección. Podemos transformar cualquier vector en vector unitario si
dividimos al vector entre su modulo.
EJEMPLO
Obtenga la suma de los dos vectores A
y B
que se encuentran en el plano XY
y están dados por: jiA ˆ2ˆ2
y jiB ˆ4ˆ2
SOLUCION
Note que Ax = 2, Ay = 2, Bx = 2, By= -4. Por lo tanto, el vector resultante R
esta dado por: jijiBAR ˆ2ˆ4ˆ)42(ˆ)22(
La magnitud de R esta dada por:
47,420)2()4( 22222 ZYX
RRRR
EJEMPLO
Una partícula experimenta tres desplazamientos consecutivos dados por
)ˆˆ3ˆ(1 kjid
cm, )ˆ3ˆˆ2(2 kjid
cm, y )ˆˆ(3 jid
cm. Hallar el
desplazamiento resultante de la partícula.
SOLUCION
cmkjikjidddR )ˆ4ˆ3ˆ2(ˆ)031(ˆ)113(ˆ)121(321
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5. Producto de Vectores
Existen dos maneras de multiplicar vectores, podemos expresar muchas
relaciones físicas en forma concisa usando producto vectorial como trabajo
mecánico y Torque.
Producto Escalar: el producto escalar de dos vectores A
y B
se denota
por BA
. Por esta notación el producto escalar también se denomina
producto punto.
Para definir el producto escalar BA
, dibujamos
A
y B
con sus orígenes
en el mismo punto. El ángulo entre sus direcciones es (siempre entre 0º y
180º). La figura muestra la proyección del vector B
sobre la dirección de A
;
esta proyección es la componente de B
paralela a A
y es igual a Bcos.
A
B
Bcos
Definimos BA
como la magnitud de
A
multiplicada por la componente de B
paralela a A
, expresado como:
coscos BAABBA
El producto escalar es una cantidad escalar, no un vector, y puede ser
positivo, negativo o cero.
El producto escalar es conmutativo: ABBA
El producto escalar obedece la ley distributiva de la multiplicación:
CABACBA
)(
El producto escalar de vectores unitarios tiene la siguiente propiedad:
1ˆˆˆˆˆˆ kkjjii
0ˆˆˆˆˆˆ kjkiji
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Si los vectores A
y B
son perpendiculares entonces 0 BA
.
Si los vectores A
y B
se pueden expresar en la forma de componentes como:
kAjAiAAzyxˆˆˆ
kBjBiBBzyxˆˆˆ
Entonces el producto escalar de A
y B
se puede expresar como:
zzyyxx
BABABABA
EJEMPLO
Los vectores A
y B
están dados por jiA ˆ3ˆ2
y jiB ˆ2ˆ
.
Determínese:
El producto escalar BA
.
El ángulo entre A
y B
.
SOLUCION
Ax = 2, Bx = -1, Ay = 3, By = 2, Az = 0, Bz = 0:
462)0)(0()2)(3()1)(2()ˆ2ˆ()ˆ3ˆ2( jijiBA
Las magnitudes de A y B están dadas por:
13)3()2( 2222 yx
AAA
5)2()1( 2222 yx
BBB
de la definición de producto escalar:
65
4
513
4cos
AB
BA
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10
º3,60
06,8
4cos 1
Producto vectorial: el producto vectorial de dos vectores A
y B
se
denota por BA
, también llamado producto cruz, se define de la siguiente
manera:
Dados dos vectores cualesquiera A
y B
se define el producto vectorial BA
como un tercer vector C
, cuya magnitud es ABsen. Esto es, si C esta dado
por:
BAC
Entonces su magnitud es:
ABsenCC
La dirección de BA
es perpendicular al plano formado por
A
y B
, y sus
sentido se determina por el sentido de avance de un tornillo de rosca derecha
cuando se gira de A hacia B a través del ángulo. Es mas conveniente usar la
regla de la mano derecha para determinar la dirección de BA
, los cuatro
dedos de la mano derecha apuntan a lo largo de A y entonces se giran hacia B
un ángulo, la dirección del dedo pulgar levantado es la dirección de BA
.
Algunas propiedades del producto vectorial son:
El producto vectorial es una cantidad vectorial y el vector resultante C
es
perpendicular a los vectores A
y B
El producto vectorial no es conmutativo:
ABBA
Si los vectores A
y B
son paralelos entonces 0 BA
El producto vectorial obedece la ley distributiva:
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CABACBA
)(
0ˆˆˆˆˆˆ
kkjjii
kji ˆˆˆ ,
ikj ˆˆˆ ,
jik ˆˆˆ
Si conocemos las componentes de los vectores A
y B
, el producto vectorial se
puede expresar como:
kBABAjBABAiBABABAxyyxzxxzyzzy
ˆ)(ˆ)(ˆ)(
o también expresarlo en forma de determinante
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
ˆˆˆ
EJEMPLO
Dos vectores situados sobre el plano XY están dados por las ecuaciones
jiA ˆ3ˆ2
y jiB ˆ2ˆ
. Encuentre BA
y verifique
que ABBA
.
SOLUCION
Ax = 2, Bx = -1, Ay = 3, By = 2, Az = 0, Bz = 0:
kkjiBA ˆ7ˆ))1)(3()2)(2((ˆ))0)(2()1)(0((ˆ))2)(0()0)(3((
kkjiAB ˆ7ˆ))2)(2()3)(1((ˆ))0)(1()2)(0((ˆ))3)(0()0)(1((
Por lo tanto, ABBA
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EJEMPLO
Se tienen los vectores A
y B
mostrados en la figura. Determínese:
1. La resultante de )( BA
y )( BA
.
2. El producto vectorial )()( BABA
.
3. Un vector unitario en la dirección de )( BA
.
SOLUCION
Hallamos los vectores A
y B
de la figura:
))0,5,4()3,0,4()3,5,0( A
)3,5,0()3,0,4()0,5,4( B
1. )3,10,4()( BAC
)3,0,4()( BAD
2.
kjikji
kji
DC ˆ40ˆ24ˆ3004
104ˆ
34
34ˆ
30
310ˆ
304
3104
ˆˆˆ
3. 59016 D
)
5
3,0,
3
4(
5
)3,0,4(
Du
El producto vectorial nos puede
representar el área de un
paralelogramo:
vu
Área del paralelogramo
X
Y
Z
A
B
0
4
5
3
u
vvxu
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Algunas propiedades del triple producto vectorial:
uwvvwuwvu
)()()(
vuwuvwvuw
)()()(
0)())()(
bacacbcba
El triple producto escalar wvu
es numéricamente igual al volumen de un
paralelepípedo que tenga a vu
, y w
como aristas concurrentes.
Vwvu
0 wvu
vu
, y w
son coplanares
wvuuwvwvu
6. FÍSICA APLICADA
6.1. CÓCTEL DE MEDIDAS
En Septiembre de 1999, los Norteamericanos recibieron un feo
recordatorios sobre como el resto del mundo mide pesos y distancias. El
Mars Climate Orbiter, de la NASA, de 165 millones de dólares, equivocó
desastrosamente su ruta debido a un pequeño error: un equipo de
controladores de vuelo programó la nave en unidades inglesas (libras y
pies), y el otro equipo introdujo las cifras usando el sistema métrico
(newton y metros).
En 1964, el Buró Nacional de Patrones de Estados Unidos acogió
oficialmente el sistema métrico con sus convenientes múltiplos de O. A
finales de los años 70, el presidente Jimmy Carter hizo vanos esfuerzos
por lograr la metrificación. Los científicos y los tecnólogos, así como los
talleres de mecánica automotriz, han operado con centímetros durante
años, mientras el resto de la vida norteamericana se movía pulgada a
pulgada.
vu
u
v
n̂
h
Física II TECSUP – PFR
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La resistencia al sistema métrico no es sólo pereza. Las unidades inglesas
usadas en Norteamérica brindan medidas convenientes que no tienen
equivalentes simples. No hay un sustituto métrico sencillo para una taza o
un galón.
¿Quién querría comprar un envase con 3.785 litros de leche? Una línea de
whisky se entiende fácil, pero no 3 cm. cúbicos. Nuestros hábitos, desde
las pistolas calibre .45 (cañón de 0,45 pulgadas de diámetro) hasta las
recetas en cucharadas, son difíciles de metrificar.
Los científicos culpan en ocasiones a los medios de difusión, de perpetuar
unidades anticuadas e irracionales, pero la prensa no tiene por qué
disculparse. Tampoco el metro es una unidad lógica o significativa.
Originalmente era la diezmillonésima parte de la distancia entre el
Ecuador y cualquier polo. Después se redefinió como una barra de platino
encerrada en una bóveda en Francia y más tarde como 1.650.763, 73
longitudes de onda de la luz anaranjada emitida por el átomo de criptón
86 en ciertas condiciones. En la actualidad es la distancia que recorre la
luz en el vacío en 1/299.792.458 de segundo, lo que no es, ciertamente,
un concepto familiar.
La escala Fahrenheit, con sus 80 divisiones entre el punto de
congelamiento y el de ebullición del agua, es casi dos veces más sensitiva
que el sistema Celsius. Un grado de Fahrenheit es aproximadamente la
menor diferencia de temperatura que una persona puede discernir. Y los
180 grados se repiten en topografía, geometría, longitud y
posicionamiento astronómico.
Los problemas no surgen por las unidades, sino por nuestra terca
inconsecuencia. La aviación insiste en que la altitud se mida en pies, pero
la velocidad en nudos. Los astrónomos utilizan 24 horas de “ascensión”
para marcar las posiciones este-oeste, pero utilizan grados de
“declinación” para norte-sur. Las medidas métricas se lanzan por la borda
en joyería (quilates), sonido (decibeles) y dondequiera que la gente
prefiera la simplicidad del status quo.
La cuestión de los términos correctos va más allá de la batalla ingles-
métrico. Los astrónomos han sustituido el fácilmente entendible “año luz”,
por el impenetrable termino “pársec”. Un pársec es una unidad arcana,
3,26 años-luz, definido como la distancia a la cual un objeto parecería
moverse hacia delante y hacia atrás en un ángulo de un arco-segundo al
desplazarse la Tierra alrededor del Sol. El año-luz es una unidad lógica,
TECSUP – PFR Física II
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basada en la velocidad sorprendentemente invariable de la luz. La
Nebulosa de Orión está a unos 1.500 años luz, lo que significa que su
imagen ha viajado 1.500 años antes de llegar a nosotros: así de simple.
Actualmente los especialistas que prefieren pensar que Orión esta a 500
parsecs, nos recuerdan a los antiguos sacerdotes que utilizaban una
terminología oscura para impresionar al hombre común.
Figura 1.
7. PREGUNTAS
1. ¿Puede encontrar dos vectores con diferente longitud que sumados den 0?
¿Qué restricciones de longitud son necesarias para que tres vectores tengan
una resultante 0? Explique su razonamiento.
2. A veces hablamos de la “dirección del tiempo”, del pasado al futuro. ¿es el
tiempo un vector? Explique su razonamiento.
3. Los controladores de tráfico aéreo dan instrucciones a los pilotos diciéndoles
hacia donde deben volar. Tales instrucciones se llaman “vectores”. Si estas
son las únicas instrucciones dadas, ¿es correcto tal nombre? Explique.
4. ¿Puede encontrar un vector de magnitud 0 cuyas componentes son distintas
de cero? Explique.
Física II TECSUP – PFR
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8. EJERCICIOS
1. ¿Cuáles de las siguientes cantidades son vectores y cuales no (indicar si o
no):
fuerza ____
temperatura ____
volumen de agua en una lata ____
popularidad de un programa de TV ____
la altura de un edificio ____
la velocidad de un carro ____
la edad del Universo ____
2. Si la componente de un vector A
a lo largo de la dirección de un vector B
es cero, ¿qué se puede concluir respecto a los dos vectores?
3. Un excursionista inicia su recorrido caminando primero 25 km hacia el
sureste, partiendo desde su campamento. El segundo día camina 40 km en
una dirección 60º al noreste, y al llegar a ese lugar descubre la torre de un
guardia forestal.
Determine las componentes rectangulares del desplazamiento del
excursionista en el primero y segundo días.
Determine las componentes rectangulares del desplazamiento total del
excursionista para todo su recorrido.
4. Dados los vectores r
= 3 i
- 2 j
+ k
, p
= 2 i
- 4 j
- 3 k
, q
= - i
+ 2 j
+
2 k
, hallar los módulos de: (a) q (b) r
+ p
(c) 2 r
- 3 p
-
5 q
5. Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los
vectores r
= 2 i
+ 4 j
- 5 k
, p
= i
+ 2 j
+ 3 k
6. La figura muestra a un paralelepípedo que contiene los vectores A y B.
Determinar el vector resultante y modulo.
TECSUP – PFR Física II
17
X
Y
Z
A
B
(0,0,6)
(0.8.0)
(5,0,0)
7. Hallar los siguientes productos escalares:
(a) i
. i
(b) i
. j
(c) k
. j
(d) j
.( 2 i
- 3 j
+ k
) (e) ( 2 i
- j
).( 3 i
+ k
)
8. Hallar el ángulo formado por los vectores p
= 2 i
+ 2 j
- k
, q
= 6 i
- 3 j
+
2 k
9. Hallar el valor de a de tal forma que p
= 2 i
+ a j
+ k
, q
= 4 i
- 2 j
- 2 k
sean perpendiculares.
10. ¿Cuáles de los siguientes vectores son mutuamente perpendiculares?
A
=(2,1,1,); B
= (0,0,2); C = (1,-2,0); D
= (1,1,-3); E
= (9,5,3)
11. Demostrar que los vectores
r
= 3 i- 2 j
+ k
, p
= i
- 3 j
+ 5k
, q
= 2 i
+ j
- 4 k
forman un triangulo rectángulo.
12. Hallar los ángulos que forman el vector
r
= 3 i- 6 j
+ 2k
con los ejes coordenados.
13. Calcule el ángulo entre estos pares de vectores:
(a) jiA ˆ6ˆ1
y jiB ˆ2ˆ3
(b) jiA ˆ5ˆ3
y jiB ˆ6ˆ10
(c) jiA ˆ2ˆ4
y jiB ˆ14ˆ7
Física II TECSUP – PFR
18
14. Hallar los productos siguientes:
(a) i
X j
(b) j
X k
(c) k
X i
(d) k
X j
(e) i
X i
(f) ( 2 j
)X( 3 k
) (g) 2 j
X ( i
- 3 j
)
15. Si
p
= p1 i
+ p2 j- p3 k
, q
= q1 i
+ q2 j
+ q3 k
, hallar p
X q
16. Dados
p
= 2 i
- 3 j
- k
, q
= i
+ 4 j
- 2 k
hallar
(a) p
X q
(b) qX p
(c) ( p
+q) X ( p
-q
)
17. Dados
r
= 3 i
- j
+ 2 k
, p
= 2 i
+ j
- k
, q
= i
- 2 j
+ 2 k
hallar
(a) ( r
X p
) X q (b) r
X ( p
X q
)
18. Determinar el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores
p
= 2 i- 6 j
- 3k
, q
= 4 i
+ 3 j
-k
19. Hallar
r
. ( p
X q
), si r
= 2 i
- 3 j
, p
= i
+ j
- k
, q
= 3 i
- k
20. Se tienen los siguientes vectores:
kjiA ˆˆˆ
, kjiB ˆ3ˆ2ˆ
, jiC ˆˆ
La magnitud de la Resultante de estos tres vectores es __________ y su
dirección es ____________.
El ángulo entre los vectores B
y C
es ___________.
El producto )( CxBA
es ______________.
Un vector unitario en la dirección de C
es ___________.
¿Se puede hallar un vector D
tal que la suma 0
DCBA ? Explique.
21. Hallar el área del paralelogramo formado por los vectores
p
= 2 i+ 3 j
- k
, q= - i
+ j
+ 2k