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Funciones cuadráticas: valor mínimo,
valor máximo y el vértice
Definiciones
• Si la gráfica de una función
sube en el plano de
izquierda a derecha, se dice
que es creciente en ese
intervalo.
Definiciones (cont.)
• Si la gráfica de una función
baja de izquierda a derecha,
se dice que es decreciente
en ese intervalo.
• Una función f se dice
que es constante en un
intervalo abierto del
dominio, si para todo
valor en el intervalo,
f(a) = f(b).
Definiciones (cont.)
Indique los intervalos
donde f(x) es:
• creciente
• decreciente
• constante
Ejemplo
Indique los intervalos
donde f(x) es:
• decreciente
• creciente
• constante
Ejemplo
Indique los intervalos
donde f(x) es:
• creciente
• decreciente
• constante
Ejemplo
Gráficas de funciones cuadráticas:
vértice, máximo, mínimo
La gráfica de una función cuadrática se conoce como una parabola.
El punto (h, k) en el cual la gráfica gira y cambia de dirección se llama el
vértice.
La función f(x) alcanza su valor máximo o mínimo en el vértice.
La línea vertical x = h se llama el eje de simetría y divide la gráfica en dos
partes idénticas.
Gráficas de funciones cuadráticas:
vértice, máximo, mínimo
Para identificar el vértice, (x, y), de una cuadrática, utilizaremos
x = - 𝑏
2𝑎 y y = f(-
𝑏
2𝑎)
Ejemplo: Identificar el vértice de f(x) = 2x2 + 12x + 16
a = 2 b= 12 c = 16
Gráficas de funciones cuadráticas:
vértice, máximo, mínimo
Para identificar el vértice, (x, y), de una cuadrática, utilizaremos
x = - 𝑏
2𝑎 y = f(-
𝑏
2𝑎)
Ejemplo: Identificar el vértice de f(x) = 2x2 – 4x + 5
Definición
Para f(x) = ax2 + bx + c, a se conoce como el coeficiente
principal.
Si a > 0, la parábola abre hacia arriba. Si a < 0, la parábola abre
hacia abajo.
Si la parábola abre hacia arriba, la función tiene un mínimo.
Si la parábola abre hacia abajo, la función tiene un máximo.
Ejemplo:
Ejemplo
Determinar el vértice y el valor mínimo o máximo para f (x) = x2 + 10x + 23.
Solución:
Ejemplo (cont.)
Trazar la gráfica de f (x) = x2 + 10x + 23
X Y
-5 -2
X Y
-2
-4
-5 -2
-7
-8
X Y
-2
-4
-5 -2
-7
-8
Vértice
Práctica:
Para la función g(x) = 2x2 + 13x 7:
a) Hallar el vértice.
El vértice es .
b) Determinar si la función tiene un máximo o un mínimo.
Hallar ese valor.
El coeficiente principal es . Por lo tanto la gráfica abre
hacia y la función tiene un .
Para determinar el mínimo, evaluamos .
Ejemplo (cont.)
Para la función g(x) = 2x2 + 13x 7:
c) Hallar el dominio y el campo de valores.
Dominio: ó .
Campo de valores:
Todos los valores .
ó .
d) ¿En qué intervalo es la función creciente?
¿…decreciente?
creciente:
decreciente:
vértice:
Ejemplo (cont.)
Para la función g(x) = 2x2 + 13x 7:
e) Hallar el int-y.
int – y : Para determinar el int-y, evaluamos
=
f) Hallar los ceros de la función.
Para hallar los ceros de la función resolvemos la
ecuación ________ que en este caso es
2x2 + 13x 7 = 0
Resolvemos la ecuación anterior ó
utilizando la .
Ejemplo (cont.)
f ) Hallar los ceros de la función g(x) = 2x2 + 13x 7:
2x2 + 13x 7 = 0
Para factorizar necesitamos hallar factores de
que sumen .
Los factores de -14 son: , , , .
Reescribimos la ecuación original como:
(2x2 x) + (14x 7) = 0 y factorizamos (o usamos la
fórmula cuadrática)
Ejemplo (cont.)
g) Hallar los int-x de la función g(x) = 2x2 + 13x 7:
Hallar los int-x de g(x) es lo mismo, en este caso, que
.
Los ceros son x = ½ y x = -7, por lo tanto, los int-x son
y .
h) Evaluar g(-7.5) y g(1)
g(-7.5) =
g(1) =
Ejemplo (cont.)
i) Trazar la gráfica de g(x) = 2x2 + 13x 7 = 0
Recopilemos la información que tenemos:
1) int-y:
2) int-x:
3) vértice:
4) dos puntos adicionales:
5. La gráfica es una que
abre hacia .
Práctica adicional:
Para la función f(x) = x2 + 14x 47:
a) Hallar el vértice.
f(7) =
=
=
El vértice es .
b) Determinar si la función tiene una máximo o un mínimo.
Hallar ese valor.
El coeficiente principal es . Por lo tanto la gráfica abre
hacia y la función tiene un .
Para determinar el máximo, evaluamos .
El valor máximo es .
x =
Práctica adicional (cont.)
Para la función f(x) = x2 + 14x 47:
c) Hallar el dominio y el campo de valores.
Dominio: ó .
Campo de valores:
Todos los valores .
ó .
d) ¿En qué intervalo es la función creciente?
¿…decreciente?
creciente:
decreciente:
Práctica adicional
Determinar el vértice y el valor mínimo o máximo para
Solución:
g x x2
2 4x 8.
Para identificar el vértice, (x, y), de la cuadrática, utilizaremos
x = - 𝑏
2𝑎 y = f(-
𝑏
2𝑎)
Recuerde: g(x) también se puede escribir: g(𝑥) =1
2𝑥2 − 4𝑥 + 8
a = ½ b= -4 c = 8
Solución:
Vértice:
Valor mínimo de la función:
int-y: f(0)=
otros puntos: f(8)=
f(x) es decreciente en:
f(x) es creciente en:
Práctica adicional
Trazar la gráfica de : g(𝑥) =1
2𝑥2 − 4𝑥 + 8
Práctica adicional:
Identificar el dominio y el rango de :
g(𝑥) =1
2𝑥2 − 4𝑥 + 8