2.2 Funciones especiales

Problemas 2.2 Páginas: 85 – 86 Ejercicios: 3,15, 29, 30, 31, 33

En los problemas 1 a 4 determine si la función dada es una función polinomial

3. 𝒈(𝒙) =𝟏

𝟐𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝟏

La función polinomial es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ∙∙∙ +𝑎1𝑥1 + 𝑎0

Luego la función 𝑔 no es polinomial

Establezca (a) el grado y (b) el coeficiente principal de la función polinomial dada en los

problemas 13 a 16

15. 𝒈(𝒙) =𝟏

𝝅− 𝟑𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟔 + 𝒙𝟕

La función 𝑔 es polinomial y es equivalente a 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟕 + 𝟐𝒙𝟔 − 𝟑𝒙𝟓 +𝟏

𝝅

Grado de la función polinomial: 7

Coeficiente: 1

29. Viaje en Tren. Un boleto de viaje redondo en tren a la ciudad cuesta $ 4.50. Escriba

su costo como función del ingreso del pasajero ¿Qué tipo de función es?

Costo del boleto: $4.50

Ingreso del pasajero: 𝐼

Costo en función del ingreso: 𝑐(𝑖) = 4.50 Esta es una función constante.

30. Geometría. Un prima rectangular tiene una longitud tres veces mayor que su ancho y

altura; una unidad menor que el doble del ancho. Escriba el volumen del prisma rectangular

como una función del ancho. ¿Qué clase de función es?

𝑤 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎

𝑤 + 3 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎

2𝑤 − 1 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎

Formula del volumen del prisma rectangular:

𝑣(𝑤) = (𝑤 + 3)(𝑤)(2𝑤 − 1)

𝑣(𝑤) = 2𝑤3 + 5𝑤2 − 3𝑤

Es una función cúbica.

31. Función de costo. En la fabricación de un componente para una máquina, el costo

inicial de un dado es de $ 850, y todos los otros costos adicionales son de $ 3 por unidad

producida (a) exprese el costo total c (en dólares) como una función lineal del número q de

unidades producidas (b) ¿Cuántas unidades se producen si el costo total es de $ 1 600?

Establecemos los datos

Costo inicial: 𝑐𝑜 = $850

Costos adicionales por cada unidad: $3

Número de unidades: 𝑞

a) 𝑐(𝑞) =?

b) Si 𝑐(𝑞) = 1600 debemos hallar 𝑞

Establecemos el costo en función del número de unidades

𝑐(𝑞) = 850 + 3𝑞

Determinamos el número de unidades si 𝑐(𝑞) = 1600

1 600 = 850 + 3𝑞

750 = 3𝑞

𝑞 = 250

33. Ventas. Para estimular las ventas A grupos grandes, un teatro cobra dos precios si su

grupo es menor de 12 cada boleto cuesta $ 9,50. Si un grupo es de 120 o más, cada boleto

cuesta $ 8,75. Escriba una función definida para presentar el costo de comprar n boletos.

El costo de la compra de n por entrada es:

𝑐(𝑛) = {9.50𝑛 0 ≤ 𝑛 < 128.75𝑛 12 ≤ 𝑛

2.3 Combinaciones de funciones

Problemas 2.3 Páginas: 90 -91 Ejercicios: 1, 3, 7, 17, 18, 19, 20

1. Si 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟑 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟓 encuentre

a) (𝒇 + 𝒈)(𝒙)

Tomando la definición de la suma de funciones (𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

Reemplazamos las funciones:

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑥 + 3) + (𝑥 + 5)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 2𝑥 + 8

b) (𝒇 + 𝒈)(𝟎)

A partir de la definición de suma de funciones

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 2𝑥 + 8

Calculamos (𝑓 + 𝑔)(0)

(𝑓 + 𝑔)(0) = 2(0) + 8

(𝑓 + 𝑔)(0) = 8

c) (𝒇 − 𝒈)(𝒙)

Mediante la definición de la diferencia de funciones tenemos

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = (𝑥 + 3) − (𝑥 + 5)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = −2

d) (𝒇𝒈)(𝒙)

Mediante la definición de la multiplicación de funciones tenemos

(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

(𝑓𝑔)(𝑥) = (𝑥 + 3)(𝑥 + 5)

(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑥2 + 8𝑥 + 15

e) (𝒇𝒈)(−𝟐)

Sabemos que el producto es (𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑥2 + 8𝑥 + 15

Calculamos (𝑓𝑔)(−2)

(𝑓𝑔)(−2) = (−2)2 + 8(−2) + 15

(𝑓𝑔)(−2) = 3

f) (𝒇

𝒈) (𝒙)

Tomando en cuenta la definición de la división de funciones

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) ≠ 0

Reemplazando se tiene

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑥 + 3

𝑥 + 5

g) (𝒇𝒐𝒈)(𝒙)

De la definición de composición de funciones (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) tenemos

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 5)

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = (𝑥 + 5) + 3

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 8

h) (𝒇𝒐𝒈)(𝟑)

Sabiendo que (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 8

Calculamos (𝑓𝑜𝑔)(3)

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 8

(𝑓𝑜𝑔)(3) = 3 + 8

(𝑓𝑜𝑔)(3) = 11

i) (𝒈𝒐𝒇)(𝒙)

Aplicamos la definición de composición de funciones

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑥 + 3)

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = (𝑥 + 3) + 5

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥 + 8

j) (𝒈𝒐𝒇)(𝟑)

Sabiendo que (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥 + 8

Calculamos (𝑔𝑜𝑓)(3)

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥 + 8

(𝑔𝑜𝑓)(3) = 3 + 8

(𝑔𝑜𝑓)(3) = 11

3. Si 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙, encuentre lo siguiente:

a) (𝒇 + 𝒈)(𝒙)

De la definición de adición de funciones se tiene

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 + 1 ) + (𝑥2 − 𝑥)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 + 1

b) (𝒇 − 𝒈)(𝒙)

De la definición de diferencia de funciones se tiene

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 + 1 ) − (𝑥2 − 𝑥)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 1

c) (𝒇 − 𝒈) (−𝟏

𝟐)

Sabiendo que (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 1

Calculamos (𝒇 − 𝒈) (−𝟏

𝟐)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 1

(𝑓 − 𝑔) (−1

2) = 𝑥 + 1

(𝑓 − 𝑔) (−1

2) = (−

1

2) + 1

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) =1

2

d) (𝒇𝒈)(𝒙)

De la definición del producto de funciones tenemos

(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 + 1 )(𝑥2 − 𝑥)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥

e) (𝒇

𝒈) (𝒙)

De la definición del cociente de funciones tenemos

(𝒇

𝒈) (𝒙) =

𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙)

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑥2 + 1

𝑥2 − 𝑥

f) (𝒇

𝒈) (−

𝟏

𝟐)

Conociendo que el cociente de funciones es:

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑥2 + 1

𝑥2 − 𝑥

Calculamos (𝒇

𝒈) (−

𝟏

𝟐)

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

(−12

)2

+ 1

(−12

)2

− (−12

)

(𝑓

𝑔) (𝑥) = (

5

3)

g) (𝒇𝒐𝒈)(𝒙)

De la definición de composición de funciones tenemos

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥2 − 𝑥)

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = ((𝑥2 − 𝑥)2 + 1)

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 + 1

h) (𝒈𝒐𝒇)(𝒙)

De la definición de composición de funciones tenemos

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑥2 + 1)

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = (𝑥2 + 1)2 − (𝑥2 + 1)

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥2

i) (𝒈𝒐𝒇)(−𝟑)

Conociendo que (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥2 tenemos

(𝑔𝑜𝑓)(−3) = 𝑥4 + 𝑥2

(𝑔𝑜𝑓)(−3) = (−3)4 + (−3)2

(𝑔𝑜𝑓)(−3) = 90

7. Si: 𝐅(𝒕) = 𝒕𝟐 + 𝟕𝒕 + 𝟏 y 𝐆(𝒕) = 𝟐

𝒕−𝟏, encuentre:

(𝐅𝒐𝐆)(𝒕) y (𝐆𝒐𝐅)(𝒕)

De la definición de composición de funciones tenemos

(F𝑜G)(𝑡) = F(G(𝑡))

(F𝑜G)(𝑡) = F (2

𝑡 − 1)

(F𝑜G)(𝑡) = (2

𝑡 − 1)

2

+ 7 (2

𝑡 − 1) + 1

(F𝑜G)(𝑡) = (2

𝑡 − 1)

2

+ 7 (2

𝑡 − 1) + 1

La composición de funciones (G𝑜F)(𝑡) = G(F(𝑡)), entonces

(G𝑜F)(𝑡) = G(F(𝑡))

(G𝑜F)(𝑡) = G(𝑡2 + 7𝑡 + 1 )

(G𝑜F)(𝑡) = 2

𝑡2 + 7𝑡 + 1 − 1

(G𝑜F)(𝑡) = 2

𝑡2 + 7𝑡

17. Utilidad. Cierto expendio de café vende una libra de café por $ 9.75. Los gastos

mensuales son $ 4 500 más $ 4.25 por cada libra vendida.

a) Escriba una función r(x) para el ingreso mensual total como una función del número

de libras vendidas.

b) Escriba una función c(x) para los gastos mensuales totales como una función del

número de libras de café vendidas.

c) Escriba una función (r – c)(x) para la utilidad mensual total como una función del

número de libras vendidas.

Determinamos los datos

Precio por cada libra vendida: $9.75

Costos fijos: $4500

Costos variables: $4.25

Número de libras vendidas: 𝑥

a) Función de ingreso total

𝑟(𝑥) = 9.75𝑥

b) Función de gastos

𝑐(𝑥) = 4500 + 4.25𝑥

c) Función de utilidad

(𝑟 − 𝑐)(𝑥) = 𝑟(𝑥) − 𝑐(𝑥)

(𝑟 − 𝑐)(𝑥) = 9.75𝑥 − (4500 + 4.25𝑥)

(𝑟 − 𝑐)(𝑥) = 5.50𝑥 − 4500

18. Geometría. Suponga que el volumen de un cubo es: 𝒗(𝒙) = (𝟒𝒙 − 𝟐)𝟑, exprese v

como una composición de dos funciones y explique que representa cada función.

La fórmula para calcular el volumen de un cubo de arista 𝑥 es:

𝑓(𝑥) = 𝑥3

Si la arista es: 𝑙(𝑥) = (4𝑥 − 2) entonces:

𝑓(𝑙(𝑥)) = 𝑓(4𝑥 − 2) = (4𝑥 − 2)3

Luego el volumen puede escribirse como la composición de la funciones 𝑓 y 𝑙

𝑣(𝑥) = (𝑓(𝑙(𝑥)) = (𝑓𝑜 𝑙)(𝑥)

Donde

𝑓(𝑥) = (𝑥)3 , y

𝑙(𝑥) = 4𝑥 − 2

Entonces 𝑙(𝑥) representa la longitud de los lados del cubo, mientras que 𝑓(𝑥) es el

volumen de un cubo.

19. Negocio. Un fabricante determina que el número total de unidades de producción

por día q, es una función del número de empleados m, donde 𝒒 = 𝒇(𝒎) = 𝟒𝟎𝒎−𝒎𝟐

𝟒. El

ingreso total , 𝒓, que se recibe por la venta de 𝒒 unidades, está dado por la función 𝒈,

donde 𝒓 = 𝒈(𝒒) = 𝟒𝟎𝒒. Determine (𝒈𝒐𝒇)(𝒎). ¿Qué es lo que describe esta función

compuesta?

Determinamos los datos

𝑞 = 𝑓(𝑚) = 40𝑚 − 𝑚2

4

𝑟 = 𝑔(𝑞) = 40𝑞

(𝑔𝑜𝑓)(𝑚) =?

A partir de la definición de composición de funciones (𝑔𝑜𝑓)(𝑚) = 𝑔(𝑓(𝑚))

tenemos:

(𝑔𝑜𝑓)(𝑚) = 𝑔(𝑓(𝑚))

= 𝑔 (40𝑚 − 𝑚2

4)

= 40 (40𝑚 − 𝑚2

4)

= 10(40𝑚 − 𝑚2)

= 400𝑚 − 10𝑚2

La función (𝑔𝑜𝑓)(𝑚) = 𝑟(𝑚) = 400𝑚 − 10𝑚2 representa los ingresos

totales recibidos por la venta de q unidades producidas por m empleados.

20. Sociología. Se han hecho estudios concernientes a la relación estadística entre

posición social, educación e ingresos. Se denota con 𝑺 al valor numérico de la posición social,

con base en el ingreso anual 𝑰. Para cierto tipo de población suponga

𝑺 = 𝒇(𝑰) = 𝟎, 𝟒𝟓(𝑰 − 𝟏𝟎𝟎𝟎)𝟎,𝟓𝟑

Además suponga que el ingreso de una persona 𝑰 es una función de numero de años de

educación 𝑬 donde

𝑰 = 𝒈(𝑬) = 𝟕𝟐𝟎𝟐 + 𝟎. 𝟐𝟗𝑬𝟑.𝟔𝟖

Determine (𝒇 ∘ 𝒈)(𝑬). ¿Qué es lo que describe esta función?

A partir de la definición de composición de funciones se tiene

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝐸) = 𝑓(𝑔(𝐸))

= 𝑓(7202 + 0.29𝐸3.68)

= 0,45(7202 + 0.29𝐸3.68 − 1000)0.53

= 0,45(6202 + 0.29𝐸3,68)0.53

Interpretamos el significado de la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔)

(𝑓 ∘ 𝑔) Representa la posición social en función del número de años de educación.

2.5 Gráficas en coordenadas rectangulares

Problemas 2.5 Páginas: 101 – 102 Ejercicios: 1, 4, 29, 31

En los problemas 1 y 2, localice y marque cada uno de los puntos dados y, si es

posible, indique al que pertenece cada punto.

1. (−2, 7), (8, −3), (−1

2, −2), (0, 0)

2. En la Figura 2.27 (b) se muestra la gráfica de y = f(x)

a) Estime f(0) y f(2)

𝑓(0) = 2

𝑓(2) = 0

b) ¿Cuál es el dominio de f?

𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 / 𝑥 ≥ 0}

c) ¿Cuál es el rango de f?

𝑅𝑔(𝑓) = {𝑦 / 𝑦 ≤ 2}

d) ¿Cuál es una raíz real de f?

Las raíces reales se presentan cuando 𝑓(𝑥) = 0, así:

𝑓(2) = 0 entonces 𝑥 = 2 es una raíz real.

En los problemas 21 a 34, grafique cada función y determine su dominio y rango.

También determine las intersecciones

29. Si 𝒇(𝒕) = √𝒕𝟐 − 𝟗

Graficando la función se tiene

Calculamos el dominio

La función existe si 𝑡2 − 9 ≥ 0, entonces:

Si 𝑡2 ≥ 9 ⟹ |𝑡| ≥ 3

|𝑡| ≥ 3 ⟺ 𝑡 ≤ −3 ∨ 𝑡 ≥ 3

Así se tiene:

𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞, −3] ∪ [3, +∞)

Calculamos el recorrido

A partir del dominio se tiene:

𝑡 ≤ −3 𝑡2 ≥ 9

𝑡2 − 9 ≥ 0 𝑓(𝑡) ≥ 0

𝑡 ≥ 3 𝑡2 ≥ 9

𝑡2 − 9 ≥ 0 𝑓(𝑡) ≥ 0

En consecuencia el recorrido es:

𝑅𝑒𝑐(𝑓) = [0. +∞)

Calculamos las intersecciones

Las intersecciones se presentan cuando 𝑦 = 𝑓(𝑡) = 0

0 = √𝑡2 − 9,

0 = 𝑡2 − 9

(𝑡 − 3)(𝑡 + 3) = 0 ⟺ (𝑡 − 3) = 0 v (𝑡 + 3) = 0

⟺ 𝑡 = 3 v 𝑡 = −3

Las intersecciones son los puntos: (-3,0) y (3,0)

31. 𝒇(𝒙) = |𝟐𝒙 − 𝟏|

Graficando la función se tiene:

Calculamos el dominio:

No existe restricción para los valores que puede tomar 𝑥, es decir, no existe 𝑥

en un denominador o dentro de un radical de índice par entonces:

𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ

Calculamos el recorrido

Los valores que puede tomar "𝑦" son solo positivos, entonces:

𝑅𝑒𝑐(𝑓) = ℝ+ ∪ {0}

Calculamos las intersecciones

Si 𝑥 = 0 ⟹ 𝑓(0) = |2(0) − 1| = 1

Si 𝑓(𝑥) = 0 ⟹ |2𝑥 − 1| = 0 ⟹ 𝑥 =1

2

Los puntos de intersección son: (1

2, 0) y (0,1)