Funciones lineales

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FUNCIONES LINEALES

ESC. SEC. ING. JORGE L. TAMAYOPROFESOR: C. JOEL VIVEROS JUAREZ

MATEMATICAS SEGUNDO GRADO

Cuando recibes la factura de tu celular,podéis ver que el abono que pagarás a fin de mesestá formado por un valor fijo y otro variable quedepende de la cantidad de minutos que hablaste.

Con esta información podemos encontrarla relación entre los minutos que hablamos y elcosto a pagar.

Cantidad fija = $18Cantidad variable = $0,20 cada minuto

En primer lugar debemos ponernos de acuerdosobre cuáles son las variables.

t: es la letra con la que identificaremos eltiempo que vamos a hablar, es decir, la cantidadde minutos que usaremos el teléfono.El costo, por supuesto, depende del tiempo quehablamos.

EL COSTO DEPENDE

DEL TIEMPO

Es por esto que el costo es la variabledependiente Y el tiempo es la variableindependiente.(t)

Veamos algunos casos en particular:

Si t = 42 minutos C = $0,20•42 +$18 C = $8,4 + $18 C = $26,40

Si t = 50 minutos C = $0,20•50+$18 C = $10 + $18 C = $28

Si t = 120 minutos C = $0,20•120+$18 C =$24 + $18 C = $42

Generalizando:Costo C= 0,20.t + 18

(donde t son los minutos hablados)

Esto que acabamos de encontrares la fórmula matemática

para relacionar tiempo con costoen nuestra factura telefónica.

La característica particular que tienen las funciones lineales

es que a variaciones iguales de x, corresponde siempre

la misma variación en y.

Cada vez que x aumenta 1y aumenta 2

-2 1 2-1 0

Veamos otros ejemplos:

Si x aumenta 1, y disminuye 1

x aumenta de 1 a 2

x aumenta de 2 a 3

y disminuye de 4 a 3

y disminuye de 3 a 2

Es función

lineal

Se llama función lineal a la relación entre variablestal que su expresión sea:

y = m x + b

Dónde m: pendiente

b: ordenada al origen

¿Qué es la pendiente?

m = Δ y variación en yΔ x variación en x

Siendo Δy = yB – yA= y D – y C

Δx = xB – xA= x D – x C

En la función lineal la relación entre ∆y/∆x es siempre la misma para cada recta

Es la relación:

En las funciones linealesexiste una relación entre la

variación de la variable independiente xy la variable dependiente y,que se mantiene constante.

A esa relación se la llama pendiente

¿Qué es la ordenada al origen?

En la forma explícita de la recta, el término independiente, indica el lugar donde la gráfica de la recta corta al eje Y,

Eje de abscisas

Eje de ordenadas

y = m x + b

m: pendiente

b: ordenada al origen

(Forma explícita)

La pendiente m se asocia a la inclinación

de la recta

"Un padre que estuvo observando desde el balcón a suhijo Alberto como iba al colegio:- De casa salió a las 8.30 y fue seguidito hasta casa de suamigo Tomás. Lo esperó un rato sentado en el banco yluego se fueron juntos, muy despacio, hacia el colegio.Cuando ya estaban llegando, mi hijo se dio cuenta de quehabía dejado la cartera en el banco; volvió corriendo, larecogió y llegó a la escuela a las 9 en punto."

7.- Un ciclista decide salir de ruta y durante untiempo pedalea por un camino hasta que llega auna zona de descanso en donde se para paracomer. A continuación, sigue avanzando duranteotro rato más, momento en que decide volver acasa por el mismo camino que había elegido parala ida.

ACTIVIDADES: Observando la gráfica anterior, responde:

¿A cuántos kilómetros de su casa decide parar a comer?

¿Qué tiempo había transcurrido cuando decide esa parada?

¿Cuánto tiempo ha estado comiendo?

¿Cuánto tarda en volver a casa desde que decide regresar?

¿En qué momento de la ida tenía el camino una pendiente más pronunciada?

¿Durante qué franja de tiempo pedaleó a más velocidad el ciclista?

¿Cuántos kilómetros ha recorrido entre la ida y la vuelta?

CÓMO GRAFICAR UNA RECTA

Existen varias formas de hacerlo:

A) Utilizando una tabla de valores

B) Ubicando la ordenada al origen y usando el concepto la pendiente

1-xy32

Supongamos que queremos graficar la recta:

A - Utilización de la tabla de valores

En este caso vamos a asignarle valores a la variable x, reemplazamosen la función, y obtenemos el valor de la variable y. Con estos valoresformamos puntos (x;y) que luego ubicamos sobre el sistema de ejescartesianos. Veamos como hacerlo:

Vamos a graficar la recta tomo valores de

x (los que quiera), y los reemplazo en la función:

1-xy32

x 1-xy32

-3 1--21-(-3)y32

-1 1--1-(-1)y32

0 1-01-0y32

1 1-1-1y32

3 1-21-3y32

(-3;-3)

)(-1;-35

(0;-1)

)(1;-31

Los valores obtenidos, los ubico en un sistema de ejes cartesianos:

(-3;-3)

(x; y)

)(-1;-35

(0;-1))(1;-

(3;1) 3

ACTIVIDAD 1

EN HOJAS MILIMETRICAS TRAZA LAS GRAFICAS DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.NOTA: Una gráfica por ejercicio

Y = X – 5 X = {1, 2, 3, 4, 5}

Y = 2X – 3 X = {1, 2, 3, 4, 5}

Y = 3X + 2 X = {1, 2, 3, 4, 5}

Y = 4X – 1 X = {1, 2, 3, 4, 5}

Y = X + 2 X = {1, 2, 3, 4, 5}

ACTIVIDAD 2

EN HOJAS MILIMETRICAS TRAZA LAS GRAFICAS DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.

NOTA: Un mismo plano cartesiano para las 3 gráficas

y = 2X – 5Y = 2X – 1Y = 2X + 3

X = { – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

2 y = – 2X – 3Y = – 2X + 2Y = – 2X + 5

X = { – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

ACTIVIDAD 3

NOTA: Un mismo plano cartesiano para las 3 gráficas

y = – 2X – 2y = X – 2

Y = 4X – 2 X = { – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

2 y = – 3X + 3Y = – X + 3Y = 3X + 3

X = { – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

y = - 3x – 2y = x - 2 y = 2x - 2

ACTIVIDAD 4

NOTA: Un mismo plano cartesiano para las 3 funciones

Y = 3x -4Y = 3x Y = 3x + 3

y = -2x + 5y = -2x +1y = -2x – 3

FUNCIONES DE LA FORMA y = mx + b

x={ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

Cómo hallar la ecuación de una recta

Supongamos que conozco dos de lospuntos por donde pasa una recta:

P1 (2; 4) P2 (-1; -3)

Y quiero conocer la ecuación de lafunción lineal

y = m x + b

Voy a mostrar dos formas para encontrarla:

Método A

Método B

Método A:

Sé que la recta debe incluir a los puntos

(-1;-3)

reemplazo entonces por ambos puntos en la fórmula de la recta , y = m x + b, ubicando el primer valor del par en x y el segundo en y(2;4) 4 = m . 2 + b 4 = 2 m + b Ecuación I(-1;-3) -3 = m. (-1) + b - 3 = -m + b Ecuación II

despejo b de ecuación IIb = -3 +m Ecuación III

Reemplazo en ecuación I

Continuación:

4 = 2 m + (- 3 + m)

4 = 2 m - 3 + m

4 + 3 = 2 m + m

7 = 3 m

7 : 3 = m

reemplazo en ecuación IIISi

Con lo que queda:

operando7 2b=-3+ b=-

3 37 2

y= x-3 3

Método B:

Sé que la recta debe incluir a los puntos:

(2; 4)

(-1;-3)

También sabemos que la pendiente “m” es la variación en y sobre la variación en x

Reemplazo con los valores de los puntos:

con lo que queda-3-4 7m= m=

-1-2 3

Con lo que la ecuación quedaría:7

y= x+b3

Todavía falta conocer el valor de b, para hacerlo puedo usar alguno de los puntos que tenia como dato, reemplazando en el x e y de la expresión I, usaré el (2;4):

operando despejando b con7 14 14 24 2 b 4 b 4 b b=-

3 3 3 3

Con lo que resulta:7 2

y= x-3 3

FUNCIÓN y = mx + n

Su gráfica es una recta que NO pasa por el origen de coordenadas (0,0).

La ecuación y = mx + n corresponde a una recta de pendiente m y que corta al eje Y en el punto (0,n).

n se llama ordenada en el origen.

Escribir la función a la que pertenece la siguiente gráfica.

FUNCIONES CUADRÁTICAS

La grafica es una parábola

Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicases de segundo grado, siendosu gráfica una parábola.

La función cuadrática mássencilla es

f(x) = x2

cuya gráfica es:

y = x2

y = 2x2

y = 3x2

ACTIVIDAD 5

Y = x2 + 4Y = x2 + 1Y = x2 – 2

y = – x2 + 3y = – x2 + 1y = – x2 – 3

FUNCIONES DE LA FORMA y = ax2 + b

x={ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

FUNCIONES CUADRÁTICAS DE LA FORMA

y = (x + 5)2

y = (x + 3)2

y = (x – 4)2

ACTIVIDAD 6

Y = (x + 4)2

Y =(x + 1)2

Y =(x – 2)2

y = (x + 2)2

y = (x – 1)2

y = (x2 – 3)

FUNCIONES DE LA FORMA y = (x2 + b)

y = (x – 5)2 – 4 y = (x + 1)2 + 2y = (x – 1)2 + 5

ACTIVIDAD 7

Y = (x + 2)2 + 1Y =(x + 4)2 – 2 Y =(x – 2)2 – 3

FUNCIONES DE LA FORMA y = (x2 + b)

Funciones de 2º grado

La función cúbica Es la de forma

a: y = ax3 + bx2 + cx + d

Ejemplo: y = 2x3 + 3x2 – 12x.

Generamos una tabla de valores, graficamos y verificamos el dominio y el recorrido.

X –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

Y –32 9 20 13 0 –7 4 45

ACTIVIDAD 8

NOTA: Un plano cartesiano para cada función

Y = x3

Y = x3 + 1 Y = x3 – 1y = x3 – 4 y = x3 + 2

ACTIVIDAD 9

Y = x3 + 2x Y = x3 + x2

y = x3 – x2 – x y = x3 + 2x + 1y = x3 + x2 + x

Funciones racionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

Por ejemplo: Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:

Y = 1X

X ={ – 4, – 2, – 1, – ½, – ¼, ¼, ½, 1, 2, 4}

ACTIVIDAD 10

Y = 1X

+ 1 Y = 1X

X ={ – 4, – 2, – 1, – ½, – ¼, ¼, ½, 1, 2, 4}

Una función racional está definida en todo IR excepto en los puntos donde el denominador se anula. En su dominio de definición, las funciones racionales son continuas e indefinidamente derivables.

Funciones lineales

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