Post on 24-Apr-2015
transcript
7 8
9 10
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
TEMA: SEGMENTOS
INTRODUCCIÓNAntiguamente la distribución de los terrenos o la tarea de dar la
forma a los bloques de piedra para la construcción de templos o pirámides exigieron a los egipcios el trazado de líneas rectas, ángulos; y en consecuencia tuvieron la necesidad de trabajar con sus respectivas medidas.
Actualmente con las medidas de las líneas y de los ángulos se sigue trabajando como por ejemplo: los topógrafos al realizar levantamientos topográficos utilizan un instrumento para medir ángulos (teodolito); así mismo realizan el trazado de líneas y trabajan con su medida.
GEOMETRÍAEs una rama de las matemáticas que tiene por objetivo estudias a
las figuras geométricas propiedades y características independientemente de su tamaño.
FIGURA GEOMÉTRICAConjunto de puntos que adoptan una forma.
ETIMOLOGÍALa palabra geometría, proviene de dos vocablos griegos:Geo : tierraMetrón : medidaLo que hace entender el significado de la palabra geometría
(medida de la tierra).
Ahora la geometría se ha desarrollado como ciencia y su aplicación se amplía a diversos campos como por ejemplo; en la ingeniería, la astronomía e incluso en algunas actividades técnicas.
RESEÑA HISTÓRICAA través de los rasgos dejados por el hombre antiguo se nota que
él tenía ciertas nociones de geometría, esto se puede ver por la forma que tenían sus cuevas, sus herramientas de caza, etc., sin saber lo que era la geometría ya empleaban en sus construcciones formas de algunas figuras geométricas.
De lo anterior se deduce que la geometría no es producto de un solo pueblo, sino que surge en diferentes partes del mundo de acuerdo a las necesidades que tenía el hombre.
Por ejemplo en Egipto, el río Nilo periódicamente provocaba inundaciones arrasando con los límites de las fincas, lo cual hacía necesario luego una restitución o distribución de las tierras o terrenos empleándose la geometría, pero en forma empírica.
Por otro lado otras culturas a través de la cerámica, la escultura, la arquitectura, etc. se llegó a utilizar formas geométricas como por ejemplo en los huacos, en los templos, etc. (cultura incaica).
Pero es en Grecia donde se hace de la geometría un estudio sistematizado; ordenado de los conocimientos adquiridos empíricamente siendo algunos de los que aportaron en esa época:
Thales de Mileto (fundador de la Escuela Jonica); Pitágoras (Fundador de la Escuela Pitagórica), Zenón, Hipócrates, Platón Arquímedes y Euclides.
Este último fue uno de los más brillantes; uno de sus aportes fue sistematizar la geometría, hizo que ella partiera de definiciones; postulados y axiomas, con los cuales demostró teoremas. En base a esta guía se darán los principios básicos de la geometría expuesta por Euclides (geometría Euclidiana); esta es la más elemental pero a su vez la de mayor utilidad por qué concuerda con las propiedades de los objetos que vemos y nos ayuda a explicar lo que nos rodea.
Geometría Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
PARTES DE LA GEOMETRÍALa geometría para un mejor estudio de las figuras geométricas se
divide en dos partes:
Geometría Plana (Planimetría)Estudia a las figuras geométricas cuyos elementos están
contenidos en un mismo plano.
Geometría del Espacio (Estereometría)Estudia las figuras geométricas cuyos elementos están
contenidos en diferentes planos.
ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍAEstos elementos no tienen definición, de ellos solamente tenemos
una idea.
Punto Recta Plano
NotaciónPunto A
NotaciónRecta L
NotaciónPlano H
Rayo
Porción de recta que se determina al ubicar un punto en ella.
Notación:Rayo OA:
SEGMENTOEs una porción de recta limitado por dos puntos denominados
extremos.
A y B: extremos
NotaciónSegmentos de extremos A y B: Longitud del : AB (AB = b)PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Es el punto que divide al segmento en dos segmentos de igual longitud.
Si: AM = MBEntonces:M: punto medio del
OPERACIONES CON LONGITUDES DE SEGMENTO
Suma
Geometría Geometría
11
12
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
AD = AB + BC + CDAD = AC + CDAD = AB + BD
Resta
BC = AC – ABBC = BD – CDBC = AD – AB – CD
LA JUVENTUD NO ES UN TIEMPO DE LA VIDA, SINO ES UN ESTADO DEL ESPÍRITU
F. SCHILLER
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. En una calle recta de 870m de longitud están ubicados 30 árboles separados a igual distancia. Calcular la distancia de separación.
Rpta.
2. Se ubican en una recta los puntos consecutivos A, B, C, y D, de modo que
, ,
,
AD = 45cm. Calcular el valor
4. Dados los puntos colineales A, B, C, y D de manera que:AB = 3x + a, BC = 7m, CD = 3x – a, AD = 19m. Calcular el valor de “x”
Rpta.
5. Dado los puntos colineales A, B, C, D y E. Tal que: AB= x–2, BC = x–5, CD = y–3 (DE = y–2). AC = CE. Calcular x – y.
Rpta.
6. En una recta están ubicados los puntos A, B, C,
de “x”.
Rpta.
3. En una recta están ubicados los puntos A, B, C, D, y E, de modo que BC = 1m, CD = 2m,DE = 3m, AD = a. CalcularAE – AC
Rpta.
D, E. Si:CD = 2(AB) y DE = 2(BC) yAE = 27 cm. Calcular AC
Rpta.
7. Con los puntos colineales A, B, C, D, E y F se tiene: AB = 1m, BC = 2m, CD = 3m, DE = EF y BD = DE. Calcular AF.
Rpta.
8. En una recta se ubican los puntos A, B, C, D, E, en forma consecutiva, tal que: BC = 3m, CD = 5m, AB – DE = 1cm. Calcular AC – DE.
Rpta.
9. Según el gráfico CD=3(AB)=12 y BM = MC = 5. Calcular. AB+BC+CD.
Rpta.
10. Del gráfico Calcular AC + BD
12. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos: A, B, C, y D tal que: AD = 10m, AC = 6m y BD = 7m. Calcular BC
Rpta.
13. Se tienen los puntos colineales A, B, C, y D. Si:4BD + 3CD = 18BC, y3AC – 2AB = 20, hallar AD
Rpta.
14. Si “0” es el punto medio
del y M es punto cualquiera de hallar el valor de “k”, si:
Geometría Geometría
13 14
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Rpta.
11. Según el gráfico AD = 67. Calcular x
Rpta.
Rpta.
15. Sobre una recta se disponen de los puntos consecutivos A, B, C, y D, donde AD = 2AB. Calcular AD si BD2 + 9 = 6 BD.
Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. En una avenida recta de 702m de longitud están ubicados 40 postes separados a igual distancia. Calcular la distancia de separación
A) 16 B) 17 C) 18D)19 E) 20
2. Se ubican en una recta los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que
, ,
, AD=32, Hallar “x”.
A) 12 B) 14 C) 16D)18 E) 20
3. En una recta están ubicados
4. Dados los puntos colineales
A, B, C y D de manera que:
AB=5x+k, BC=10m,
CD=5x–k, AD = 40, hallar el
valor de “x”
A) B) C)D) E)
5. Dados los puntos colineales
A, B, C, D y E tal que AB =
x–4, BC = x–7, CD = y–6,
DE = y–3, AC = CE, calcular
x–y
A) B) C)D) E)
6. En una recta están
los puntos A, B, C, D, y E de modo que BC = 4m, CD = 6m, DE = 3m, AD = k, CalcularAE – AC
A) k+1 B) 9m C) k–1D)k+3 E) k–2
ubicados los puntos A, B, C,
D y E. SI: CD = 3(AB) y DE
= 3(BC) y
AE = 32, hallar AC:
A) B) C)D) E)
7. Con los puntos colineales A, B, C, D, E y F, se tiene. AB = 2, BC = 4, CD = 6, DE = EF yBD = DE. Calcular AF
A) 12 B) 22 C) 32D)42 E) 52
8. En una recta se ubican los puntos A, B, C, D y E en forma consecutiva, tal que: BC = 4, CD = 5, AB – DE = 2, Calcular AC – DE
A) 2 B) 2,5 C) 3D)3,5 E) 4
9. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, y D tal que: AD = 20m, AC = 16m y BD = 17m. calcular BC:
A) B) C)D) E)
10.Se tienen los puntos colineales A, B, C y D. Si5BD + 4CD = 32BC y 4AC – 3AB = 42. Hallar AD
A) B) C)D) E)
CLAVES
1. C
2. C
3. B
6. B
7. C
8. E
Geometría Geometría
15
16
17 18
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
4. D
5. E
9. C
10. C¿SABÍAS QUÉ...
ISAAC NEWTON (1642 – 1727)
El físico y matemático inglés Isaac Newton fue uno de los científicos más importantes de todos los tiempos. Sus teorías revolucionaron el pensamiento científico e influyeron en la astronomía práctica y teórica. Su libro Principia Mathematica (1687) es uno de los trabajos más importantes en la historia de la ciencia moderna.
Newton descubrió la gravedad y las tres leyes de movimiento todavía utilizadas hoy en día. Fue la primera persona en dividir la luz blanca en los colores del espectro y su investigación de la luz le condujo a diseñar un telescopio reflector. Fue también uno de los pioneros de una nueva rama de las matemáticas llamada cálculo.
TEMA: ÁNGULOS
ÁNGULOEs la figura geométrica formada por dos rayos que tienen el
mismo origen
Notación:Ángulo A0B : ∢A0BMedida del ∢A0B : m∢A0B
. m∢A0B = .
CLASIFICACIÓNSegún su Medida1. Ángulo Nulo
Es aquel cuya medida es 0º
. = 0º .
2. Ángulo AgudoEs aquel cuya medida es mayor que 0º y menor que 90º.
. º < < 90º .3. Ángulo Recto
Es aquel cuya medida es 90º.
Geometría Geometría
19
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
. m∢A0B = 90º .
4. Ángulo ObtusoEs aquel cuya medida es mayor que 90º y menor que 180º.
. 90º < < 180º .
5. Ángulo LlanoEs aquel cuya medida es 180º
. m∢A0B = 180º .
. + = 180º .Según la Posición de sus Lados1. Ángulos Adyacentes
En la figura los ángulos: A0B y B0C son adyacentes
2. Ángulos ConsecutivosEn la figura: los ángulos: A0B, B0C, C0D y D0E son consecutivos.
3. Ángulos opuestos por el vérticeEn la figura los ángulos: A0B y C0D son opuestos por el vértice.
Se cumple. = .
Según la Suma de sus Medidas1. Ángulos Complementarios
Son dos ángulos cuya suma de medidas es 90º.
Geometría Geometría
20
21
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Si los ángulos A0B y CPD son complementarios, entonces:
. + = 90º .
2. Ángulos SuplementariosSon dos ángulos cuya suma de medidas es 180º.
Si los ángulos A0B y CPD son suplementarios, entonces:
. + = 180º .Posiciones Relativas de Dos Rectas en el Plano1. Secantes
Si: = {I}
Entonces: y son secantes.
2. Paralelas
Si: = { }
Entonces: // //: Se lee “es paralela”
Rectas PerpendicularesSon aquellas que determinan ángulos cuyas medidas son 90º
Si: = 90º
Entonces: : Se lee “es perpendicular”
Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante a ellas.1. Ángulos Alternos
Internos Externos
Si: // Si: //
Geometría Geometría
22
23
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Entonces:
. = .
Entonces:
. = .
2. Ángulos ConjugadosInternos Externos
Si: // Entonces:
. + = 180º .
Si: // Entonces:
. + = 180º .
3. Ángulos Correspondientes
Si: // Entonces:
. = .
Propiedad
Si: // Entonces:
. x = + .
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Se tiene los ángulos consecutivos A0B, B0C y
C0D, de tal forma que es bisectriz del ángulo A0D;m∢A0B = 40º.Calcular El valor de “x”
3. Dados los ángulos consecutivos A0B, B0C y C0D, de tal forma que m∢A0B=20º, m∢B0C = 30º y m∢A0D = 70º. Calcular l medida del ángulo que forma la bisectriz del
ángulo COD con el rayo .
Rpta.
4. ¿Cuánto es la diferencia de las medidas de los ángulos
Geometría Geometría
24
25
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Rpta.
2. Según el gráfico, calcularm∢B0C, si m∢A0C+m∢B0D=280º y m∢A0D = 120º.
Rpta.
A0B y C0D, si m∢BOD = 100º?
Rpta.
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”
V.L.E.B.
5. Si: // // . Calcular x – y
Rpta.
6. En la figura // // . Calcular xº
8. Dados los ángulos consecutivos A0B, B0C y C0D de modo que: m∢A0C = 80º,m∢B0D = 90º y m∢A0B = 30º. Calcular m∢C0D.
Rpta.
9. Del gráfico, calcular –
Rpta.
7. En la figura // // . Calcular xº
Rpta.
Rpta.
10.Según el gráfico // . Calcular x
Rpta.
11.Según el gráfico, calcularm∢A0C + m∢B0D
Rpta.
12.Según el gráfico: // . Calcular x
14.El complemento de , más el suplemento de 2, es igual al suplemento del complemento de 3. Hallar .
Rpta.
15.La medida de un ángulo “” es: 62º48’36”. Halla su complemento, en grados sexagesimales.
Rpta.
Geometría Geometría
26
27
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Rpta.
13.Se tienen los ángulos consecutivos A0B, B0C y
C0D, donde es bisectriz delm∢B0D y m∢A0B = 32º. Calcular m∢B0C si 3(m∢A0C) + 2(m∢B0D) = 9m∢COD
Rpta.
¿POR QUÉ
ENSUCIAS
TU MUNDO?
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”
V.L.E.B.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Se tienen los ángulos consecutivos A0B, B0C y
C0D, de tal forma que es bisectriz del ángulo A0D;m∢A0B=60º. Hallar x.
A) B) C)
3. Dados los ángulos consecutivos A0B, B0C y C0D, de tal forma que m∢A0B=30º, m∢B0C=40º y m∢A0D = 50º. Calcular la medida del ángulo que forma la bisectriz del
ángulo C0D en el rayo .
A) B) C)D) E)
D) E)
2. Según el gráfico, calcularm∢B0C, si m∢A0C+m∢B0D=250 y m∢A0D = 140
A) B) C)D) E)
4. ¿Cuál es la diferencia de las medidas de los ángulos A0B y C0D, si m∢B0D = 120º?
A) B) C)D) E)
5. Si: // // , calcular x – y
A) B) C)D) E)
6. En la figura // // ., calcular x
8. Dados los ángulos consecutivos A0B, B0C y C0D, de modo que: m∢A0C = 70º,m∢B0D = 100º y m∢=A0B=20º. Calcular m∢COD.
A) B) C)D) E)
9. Del gráfico calcular -
Geometría Geometría
28
29 30
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
A) B) C)D) E)
7. En la figura: // // , Calcular “x”
A) B) C)D) E)
A) B) C)D) E)
10. En el gráfico // , calcular “x”
A) B) C)D) E)
CLAVES
1. C
2. C
3. C
4. B
5. C
6. C
7. B
8. A
9. D
10. D
¿SABÍAS QUÉ...
LOS ORÍGENES DE LA VIDA
El hombre se ha preguntado desde siempre cómo empezó la vida. Para responder a esta pregunta, se han propuesto muchas teorías, como la de la generación espontánea de la vida a partir de la materia inerte o la de la creación de la vida por un ser superior. Hoy en día la mayoría de científicos cree que la vida evolucionó a partir de moléculas simples existentes en la atmósfera hace unos 4.000 millones de años, mediante reacciones químicas al azar. Esto fue demostrado por Stanley Miller, que recreó las condiciones de la Tierra primordial y descubrió que algunos compuestos orgánicos –los “ladrillos” que componen los seres vivos– estaban formados por una mezcla de gases.
Geometría Geometría
31
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
¿La chispa de la vida?Cuando una chispa eléctrica atraviesa una mezcla de gases se producen compuestos orgánicos.
Surtidores de los fondos oceánicosLos surtidores marinos de agua caliente rica en minerales pudieron proporcionar las condiciones necesarias para la evolución de la vida.
TEMA: TRIÁNGULOS I: PROPIEDADES BÁSICAS
TRIÁNGULOEs la figura que se forma al unir tres no puntos colineales. En la
figura se muestra a tres tipos de triángulos
Rectilíneo Mixlíneo Curvilíneo
TRIÁNGULO RECTILÍNEOEs el que se forma al unir tres puntos no colineales con
segmentos de recta.
En adelante por fines didácticos al referirse a un triángulo rectilíneo se hará como simplemente triángulo.
Elementos:Vértices : A, B y C
Lados : , y o a, b y cElementos asociados:
Ángulos internos:∢ABC; ∢BCA y ∢CAB
Ángulos externos: ∢PAB, ∢BQC y ∢RCA
Notación:
Triángulo ABC: ABC.
Regiones Determinadas
Geometría Geometría
32
33
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
OBSERVACIÓN:
REGIÓN TRIANGULAR: ES LA UNIÓN DE LA REGIÓN INTERIOR CON
EL TRIÁNGULO..
Perímetro de la Región Triangular ABC:
2P
. 2p = AB + BC + AC .
PROPIEDADES FUNDAMENTALESSuma de Medida de los Triángulos Internos
Se cumple:
. + + = 180º .
Suma de Medidas de los Ángulos Externos Considerando uno por cada vértice
Se cumple:
. x + y + z = 360º .
Cálculo de un Ángulo Exterior
Se cumple:
. x = + .
Propiedad de Correspondencia
Si: > > , se cumple:
. a > b > c .
Relación de Existencia
Si a b c, se cumple:
. b – c < a < b + c .
. a – c < b < a + c .
Geometría Geometría
34
35
36
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
. a – c < c < a + b .Propiedades Adicionales1.
Se cumple:
. x = + + .
2.
Se cumple:
. + = + .
3.
Se cumple:. + = + .
CLASIFICACIÓNLos triángulos se clasifican teniendo en cuenta a sus lados a sus
ángulos.
Según sus lados1. Triángulo Escaleno
Es aquel que tiene los lados de diferentes longitudes
. a b c .
Además:. .
2. Triángulo IsóscelesEs aquel que tiene dos lados de igual longitud
. a = b .Además:
. = .
3. Triángulo EquiláteroEs aquel que tiene los lados de igual longitud
Geometría Geometría
MEJOR QUE APRENDER MUCHO, ES APRENDER COSAS BUENAS.
JOSÉ FERNÁNDEZ
37
38
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
. a = b = c .
Además:
. = = = 60º .
Según sus Ángulos Internos1. Triángulo Oblicuángulo
Es aquel triángulo que no tiene ángulo interior que mida 90º.
a. Acutángulo b. Obtusángulo
. < 90º. . < 90º. . < 90º. . 90º < < 180º .2. Triángulo Rectángulo
Es aquel que tiene un ángulo interior que mide 90º.
Catetos: y
Hipotenusa: Propiedad:
. b2 = a2 + c2 .
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. En el triángulo ABC, AB = BD. Calcular x
Rpta.
2. Según el gráfico, calcularm∢ADC, si: AE = ED,
3. Según el gráfico: AB = BD y CD = CE. Calcular x.
Rpta.
4. Calcular m∢ABC, si: AF=FC=DE=DF=EF
Geometría Geometría
39
40
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
m∢ACD=40º y el triángulo ABC es equilátero.
Rpta.
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”V.L.E.B.
Rpta.
5. Calcular m∢ACF, si: BC = CD y º - º = 50º.
Rpta.6. Calcular el valor de x, si:
AE = EB = EF = FD = DC ym∢BAC = m∢FDA.
Rpta.
7. En la figura - = 12º,Calcular – .
9. En un triángulo ABC, se cumple que las medidas de sus ángulos interiores son tres números consecutivos. Calcular la medida del ángulo menor.
Rpta.
10. Según el gráfico, calcular x.
Rpta.
8. En la figura AB = BC, calcular xº.
Rpta.
Rpta.
11. En el gráfico: DE = EC = CF = FG. Calcular:
Rpta.
12. En el gráfico mostrado: + + = 160º. Calcular x
Rpta.
13. Calcular x + y
14. Calcular el valor de x
Rpta.
15. Calcular
Geometría Geometría
41 42
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Rpta. Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. En el triángulo ABC, AB = BD, calcular “x”
A) B) C)D) E)
3. Según el gráfico AB =
BD,
CD = CE, calcular x
A) B) C)
2. Según el gráfico, calcularm∢ADC, si AE = ED, m∢ACD = 35º y el triángulo ABC es equilátero.
A) B) C)D) E)
D) E)
4. Calcular “x”, si.
PU = UQ = SU = ST = TU.
A) B) C)
D) E)
5. Calcular m∢ACF, si BC =
CD y
– = 70º
A) B) C)
D) E)
7. En la figura, – = 16º, calcular - .
A) B) C)D) E)
8. En la figura PQ = QC
Geometría Geometría
“NADIE DEBE AVERGONZARSE POR PREGUNTAR LO QUE NO SABE”
MÁXIMA ORIENTAL
43
44
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
6. Calcular el valor de “x”,
si:
AE = FB = EF = FD = DH =
HI = IC, m∢CAB = m∢HID.
A) B) C)
D) E)
A) B) C)D) E)
9. En un triángulo ABC se cumple que las medidas de sus ángulos interiores son tres números pares consecutivos. Calcular el ángulo intermedio
A) B) C)D) E)
10. En el gráfico: DE = EC = CF = FG. Calcular:
A) B) C)D) E)
CLAVES
1. D
2. B
3. B
4. A
5. C
6. C
7. E
8. B
9. D
10. B
¿SABÍAS QUÉ...
MARSUPIALES
CANGUROLas crías de canguro pasan unos 10 meses en
la bolsa de su madre.
Geometría Geometría
45
46
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Los marsupiales difieren de otros mamíferos en que dan a luz crías inmaduras que viajan en la bolsa de su madre, donde se amamantan. De esta forma, se mantienen calientes y protegidos mientras se desarrollan. Algunos no tienen una bolsa propiamente dicha y las crías se agarran al pelaje de sus madres. Los marsupiales sólo se encuentran en Australia y en América. Los canguros y los koalas son marsupiales australianos, mientras que las zarigüeyas viven en América. Existen alrededor de 250 especies de marsupiales en el mundo, que van desde pequeños animales del tamaño de las musarañas hasta carnívoros del tamaño de un lobo.
TEMA: TRIÁNGULOS II: LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES
ALTURA
Segmento que sale de un vértice y corta en forma perpendicular
al lado opuesto o a su prolongación.
Ortocentro (H)
Es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo.
H: Ortocentro.
PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO ORTOCENTRO.ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO.ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO.SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL VÉRTICE DEL ÁNGULO RECTO.
MEDIANASegmento que une un vértice con el punto medio del lado
opuesto a dicho vértice.
Baricentro (G)Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un
triángulo.G: Baricentro
Geometría Geometría
47
48
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO BARICENTRO.DIVIDE A CADA MEDIANA EN RELACIÓN COMO 1 ES A 2.EL BARICENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR.ES LLAMADO TAMBIÉN GRAVICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD DE LA REGIÓN TRIANGULAR.
BISECTRIZSegmento que divide a un ángulo interior o exterior en dos
ángulos de igual medida.
Incentro (I)Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores de
un triángulo, es el centro de la circunferencia inscrita
PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INCENTRO.EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL TRIÁNGULO.EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR DEL TRIÁNGULO.
Excentro (E)Es el punto donde se intersectan dos bisectrices exteriores con
una bisectriz interior en un triángulo, es el centro de la circunferencia exinscrita
E: Encentro relativo de
PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE TRES EXCENTROS.LOS EXCENTROS SON SIEMPRE PUNTOS EXTERIORES AL TRIÁNGULO.
MEDIATRIZEs una recta que pasa por el punto medio de un lado cortándolo
en forma perpendicular.
: Mediatriz de
Circuncentro (O)Es el punto donde se corta las tres mediatices de un triángulo.
C: Circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita
Geometría Geometría
49
50
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO CIRCUNCENTRO.EL CIRCUNCENTRO EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO.ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO.ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO.SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL PUNTO MEDIO DE LA HIPOTENUSA.
Propiedad:Si: “0” es circuncentro
. x = 2 .
CEVIANA
Segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación.
Cevacentro (C)Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un triángulo.
PARA RECORDAR:TODO TRIÁNGULO TIENE INFINITOS CEVACENTROS.
OBSERVACIONES:- PARA UBICAR UN PUNTO NOTABLE SÓLO ES NECESARIO TRAZAR DOS
LÍNEAS NOTABLES DE LA MISMA ESPECIE.- EN TODOS LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES SI SE TRAZA UNA DE LAS
CUATRO PRIMERAS LÍNEAS NOTABLES HACIA LA BASE; DICHA LÍNEA CUMPLE LAS MISMAS FUNCIONES QUE LAS OTRAS.
- EN TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO EL ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y CIRCUNCENTRO COINCIDEN.
- EN TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES, EL ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y EL EXCENTRO RELATIVO A LA BASE, SE ENCUENTRAN ALINEADOS EN LA MEDIATRIZ DE LA BASE.
PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES
Geometría Geometría
51
52
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
1. Ángulo formado por dos bisectrices interiores.
. .
2. Ángulo formado por dos
bisectrices exteriores.
. .
3. Ángulo formado por una
bisectriz interior y una
bisectriz exterior.
. .
4.. .
5.
. .
6.
. .
7.. .
Geometría Geometría
53
54
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”V.L.E.B.
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Hallar “x” en la figura
Rpta.
2. Hallar “x” en la figura
Rpta.
4. En la figura., hallar “x”
Rpta.
5. Hallar el valor de “x” en
Rpta.
3. Hallar “x” en la figura
Rpta.
6. En la figura hallar “x”
Rpta.
7. En un triángulo ABC, las bisectrices de los ángulos A y C. Se cortan en H. Sim∢AHC = 5(m∢ABC), hallarm∢ABC
Rpta.
8. En la figura, calcular “”
Rpta.
9. En la figura hallar “x”
10. En la figura calcular el valor de “x”
Rpta.
11. Hallar el valor de “x” en la figura que se muestra
Rpta.
12. En la figura hallar “x”
Geometría Geometría
55
56
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Rpta.
Rpta.
13. En la figura hallar CD si EC = 7
Rpta.
14. Hallar “x” en:
Rpta.
15. Hallar “x” en:
Rpta.
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”
V.L.E.B.
“TE SORPRENDERÁ TENER LA OPORTUNIDAD DE AYUDAR A UN SEMEJANTE CON SÓLO ESCUCHAR LO QUE TIENE PARA DECIRTE,
AUNQUE NO ESTÉS DE ACUERDO. SABER ESCUCHAR ES UNA DE LAS MANERAS MÁS GRATIFICANTES DE SER GENEROSO”
MÓNICA BUONFIGLIO
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. En la figura calcular el valor de “x”
A) 10º B) 20º C) 40ºD) 50º E) 60º
2. Hallar “x” en la figura
3. Hallar “x” en la figura
A) 70º B) 80º C) 90º
D) 60º E) 50º
4. Calcular el valor de “x” en
la figura
A) 50º B) 60º C) 80º
Geometría Geometría
42
57
58
59
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
A) 10º B) 20º C) 30ºD) 50º E) 50º
D) 90º E) 110º
5. En la figura, hallar “x”
A) 20º B) 40º C) 60ºD) 10º E) 50º
6. Hallar “x” en:
A) 1 B) 1,5 C) 2D) 2,5 E) 3
7. En un triángulo PQR, las bisectrices de los ángulos P y R se cortan en “S”, sim∢PSC=8(m∢PQR), hallar m∢PQR
A) 10º B) 12º C) 14ºD) 16º E) 18º
8. En la figura calcular “”
A) 20º B) 40º C) 70ºD) 80º E) 90º
9. En la figura hallar “x” 10.Hallar “x” en:
A) 12º B) 48º C) 24ºD) 36º E) 50º A) 16º B) 26º C) 36º
D) 46º E) 56º
CLAVES
1. C
2. C
3. B
4. B
5. C
6. A
7. B
8. C
9. C
10. C
¿SABÍAS QUÉ...
MAMÍFEROS ACUÁTICOS
Geometría Geometría
60
61
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
GRANDES NADADORESLos delfines y las ballenas nadan moviendo la cola
arriba y abajo y no hacia los lados como lo hacen los peces.
Los delfines, las ballenas, las focas y las morsas son mamíferos, pero se han adaptado a la vida acuática. Su cuerpo tiene forma hidrodinámica, las extremidades anteriores presentan forma de aleta y la cola es plana. Las ballenas y las focas poseen una capa de grasa bajo la piel para protegerse del frío. Los delfines y las ballenas nunca salen del agua, incluso se aparean y dan a luz en ella. Cuando nacen las crías, sus padres las empujan hasta la superficie para que respiren por primera vez. Las focas y las morsas se aparean y dan a luz en tierra.
TEMA: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados
congruentes y sus tres ángulos congruentes respectivamente.
ABC = PQR
OBSERVACIÓN:
EN UN PROBLEMA DADO SE PODRÁ AFIRMAR QUE DOS TRIÁNGULOS SON
CONGRUENTES SI TIENEN COMO MÍNIMO TRES ELEMENTOS IGUALES, DE
LOS CUALES UNO DE ELLOS DEBE SER UN LADO.
CASOS DE CONGRUENCIA EN TRIÁNGULOS
1. Caso (L.A.L.)
2. Caso (A.L.A.)
3. CASO (L.L.L.)
Geometría Geometría
62
63
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
4. Caso (L.L.A.)
: Opuesto al mayor lado
PROPIEDADES EN CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1. De la BisectrizTodo punto situado en la bisectriz siempre equidista de los lados del ángulo.
. .
2. De la MediatrizTodo punto situado en la mediatriz e un segmento, siempre equidista de los extremos de dicho segmento.
. PA = PB .
3. De la Base Media de un TriánguloEl segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado y mide la mitad de lo que mide el tercer lado.
Si: // Si: M y N son puntos medios
. BN = NC . . .
4. De la Mediana Relativa a la HipotenusaLa mediana relativa a la hipotenusa siempre mide la mitad de lo que mide la hipotenusa.
. .
Geometría Geometría
64
65
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
CÓMO DEMOSTRAR CUALQUIER COSA
Bertrand Russell estaba tratando sobre los enunciados condicionales y sosteniendo que un enunciado falso implica cualquier cosa, todo. Un filósofo escéptico le preguntó:
- ¿Quiere usted decir que si 2 + 2 = 5, entonces es usted el Papa?
Russell contestó afirmativamente y dio la divertida "prueba" que sigue:
- Si suponemos que 2 + 2 = 5, entonces seguramente estará usted de acuerdo en que si restamos 2 de cada lado de la ecuación, nos da 2 = 3. Invirtiendo los términos, tenemos que 3 = 2 y restando 1 de cada lado, nos da 2 = 1. De modo, que como el Papa y yo somos dos personas, y 2 = 1, entonces el Papa y yo somos uno. Luego, yo soy el Papa.
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. De la figura: ≅ ; ≅ . Hallar
Rpta.
2. Del gráfico ≅ , FA = 8.Hallar HF.
4. Siendo ABCD un cuadrado, el valor de x es:
Rpta.
5. De la figura ≅ ;
Rpta.
3. En la figura:
Rpta.
≅ , ≅ , Hallar “”
Rpta.
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”
V.L.E.B.
6. De la figura = 20cm, hallar BC, (sugerencia: en el T.R. ABD, trazar la mediana de relativa a )
Rpta.
7. En la figura AD=15cm; ED=17cm. Hallar BE (Sugerencia: aplicar el teorema de la bisectriz)
9. Calcular BE, si ≅ , ≅ , BD = 9
Rpta.
10. Encontrar AQ, si ≅ ,
≅ , m∢ABP ≅ m∢CBQ, PC = 13.
Geometría Geometría
66
67
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Rpta.
8. En un cuadrado AHFC se traza (Q en ) y luego
⊥ , ⊥ . Si HM = 12cm,MN = 5cm, Hallar CN
Rpta.
Rpta.
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”
V.L.E.B.
11. Encontrar AE, si BE = CD = 4, ED = 3.
Rpta.
12. Del gráfico ≅ ; ≅ , Hallar
14. Del gráfico ≅ , hallar “”
Rpta.
15. En la figura // , = 12, hallar CM
Rpta.
13. Del gráfico hallar “x” si CE = 6
Rpta.
Rpta.
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”
V.L.E.B.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. En la figura: ≅
≅ , hallar
A) B) C)
D) E)
2. Del gráfico ≅ TS, RP
= 7, hallar RT.
3. En la figura: ≅ ,
≅ , hallar
A) B) C)
D) E)
Geometría Geometría
68 69
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
A) B) C)
D) E)
4. Siendo ABCD un
cuadrado, el valor de “x”
es:
A) 50º B) 60º C) 40º
D)30º E) 10º
5. De la figura: ≅ , ≅ , ≅ , hallar
“”
A) B) C)D) E)
6. En la figura PS = 26, hallar QR (sugerencia: en el T.R. PQS trazar la mediana relativa a PS)
7. En la figura PS = 30; TS = 34, hallar QT (sugerencia: aplicar el teorema de la bisectriz)
A) B) C)D) E)
8. En un cuadrado ABCD
se traza AN (N en ) y luego
A) B) C)D) E)
, AN, siBM = 24, MN = 7, hallar DN
A) 15 B) 16 C) 17D)18 E) 19
UNA INDUCCIÓN HUMERÍSTICA:En todos mis cumpleaños hasta ahora he cumplido menos de treinta años. Así, por inducción, en todos mis cumpleaños cumpliré menos de treinta años.
9. Calcular QT, si ≅ ,PT ≅ SR, QS = 11
A) B) C)D) E)
10. Encontrar PB, si ≅ , ≅ , = 17
A) B) C)D) E)
CLAVES
1. C 6. C
Geometría Geometría
70
71
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
2. C
3. B
4. A
5. C
7. D
8. C
9. B
10. E
TEMA: POLÍGONOS
DEFINICIÓNSean P1, P2, ...., Pn una sucesión de “n” puntos distintos de un
plano con n3. supongamos que los “n” segmentos , , ..., , tienen las siguientes propiedades:
1) Ningún par de segmentos e interseca, salvo en sus extremos2) Ningún par de segmentos con un extremo común son
colineales.
Entonces, la reunión de los “n” segmentos se llama polígono, los puntos P1, P2, ...., Pn son los vértices del polígono y los segmentos ,
, ..., , son los lados. Los ángulos del polígono y son el ∢PnP1P2, el ∢PnP2P3, y así sucesivamente, para abreviar a menudo denotamos los ángulos por ∢P1, ∢P2, etc.
En todo polígono se cumple que el número de lados es igual al número de vértices e igual al número de ángulos.
Se llama diagonal de un polígono al segmento de recta que une dos vértices no consecutivos.
Según el número de lados un polígono se llama:Triángulo 3 lados Nonágono 9 ladosCuadrilátero 4 lados Decágono 10 ladosPentágono 5 lados Endecágono 11 ladosHexágono 6 lados Dodecágono 12 ladosHeptágono 7 lados Pentadecágono 15 ladosOctógono 8 lados Icoságono 20 lados
Otros, se mencionan según su número de lados. Por ejemplo: polígono de 17 lados.
Un polígono será convexo si una recta que no contenga a un lado lo interseca más que en dos puntos. En un polígono no convexo una recta que no contenga a un lado puede intersecarlo en dos o más puntos.
PROPIEDADES GENERALES PARA TODO POLÍGONO CONVEXO DE “n” LADOS1. El número de diagonales trazadas desde un solo vértice:
. .
2. Número total de diagonales:
. .
3. Número de diagonales trazadas desde “m” vértices consecutivos:
Geometría Geometría
72
73
74
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
. .
4. Número de triángulos determinados al trazar las diagonales desde un solo vértice:
. .5. Suma de las medidas de los ángulos internos:
. Sm∢s internos = 180(n–2) .
6. Suma de las medidas de los ángulos externos:. Sm∢s externos = 360 .
7. Número de ángulos rectos a que equivale la su suma de las medidas de los ángulos internos
. Nº ∢rectos = 2(n – 2) .
CLASIFICACIÓNPolígono Equilátero
Es aquel que tiene todos sus lados congruentes
. Perímetro = n. (medida del lado)
.
Polígono EquiánguloEs aquel que tiene todos sus ángulos congruentes, siempre es
convexo.
. m∢Interno = . . m∢Externo = .
Polígono RegularEs el polígono equiángulo y equilátero a la vez
En la figura “0” es centro del polígono regular y ∢A0B es el ángulo central.
. m∢Central = .
. Sm∢Centrales = 360 .
Polígono IrregularEs aquel que tiene lados diferentes y ángulos diferentes
MÉTODO CIENTÍFICO
Van Dumholtz tiene dos grandes frascos delante de sí, uno con muchas pulgas y el otro vacío. Saca cuidadosamente una pulga del frasco, la pone ante el frasco vacío, da un paso atrás y dice "salta", tras lo cual la pulga salta al frasco. Metódicamente, saca otra pulga, la pone en la mesa, dice "salta" y la pulga salta al frasco que estaba vacío al principio. Cuando ha terminado de cambiarlas de frasco de este modo, saca una del frasco que ahora está lleno, le quita cuidadosamente las patas de atrás y la coloca en la mesa frente al primer frasco. Ordena "salta", pero la pulga no se mueve. Saca otra pulga del frasco, le quita cuidadosamente las patas de atrás y la coloca en la mesa frente al primer frasco. Vuelve a ordenar "salta", pero la pulga no se mueve. Van Humholtz continúa metódicamente el mismo procedimiento con las pulgas restantes y obtiene los mismos resultados. Entusiasmado, Van Dumholtz anota en su cuaderno: "Cuando se le quitan las patas traseras a una pulga, deja de oír."
PROBLEMAS PARA LA CLASE
Geometría Geometría
75
76
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
1. El número de diagonales de un polígono excede al número de lados en 25. calcular el número de lados del polígono.
Rpta.
2. ¿En qué polígono el número de lados es igual al número de diagonales?
Rpta.
3. AL prologar los lados no consecutivos de un hexágono equiángulo, que figura se forma
Rpta.
4. Las medidas de cinco ángulos internos de un polígono regular es 700. calcular la suma de las medidas de sus ángulos internos.
Rpta.
5. ¿Cuántas diagonales tiene el endecágono?
Rpta.
6. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos internos y externos es 7 200?
Rpta.
7. ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo cuyo número de diagonales excede al número de vértices en 18?
Rpta.
8. Calcular el número de lados de un polígono regular donde al aumentar en dos su número de lados, la medida de su ángulo externo disminuye en 9
Rpta.
9. Si el número de diagonales de un polígono convexo disminuye en 5, entonces resulta un nuevo polígono convexo donde la suma de las medidas de sus
13. La diferencia entre el número de diagonales de un cierto polígono regular el número de ángulos rectos, a que equivale la suma de
ángulos interiores es 720. calcular el número de diagonales del polígono convexo inicial.
Rpta.
10. En un pentágono equilátero ABCDE: AB = BE.. calcular la relación entre los perímetros del cuadrilátero BCDE y el triángulo ABE.
Rpta.
11. ¿En qué polígono se cumple que al duplicar el número de lados la suma de las medidas de los ángulos internos se triplica?
Rpta.
12. En un polígono convexo ABCDEF equiángulo, AB = 7, CD = 6,DE = 8. Calcular BF
Rpta.
los ángulos internos en 8. calcular la medida del ángulo externo
Rpta.
14. Calcular el número de lados de un polígono convexo, si el número total de diagonales más el número de diagonales trazadas de un solo vértice, más 5 veces el número de triángulos que se forma al unir un punto interior con cada vértice es igual a 88.
Rpta.
15. Calcular el número de lados de aquel polígono cuyo número de diagonales se encuentra entre 22 y 24
Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. ¿En qué polígono equiángulo la medida de un ángulo interno es el triple de la medida del ángulo externo?
4. La relación de las medidas del ángulo exterior y el ángulo interior de un polígono equiángulo es 1/8. calcular el número de diagonales de dicho
Geometría Geometría
77
78
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
A) Hexágono
B) Octógono
C) Decágono
D) Pentágono
E) Nonágono
2. Calcular el perímetro de un polígono si su lado mide 6 y tiene 14 diagonales
A) B) C)D) E)
3. Se tiene un pentágono equiángulo ABCDE y exteriormente un hexágono equiángulo ABFGHI. Calcular la m∢EAI
A) B) C)D) E)
polígono
A) B) C)D) E)
5. Interiormente a un pentágono equiángulo ABDCE, se construye un triángulo equilátero APB. Calcular lam∢EAP
A) B) C)D) E)
6. Calcular el número de diagonales de un polígono regular sabiendo que el cuadrado de la medida de su ángulo interior equivale a 9 veces la medida de su ángulo exterior.
A) B) C)D) E)
7. La diferencia entre el número de diagonales y la mitad del número de ángulos rectos a que equivale la suma de los ángulos internos de un polígono es 119. calcular el número de lados de dicho polígono
A) B) C)
9. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular de 18 lados?
A) B) C)D) E)
D) E)
8. Si el número de lados de un polígono regular aumenta en 10, cada ángulo del nuevo polígono es 3 grados mayor que cada ángulo del original ¿Cuántos lados tiene el polígono original?
A) B) C)D) E)
10. Calcular el número de lados de un polígono convexo en el que el número de diagonales es mayor en 133 que el número de lados.
A) B) C)D) E)
ORDENADORES
La primera vez que un avión automatizado despegó, los pasajeros estaban algo preocupados. En esto la voz arrulladora y tranquilizante del ordenador se oyó por los altavoces: "Señoras y caballeros tienen ustedes el privilegio de estar volando en el primer avión totalmente automático. Nada de pilotos con sus fallos humanos, están siendo conducidos por ordenadores infalibles. Atenderemos todas sus necesidades. No tienen que preocuparse de nada... preocuparse de nada... preocuparse de nada... preocuparse de nada..."
CLAVES
1. B
2. D
3. D
6. A
7. D
8. D
Geometría Geometría
79
80
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
4. E
5. C
9. B
10. A
ÍNDICE
PÁG.
SEGMENTOS.......................................................................................... 7
ÁNGULOS............................................................................................. 17
TRIÁNGULOS I: PROPIEDADES BÁSICAS....................................................... 31
TRIÁNGULOS II: LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES.............................................. 46
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS................................................................ 61
POLÍGONOS.......................................................................................... 71
Geometría Geometría