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Herramientas estadísticas• Contenido:
• Distribución de probabilidad• Esperanza matemática y varianza • Distribución normal• Distribución normal estándar
• Las aplicaciones logísticas: • Son de carácter no determinístico (Probabilidad)• Muchas decisiones dependen de Probabilidades basadas en
información limitada o incierta• Gráficas de desempeño logístico
• Objetivo: revisar herramientas estadísticas básicas en la toma de decisiones logísticas
Herramientas estadísticas• Distribuciones de probabilidad discretas: distribuciones en las
cuales los valores asociados no son continuos
• Variables discretas: probabilidades asociadas a cada suceso
• Reglas de las distribuciones de probabilidad:• Los sucesos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos• Las probabilidades están comprendidas entre 0 y 1• La suma de las probabilidades es igual 1
• El gráfico de la distribución de probabilidades: da una imagen de su forma, y ayuda a identificar la tendencia central de la distribución (esperanza matemática) y la variabilidad o dispersión de la distribución (varianza)
Distribución Binomial: B(n;p) Mide la probabilidad de que en n sucesos o
ensayos se obtengan k éxitos: Ejemplo: número de clientes que llegan en
15minutos. Media = np (por ejemplo: número de éxitos p o de
fracasos q) Varianza: pq/n Eventos independientes La probabilidad de observar el evento es constante
en cada intento (n<0,10N, o reposición)
knkkx pp
knk
nP
)1()!(!
!)(
Ejercicio . La proporción de individuos de una población con renta superior a los $20000 es de 0,005% (p). Determinar la probabilidad de que entre 5000 (n) individuos consultados haya 2 () con ese nivel de renta, suponiendo que todos los consultados responden. Ajustar el problema a un modelo binomial y al modelo de Poisson equivalente, comprobando que ambas leyes de probabilidad coinciden en la práctica.
Distribución Binomial: ejemplo
Solución:
X= individuos que tienen una renta superior a los 20000$ es una variable binomial con n = 5000 y p =0,00005. La probabilidad pedida es P(x=2) = 2,4%
Distribución Binomial: ejemplo
P(X=2) la calcularemos mediante la distribución binomial B(5000;0,00005)
Aproximación:
Distribución Binomial: ejemplo
Dado que p es muy pequeño y n muy grande , y m = np =5000*0,00005= 0,25<5 y p <0,01 ya podemos aproximar la variable X= B(5000;0,00005) por una variable de Poisson de parámetros m = np = 0,25.
Realizar n tentativas de un evento, y observar el número k de ocurrencias: Ejemplo: número de
clientes que llegan en 15minutos.
Media = µ (por ejemplo: 5/hora)
Probabilidad:
0,0
0,3
0,6
0 1 2 3 4 5X
P(X)
0,0
0,3
0,6
0 2 4 6 8 10X
P(X)
= 0,5= 0,5
= 6,0= 6,0
Distribución de Poisson:
xe
)x(Px
Especifica la probabilidad de que n clientes lleguen en T períoods de tiempo
(λT)n
P(n) = n !e – λT para n=1,2,3.…
Condiciones: Las mismas de la binomial, además de: “Muchas oportunidades de ocurrencia, pero con baja
probabilidad en cada tentativa con respecto a np”: nq es muy pequeño respecto a n
Aproximaciones a la binomial: P es pequeño con respecto a n
Distribución de Poisson:
Cualquier fenómeno aleatorio que ocurre por unidad (de área, volumen, de tiempo, etc.)
Las variaciones de µ, en fenómenos como los descritos anteriormente, definen una familia de distribuciones Poisson con :
Media = µ Varianza = µ
Para k=0,1,2… µ = np (n>50 y p <0,10) µ=λt, donde λ es la tasa (constante) de ocurrencia del evento
por unidad (pequeña) de tiempo, longitud, de masa, de área, de volumen, ….
Distribución de Poisson:
!)(
k
ekxP
k
Distribución de Poisson: ejemplo
Para representar la ley de probabilidad relativa a la distribución de Poisson seleccionaremos su rango de valores (x;p(x)).
Distribuciones de Poisson para tiempos de llegada
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x
0,00
0,05
0,10
0.15
0,20
0,25
0,30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x
Prob
abilid
ad
Prob
abilid
ad
=2 =4
= promedio de clientes por unidad de tiempo
Distribuciones de probabilidad continuas
El punto medio (y más elevado) es el valor de la media µ de la distribución normal
En el eje de abscisas se mide en términos del número de desviaciones σ estándar, a partir de la media
Gráfica de desempeño
• Proporcionan una descripción gráfica del desempeño y una comparación del desempeño entre varios períodos
• Para proporcionar un seguimiento en el tiempo:• De los costos logísticos• Del servicio al cliente• De los índices de productividad
• Para dar una señal de alerta cuando ocurre una tendencia adversa
Gráfica de desempeño
• Un ejemplo de rotación de inventarios
M eta o promedio
Límite in ferior
Límite superior
Indi
ce d
e ro
taci
ón d
ein
vent
ario
s
9
8
7
tiempo
Ejemplo• Un servicio de paquetería express ofrece que todos los paquetes serán entregados
dentro de las 24 horas siguientes a su recolección. En la práctica, la compañía desea que al menos 90% de las entregas se realicen dentro de este período. Se han recopilado muestras de 100 entregas por cada uno de los 10 días operativos representativos. Los resultados fueron los siguientes:
Muestra
Entregas
1 94
2 93
3 94
4 95
5 94
6 93
Muestra Entregas
7 92
8 93
9 96
10 95
Total 939
Ejemplo
• Solución:• Se utiliza una gráfica p• Promedio del proceso
• Desviación estándar del proceso para un tamaño de muestra n = 100
• Los límites de control, para una z =1,96 (con una confianza del 95%) son:
94,0)100)(10(
939
entregasdetotalnúmero
tiempoaentregasdenúmerop
98,0)02,0(96,194,0 p
zpLSC
98,0)02,0(96,194,0 p
zpLSC