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transcript
i
UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE
FACULTAD DE EDUCACIÓN CIENCIA Y TECNOLOGÍA
TEMA:
“METODOLOGÍAS UTILIZADAS PARA EL DESARROLLO DE LAS
HABILIDADES MENTALES, RAZONAMIENTO LÓGICO Y SU
APLICACIÓN EN LOS PROCESOS MATEMÁTICOS POR PARTE DE
LOS ESTUDIANTES DE LOS NOVENOS AÑOS DE EDUCACIÓN
GENERAL BÁSICA DE COLEGIO UNIVERSITARIO “UTN” EN EL
PERÍODO ACADÉMICO 2013 – 2014”. PROPUESTA ALTERNATIVA:
AUTOR:
Saráuz Aguilar Jhon Franklin
DIRECTOR:
Ing. Fabián Marroquín
Ibarra, 2015
Trabajo de Grado previo a la obtención del Título de Licenciado en
la Especialidad de Física y Matemática.
ii
ACEPTACIÓN DEL DIRECTOR
iii
DEDICATORIA
“La ciencia nos permite interpretar como funciona el mundo, las personas
que te rodean dan la explicación para que vivir en el mismo”.
El presente trabajo se realizó gracias al esfuerzo mancomunado de toda mi
familia la cual con su apoyo y comprensión permitieron el desarrollo íntegro
del mismo.
“Si tuviera solo un minuto de vida lo gastaría compartiendo con los seres
que más quiero”
Por esta razón me permito dedicar este trabajo a toda mi familia, mi madre
Rosa E. Aguilar C, mi padre José María Saráuz, mi hermana Jennifer y a
todos mis hermanos, ya que sin ellos nada tendría sentido ni estaría
completo.
iv
AGRADECIMIENTO
“El fin de un camino solo marca el inicio de un camino más grande”
Por todo el esfuerzo, la dedicación y sobre todo la paciencia que he recibido
por parte de mi madre es que este trabajo se realizó de la mejor manera,
también agradezco al resto de mi familia que siempre y pese a todo están
a mi lado así como todas las personas que estuvieron y están desde el
principio tales como amigos que desde siempre están presentes en todo
momento, compañeros que con el paso del tiempo se vuelven amigos y
personal docente de esta hermosa institución, la Universidad Técnica del
Norte en especial en la carrera de licenciatura en Física y Matemática, que
dejará marca durante toda mi vida.
v
ÍNDICE GENERAL
ACEPTACIÓN DEL DIRECTOR ................................................................. I
DEDICATORIA ......................................................................................... III
AGRADECIMIENTO ................................................................................. IV
RESUMEN ................................................................................................. V
ABSTRACT ............................................................................................. XIII
INTRODUCCIÓN ....................................................................................XIV
ÍNDICE GENERAL ..................................................................................... V
ÍNDICE DE TABLAS ............................................................................... VIII
ÍNDICE DE GRAFICOS ............................................................................. X
CAPÍTULO I ................................................................................................ I
1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN .......................................... 1
1.3 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ......................................................... 3
1.4 DELIMITACIÓN ................................................................................. 3
1.4.1 Unidades de observación. ............................................................ 3
1.4.2 Delimitación Espacial. .................................................................. 4
1.4.3 Delimitación Temporal. ................................................................ 4
1.5 OBJETIVOS. ................................................................................... 4
1.5.1 Objetivo General. ......................................................................... 4
1.5.2 Objetivos Específicos. .................................................................. 4
1.6 JUSTIFICACIÓN. ............................................................................... 5
CAPÍTULO II .............................................................................................. 7
2 MARCO TEÓRICO ....................................................................... 7
2.1. FUNDAMENTACIÓN FILOSOFICA .............................................. 7
2.1.1 TEORÍA HUMANISTA ................................................................... 7
2.2 FUNDAMENTACIÓN PSICOLÓGICA.......................................... 8
2.2.1 TEORÍA COGNITIVA ................................................................... 8
2.3 FUNDAMENTACIÓN SOCIOLÓGICA ......................................... 9
2.3.1 TEORÍA SOCIO CRÍTICA ............................................................ 9
2.4 FUNDAMENTACIÓN PEDAGÓGICA ....................................... 10
2.4.1 TEORÍA PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN................ 10
vi
2.4.2 PENSAMIENTO ........................................................................... 11
2.4.2.1 Factores del pensamiento. ...................................................... 12
2.4.2.1 Formas del pensamiento ......................................................... 13
2.4.3 LÓGICA. .................................................................................... 13
2.4.4. LÓGICA MATEMÁTICA .................................................................. 17
2.4.5 RAZONAMIENTO. ........................................................................ 19
2.4.5.1 TIPOS DE RAZONAMIENTOS. ........................................................ 21
2.4.6 ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS. ................................................. 27
2.4.7 MÉTODOS Y TÉCNICAS DE ENSEÑANZA. ....................................... 28
2.4.8 DIDÁCTICA. ................................................................................ 31
2.4.8.1 ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA. .................................................... 35
2.4.8.2 ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE. .................................................. 36
2.2 POSICIONAMIENTO PERSONAL. .................................................... 38
2.3 GLOSARIO DE TÉRMINO ............................................................... 39
2.4 INTERROGANTES DE INVESTIGACIÓN. ........................................... 42
2.5 MATRIZ CATEGORIAL. ................................................................. 43
CAPÍTULO III…………………………………………………………………...57
3.- METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN ............................... 44
3.1 Tipo de Investigación. .............................................................. 44
3.1.1 Investigación de Campo. ......................................................... 44
3.1.2 Investigación documental o bibliografica. ................................ 44
3.1.3 Investigación Descriptiva ........................................................ 44
3.4. POBLACIÓN. .............................................................................. 45
CAPÍTULO IV………………………………………………………………..…61
4.- ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS .............. 48
CAPÍTULO V……………………………………………………………………97
5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ........................... 85
5.1 CONCLUSIONES........................................................................... 85
5.2 RECOMENDACIONES. ................................................................... 86
5.3 RESPUESTA A LAS INTERROGANTES ............................................... 87
CAPÍTULO VI…………………………………………………………………102
6 PROPUESTA .................................................................................... 90
vii
6.1 TÍTULO DE LA PROPUESTA ........................................................... 90
6.2 JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA. .................................................... 90
6.3 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA. ....................................................... 92
6.3.1 EL DESARROLLO DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO. ...................... 92
6.3.2 EL RAZONAMIENTO LÓGICO EN ESTUDIANTES. ............................... 93
6.3.3 LAS DIFICULTADES ESPECÍFICAS DE APRENDIZAJE. ........................ 94
6.3.4 METODOLOGÍA. .......................................................................... 95
6.4 OBJETIVOS: ............................................................................... 97
6.4.1 OBJETIVO GENERAL: .................................................................. 97
6.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ........................................................... 97
6.5 IMPORTANCIA. ............................................................................ 98
6.6 UBICACIÓN SECTORIAL Y FÍSICA. ................................................. 98
6.7 DESARROLLO DE LA PROPUESTA. ................................................ 98
IMPACTOS ................................................................................................ 175
DIFUSIÓN ................................................................................................. 175
BIBLIOGRAFÍA. .......................................................................................... 176
ANEXOS: ............................................................................................... 179
ANEXO Nº 1. MATRIZ DE COHERENCIA ............................................ 180
ANEXO Nº 2 ARBOL DE PROBLEMAS ................................................ 181
ANEXO Nº 3 ENCUESTA ...................................................................... 182
viii
ÍNDICE DE TABLAS
INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS SOBRE LAS ENCUESTAS
APLICADAS A LOS 4 DOCENTES DEL ÁREA DE MATEMÁTICA
COLEGIO UNIVERSITARIO “UTN”. ........................................................ 49
TABLA N° 1 DOCENTES ........................................................................ 49
TABLA N° 2 DOCENTES ........................................................................ 50
TABLA N° 3 DOCENTES ........................................................................ 51
TABLA N° 4 DOCENTES ........................................................................ 52
TABLA N° 5 DOCENTES ........................................................................ 53
TABLA N° 6 DOCENTES ........................................................................ 54
TABLA N° 7 DOCENTES ........................................................................ 55
TABLA N° 8 DOCENTES ........................................................................ 56
TABLA N° 9 DOCENTES ........................................................................ 57
TABLA N° 10 DOCENTES ...................................................................... 58
TABLA N° 11 DOCENTES ...................................................................... 59
TABLA N° 12 DOCENTES ...................................................................... 59
TABLA N° 13 DOCENTES ...................................................................... 60
INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS SOBRE LAS ENCUESTAS
APLICADAS A LOS 135 ESTUDIANTES NOVENOS AÑOS DE ........... 61
EDUCACIÓN BÁSICA DEL COLEGIO UNIVERSITARIO “UTN”. ............ 61
TABLA N° 1 ESTUDIANTES .................................................................. 62
TABLA N° 2 ESTUDIANTES .................................................................. 64
TABLA N° 3 ESTUDIANTES .................................................................. 66
TABLA N° 4 ESTUDIANTES .................................................................. 68
TABLA N° 5 ESTUDIANTES .................................................................. 70
TABLA N° 6 ESTUDIANTES .................................................................. 71
TABLA N° 7 ESTUDIANTES .................................................................. 72
TABLA N° 8 ESTUDIANTES .................................................................. 73
TABLA N° 9 ESTUDIANTES .................................................................. 74
TABLA N° 10 ESTUDIANTES................................................................. 75
TABLA N° 11 ESTUDIANTES................................................................. 76
ix
TABLA N° 12 ESTUDIANTES................................................................. 77
TABLA N° 13 ESTUDIANTES................................................................. 78
TABLA N° 14 ESTUDIANTES................................................................. 79
TABLA N° 15 ESTUDIANTES................................................................. 80
TABLA N° 16 ESTUDIANTES................................................................. 82
TABLA N° 17 ESTUDIANTES................................................................. 83
TABLA N° 18 ESTUDIANTES................................................................. 84
x
ÍNDICE DE GRAFICOS
INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS SOBRE LAS ENCUESTAS
APLICADAS A LOS 4 DOCENTES DEL ÁREA DE MATEMÁTICA
COLEGIO UNIVERSITARIO “UTN”. ........................................................ 49
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 1 DOCENTES .......................................... 49
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 2 DOCENTES .......................................... 50
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 3 DOCENTES .......................................... 51
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 4 DOCENTES .......................................... 52
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 5 DOCENTES .......................................... 53
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 6 DOCENTES .......................................... 54
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 7 DOCENTES .......................................... 55
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 8 DOCENTES .......................................... 56
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 9 DOCENTES .......................................... 57
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 10 DOCENTES ........................................ 58
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 11 DOCENTES ........................................ 59
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 12 DOCENTES ........................................ 60
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 13 DOCENTES ........................................ 61
INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS SOBRE LAS ENCUESTAS
APLICADAS A LOS 135 ESTUDIANTES NOVENOS AÑOS DE ........... 61
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 1 ESTUDIANTES ..................................... 62
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 2 ESTUDIANTES ..................................... 64
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 3 ESTUDIANTES ..................................... 66
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 4 ESTUDIANTES ..................................... 68
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 5 ESTUDIANTES ..................................... 70
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 6 ESTUDIANTES ..................................... 71
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 7 ESTUDIANTES ..................................... 72
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 8 ESTUDIANTES ..................................... 73
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 9 ESTUDIANTES ..................................... 74
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 10 ESTUDIANTES ................................... 75
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 11 ESTUDIANTES ................................... 76
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 12 ESTUDIANTES ................................... 78
xi
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 13 ESTUDIANTES ................................... 79
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 14 ESTUDIANTES ................................... 80
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 15 ESTUDIANTES ................................... 81
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 16 ESTUDIANTES ................................... 82
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 17 ESTUDIANTES ................................... 83
GRÁFICO ESTADÍSTICO N° 18 ESTUDIANTES ................................... 84
xii
RESUMEN
Dentro del proceso de interaprendizaje se pueden encontrar distintos factores que pueden intervenir tanto de manera favorable como desfavorable, la siguiente investigación se realizó con la finalidad de encontrar estos posibles elementos que interrumpen el procesos educativo de los estudiantes de los novenos años de educación general básica en el colegio universitario “UTN” anexo a la Universidad Técnica del Norte en el periodo académico 2013-2014, de lo cual se pudo resolver que entre los componentes más sobresalientes en relación al bajo rendimiento académico se encuentra la falta de desarrollo de habilidades mentales por parte del estudiantado, las mismas que están relacionada con la capacidad de realizar procesos matemáticos que a su vez facilita el desarrollo del razonamiento lógico en la resolución de problemas matemáticos. Mediante la investigación realizada se reconoció la falta de aplicación de metodologías educativas acorde a las necesidades de los estudiantes por parte del docente para mantener una atención permanente y un deseo en aprender dentro del salón de clases, lógicamente se tiene en cuenta que no toda la responsabilidad de la educación está en manos del docente sino también en los distintos elementos que intervienen en el proceso educativo tales como el ambiente social como familiar, así como el elemento más controversial dentro de la educación, la tecnología, es decir, para estudiantes de noveno año de educación general básica no es conveniente la utilización de aparatos electrónicos como la calculadora para realizar cálculos elementales, lastimosamente en la actualidad el acogimiento del estudiantado a este aparato es en gran medida, para lo cual es necesario elaborar una guía didáctica en la que se muestre las ventajas de desarrollar las habilidades mentales y el razonamiento lógico para la resolución de problemas matemáticos y problemas cotidianos dentro y fuera del establecimiento educativo.
xiii
ABSTRACT
xiv
INTRODUCCIÓN
La finalidad de esta investigación en relación a educación, se refiere a la
transmisión de aprendizajes por medio de técnicas didácticas o innovación
en lo metodológico; es decir instrumentos que permita al estudiante
desempeñarse en el desarrollo de las habilidades mentales, razonamiento
lógico y su aplicación en los procesos matemáticos, para así mejorar su
rendimiento académico.
La presente investigación se está estructurada por seis capítulos que se
indican a continuación:
Capítulo I: Se plantea antecedentes, planteamiento y formulación del
problema, delimitación, objetivos y justificación.
Capítulo II: Se analiza las líneas teóricas las mismas que son la base
fundamental para la elaboración del presente trabajo.
Capítulo III: describe el marco metodológico del proceso de investigación,
métodos, técnicas e instrumentos así como la determinación de la
población.
Capítulo IV: Análisis e interpretación de resultados.
Capítulo V: Se plantean las conclusiones y recomendaciones, en base a
las interpretaciones de los resultados de las encuestas realizadas.
Capítulo VI: Propuesta alternativa. El presente trabajo reúne referencias
bibliográficas permitieron la recopilación de la información para la
elaboración de una guía didáctica para el desarrollo de habilidades
mentales y razonamiento lógico.
1
CAPÍTULO I
1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1. Antecedentes
Desde la creación de una institución educativa, el objetivo es formar
estudiantes innovadores y críticos.
En la actualidad los colegios enfrentan grandes problemas en la parte
académica de los estudiantes de los novenos años de educación básica en
el área de matemática en el desarrollo de habilidades mentales y
razonamiento lógico, por esto, varias investigaciones han recopilado
información concerniente a estrategias para desarrollar íntegramente las
habilidades mentales y el razonamiento lógico que son consideradas como
parte fundamental en la visión de una mejor educación. Dentro de la
concepción del pensamiento se consideran varios factores para mejorar la
adquisición de destrezas, habilidades y un desempeño normal en el
transcurso de su vida estudiantil.
Es por esta razón que se realizó la presente investigación en los novenos
años del colegio Universitario “UTN”, anexo a la Facultad de Educación,
Ciencia y Tecnología (FECYT).
2
Se observa la necesidad de realizar esta investigación porque es un
tema necesario y ventajoso en el proceso didáctico aplicado a los
estudiantes permitiéndoles el mejoramiento académico por medio de los
docentes del colegio Universitario
1.2 Planteamiento del problema
Dentro del proceso educativo el nivel de conocimiento adquiridos por
parte de los estudiantes está influenciado por varios factores, los mismos
que pueden ser provocados tanto por estudiante así como por el docente,
dentro de los elementos más comunes esta la desatención y falta de interés
en aprender por parte del estudiantado y por ende su deficiente desarrollo
de habilidades mentales y razonamiento lógico dentro del salón de clases,
ya sea por problemas acarreados desde su hogar o por influencias sociales
dentro y fuera de clases, así como el hecho de no entender o comprender
lo explicado por el docente.
Uno de los mayores problemas en la actualidad es el uso recurrente a
la calculadora, si bien este instrumento es de gran ayuda para realizar
cálculos en niveles posteriores o venideros en los novenos años de
educación general básica se convierte en un limitante al momento de
realizar cálculos mentales los cuales permiten el desarrollo de las
habilidades mentales en los estudiantes.
Dentro de otros ámbitos referentes al desenvolvimiento académico del
estudiantado se encuentra la incapacidad de los estudiantes en relacionar
la matemática con la vida cotidiana y por ende del docente en dar un sentido
lógico a los ejercicios o problemas matemáticos, es decir, se debe
relacionar los ejercicios matemáticos con problemas del entorno, de la
3
propia vivencia del discente con el fin de mejorar la relación de la
matemática con la vida diaria e ir erradicando el estereotipo común de todos
los estudiantes de pensar que la matemática no sirve para nada, también
con esto se logra que los estudiante encuentren un sentido lógico a lo que
hacen y por lo tanto lo hagan de la mejor forma posible.
Otras factores relevantes en el proceso pedagógico es el orden de
resolución de un ejercicio o problema matemático, teniendo en cuenta que
cada individuo piensa de diferente manera y es capaz de elegir su propio
modo de encontrar una solución a cualquier situación, por lo tanto se debe
encaminar a seguir un orden lógico con el fin de mejorar la capacidad de
entendimiento y sembrar una idea de facilidad al momento de realizar algún
calculo o problema.
1.3 Formulación del Problema
¿Cómo las metodologías utilizadas por el docente influye en el
desarrollo de las habilidades mentales, razonamiento lógico y su aplicación
en procesos matemáticos por parte de los estudiantes de los novenos años
de educación general básica del colegio universitario “UTN” en el periodo
académico 2013 - 2014?.
1.4 Delimitación
1.4.1 Unidades de observación.
La siguiente investigación se llevó a cabo en el colegio universitario
“UTN” anexo a la Universidad Técnica del Norte a docentes y estudiantes
de los novenos años de educación general básica.
4
1.4.2 Delimitación Espacial.
La investigación se la realizó en el colegio universitario “UTN” anexo a
la Universidad Técnica del Norte ubicado en el sector de los Huertos
Familiares: calles Luis Ulpiano de la Torre y Jesús Yerovi
1.4.3 Delimitación Temporal.
El trabajo de investigación se realizó en el periodo académico 2013-
2014.
1.5 Objetivos.
1.5.1 Objetivo General.
Indagar como las metodologías utilizadas por el docente influye en el
desarrollo de las habilidades mentales, razonamiento lógico y su aplicación
en procesos matemáticos por parte de los estudiantes de los novenos años
de educación general básica del colegio universitario “UTN” en el periodo
académico 2013 - 2014
1.5.2 Objetivos Específicos.
Identificar las diferentes metodologías aplicadas por el docente para el
desarrollo de las habilidades mentales, razonamiento lógico en los
estudiantes de los novenos años de educación general básica.
5
Establecer los procesos teóricos para el desarrollo de las habilidades
mentales y el razonamiento lógico.
Elaborar una guía didáctica para el desarrollo de las habilidades
mentales, razonamiento lógico en estudiantes de los novenos años de
educación general básica.
Difundir la guía didáctica para mejorar el proceso educativo en la
institución investigada.
1.6 Justificación.
La investigación se basó en la necesidad de comprender las
metodologías didácticas utilizadas para el desarrollo del razonamiento
lógico en los estudiantes de novenos años de educación general básica del
colegio Universitario “UTN”.
Se ve en la necesidad de investigar este tema en vista de conocer la
realidad que está ocurriendo dentro del proceso educativo en la institución,
el estudiante no tiene un buen razonamiento lógico matemático y los
docentes no tienen el suficiente material de apoyo para la enseñanza de
resolución de problemas.
Es importante determinar el entorno educativo en el cual se desarrolla el
estudiante, la metodología utilizada por el docente, el entorno social y
familiar en el cual se desenvuelve, entre otros, para indagar los posibles
6
problemas influyentes en relación al desarrollo de las habilidades mentales,
razonamiento lógico y su aplicación en problemas y ejercicios matemáticos.
Con el fin de mejorar el proceso educativo dentro de la institución se
realizó una guía metodológica para los estudiantes en el área de
matemática, la cual proporciona formas de mejorar este proceso y obtener
una factible solución en función al desarrollo de su capacidad de
razonamiento.
Obtener un buen aprendizaje en los estudiantes es fundamental para las
autoridades del colegio Universitario “UTN”. Por lo tanto la investigación
tendrá beneficiados directos que son los estudiantes de los novenos años
de educación general básica ya que el proyecto es de carácter pedagógico.
Factibilidad
La investigación es factible por cuanto permitió dar solución al problema
con la elaboración del material necesario, con un fin de mejorar el
rendimiento académico de los estudiantes gracias a la predisposición de
estudiantes y docentes en la recopilación de datos.
7
CAPÍTULO II
2 MARCO TEÓRICO
Fundamentación Teórica.
2.1. FUNDAMENTACIÓN FILOSOFICA
2.1.1 Teoría Humanista
“Todas las personas tienen un potencial de crecimiento y el fin de la
persona es el desarrollo de sus capacidades positivas”. (ROGERS, 201O).
El individuo tiene la capacidad de encontrar solución a todos los
problemas que se le presenten, en sí es la esencia del conocimiento ya que
el mismo tiene el potencial de desarrollar por medio de las situaciones que
surgen en el trascurso de su vida diaria los métodos y técnicas con las
cuales desenvolverse de la mejor manera y esto es relevante dentro del
aprendizaje, porque puede contribuir a desenvolverse en actividades
sociales e individuales para lograr una sociedad más justa y progresiva.
Todo individuo vive en un mundo continuamente cambiante de
experiencias, de las cuales él es el centro ya que logra independientemente
distinguir el mundo construido, es decir, que por sí solo puede tomar una
decisión adecuada, mediante el conocimiento, la reflexión y autorreflexión
para encontrar respuestas a interrogantes.
8
A lo largo de la vida, el ser humano da a conocer sus propios principios
e identidad contribuyendo en la educación y en tener una sociedad digna
ya que nunca se deja de aprender. Pocos seres humanos piensan que la
vida cotidiana es una educación como consecuencia todos los seres
humanos tienen una participación responsable en su vida social diaria.
2.2 FUNDAMENTACIÓN PSICOLÓGICA
2.2.1 Teoría Cognitiva
“El individuo obtiene nuevos conocimientos como resultado de la acción
sobre el medio, con los que va contribuyendo una interpretación dinámica
de la realidad, no la realidad misma, imposible de aprender”. (Elena
Antoranz Simón, 2010)
Esta teoría permite comprende la información, las experiencias y
actitudes de cada ser humano, en si el modelo cognitivo explica el
aprendizaje en función a las ideas de una persona y de forma como las
integra y organiza. Es decir el aprendizaje es un cambio permanente,
debido a la reorganización de experiencias pasadas con nueva información
que se va adquiriendo.
El objetivo de la teoría es promover un ser competente de analizar su
propio conocimiento, de manera que le permitan alcanzar nuevas
habilidades esto lo desarrolla desde la niñez hasta la adolescencia, la
estructura cognitiva que cada persona es aprende en sus distintos grados
de complejidad y es única, es decir el ser humano reacciona a través de
estímulos para ampliar su conocimiento y aprendizaje.
9
La teoría cognitiva se basan en los estudios sobre la inteligencia humana
y como estos proceso benefician en el rendimiento académico. La idea de
que el estudiante es el único ser responsable de la construcción de sus
conocimientos y el docente sea un ente de guía, que le prepare y motive
de forma que el estudiante pueda procesar y asimilar la información que
recibe.
2.3 FUNDAMENTACIÓN SOCIOLÓGICA
2.3.1 Teoría Socio Crítica
“Se centra en revelar inconsistencias y contradicciones de la comunidad
para la trasformación por medio de una acción comunicativa y la formación
redes humanas para realizar procesos de reflexión crítica creando espacios
para el debate, la negociación y el consenso”. (Martínez, 2001)
El ser humano es un ente social por excelencia, es por esto que la
sociología es una ciencia social que se refiere a analiza los métodos de la
vida en la sociedad, como por ejemplo saber dónde están los problemas en
la sociedad y la relación con el ser humano.
Hablar de Sociología es hablar de todo ser humano está en constante
cambio que por naturaleza tiene una integración que le permite socializarse
para un aprendizaje en su medio social, es decir en su propia cultura, forma
de vida y clase social.
10
El objetivo de la teoría Socio crítica es comprender las relaciones de los
hechos sociales por medio de la historia y proporcionar la influencia dentro
de la cultura, política y educación.
La educación no es hecho social cualquiera, lo conlleva a preguntar,
analizar y debatir dentro y fuera de una institución educativa ya que la
función de la educación dentro de un aula es la integración de cada persona
en la sociedad, así como el desarrollo de sus potencialidades individuales
la convierte en un hecho social central ya que comparte y es la persona que
toma decisiones propias para su vida diaria y el medio que lo rodea.
2.4 FUNDAMENTACIÓN PEDAGÓGICA
2.4.1 Teoría procesamiento de la información
“Considera a la gente que resuelve problemas como un sistema de
procesamiento de información que implica operadores (acciones físicas o
mentales).” (Cerezo, 30 jul. 2011)
La fundamentación pedagógica es aquella que se rigen a actividad
educativas como la de la formación de seres humanos auténticos y de
existir problemas sean perceptibles a dar soluciones al instante.
El objetivo primordial de la pedagogía es enseñar a analizar e interpretar
la información; es decir que el individuo procesa de forma clara y concreta
los conocimientos adquiridos. Es importante decir que la educación
desarrolla en la persona su propia autonomía como ser social y no es que
un docente transfiera conocimientos de manera mecánica a los
11
estudiantes, sino que el estudiante sea un ser activo capaz de investigar y
aportar sus propios conceptos sobre educación.
El importante estudiar la teoría procesamiento de la información ya que
la sociedad actual exige técnicas educativas modernas como por ejemplo
el docente que es el intérprete, traductor de procesos formativos, que lleva
a la asimilación de conceptos del mundo exterior como aporte del
aprendizaje de manera que posibilita las relaciones con la sociedad y la
vida misma con la tendencia de resolver problemas en base a su
información adquirida en el trascurso del tiempo.
2.4.2 Pensamiento
“El pensamiento constituye en el ser humano todo lo relacionado su
desarrollo intelectual, es decir, todo lo relacionado a su desempeño
intelectual y mental durante toda su vida”. (Andrés, 2010, pág. 5)
El pensamiento constituye, por así decirlo los fundamentos mediante los
cuales el ser humano construye su vida intelectual, todo el cúmulo de
conocimientos que va pasando a través de las generaciones, se puede
realizar debido a los pensamientos que todos los hombres, los más
notables de entre los que han vivido, han concebido y a su vez transmitido.
La vida cotidiana, la más ordinaria, la lleva a cabo el individuo, en gran
parte gracias a sus pensamientos, la formidable red de relaciones que el
ser humano va tejiendo a partir de los primeros núcleos, está constituida
por los pensamientos que los mismos han elaborado y continúan
elaborando. En efecto, el ser humano, gracias a su capacidad de razonar y
12
pensar, ha sido capaz de elaborar la ciencia o mejor si se quiere, el conjunto
de ciencias y los derivados de las misma, que en su conjunto conocemos
con el nombre de técnica.
2.4.2.1 Factores del pensamiento.
Se puede hablar de los factores del pensamiento en múltiples sentidos,
en efecto, si se quiere referir a aquello que el ser humano como individuo
hace, constituye, produce y piensa, es claro que se puede señalar múltiples
productores del pensamiento. Refiriéndose en primer lugar, a todo aquello
que rodea y que de alguna manera causa los pensamientos.
Si se viera otro lugar distinto especialmente del anterior se podría decir
que los sujetos de allí hablan de otras cosas, sin embargo, aunque se
expresan acerca de otras realidades, se puede dar cuenta de que todo se
expresa en una misma expresión. Se expresan mediante pensamientos, es
decir utilizando un tipo de expresión verbal semejante en todos los sujetos.
Estos pensamientos, no obstante que su contenido es diferente, la
estructura, el armazón, el molde de estos contenidos es el mismo, todos los
sujetos se expresan utilizando las misma estructuras del pensamiento. La
lógica se ocupa precisamente del estudio de estas estructuras mentales de
estas lógicas.
2.4.2.1.1 Factores externos del pensamiento:
Son todos los elementos, cosas, situaciones, fenómenos y sucesos
extra mentales que producen la materia de nuestros pensamientos.
2.4.2.1.2 Factores internos del pensamiento:
13
Esta actividad que realiza la mente humana se expresa mediante tres
actos conocidos como aprehensión simple, juicio y raciocinio.
2.4.2.1 Formas del pensamiento
Por forma del pensamiento se puede entender varias cosas. En efecto,
el pensamiento humano es tan rico que puede ser considerado desde
distintos puntos de vista y en función de ello hablar de las diferentes formas
que tiene el pensamiento humano, se nota que cada grupo de persona tiene
peculiar manera de pensar y esto es tan patente que casi se puede decir,
escuchando a una persona cuando habla, cuando expresa sus
pensamientos, a que grupo profesional pertenece.
El estudio que lleva a cabo la lingüística, por ejemplo, consiste entre
otras cosas, en analizar estos diferentes tipos de pensamientos, diferentes
formas de pensamiento que es fácil localizar a través de las culturas, a
través del tiempo, a través de las civilizaciones, a través de las diferentes
profesiones que practica el hombre.
La forma de pensamiento es la estructura que tiene el pensamiento sin
importar el contenido o materia del mismo: juicios y raciocinios sería una
forma de pensamiento.
2.4.3 Lógica.
14
“La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por
medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido o no”.
(Madelaine, 2009, pág. 12)
La palabra lógica significa razonamiento, fue utilizada por primera vez
por Aristóteles en su tratado de lógica (órganon) el cual es un monumento
que persigue a la razón humana y es tan así que su fundamento está
vigente aun en nuestros días y por esto es considerado como el padre de
la misma.
Por consiguiente podemos definir la lógica como la parte de la filosofía
que trata de las formas del pensamiento y de las leyes de las que se rigen
para llegar a la verdad, y es la ciencia que expone las leyes, métodos y
formas del conocimiento científico. Forma parte del saber filosófico porque
la misma representa a un modo del saber sobre el saber. Estudia las leyes
a las que ha de someterse nuestro razonamiento en la búsqueda de la
verdad y la misma constituye una ciencia normativa ya que constituye el
arte del dialogo. Tiene como principal misión conducir nuestro pensamiento
a la construcción de juicios organizados. Y es la encargada de llevar al
razonamiento a la verdad por medio del conocimiento aplicado
adecuadamente.
La lógica es una materia antigua que forma parte de la ciencia
denominada Filosofía. La Filosofía surgió en el siglo VI A.C, en la antigua
Grecia y proviene de dos vocablos: “PHILOS” que significa amor o amistad
y “SOPHIA” que significa sabiduría; entonces Filosofía significa amor o
amistad hacia el conocimiento, éste no lo poseen los sabios en forma
absoluta o definitiva, sino, aquel que "quiere saber", el que humildemente
aspira al conocimiento.
15
El conocimiento le compete solamente al ser humano, conociéndose así
mismo primero y luego conocer al mundo que le rodea. No sería posible la
vida sin el conocimiento.
“La lógica tiene una íntima relación con la ética y que su enfoque es que
el ser humano utilice los métodos y principios para distinguir lo que está
bien y mal mediante el razonamiento”. (Vega, 2008, pág. 132)
Principios y fundamentos.
Fuente: En la obra Fundamento de la Lógica
Elaborado por: Jhon Saráuz
Dentro de algunos aspectos de la lógica podemos apreciar fundamentos
que explican un acontecimiento y la veracidad del mismo y otros que dicen
que dicho acontecimiento puede ocurrir indeterminadas ocasiones sin que
ninguna sea igual a la anterior, y uno de los fundamentos más cuestionados
Pri
nci
pio
s De contradicción
porque una misma cosa no puede ser
y no ser a la vez
De tercio exclusoexplica que una cosa
es o no es
De la razón suficiente Sustenta que todo
tiene una razón de ser
16
a través de los tiempos que dice que todo tiene una razón de ser o todo
está bajo un planteamiento preestablecido.
Relación con otras ciencias.
La lógica tiene relación estrecha con todas las otras ciencias, por
ejemplo, se relaciona con la ontología o filosofía porque el conocimiento
persigue lo que es realidad, también se relaciona con la gnoseología la cual
es la teoría del conocimiento porque con ella puede conseguir lo punto de
vista crítico sobre las fuentes del conocimiento y señalar el criterio de la
verdad. Se vincula con la gramática, lingüística y filosofía.
En la Matemática para demostrar teoremas e inferir resultados
matemáticos que puedan ser aplicados en investigaciones, en la
computación para revisar programas.
Lógica y ciencia, estudia problemas y leyes del pensar formal, no define
lo verdadero de lo falso. Entre lo verdadero y lo falso, hay una competencia
del razonamiento aplicado y la experiencia. Esta lógica estudia las
condiciones del pensar científico y metodológico y las condiciones de
verdad de las teorías científicas, así como su alcance y límites.
Lógica y psicología: Existe una gran diferencia entre estas dos ciencias,
la relación que pueda existir seria que prescindirían del sujeto que elabora
su lógica y su psicología. La diferencia que existe entre ambas ciencias es
que la psicología estudia el sujeto pensante y sus procesos psicológicos
que ocurren en el estando también el proceso del pensar; mientras que la
lógica, como se ha descrito anteriormente, se ocupa del pensamiento
17
elaborado y formulado, ya que estudia los pensamientos mismos, los
analiza, los estructura y encadena el enlace que pueden tener dichos
pensamientos.
Lógica y teoría del conocimiento: Consiste en aplicar la lógica y la
filosofía del conocimiento para rodear la teoría del conocimiento, se ocupa
de la definición del saber y de los conocimientos relacionados entre estas
dos ciencias. Los tipos del conocimiento posibles y el grado con que las
fuentes y los criterios resultan ciertas, así como la relación exacta entre el
que conoce y el objeto conocido.
Lógica y gramática: Los lenguajes tienen lógica, porque la lógica y la
gramática trabajan ambiguamente para descifrar una oración, decidir si la
composición de la oración es correcta. Para esto hay que estudiar la lengua
y la lógica. La interacción que puede haber entre la lógica y la gramática es
como un romance entre las dos para que funcione bien un idioma.
2.4.4. Lógica Matemática
La construcción competencial del entendimiento de las matemáticas presume que las denominadas operaciones lógicas piagetianas y las habilidades de conteo atribuyen de forma significativa al desarrollo matemático, aun cuando algunos estudios dejen entrever que la aportación de la última habilidad es mayor que la atribuida a las operaciones lógicas. (CERDA Gamal, 2011, pág. 12)
La Lógica Matemática es la disciplina que trata de métodos de
razonamiento, en un nivel elemental la lógica es la encargada de
proporciona las reglas y técnicas para determinar si es o no válido un
argumento dado.
18
El razonamiento lógico se emplea en matemática para demostrar los
teoremas existentes, en otras ciencias tales como de la computación para
verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias físicas y
naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias
sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas.
Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar
cualquier actividad.
Conceptos básicos en Lógica Matemática
“Las inteligencias lógico-matemáticas han sido altamente valoradas en
la cultura occidental. (FERRÁNDIZ Carmen, 2008, pág. 15)
Durante años el desarrollo del conocimiento ha sido la pieza fundamental
de todo imperio, lógicamente este avance de debe dar por etas y teniendo
en cuenta muchos factores, entre los más relevantes se puede definir:
Proposición.- Es una sucesión finita de signos (palabras o términos) que
les puede calificar como verdaderos o como falsos, pero nunca como
ambos valores a la vez
Valor de verdad.- Es la propiedad fundamental de toda proposición de
ser verdadera o falsa, por ejemplo: la proposición, Quito es capital del
Ecuador, tiene como valor de verdad la verdad.
19
Conectiva lógica.- Llamada también conector, que es cualquier letra o
palabra tal como: y, pero, o, si y solo si, si…entonces, entre otros. Que
sirven para unir a las proposiciones entre sí, dándoles además un sentido
o significado lógico. Ejemplo: Está lloviendo y hace frío
Desarrollo del pensamiento lógico
“La lógica representa la base fundamental para el desarrollo de las
matemáticas, en tal virtud se puede afirmar que las matemáticas facilitan
el desarrollo del razonamiento lógico”. (Mariza., 2008, pág. 6)
El conocimiento se basa en la representación de la estructura del mundo
cotidiano y en su funcionamiento para lo cual es fundamental del desarrollo
de las matemáticas y estas a su vez deben seguir una estricta secuencia
lógica, por lo cual se puede afirmar que las matemáticas son el camino para
el desarrollo del pensamiento lógico, pero teniendo en cuenta que se deben
seguir pasos y cumplir reglas para dar por validas sus conclusiones
construidas a través de la matemática.
2.4.5 Razonamiento.
“Los procesos lógico matemáticos del pensamiento constituyen una
actividad simbólica de procesamiento de la información, las cuales se
ponen de manifiesto en la resolución de problemas ya sea de carácter
lógico así como de cualesquier tipo”. (BLANCO Méndez Rafael, 2009, pág.
15)
20
El termino razonamiento es el punto de separación entre el instinto y el
pensamiento, el instinto es la reacción de cualquier ser vivo. Por otro lado
el razonar nos hace analizar, y desarrollar un criterio propio, el razonar es
a su vez la separación entre un ser vivo y el hombre.
Por lo cual según Gardner, 1983, concederá que ambas inteligencias
juegan un papel fundamental en el desarrollo de la educación formal, por
ello las incluye dentro de su modelo de inteligencias múltiples. No obstante,
amplía su topología a ocho grandes áreas de conocimiento con el objetivo
de ofrecer un conjunto de herramientas a los docentes con el fin de ayudar
a evaluar y potencializar el desarrollo de las capacidades individuales.
Volviendo a la inteligencia lógico-matemática y según Piaget, 1969, se
destaca de acuerdo a la teoría de este autor (piagetiana) que el desarrollo
de la comprensión matemático empieza cuando el estudiante toma
contacto con el mundo de los objetivos e inicia sus primeras acciones con
los mismos, más tarde el estudiante pasa a un nivel más abstracto,
eliminando los referentes del mundo circundante.
Concepciones
Tradicional:
21
Históricamente, el razonamiento se ha entendido como una facultad
exclusiva de los seres humanos. El razonamiento solía ser lo aquello que
delimitaba las diferencias entre ser humano o no serlo. Esta postura era la
que mantenía Descartes y, hoy en día, la siguen manteniendo algunas
personas. Sin embargo, esto se cuestiona con la teoría de la evolución y, a
partir de aquí, algunos autores adoptan esta concepción.
Evolucionista:
Para el evolucionismo, el razonamiento es “una actividad inferencial más
que compartimos con algunos animales de nuestra escala evolutiva”. La
teoría de la evolución dice que no somos una especie al margen de las
otras especies. Se cuestiona la concepción tradicional. No obstante, hay
una limitación en el tipo de inferencias que pueden llevar a cabo los
animales.
Cognitiva:
Para esta concepción, el razonamiento es “aquella actividad que tiene
un objetivo preciso pero que no suele usar procedimientos rutinarios”
(Jonson-Laird.) Los procesos deductivos no se realizan, generalmente, de
forma automática. Es independiente del sustrato físico. Aunque animales y
humanos realicen inferencias, es independiente del sustrato físico, ya que
los ordenadores resuelven problemas de lógica, tanto inductivos como
deductivos.
2.4.5.1 Tipos de razonamientos.
La educación requiere ser visionada sobre el desarrollo social, para ello es importante que el ser humano viva conforme a su época y a los cambios que
22
la misma gesta, es criminal la separación entre la educación de una época con otra época. (Hortensia, 2008, pág. 19)
A veces se define el razonamiento como la capacidad de partir de ciertas
proposiciones o ideas previamente conocidas (premisas) y llegar a alguna
proposición nueva (conclusión) previamente no conocida de modo explícito.
Este tipo de definición se corresponde más o menos con el razonamiento
lógico deductivo. Sin embargo, se considera que en la habilidad humana
de argumentar, razonar y rebatir intervienen igualmente la imaginación, las
percepciones, los pensamientos y los sentimientos, siendo los
razonamientos de los seres humanos raramente de tipo lógico-deductivo.
En este sentido más amplio el razonamiento no sólo es cuestión de la
lógica, sino también de la filosofía, la psicología o la inteligencia artificial.
La habilidad humana del razonamiento se compone de diversos
componentes tales como:
Razonamiento lógico o quasi-lógico
Este tipo de razonamiento incluye el razonamiento deductivo y el
razonamiento inductivo.
Los razonamientos pueden ser validos o no válidos. En general, se
considera válido un razonamiento cuando sus premisas ofrecen soporte
suficiente a la conclusión. Pueden discutirse el significado, aunque cuando
se trata de un razonamiento no deductivo, el razonamiento es válido si la
verdad de las premisas hace poco probable la verdad de la conclusión. En
el caso del razonamiento deductivo, el razonamiento es válido cuando la
verdad de las premisas implica necesariamente la veracidad de las
conclusiones.
23
Los razonamientos no válidos que, sin embargo, parecen serlo, se
denominan falacias.
El razonamiento nos permite ampliar nuestros conocimientos sin tener
que apelar a la experiencia. También sirve para justificar o aportar razones
en favor de lo que ocurre o creemos conocer. En algunos casos, como en
matemáticas, el razonamiento nos permite demostrar lo que sabemos para
lo cual recurrimos al razonamiento cuantitativo.
Razonamiento no-lógico.
Tiene que ver con el uso e interpretación del lenguaje, la lógica difusa,
los sentimientos, entre otras.
El razonamiento no lógico o informal, el cual no solo se basa en
premisas con una única alternativa correcta, sino que es más amplio en
cuanto a soluciones, basándose en la experiencia y en el contexto. Algunos
autores llaman a este tipo de razonamiento argumentación.
En este razonamiento se generaliza para todos los elementos de un
conjunto la propiedad observada en un número finito de casos. Ahora bien,
la verdad de las premisas no convierte en verdadera la conclusión, ya que
en cualquier momento podría aparecer una excepción. De ahí que la
conclusión de un razonamiento inductivo sólo pueda considerarse probable
y, de hecho, la información que obtenemos por medio de esta modalidad
24
de razonamiento es siempre una información incierta y discutible. El
razonamiento sólo es una síntesis incompleta de todas las premisas.
En un razonamiento inductivo válido, por tanto, es posible afirmar las
premisas y, simultáneamente, negar la conclusión sin contradecirse.
Acertar en la conclusión será una cuestión de probabilidades.
Razonamiento cuantitativo.
Relacionado con la habilidad de comparar, comprender y sacar
conclusiones sobre cantidades, conservación de la cantidad, entre otras.
Razonamiento inductivo.
En este tipo de razonamiento el proceso racional parte de lo particular y
avanza hacia lo general o universal. El punto de partida puede ser completo
o incompleto, aunque lo más probable es que sea incompleto. Es el caso
general de las ciencias que proceden a partir de la observación o la
experimentación, en que se dispone de un número limitado de casos, de
los cuales se extrae una conclusión general.
Dentro del razonamiento inductivo se distinguen dos tipos:
Completo: se acerca a un razonamiento deductivo porque la conclusión
no aporta más información que la ya dada por las premisas
25
Incompleto: la conclusión va más allá de los datos que dan las premisas.
A mayor datos mayor probabilidad. La verdad de las premisas no garantiza
la verdad de la conclusión.
Razonamiento deductivo.
En el cual el proceso racional parte de lo universal y lo refiere a lo
particular; por lo cual se obtiene una conclusión forzosa.
El pensamiento deductivo parte de categorías generales para hacer
afirmaciones sobre casos particulares.
En un razonamiento deductivo valido, la conclusión debe poder derivarse
necesariamente de las premisas aplicando a estas algunas reglas de
inferencia según las reglas de transformación de un sistema deductivo o
calculo lógico.
Al ser estas reglas la aplicación de una ley lógica o tautología y, por lo
tanto una verdad necesaria y universal, al ser aplicada a las premisas como
caso concreto permite considerar la inferencia de la conclusión como un
caso del razonamiento deductivo.
Dicho de otro modo, la conjunción o producto de todas las premisas
cuando es verdadero, es decir, todas y cada una de las premisas son
verdaderas, entonces se implica la verdad de la conclusión.
26
Por medio de un razonamiento de estas características se concede la
máxima solides a la conclusión, las premisas implican lógicamente la
conclusión. Y la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas.
Razonamiento analógico.
En el cual el proceso racional parte de lo particular y asimismo llega a lo
particular en base a la extensión de las cualidades de alguna propiedad
común, hacia otra similar.
Esta modalidad de razonamiento no deductivo que consiste en obtener
una conclusión a partir de premisas en la que se establece una
comparación o analogía entre elementos o conjunto de elementos distintos.
Este tipo de razonamiento es de comparación o semejanza pues traslada
las características de un objeto ya conocido a otro que pretendemos
conocer y le es semejante, parecido o análogo, esto quiere decir que la
analogía lógica no nos lleva de lo particular a lo universal como la inducción,
ni nos baja de lo universal a lo particular como la deducción, si no que parte
de juicios anteriores ya conocidos a otros que pretendemos conocer,
manteniendo la misma particularidad.
Razonamiento Matemático.
Se suele incluir de ordinario entre los razonamientos deductivos. El
empirismo matemático pretende que todo saber matemático viene de la
experiencia; que en su origen todos los conocimientos de la matemática
resultan de inducciones. La opinión más admitida reconoce, en las
27
verdades matemáticas, primitivas intuiciones ideales inmediatas, de las
tales el razonamiento desprende otras cada vez más complicadas. (Texto
referenciado de la web).
Según los criterios anteriormente citados y estudiados el razonamiento
se considera como el punto separación entre el instinto y el pensamiento,
es el proceso de análisis con el fin de desarrollar un criterio propio de lo
concebido, el razonamiento es la separación del ser pensante de los
animales, permite discernir lo falso de lo probablemente verdadero ya que
no importa la veracidad de una circunstancia en cualquier momento puede
surgir alguna incongruencia.
2.4.6 Estrategias Metodológicas.
“Las estrategias metodológicas no están sometidas a un tiempo explicito
dentro del aula para su aplicación sino que es posible aplicarlas tanto dentro
como fuera de las horas de clase”. (DIAZ Barriga, 2010, pág. 56)
Las estrategias metodológicas dentro del proceso educativo deben ser
procesos sistemáticos y secuenciales que utilizan gran variedad de
recursos para optimizar el interaprendizaje entre docente y estudiante con
un fin de desarrollar en los mismos capacidades de razonamiento que a su
vez facilita el camino del docente en su afán de lograr una armonía de
relación entre adquisición, procesamiento y la utilización de la información
para la producción de nuevos conocimientos para su aplicación en las
circunstancias que conlleva la vida diaria y promover un mejor
entendimiento dentro del proceso educativo.
28
Dentro del proceso educativo se debe tener en cuenta diversos factores
al momento de tomar decisiones tales como la de introducir competencias
en los currículos, se debe tener en cuenta las mismas competencias, es
decir, su influencia directa, las ventajas así como desventajas en la
agregación de dichos conocimientos, se debe tomar en cuenta las
necesidades de los estudiantes dentro y fuera del salón de clases la
secuencia de contenido y recursos que tanto el docente como estudiante
posean para definir si es aconsejable una intervención en el planteamiento
del currículo.
2.4.7 Métodos y técnicas de Enseñanza.
Los métodos y técnicas tienen por objeto hacer más eficiente la dirección del aprendizaje. Gracias a ellos, pueden ser elaborados los conocimientos, adquiridas las habilidades e incorporados con un menor esfuerzo los ideales y actitudes a sus alumnos, propone distintos tipos de métodos y técnicas dando énfasis en el comportamiento y forma de aprender. (Lic. MIJANGOS Robles Andrea del Carmen, 2008, pág. 6)
Los método de enseñanza que se aplican dentro del salón de clases
deben estar sometidos a las necesidades y potencialidades de cada
estudiante dependiendo del nivel escolar en el cual este se encuentre, es
decir, existen diferentes métodos de enseñanza dependiendo del nivel de
conocimiento que el estudiante posea y en función de los mismos el
desempeño que se espera.
La educación es el producto de la interrelación entre diversos factores
que provienen no solo de los establecimientos educativos sino también de
ambientes tanto sociales, ambientales y familiares que afectan
directamente el desarrollo íntegro del estudiantado, es decir, los
estudiantes pueden interactuar dentro y fuera de una institución educativa
lo cual altera de diferentes maneras la necesidad de aprender de mejor
manera el conocimiento adquirido, las interacciones más trascendentes
29
dentro de dicho proceso son: competir entre ellos para ver quien es mejor
en algo, trabajar por cuenta propia y de forma individual y trabajar de forma
cooperativa teniendo en cuenta la participación activa de cada miembro del
grupo.
Importancia.
Los Métodos y técnicas que enseñanza constituyen recursos necesarios
de la enseñanza, son los vehículos de realización ordenada, metódica y
adecuada de la misma. Los métodos y técnicas tienen por objeto hacer más
eficiente la dirección del aprendizaje. Gracias a ellos, pueden ser
elaborados los conocimientos, adquiridas las habilidades e incorporados
con menor esfuerzo los ideales y actitudes que el establecimiento
educativo pretende proporcionar a sus estudiantes.
Método.
“Los métodos generalmente se diversifican, adaptándolas a las escuelas
de enseñanza primaria y secundaria, así, se disponen de métodos de
enseñanza adecuados”. (Ma., 2006, pág. 5)
Es el planeamiento general de la acción de acuerdo con un criterio
determinado y teniendo en vista determinadas metas, en otras palabras, es
el proceso sistemático y ordenado que tiene en cuenta las diversas
circunstancias de un evento para encontrar el mejor camino para obtener
un resultado esperado.
Método de enseñanza.
30
Es el conjunto de momentos y técnicas lógicamente coordinados para
dirigir el aprendizaje del alumno hacia determinados objetivos. El método
es quien da sentido de unidad a todos los pasos de la enseñanza y del
aprendizaje y como principal en lo que concierne a la presentación de la
materia y a la elaboración de la misma.
Método didáctico.
“La didáctica proporciona recursos, métodos y técnicas al docente para
el óptimo desempeño del proceso de interaprendizaje mediante la
aplicación de tres fundamentales elementos que son: planificar, ejecutar y
evaluar”. (A., 2012, pág. 17)
Es el conjunto lógico y unitario de los procedimientos didácticos que
tienden a dirigir el aprendizaje, incluyendo en él desde la presentación y
elaboración de la materia hasta la verificación y competente rectificación
del aprendizaje.
Método de enseñanza individualizada y socializada.
Los métodos de enseñanza actualmente pueden clasificarse en dos
grupos: los de enseñanza individualizada y los de enseñanza socializada.
Técnica de enseñanza.
31
Tiene un significado que se refiere a la manera de utilizar los recursos
didácticos para una efectivizar el aprendizaje en el educando. Concierne
al modo de actuar, objetivamente, para alcanzar una meta.
2.4.8 Didáctica.
Concepto.
“La didáctica es el conjunto sistemático de principios, normas, recursos
y procedimientos específicos que todo docente lo aplica como proceso
educativo”. (MELGAREJO Herrera Doris, 2008, pág. 3)
La didáctica es la disciplina pedagógica de carácter práctico y normativo
que tiene por objeto específico la técnica de la enseñanza, esto es, la
manera coherente y sustentada de dirigir, orientar, acompañar eficazmente
a los dicentes en el proceso de interaprendizaje, respetando sus
características, intereses y saberes de cada uno de ellos. Es el conjunto
sistemático de principios, normas, recursos y procedimientos específicos
que todo docente debe conocer y saber aplicar para orientar con seguridad
a sus estudiantes en el proceso de interaprendizaje de las materias y/o en
la adquisición de habilidades y destrezas, teniendo a la vista las
capacidades a desarrollar en ellos.
La didáctica se concibe como el conjunto de técnicas aplicadas en el
proceso de interaprendizaje basado o sometido al conjunto sistemático de
principios, normas, recursos y procedimientos específicos que todo docente
debe conocer y aplicar para orientar con seguridad a sus estudiantes
durante todo el proceso de formación educacional que el individuo adquiera
en el transcurso de su vida.
32
A criterio de Gastón Mialaret, la Didáctica pertenece al grupo de las
Ciencias de la Educación, y dentro de estas se encuentra ubicada en la
categoría de las ciencias que estudian la situación educativa y los hechos
educativos.
El término es originario del griego Didaskein, que significa “el acto de
enseñar, instruir o explicar”.
La Didáctica se conceptualiza como “la rama de la pedagogía que
estudia los sistemas, métodos, técnicas y recursos prácticos de enseñanza
destinados a plasmar en la realidad las teorías pedagógicas”. Esto significa
que la Didáctica es una disciplina práctica de carácter pedagógico, por lo
cual constituye la principal herramienta que el docente utiliza en el proceso
de interaprendizaje.
En este proceso en cuestión está referido a la transmisión y recepción
de conocimientos y conformado por tres elementos: la materia, el
estudiante y el docente.
Con respecto a su finalidad, la Didáctica presenta dos tipos:
Finalidad teórica. Con esta, la Didáctica trata de adquirir y aumentar el
conocimiento sobre el proceso de interaprendizaje, que es su objeto de
estudio; es decir, esta finalidad trata de describir, explicar o interpretar
mejor tal proceso.
33
Finalidad práctica. Esta trata de regular y dirigir en la práctica el proceso
de interaprendizaje. Consiste en elaborar propuestas de acción e intervenir
para transformar la realidad.
En su interior, la Didáctica se clasifica en Didáctica general, Didáctica
diferencial y Didáctica especial. La primera se ocupa, entre otros aspectos,
de los principios y normas generales para dirigir los procesos de
interaprendizaje hacia los objetivos educativos; la segunda se aplica
específicamente a situaciones variadas de edad o características de los
educandos; y la última explica las normas didácticas generales aplicadas
al campo concreto de cada materia de estudio, es decir, estudia el
interaprendizaje de los contenidos específicos de alguna ciencia o materia
en particular.
Al igual que otras disciplinas, la Didáctica también está estrechamente
relacionada con otras ciencias de la educación, como la Historia, Lógica, la
matemática entre otras. Aplicando sistemas, métodos, técnicas y recursos
prácticos destinados a la realidad de la enseñanza como la principal
herramienta de transmisión y recepción de conocimientos, conformado por
tres elementos: el conocimiento, el discente y el docente.
Didáctica de la matemática.
“Para organizar los programas de formación de docentes, es necesario
contar con modelos que describan los tipos de conocimientos que los
docentes de matemáticas deben poner en juego para favorecer el
aprendizaje”. (FONT Vicenc, 2010, pág. 32)
34
Dentro del proceso educativo es fundamental la organización de los
contenidos a tratarse dentro del salón de clases con el fin de evitar posibles
problemas posteriores en relación al desempeño educativo, también esto
favorece al docente en la aplicación de las metodologías que utiliza dentro
de la formación estudiantil y a un desarrollo óptimo de las potencialidades
estudiantiles.
El sujeto es la persona que aprende, conoce la realidad del conocimiento
mediante la vivencia de experiencias, el objeto es todo aquello que el sujeto
es capaz de aprender, la operación es en sí el acto de aprender y la
representación es la visualización del problema en imágenes mentales.
La concepción de la didáctica de la matemática como una disciplina se
concibe como el conjunto de saberes organizados, cuyo objeto de estudio
es la relación entre los saberes y su enseñanza.
“El aprendizaje es una interrelación entre algunos factores o elementos
que lo hacen posible, dichos elementos son el sujeto, el objeto, la operación
y la representación”. (NEGRETE, 2010, pág. 55)
En un breve recorrido histórico se puede ver distintas motivaciones para
la enseñanza: Villella (1996) recuerda que en Egipto y Mesopotamia se
enseñaba con un fin meramente utilitario: dividir cosechas, repartir campos,
entre otras; en Grecia su carácter era formativo, cultivador del
razonamiento, complementándose con el fin instrumental en tanto
desarrollo de la inteligencia y camino de búsqueda de la verdad. Hoy se
puede hablar de tres fines: formativo, instrumental y social.
35
La didáctica de la matemática es una de las disciplinas que ordena,
sistematiza y utiliza los conocimientos y saberes adquiridos a través de los
tiempos para optimizar el proceso de interaprendizaje y contribuye de mejor
manera a la difusión de conocimientos de forma ordenada y precisa.
2.4.8.1 Estrategias de Enseñanza.
“La selección de tareas para desarrollar la actividad del docente dentro
del salón de clases es uno de los cometidos profesionales que tiene mayor
impacto en el aprendizaje del estudiantado”. (María, 2011, pág. 30)
La mejor estrategia que se puede aplicar dentro del ambiente escolar es
la motivación y la confianza del estudiante la misma que se logra atreves
de una preparación y programación de los contenidos y actividades a
desarrollar en clases, es decir, con un amplio, detallado y estudiado
planeamiento de actividades a ejecutar.
Objetivos.
“Enunciados que establecen condiciones, tipo de actividad y forma de
evaluación del aprendizaje del alumno, es importante mencionar que los
objetivos deben estar orientados hacia el estudiante, enfatizando lo que se
espera que el estudiante
Resúmenes.
36
Es la Síntesis y abstracción de la información relevante de un discurso
oral o escrito. Enfatizan conceptos clave, principios y argumento central. En
pocas palabras, un resumen es una anotación textual que se realiza con
nuestras propias palabras.
Ilustraciones.
Es una actividad que ofrece la posibilidad de explorar la realidad local
para identificar y concientizar sobre temas que nos afectan hoy en día.
Favorece la formulación de preguntas clave sobre dichos temas y desafía
las propias percepciones e imágenes que se tienen.
Las ilustraciones son “representaciones visuales de objetos o
situaciones sobre una teoría o tema específico (fotografías, dibujos,
dramatizaciones, entre otros)
2.4.8.2 Estrategias de Aprendizaje.
“Enseñar es instruir y no debe ser confundido como la mera transmisión
de conocimiento sino como la aprensión de experiencias y relaciones”.
(Bladimir, 2008, pág. 12)
Aprendizaje basado en problemas.
37
Este método está fundamentado en un enfoque constructivista donde el
estudiante parte de una experiencia, abstrae los conocimientos y puede
aplicarlos a otra situación similar.
Los docentes consideran que el aprendizaje basado en problemas une
muchas estrategias que ellos han utilizado dentro del salón de clases
tradicional, como actividades para resolver problemas, aprendizaje
colaborativo, ejercicios de pensamiento crítico, estudio independiente, y las
contextualizan de manera que el estudiante las encuentra significativas
Las actividades basadas en solución de problemas, inducen a que el
estudiante adquiera responsabilidad, reflexión, colaboración y permiten
analizar situaciones.
La solución de problemas es una oportunidad que se le da al estudiante
de tener un programa organizado y sistemático en el que se enseña la
capacidad crítica y el pensamiento creativo.
Organización.
La finalidad es clasificar la organización y posteriormente jerarquizar y
organizar la misma. Se realiza por medio de redes semánticas y uso de
estructuras textuales.
Elaboración.
38
Para obtener un aprendizaje significativo, mediante un proceso simple,
se crean rimas, imágenes mentales, elaboración de parafraseo y de
palabras clave.
La elaboración verbal es especialmente útil cuando se requiere
aprender palabras que han de usarse asociadas a un contexto o pares de
palabras que han de ir asociadas.
Una de las mejores maneras de concebir conocimiento es a través de
la experiencia en la cual el estudiante debe tener presente problemas que
requiere la abstracción, la clasificación y la organización de la información
que tenga a su alcance para una posterior clasificación y relación con
problemas venideros o posteriores.
2.2 Posicionamiento Personal.
La investigación, se alinea en la fundamentación pedagógica,
basándose en la teoría cognitiva por tal razón, el ser humano aprende de
una forma sistemática de acuerdo al desarrollo intelectual y físico. La
mayoría de las personas desarrollan muchas formas de aprender, es por
esto, que el docente debe orientar a crear en cada uno de los estudiantes
una necesidad de mejorar su conocimiento.
Además el docente debe ser dinámico, participativo, humano para
facilitar la comprensión, hacia sus educandos, aplicando métodos y
técnicas adecuadas, para lograr mejorar las destrezas y habilidades,
alcanzando un aprendizaje significativo.
39
Desde una perspectiva pedagógica, el desarrollo de las habilidades
mentales y de razonamiento lógico se vincula con la formación de cada uno
de los individuos como seres pensantes y reflexivos. un camino de
procedimientos, formas y alternativas que el docente pone en marcha para
optimizar el proceso de interaprendizaje es necesario la cooperación entre
el estudiante y su docente con el fin perfeccionar el conocimiento y que
permita desarrollar sus capacidades y potencialidades.
Por esta razón el docente debe contar con material que le permita lograr
un aprendizaje eficaz y eficiente en sus estudiantes.
2.3 Glosario de término
Analogía: comparación o relación entre varias razones o conceptos.
Apelar: (de apelación) es un recurso procesal a través del cual se busca
que un tribunal superior enmiende conforme a Derecho la resolución del
inferior.
Aprehensión: Detención o captura de una persona o cosa. Asimilación
inmediata de ideas o conocimientos:
Armazón: armadura, pieza o conjunto de piezas.
Coherencia: propiedad de los textos bien formados que permite
concebirlos como entidades unitarias
Concepción: Conjunto de ideas que se tienen sobre alguna cosa, opinión.
Formación de una cosa o una idea en la imaginación o el pensamiento:
40
Condiscípulos: Persona que estudia o ha estudiado junto con otras bajo
la dirección de un mismo maestro.
Conectiva: Se aplica a la palabra que sirve para conectar dos partes de
una oración.
Conjunción: Unión de elementos distintos que forman un conjunto lógico,
coherente o armonioso.
Cúmulo: Coincidencia en tiempo y lugar de gran número de cosas,
especialmente de hechos, circunstancias, ideas o sentimientos.
Difusa: Que es poco claro, exacto o concreto.
Discernir: Distinguir y diferenciar por medio de los sentidos o de la
inteligencia una cosa de otra u otras, especialmente el bien del mal.
Discente: estudiante.
Divergentes: Que tiende a no coincidir con las ideas y tendencias sociales,
culturales o económicas de otro u otros.
Espontaneidad: Calidad de espontáneo. Expresión natural y fácil del
pensamiento
Explícito: Que es exacto y claro, no solamente insinuado o dado por
sabido.
Factor: Elemento o circunstancia que contribuye, junto con otras cosas, a
producir un resultado.
41
Falacias: Engaño o falsedad.
Gnoseología: (epistemología). Estudio de los métodos y fundamentos del
conocimiento científico
Hincapié: Se usa en la expresión hacer hincapié, que significa “dar
importancia a una cosa, destacándola o insistiendo en ella”
Inciso: Se aplica al estilo del escritor que se articula con frases breves e
inconexas o sueltas.
Inferencias: Acción de inferir (sacar una conclusión).
Metódica: Que se hace con método y orden.
Ontología: Parte de la metafísica que estudia el concepto del ser y sus
propiedades.
Parafraseo: Explicar o comentar un texto para aclarar su significado.
Premisas: Prevenido o enviado con anticipación.
Raciocinio: Facultad de pensar o razonar.
Recíproco: Se aplica a la oración o verbo que expresan una acción que es
intercambiada entre dos o más sujetos y que recae sobre todos ellos, y a
los pronombres que indican dicha correspondencia.
Rutinarios: Que se hace por rutina.
Semánticas: Relativo al significado de las palabras o de las oraciones.
42
Sustrato: Lengua invadida y sustituida por otra, a la que lega ciertos rasgos
fonéticos o gramaticales.
Tautología: Repetición de un mismo pensamiento o concepto expresado
con distintas palabras o añadiendo otras innecesarias.
2.4 Interrogantes de investigación.
¿Cuál es la metodología utilizada por el docente en el desarrollo de las
habilidades mentales y razonamiento lógico en sus estudiantes?
¿Cuáles son los procesos utilizados en el desarrollo de las habilidades
mentales y razonamiento lógico que aplica el docente dentro del salón de
clases?
¿La implementación de un material didáctico sería la más indicada para
desarrollar las habilidades mentales y el razonamiento lógico en los
estudiantes?
¿La aplicación de nuevas alternativas de cambio en el proceso para
solucionar problemas del razonamiento lógico ayudara al rendimiento
académico?
43
2.5 Matriz Categorial.
Tabla 1: Matriz Categorial.
CATEGORÍA CONCEPTO DIMENSIÓN INDICADOR
Habilidades
mentales/
Razonamiento
Habilidad es el talento, aptitud para desarrollar
alguna tarea, para cumplir con una meta específica.
Razonamiento es la facultad que permite resolver
problemas, extraer conclusiones y aprender de
manera consciente de los hechos, estableciendo
conexiones causales y lógicas.
Desarrollo,
Búsqueda y
solución de
problemas.
Mentales
Elementales
Avanzados
Ejemplifica
Reflexión
Innovación
Procesos
Es un conjunto de actividades o eventos
coordinados y organizados que se realizan,
suceden simultáneamente bajo ciertas
circunstancias en un determinado lapso de tiempo.
Aprendizaje
Material didáctico
innovador
Interactuar
Participación
44
CAPÍTULO III
3.- METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
3.1 Tipo de Investigación.
3.1.1 Investigación de Campo.
Permitió la elaboración del trabajo por medio de la recolección de
información directamente de la realidad educativa en el lugar indicado, en
el cual se realizó la investigación teniendo la facilidad de controlar las
variables a dar solución a la problemática
3.1.2 Investigación documental o bibliográfica.
Permitió el estudio y recopilación de datos de fuentes bibliográficas y
documental ya que la misma proporcionó la información necesaria para
realizar el proyecto, teniendo como bases fundamentales la recolección de
información de libros, revistas, trabajos escritos, así como información
proveniente del internet.
3.1.3 Investigación Descriptiva
Facilito la descripción y comprensión de los hechos encontrados
como resultado de la encuesta aplicada en la institución mediante la
recolección detallada de los datos obtenidos para su posterior tabulación y
análisis.
45
3.2 MÉTODOS
3.2.1 Método Inductivo.- Permitió detectar la situación problemática en
cada estudiante así como facilito la descripción de los hechos y
acontecimientos de carácter particular con la finalidad de crear
generalidades para utilizarlos como referente en la investigación.
3.2.2. Método Deductivo.- Facilito partir de problemas generales
encontrados dentro del salón de clases en relación a las metodologías
aplicadas por el docente para el desarrollo de las habilidades mentales y
razonamiento lógico y encontrar los factores relacionados con el fin de
encontrar la mejor alternativa de solución.
3.2.3 Método estadístico.- Este método se utilizó para el análisis de
datos obtenidos de las encuestas en relación al problema planteado por
medio de la representación de gráficos de estos resultados.
3.3 TÉCNICAS E INSTRUMENTOS
3.3.1 Encuesta.- Se aplicó a los estudiantes y docentes de novenos
años de educación general básica con la finalidad de obtener información
de la metodología en el desarrollo de razonamiento lógico.
3.4. Población.
Se investigó a 208 estudiantes y 4 docentes del Colegio Universitario
“UTN anexo a la Universidad Técnica del Norte en el cantón Ibarra,
provincia de Imbabura.
46
Tabla 2 población
Colegio Curso Paralelo N° de estudiantes
Colegio
Universitario UTN
Noveno
A 53
B 48
C 55
D 52
TOTAL 4 208
Total de Población
Establecimiento Estudiantes Docentes
Colegio Universitario
“UTN”
208 Estudiantes de
novenos años
4 docentes del
establecimiento educativo
Mediante la siguiente formula se calculó la muestra de evaluación para
la investigación.
3.4.- Muestra:
𝑛 =𝑃𝑄 ∙ 𝑁
(𝑁 − 1)𝐸2
𝐾2 + 𝑃𝑄
n = Tamaño de la muestra.
PQ = Varianza de la población, valor constante = 0.25
N = Población / Universo
(N-l) = Corrección geométrica, para muestras grandes >30
E = Margen de error estadísticamente aceptable:
0.02 = 2% (mínimo)
47
0.3 = 30% (máximo)
0.05 = 5% (recomendado. en educación.)
K = Coeficiente de corrección de error, valor constante = 2
𝑛 =𝑃𝑄 ∙ 𝑁
(𝑁 − 1)𝐸2
𝐾2 + 𝑃𝑄
𝑛 =0,25 ∙ 203
(203 − 1)(0,05)2
(2)2 + 0,25
𝑛 =50,75
0,37625
𝑛 = 𝟏𝟑𝟓
Mediante la siguiente formula se calculó la muestra estratificada de
evaluación para la investigación.
Muestra Estratificada
𝑚 =𝑛
𝑁∙ 𝐸
m = Fracción Muestral
n = Muestra
N = Población/ universo
E = Estrato (Población de cada establecimiento)
Tabla 3 Muestra Estratificada
Años de EGB Estudiantes Fórmula Total
9no “A” 53 𝑀 =135
203× 53 35
9no “B” 48 𝑀 =135
203× 48 32
9no “C” 50 𝑀 =135
203× 50 33
9no “D” 52 𝑀 =135
203× 52 35
TOTAL 208 135
48
CAPÍTULO IV
4.- ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
Luego de haber realizado las encuestas a la los estudiantes y
docentes de los novenos años de educación general básica del colegio
Universitario “UTN”, se ha logrado obtener información necesaria para la
realización del proyecto.
La investigación tuvo como objetivo analizar cada una de las respuestas,
tanto en forma cualitativa como cuantitativa, utilizando gráficas y cuadros,
los mismos que detallan los porcentajes exactos de las respuestas
obtenidas.
Para la recopilación de la información se aplicó una encuesta.
Una vez que se obtuvo los resultados en frecuencias, se procedió a
realizar el cálculo para trasformar las frecuencias en porcentajes mediante
fórmula de frecuencias.
Los porcentajes obtenidos se ingresaron a la hoja de cálculo Excel;
luego, en la barra de menú la opción insertar, en el grupo ilustraciones, se
eligió gráficos circulares.
Los gráficos circulares sirvieron a la investigadora para el análisis de
estos resultados, los mismos que se presentan a continuación
49
INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS SOBRE LAS ENCUESTAS
APLICADAS A LOS 4 DOCENTES DEL ÁREA DE MATEMÁTICA
COLEGIO UNIVERSITARIO “UTN”.
1. ¿Usted realiza la clase de matemáticas llamativa y entretenida utilizando material didáctico adecuado dependiendo del tema de matemáticas a tratar?
Tabla N° 1 Docentes
VARIABLES F %
Siempre -
Casi siempre 2 50,00
A veces 2 50,00
Nunca -
TOTAL 4 100
Gráfico Estadístico N° 1 Docentes
Fuente: Docentes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Según datos obtenidos en la encuesta realizada a los docentes de
matemática, se observa que realizan en baja medida una clase entretenida
o llamativa lo cual conlleva a un problema en el rendimiento académico de
los estudiantes que proveniente desde la metodología utilizada por el
docente en el desarrollo íntegro de las habilidades y capacidades de cada
uno de sus discentes.
50%50%
Respuesta
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
50
2. ¿Durante las clases usted y el estudiante interactúan activamente para un mejor entendimiento de la materia estudiada?
Tabla N° 2 Docentes
VARIABLES F %
Siempre -
Casi siempre 1 25,00
A veces 3 75,00
Nunca -
TOTAL 4 100
Gráfico Estadístico N° 2 Docentes
Fuente: Docentes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Según los datos obtenidos de la encuesta, la interacción del docente
hacia el estudiante es muy pequeña debido a situaciones de tiempo de
clases en el salón o por el simple hecho de cumplir con la planificación
teniendo como único perjudicado al estudiantado, por lo tanto se debe
mejorar el proceso educativo en el salón de clases mediante la interacción
optima entre docente y discente con el fin de mejorar el desarrollo
académico idóneo en los educandos.
25%
75%
Respuestas
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
51
3. ¿Usted utiliza diferentes formas de enseñar dependiendo del tema de matemáticas a tratar?
Tabla N° 3 Docentes
VARIABLES F %
Siempre -
Casi siempre 1 25,00
A veces 3 75,00
Nunca -
TOTAL 4 100
Gráfico Estadístico N° 3 Docentes
Fuente: Docentes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
La mayoría de docentes encuestados utiliza diferentes formas de
impartir su clase, es decir, utilizan diferente metodología en cada clase para
que el estudiante tenga mayor comprensión o aumente su intención de
aprender la materia, ya que siempre se debe tener en cuenta que no todos
los estudiantes aprenden de igual forma así que se debe buscar
mecanismos diferentes para intentar llegar con el conocimiento a cada
estudiante.
25%
75%
Respuestas
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
52
4. ¿Los estudiantes tienen la confianza de preguntarle cuestiones que no comprenden del tema abordado?
Tabla N° 4 Docentes
VARIABLES F %
Siempre -
Casi siempre -
A veces 3 75,00
Nunca 1 25,00
TOTAL 4 100
Gráfico Estadístico N° 4 Docentes
Fuente: Docentes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
De los docentes encuestados una parte mayoritaria manifiesta que los
estudiantes de los novenos años, no tienen la confianza necesaria para
preguntar cuestiones o temas no comprendidos en clases de matemática
por lo cual se generan dudas en los mismos estudiantes y en ocasiones
estas inquietudes pueden desencadenar malos entendidos en el proceso
educativo y por ende el discente puede irse confundiendo a medida que el
tema avanza.
75%
25%
Respuestas
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
53
5. ¿Usted permite que los estudiantes construyan los conocimientos
partiendo de sus propias experiencias?
Tabla N° 5 Docentes
VARIABLES F %
Siempre
Casi siempre 3 75,00
A veces 1 25,00
Nunca -
TOTAL 4 100
Gráfico Estadístico N° 5 Docentes
Fuente: Docentes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Según los datos obtenidos de la encuesta realizada a los docentes, en
su mayoría menciona que casi siempre se ejemplifica a los estudiantes con
las vivencias diarias y los ejercicios planteados en el material didáctico que
se posee aunque ciertos docentes mencionan que no lo hacen debido a
que en ocasiones los temas no se encuentran en situaciones cotidianas.
6. ¿Usted permite al estudiante resolver ejercicios matemáticos de diferentes maneras?
75%
25%
Respuestas
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
54
Tabla N° 6 Docentes
VARIABLES F %
Siempre -
Casi siempre -
A veces 1 25,00
Nunca 3 75,00
TOTAL 4 100
Gráfico Estadístico N° 6 Docentes
Fuente: Docentes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Según la encuesta realizada a los docentes de novenos años, establece
que no se permite que el estudiante desarrolle ejercicios de diferente
manera, porque en la mayoría de ocasiones es una pérdida de tiempo, es
decir, el docente limita la resolución de ejercicios en clases de matemática
y podría decirse que está limitando el avance del razonamiento de sus
educandos.
7. ¿Usted plantea problemas matemáticos en los cuales los estudiantes deben razonar para llegar a la respuesta?
25%
75%
Respuestas
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
55
Tabla N° 7 Docentes
VARIABLES F %
Siempre 1 25,00
Casi siempre 3 75,00
A veces -
Nunca -
TOTAL 4 100
Gráfico Estadístico N° 7 Docentes
Fuente: Docentes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Una mayoría de los encuestados menciona que casi siempre plantean
ejercicios, para que el estudiante desarrolle sus facultades mentales y
razone. El resultado es que son muy pocos los estudiantes que logran estas
facultades y no en su totalidad, es por esto, que se sugiere que los docentes
planten un problema diariamente en el área de estudio para ejercitar el
razonamiento de sus estudiantes.
8. ¿Qué porcentaje de los estudiantes y de tiempo durante la clase
utiliza la calculadora para resolver operaciones matemáticas esenciales?
25%
75%
Respuestas
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
56
Tabla N° 8 Docentes
VARIABLES F %
Siempre -
Casi siempre 2 50,00
A veces 2 50,00
Nunca -
TOTAL 4 100
Gráfico Estadístico N° 8 Docentes
Fuente: Docentes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Según los datos de la encuesta realizada en la a los docentes de los
novenos años se afirma que el uso de aparatos electrónicos para realizar
operaciones matemáticas es bastante elevado lo cual trunca el proceso
educativo y el desarrollo de habilidades mentales y de razonamiento lógico
en los mismos estudiantes los mismos que se conforman con llegar
simplemente a la respuesta.
9. ¿Los estudiantes cuando realizan cálculos esenciales sin la necesidad de calculadora encuentra alguna dificultad?
50%50%
Respuestas
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
57
Tabla N° 9 Docentes
VARIABLES F %
Siempre -
Casi siempre 3 75,00
A veces 1 25,00
Nunca -
TOTAL 4 100
Gráfico Estadístico N° 9 Docentes
Fuente: Docentes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Una parte mayoritaria de los encuestados mencionan que casi siempre
los estudiantes tienen dificultad en realizar cálculos mentalmente, por el uso
excesivo que le han dado a los aparatos electrónicos como la calculadora,
por tal motivo, los docentes tienen que evitar el uso de los mismos, para
que sus estudiantes desarrollen los ejercicios planteados y exista el
razonamiento respectivo.
10. ¿Los estudiantes relaciona operaciones esenciales para resolver problemas más complicados mentalmente?
75%
25%
Respuestas
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
58
Tabla N° 10 Docentes
VARIABLES F %
Siempre -
Casi siempre 2 50,00
A veces
Nunca 2 50,00
TOTAL 4 100
Gráfico Estadístico N° 10 Docentes
Fuente: Docentes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Según la encuesta realizada a los docentes de los novenos años, la
mitad de los estudiantes relacionan ejercicios con los ejemplos planteados
por el docente o los que pueden encontrar en material de apoyo como el
libro de trabajo, por tal motivo, es necesario que el docente motive a
relacionar operaciones matemáticas en ejercicios esenciales y buscar otros
más complejos.
11. ¿Usted durante la resolución de ejercicios matemáticos relaciona dicho ejercicio con problemas del entorno para un mejor entendimiento?
50%50%
Respuestas
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
59
Tabla N° 11 Docentes
VARIABLES F %
Siempre 1 25,00
Casi siempre 2 50,00
A veces
Nunca 1 25,00
TOTAL 4 100
Gráfico Estadístico N° 11 Docentes
Fuente: Docentes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Los encuestados en un porcentaje medio, mencionan que el docente
relaciona ejercicios con el entorno para un mejor entendimiento de su
explicación en la resolución de problemas planteados dentro del salón de
clases mientras que cierto porcentaje piensa que el docente no relaciona el
entorno en su clase lo cual lleva a una clase monótona y aburrida.
12. ¿Al momento de enseñar usted demuestra que es más importante los procesos de resolución de un ejercicio que la misma respuesta
Tabla N° 12 Docentes
25%
50%
25%
Respuestas
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
60
VARIABLES F %
Siempre
Casi siempre 1 25,00
A veces 3 75,00
Nunca -
TOTAL 4 100
Gráfico Estadístico N° 12 Docentes
Fuente: Docentes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
La mayoría de los docentes encuestados mencionan que a sus
estudiantes no le interesa el proceso para llegar a una respuesta lo cual
determina un problema relevante, falta de interés, por tanto es esencial que
el docente muestre lo fundamental que es el procedimiento en la resolución
de los problemas, ya que para llegar a una respuesta correcta tiene que
establecer bien el proceso de solución de los mismos.
13. ¿Cree usted que es más importante el proceso matemático?
Tabla N° 13 Docentes
25%
75%
Respuestas
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
61
VARIABLES F %
Siempre 4 100,00
Casi siempre -
A veces -
Nunca -
TOTAL 4 100
Gráfico Estadístico N° 13 Docentes
Fuente: Docentes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Según los encuestados se mencionan en que es de gran importancia el
proceso en el desarrollo de la resolución de problemas matemáticos los
cuales ayudan al desarrollo de habilidades mentales y el razonamiento
lógico.
INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS SOBRE LAS ENCUESTAS
APLICADAS A LOS ESTUDIANTES NOVENOS AÑOS DE EDUCACIÓN
BÁSICA DEL COLEGIO UNIVERSITARIO “UTN”.
100%
Respuestas
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
62
1. Cuál de las siguientes proposiciones es la que usted entiende por
metodología educativa.
El conjunto de acciones, planes y estrategias en los cuales el docente se
apoya para optimizar el proceso educativo.
Son los deberes, tareas y pruebas que el docente aplica en clases para
mejorar el proceso educativo.
El horario de clases del establecimiento acorde a las necesidades de
estudiantes y docentes realizado al principio del periodo escolar.
El derecho de los estudiantes a recibir una educación de calidad por parte
del docente de una institución educativa.
Tabla N° 1 Estudiantes
VARIABLES F %
respuesta 1 82 39.26
respuesta 2 75 36.30
respuesta 3 20 9.63
respuesta 4 31 14.81
TOTAL 208 100.00
Gráfico Estadístico N° 1 Estudiantes
39%
36%
10%
15%
respuestas
respuesta 1
respuesta 2
respuesta 3
respuesta 4
63
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Gran cantidad de los estudiantes de los novenos años de educación
general básica que fueron encuestados no tienen clara la concepción de
metodología educativa y está es a la vez confundida con las tareas
asignadas en clase como deberes o trabajos
2. De las siguientes afirmaciones cual es la que usted entiende por
habilidad mental.
64
Capacidad para entender fácilmente cualesquier problema de solo de
matemáticas
Facilidad para entender y recordar conocimientos para encontrar solución
a problemas sin la necesidad de ningún aparato electrónico (calculadora,
computadora, celular, entre otros.)
Facultad para realizar cualesquier deporte o actividad física.
Rapidez de los estudiantes para realizar operaciones en algún aparato
electrónico (calculadora, computadora, celular, entre otros.) en el menor
tiempo posible.
Tabla N° 2 Estudiantes
VARIABLES F %
respuesta 1 55 26.67
respuesta 2 100 48.15
respuesta 3 37 17.78
respuesta 4 16 7.41
TOTAL 208 100.00
Gráfico Estadístico N° 2 Estudiantes
65
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Según los datos obtenidos de la encuesta realizada apenas la mitad de
los estudiantes encuestados conocen que son las habilidades mentales,
seguido de un gran número de estudiantes que piensa que la habilidad
mental solo está presente en clases de matemáticas lo cual acarrea un gran
problema en el proceso interaprendizaje debido a que el estudiante estaría
limitando el uso adecuado de sus potencialidades innatas al no
desarrollarlas con la práctica.
3. Según su concepción razonamiento lógico es:
27%
48%
18%
7%
Respuestas
respuesta 1
respuesta 2
respuesta 3
respuesta 4
66
Es la facultad de asistir puntualmente a clases con todo lo necesario para
estudiar.
La capacidad de encontrar un camino fácil y posible a un problema por
medio de conocimientos previos para llegar a una solución aceptable.
La facilidad de encontrar un camino fácil a un problema para llegar a una
solución que me guste.
Es la capacidad de realizar cálculos mentales sin la utilización de aparatos
electrónicos (calculadora, computadora, celular, entre otros.)
Tabla N° 3 Estudiantes
VARIABLES F %
respuesta 1 39 18.52
respuesta 2 73 35.56
respuesta 3 48 22.96
respuesta 4 48 22.96
TOTAL 208 100.00
Gráfico Estadístico N° 3 Estudiantes
18%
36%23%
23%
Respuestas
respuesta 1
respuesta 2
respuesta 3
67
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Según la encuesta realizada los estudiantes no tienen una idea clara
acerca de la concepción de razonamiento lógico razón por la cual los
estudiantes pueden verse inmersos en dificultades al momento de resolver
problemas en su vida que impliquen el uso de razonamiento ya que no
podría desarrollarse en su totalidad si no se conoce de que se trata.
4. Que entiende usted por procesos matemáticos.
68
Es la serie de pasos para resolver un ejercicio matemático sin orden ni
lógica con el único objetivo de llegar a la solución aparente.
Es realizar cálculos en la calculadora u otro aparato electrónico y escribir
directamente la respuesta.
Es la comparación de conocimientos previos o conocidos y su aplicación
en pasos estructurados para resolver un problema o ejercicio matemático
de la mejor manera.
Es llegar a una solución de un problema matemático sin la necesidad de
realizar cálculos y aceptar dicha respuesta.
Tabla N° 4 Estudiantes
VARIABLES F %
respuesta 1 69 33.33
respuesta 2 45 21.48
respuesta 3 71 34.07
respuesta 4 23 11.11
TOTAL 208 100.00
Gráfico Estadístico N° 4 Estudiantes
33%
22%
34%
11%
Respuestas
respuesta 1
respuesta 2
respuesta 3
respuesta 4
69
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
De los datos obtenidos a través de la encuesta a estudiantes apenas un
tercio de los encuestados saben que son los procesos matemáticos
mientras que el resto confunde este proceso matemático con el objetivo
único de llegar a una respuesta sin la necesidad de conocer cómo y porqué
de dicha respuesta.
5. El docente realiza la clase de matemáticas llamativa y
entretenida utilizando material didáctico adecuado
dependiendo del tema de matemáticas a tratar.
70
Tabla N° 5 Estudiantes
VARIABLES F %
Siempre 40 19.26
casi siempre 63 30.37
a veces 76 36.30
Nunca 29 14.07
TOTAL 208 100.0
Gráfico Estadístico N° 5 Estudiantes
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
De los datos de la encuesta realizada a los estudiantes de los novenos
años de educación general básica se obtiene que los docentes de
matemática no realiza una clase de matemáticas entretenida ni llamativa lo
cual es uno de los mayores problemas en el proceso de interaprendizaje ya
que según varios autores el ambiente escolar deber ser óptimo para un
mejor desarrollo por parte del estudiante y así evitar problemas posteriores
relacionados al desempeño académico.
6. Durante las clases el docente y el estudiante interactúan
activamente para un mejor entendimiento de la materia
estudiada.
19%
31%36%
14%
Respuestas
siempre
casi siempre
a veces
nunca
71
Tabla N° 6 Estudiantes
VARIABLES F %
Siempre 62 29.63
casi siempre 83 40.00
a veces 55 26.67
Nunca 8 3.70
TOTAL 208 100.00
Gráfico Estadístico N° 6 Estudiantes
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Según el análisis realizado a los datos obtenidos se determina que
menos de la mitas de los estudiantes de los novenos años de educación
general básica interactúan con el docente para mejorar el proceso
educativo lo cual provoca un desarrollo académico desigual dentro de un
mismo grupo de personas lo cual no es provocado solo por el docente sino
por la falta de disposición de los estudiantes en aprender.
7. El docente utiliza diferentes formas de enseñar dependiendo del
tema de matemáticas a tratar.
29%
40%
27%
4%
Respuestas
siempre
casi siempre
a veces
nunca
72
Tabla N° 7 Estudiantes
VARIABLES F %
Siempre 63 30.37
casi siempre 63 30.37
a veces 69 33.33
Nunca 13 06.11
TOTAL 208 100.00
Gráfico Estadístico N° 7 Estudiantes
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
De la encuesta realizada a estudiantes de los novenos años de
educación general básica se determina que existe una opinión bastante
divida entre la opinión de si el docente utiliza material adecuado para la
enseñanza de la matemática dependiendo del tema tratado, es decir, la
incidencia de este material no es tan relevante.
8. Los estudiantes tienen la confianza de preguntar a su docente
cuestiones que no comprenden del tema abordado.
29%
29%
32%
10%
Respuestas
siempre
casi siempre
a veces
nunca
73
Tabla N° 8 Estudiantes
VARIABLES F %
Siempre 60 28.89
casi siempre 62 29.63
a veces 63 30.37
Nunca 23 11.11
TOTAL 208 100.00
Gráfico Estadístico N° 8 Estudiantes
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Según datos de la encuesta a estudiantes un porcentaje bastante
considerable afirma no tener la confianza necesaria para preguntar
cuestiones o temas no entendidos en clases de matemática, este problema
no solo puede ser provocado por la actitud del docente en el salón de clases
sino también por factores exógenos en la vida de los estudiantes pero lo
que sí es claro que este es otro factor importante en el desarrollo académico
del estudiantado.
9. El docente permite que los estudiantes construyan los
conocimiento partiendo de sus propias experiencias
29%
30%
30%
11%
Respuestas
siempre
casi siempre
a veces
nunca
74
Tabla N° 9 Estudiantes
VARIABLES F %
Siempre 46 22.22
casi siempre 55 26.67
a veces 72 34.81
Nunca 35 16.30
TOTAL 208 100.00
Gráfico Estadístico N° 9 Estudiantes
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
De la encuesta realizada se determina que la mayoría de estudiantes
piensan que la construcción de conocimientos está fijado por los ejercicios
22%
27%35%
16%
Respuestas
siempre
casi siempre
a veces
nunca
75
o problemas planteados en un libro y lejos de las realidades en las cuales
se encuentran, lo cual se debería cambiar y acercar más la matemática a
situaciones realistas dependiendo de la localización e influencias del
entorno cercanas a los estudiantes de cada institución.
10. El docente permite al estudiante resolver ejercicios
matemáticos de diferentes maneras.
Tabla N° 10 Estudiantes
VARIABLES F %
Siempre 49 23.70
casi siempre 60 28.89
a veces 68 32.59
Nunca 31 14.81
TOTAL 208 100.00
Gráfico Estadístico N° 10 Estudiantes
24%
29%32%
15%
Respuestas
siempre
casi siempre
a veces
nunca
76
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
De los datos obtenidos y analizados se define que gran parte de los
estudiantes piensa que el docente de matemática se limita a resolver
ejercicios de una sola manera dentro del salón de clases lo cual es un
limitante para el desarrollo de su razonamiento lógico que posteriormente
puede acarrear que el estudiante mecanice formas de resolución de
ejercicios matemáticos limitando posibles soluciones más factibles y
convenientes.
11. Al momento de resolver ejercicios de matemáticas reflexiona
cuál es la mejor manera de encontrar una solución.
Tabla N° 11 Estudiantes
VARIABLES F %
Siempre 57 27.41
casi siempre 57 27.41
a veces 59 28.15
Nunca 35 17.04
TOTAL 208 100.00
Gráfico Estadístico N° 11 Estudiantes
77
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
De la encuesta realizada a estudiantes se obtiene que muchos de los
estudiantes no dan mucha importancia en el tema relacionado a reflexión
durante la resolución de un ejercicio o problema matemático con el fin de
elegir el mejor camino para encontrar la solución lo cual debería estar
encaminado a una respuesta totalmente afirmativa ya que en la resolución
o desarrollo de un problema no solo matemático el reflexionar una mejor
alternativa puede hacer una gran diferencia en el resultado o consecuencia
final.
12. El docente plantea problemas matemáticos en los cuales los
estudiantes deben razonar para llegar a la respuesta.
Tabla N° 12 Estudiantes
VARIABLES F %
Siempre 63 30.37
28%
27%
28%
17%
Respuestas
siempre
casi siempre
a veces
nunca
78
casi siempre 60 28.89
a veces 66 31.85
Nunca 19 8.89
TOTAL 208 100.00
Gráfico Estadístico N° 12 Estudiantes
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Según los datos recogidos y analizados de obtiene que gran parte de
los estudiantes no piensa o no están seguros si los ejercicios planteados
por el docente les permiten desarrollar su capacidad de razonamiento
debido a no tener clara la concepción de razonamiento lo cual implica un
total desconocimiento de lo que se hace en un salón de clases.
13. Qué porcentaje de tiempo durante la clase utiliza la calculadora
para resolver operaciones matemáticas esenciales.
Tabla N° 13 Estudiantes
VARIABLES F %
Siempre 85 40.74
casi siempre 47 22.96
30%
29%
32%
9%
Respuestas
siempre
casi siempre
a veces
nunca
79
a veces 39 18.52
Nunca 37 17.78
TOTAL 208 100.00
Gráfico Estadístico N° 13 Estudiantes
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
De los datos obtenidos en la encuesta se determina que un gran
porcentaje de los encuestados afirman que utilizan siempre aparatos
electrónicos para realizar operaciones matemáticas siendo innecesario la
utilización en esta edad ya que limita el desarrollo de su habilidad mental lo
cual puede acarrear problemas en niveles superiores.
14. Cuando realiza cálculos esenciales sin la necesidad de
calculadora encuentra alguna dificultad.
Tabla N° 14 Estudiantes
VARIABLES F %
Siempre 45 21.48
casi siempre 72 34.81
a veces 63 30.37
Nunca 28 13.33
TOTAL 208 100.00
41%
23%
18%
18%
Respuestas
siempre
casi siempre
a veces
nunca
80
Gráfico Estadístico N° 14 Estudiantes
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Según el análisis de los datos de la encuesta realizada más de la mitad
de los encuestados encuentran dificultad el realizar cálculos sin la
necesidad de la utilización de aparatos electrónicos como la calculadora
esto puede ser provocado por la falta de desarrollo de su capacidad mental
y razonamiento debido al uso indebido e innecesario de aparatos
electrónicos para la resolución de ejercicios matemáticos a una corta edad.
15. Relaciona operaciones esenciales para resolver problemas más
complicados mentalmente.
Tabla N° 15 Estudiantes
VARIABLES F %
Siempre 51 24.44
casi siempre 46 22.22
a veces 66 31.85
Nunca 45 21.48
TOTAL 208 100.00
22%
35%
30%
13%
Respuestas
siempre
casi siempre
a veces
nunca
81
Gráfico Estadístico N° 15 Estudiantes
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
De la encuesta realizada a estudiantes la mayoría de los encuestados
no relaciona operaciones matemáticas esenciales con otras más complejas
para desarrollarlas de mejor manera, esto puede ser debido al uso
recurrente y obligado de aparatos electrónicos tal como la calculadora para
realizar operaciones esenciales limitando su habilidad mental y
razonamiento lógico y consecuentemente el correcto desarrollo de los
mismos.
16. El docente durante la resolución de ejercicios matemáticos
relaciona dicho ejercicio con problemas del entorno para un
mejor entendimiento
24%
22%32%
22%
Respuestas
siempre
casi siempre
a veces
nunca
82
Tabla N° 16 Estudiantes
VARIABLES F %
Siempre 57 27.41
casi siempre 60 28.89
a veces 57 27.41
Nunca 34 16.30
TOTAL 208 100.00
Gráfico Estadístico N° 16 Estudiantes
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Mediante la encuesta se llegó a determinar que entre los estudiantes
encuestados existe una diferencia muy corta entre la opinión de si el
docente relaciona ejercicios con el entorno para un mejor entendimiento de
la materia, consecuentemente el estudiante estaría aprendiendo una
matemática inútil e innecesaria ya que existen diferentes factores que
pueden influir en el resultado de un problema real.
28%
29%
27%
16%
Respuestas
siempre
casi siempre
a veces
nunca
83
17. Al momento de enseñar el docente demuestra que es más
importante los procesos de resolución de un ejercicio que la
misma respuesta
Tabla N° 17 Estudiantes
.
VARIABLES F %
Siempre 63 30.37
casi siempre 60 28.89
a veces 58 28.15
Nunca 27 12.59
TOTAL 208 100.00
Gráfico Estadístico N° 17 Estudiantes
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
Partiendo de los datos obtenidos en la encuesta se determina que no
existe una diferencia notable en la opinión de si el docente demuestra que
el proceso matemático es importante o no en la resolución de un ejercicio
matemático, es decir para muchos estudiantes la resolución de un
problema o ejercicio contempla únicamente encontrar la solución sin
importar si dio con la respuesta por simple casualidad.
30%
29%
28%
13%
Respuestas
siempre
casi siempre
a veces
nunca
84
18. Cree usted que es más importante el proceso matemático que la misma respuesta
Tabla N° 18 Estudiantes
VARIABLES F %
Si 108 51.85
No 100 48.15
TOTAL 208 100.00
Gráfico Estadístico N° 18 Estudiantes
Fuente: Estudiantes de los Novenos años del Colegio Universitario “UTN”
Elaborado por: Saráuz Jhon
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN.
De los datos obtenidos en la encuesta no existe una diferencia notable
entre la opinión de los encuestados acerca de si el proceso matemático
dentro la resolución de un ejercicio o problema matemático es importante o
no para un mejor aprendizaje, lo cual señala un gran problema en el
proceso de interaprendizaje debido al pensamiento erróneo de los
estudiantes de pensar que la solución o respuesta es el único fin de
desarrollar ejercicios matemáticos.
52%48%
Respuestas
si
no
85
CAPÍTULO V
5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1 Conclusiones.
De los resultados obtenidos en la encuesta y su respectivo análisis se
puede extraer las siguientes conclusiones de la investigación realizada en
los docentes y estudiantes de los novenos años de educación general
básica del colegio universitario “UTN” en el período académico 2013 –
2014”.
La metodología utilizada por el docente no es la más adecuada para el
desarrollo de las habilidades mentales y de razonamiento lógico lo cual se
considera como una de las mayores dificultades que se presentan en el
proceso de interaprendizaje en el área de matemática teniendo en cuenta
que este factor está influenciado no solo por el docente sino también por la
actitud y predisposición de los estudiantes a aprender
El desconocimiento de nuevas metodologías educativas dentro del
proceso educativo limita las maneras por las cuales el docente puede
desarrollar las habilidades mentales y el razonamiento lógico de cada
individuo, esto acompañado a la falta de interacción entre docente y
estudiante dentro del salón de clases limita que el docente conozca el
potencial que cada estudiante posee y así explotarlo de la mejor manera.
86
Otro de los mayores problemas dentro del salón de clase en los novenos
años de educación general básica es la falta de utilización de material
didáctico específico relacionado al desarrollo de habilidades mentales y
razonamiento lógico y esto a su vez acompañado de la utilización de
instrumentos tecnológicos como la calculadora para resolver operaciones
esenciales perjudica el desarrollo de su razonamiento y limita su capacidad
mental, evitando que el aprendizaje sea significativo.
La utilización de la guía didáctica planteada en el momento preciso
permite que los estudiantes y docentes desarrollen las habilidades
mentales y razonamiento lógico mediante un correcto proceso de
resolución de un ejercicio o problema para llagar a la respuesta es por esto
que es fundamental contar con el material didáctico adecuado el cual
contenga métodos avilés y sencillos para la resolución de problemas que
sirva como medio de consulta para el estudiante y como un apoyo didáctico
para el docente.
5.2 Recomendaciones.
87
Se debe dar a conocer la importancia de la utilización de nuevas
metodologías dentro del salón de clases para mejorar la calidad educativa
en la institución con el fin de optimizar el desempeño académico y por ende
el desarrollo de las habilidades mentales y de razonamiento lógico.
Se recomienda a los docentes del colegio universitario “UTN” que se
promueva eventos de capacitación para los docentes en el área de
matemática en relación a nuevas e innovadoras metodologías para el
desarrollo del razonamiento mental, a fin de mejorar el desarrollo del
aprendizaje de esta asignatura.
Se debe fomentar la utilización de material didáctico tal como la guía
didáctica elaborada la cual contiene métodos adecuados de resolución de
ejercicios o problemas matemáticos a la cual agregada la ayuda
proporcionada por el docente sirve para mejorar las habilidades mentales y
razonamiento lógico en los estudiantes.
Se recomienda a los docentes del colegio universitario “UTN” que utilicen
la guía didáctica como un instrumento pedagógico para aplicarlo en el aula
de clases y facilitar su labor docente, mejorando el proceso de
interaprendizaje y permitir al estudiante interactuar con los contenidos y
realizar un autoaprendizaje de la asignatura y mejorar su rendimiento
escolar.
5.3 Respuesta a las interrogantes
88
¿Cuál es la metodología utilizada por el docente en el desarrollo de
las habilidades mentales y razonamiento lógico en sus estudiantes?
El docente utiliza una metodología general dentro del salón de clases,
es decir, no distingue las potencialidades de cada estudiante y por lo tanto
genera situaciones problemáticas en las cuales solo unos pocos discentes
desarrollan capacidades de razonamiento y habilidades mentales ya que
solo estos pocos estudiantes tienen la habilidad de hacerlo.
¿Cuáles son los procesos utilizados en el desarrollo de las
habilidades mentales y razonamiento lógico que aplica el docente
dentro del salón de clases?
Los procesos para el desarrollo de habilidades mentales y el
razonamiento lógico en los estudiantes son los mismos de siempre, no se
ha buscado un mejor mecanismo para mejorar la situación, en otras
palabras, se transmite conocimiento científico pero no se desarrolla la
capacidad de discernir ese conocimiento.
¿La implementación de un material didáctico sería la solución más
indicada para desarrollar las habilidades mentales y el razonamiento
lógico en los estudiantes?
Si, el cambio no se puede generar directamente en el docente se
puede optar por alternativas como la de generar material de apoyo para
facilitar el trabajo del maestro y generar expectativa en los estudiantes que
a su vez están pendientes o ansiosos de algo nuevo e innovador.
¿La aplicación de nuevas alternativas de cambio en el proceso para
solucionar problemas del razonamiento lógico ayudara al rendimiento
académico?
89
Si los estudiantes son capaces de discriminar el conocimiento y con
ello desarrollan la facultad de generar por si mismos mecanismos de
resolución de problemas el rendimiento académico toma un nuevo rumbo
hacia el desarrollo positivo.
90
CAPITULO VI
6 PROPUESTA
6.1 Título de la Propuesta
“GUÍA DIDÁCTICA PARA EL DESARROLLO DE HABILIDADES
MENTALES Y RAZONAMIENTO LÓGICO PARA ESTUDIANTES DE LOS
NOVENOS AÑO DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA DEL COLEGIO
UNIVERSITARIO “UTN” ANEXO A LA UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL
NORTE EN EL PERIODO ACADÉMICO 2013 - 2014“
6.2 Justificación e Importancia.
De acuerdo a los datos obtenidos en la investigación y del análisis
realizado en los mismos el siguiente trabajo se justifica por las siguientes
razones:
Según la investigación realizada en el Colegio Universitario “UTN” se
puede determinar que los estudiantes de los novenos años de educación
general básica de esta institución no cooperan con los docentes para
mejorar el proceso de interaprendizaje en el área de matemáticas, los
motivos están relacionados con la falta de conocimiento de algunos
términos utilizados en el proceso educativo que los estudiantes desconocen
y que a su vez interrumpe el óptimo desenvolvimiento del docente en el
proceso educativo.
91
Basándose en los datos obtenidos y posteriormente analizados la falta
de metodología por parte del docente para crear interés en los estudiantes
es evidente ya que en la gran mayoría de los estudiantes existe una falta
de disposición para estudiar matemáticas lo cual también puede ser
provocado por factores exógenos en el entorno del estudiante ya sea en su
hogar, entorno social o por dificultades dentro de la institución por ende la
necesidad de crea interés en el estudiantado en urgente pero a su vez es
difícil.
La facilidad de acceder a la tecnología en la actualidad no solo acarrea
facilidades sino también limitaciones debido a su mala utilización, según la
investigación realizada gran número de estudiantes prefiere realizar hasta
cálculos elementales en la calculadora o en cualesquier otro aparato
electrónico lo cual evita un total desarrollo de sus capacidades mentales
para lo cual es necesario un control por parte del docente al momento de
utilizar dichos aparatos y así mismo contrarrestar este mal con ejercicios
en los cuales el estudiante deba utilizar su capacidad mental para
desarrollarlos, el docente puede realizar tareas en las cuales el estudiante
tenga que realizar cálculos elementales sin necesidad de ningún aparato y
posteriormente incrementar el nivel de dificultad y enseñar a la vez a los
estudiantes maneras de relacionar estas operaciones elementales con
otras de mayor complejidad.
La optimización del proceso educativo se centra en el desarrollo íntegro
del estudiantado por esta razón el docente debe estar enfocado a
desarrollar un pensamiento crítico, reflexivo y sobre todo autónomo, por
este motivo la metodología educativa del docente debe estar enfocada a
desarrollar el razonamiento lógico en los estudiantes y dejar un poco de
lado una matemática que solo se centra en problemas establecidos y muy
alejados de la realidad circundante en los estudiantes y penetrar en un
92
entorno más realista rodeado de factores implícitos que el propio estudiante
deberá encontrar y solucionar.
Por estos motivos es necesario la realización de la guía metodológica
que se convertirá en una herramienta tanto para estudiantes como para
docentes tratando de mejorar el proceso de interaprendizaje en esta
institución.
6.3 Fundamentación teórica.
6.3.1 El desarrollo del conocimiento matemático.
El conocimiento matemático ha sido uno de los temas de investigación más abundante dentro del campo de la pedagogía educativa. Tales investigaciones apuntan a comprender los procesos mentales que el estudiante utiliza cuando resuelve problemas matemáticos, en tanto que el objetivo general de los trabajos consiste en encontrar y descifrar los mecanismos de construcción de este tipo de conocimiento a fin de lograr la alfabetización cuantitativa de los sujetos para que sea capaces de interpretar los datos y utilizar las matemáticas adaptadas a su quehacer cotidiano. (SERRANO José, “EL Desarrollo Del Conocimiento Matemático”, 2011, pág. 6)
Dentro de los objetivos de la investigación en relación al desarrollo del
pensamiento matemático se puede destacar se podría desglosarse dos
sub-objetivos:
El primero está vinculado o centrado en el interés del desarrollo de la
educación por parte de cualesquier investigador, es decir, determinar los
mecanismos de construcción y desarrollo del pensamiento.
93
El segundo sub-objetivo está relacionado con la adquisición del
conocimiento matemático por medio de la comprensión y la representación
de problemas en términos matemáticos la adquisición de creencias y
actitudes positivas sobre sí mismos y sobre sus conocimientos
matemáticos y la aprensión de habilidades de autorregulación.
Todos estos parámetros con un único fin de que el estudiante generalice
sus conocimientos concepto-procedimentales de las matemáticas respecto
a otras materias educativas y, en último término lograr que sobrepase el
marco puramente escolar, en otra palabras, que utilice la matemáticas de
manera útil y adaptativa.
6.3.2 El razonamiento lógico en estudiantes.
El procedimiento que utiliza el hombre generalmente para resolverlo es, primero, tratar de comprender qué debe hacer, segundo entender la información que se tiene para buscar la solución y tercero buscar estrategias adecuadas para llegar con esta información, a la solución. Pero si esto no es posible, se trata de buscar otra información que ayude en la solución, todo ello enmarcado dentro de un lenguaje o simbolismo conocido por el estudiante y los que participan del problema. Desde este nivel de análisis y apoyándose en el razonamiento se encuentra la respuesta correcta o solución buscada, al problema propuesto. (IRIARTE Fernando D, 2010, pág. 25)
Todo razonamiento humano tiene una estructura que consiste en: las
premisas, la conclusión y el nexo lógico entre ellos. La conexión lógica de
las premisas y la conclusión se denomina inferencia.
El razonamiento es uno de los procesos cognitivos básicos por medio
del cual utilizamos y aplicamos nuestro conocimiento. Sin la posibilidad de
94
hacer inferencias, el sistema de procesamiento humano se vería obligado
a depender de un conocimiento específico y exacto para cada una de las
situaciones con las que se encuentra. Las investigaciones sobre el
razonamiento acuden a la lógica en busca de un criterio para evaluar el
curso de estas inferencias y para identificar las leyes del conocimiento.
De acuerdo al rendimiento de los sujetos cuando se resuelve una tarea
de razonamiento, este se divide en: razonamiento inductivo y razonamiento
deductivo, la diferencia entre ambos tipos de razonamiento se encuentra
en el tipo de conclusión que se puede derivar de la premisa.
6.3.3 Las dificultades específicas de aprendizaje.
“La lectura es una destreza compleja que para ser aprendida requiere
de una buena enseñanza, del concurso de procesos mentales
atencionales, memorísticos, lingüísticos, de razonamiento y de mucha
práctica”. (GOIKOETXEA, 2012, pág. 13)
Teniendo en claro que la relación entre cada una de las ciencias es
elemental para su óptimo desenvolvimiento, la lectura es una de las
destrezas complejas que son el resultado de la interacción entre el
desarrollo y el aprendizaje, existen grandes diferencias individuales en el
rendimiento en lectura. Estas diferencias individuales se han hecho
crecientemente visibles a medida que la alfabetización se ha
universalizado.
Si un estudiante es incapaz de leer y por ende entender lo que se le
propone como esperar que pueda cumplir a cabalidad la tarea asignada ya
sea de matemáticas o cualesquier otra materia.
95
El conjunto de acciones que configuran una práctica representan solo una posibilidad o modo de hacer algo dentro de un universo de posibilidades de ejecutar esa misma acción. Un momento del desarrollo de una tarea de matemáticas contiene más de una práctica posible, de ahí que no siempre sea fácil comprender que significados matemáticos y sociales se atribuyan a cada práctica. El conflicto semiótico, en sentido amplio, nace de la disparidad de interpretaciones que los distintos participantes atribuyen a las necesidades de regulación sobre un mismo momento de la tarea de matemáticas y por tanto su origen reside en la diversidad de normas esperadas. (Núria, 2009, pág. 15)
El docente dentro del salón de clases debe ser lo más claro posible,
mantener un vocabulario sencillo con el fin de darse a entenderse mejor
por sus estudiantes para evitar mal entendidos dentro de sus explicaciones.
6.3.4 Metodología.
Las características que se desenvuelve la investigación y los objetivos planteados, se suele proponer de diferentes modelos o diseños de investigación ya sea de carácter cualitativo que va de lo particular a lo general, a través de las vivencias personales de los participantes en la utilización del objeto de innovación propuesto para la enseñanza de las matemáticas. (ARAGÓN Eduardo, 2009, pág. 15)
El alcance de una investigación es exploratorio-descriptivo, debido a
la escasa información que existe en las instituciones donde se desarrolla la
investigación y la necesidad de ampliar el conocimiento básico sobre el uso
de objetos de aprendizaje para la enseñanza de las matemáticas, y en
particular la resolución de problemas que involucran la utilización de
procesos mentales y de razonamiento lógico.
96
6.3.5 La naturaleza del conocimiento matemático.
“La abundancia de trabajos e investigaciones en torno al desarrollo del
pensamiento matemático constituye un buen indicador de la atracción
suscitada por este tema en los investigadores cognitivo-evolutivos y
educativos de todos los países”. (SERRANO José, “EL Desarrollo Del
Conocimiento Matemático”, 2011, pág. 8)
El interés acerca del conocimiento matemático en los últimos años se
podría focalizar en dos conjuntos de razones, que se justificarían tanto
desde la teoría como desde la práctica. La naturaleza jerárquico-secuencial
peculiar de estos contenidos, que favorece en gran medida el estudio
evolutivo de la adquisición de los mismos, la facilitación de este tipo de
conocimiento para la articulación de reglas y procedimientos, que permite
examinar más claramente que en otros ámbitos la relación entre
representaciones y estrategias o representaciones formales y
procedimientos.
La posibilidad de analizar independientemente la sintaxis y su
significado, sus relaciones y la incidencia que la segunda puede tener para
la adquisición de la primera.
97
6.4 Objetivos:
6.4.1 Objetivo General:
Proporcionar una guía didáctica para el docente con el fin de desarrollar
las Habilidades Mentales y el Razonamiento Lógico en los estudiantes de
los novenos años de educación general básica del colegio universitario
“UTN”
6.4.2 Objetivos Específicos:
1. Elaborar la propuesta para mejorar el desarrollo de las capacidades
mentales a través de ejercicios relacionados con el entorno de fácil
manejo para los docentes del área de matemáticas.
2. Incentivar a los docentes a mejorar las condiciones metodológicas
dentro del salón de clases ya que esta es la principal herramienta
para lograr un óptimo desempeño educativo.
3. Difundir la propuesta para su inmediata aplicación dentro del salón
de clases en los estudiantes de los novenos años de educación
general básica.
4. Proporcionar a los docentes la guía didáctica sobre cómo mejorar el
desempeño metodológico dentro del salón de clases así como a los
estudiantes la importancia de la aprensión y comprensión de la
matemática.
98
6.5 Importancia.
El desarrollo de las habilidades mentales y razonamiento lógico en un
gran requisito en las instituciones superiores de nuestro país, por esta
razón se hace necesario la implementación de alternativas para mejor el
proceso educativo y optimizar el desarrollo de las capacidades innatas de
los estudiantes, con el fin de evitar posibles inconveniente en el transcurso
de niveles superiores.
6.6 Ubicación Sectorial y Física.
La propuesta tiene como objetivo de aplicación el colegio Universitario
“UTN” anexo a la Universidad Técnica del Norte ubicado en el sector de los
Huertos Familiares: calle, Luis Ulpiano de la Torre y Jesús Yerovi
6.7 Desarrollo de la Propuesta.
99
UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE
FACULTAD DE EDUCACIÓN CIENCIA Y TECNOLOGÍA
LICENCIATURA EN LA ESPECIALIDAD DE FÍSICA Y MATEMÁTICA.
GUÍA DIDÁCTICA PARA EL DESARROLLO DEL RAZONAMIENTO
LÓGICO
“UNA MEJOR MANERA DE CONOCER LA MATEMÁTICA”
Ibarra, 04 de diciembre de 2015
100
Introducción
La elaboración de la siguiente guía didáctica tiene como único propósito
ayudar a mejorar el proceso educativo y la formación de cada estudiante
de noveno año de educación general básica.
La guía contiene actividades relacionadas con los bloques curriculares
establecidos en la república del Ecuador para evitar posibles desviaciones
dentro del proceso educativo y optimizar la formación educativa del
estudiantado, teniendo en cuenta que dicho proceso es el resultado de una
mutua cooperación tanto del docente hacia el estudiante como entre
estudiantes, la formación de un individuo como ser humano no solo trata
de su desarrollo intelectual sino también social, es decir, la mejor persona
es aquella que no solo sabe cómo funciona la vida sino que es capaz de
vivir en ella sin ninguna dificultad.
El desarrollo del razonamiento lógico y habilidades mentales en los
estudiantes es un proceso que debe estar íntimamente ligado al proceso
educativo dentro y fuera del salón de clases, el mismo debe estar sometido
a etapas que el discente debe tener en cuenta antes de cada tarea para lo
cual se estudian varias alternativas de proceso de resolución de ejercicios
matemáticos, algunos autores consideran varios aspectos para mejorar
dicho proceso educativo de los cuales, después de haber considerado su
importancia, su incidencia, y su factibilidad de aplicación se puede destacar
las siguientes etapas:
Analizar: Es el proceso íntegramente intelectual que caracteriza a
los seres humanos como seres racionales y pensantes, el análisis
implica el reconocimiento de factores que componen una
101
determinada situación, por lo tanto la distinción de estos elementos
facilita la introducción efectiva en el tema mencionado reconociendo
sus principios y su naturaleza funcional, el análisis es en sí la
comprensión más profunda de una circunstancia o situación. Por lo
tanto en este paso de debe leer detenidamente el problema y extraer
los todos los datos proporcionados en el mismo.
Reflexionar: La reflexión es el proceso mental consiente de
profundización de conocimientos y relación de los mismos con una
situación específica para entenderla de mejor manera, es el
momento en el cual el ser humano como ser racional medita antes
de llegar a una conclusión lo que le permite determinar de mejor
manera el camino correcto e indicado para alcanzar sus objetivos.
De lo cual se puede realizar una comparación y destacar posibles
vínculos con ejercicios ya resueltos para concretar de mejor la
respuesta.
Conceptualizar: Es la acción de desarrollo de ideas abstractas a
partir de experiencias anteriores. Es la representación individual y
personal de un tema o situación, es decir, es la representación de lo
que una persona concibe en relación a una cuestión. Se desea crear
una representación mental del ejercicio para una mejor
comprensión.
Elegir alternativas de resolución: es la acción de interpretación
de conocimientos anteriores y reflexión para alcanzar un objetivo
específico, se tomar en cuenta los datos proporcionados por el
ejercicio o problema y se trata de vincular los con experiencias
pasadas o vividas con el fin de buscar el mejor método de solución
a la situación dada.
102
Comprobar los resultados: es la parte de validación de resultados
mediante una comparación de los datos por medio de la
examinación de la solución obtenida con otras anteriores y se puede
realizar de forma parcial y total así como su interpretación.
Analizar
Reflexionar
Conceptualizar
Elegir alternativas de resolución
Comprobar los resultados
Independientemente del orden a seguir es crucial la aplicación de cada
una de las etapas para mejorar el desarrollo del razonamiento lógico y
habilidades mentales en los estudiantes ya que lo que se pretende en el
presente trabajo es guiar al estudiante a crear un sistema de resolución de
problemas e interpretar lo asimilado de una forma más efectiva creando un
aprendizaje significativo y a la vez facilitando el trabajo del docente dentro
de este proceso educativo.
ETAPAS
OBJETIVO
Se define cada objetivo para cada guía con la finalidad de dar a
conocer el propósito individual de cada contenido.
ACTIVIDAD MOTIVACIONAL
Narrar pequeñas historias o anécdotas al inicio de cada taller para
crear un estímulo positivo en el estudiante y mantener una actitud
entusiasta y deseo de realizar cualesquier actividad propuesta.
103
EJERCICIOS O PROBLEMAS
Se proponen diferentes ejercicios o problemas relacionados a los temas
establecidos en cada uno de los bloques curriculares y se pone en práctica
el método denominado ARCEC.
EVALUACIÓN
La evaluación es formativa ya que debe ser continua y controlada en
cada una de las actividades propuestas, con el fin de conocer las
potencialidades y dificultades en el proceso educativo de cada uno de los
estudiantes para poder ayudarlos en el momento preciso.
DESARROLLO CONCEPTUAL
Números racionales.
Números irracionales.
Números reales
Patrones de crecimiento lineal
Ecuaciones e inecuaciones de primer grado.
DESARROLLO PROCEDIMENTAL
Operaciones con fracciones
Calculo de Perímetros y Áreas
Operaciones con números reales
Sucesiones
Resolución de ecuaciones
104
DESARROLLO DE ACTITUDES:
Orden y aseo
Responsabilidad.
Cooperación
Atención
Respeto
105
Datos
informativos.
Nombre:……………….………………..Fecha:……………………...................
Noveno Año de Educación General Básica.
Objetivo:
Relacionar el conocimiento adquirido acerca de fracciones por medio de la
resolución de ejercicios para una mejor consolidación del conocimiento.
106
Martha va a la tienda y mira el precio de un trozo de queso en el cual se
muestra “3/5 partes del queso a 0.45 dólares”, si Martha tiene dos dólares
¿Cuántos quesos enteros podrá comprar y cuánto dinero le sobrara?
Etapa 1.- Analizar
Partes de queso…………………. 3/5
Costo……………………………… 0.45 dólares
Dinero disponible…………………2.00 dólares
Quesos enteros a comprar………X
Etapa 2.- Reflexionar
Si las 3/5 partes de queso tienen un costo de 0.45 dólares se debe
encontrar el valor de cada parte de queso y comparar dicho valor con el
dinero disponible para llegar a una solución aceptable.
Etapa 3.- Conceptualizar
FRACCIONES
operaciones
Adición Sustracción
División Multiplicación
tienen
Numerador
Denominador
pueden ser
Homogeneas
Igual Denominador
Heterogeneas
Diferente Denominador
Mínimo Común Multiplo
107
Etapa 4.- Elegir alternativas de resolución
Se divide el valor del trozo de queso para el denominador que indica las
partes totales del queso.
0.45 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
5 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠= 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜
Entonces: 0.15 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜
O lo mismo
0.15 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 1
5 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜
1 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 =5
5𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜
1
5 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 +
1
5 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 +
1
5 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 +
1
5 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 +
1
5 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜
=5
5 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜
Entonces:
(0.15 + 0.15 + 0.15 + 0.15 + 0.15 + 0.15) 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 =5
5 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜
0.75 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 =5
5 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 = 1 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜
0.75 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜
Como Martha tiene dos dólares (2.00) dividimos este valor para el valor de
cada queso para determinar cuántos quesos enteros puede comprar con
ese dinero.
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
108
2.00
0.75 𝑜 𝑙𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜
200
75 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 =
8
3
Se trasforma la fracción propia en una fracción mixta
8
3= 2
2
3
Por lo tanto Martha podrá comprar 2 quesos enteros y dos tercios de otro,
pero como solo nos interesan los quesos enteros sacamos el valor de la
fracción sobrante.
Entonces: Tomando como referencia el valor total de cada queso.
0.75 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜
1 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 =3
3𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 = 0.75 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
Entonces se divide el valor total para las partes que componen la fracción
total del queso.
0.75 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
3 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜= 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜
0.25 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜
109
Una vez obtenido el valor de cada tercio de queso calculamos el valor de
los dos tercios de queso.
1
3𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 = 0.25 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
1
3 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 +
1
3 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜 =
2
3 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜
Entonces:
0.25 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 + 0.25 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
=2
3 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜
0.50 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 =2
3𝑞𝑢𝑒𝑠𝑜
A Martha le sobraran 0.50 dólares al comprar 2 quesos enteros.
Etapa 5.- Comprobación
Si, 3/5 de queso = 0.45 dólares
Si se divide todo para tres se obtiene:
1/5 de queso = 0.15 dólares
Y si a la vez multiplicamos para 10
10/5 de queso = 1.5 dólares
O lo mismo:
2 quesos = 1.5 dólares
Si Martha tenía 2 dólares y gasto 1.5 dólares le quedaran 0.50 dólares.
Recursos:
Participación de estudiantes, cuaderno de apuntes, proyector, entre otros.
110
Juan, Luis y Ana, tres estudiantes del colegio Universitario “UTN”, discuten
como repartir un trabajo de investigación a ellos encargado, según
disposición del docente Juan debe realizar 1/6 más que Luis y Ana. ¿Cuál
es la fracción del trabajo a realizar tanto por parte de Juan como la fracción
de Luis y Ana?
Etapa 1.- Analizar
Estudiantes parte del trabajo
Juan 1/6 𝑥
Luis 𝑥
Ana 𝑥
Etapa 2.- Reflexionar
Si juan debe realizar un 1/6 parte del trabajo más que Ana y Luis se debe
calcular el trabajo total a realizarse por juan y el resto dividir entre los
integrantes restantes.
Etapa 3.- Conceptualizar
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑎𝑛 + 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝐿𝑢𝑖𝑠 + 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑛𝑎
FRACCIONES
operaciones
Adición Sustracción
División Multiplicación
tienen
Numerador
Denominador
pueden ser
Homogeneas
Igual Denominador
Heterogeneas
Diferente Denominador
Mínimo Común Multiplo
111
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =1
3𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑎𝑛 +
1
3𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝐿𝑢𝑖𝑠 +
1
3𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑛𝑎
Pero:
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑎𝑛 +1
6) + 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝐿𝑢𝑖𝑠 + 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑛𝑎
Entonces:
𝑡𝑟𝑎𝑏. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑎𝑛 +1
6) + (𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝐿𝑢𝑖𝑠 + 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑛𝑎 −
1
6)
O lo mismo
𝑡𝑟𝑎𝑏. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (1
3+
1
6) 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 + (
1
3+
1
3−
1
6) 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
Etapa 4.- Elegir alternativas de resolución
𝑡𝑟𝑎𝑏. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (1
3+
1
6) 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 + (
1
3+
1
3−
1
6) 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
Calculamos el trabajo a realizarse por juan
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑎𝑛 = (1
3+
1
6) 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑎𝑛 = (2 + 1
6) 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑎𝑛 =3
6𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
O lo mismo
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑎𝑛 =1
2𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
Luego se calcula el trabajo realizado por Luis y Ana
112
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝐿𝑢𝑖𝑠 + 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑛𝑎 = (1
3+
1
3−
1
6) 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝐿𝑢𝑖𝑠 + 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑛𝑎 = (2 + 2 − 1
6) 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝐿𝑢𝑖𝑠 + 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑛𝑎 =3
6𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
O lo mismo
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝐿𝑢𝑖𝑠 + 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑛𝑎 =1
2𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
Etapa 5.- Comprobación
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑎𝑛 + (𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝐿𝑢𝑖𝑠 + 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑛𝑎)
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =1
2𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 +
1
2𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =2
2𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
Recursos:
Participación de estudiantes, cuaderno de apuntes, proyector, entre otros.
113
Datos informativos.
Nombre:……………….………………..Fecha:……………………...................
Noveno Año de Educación General Básica.
Objetivo:
Relacionar el conocimiento adquirido acerca de fracciones por medio de la
resolución de ejercicios para una mejor consolidación del conocimiento.
114
Si un albañil trabaja 1/12 parte de día menos que el día anterior. ¿Cuántas
son las horas totales que este albañil trabaja desde lunes hasta viernes, si
el lunes trabajo 1/2 de un día? Y ¿Cuántas semanas trabajara a este paso
para terminar una obra que está programada a 100 horas de trabajo?
Etapa 1.- Analizar
Trabajo de albañil 1/12 de día menos cada día
Lunes ½ de un día
Horas de trabajo a la semana x
Semanas totales de trabajo y
Etapa 2.- Reflexionar
Si el albañil empezó el día lunes trabajando ½ de día y posteriormente fue
reduciendo sus horas de trabajo en 1/12 por día, se debe calcular las horas
que trabajo el lunes e ir reduciendo la fracción equivalente en horas cada
día.
Etapa 3.- Conceptualizar
115
Tomando como referencia los datos proporcionados por el problema:
Días Trabajo del albañil
Lunes 1/2 𝑑𝑒 𝑑í𝑎
Martes (𝑙𝑢𝑛𝑒𝑠) − (1
12𝑑𝑒 𝑑í𝑎)
Miércoles (𝑚𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠) − (1
12𝑑𝑒 𝑑í𝑎)
Jueves (𝑚𝑖𝑒𝑟𝑐𝑜𝑙𝑒𝑠) − (1
12𝑑𝑒 𝑑í𝑎)
Viernes (𝑗𝑢𝑒𝑣𝑒𝑠) − (1
12𝑑𝑒 𝑑í𝑎)
Etapa 4.- Elegir alternativas de resolución
Si se toma como punto de partida la relación establecida entre los días
laborados y el trabajo del albañil y se remplaza el día con la fracción
equivalente se tiene:
Días Trabajo del albañil
Lunes 1/2 𝑑𝑒 𝑑í𝑎
Martes (1
2𝑑𝑒 𝑑í𝑎) − (
1
12𝑑𝑒 𝑑í𝑎)
Miércoles ((1
2𝑑𝑒 𝑑í𝑎) − (
1
12𝑑𝑒 𝑑í𝑎)) − (
1
12𝑑𝑒 𝑑í𝑎)
Jueves (((1
2𝑑𝑒 𝑑í𝑎) − (
1
12𝑑𝑒 𝑑í𝑎)) − (
1
12𝑑𝑒 𝑑í𝑎)) − (
1
12𝑑𝑒 𝑑í𝑎)
Viernes ((((1
2𝑑𝑒 𝑑í𝑎) − (
1
12𝑑𝑒 𝑑í𝑎)) − (
1
12𝑑𝑒 𝑑í𝑎)) − (
1
12𝑑𝑒 𝑑í𝑎)) − (
1
12𝑑𝑒 𝑑í𝑎)
FRACCIONES
operaciones
Adición Sustracción
División Multiplicación
tienen
Numerador
Denominador
pueden ser
Homogeneas
Igual Denominador
Heterogeneas
Diferente Denominador
Mínimo Común Multiplo
116
Ahora se debe calcular las horas trabajadas por el albañil el día lunes, para
lo cual se utiliza el dato del ejercicio.
𝐿𝑢𝑛𝑒𝑠 = ½ 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑑í𝑎
Si un día es equivalente a 24 horas entonces:
𝐿𝑢𝑛𝑒𝑠 = ½ 𝑑𝑒 (24 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠)
𝐿𝑢𝑛𝑒𝑠 = 24
2ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
𝑳𝒖𝒏𝒆𝒔 = 𝟏𝟐 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔
Luego se calcula las horas equivalentes a 1/12 de un día:
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑑í𝑎 = 1
12 𝑑𝑒 𝑑í𝑎
Si el día tiene 24 horas, entonces:
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑑í𝑎 = 1
12 (24 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠)
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑑í𝑎 = 24
12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒅í𝒂 = 𝟐 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔
Entonces:
Días Trabajo del albañil
Lunes 12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 12 horas
Martes 12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 − 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 10 horas
Miércoles (12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 − 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) − 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 8 horas
Jueves ((12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 − 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) − 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) − 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 6 horas
Viernes (((12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 − 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) − 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) − 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) − 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 4 horas
Total de horas que el albañil trabaja a la semana:
Días Trabajo del albañil
Lunes = 12 horas
Martes = 10 horas
Miércoles = 8 horas
Jueves = 6 horas
Viernes = 4 horas
------------- -----------------
Total 40 horas
Ahora se calcula el tiempo que demorará en terminar la obra en semanas.
117
Una semana = 40 horas obra total= 100 horas
Entonces solo se divide el tiempo total de la obra para en tiempo empleado
en cada semana:
𝑂𝑏𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎=
100 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
40 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
El tiempo empleado para realizar la obra será de 2.5 semanas.
Etapa 5.- Comprobación
Días Trabajo del albañil
Lunes 12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 12 horas
Martes (𝑙𝑢𝑛𝑒𝑠) − (2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) 10 horas
Miércoles (𝑚𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠) − (2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) 8 horas
Jueves (𝑚𝑖𝑒𝑟𝑐𝑜𝑙𝑒𝑠) − (2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) 6 horas
Viernes (𝑗𝑢𝑒𝑣𝑒𝑠) − (2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) 4 horas
Recursos:
Participación de estudiantes, cuaderno de apuntes, proyector, entre otros.
118
Durante un partido de fútbol que disfrutaban por la TV en casa de Eduardo,
Alex, Carlos, Jhon, Luis y el mismo Eduardo, piden una pizza para comer,
entonces se decide que al ser casa de Eduardo él se lleve la mayor parte,
seguido de Jhon quien puso el dinero para la pizza por lo tanto tendrá 1/15
menos que Eduardo, mientras que Alex, Carlos y Luis tendrán partes las
mismas que serán 1/7 de pizza cada uno. ¿Cuál fue la parte de Eduardo?
Etapa 1.- Analizar
Número total de personas: 5
Número total de pizzas: 1
Parte de Eduardo x partes de pizza
Parte de Jhon 1/15 partes de pizza menos que Eduardo.
Parte de Alex, Carlos y Luis 1/7 partes de pizza
Etapa 2.- Reflexionar
Las partes totales de una pizza es igual a la suma de todas las partes en
las que fue dividida, entonces se debe sumar las partes de la pizza que
fueron entregadas a cada persona teniendo en cuenta las especificaciones
de cada parte.
Etapa 3.- Conceptualizar
119
Etapa 4.- Elegir alternativas de resolución
Si se suma las partes de pizza en que fue dividida, se tiene la pizza
completa entonces se puede realizar la siguiente relación:
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑑𝑢𝑎𝑟𝑑𝑜 + 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐽ℎ𝑜𝑛 + 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑙𝑒𝑥, 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑦 𝐿𝑢𝑖𝑠 = 1 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑙𝑒𝑥 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐿𝑢𝑖𝑠
Entonces:
FRACCIONES
operaciones
Adición Sustracción
División Multiplicación
tienen
Numerador
Denominador
pueden ser
Homogeneas
Igual Denominador
Heterogeneas
Diferente Denominador
Mínimo Común Multiplo
120
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑑𝑢𝑎𝑟𝑑𝑜 + 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐽ℎ𝑜𝑛 + 3 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴𝑙𝑒𝑥 = 1 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎
Tomando el dato del
ejercicio:
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑑𝑢𝑎𝑟𝑑𝑜 = 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐽ℎ𝑜𝑛 =1
15𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐸𝑑𝑢𝑎𝑟𝑑𝑜
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑙𝑒𝑥, 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜𝑠 𝑦 𝐿𝑢𝑖𝑠 =1
7𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎
Si la parte de Alex, Carlos y Luis fue 1/7 de pizza cada uno entonces:
1
7𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 +
1
7𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 +
1
7𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 =
3
7𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠
La parte restante de la pizza es:
7
7𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 = 1 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎
1 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 −3
7𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 =
7
7𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 −
3
7𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 =
𝟒
𝟕𝒑𝒊𝒛𝒛𝒂
Entonces:
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑑𝑢𝑎𝑟𝑑𝑜 + 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐽ℎ𝑜𝑛 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎
La parte de Eduardo es la mitad de la parte restante más 1/5, mientras que
la parte de Jhon es la mitad de la parte restante menos 1/5, entonces:
121
(1
2𝑝. 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 +
1
5𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎) + (
1
2 𝑝. 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 −
1
5𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎) = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 =4
7𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎
Entonces:
(1
2(4
7𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎) +
1
5𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎) + (
1
2(4
7𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎) −
1
5𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎) = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
(4
14𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 +
1
5𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎) + (
4
14𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 −
1
5𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎) = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Simplificando:
(2
7𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 +
1
5𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎) + (
2
7𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 −
1
5𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎) = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Entonces:
La parte de Eduardo es:
(2
7𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 +
1
5𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎) =
10 + 1
35𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 =
𝟏𝟏
𝟑𝟓𝒑𝒊𝒛𝒛𝒂
Y la parte de Jhon es:
(2
7𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 −
1
5𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎) =
10 − 1
35𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 =
𝟗
𝟑𝟓𝒑𝒊𝒛𝒛𝒂
Etapa 5.- Comprobación
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑑𝑢𝑎𝑟𝑑𝑜 + 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐽ℎ𝑜𝑛 + 3 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴𝑙𝑒𝑥 = 1 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎
11
35𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 +
9
35𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 +
3
7𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 = 1 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎
11 + 9 + 15
35𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 = 1 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎
35
35𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 = 1 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎
1 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 = 1 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎
Recursos:
Participación de estudiantes, cuaderno de apuntes,
proyector, entre otros.
122
Datos informativos.
Nombre:……………….………………..Fecha:……………………...................
Noveno Año de Educación General Básica.
Objetivo:
Aplicar las operaciones básicas estudiadas en la resolución de problemas
con números irracionales y relacionar el teorema de Pitágoras en la
resolución de triángulos rectángulos para el cálculo de perímetros y áreas.
123
La pelota de Luis quedó atrapada en un árbol de 2.5 metros de altura por
encima de su cabeza y en la base del árbol se encuentra un charco de agua
que la rodea de aproximadamente 3/4 partes de la altura a la que se
encuentra su pelota. Si Luis que mide 1.5 metros desea recuperar su pelota
¿Cuál sería la longitud mínima de la escalera que necesita para bajarla?
Etapa 1.- Analizar
Altura del árbol…………………………….2.5 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠.
Ancho del charco. ………………….….….3
4𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 á𝑟𝑏𝑜𝑙.
Longitud mínima de la escalera…………𝑥
Etapa 2.- Reflexionar
Como entre el árbol y el charco de agua se forma un ángulo recto
(90°), se puede aplicar el teorema de Pitágoras para resolver este
problema, teniendo en cuenta los datos reales del problema.
Altura del árbol es 2.5 metros por encima de la cabeza de Luis.
Etapa 3.- Conceptualizar
124
Etapa 4.- Elegir alternativas de resolución
Aplicación del teorema de Pitágoras.
Primero se calcula el ancho del charco de agua.
Altura del árbol…………………………….4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠.
Ancho del charco. ………………….….….3
4𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 á𝑟𝑏𝑜𝑙.
Entonces:
Ancho del charco. ………………….….….3
4(4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠)
Sustituyendo el valor de la altura del árbol.
Ancho del charco. ………………….….….3 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
Aplicando el teorema de Pitágoras
Perímetro
• Es la suma de longitudes de los lados de un cuerpo geométrico.
Área
• Espacio delimitados por el perímetro, es la superficie que ocupa una figura plana.
125
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
De donde:
𝑎 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎.
𝑏 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 á𝑟𝑏𝑜𝑙.
𝑐 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎.
Entonces:
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎2 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 á𝑟𝑏𝑜𝑙2 + 𝑐𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎2
longitud de la escalera2 = (4)2metros + (3)2metros
longitud de la escalera2 = (16 + 9)metros
longitud de la escalera2 = 25 metros
longitud de la escalera = 5 metros
Etapa 5.- Comprobación.
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎2 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 á𝑟𝑏𝑜𝑙2 + 𝑐𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎2
(5)2𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 = (4)2𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 + (3)2𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
25 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 = (16 + 9)𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
25 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 = 25 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
La altura mínima de la escalera que debe utilizar Luis para bajar su pelota
es de 5 metros.
Recursos:
Participación de estudiantes, cuaderno de apuntes, proyector, entre otros
126
Se desea conocer el valor del perímetro de una piscina en forma de
rectangular cuyo lado menor mide 4 metros, la relación entre lado mayor y
lado menor es de 3:2 y también se sabe que el área es 24 metros
cuadrados.
Etapa 1.- Analizar
Lado menor de la piscina……….. 4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠.
Área……………………………….. 24 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠.
Relación entre lados……………..3 : 2
Perímetro…………………………. 𝑋.
Etapa 2.- Reflexionar
Para encontrar el perímetro de una figura geométrica se necesita
conocer el valor de todos los lados del mismo, por lo tanto se debe
calcular el lado restante.
Como se tiene el valor del área de la piscina se puede calcular el
valor del lado restante.
Etapa 3.- Conceptualizar
127
PERÍMETRO:
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 2 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 + 2 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
ÁREA:
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 × 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
Etapa 4.- Elegir alternativas de resolución
Perímetro
• Es la suma de longitudes de los lados de un cuerpo geométrico.
Área
• Espacio delimitados por el perímetro, es la superficie que ocupa una figura plana.
128
𝐸𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟:
𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒍 á𝒓𝒆𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂, 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒍 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆.
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 24 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠.
Á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 × 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
24 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 × 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
Si se divide todo para 4 metros tenemos:
4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 × 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠=
24 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠.
4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 6 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠.
El lado mayor del rectángulo mide 12 metros, se procede a calcular el
perímetro.
𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 + 2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠.
𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2 (4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠) + 2 (6 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠).
𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 8 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 + 12 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠.
𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 20 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠.
Etapa 5.- Comprobación.
𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑑𝑒 3 ∶ 2
Entonces:
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟=
3
2
6 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠=
3
2
Si se simplifica metros:
6
4 =
3
2
Si se simplifica:
3
2 =
3
2
Recursos:
Participación de estudiantes, cuaderno de apuntes, proyector, entre otros.
129
Datos informativos.
Nombre:……………….………………..Fecha:……………………...................
Noveno Año de Educación General Básica.
Objetivo:
Aplicar las operaciones básicas estudiadas en la resolución de problemas
con números irracionales y relacionar el teorema de Pitágoras en la
resolución de triángulos rectángulos para el cálculo de perímetros y áreas.
130
Se tiene una cuadricula con las medidas especificadas en el gráfico y se
desea saber qué porcentaje del área total de la misma está pintada y
también se desea conocer el perímetro de este grafico en función de
mediadas AC.
Etapa 1.- Analizar
Lado del cuadrado mayor.……….. A-B.
Lado del cuadrado menor.……….. A-C.
Área………………………………… X1
Área pintada………………………. X2
Perímetro…………………………. . y
Etapa 2.- Reflexionar
Para encontrar el perímetro de una figura geométrica se necesita
conocer el valor de todos los lados de la misma, por lo tanto se debe
calcular uno de los lados del cuadrilátero regular.
131
Con el valor de los lados podemos calcular el área total y con el valor
del lado del cuadrilátero pequeño se pude calcular el valor del área
pintada.
Etapa 3.- Conceptualizar
Etapa 4.- Elegir alternativas de resolución
𝐸𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟:
Perímetro
• Es la suma de longitudes de los lados de un cuerpo geométrico.
Área
• Espacio delimitados por el perímetro, es la superficie que ocupa una figura plana.
132
Se utiliza el valor del lado del cuadrado
mayor para calcular el perímetro del
cuadrado grande.
Valor del lado del cuadrado mayor = AB
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 4 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠
Entonces:
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 4 (𝐴𝐵)
Del mismo modo se utiliza el valor del lado del cuadrado menor para calcular el
perímetro del cuadrado pequeño.
Valor del lado del cuadrado menor = AC
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 4 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠
Entonces:
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 4 (𝐴𝐶)
𝐸𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟:
Se utiliza el valor del lado del cuadrado mayor para calcular el área del cuadrado
grande.
Valor del lado del cuadrado mayor = AB
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 × 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
Entonces:
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = (𝐴𝐵) × (𝐴𝐵)
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = (𝐴𝐵)2
Del mismo modo para con el valor del lado del cuadrado menor se calcula el área
del cuadrado pequeño.
133
Valor del lado del cuadrado menor = AC
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 × 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
Entonces:
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = (𝐴𝐶) × (𝐴𝐶)
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = (𝐴𝐶)2
Una vez obtenidos los valores tanto de perímetros y áreas del cuadrado
pequeño como grande se procede a calcular el tanto por ciento de la
cuadricula pintada.
Para esta se va a utilizar una regla de tres simple:
𝐸𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟:
Se calcula o se cuenta cuantos cuadros pequeños hay dentro del cuadro
grande.
Si se desea calcular la cantidad solo se debe revisar cuantas medidas AC
hay en una AB, en este caso son cuatro y debido a que se trata de un
cuadrado elevamos este valor al cuadrado y se obtiene el valor de la
cantidad total de cuadrados pequeños.
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 4 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠
(𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟)2 = (4 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠)2
(𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟)2 = 16 (𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠)2
(𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟)2 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
(𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟)2 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
16 (𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟)2 = 16 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
Entonces:
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 16 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
134
𝐸𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟:
Se cuenta los cuadros pequeños pintados para calcular su porcentaje del
total.
5 cuadros pequeños pintados.
Entonces:
Regla de tres simple:
16 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜𝑠 = 100%
5 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜𝑠 = 𝑥
𝒙 =5 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜𝑠 × 100%
16 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜𝑠
𝒙 =5 × 100%
16
𝑥 = 31,25%
Etapa 5.- Comprobación.
La sumatoria de los porcentajes de los cuadros pintados y no pintados
debes ser igual al porcentaje total del cuadro grande, es decir:
135
𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜𝑠 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 + 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 = 16 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜𝑠
En porcentajes:
31,25 % + 68, 75 % = 100 %
31,25 % = porcentaje de los cuadros pintados, entonces se debe comprobar que
el 68, 75 % es el porcentaje de los cuadros no pintados.
Entonces:
Si 5 son lo cuadros pintados y 16 el total de cuadros:
16 − 5 = 11
11 son los cuadros sin pintar.
Se procede como se realizó anteriormente.
Regla de tres simple:
16 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜𝑠 = 100%
11 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜𝑠 = 𝑥
𝒙 =11 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜𝑠 × 100%
16 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜𝑠
𝒙 =11 × 100%
16
𝑥 = 68,75%
𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜𝑠 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 + 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 = 16 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜𝑠
31,25 % + 68, 75 % = 100 %
Recursos:
Participación de estudiantes, cuaderno de apuntes, proyector, entre otros.
136
El área de una cancha de futbol es igual a 3200 m2, el perímetro es 240 m,
y también se sabe que el largo de la cancha es el doble que su ancho. Se
desea saber el valor de cada lado de la cancha.
Etapa 1.- Analizar
Largo de la cancha……………….x1
Ancho de la cancha……………....x2
Área de la cancha…………………3200 m2
Perímetro…………………………..240 m
Largo de la cancha……………….2 (Ancho de la cancha)
Etapa 2.- Reflexionar
Para encontrar el perímetro de una figura geométrica se necesita
conocer el valor de todos los lados del mismo, al igual que su área.
Etapa 3.- Conceptualizar
137
PERÍMETRO:
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 2 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 + 2 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠
ÁREA:
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 × 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
RELACIÓN DE LADOS DEL RECTÁNGULO:
𝐿𝑎𝑟𝑔𝑜 = 2 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜
Perímetro
• Es la suma de longitudes de los lados de un cuerpo geométrico.
Área
• Espacio delimitados por el perímetro, es la superficie que ocupa una figura plana.
138
O lo mismo:
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠
Etapa 4.- Elegir alternativas de resolución
𝐸𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟:
𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒐.
PERÍMETRO:
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 2 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 + 2 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠
240 𝑚 = 2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 + 2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟:
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠
240 𝑚 = 2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 + 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
240 𝑚 = 2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 + 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
240 𝑚 = 3 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠
Se procede a simplificar dividiendo todo para (3)
Entonces:
240 𝑚
3=
3 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠
3
80 𝑚 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
Nuevamente se vuelve:
PERÍMETRO:
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 2 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 + 2 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠
240 𝑚 = 2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 + 2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠
Y se remplaza el valor calculado:
240 𝑚 = 2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 + 2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠
240 𝑚 = 2(80 𝑚) + 2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠
240 𝑚 = 160 𝑚 + 2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠
Para despejar el valor del lado menor se resta a cada lado de la ecuación
(160 m)
139
240 𝑚 − 160 𝑚 = 160 𝑚 − 160 𝑚 + 2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠
80 𝑚 = 2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠
Y se divide para (2) toda la ecuación:
80 𝑚
2=
2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
2
40 𝑚 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
Etapa 5.- Comprobación.
Como dato se da que el área de la cancha es 3200 m2
ÁREA:
3200 𝑚2 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 × 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
Si se remplaza por los valores encontrados se debe llegar a una igualdad.
3200 𝑚2 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 × 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 80 𝑚
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 40 𝑚
3200 𝑚2 = 80 𝑚 × 40 𝑚
3200 𝑚2 = 3200𝑚2
Recursos:
Participación de estudiantes, cuaderno de apuntes, proyector, entre otros.
140
Datos informativos.
Nombre:……………….………………..Fecha:……………………...................
Noveno Año de Educación General Básica.
Objetivo:
Factorizar polinomios y desarrollar productos notables y determinar sus
raíces mediante la aplicación de las operaciones básicas estudiadas para
la resolución de problemas relacionados.
141
Se sabe que la suma de dos números desconocidos elevados al cuadrado
da como resultado 49, y también se sabe que el segundo número excede
al primero en uno. ¿Cuáles son los números?
Etapa 1.- Analizar
Datos:
(𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜 + 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜)2 = 49
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜 + 1 = 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜
Etapa 2.- Reflexionar
Para facilidad de escritura se remplaza los números desconocidos con
letras, por ejemplo:
Primer número desconocido a
Segundo número desconocido b
Etapa 3.- Conceptualizar
142
Suma de dos números desconocidos elevados al cuadrado da como
resultado 49.
Entonces:
(𝐚 + 𝐛)𝟐 = 𝟒𝟗
segundo número excede al primero en uno
𝐚 + 𝟏 = 𝐛 Etapa 4.- Elegir alternativas de resolución
Tomando como punto de partida el primer dato.
(𝑎 + 𝑏)2 = 49
Sumando (-49) a cada miembro de la ecuación se obtiene.
(𝑎 + 𝑏)2 + (−49) = 49 + (−49)
(𝑎 + 𝑏)2 − 49 = 49 − 49
(𝑎 + 𝑏)2 − 49 = 0
Si tomamos a (𝑎 + 𝑏)2 como un primer término y 49 como un según término
se obtiene una diferencia de cuadrados de donde:
√(𝑎 + 𝑏)2 − √49 = 0
(𝑎 + 𝑏) − 7 = 0
Se obtiene una ecuación lineal de primer grado con dos variables:
(𝑎 + 𝑏) − 7 = 0
Sumando (7) a cada miembro de la ecuación:
(𝑎 + 𝑏) − 7 + 7 = 0 + 7
1).- 𝑎 + 𝑏 = 7
Para obtener el valor de (a) se suma (-b) a la ecuación:
𝑎 + 𝑏 + (−𝑏) = 7 + (−𝑏)
𝑎 + 𝑏 − 𝑏 = 7 − 𝑏
𝑎 = 7 − 𝑏
Se toma el segundo dato (el segundo número excede al primero en uno)
2).- 𝑎 + 1 = 𝑏
Finalmente se toma el valor anteriormente calculado de (a) y se remplaza
en la ecuación 2
1).- 𝑎 = 7 − 𝑏
143
2).- 𝑎 + 1 = 𝑏
(7 − 𝑏) + 1 = 𝑏
7 − 𝑏 + 1 = 𝑏
8 − 𝑏 = 𝑏
Sumando (b) a cada miembro de la ecuación se obtiene:
8 − 𝑏 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑏
8 = 2𝑏
Dividiendo toda la ecuación para 2:
8
2=
2𝑏
2
4
1=
1𝑏
1
4 = 𝑏
Luego se remplaza el valor encontrado en la ecuación 2:
𝑎 = 7 − 𝑏
𝑎 = 7 − 4
𝑎 = 3
Primer número desconocido 𝑎 = 3
Segundo número desconocido 𝑏 = 4
Etapa 5.- Comprobación.
(𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜 + 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜)2 = 49
(𝑎 + 𝑏)2 = 49
(3 + 4)2 = 49
(7)2 = 49
49 = 49
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜 + 1 = 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜
𝑎 + 1 = 𝑏
3 + 1 = 4
4 = 4
Recursos:
Participación de estudiantes, cuaderno de apuntes, proyector, entre otros
144
Cuál es la suma de dos elevado a la menos seis más el producto de dos
elevado a la menos uno por dos elevado a la menos cinco más el producto
de dos al cuadrado por cuatro elevado a la menos cuatro más el producto
de dos al cubo por ocho elevado a la menos tres más el producto de dos al
cuadrado por dieciséis elevado a la menos dos.
Etapa 1.- Analizar
Dos elevado a la menos
seis…………………………….…………2−6
Dos elevado a la menos uno por dos elevado a la
menos
cinco……………………………………...….………………….……(2−1 × 2−5)
Dos al cuadrado por cuatro elevado a la menos
cuatro………………………………................................………….(22 × 4−4)
Do s al cubo por ocho elevado a la menos tres………………….(23 × 8−3)
Dos al cuadrado por dieciséis elevado a la menos
dos……………………………………………………………….…..(22 × 16−2)
Etapa 2.- Reflexionar
Se debe encontrar números que correspondan a los requerimientos del
ejercicio mediante los procesos estudiados y también por medio del
razonamiento.
Etapa 3.- Conceptualizar
Representación.
2−6 + (2−1 × 2−5) + (22 × 4−4) + (23 × 8−3) + (22 × 16−2) = ?
145
Etapa 4.- Elegir alternativas de resolución
En primer lugar se procede a calcular el valor que se encuentra en cda
paréntesis.
Primer término (2−1 × 2−5)
Por regla de potenciación se conserva la base y se suman los exponentes.
(2−1 × 2−5) = (2−1+(−5)) = (2−1−5)
= (2−6)
Segundo término (22 × 4−4)
Se procura si es posible que todos los términos tengan la misma base y por
regla de potencia de potencia los exponentes se multiplican.
(22 × 4−4) = (22 × (22)−4) = (22 × 2(2)(−4)) = (22 × 2−8) = (22+(−8)) = (22−8)
= 2−6
Tercer término (23 × 8−3)
Se prosigue como en el término anterior.
(23 × 8−3) = (23 × (23)−3) = (23 × 2(3)(−3)) = (23 × 2−9) = (23+(−9)) = (23−9)
= 2−6
Último término (22 × 16−2) =
Se continúa como en los términos anteriores.
(22 × 16−2) = (22 × (24)−2) = (22 × 2(4)(−2)) = (22 × 2−8) = (22+(−8)) = (22−8)
= 2−6
Entonces:
2−6 + (2−1 × 2−5) + (22 × 4−4) + (23 × 8−3) + (22 × 16−2)
Es igual a 2−6 + 2−6 + 2−6 + 2−6 + 2−6
De donde mediante reglas de factorización:
146
2−6(1 + 1 + 1 + 1 + 1) = 5(2−6)
Se procede a convertir los exponentes negativos a positivos.
5(2−6) = 5 (1
26) =
5
26=
5
64
Etapa 5.- Comprobación.
Para comprobar el resultado se puede tomar otra alternativa de resolución.
Por ejemplo transformando los exponentes negativos a positivos desde el
inicio.
2−6 + (2−1 × 2−5) + (22 × 4−4) + (23 × 8−3) + (22 × 16−2)
Entonces:
1
26+ (
1
2×
1
25) + (22 ×
1
44) + (23 ×
1
83) + (22 ×
1
162)
Y se procede de la misma manera anteriormente utilizada.
1
26+ (
1
2×
1
25) + (22 ×
1
(22)4) + (23 ×
1
(23)3) + (22 ×
1
(24)2)
Según regla de potenciación, entre un numerador y denominador de misma
base se restan los exponentes.
1
26+ (
1
2×
1
25) + (22 ×
1
28) + (23 ×
1
29) + (22 ×
1
28)
1
26+ (
1
2 × 25) + (
22
28) + (
23
29) + (
22
28)
1
26+ (
1
26) + (
1
26) + (
1
26) + (
1
26)
1
26+
1
26+
1
26+
1
26+
1
26
1
26(1 + 1 + 1 + 1 + 1) =
5
26=
5
64
Recursos:
Participación de estudiantes, cuaderno de apuntes, proyector, entre otros
147
Datos informativos.
Nombre:……………….………………..Fecha:……………………...................
Noveno Año de Educación General Básica.
Objetivo:
Factorizar polinomios y desarrollar productos notables y determinar sus
raíces mediante la aplicación de las operaciones básicas estudiadas para
la resolución de problemas relacionados.
148
En un bus se suben cierta cantidad de personas entre niños y adultos, por
cada adulto se debe pagar 0.25 dólares, y por cada niño 0,12 dólares, se
suben alternadamente primero un niño luego un adulto sucesivamente, al
final sube un adulto, se termina pagando 2,22 dólares. ¿Cuántas personas
mayores y cuantos niños se subieron al bus?
Etapa 1.- Analizar
Costo del pasaje:
Persona mayor: 0,25 dólares
Niños: 0,12 dólares
Pasaje total pagado: 2,22 dólares
Número total de personas mayores x1
Número total de niños x2
Etapa 2.- Reflexionar
Si se sabe que primero se sube un niño y luego un adulto sucesivamente y
al final termina subiendo un adulto, entonces se considera que el número
total de personas adultas y de niños es igual.
149
Etapa 3.- Conceptualizar
𝑃𝑎𝑠𝑎𝑗𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑑𝑜: 2,22 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 = 𝑥1
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑖ñ𝑜𝑠 = 𝑥2
Entonces:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 + 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑖ñ𝑜𝑠
= 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 + 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑖ñ𝑜𝑠
= 𝑃𝑎𝑠𝑎𝑗𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑑𝑜
Etapa 4.- Elegir alternativas de resolución
Partiendo de la igualdad establecida:
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 + 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑖ñ𝑜𝑠
= 𝑃𝑎𝑠𝑎𝑗𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑑𝑜
Remplazando:
𝑥1(0,25 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠) + 𝑥2(0,12 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠) = 2,22 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
Se tiene en cuenta que 𝑥1 = 𝑥2
150
Entonces:
𝑥1(0,25 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠) + 𝑥1(0,12 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠) = 2,22 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
0,25 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑥1 + 0,12 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑥1 = 2,22 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
0,37 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑥1 = 2,22 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
Para despejar el valor de 𝑥1 se divide toda la ecuación para (0,37 dólares)
0,37 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑥1 =
0,37 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 =
2,22 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
0,37 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
𝑥1 = 6
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 = 6
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑖ñ𝑜𝑠:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑖ñ𝑜𝑠 = 6
Etapa 5.- Comprobación.
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 + 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑖ñ𝑜𝑠
= 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 + 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑛𝑖ñ𝑜𝑠
= 𝑃𝑎𝑠𝑎𝑗𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑑𝑜
6(0.25 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠) + 6(0,12 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠) = 2,22 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
1,15 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 + 0,72 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 = 2,22 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
2,22 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 = 2,22 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
Recursos:
Participación de estudiantes, cuaderno de apuntes, proyector, entre otros
151
Una piscina se está llenando en función de la forma que tiene la mima, es
decir que al a medida que se va llenando el tiempo será mayor. La piscina
contiene 5 etapas de las cuales en la primera etapa se demora el triple de
lo que se demora en la etapa 4, en la etapa dos se demora el tiempo al
cuadrado que se demora en la etapa 5 más el tiempo de la esa misma
etapa, en la etapa 3 se demora el cuadrado del tiempo que se demora en
la etapa 5, el tiempo de la etapa 5 es un tercio del tiempo de la etapa 4, la
piscina se llena en 2 horas. ¿Cuál es el tiempo en cada etapa?
Etapa 1.- Analizar
Etapas tiempo de llenado
1 triple de lo que se demora en la etapa 4
2 se demora el tiempo al cuadrado que se demora en la
etapa 5 más el tiempo de la esa misma etapa
3 cuadrado del tiempo que se demora en la etapa 5
4 ?
5 un tercio del tiempo de la etapa 4
Tiempo total de llenado 2 horas.
Etapa 2.- Reflexionar
La suma de todas las etapas dará como resultado el tiempo tota del llenado
con el cual se podrá encontrar el tiempo parcial en cada una de las etapas
o nivel de la piscina.
152
Se remplazara valores hasta dejar una sola variable para resolver el
problema.
Etapa 3.- Conceptualizar
Tomando como referencia los datos proporcionados por el ejercicio:
Etapas tiempo de llenado
1 triple de lo que se demora en la etapa 4
2 se demora el tiempo al cuadrado que se demora en la
etapa 5 más el tiempo de la esa misma etapa
3 cuadrado del tiempo que se demora en la etapa 5
4 ?
5 un tercio del tiempo de la etapa 4
Tiempo total de llenado 2 horas.
Remplazando con notación matemática:
Etapas tiempo de llenado
1 3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4)
2 (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5
3 (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2
5 1
3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4)
Tiempo total de llenado 2 horas.
También se sabe que:
𝐸𝑡𝑎𝑝𝑎 1 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 2 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 3 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5 = 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
153
Etapa 4.- Elegir alternativas de resolución
𝐸𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟:
Utilizando la sumatoria de los tiempos en cada etapa es igual al tiempo total
de llenado:
𝐸𝑡𝑎𝑝𝑎 1 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 2 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 3 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5 = 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
Se remplaza con los datos del ejercicio:
1 3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4)
2 (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5
3 (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2
5 1
3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4)
Entonces:
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 1 3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4)
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 2 (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 3 (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5 1
3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4)
𝐸𝑡𝑎𝑝𝑎 1 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 2 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 3 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5 = 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4) + ((𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5) + (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5 = 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
Tomando el dato:
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5 =1
3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4)
Multiplicando toda la ecuación para (3):
3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5) = (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4)
Se procede a remplazar valor de la etapa 4:
3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4) + ((𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2 + (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5) + (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5
= 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
3(3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)) + ((𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2 + (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5) + (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2 + 3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5) + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5
= 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠.
Se procede a eliminar los paréntesis:
9(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5) + (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2 + (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5) + (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2 + 3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5) + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5 = 2 ℎ𝑠.
2(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2 + 14(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5) = 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
154
2(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2 + 14(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5) − 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 0
Se obtiene una ecuación de segundo grado de la forma:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Si se toma (etapa 5) como 𝑥 se obtiene:
2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 120 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
2𝑥2 + 14𝑥 − 120 = 0
Si se divide toda la ecuación para 2 se obtiene:
2𝑥2
2+
14𝑥
2−
120
2=
0
2
𝑥2 + 7𝑥 − 60 = 0
Se procede a factorar:
Se busca un número que la diferencia sea 7 y el producto sea igual a 60.
Diferencia 12 − 5 = 7
Producto 12 × 5 = 60
Entonces:
(𝑥 + 12)(𝑥 − 5) = 0
𝑥1 = −12
𝑥2 = 5
Se toma el valor positivo:
𝑥2 = 5
(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5) = 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
Entonces:
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 1 3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4)
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 2 (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 3 (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5 1
3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4)
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 2 = (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 2 = (5)2𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 + 5𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 2 = 25 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 + 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝒆𝒕𝒂𝒑𝒂 𝟐 = 𝟑𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 3 = (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5)2
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 3 = (5)2𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝒆𝒕𝒂𝒑𝒂 𝟑 = 𝟐𝟓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
155
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5 =1
3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4)
3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5) = (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4)
3(5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠) = (𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4)
(𝒆𝒕𝒂𝒑𝒂 𝟒) = 𝟏𝟓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 1 = 3(𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4)
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 1 = 3(15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠)
𝒆𝒕𝒂𝒑𝒂 𝟏 = 𝟒𝟓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
Etapa 5.- Comprobación.
Para comprobar se utiliza la ecuación inicial:
𝐸𝑡𝑎𝑝𝑎 1 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 2 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 3 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4 + 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5 = 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 1 = 45 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 2 = 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 3 = 25 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 4 = 15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 5 = 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
Entonces:
45 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 + 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 + 25 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 + 15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 + 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 2 ℎ𝑠.
120 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠.
120 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 120 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
Recursos:
Participación de estudiantes, cuaderno de apuntes, proyector, entre otros
156
Datos informativos.
Nombre:……………….………………..Fecha:……………………...................
Noveno Año de Educación General Básica.
Objetivo:
Reconocer una función lineal por medio del análisis de su tabla de valores
de su grafico para comprender y predecir variaciones constantes.
157
José tiene en su jardín tres tipos de plantas diferentes, maíz, habas y fréjol,
hace tres meses las tres plantas tenían el mismo tamaño 5 cm, hace dos
meses el maíz excedía a las plantas de habas en 10 cm y estas al fréjol en
5 cm que hasta entonces había incrementado la mitad de su tamaño, hace
un mes el maíz tenía el doble tamaño que las plantas de fréjol más 10 cm
y estas a su vez tenían 10 cm menos que las plantas de haba que median
30 cm, suponiendo el mismo crecimiento en cada planta, ¿Cuáles serían
los tamaños de cada planta en la actualidad?.
Etapa 1.- Analizar
Agrupar los datos proporcionados para un mejor entendimiento del
problema.
Hace 3 meses tenían el mismo tamaño (5 cm)
Hace 2 meses
El maíz excedía a las plantas de habas en 10 cm y estas
a las de fréjol en 5 cm que hasta entonces había
incrementado la mitad de su tamaño
Hace 1 mes
El maíz tenía el doble tamaño que las plantas de fréjol
más 10 cm y estas a su vez tenían 10 cm menos que
las plantas de haba que median 30 cm.
Hoy ¿Tamaño de cada planta?
Etapa 2.- Reflexionar
Hace 2 meses el maíz excedía a las plantas de habas en 10 cm y estas al
fréjol en 5 cm que hasta entonces había incrementado la mitad de su
tamaño, entonces el tamaño de la planta de fréjol está representado de la
forma:
158
𝑓 = 𝑓(ℎ𝑎𝑐𝑒 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) +1
2𝑓(ℎ𝑎𝑐𝑒 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠)
𝑓 =2𝑓(ℎ𝑎𝑐𝑒 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) + 𝑓(ℎ𝑎𝑐𝑒 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠)
2
𝑓 =3
2𝑓(ℎ𝑎𝑐𝑒 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠)
Etapa 3.- Conceptualizar
Etapa 4.- Elegir alternativas de resolución
Tomando como punto de partida la tabla anteriormente construida a base
de los datos proporcionados.
Plantas Tamaño en centímetros
Hace 3 meses Hace 2 meses Hace 1 mes hoy
Maíz (m) 𝑚 = 5 𝑚 = ℎ + 10
ℎ = 𝑓 + 5
𝑓 =3
2𝑓(ℎ𝑎𝑐𝑒 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠)
𝑚 = 2𝑓 + 10 𝑚 =?
Habas (h) ℎ = 5 ℎ = 30 ℎ =?
Fréjol (f) 𝑓 = 5 𝑓 = ℎ − 10 𝑓 =?
Tomando los datos de hace un mes:
Debido al incremento de tamaño de (f) en un mes se tiene que:
𝑓 =3
2𝑓(ℎ𝑎𝑐𝑒 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠)
De donde 𝑓(ℎ𝑎𝑐𝑒 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) es igual a 10 centímetros, entonces:
𝑓 =3
2(10)
𝑓 =30
2= 15
Remplazando el valor de (f) para encontrar (h) se tiene:
ℎ = 𝑓 + 5
ℎ = 15 + 5
ℎ = 20
Plantas Tamaño en centímetros
Hace 3 meses Hace 2 meses Hace 1 mes hoy
Maíz (m) 𝑚 = 5 𝑚 = ℎ + 10
ℎ = 𝑓 + 5
𝑓 =3
2𝑓(ℎ𝑎𝑐𝑒 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠)
𝑚 = 2𝑓 + 10 𝑚 =?
Habas (h) ℎ = 5 ℎ = 30 ℎ =?
Fréjol (f) 𝑓 = 5 𝑓 = ℎ − 10 𝑓 =?
159
y remplazando este valor para encontrar (m).
𝑚 = ℎ + 10
𝑚 = 20 + 10
𝑚 = 30
Tomando los datos de hace un mes:
𝑓 = ℎ − 10
Remplazando el valor de (h) para encontrar (f)
𝑓 = 30 − 10
𝑓 = 20
Este valor a su vez remplazamos para encontrar el valor de (m)
𝑚 = 2𝑓 + 10
𝑚 = 2(20) + 10
𝑚 = 40 + 10
𝑚 = 50
De tal modo la tabla quedaría de la siguiente forma:
Plantas Tamaño en centímetros
Hace 3 meses Hace 2 meses Hace 1 mes Hoy
Maíz (m) 𝑚 = 10 𝑚 = 30 𝑚 = 50 𝑚 =?
Habas (h) ℎ = 10 ℎ = 20 ℎ = 30 ℎ =?
Fréjol (f) 𝑓 = 10 𝑓 = 15 𝑓 = 20 𝑓 =?
De donde se pude determinar el valor del crecimiento de cada una de las
plantas por mes.
Tomando el valor de hace un mes y restando el valor del mes anterior se
obtiene el valor de la razón de crecimiento.
Plantas de Maíz.
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑢𝑛 𝑚𝑒𝑠 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
50 − 30 = 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
20 = 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
Maíz (m) 𝑚 = 10 𝑚 = 30 𝑚 = 50 𝑚 =?
Razón de crecimiento +20 +20 +20
160
Se puede apreciar el incremento del tamaño por cada mes en 20 cm, por
lo cual el valor del tamaño actual de maíz seria el valor del tamaño hace un
mes más 20 cm.
𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = 50 + 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = 50 + 20
𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = 70 𝑐𝑚
Plantas de Habas.
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑢𝑛 𝑚𝑒𝑠 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
30 − 20 = 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
10 = 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
Habas (h) ℎ = 10 ℎ = 20 ℎ = 30 ℎ =?
Razón de crecimiento +10 +10 +10
Se puede apreciar el incremento del tamaño por cada mes en 10 cm, por
lo cual el tamaño actual de las plantas de haba seria el valor del tamaño
hace un mes más 10 cm.
𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = 30 + 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = 30 + 10
𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = 40 𝑐𝑚
Plantas de Fréjol.
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑢𝑛 𝑚𝑒𝑠 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
20 − 15 = 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
5 = 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
fréjol (m) 𝑓 = 10 𝑓 = 15 𝑓 = 20 𝑓 =?
Razón de crecimiento +5 +5 +5
Se puede apreciar el incremento del tamaño por cada mes en 5 cm, por lo
cual el tamaño actual de las plantas de fréjol seria el valor del tamaño hace
un mes más 5 cm.
𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = 20 + 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = 20 + 5
𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = 25 𝑐𝑚
161
De tal modo la tabla quedaría de la siguiente forma:
Plantas Tamaño en centímetros
Hace 3 meses Hace 2 meses Hace 1 mes Hoy
Maíz (m) 𝑚 = 10 𝑚 = 30 𝑚 = 50 𝑚 = 25
Habas (h) ℎ = 10 ℎ = 20 ℎ = 30 ℎ = 40
Fréjol (f) 𝑓 = 10 𝑓 = 15 𝑓 = 20 𝑓 = 70
Etapa 5.- Comprobación.
La comprobación se puede realizar calculando los tamaños ya
proporcionados en el problema:
𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎í𝑧 = 20 𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑠
𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑎 = 10 𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑠
𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑟é𝑗𝑜𝑙 = 5 𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑠
De donde tomando el valor de hace tres meses se tiene:
Plantas Tamaño en centímetros
Hace 3 meses Hace 2 meses
Maíz (m) 𝑚 = 10 𝑚 = 10 + 20 𝑐𝑚 𝑚 = 30 𝑐𝑚
Habas (h) ℎ = 10 ℎ = 10 + 10 𝑐𝑚 ℎ = 20 𝑐𝑚
Fréjol (f) 𝑓 = 10 𝑓 = 10 + 5 𝑐𝑚 𝑓 = 15 𝑐𝑚
Recursos:
Participación de estudiantes, cuaderno de apuntes, proyector, entre otros
162
Pedro debe realizar 5 ejercicios de matemáticas en su casa como parte de
un deber, siendo las 14 horas (2 de la tarde) Pedro inicia las labores
resolviendo primero los ejercicios sencillos para terminar con los de mayor
dificultad, el tiempo en terminar el primer ejercicio es de 2 minutos al igual
que el segundo, el tercer ejercicio le toma 4 minutos y el cuarto ejercicio le
toma 12 minutos. ¿Cuánto demorara pedro en resolver el último ejercicio y
a qué hora debería terminar su deber?
Etapa 1.- Analizar
Inicio de las labores 14 horas
Tiempo en terminar el primer ejercicio 2 minutos
Tiempo en terminar el segundo ejercicio 2 minutos
Tiempo en terminar el tercer ejercicio 4 minutos
Tiempo en terminar el cuarto ejercicio 12 minutos
Tiempo en terminar el quinto ejercicio (x) minutos
Fin de las labores (y) horas
Etapa 2.- Reflexionar
A medida que Pedro resuelve los ejercicios emplea más tiempo por cada
ejercicio debido a que la dificultad también aumenta por lo cual es necesario
calcular la razón en la cual incrementa el tiempo de resolución de cada
163
ejercicio con la finalidad de poder calcular el tiempo de demora del último
ejercicio y el tiempo total que empleo Pedro para realizar su deber.
Etapa 3.- Conceptualizar
Para facilitar la comprensión del problema se realiza una tabla con los
diferentes tiempos por cada ejercicio.
Ejercicio Tiempo
Primero 2 minutos
Segundo 2 minutos
Tercero 4 minutos
Cuarto 12 minutos
Quinto (x) minutos
Para calcular la hora en la que Pedro finalizara su tarea se debe sumar el
tiempo total que emplea en realizar su tarea y ese resultado es sumado a
la hora de inicio de la labor, es decir:
Inicio de las labores 14 horas
Fin de las labores = tiempo en realizar todos los ejercicio + hora de inicio
Etapa 4.- Elegir alternativas de resolución
Tomando como referencia la tabla anterior se procede a buscar alguna
relación entre el tiempo de cada ejercicio:
Ejercicio Tiempo
Primero 2 minutos
Segundo 2 minutos
Tercero 4 minutos
Cuarto 12 minutos
Quinto (x) minutos
164
1. Se puede notar que el tiempo empleado en el segundo ejercicio es igual
al primero por lo cual se interpreta que la razón de crecimiento es 1
2. El tercer ejercicio demora el doble de tiempo que el primero y segundo
por lo cual se asume que la razón de crecimiento es 2.
3. El tiempo empleado en el cuarto ejercicio es el triple del tiempo
empleado en el tercer ejercicio por lo cual la razón de crecimiento es 3.
4. Siguiendo ese mismo orden de crecimiento el tiempo empleado para el
último ejercicio debería ser el cuádruplo del tiempo empleado en el
cuarto ejercicio por lo cual la razón de crecimiento seria 4.
Ejercicio Tiempo Relación Comprobación
Tiempo por cada ejercicio
Primero 2 minutos 2
Segundo 2 minutos x 1 2 × 1 = 2
Tercero 4 minutos x 2 2 × 2 = 4
Cuarto 12 minutos x 3 4 × 3 = 12
Quinto (x) minutos x 4 12 × 4 = 36
Por lo tanto el tiempo a emplearse en el último ejercicio seria de 36 minutos.
Entonces:
Fin de las labores = tiempo en realizar todos los ejercicio + hora de inicio
Tiempo total = suma del tiempo empleado en resolver cada ejercicio
Ejercicio Tiempo
Primero 2 minutos
Segundo 2 minutos
Tercero 4 minutos
Cuarto 12 minutos
Quinto 36 minutos
Tiempo total 56 minutos.
Tiempo total en realizar la tarea es 56 minutos.
Entonces:
Fin de las labores = tiempo en realizar todos los ejercicio + hora de inicio
165
Fin de las labores = 56 minutos + 14 horas
Fin de las labores = 14 horas y 56 minutos.
Etapa 5.- Comprobación.
A medida que Pedro resuelve los ejercicios emplea más tiempo por cada
ejercicio debido a que la dificultad también aumenta.
El último ejercicio debería tomar más tiempo en ser resuelto lo que se
muestra en la tabla.
Ejercicio Tiempo
Primero 2 minutos
Segundo 2 minutos
Tercero 4 minutos
Cuarto 12 minutos
Quinto 36 minutos
Recursos:
Participación de estudiantes, cuaderno de apuntes, proyector, entre otros
166
Datos informativos.
Nombre:……………….………………..Fecha:……………………...................
Noveno Año de Educación General Básica.
Objetivo:
Aplicar y demostrar procesos algebraicos utilizando ecuaciones e
inecuaciones para la resolución de problemas.
167
Luis tiene 8 canicas más de lo que tiene Juan, Mario tiene dos veces más
dos canicas lo que tiene Luis, si se suma la cantidad de canicas tanto de
Luis, Juan y Mario se tiene 50 canicas, ¿cuantas canicas tiene cada uno?
Etapa 1.- Analizar
Canicas de Juan……………..……..Número desconocido (x)
Canicas de Luis…………................8 canicas + canicas de Juan
Canicas de Mario……………..…….2 veces las canicas de Juan más 2
Total de canicas…………………….50 canicas
Etapa 2.- Reflexionar
Se considera las canicas de Juan como un número desconocido (x) para
facilitar la representación, de tal modo se interpreta d la siguiente manera:
Canicas de Juan……………..……x
Canicas de Luis…………...............8 canicas + x
Canicas de Mario……………..…….2 veces x más 2 canicas
Total de canicas…………………….50 canicas
168
Etapa 3.- Conceptualizar
Ecuación
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay números y letras
relacionados con las operaciones aritméticas.
De donde:
Canicas de Juan + canicas de Luis + canicas de Mario = Total de canicas
𝑥 + (8 𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠 + 𝑥) + (2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑥 𝑚á𝑠 2 𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠) = 50 𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠
O lo mismo:
𝑥 + (8 + 𝑥) + (2𝑥 + 2) = 50
Etapa 4.- Elegir alternativas de resolución
Canicas de Juan + canicas de Luis + canicas de Mario = Total de canicas
𝑥 + (8 𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠 + 𝑥) + (2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑥 𝑚á𝑠 2 𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠) = 50 𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠
O lo mismo:
𝑥 + (8 + 𝑥) + (2𝑥 + 2) = 50
Una vez obtenida la ecuación se procede a resolver.
1.- se destruye paréntesis.
𝑥 + 8 + 𝑥 + 2𝑥 + 2 = 50
𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 2 + 8 = 50
2.- se reducen términos semejantes.
4𝑥 + 10 = 50
3.- sumando (-10) a cada parte de la ecuación.
4𝑥 + 10 − 10 = 50 − 10
4𝑥 = 40
169
4.- dividiendo toda la ecuación para (4)
4𝑥
4=
40
4
𝑥
1=
10
1 𝑜 𝑙𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑥 = 10
Como (x) representa la cantidad de canicas de juan, por consiguiente:
Canicas de Juan………10 10 canicas
Canicas de Luis……......8 canicas + 10 18 canicas
Canicas de Mario…..….2 veces 10 más 2 canicas 22 canicas
Etapa 5.- Comprobación.
El total de canicas entre Luis, Juan y Mario debe ser 50, entonces:
Canicas de Juan + canicas de Luis + canicas de Mario = Total de canicas
10 𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠 + 18 𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠 + 22 𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠 = 50 𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠
50 𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠 = 50 𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠
Recursos:
Participación de estudiantes, cuaderno de apuntes, proyector, entre otros.
170
Actualmente Samanta tiene un tercio de la edad de su madre y un cuarto
de la edad de su padre, dentro de 10 años la edad de Samanta será la
mitad de la edad de madre y 2/5 de la edad de su padre. ¿Cuál es la edad
de la madre, del padre y de Samanta en la actualidad?
Etapa 1.- Analizar
Actualmente:
Edad de Samanta = 1/3 edad de su Madre = 1/4 edad de su Padre.
Dentro de 10 años:
Edad de Samanta = 1/2 edad de su Madre = 2/5 edad de su Padre
Encontrar la edad de Samanta, su Padre y su Madre.
Etapa 2.- Reflexionar
Para facilitar la resolución se procede a remplazar cada una de las las
variables por las últimas letras del alfabeto, de la siguiente manera:
Edad de Samanta: x
Edad de Padre: y
Edad de Madre: z
171
Etapa 3.- Conceptualizar
Ecuación
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay números y letras
relacionados con las operaciones aritméticas.
De donde:
Utilizando los remplazos de las variables se tiene:
Actualmente:
Edad de Samanta = 1/3 edad de su Madre = 1/4 edad de su Padre.
1. 𝑥 =1
3𝑧 =
1
4𝑦
Dentro de 10 años:
Edad de Samanta = 1/2 edad de su Madre = 2/5 edad de su Padre.
𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑚𝑎𝑛𝑡𝑎 + 10 𝑎ñ𝑜𝑠 = 𝑥 + 10
1
2𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑀𝑎𝑑𝑟𝑒 + 10 𝑎ñ𝑜𝑠 =
1
2(𝑧 + 10)
2
5𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑃𝑎𝑑𝑟𝑒 + 10 𝑎ñ𝑜𝑠 =
2
5(𝑦 + 10)
Entonces:
2. 𝑥 + 10 =1
2(𝑧 + 10) =
2
5(𝑦 + 10)
172
Etapa 4.- Elegir alternativas de resolución
Una vez obtenidas las ecuaciones generales (1) y (2) se procede a resolver
los sistemas de ecuaciones separando únicamente dos variables en cada
una de las igualdades:
1. 𝑥 =1
3𝑧 =
1
4𝑦
𝑥 =1
3𝑧
Para despejar la variable (z) se procede a multiplicar a cada miembro de
la ecuación por (3):
(3)𝑥 = (3)1
3𝑧
3𝑥 = 𝑧
2. 𝑥 + 10 =1
2(𝑧 + 10) =
2
5(𝑦 + 10)
𝑥 + 10 =1
2(𝑧 + 10)
Para despejar la misma variable que en la ecuación (1) se procede a
multiplicar cada miembro de la igualdad por (2) y luego sumar (-10) a toda
la ecuación, entonces se obtiene:
2(𝑥 + 10) = 2[1
2(𝑧 + 10)]
2𝑥 + 20 + (−10) = 𝑧 + 10 + (−10)
2𝑥 + 20 + −10 = 𝑧 + 10 − 10
2𝑥 + 10 = 𝑧
Una vez despejado una de las variables en las dos ecuaciones se procede
a igualar:
𝑧 = 𝑧
3𝑥 = 2𝑥 + 10
Si se suma (-2x) a cada miembro de la ecuación:
3𝑥 + (−2𝑥) = 2𝑥 + 10 + (−2𝑥)
3𝑥 − 2𝑥 = 2𝑥 + 10 − 2𝑥
𝑥 = 10
173
La edad de Samanta es de 10 años.
Para encontrar el valor de (z) se remplaza el valor de (x) en una de las
ecuaciones que contenían dos variables:
3𝑥 = 𝑧
3(10) = 𝑧
30 = 𝑧
La edad de la Madre de Samanta es de 30 años.
Para encontrar el valor de (y) se despeja de la ecuación (1) o (2).
Tomando la ecuación (1).
𝑥 =1
3𝑧 =
1
4𝑦
De donde:
𝑥 =1
4𝑦
Remplazando el valor de (x) y multiplicado cada miembro de la ecuación
para (4) se obtiene:
(4)(10) = (4)1
4𝑦
40 = 𝑦
La edad del Padre de Samanta es de 40 años.
Etapa 5.- Comprobación.
Edad de Samanta = 1/3 edad de su Madre = 1/4 edad de su Padre.
𝑥 =1
3𝑧 =
1
4𝑦
Remplazando los respectivos valores de las variables encontradas.
(10) =1
3(30) =
1
4(40)
10 =30
3=
40
4
Simplificando: 10 = 10 = 10
Dentro de 10 años:
Edad de Samanta = 1/2 edad de su Madre = 2/5 edad de su Padre.
174
𝑥 + 10 =1
2(𝑧 + 10) =
2
5(𝑦 + 10)
Remplazando el valor de las variables encontradas.
(10) + 10 =1
2((30) + 10) =
2
5((40) + 10)
10 + 10 =1
2(30 + 10) =
2
5(40 + 10)
20 =1
2(40) =
2
5(50)
20 =40
2=
100
5
Simplificando: 20 = 20 = 20
Recursos:
Participación de estudiantes, cuaderno de apuntes, proyector, entre otros.
175
Impactos
Social
La sociedad la conforman autoridades, docentes, padres de familia,
estudiantes y comunidad en general por tal motivo, se beneficia con este
material didáctico, ya que garantizará el mejoramiento y la comprensión y
razonamiento, para así poder aplicar en la resolución de problemas de la
vida cotidiana y no solo de la vida estudiantil.
Educativo
La elaboración y aplicación de este material didáctico es de gran
aporte para mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje en el desarrollo
lógico de los estudiantes y al mismo tiempo mejorar el rendimiento
académico.
Pedagógico
Es una herramienta primordial para el docente y estudiante que
ayudará al desarrollo lógico matemático.
Difusión
El material didáctico fue entregado al coordinador del área de
matemática del Colegio Universitario “UTN”, para que sea el encargado de
ayudar a difundir a la utilización adecuada del material a los maestros para
mejorar el rendimiento académico y sobretodo el razonamiento lógico.
176
Bibliografía.
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http://psicologiablas.blogspot.com/2010/05/la-teoria-humanista-de-
carl-rogers-1902.html:
178
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179
ANEXOS:
Anexo 1: Matriz de Coherencia
Anexo 2: Árbol de Problemas
Anexo 3: Encuesta Estudiantes
Anexo 4: Encuesta Docentes
180
ANEXO Nº 1. MATRIZ DE COHERENCIA
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
OBJETIVO GENERAL
¿Cómo Las Metodologías Utilizadas Por El Docente Influye En El Desarrollo De Las Habilidades Mentales, Razonamiento Lógico Y Su Aplicación En Procesos Matemáticos Por Parte De Los Estudiantes De Los Novenos Años De Educación General Básica Del Colegio Universitario “UTN” En El Periodo Académico 2013 - 2014?.
Contribuir con el mejoramiento académico mediante las metodologías apropiadas para el desarrollo de las habilidades mentales, razonamiento lógico y su aplicación en procesos matemáticos por parte de los estudiantes de los novenos años de educación general básica del Colegio Universitario “UTN” en el periodo académico 2013 – 2014.
SUBPROBLEMAS / INTERROGANTES
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
¿Cuál es la metodología utilizada por el docente en el desarrollo de las habilidades mentales y razonamiento lógico en sus estudiantes? ¿Cuáles son los procesos utilizados en el desarrollo de las habilidades mentales y razonamiento lógico que aplica el docente dentro del salón de clases? ¿La implementación de un material didáctico sería la más indicada para desarrollar las habilidades mentales y el razonamiento lógico en los estudiantes? ¿La aplicación de nuevas alternativas de cambio en el proceso para solucionar problemas del razonamiento lógico ayudara al rendimiento académico?
Diagnosticar las diferentes metodologías aplicadas en el desarrollo de las habilidades mentales, razonamiento lógico de los docentes a estudiantes y viceversa Establecer los procesos teóricos para el desarrollen las habilidades mentales y el razonamiento lógico. Elaborar una guía didáctica acorde a las exigencias educativas tanto del docente como de los estudiantes de los novenos años de educación general básica del Colegio Universitario “UTN” Difundir la guía didáctica para mejorar el proceso educativo en la institución investigada.
181
ANEXO Nº 2 ARBOL DE PROBLEMAS
Desorganización del
proceso pedagógico.
“Metodologías utilizadas para el desarrollo de las
habilidades mentales, razonamiento lógico y su
aplicación en los procesos matemáticos por parte de
los estudiantes de novenos años de educación
general básica del colegio universitario “UTN” en el
período académico 2013 – 2014”.:
Incapacidad de
encontrar un
camino factible
para dar una
solución
aceptable por
parte del
estudiante.
Bajo rendimiento académico y poca
comprensión de lo explicado dentro
del salón de clases
Dificultad para realizar procesos
mentales en la resolución de
problemas o ejercicios
matemáticos
Poco interés en conocer
más acerca de materia por
lo tanto menor rendimiento.
Falta de interés por
aprender parte de los
estudiantes.
Recurrente necesidad de utilización de calculadora
para realizar cálculos elementales.
Poca capacidad de
encontrar sentido lógico de
problemas de razonamiento
182
ANEXO Nº 3 ENCUESTA
UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE Facultad de educación ciencia y tecnología
Carrera de Licenciatura en Física y Matemática
METODOLOGÍA UTILIZADAS PARA EL DESARROLLO DE LAS HABILIDADES
MENTALES, RAZONAMIENTO LÓGICO Y SUS APLICACIONES EN PROCESOS
MATEMÁTICOS POR PARTE DE LOS ESTUDIANTES DE LOS NOVENOS AÑOS DE
EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA DE LA UNIDAD EDUCATIVA “UNIVERSITARIO
UTN” EN EL PERIODO ACADÉMICO 2013-2014
Fecha:…………………………………..
Curso:…………………………………..
INSTRUCCIONES BÁSICAS:
Lea detenidamente las preguntas y responda con toda sinceridad.
Marque con una “X” su respuesta.
Utilice de preferencia esferográfico de color negro o azul.
19. Cuál de las siguientes proposiciones es la que usted entiende por metodología educativa.
□ El conjunto de acciones, planes y estrategias en los cuales el docente se apoya para optimizar el
proceso educativo.
□ Son los deberes, tareas y pruebas que el docente aplica en clases para calificar a sus estudiantes.
□ El horario de clases que el establecimiento realiza al principio del periodo escolar.
□ Los derechos y obligaciones de los estudiantes y docentes de una institución educativa.
20. De las siguientes afirmaciones cual es la que usted entiende por habilidad mental.
□ Capacidad para entender fácilmente cualesquier problema solo de matemáticas
□ Facilidad para entender y recordar conocimientos para encontrar solución a problemas sin la
necesidad de ningún aparato electrónico (calculadora, celular, entre otros.)
□ Facultad para realizar cualesquier deporte o actividad física.
□ Talento para copiar en pruebas y exámenes durante el horario de clases.
21. Según su concepción razonamiento lógico es:
□ Es la facultad de cada estudiante para asistir puntualmente a clases con todo lo necesario para
estudiar.
□ La capacidad de encontrar un camino fácil y posible a un problema por medio de conocimientos
previos para llegar a una solución aceptable.
□ La facilidad de encontrar un camino fácil a un problema para llegar a una solución que me guste.
□ Es la capacidad de los estudiantes para realizar cálculos utilizando aparatos electrónicos
(calculadora, computadora, celular, entre otros.)
183
22. Que entiende usted por procesos matemáticos.
□ Es la serie de pasos para resolver un ejercicio matemático sin orden ni lógica con el único
objetivo de llegar a la solución aparente.
□ Es realizar cálculos en la calculadora u otro aparato electrónico y escribir directamente la
respuesta.
□ Es la comparación de conocimientos previos o conocidos y su aplicación en pasos estructurados
para resolver un problema o ejercicio matemático de la mejor manera.
□ Es llegar a una solución sin la necesidad de realizar cálculos ni ningún paso.
19. Cree usted que es más importante el proceso matemático que la misma respuesta
□ Si
□ No
¿Por qué?
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
……………………………..
Firma
184
Nº Pregunta Siempre
Casi
siempre
A
veces
Nunca
6
El docente realiza la clase de matemáticas llamativa y entretenida
utilizando material didáctico adecuado dependiendo del tema de
matemáticas a tratar.
7
Durante las clases el docente y el estudiante interactúan activamente para
un mejor entendimiento de la materia estudiada.
8
El docente utiliza diferentes formas de enseñar dependiendo del tema de
matemáticas a tratar.
9
Los estudiantes tienen la confianza de preguntar a su docente cuestiones
que no comprenden del tema abordado.
10
El docente permite que los estudiantes construyan los conocimiento
partiendo de sus propias experiencias
11
El docente permite al estudiante resolver ejercicios matemáticos de
diferentes maneras.
12
Al momento de resolver ejercicios de matemáticas reflexiona cuál es la
mejor manera de encontrar una solución.
13
El docente plantea problemas matemáticos en los cuales los estudiantes
deben razonar para llegar a la respuesta.
14
Qué porcentaje de tiempo durante la clase utiliza la calculadora para
resolver operaciones matemáticas esenciales.
15
Cuando realiza cálculos esenciales sin la necesidad de calculadora
encuentra alguna dificultad.
16
Relaciona operaciones esenciales para resolver problemas más
complicados mentalmente.
17
El docente durante la resolución de ejercicios matemáticos relaciona dicho
ejercicio con problemas del entorno para un mejor entendimiento
18
Al momento de enseñar el docente demuestra que es más importante los
procesos de resolución de un ejercicio que la misma respuesta
185
UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE Facultad de educación ciencia y tecnología
Carrera de Licenciatura en Física y Matemática
METODOLOGÍA UTILIZADAS PARA EL DESARROLLO DE LAS HABILIDADES
MENTALES, RAZONAMIENTO LÓGICO Y SUS APLICACIONES EN PROCESOS
MATEMÁTICOS POR PARTE DE LOS ESTUDIANTES DE LOS NOVENOS AÑOS
DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA DE LA UNIDAD EDUCATIVA
“UNIVERSITARIO UTN” EN EL PERIODO ACADÉMICO 2013-2014
1. ¿Usted realiza la clase de matemáticas llamativa y entretenida
utilizando material didáctico adecuado dependiendo del tema de matemáticas a tratar?
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
2. ¿Durante las clases usted y el estudiante interactúan activamente
para un mejor entendimiento de la materia estudiada? Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca 3. ¿Usted utiliza diferentes formas de enseñar dependiendo del tema
de matemáticas a tratar?
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
4. ¿Los estudiantes tienen la confianza de preguntarle cuestiones que no comprenden del tema abordado?
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
186
5. ¿Usted permite que los estudiantes construyan los conocimientos partiendo de sus propias experiencias?
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
6. ¿Usted permite al estudiante resolver ejercicios matemáticos de diferentes maneras?
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
7. ¿Usted plantea problemas matemáticos en los cuales los estudiantes deben razonar para llegar a la respuesta?
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
8. ¿Qué porcentaje de los estudiantes y de tiempo durante la clase utiliza la calculadora para resolver operaciones matemáticas esenciales?
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
9. ¿Los estudiantes cuando realizan cálculos esenciales sin la necesidad de calculadora encuentra alguna dificultad?
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
10. ¿Los estudiantes relaciona operaciones esenciales para resolver problemas más complicados mentalmente?
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
187
11. ¿Usted durante la resolución de ejercicios matemáticos relaciona
dicho ejercicio con problemas del entorno para un mejor entendimiento?
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
12. ¿Al momento de enseñar usted demuestra que es más importante los procesos de resolución de un ejercicio que la misma respuesta?
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
13. ¿Cree usted que es más importante el proceso matemático?
Siempre
Casi siempre
A veces
Nunca
188
FOTOGRAFÍAS.
189
CERTIFICADO DE SOCIALIZACIÓN DE LA PROPUESTA.
190
UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE BIBLIOTECA UNIVERSITARIA
AUTORIZACIÓN DE USO Y PUBLICACIÓN
A FAVOR DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE 1. IDENTIFICACIÓN DE LA OBRA
La Universidad Técnica del Norte dentro del proyecto Repositorio Digital Institucional, determinó la necesidad de disponer de textos completos en formato digital con la finalidad de apoyar los procesos de investigación, docencia y extensión de la Universidad. Por medio del presente documento dejo sentada mi voluntad de participar en este proyecto, para lo cual pongo a disposición la siguiente información:
DATOS DE CONTACTO CÉDULA DE IDENTIDAD:
100383148 – 2
APELLIDOS Y NOMBRES:
Saráuz Aguilar Jhon Franklin
DIRECCIÓN: La Merced de Cobuendo/ Chaltura/ Antonio Ante
EMAIL: jhon_rock1990@yahoo.com
TELÉFONO FIJO: 062699005 TELÉFONO MÓVIL:
0981414359
DATOS DE LA OBRA TÍTULO: “METODOLOGÍAS UTILIZADAS PARA EL DESARROLLO DE
LAS HABILIDADES MENTALES, RAZONAMIENTO LÓGICO Y
SU APLICACIÓN EN LOS PROCESOS MATEMÁTICOS POR
PARTE DE LOS ESTUDIANTES DE LOS NOVENOS AÑOS DE
EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA DE COLEGIO
UNIVERSITARIO “UTN” EN EL PERÍODO ACADÉMICO 2013
– 2014”.
AUTOR (ES): Saráuz Aguilar Jhon Franklin
FECHA: AAAAMMDD 2015 – 12 – 21
SOLO PARA TRABAJOS DE GRADO
PROGRAMA: PREGRADO POSGRADO
TITULO POR EL QUE OPTA: Licenciado En Ciencias De La Educación, Especialidad Física Y Matemática.
x
191
ASESOR /DIRECTOR: Ing. Fabián Marroquín
192